chapter 布林代數
布林代數 2- 緒論 2-2 布林代數的基本定義與公設 2-3 布林代數之定理 2-4 布林代數之運算 2-5 全及項與全或項 2-6 積項之和與和項之積 2-7 標準型與模範型 2-8 真值表 2-9 邏輯閘 2- 布林代數之執行 2- 通用閘
2- 緒論 布林代數和一般代數最大的不同是布林代數不論輸入是變數或常數, 都只可能有兩種值, 即 與 而已 與 並不是真正的數目, 它代表電壓變數的狀態 布林代數是一種專門處理二進制的數學, 即處理布林變數 ( 以英文字母表示, B, C, X, Y, Z) 和布林常數 ( 與 ) 之間的運算, 它並且建立一套特別的運算規則, 其目的有二 :. 簡化邏輯問題的思考過程 2. 簡化電路, 在最少的使用元件下完成同樣的函數作用
2-2 布林代數的基本定義與公設 (POSTULTES) 布林代數具有下列幾個定義 :. 封閉性 (closure) 2. 結合律 (associative law) 3. 交換律 (commutative law) 4. 單位元素 (identity element) 5. 反元素 (inverse element) 6. 分配律 (distributive law)
2-2 布林代數的基本定義與公設 (POSTULTES) 在 954 年布林 (George Boole) 提出今日所稱的布林代數之後,94 年韓丁頓 (E.V. Huntington) 更將其中的定義陳述為下列 5 個公設 (postulates): 公設 :(a).= (b)+= 公設 2:(a).=.= (b)+=+= 公設 3:(a).= (b) += 公設 4:(a) = = (b) ( 讀作 BR 等於 ) 公設 5:(a) 如果 x 則 x= (b) 如果 x 則 x= 在公設中 (a) 部分 " " " " + " " " + "
2-2 布林代數的基本定義與公設 (POSTULTES). 邏輯 OR 運算 : 布林代數中的 +" 運算, 即 2. 邏輯 ND 運算 : 布林代數中的." 運算, 此." 符號運用在兩變數之間時可省略, 即 + = + = + = + = = = = =
2-2 布林代數的基本定義與公設 (POSTULTES) 3. 邏輯 NOT ( 補數 ) 運算 : 布林代數中的 -" 符號, 補數運算也稱為反運算 = =
2-3 布林代數之定理 定理一 : 交換律. x.y = y.x 證明 : x y x.y y.x 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理 2. x+y = y+x 證明 : x y x+y y+x 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理 定理二 : 結合律. x.(y.z) = (x.y).z 證明 : x y z y.z x.(y.z) x.y (x.y).z 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理 2. x+(y+z) = (x+y)+z 證明 : x y z y+z x+(y+z) x+y (x+y)+z 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理. x (y +z)=x y +x z 證明 : 定理三 : 分配律 x y z y+z x.(y+z) x.y x.z (x.y)+(x.z) 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理 2. x+(y z)=(x+y) (x+z) 證明 : x y z y.z x+(y.z) x+y x+z (x+y).(x+z) 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理. x=x 證明 : 定理四 : 等元素 x x. 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理 2.x+=x 證明 : x x+ 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理. x = 證明 : 定理五 : 空元素 x x. 皆為, 故得證
2-3 布林代數之定理 2. x+= 證明 : x X+ 皆為, 故得證
2-3 布林代數之定理. x x = 證明 : 定理六 : 補數 x x x x 皆為, 故得證
2-3 布林代數之定理 2. x+x= 證明 : x x x+ x 皆為, 故得證
2-3 布林代數之定理. x x=x 證明 : 定理七 : 全等性 x x.x 2.x+x=x 證明 : 相同, 故得證 x x+x 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理.x+xy=x 證明 : 定理八 : 消去性 左 = x+ xy = x + xy ( 等元素 ) = x(+ y) ( 分配律 ) = x ( 空元素 ) = x ( 等元素 ) = 右
2-3 布林代數之定理 2. x (x+y)=x 證明 : 左 = x (x+ y) = x x+ xy ( 分配律 ) = x+ xy ( 全等性 ) = x + xy ( 等元素 ) = x(+ y) ( 分配律 ) = x ( 空元素 ) = x ( 等元素 ) = 右
2-3 布林代數之定理 3. x+xy =x+y 證明 : 左 = x+ xy = x + xy ( 等元素 ) = x(+ y) + xy ( 空元素 ) = x + xy + xy ( 分配律 ) = x + (x+ x)y ( 分配律 ) = x + y ( 補數 ) = x + y ( 等元素 ) = 右
2-3 布林代數之定理 4. x (x+y)=xy 證明 : 左 = x (x+ y) = x x+ xy ( 分配律 ) = + xy ( 補數 ) = xy ( 等元素 ) = 右
2-3 布林代數之定理. x=x 證明 : 定理九 : 自補性 x x x 相同, 故得證
2-3 布林代數之定理定理十 : 狄摩根定理 (De Morgan's Theorem). x y = x+y 證明 : x y x y x y x y x + y 相同, 故得證 x y= x+ y可擴展為 x y z = x+ y+ z+
2-3 布林代數之定理 2. x+y=x y 證明 : x y x+ y x + y x y x y 相同, 故得證 x+ y= x y 可擴展為 x y z x y z + + + =
2-3 布林代數之定理 狄摩根定理是唯一提及整體的 Bar 與個別的 Bar 之關係的定理, 一般使用此定理時, 是將整體的 Bar 打斷成個別的 Bar 如此才能使得一層又一層的 Bar 簡化為個別的 Bar Y= B+ C 無法使用其他的方式化簡 使用狄摩根定理處裡式子時, 一般有三種方式 :. 由內往外去除 Bar ( 利用 = 消去 Bar) 2. 由外往內去除 Bar ( 利用 = 消去 Bar) 3. 將 Bar 一次全打斷
2-3 布林代數之定理. 由內往外去除 Bar ( 利用 = 消去 Bar) 其方法是由內往外的方式去除一層一層的 Bar, 範例 Y= B C D E = B C DE = ( B + C) DE = ( B + C) D E= ( B + C) D = ( B+ C) D+ E = ( B+ C) D+ E 消去 消去 E
2-3 布林代數之定理 2. 由外往內去除 Bar ( 利用 = 消去 Bar) 範例 Y= B C D E = B C D E= ( B C) D+ E 消去 = B C D+ E= B C D + = ( B+ C) D+ E = ( B+ C) D+ E 消去 E
2-3 布林代數之定理 3. 將 Bar 一次全打斷 Step: 照抄變數 ( 先不管化簡 ) Step2: 決定變數是否要加 Bar (a) 變數上有奇數層 Bar 變數上有 Bar (b) 變數上有偶數層 Bar 變數上無 Bar Step3: 決定變數間的運算符 (a) 運算符號上有奇數層 Bar 運算符號要改 (b) 運算符號上有偶數層 Bar 運算符號不變 B C D E (c) 改變符號的原則," " "+"," +" " " B C D E B+ C D+ E Step4: 打斷 Bar 後, 各變數間結合的順序必須維持打斷前的結合順序 如有必要, 須加括弧 ( B+ C) D+ E Y= B C D E
2-3 布林代數之定理 基本定理交換律結合律分配率吸收率等元素空元素補數全等性自補性狄摩根定理 x+(y+z) = (x+y)+z x +(y.z) = (x+y). (x + z) x + x.y = x x + = x x + = x+x= x+ x=x X= X X+ Y= X Y 加法運算 x+y = y+x x.(y.z) = (x.y).z x.(y+z) = x.y + x.z x. (x +y) = x x. = x x. = x x= x x=x 乘法運算 x.y = y.x X Y= X+ Y
2-4 布林代數之運算 範例 化簡 F= BC+ BC+ BC 為最簡式 F = BC + BC + BC = B(C + C) + BC ( 分配律 ) = B + BC ( 補數 ) = B( + C) + BC ( 空元素 ) = B + BC + BC ( 分配律 ) = B + C(B + B) ( 分配律 ) = B + C ( 補數 ) = B + C
範例 2 化簡 F= BC+ BC+ BC 為最簡式 F= BC+ BC+ BC = ( + )BC + BC = BC + BC = (B + B)C = C
範例 3 化簡 Z= ( B) (C+ D) 為最簡式 Z= ( B) (C+ D) = + ( B) + (C+ D) = + B+ CD = ( + B) + B + CD = + B+ B+ CD = + (+ )B+ CD = + B+ CD = B + CD 使用狄摩根定理
練習題 () F = BC + BC + BC (2) F = ( + B)C + ( + B)C (3) F = ( + C)(B + D) (4) F = + B + C + BC (5) F = + B + BC (6) F = + B + BC + BCD
2-5 全及項與全或項 2-5- 全及項 如 : 2-5-2 全或項 如 : F(X,Y,Z) F(, B, C) = = = = XYZ m BC m 5 F(X,Y,Z) = X+ Y+ Z = M F(, B, C) = + B + C = M 6 2
2-5 全及項與全或項 三個變數之布林代數所代表的全及項與全或項如表 2-: 2- 全及項與全或項表示法 X Y Z 全及項表示法 XYZ XYZ XYZ 最小項符號 m m m 2 全或項表示法 X+ Y+ Z X+ Y+ Z X+ Y+ Z 全或項符號 M M M 2 XYZ m 3 X+ Y+ Z M 3 XYZ XYZ XYZ XYZ m 4 m 5 m 6 m 7 X+ Y+ Z X+ Y+ Z X+ Y+ Z X+ Y+ Z M 4 M 5 M 6 M 7
2-6 積項之和與和項之積 2-6- 積項之和 所謂積項之和 (sum of product, 簡稱 SOP) 的意思, 是指數個全及項 ( 標準積 ) 之和 (OR 運算 ) 所組成之布林函數, 如 :. f (x, y, z) = x yz + x yz + xyz + xyz 2. f(,b,c) = BC+ BC
範例 4 求 f(a, b,c,d) = abcd+ abcd + abcd+ abcd 之數字表示法 f(a,b,c,d) = abcd + abcd + abcd + abcd 權值 其中 Σ 表示是把這些數字 OR 起來, 它是積項之和的組成符號
範例 5 f(w,x,y,z) = Σ (, 3, 5, 7) = = + + +
2-6 積項之和與和項之積 2-6-2 和項之積 所謂和項之積 (product of sum, 簡稱 POS), 是指由數個全或項 ( 標準和 ) 之積 (ND 運算 ) 所組成, 如 :. 2. f(x,y,z) = (x+ y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) f (, B, C) = ( + B + C) ( + B + C)
範例 8 求 f(w,x,y,z) = (w+ x+ y + z) (w + x + y + z) 之數字表示式 f(w,x,y,z) = (w + x+ y + z) + (w + x + y + z) 權值 用 把這數字 ND 組合在一起, 當然, 布林代數中它相當於和項之積的符號, 由布林代數理論得知 :ND 運算當函數中只要有一個全或項 ( 標準和 ) 為, 則整個函數的輸出即為, 否則為
範例 9 求 f(a,b,c,d) = (,4,7,,5) 之布林代數表示式 f(a,b,c,d) = M M M M M 4 7 5 = (+ + + )( ++ + )()()() +++ + ++ +++ = (a+ b+ c+ d)(a+ b+ c+ d)(a+ b+ c+ d)(a+ b+ c+ d)(a+ b+ c+ d)
2-6 積項之和與和項之積 2-6-3 SOP 與 POS 之互換 假設某一邏輯函數其 SOP 形式為 : f(x,y,z) = (,,2,4,5,6) = xyz + xyz+ xyz + xyz + xyz+ xyz = (xyz+ xyz) + (xyz+ xyz) + (xyz+ xyz) = yz + yz + yz = yz(+ ) + yz + yz = yz + yz + yz + yz = (yz + yz) + yz + yz = y+ z 假設有一某邏輯函數表示為 : f(x,y,z) = (3,7) f(x,y,z) = xyz+ xyz = yz
2-6 積項之和與和項之積 依據 De Morgan's Theorem 得 f(x,y,z) = y + z 再假設有某一邏輯函數表示為 : f(x,y,z) = (3,7) = (x + y + z)(x + y + z) = x(x+ y+ z) + y(x+ y+ z) + z(x+ y+ z) = xx+ xy+ xz + xy+ yy+ yz + xz + yz + zz = + xy+ xz + xy+ y+ yz + xz + yz + z = y(x + x + + z + z) + xz + xz + z = y + (x+ x+ )z = y+ z
2-6 積項之和與和項之積 由這三函數中我們可以發覺在 SOP 與 POS 形式的關係上 f(x,y,z) = (,,2,4,5,6) 會等於 也會等於 即 f(x,y,z) = (3,7) f(x,y,z) = (3,7) f(x,y,z) = (,,2,4,5,6) = (3, 7) = (3, 7)
範例 22 化簡為積項之和最簡式 f(w, x, y,z) = (,,2,3,5,6,8,9,,,3,4) f(w,x,y, z) = (,, 2, 3, 5, 6, 8, 9,,,3,4) = (4, 7,2,5) = wxyz + wxyz + wxyz + wxyz = wxyz + wxyz + wxyz + wxyz = (w + w)xyz + (w + w)xyz = xyz + xyz
2-7 標準型與模範型 2-7- 標準型 (Standard Form) 所謂標準型是指在布林代數函數中, 每一項均含有每一個文字符號在內而不能有任何缺少文字符號者稱之為標準型, 標準型又可分為標準 SOP 項與標準 POS 項, 如 : f(x,y,z) = xyz+ xyz+ xyz (2-) f(x,y,z) = (x+ y + z)(x + y + z)(x + y + z) (2-2)
2-7 標準型與模範型 2-7-2 模範型 (Canonical Form) 標準型與模範型是可以互換的 標準型透過化簡的動作可變成模範型, 而模範型經過補項也可找回原式的標準型, 同時, 在布林代數化簡過程中, 兩者的互相轉換又常是必須的
範例 26 將 f (, B, C, D) = ( + B)(BC + CD) 化為標準 SOP 型 f (, B, C, D) = ( + B)(BC + CD) = BC + CD + BBC + BCD = BC + CD + BC + BCD = BC(D + D) + (B + B)CD + BC(D + D) + BCD = BCD + BCD + BCD + BCD + BCD + BCD + BCD = BCD + BCD + BCD
範例 27 將 f = B(C+ BD) + B 化簡為模範式 POS 型 f = B(C+ BD) + B = BC + BBD + B = BC + B = BC + B(C + C) = BC + BC + BC = (,, 5) f = (2,3,4,6,7) = BC + BC + BC + BC + BC = B(C + C) + C(B + B) + B(C + C) = B + C + B = ( + )B + C = B+ C
2-8 真值表 (TRUTH TBLE) 將變數中所有可能發生的輸入輸出情況全部加以一一列出, 即所謂的真值表, 因此假設有 n 個變數, 在真值表中就會有 2 n 個項的組合出現 2-2 二個輸入變數對應一個輸出的真值表 對應十進制值 2 3 輸入變數 B 輸出變數 F????
2-8 真值表 (TRUTH TBLE) 2-3 三個輸入變數對應一個輸出的真值表 2 3 4 5 6 7 X Y Z F????????
2-8 真值表 (TRUTH TBLE) 2-4 四個輸入變數對應一個輸出的真值表 B C D F????????????????
2-8 真值表 (TRUTH TBLE) 在真值表中, 輸入變數的可能組合列在左邊, 輸出變數列在右邊, 輸出項目 F 內以?" 表示, 表示項內值將隨不同的邏輯電路或布林代數的輸入條件不同而有所改變
2-8 真值表 (TRUTH TBLE) 2-8- 真值表與 SOP 或 POS 之關係 如下真值表表示 : x y z F 以 SOP 表示為 : 以 POS 表示為 : f (x, y, z) = x yz + xyz + xyz + xyz = (, 3, 4, 7) f(x,y,z) = (x+ y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) = (, 2, 5, 6)
2-9 邏輯閘. 正邏輯 : 在正邏輯中, 邏輯 " 與邏輯 " 所代表的意義如表 2-5 2-5 正邏輯之邏輯準位與其含意表 邏輯 " 電壓 ( 低 ) 約 ~.8 V 開關斷路 (OFF) 事件偽 (FLSE) 事件為否 (NO) 沒負載 ( 燈不亮 ) 邏輯 " 電壓 ( 高 ) 約 2~5 V 開關通路 (ON) 事件真 (TRUE) 事件為是 (YES) 有負載 ( 燈亮 )
2-9 邏輯閘 2. 負邏輯 : 在負邏輯中, 邏輯 " 與邏輯 " 所代表的意義正好與正邏輯相反, 如表 2-6 2-6 負邏輯之邏輯準位與其含意表 邏輯 " 電壓 ( 高 ) 約 2~5 V 開關通路 (ON) 事件真 (TRUE) 事件為是 (YES) 有負載 ( 燈亮 ) 邏輯 " 電壓 ( 低 ) 約 ~.8 V 開關斷路 (OFF) 事件偽 (FLSE) 事件為否 (NO) 沒負載 ( 燈不亮 )
2-9 邏輯閘 2-9- 邏輯運算子 (Logic Operator) 及閘 (ND GTE) 及閘的運算方式為 : 逢 即, 也就是說, 只有當所有的輸入均為 ", 輸出才為 ", 否則只要輸入當中有一個為, 則輸出必定為, 如圖 2- B F 2- (a) 及閘之符號
2-9 邏輯閘 5 V R SW() SW(B) B F LED(F) 2- (c) 二輸入及閘之真值表 2- (b) 及閘之等效電路
2-9 邏輯閘 F F = B = 或 B 或閘 (OR GTE) 或閘的運算方式為 : 逢 即 也就是說當輸入中只要有一端輸入為, 則輸出就會為, 只有全部輸入均為, 輸出才會為
2-9 邏輯閘 B F 2-4 (a) 二輸入或閘符號 5 V R SW() SW(B) LED(F) 2-4 (b) 二輸入或閘等效電路
2-9 邏輯閘 由等效電路中導出真值表為 : B F 以布林代數表示為 : F= + B
2-9 邏輯閘 反閘 (NOT GTE) 反閘又稱為反相器, 是一個一輸入及一輸出的邏輯閘, 它執行一種反相或互補的基本邏輯功能, 其用途是將一種邏輯準位轉換為另一種邏輯準位 5 V F SW() R LED(F) 2-6 (a) 反閘符號 2-6 (b) 反閘等效電路
2-9 邏輯閘 由等效電路可導出真值表為 : F 2-6 (c) 反閘真值表 = F 以布林代數表示為 : F= 反閘也常被圖 2-6(d) 所取代 F 2-6 (d) 反閘的另一 種表示符號
2-9 邏輯閘 反及閘 (NND GTE) 反及閘的運算方式為 : 逢 即 其意思是指當輸入中有任何一個或以上為 時, 則輸出必定為, 否則輸出為 由等效電路可導出真值表為 : B F
2-9 邏輯閘 B F 5 V R B F SW() SW(B) LED(F) 2-7 (a) 二輸入反及閘二種標準符號 布林代數表示為 : 2-7 (b) 二輸入反及閘等效電路 F= B
2-9 邏輯閘 反或閘 (NOR GTE) 反或閘的運算方式為逢 即 其意思是指當輸入中有任何一個或一個以上的輸入為 時, 則輸出必定為, 否則輸出就會為 B F B F 2-9 (a) 二輸入反或閘的兩種標準符號
2-9 邏輯閘 5 V R SW() SW(B) LED(F) 2-9 (b) 二輸入反或閘之等效電路 由等效電路可導出真值表為 : B F 2-9 (c) 二輸入反或閘真值表
2-9 邏輯閘 布林代數表示為 : F= + B 互斥或閘 (XOR GTE) B F 2- (a) XOR 標準符號 F B 2- (b) XOR 等效電路
2-9 邏輯閘 由等效電路可導出真值表為 : B F 2- (c) XOR 真值表 布林代數表示為 : F= B= B+ B
2-9 邏輯閘 當有三個輸入端其功能出現逢奇數個輸入為, 輸出為, 否則輸出為 的特性時, 我們可以利用兩個 XOR 串接加以實現, 如圖 2-(e) B F C 2- (e) 三輸入 XOR 實現方式
2-9 邏輯閘 反互斥或閘 (XNOR GTE ) 互斥或閘的運算式是 : 逢奇數個輸入為 時輸出為, 否則為 B F 2- (a) XNOR 標準符號 B F 2- (b) XNOR 等效電路
2-9 邏輯閘 由等效電路可導出真值表為 : B F 布林代數表示為 : F= B= B= B+ B
2-9 邏輯閘 緩衝器 (Buffer) 緩衝器運算的方式 : 即, 即 意思是說當輸入為 時輸出為, 當輸入為 時輸出為 5 V F R SW() 2-2 (a) 緩衝器符號 LED(F) 2-2 (b) 緩衝器等效電路
2-9 邏輯閘 由等效電路導出真值表為 : F 以布林表示式表示為 : F=
2-9 邏輯閘三態閘 (Tri-state, 或稱三態開關 ) 三態閘可能的三種輸出狀態是 :. 邏輯 ( 輸出到 V cc 之間是低阻抗 ); 2. 邏輯 ( 輸出到接地之間是低阻抗 ); 3. 失效 (disable)( 在失效狀態時, 輸出到接地或 V cc 之間都是高阻抗 )
2-9 邏輯閘 三態閘的符號及真值表如圖 2-3(c) 及 2-3(d) Y G 2-3 (c) 三態閘之邏輯符號 G Y H() X Z L() H() L() 2-3 (d) 三態閘之真值表 L() L() H()
2-9 邏輯閘 三態閘的型式除了如圖 2-3(c) 之外, 尚有其他的型式如圖 2-4 Y 2-4 (a) 另一型三態閘 G G Y H() L() X H() Z H() 2-4 (b) 為圖 2-4(a) 三態閘真值表 L() L() L()
2-9 邏輯閘 Y G 2-5 (a) 另一型三態閘 G Y H() H() L() H() L() X H() L() Z 2-5 (b) 為圖 2-5(a) 三態閘真值表
2-9 邏輯閘 2-9-2 敏感性 (Sensitivity) 許多情況下, 輸入端並沒有完全被使用 譬如說, 電路設計時只需用兩個輸入變數及閘, 但實際組裝時卻必須使用三輸入及閘, 這時就會有一個未使用的輸入端, 這種未使用的輸入端該如何處理, 接 ", 接 " 或是可以完全不予理會? 邏輯閘名稱 ND OR NND NOR 對何準位敏感 應接何種準位 2-7 未使用輸入端應接何準位
2-9 邏輯閘 輸入端接 " 可直接接地, 但接 " 的作法有下列三種 :. 電阻提升法 (Pull-up Resistors) 5 V K B X=B 2-8 (a) 電阻提升法
2-9 邏輯閘 2. 定位法 (Clamping) 5 V ( 6 3.6V) R B X=B 2-8 (b) 定位法 3. 將未使用的輸入端與使用的輸入端相接 (Tying Used Inputs to Unused Inputs) B X=B 2-8 (c) 將未使用的輸入端與使用的輸入端相接
2- 布林代數之執行 範例 4 請以邏輯製作布林代數式 F= BC+ BD B C B D BC BD F
2- 布林代數之執行 化簡下圖的邏輯電路 B C 範例 45 F F = (+ B+ C)(+ B+ C)(+ B+ C) = ( + C)(B + C) 最簡電路為 : C F B
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 布林代數中包含三種基本運算 :ND OR NOT 在邏輯閘中也將 ND 閘 OR 閘以及 NOT 閘定義為基本邏輯閘, 因為所有的布林函數均可利用這三種基本邏輯閘加以組合而成 在邏輯閘中稱 NND 閘及 NOR 閘為通用閘, 因為只要利用單一種 NND 閘 (NOR 閘 ) 而不用其他型式的邏輯閘即可構成任何布林函數式子或數位系統
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 2-- 將 NND 閘轉換成 ND OR 和 NOT 閘. NND ND B X=B 2. NND OR X = B= + B B 3. NND NOT X =
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 2--2 將 NOR 閘轉換成 ND OR 和 NOT 閘. NOR ND B X = + B= B 2. NOR OR B X= + B= + B 3. NOR NOT X =
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 2--3 利用通用閘 NND 製作布林代數 步驟 :. 由已知之布林代數表示式畫出含有 ND OR 及 NOT 閘的邏輯圖, 假定正常輸入與補數輸入均可利用 2. 利用 NND GTE 代替各 ND OR 及 NOT 閘, 畫出第二個邏輯圖 3. 移去任何兩個相連的反相器, 直接與輸入變數相連接的反相器亦可移去, 但該變數應以補數形式表示, 此時所得的新邏輯圖就是所求 NND 閘製作的邏輯圖
範例 46 利用 NND 閘製作布林代數 F= (B+ CD) + BC 步驟 : 用 ND OR NOT 閘製作布林代數 C D B B C 4 2 3 5 F 步驟 2: 用 NND 閘取代步驟 中的 ND OR NOT 閘 C
範例 46 步驟 2 所得到之電路 C 步驟 3: 移去任何兩個相連的反相器, 若輸入端有接反相器者, 該變數以補數形式表示 C D B B C D B C E F
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 2--4 利用通用閘 NOR 製作布林代數 步驟 :. 由已知之布林代數表示式, 畫出含有 ND OR 及 NOT 閘的邏輯圖, 假定正常輸入與補數輸入均可利用 2. 利用 NOR 閘取代各 ND OR 及 NOT 閘, 畫出第二個邏輯圖 3. 移去任何兩個相連的反相器, 直接與輸入變數相連接的反相器亦可移去, 但其對應的輸入變數要變補
範例 5 利用 NOR 閘製作布林代數 F= (B+ CD) + BC 步驟 : 用 ND OR NOT 閘製作布林代數 C D B B C 4 2 3 5 F 步驟 2: 用 NOR 閘取代步驟 中的 ND OR NOT 閘
範例 5 C D B ND() OR(2) B ND(3) C OR(5) D F F B E C ND(4) 步驟 3: 移去任何兩個相鄰的反相器, 直接與輸入變數相接的反相器亦一起移去, 但對應的輸入變數要變補 C D B C B E B C D F F
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 2--5 所有邏輯閘均由 NND Gate 組成之分析 規則 :. 從輸出端往輸入端看入, 奇數層為 OR, 偶數層為 ND 2. 外加輸入端 ( 非邏輯閘之輸出 ) 若加至奇數層 取其補數若加至偶數層, 則不取其補數 Step 2 ND F=+B 2 B OR
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 練習題請寫出 F=? B F B
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 2--6 所有邏輯閘均由 NOR Gate 組成之分析 規則 :. 從輸出端往輸入端看入, 奇數層為 ND, 偶數層為 OR 2. 外加輸入端 ( 非邏輯閘之輸出 ) 若加至奇數層 取其補數若加至偶數層, 則不取其補數 Step 2 OR F=.B 2 B ND
2- 通用閘 (UNVERSIL GTE) 練習題請寫出 F=? B F F B