交流電路與阻抗電橋 一 目的 : 熟悉電路基本元件的特性並學習阻抗電橋的測量方法 二 原理 ( 一 ) 交流訊號 : 一般所謂交流電是指交變電壓 (atrnating votag) 或交變電流 (atrnating currnt) 他們幾乎都可以用正 ( 餘 ) 弦函數表示, 或者被寫成數個正 ( 餘 ) 弦函數之和 一個信號通常包含了直流和交流的成份 ( 圖 ), 習慣上用小寫字母表示變動的量, 對應的大寫字母則表示直流 平均值 極大值或均方根值 如交變電壓為 : Y(t) inωt () 式中 表示振幅,ω 為角頻率 正弦波的頻率 f ω/2π, 週期 T 2π/ω, 由於此種週期函數的平均值為零, 通常以均方根值 (root-an-quar vau, 簡稱 r vau) 表示其有效值 波函數 y(t) 的均方根值定義為 : 圖 含有直流成份與交流成份 的信號 Y r º T T ò0 2 y ( t) dt (2) 以 () 式的波形為例 T 2 2 Y r in tdt T ò w (3) 0 2 因此 2 r (4) 一般電表測量交流電壓時均已將電路設計成測量其 r 值 若要測量振幅, 則需使用示波器直接觀察波形 ( 文 獻 ) ( 二 ) 電阻 : 歐姆定律說明了一個電路元件兩端的電壓 v 和這元 件內的電流 i 成正比 通常定義 v / i 的比值為電阻 (ritanc), 亦即歐姆定律為 v / i R 常數 這個具有 電阻的電路元件稱為電阻器 (ritor), 電路中的代表符
號為 "R " 如果電壓 v 的單位用伏特, 電流 i 用安培, 則電阻的單位為歐姆 (oh, 簡寫為 Ω) 如果一個元件不滿足歐姆定律, 則稱之為非線性 ( 或非歐姆式 ) 的元件 ( 文獻 ) 電阻的倒數稱為電導(conductanc)Y, 單位為 Ω - ( 或寫成 ) ( 三 ) 電容及其電抗 (ractanc): 電容器 (capacitor) 是儲存電荷 q 的一種元件, 通常事由兩個導體, 中間以絕緣介質分隔而成, 兩導體分別帶電量及 +q,-q,q 的大小與所加電壓 成正比, 即 q, 我們定義這個比例係數 為電容 (capacitanc) 電容器的代表符號為 " ",MKS 制單位為法拉 (farad), 簡寫成 F, 常用的較小單位有微法拉 (μf), 奈法拉 (nf) 及皮法拉 (pf)( 請參考文獻 4) 假設加在電容器 上的電壓為 v (t) co ωt, 則 i dq( t) dv ( t) ( t) -w dt dt æ p ö co çwt + è 2 ø w in w t 因此電容可看成具有電阻值 /ω, 不過電流比電壓領 先 90 o ( 即 /4 週期 ) /ω 稱為電容性電抗 (capacitiv ractanc), 簡稱為容抗, 以 X 表示, 其大小和 ω 成反比 當電壓為直流時,ω 0,X ; 頻率極高時 ω,x 0 為了計算方便, 我們給 v (t) 和 i (t) 加上虛數部份, 使它們變成複數平面上的相量 (phaor) 和 I t w (5) j I w ( w t+ p / 2) j 這裡用 j 表示虛數 -, 以避免和電流 i 混淆 (6) 圖 2 繪示了 與 I 的關係 (a) 圖表示電阻器上 I R 與 R 同相位,(b) 圖表示電容器上的 相量的大小為, 圖 2(a) 電阻器的電流與電壓同相位 (b) 電容器的電流與電壓超前 90 o 相位 以角頻率循逆時針方向旋轉, 其實數分量等於 v (t) I 相量的大小為 /ω, 也是以角頻率旋轉, 不過比
領先 90 o, 其實數分量等於 i(t) 由 (5) (6) 兩式, 我們可以得到 I 因此 w j( w t+ p / 2) w j( p / 2) I j w jw 上次可以看成電容器具有等效電阻值 / jω, 以 X 表 之, 亦即 所以 X º - j w jx X I 在作電路分析的運算時, 可以採用複數運算, 最後結果 再取實數部份即可 ( 四 ) 電感及其電抗 : 電流通過線圈時所造成的磁通量和電流的大小成 正比, 此比例常數 L 為稱為自感 (Sf-inductanc), 一般 簡稱為電感, 在線路中的代表符號為 "L" 它的 MKS 制 單位為亨利 (hnry), 簡寫為 H, 一般較常用的單位有 H μh nh 等 ( 請參考文獻 5) 假設流經電感的電流為 i L (t)i coωt, 則磁通量 ΦL i L (t)l I coωt, 由法拉第定律知 : df vl ( t) -w LI dt in w t æ p ö w LI co çw t + (7) è 2 ø 因此電感可以看成具有電阻 ωl, 但是電流比電壓落後 90 o ( 即四分之一週期 ) 這個電阻稱為電感性電抗 (inductiv ractanc), 簡稱為感抗, 以 X L 表示之, 其大 小與角頻率 ω 成正比 當 時,; 當 ω 0 時,X L ; 當 ω 時,X L 0, 對電感也同樣可以引進相量的觀念, 將 v(t),i(t) 加 上虛數部份, 使他們成為相量 L,I L
j( w t+ ( p / 2)) w LI (8) L I L jw t I (9) 由 (8) (9) 式, 可以得到 w LI L jw t j(p / 2) w LI L j (p / 2) jw LI L (0) 圖 3 電感器的電流與電壓超前 90 o 相位 (0) 式可以看成電感具有電阻 jωl, 以 X L 表示之, 所以 L X L I L 圖 3 表示了電感器上 和 I 的關係 ( 五 ) 阻抗的合成 : 前面曾談到電阻 R, 容抗 X 和感抗 X L ( 後兩者合稱為電抗 ), 如果一個元件同時含有電阻和電抗, 則稱為它具有阻抗 (ipdanc), 以複數 Z 表示之, 它的絕對值以 Z 表示 由於或 I X 或 L I L X L 或 R I R R, 因此, 可以寫成一般式來表示 : I Z () 其中 Z 為電阻 R 與電抗 X X L 的線性組合 由於 () 式與歐姆定律相同, 以電阻的串連和並聯計算公式, 可以應用到阻抗的串聯 並聯上 同學可以自行練習計算兩個電容 ( 或電感 ) 串聯或並聯時 的等效阻抗值, 並與你以前學過的方法作比較 ( 六 ) 阻抗電橋 : 利用滑線電橋和幾個標準阻抗, 接成簡單的阻抗電 橋, 可以測量未知阻抗的數值 # 圖 4 中的 AB 是一條均勻的電阻線, 以信號產生器 供給交流電壓 在 A 間接上標準阻抗 Z, 在 B 間接上 待測阻抗 Z 在 D 之間接一耳機 圖 4 用滑線電橋測量未知阻抗的數值 # 阻抗電橋的工作頻率通常採用 khz 或 0kHz 或頻率可調者
慢慢移動滑動點 D, 如果耳機聽不到聲音就表示 D 間幾乎沒有電流流過 若要更準確, 可以利用 DMM 尋找 D 等於零的點 ( 實際上因為 DMM 本身的問題, 零點須作修正 ), 然後量出 AD 的長度 和 BD 的長度 由於這時 D 為零, 表示 和 D 的電位相等,D 間沒有電流流過, 因此可以假設有一電流 I 流經 A B; 另一電流流經 A D B 又因 和 D 的電位相等所以 A AD, B BD 而 A I Z, A I Z, 假設電組線每單位長度的電阻為 r, 則 AD r I 2, BD r I 2 故得到 和 I Z r I 2 I Z r I 2 兩式相除消去 I 和 I 2, 得到 Z Z (2) 若所測量者為電阻器, 則 Z R,Z R, 則 R R 若所測量者為電感器, Z jωl,z jωl 則 L L 若所測量者為電容器, Z / jω,z / jω 則 三 儀器與配件 : 示波器 波形產生器 滑線電橋 燈泡 標準電阻 標準電容 標準電感 未知電阻 未知電容 未知電感 振盪器 耳機 DMM 0.0μF 電容一個 20H 電感一個 四 步驟 : ( 一 ) 電抗元件上的電流和電壓的相位關係 :. 接好圖 5 的電路, 用示波器測量電容器的電壓 v (t) 與輸入電壓 v i (t) 的相位關係 再利用圖 6 測量 v R (t) 與 v i (t) 的
相位關係 驗證電流領先電壓 90 o 的關係 2. 將電容改為電感 (20H), 重複前一步驟, 驗證電流比電 壓落後 90 o 的關係 ( 二 ) 歐姆定律 :. 接好圖 7 的電路, 在頻率 3kHz 到 7kHz 的範圍內每隔 500Hz, 使用 DMM 測 R 與 L, 其振幅滿足 i R + + L 嗎? 那麼, i 2 R 2 +( - L ) 2 嗎? 為什麼 #2? ( 三 ) 阻抗電橋 :. 以滑線電橋, 振盪器, 標準電阻, 標準電容或標準電感, 接成阻抗電橋, 如圖 8 所示 2. 將振盪器的輸出頻率調到 3kHz 附近 ( 因為耳朵對這頻率 較敏感 ) 3. 將標準阻抗與待測阻抗分別放在 Z 與 Z 的位置, 依照 原理中的方法改變 D 點位置, 直到聽不見聲音 由公式 (3) 決定待測電阻, 電容 電感的值, 重複數次, 求其 平均值及標準差 4. 利用數位阻抗表測量待測電阻, 電容與電感的值 將此 結果與前一步驟的結果做比較 圖 5 #2 參看 RL 電路原理部份 圖 6 圖 7 圖 8
五 問題 : ( 一 ) 一般電容的金屬板上有電阻, 內部介電質也會消耗能量 #3, 可是為在理想的電容上串聯一個電阻, 因此實際的電容電橋如圖 9 所示 試證明 : 在 D 點等電位時, R (R /R 2 )R, (R 2 /R ) ( 二 ) 因為標準電感的製造困難, 故常改用馬克斯威爾 (Maw) 電橋代替電感電橋, 如圖 0 所示 試證 : 在 D 點等電位時,L R R 2,R R R 2 /R Q ωl /R ω R 稱為品質因子 ( 文獻 6) ( 三 ) 你能否想出其他測量阻抗的方法? 比較起來電橋有何優點? 六 參考文獻 :. 謝芳生譯 : 微電子學 (Microctronic), 東華書局, 上冊附錄 -,p.450-45 2. D. Haiday & R. Rnick:Fundanta of Phyic, tndd 3rd d., (John Wiy & Son, Inc, 988), 28-4~ 28-5, p.645~ p.649 3. 謝芳生譯 : 微電子學 : 附錄 -3,-4,p.463-465 4. D. Haiday & R. Rnick:Fundanta of Phyic, tndd tndd 3rd d., (John Wiy & Son, Inc, 988), 27-2, p.69~ p.620 5. D. Haiday & R. Rnick:Fundanta of Phyic, tndd tndd 3rd d., (John Wiy & Son, Inc, 988), 33-3,p.766~ p.767 6. J. B. Marion:aica dynaic of Partic and Syt, 2rd d.,( 歐亞書局台灣版,985), 4-4, p25 #3 我們常定義 " 消耗因子 (diipation factor) 為 R D º w w R 圖 9 問題 w R 圖 0 問題 2