http://www.paper.edu.cn 基于能量准则的 SDOF 阻尼减震 结构最大地震位移反应分析 叶列平, 伍文杰 清华大学土木工程系 (84) ylp@tsinghua.edu.cn 摘要 : 利用阻尼耗能是减小结构地震反应的有效方法 根据振动等能量准则, 由地震动力 能量方程推导了具有不同阻尼的单自由度 (SDOF) 弹性体系的地震最大位移反应与结构阻尼比的关系 与地震动力时程数值分析方法计算得到的结果对比表明 : 本文理论分析结果较好地反映 SDOF 结构的实际最大地震位移反应 对于在地震动特征周期处产生类共振时阻尼减震效果更为显著的现象, 从一般能量准则进行了分析说明 利用振动等能量准则方法可较为简便地确定阻尼减震结构体系的最大位移反应, 且可进行减震设计 关键词 : 结构抗震, 阻尼, 耗能, 地震位移反应. 引言 根据单自由度 (single degree of freedom, SDOF) 弹性和弹塑性体系最大地震位移反应分析结果的对比,Newmark 建议了在抗震结构设计中一直被广泛采用等位移准则和等能量准则 [] 有研究表明,Newmark 准则有较大误差, 有时还偏于不安全 [], 而且不能给出准则 [3] 合理的理论解释 文在考虑了一个振动周期时段内的地震输入能量和结构耗能关系后, 提出了振动等能量准则, 不仅较好地反映了 SDOF 弹塑性体系与对应弹性体系最大地震位移反应间的关系, 而且从理论上较合理的解释了结构抗震耗能原理, 并指出了 Newmark 准则只是振动等能量准则分别在短周期和中长周期情况下的近似 956 年 Housner 提出了用能量分析的观点进行抗震结构设计的思想 [4] 即地震输入能量等于结构产生的变形能和结构耗散能量之和 [5] 因此, 能否有效地耗散地震输入能量是结构抗震能力的主要性能指标 中外学者研究了多种耗能减震的方法, 本文讨论的粘滞阻尼耗能是其中一种较为有效实用的减震方法 由于振动周期等能量准则较好地揭示了弹塑性体系与对应弹性体系之间的能量关系, 因此该准则同样适用于耗能减震结构的分析, 从而可较好地确定耗能减震效果 本文通过对 SDOF 阻尼减震弹性结构体系最大地震位移反应的分析, 表明了该准则的适用性. 振动等能量准则 SDOF 体系在地震地面运动作用下的动力方程为 : 本课题得到教育部 结构工程与振动重点实验室基金 项目资助 - -
..... - - http://www.paper.edu.cn m+ c+ f( ) = my () 式中,m 为结构体系质量 ;c 为阻尼系数 ;f() 为体系恢复力, 对于弹性体系 f()=k,k 为体.. 系刚度 ; 为质点相对于地面的位移 ; y 为地震地面运动加速度 将式 () 两边乘以质点相 对位移增量并积分得 : 将上式改写成通常的能量表达形式, t.... t... { m+ c+ f( )} dt= my dt t () t t..... t... + + ( ) = t t mdt c dt f dt my dt (3) 因此, 从地震开始 (t =) 到某一时间 (t =t) 时段内有以下能量方程, E E + E = E k + (4) d s 上式左边三项依次分别为体系的动能 E k 阻尼耗散的能量 E d 和体系吸收与耗散的应变能 E s ; 上式的右边为地震动输入能量 E EQ 式 (3) 和式 (4) 的物理意义为, 地震动输入能量 E EQ 等于结 构体系的动能 E k 阻尼耗散能量 E d 和体系吸收与耗散应变能 E s 之和 振动等能量准则假定 : 具有同样初始周期的结构体系在最大地震位移反应的一个振动 周期内的能量相等, 且假定最大正负方向的位移相等 对于具有同样初始周期而阻尼不同的两个 SDOF 弹性结构体系, 它们在一个振动周期内有以下能量关系 : E + E + E = E + E + E (5) EQ k d s k d s 3. 阻尼耗能减震 SDOF 弹性体系的最大地震位移反应 具有刚度 k 的无阻尼 SDOF 弹性体系, 设其最大地震位移反应为, 则达到最大位移 时, 其动能 E k =, 阻尼耗散能量 E d =, 体系应变能 E s = k ; 而具有同样刚度 k 的有阻 尼 ( 阻尼比为 h )SDOF 弹性体系, 其最大地震位移反应为, 则经过一个振动周期再次达 到最大位移时, 其动能 E k =, 阻尼耗散能量 E d, 体系应变能 E s = k 进一步假定在最 大位移的振动周期内, 结构作简谐振动 t) = sinωt, 则阻尼耗能为, E ( t+ T t+ T = c dt = c cosωt] dt = cωπ t d t [ (6) 式中, ω = k / m 为结构振动圆频率 ;T=π/ω 为结构振动周期 则由 (5) 式可得, k = k + cωπ (7) 取 c= mω h, 代入上式并整理后得 : = (8) + 4π h 式 (8) 表示有阻尼结构相对于无阻尼结构的最大地震位移反应的折减关系 抗震设计规范一
http://www.paper.edu.cn 般给出了阻尼比 h =.5 的 SDOF 弹性体系的反应谱, 因此如以阻尼比为.5 的最大地震 反应值.5 为基准, 对于阻尼比为 h(>.5) 的阻尼减震 SDOF 弹性体系, 由式 (8) 可得其最 大地震位移反应 h 为, 4. 数值分析对比 h + 4.5π.68 = = (9) + 4π h. 566h.5 + 为验证上述基于振动等能量准则分析的结果, 采用动力时程反应分析方法对具有不同 阻尼的 SDOF 弹性体系进行了地震反应数值分析 自振周期 T 分别取.,.4,.6,, 3.s; 阻尼比 h 分别取.5.. 和.3 输入地震波分别取了 4 条自然地震波和按新 建筑抗震设计规范 [6] 设防烈度为 8 度近震 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 类场地反应谱为统计目标生成 的 4 条人工地震波 El Centro 波 (94,NS) 和 Kobe(995) 波作用下按时程反应分析方法得 到的最大地震位移反应谱曲线与按式 (9) 得到结果的对比见图 由图 可见, 数值分析结果与式 (9) 结果总体吻合较好, 仅在地震波某些特征周期处有 较大误差 这是因为阻尼比较小的结构在这些地方产生所谓的类共振现象 随着阻尼比的增大, 数值分析得到的 h/.5 明显小于式 (9) 结果 ( 见图 ), 即比式 (9) 有更大的减震效果, 且位移谱曲线也趋于光滑, 当阻尼比 h=.3 时, 位移反应峰值已基本平滑 关于特征周期处类共振现象的阻尼减震分析见下节 由于人工地震波是由平滑化处理过的目标反应谱曲线生成, 所以频谱分布比较均匀, 其位移反应谱曲线也较为平滑 故其数值分析结果与式 (9) 结果吻合更好 5. 类共振的阻尼减震分析 当结构周期与地震波特征周期接近时, 将产生类共振现象, 形成地震反应峰值 图 给出了各自然地震波对应位移反应峰值时 h /.5 与阻尼比 h 的关系 由图可见, 随阻尼比的增大, 其位移反应明显小于式 (9), 即阻尼对具有类共振现象结构的减震效果更为显著 在实际工程中, 一般都希望将结构周期与地震特征周期错开, 避免产生类共振而引起严重 - 3 -
的震害 由图 知, 式 (9) 基本为 h /.5 的上限, 对减震设计来说, 偏于安全 http://www.paper.edu.cn 类共振时的减震效果同样可从从能量方程得到解释 事实上, 振动等能量准则的假定隐含这样一个事实, 即在结构振动的一个循环内, 地震输入能量全部由阻尼耗能吸收, 且结构的最大位移在振动的第一个周期内即已达到 这显然与实际结构地震反应有很大差别 对于有阻尼结构产生类共振时的情况, 在结构振动的一个循环内, 地震输入能量将大于阻尼所吸收的能量, 由此引起位移反应将不断增大, 也即最大位移 前一个周期的位移反应峰值小于最大位移 为此, 假设最大位移在 n 个振动周期达到, 且最大位移前各振动周期 + 位移峰值的平均值为, 则累积阻尼耗能可近似取为 E d = cω π n 将 + E d = cω π n 如以.5 阻尼比的最大地震反应值.5 SDOF 体系, 式 (9) 可修改为, 代替式 (7) 中的 cω π, 并取参数 α = /, 则式 (8) 可修改为 = + π hn( + α) () 为基准, 对于阻尼比为 h(>.5) 的阻尼耗能减震 h +.5π n( + α) = ().5 + π hn( + α) 对于振动等能量准则 α=.,n=, 上式与式 (9) 一致 根据自然地震波产生类共振时最大位 移反应 h /.5 的数值计算结果, 可取式 () 中 n(+α) =, 其结果见图 6. 与规范公式的比较及结论 新 建筑抗震设计规范 [6] 列入了耗能减震方法, 其中反应谱考虑了阻尼减震作用而进行 了折减, 其折减公式是根据大量数值分析结果统计后建议的 对于最大地震影响系数 ( 相当于特 征周期 T g 有类共振情况 ), 阻尼比大于.5 时的折减系数 ( 对于弹性体系, 该折减系数等于本文 的 h /.5 ) 为, - 4 -
.5 h η = +.6 +.4 h 对于一般情况, 当周期 T=5T g 时, 阻尼比大于.5 时的折减系数为,.5 h.5 h.5+ 5h + http://www.paper.edu.cn () η =. (3).6 +.4h h/.5,η..6 式 (9) 规范公式, 式 (3) 式 (),n(+α) = 式 (),n(+α) = 规范公式, 式 ()...3.4 h [6] 图 3 本文结果与文的对比式 () 和式 (3) 与本文理论分析得到结果的对比见图 3 可见, 式 (9) 结果与式 (3) 基本吻合 ; 而式 () 与式 () 取 n(+α) = 基本一致, 为数值分析结果的上限, 是偏于安全的 数值分析结果和上述与新抗震规范建议折减系数的对比表明, 基于能量准则推导的阻尼耗能减震体系的最大位移反应计算方法具有足够的准确性 采用能量准则进行减震结构设计计算, 可使设计概念更为明确简便 参考文献 [] Veletsos A S, Newmark N M. Effect of inelastic behavior on the response of simple system to earthquake motion [A], Proceedings of Second World Conference on Earthquake Engineering[C], 96. 895-9. [] Otani S, Hysteresis models of reinforced concrete for earthquake response analysis[j], Journal, Faculty of Engineering, University of Tokyo, 98, 36(): 5-56. [3] YE Lieping, OTANI Shunsake, Maimum seismic displacement of inelastic system based on energy concept[j], Journal of earthquake engineering and structural dynamics,999.:483-499. [4] Housner G W, Limit design of structures to resist earthquake[j], Proceedings of st World Conf Earthquake Eng, Berkely, CA, 956. [5] 秋山宏. 建筑物の耐震极限设计 [M], 东京大学出版会,985 Akiyama H. Earthquake-Resistant Limit-State Design for Buildings [M], University of Tokyo Press, 985. (in Japanese) [6] GB5. 建筑抗震设计规范 ( 征求意见稿 )[S],998.GB5. Code for Seismic Design of Buildings [S], 998. (in chinese) - 5 -
http://www.paper.edu.cn Maimum seismic displacement of SDOF system with viscous damper based on equal cyclic energy criteria YE Lieping, WU Wenjie Civil Enginerring Department, Tsinhua University, Beijing 84, China Abstract The seismic response of structure can be effectively decreased with viscous damper energy dissipation. In design of this kind of energy dissipation structure, the maimum displacement response corresponding to the damper factor should be determined. Based on the energy equation of single-degree-of-freedom (SDF) elastic systems, the relation between the maimum displacement response and the damper factor was studied in this paper. With equal cyclic energy criteria obtained from energy equation based on some assumption, a simplified relation of the maimum displacement response and the damper factor was deduced and found comparable with the numerical results of history dynamic analysis. The more effective seismic response reducing of resonance at dominant period of the earthquake motion due to damper energy dissipation was also studied from the general energy equation. The analysis of this paper provides a theoretical method for the design of viscous damper energy dissipation seismic structure. Keywords: energy dissipation seismic structure,viscous damper,earthquake response,maimum displacement - 6 -