第 5 章统 计 Ⅰ 教学要求. 了解样本统计量的概念.. 掌握总体均值的区间估计, 会求总体百分比的置信区间. 3. 理解 小概率事件在一次试验中不可能发生 的实际推断原理. 4. 了解正态总体均值的 u 检验法,t 检验法 ; 了解两个正态总体的均值之差的 u 检验法,t 检验法. 5. 了解正态总体方差的 χ 检验法. Ⅱ 教材分析 教学建议和练习的答案 本章的主要内容之一是研究如何估计总体的参数? 关于估计总体参数 ( 均值 方差 ) 的值, 已经在本套教材第二册的第 章.7 节讲过, 称之为点估计. 本章是研究如何估计总体参数的取值范围, 称为区间估计. 点估计和区间估计统称为参数估计. 本章的主要内容之二是介绍假设检验, 包括正态总体均值的 u 检验法,t 检验法 ; 正态总体方差的 χ 检验法等. 为什么要研究参数估计? 在实际生活中我们经常要及时地了解各种信息, 例如中央电视台春节联欢晚会的收视率等. 由于总体参数的值往往是不会被知道的, 因此需要抽取简单随机样本, 用样本统计量去估计总体参数的值, 或者总体参数的取值范围. 在本套教材第二册的第 章.7 节, 我们讲了对于简单随机样本, 可以 33
用样本的百分比去估计总体的百分比, 用样本的均值去估计总体的均值, 用样本方差的修正值去估计总体的方差. 在本章中, 我们将利用样本的百分比, 给出总体百分比的 95% 置信区间 ; 利用样本的均值和总体方差 ( 或样本方差的修正值 ), 给出总体均值的 95 % 置信区间 ; 等等. 为什么要研究假设检验? 在实际生活中, 我们经常关心总体参数是否有可能等于我们感兴趣的特殊值, 例如工厂生产的一批产品的次品率是多少? 虽然我们可以抽取简单随机样本, 用样本的次品率估计整批产品的次品率 r. 由于用户关心的是次品率 r 不要超过某个数, 比如 %, 因此我们可以先假设 r = 0.0, 然后判别这个假设是否成立. 这种方法称为假设检验. 本章的重点是 : 总体百分比的置信区间, 总体均值的置信区间 ; 正态总体均值的 u 检验法,t 检验法 ; 正态总体方差的 χ 检验法. 本章的难点是 : 区间估计中置信水平的概念 ; 假设检验中显著水平的概念, 第一类错误和第二类错误的概念 ;t - 分布中自由度的概念,χ - 分布中自由度的概念. 学好本章的关键是 : 理解为什么要研究参数估计? 如何进行区间估计? 理解为什么要进行假设检验? 如何进行假设检验? 在检验正态总体的均值时, 要区分总体方差已知时采用 u 检验法, 总体方差未知时采用 t 检验法. 本章的公式较多, 要根据题目意思具体问题具体分析, 选择合适的公式. 本章教学时间约需 0 课时, 具体分配如下 ( 供参考 ): 5. 区间估计 3 课时 5. 假设检验 5 课时 5. 3 正态总体的 χ 检验法 课时 5. 区间估计. 在教材中的 动脑筋 栏目下的 4 段内容, 清晰地阐述了为 34
什么要进行参数估计? 如何用简单随机样本的统计量去估计总体 的百分比, 总体的均值, 总体的方差? 除了点估计外为什么还要进 行区间估计? 置信水平为 95% 的置信区间的含意是什么? 关于 最后一个问题, 它的含意是 : 对于一个总体, 多次抽取样本, 求出的 总体参数的置信区间中, 有 95 % 的区间包含了总体参数的真值, 5 % 的区间没有包含总体参数的真值. 抽取一个样本, 计算出的置 信区间, 它包含总体参数真值的可能性为 95%, 不包含总体参数 真值的可能性为 5 %.. 在教材中, 我们给出了利用简单随机样本的百分比 P 和样 本大小, 计算总体百分比的 95 % 置信区间的公式 : P -.96 P( - P),P +.96 P( - P). () 运用这个公式很容易计算总体百分比 ( 例如, 收视率, 次品率等 ) 的 95 % 置信区间. 参看教材中的例. 在教材中, 我们还给出了一个 快速计算总体百分比的 95 % 置信区间的近似公式 : 由于通常要求抽样误差 足 P -,P +. () 控制在 3 % 左右, 因此样本大小 应满 = 0.03, 解得 =. 从而通常要求样本大小为 00, 以 便保证抽样误差不超过 3%. 为了使教师知道公式 () 是怎么来的, 我们以一批产品的次品 率为例, 讲一讲公式 () 的推导过程. 某工厂生产了一大批产品, 从中随机抽取 件来检查, 发现 有 m 件次品. 试求这批产品的次品率 p 的 95 % 置信区间. 显然这个样本的大小为, 样本的次品率 P = m. 由于这批产 品的数量很多, 因此从中随机抽取 件来检查可以看成是每次试 35
验只有两个可能结果的 次独立重复试验. 用 ξ 表示抽取的 件 产品中的次品数, 则 ξ 取值 m 的概率为 P(ξ = m)= C m p m ( - p) - m, (3) 即 ξ 服从二项分布 B(,p). 我们用样本的次品率 P = m 作为总 体次品率 p 的估计值, 现在来求 p 的 95 % 置信区间. 在本套教材第二册的第 章. 5 节中, 我们指出 : 如果随机 变量 ξ 的概率分布是二项分布 B(,p), 则 E(ξ )= p,d(ξ )= p ( - p). (4) 可以证明当 时,ξ 服从正态分布 N(p,p( - p)). 由于取不同的样本得到的样本次品率是不同的, 因此样本次 品率也是随机变量, 记作 P *. 显然 P * = ξ. 根据本套教材第二册 的第 章. 5 节的性质, 得 从而 E(P * )= E( ξ )= E(ξ )= p = p. (5) D(P * )= E(P * )- E(P * ) = E ( ξ = E(ξ )- E(ξ ) )- E(ξ ) = E(ξ )- [E(ξ )] = D(ξ )= p( - p) p ( - p)=. (6) 设 ξ 的分布函数为 则 P * 的分布函数 G(x) 为 F(x) def P(ξ < x), (7) G(x)= P(P * < x)= P ξ < x = P(ξ < x)= F(x). (8) ξ 的概率密度函数 f (x )= F (x), 从而 P * g(x) 为 36 的概率密度函数
g(x)= G (x)= F (x) = f (x). (9) 由于当 时 ξ 服从正态分布, 从 g(x) 与 f (x) 的上述关系式 可以推导出, 当 时 P * 也渐近地服从正态分布. 从 (5) (6) 式知道,P * 的期望值为 p, 方差为 二册的第 章. 6 节知道,P * 取区间 p -.96 p( - p),p +.96 p ( - p). 于是根据本套教材第 p( - p) (0) 里的值的概率为 95 %. 因此样本的次品率 P 以 95% 的概率满足 下式 : p -.96 显然 () 式等价于 P -.96 p ( - p) P p +.96 p( - p) p P +.96 于是总体次品率 p 的 95 % 置信区间为 P -.96 p( - p),p +.96 p( - p). () p( - p). () p( - p). (3) (3) 式中根号下的 p 是总体次品率 ( 未知 ), 可以用多次抽样计算 出的样本次品率的平均值代替. 如果只作了一次抽样. 那么也可以 用这一个样本的次品率 P 代替 p, 从而得到总体次品率 p 的 95 % 置信区间近似为 P -.96 P( - P),P +.96 P( - P). (4) 注 : 当 时,ξ 服从正态分布 N(p,p ( - p)) 的证明可 以看费史著 概率论及数理统计 第 6 章 7. 3. 关于正态分布总体的均值的置信区间. 设一个总体服从正态分布 N (μ,σ ). 取一个简单随机样本, 样本大小为, 个观测值为 x,x,,x, 样本的均值为粎 x. 37
情形 总体的方差 σ 已知. 此时总体均值 μ 的 95 % 置信区间为粎 x -.96 σ, 粎 x +.96 σ. (5) 情形 总体的方差 σ 未知. 此时先计算样本方差的修正值 s * : s * = - [(x - 粎 x) + (x - 粎 x) + + (x - 粎 x) ],(6) 则总体均值 μ 的 95 % 置信区间为 粎 x - t * s*, 粎 x + t * s*, (7) 其中 t * 的自由度为 -,t * 可以从 t - 分布的表中, 查自由度为 - 所在的行与 α = 0.05 所在的列交叉位置的数而得到. 区间. 让学生会用公式 (5) 或 (7), 求正态分布总体均值的置信 为了让教师知道公式 (5) 和 (7) 的由来, 并且知道什么是 t - 分布, 我们现在来讲公式 (5) 和 (7) 的推导过程. 设一个总体 ξ 服从正态分布 N (μ,σ ), 取一个简单随机样 本, 它由 个观测值 ξ,ξ,,ξ 组成, 它们是相互独立的, 且与 ξ 具有相同的概率分布, 因此每个 ξ i 也都服从正态分布 N (μ, σ ). 样本的均值为 粖 X = (ξ + ξ + + ξ ). (8) 我们用粖 X 的一次观测值粎 x 去估计总体均值 μ, 下面求 μ 的 95 % 置 信区间. 情形 总体的方差 σ 已知. 由于对于有限多个相互独立的随机变量 ξ,ξ,,ξ, 有 D(ξ + ξ + + ξ )= D(ξ )+ D(ξ )+ + D(ξ ), 38 (9)
D ξ = D(ξ ), (0) 因此 D( 粖 X)= D (ξ + ξ + + ξ ) = (σ + σ + + σ )= σ. () 我们知道, 如果 ξ,ξ,,ξ 均服从正态分布, 则 ξ + ξ + + ξ 也服从正态分布, (ξ + ξ + + ξ ) 也服从正态分布, 因此粖 X 服从正态分布, 且 E( 粖 X)= E (ξ )= μ,d( 粖 X)= σ. 于是粖 X 取区间 μ -.96 σ,μ +.96 σ () 里的值的概率为 95 %. 从而粖 X 的一次观测值粎 x 以 95% 的概率满 足下式 : (3) 式等价于 μ -.96 σ 粎 x μ +.96 σ. (3) 粎 x -.96 σ μ 粎 x +.96 σ, (4) 因此总体均值 μ 的 95 % 置信区间为 粎 x -.96 σ, 粎 x +.96 σ. (5) 情形 总体的方差 σ 未知. 此时引进一个样本统计量 t: t = 其中 S * 是样本方差的修正值, 即 S * = 粖 X - μ *, (6) S - [(ξ - 粖 X) + (ξ - 粖 X) + + (ξ - 粖 X) ]. (7) 39
随机变量 t 服从的分布称为具有自由度 - 的学生氏 t - 分布, 其中 为样本中观测值的个数. 已经列出了学生氏 t - 分布 的表, 它给出了满足 P(- t * t t * )= - α (8) 的数值 t *. 当 α = 0.05 时,(8) 式成为 P(- t * t t * )= 0.95, (9) 即, 使得 t 取区间 [- t *,t * ] 里的值的概率为 95 %. 利用 (6) 式 可得, 对于具体的一个简单随机样本计算出的粎 x,s *,t, 有 因此 μ 取区间 - t * t t * - t * 粎 x - μ * t* s 粎 x - t * s* μ 粎 x + t * s*. (30) 粎 x - t * s*, 粎 x + t * s* (3) 里的值的概率为 95%. 即 (3) 式表示的区间是总体均值 μ 的 95 % 置信区间, 其中 t * 满足 P(- t * t t * )= 0. 95,t * 的值可 从 t - 分布表中查到, 它的自由度为 -,α = 0.05. 4. 两个总体的百分比之差的 95% 置信区间为 其中 P,P [(P - P )-.96Δ,(P - P )+.96Δ], (3) 分别是从这两个总体中抽取的一个简单随机样本的 百分比,, 是这两个样本的大小, Δ = P ( - P ) + P ( - P ). (33) 公式 (3) 的推导过程类似于一个总体的百分比的 95% 置信区间 的推导, 只要注意对两个相互独立的随机变量 ξ,ξ, 有 40 D(ξ + ξ )= D(ξ )+ D(ξ ), D(cξ )= c D(ξ ).
从而有 D(- ξ )= (- ) D(ξ )= D(ξ ), D(ξ - ξ ) = D[ξ + (- ξ )]= D(ξ )+ D(- ξ ) = D(ξ )+ D(ξ ). 教材的例 3 中, 求出的两个总体的百分比之差的 95 % 置信区 间为 [- 0.5 %,.5 %], 由于这个置信区间包含了小于或等于 0 的数, 因此美国男士中投了肯尼迪的票的百分比不一定比妇女中 投了肯尼迪的票的百分比高. 5. 设两个正态总体的方差相等, 但未知 ; 均值分别为 μ,μ. 从这两个总体中分别抽取一个简单随机样本, 样本大小分别为,, 样本均值分别为 x,x, 样本方差的修正值分别为 s *, s *. 则这两个总体的均值之差 μ - μ 的 95 % 置信区间为 (x - x )- t * s * +,(x - x )+ t * s * +,(34) 其中 s * t * 是 s * 与 s * s * = 的加权平均值的算术平方根, 即 ( - )s * + ( - )s *, (35) + - 的自由度为 + -,t * 的值可以从 t - 分布表中查得. 教材中例 4 的 95% 置信区间为 [0.,0.58], 它的最小值 大于 0, 因此有 95% 的概率认为该物在化学处理后降低了平均含 脂率. 练习的答案 A 组. () 样本大小 = 50, 样本的百分比 P 为 P = 8 50 56.0 %. 4
Δ =.96 P( - P) =.96 P - Δ 0.560-0.043 = 0.57, P + Δ 0.560 + 0.043 = 0.603. 0.560 ( - 0.560) 0.043, 50 因此总体中习惯早起的人所占百分比的 95 % 置信区间为 [5.7%,60.3 %]. 它的最小值大于 50 %, 因此有 95 % 的概率认为 习惯早起的人超过了一半. () 样本大小 = 8, 样本的百分比 P = 53%. P - = 0.53-8 P + = 0.53 + 8 0.53-0.060 0.47, 0.53 + 0.060 0.59. 因此所有习惯早起的人中认为早起者精力充沛的人所占百分比的 95 % 置信区间近似为 [47%,59 %]. 此区间包含了小于 50% 的数, 因此所有习惯早起的人中认为早起者精力充沛的人不一定超过一 半. (3) 样本大小 = 8, 样本的百分比 P = 45%. P - = 0.45-8 P + = 0.45 + 8 0.45-0.060 0.39, 0.45 + 0.060 0.5. 因此所有习惯早起的人中认为早起者锻炼的比别人多的人所占百 分比的 95% 置信区间近似为 [0.39,0.5]. 此区间包含大于 50 % 的数, 因此所有习惯早起的人中认为早起者锻炼的比别人多的人 不一定不到一半.. () 样本大小 =, 样本的均值粎 x =.3, 样本的标准差 的修正值 s * = 0.8. t * 的自由度为 - = - =, 查 t - 分布表得, 4 t * =.080.
于是 t * s* =.080 0.8 0.4, 粎 x - t * s*.3-0.4 =.9, 粎 x + t * s*.3 + 0.4 =.7. 因此女体操运动员总体平均年龄的 95 % 置信区间为 [.9,.7]. () 女体操运动员总体平均年龄属于区间 [.9,.7] 的可 能性为 95%. 3. () 样本大小 =, 样本的百分比 P = 39 %. P - = 0.39-0.39-0.067 = 0.33, P + = 0.39 + 0.39 + 0.067 = 0.457. 因此所有习惯晚睡的人中认为早起者精力充沛的人所占百分比的 95 % 置信区间近似为 于是 Δ = [3.3 %,45.7%]. () = 8, =,P = 53%,P = 39 %. 0.53 ( - 0.53) + 8 0.39 ( - 0.39) 0.044 3,.96Δ.96 0.044 3 0.086 8. (P - P )-.96Δ 0.53-0.39-0.086 8 0.053, (P - P )+.96Δ 0.53-0.39 + 0.086 8 0.7. 因此所有早起者与晚睡者中认为早起者精力充沛的人所占百分比 之差的 95% 置信区间为 [5.3%,.7% ]. 43
由于此区间的最小值大于 0, 因此有 95 % 的概率认为早起者与晚 睡者对于早起者精力充沛的观点持不同的看法. s * 4. =, =,x = 3.6,x = 30. 0,s * = 8. 7, = 9.8. 于是 s * = = ( - )s * + ( - )s * + - s * s * + = s * + s *, = s * = + s * s* + s* = + s * s * 于是 = 8.7 + 9.8 0.85. t * 的自由度为 + - = 4, 查 t - 分布表得 t * =.960. Δ = t * s * +.960 0.85 0.56. (x - x )- Δ (3.6-30.0)- 0.56 =.04, (x - x )+ Δ (3.6-30.0)+ 0.56 =.6. 因此男性 女性总体的均值之差的 95 % 置信区间为 [.04,.6]. 由于此区间的最小值大于 0, 因此有 95 % 概率认为男性比女性对 婚姻的状况较满意. 65; 从. () 由于抽样误差等于 44 B 组, 因此从 = 4% 得出 = = 3% 得出 =. 这表明 : 其中一个民意调查抽取
了 人, 而其他的民意调查抽取了 65 人. ()4 个民意调查得到的总体百分比的 95 % 置信区间依次为 [38%,46 %],[35 %,43 %],[38%,44 %],[36%,44 %]. 图 5 - (3) 假设上述 4 个区间都包含总体百分比的真值, 那么总体 百分比的可能取值范围是 [38 %,43%]. (4) 第 () 小题中已计算出, 第三个民意测验中大约有 人被访, 其他三个民意测验大约有 65 人被访. P = (5) 样本大小 = 65 3 + = 986, 样本的百分比 P 为 65 4% + 65 39 % + 4 % + 65 40% 986 40.6 %. P - 0.406-0.406-0.08 = 0.388, 986 P + 0.406 + 0.08 = 0.44. 因此总体百分比的 95% 置信区间近似为 [38.8%,4.4 %]. (6) 第 (5) 小题中的区间 [38.8 %,4.4 %] 与第 (3) 小题中的区间 [38%,43%] 比较, 它们的中点分别是 40. 6%,40. 5%, 很接近 ; 第 (5) 小题中的区间长度较小, 这表明误差较小. 45
. 样本大小 = 50, 样本的均值粎 x = - 6.8, 标准差的修正 值 s * = 0.58. t * 的自由度为 - = 49, 查 t - 分布表得, 自由度为 40,α = 0.05 时,t =.0; 自由度为 60,α = 0.05 时,t =.000. 在区间 [40,60] 里,t 与自由度的依赖关系近似地为一次函数关系, 其斜 率 k 为 k = 从而自由度为 49 时, 于是.000 -.0 60-40 = - 0.00 05. t * =.0 + (- 0.00 05) (49-40).0. Δ = t * s*.0 0.58 50 3.0, 粎 x - Δ - 6.8-3.0 = - 9.9, 粎 x + Δ - 6.8 + 3.0 = - 3.7. 因此总体均值的 95 % 置信区间为 [- 9.9,- 3.7]. 由于此区间的最大值小于 0, 因此有 95 % 的概率认为用这种中药 治疗高血压有效果. s * t * 3. () =, = 6,x = 37. 9,x = 30. 5,s * = 30. 8, = 7.5. 于是 t * s * = 30.8 + 5 7.5 + 6-7.35. 的自由度为 + - = 6, 查 t - 分布表得, =.0. 于是 Δ = t * s * +.0 7.35 46 + 6 8.99 9.0, (x - x )- Δ (37.9-30.5)- 9.0 = -.6, (x - x )+ Δ (37.9-30.5)+ 9.0 = 36.4.
因此这两个总体的均值之差的 95% 置信区间为 [-.6,36.4]. () 这两个总体的均值之差的 95% 置信区间为 [-.6,36.4], 它既包含正数, 也包含负数, 因此这两个总体的均值可能没有差别. 5. 假设检验. 本节的第一部分是讲什么是假设检验? 为什么要进行假设检验? 以产品的次品率为例, 讲了如何检验零假设 H 0. 介绍了显著水平, 第一类错误的概念 ; 讲了备选假设, 以及第二类错误 ; 讲了工厂生产的一批产品是否可允许出厂的判定方法. 这些内容在教材中已讲得很清楚. 否定零假设 H0 的依据是 小概率事件在一次试验中不可能发生 的实际推断原理. 但是要注意小概率事件仍然是可能发生的, 因此我们不能证实零假设 H 0 不成立, 而只是作出一个决定 : 拒绝零假设 H 0. 这样的决定有可能犯错误, 即零假设 H 0 正确, 我们却拒绝了它, 这类错误称为第一类错误. 我们作出拒绝零假设 H 0 的根据是 : 在 H 0 成立的条件下, 出现观察到的事件的概率小于或等于一个临界概率 α ( 称 α 为显著水平 ), 而 小概率事件在一次试验中实际上不可能发生, 现在居然发生了这样的事件, 因此拒绝零假设 H0. 但是小概率事件也是有可能发生的, 因此犯第一类错误的概率等于这个临界概率 α. 在零假设 H 0 成立条件下, 出现观察到的事件的概率大于临界概率 α 时, 我们不能作出接受零假设 H 0 的决定. 而应当考虑备选假设 H. 如果我们能拒绝备选假设 H, 我们才能作出接受零假设 H 0 的决定. 这样做也有可能犯错误, 即 H 0 事实上是错误的 ( 也就是 H 事实上是正确的 ), 我们却作出接受 H 0 的决定, 这类错误称为第二类错误. 47
在教材中, 我们以工厂生产的一批产品是否可允许出厂的问题为例, 讲了具体做法. 首先厂方和用户方要商定 : 当整批产品次品率 r 0.0 时, 就不允许这批产品出厂 ; 并且商定一个临界概率 β = 0.0. 然后作假设 H :r = 0.0, 从这批产品中随机抽取 件, 发现有 c 件次品 : 去计算次品数 ξ c 的概率 P (ξ c), 如果 P(ξ c) β, 那么作出拒绝假设 H 的决定. 由于 r 增大时,P(ξ c) 反而减小, 因此我们还可以拒绝假设 H :r = b, 其中 b >0.0. 从而我们有 90% 的把握认为这批产品的次品率 r 不会大于或等于 0.0, 因此作出接收这批产品的决定 ( 即允许这批产品出厂 ). 此时犯第二类错误的概率为 0 %. 上面讲的产品次品率的假设检验方法适用于总体百分比的假设检验.. 本节的第二部分讲正态总体的均值 μ 的假设检验. 零假设 H 0 :μ = μ 0, 其中 μ 0 是我们感兴趣的一个特殊值. 从总体中取一个简单随机样本, 样本大小为, 计算样本的均值粎 x, 相应的随机变量用 X 表示, 即粎 x 是 X 的一次观测值. 情形 总体的方差 σ 已知. 此时据本书 5. 节第 3 点的情形 得, 简单随机样本的均值 X 服从正态分布 N μ, σ. 假定零假设 H 0 :μ = μ 0 成立. 令 U = X - μ0 σ 则易证 U 服从正态分布 N(0,). 于是 U 取区间 [-.96,.96] 里的值的概率为 95 %. 从而 由于, P( U >.96)= - 0.95 = 0.05. U >.96 48
粖 X - μ 0 σ >.96 粖 X - μ 0 >.96 σ, 因此 P 粖 X - μ 0 >.96 σ = 0.05. 从而当粖 X 的一次观测值粎 x 满足 粎 x - μ 0 >.96 σ 时, 我们作出拒绝零假设 H0 兴趣的特殊值 μ 0 的 u 检验法. 的决定. 即认为总体均值 μ 与我们感 有显著差异. 这种方法称为检验正态总体均值 情形 总体的方差 σ 未知. 此时先计算样本方差的修正值 s *, 相应的随机变量用 S * 表示, 即 s * 是 S * 的一次观测值. 假定零假设 H0 :μ = μ 0 t = 成立. 令 粖 X - μ 0 S *. 在本书 5. 节第 3 点的情形 中已指出, 上式中的随机变量 t 服 从自由度为 - 的 t - 分布. 当 α = 0.05 时, 从 t - 分布表中查 出 t 0, 它使得 由于 P( t t 0 )= α = 0.05. t t 0 粖 X - μ 0 S * t0 49
因此 粖 X - μ 0 S * t0, P 粖 X - μ 0 S * t0 = 0.05, 从而当粖 X 的一次观察值粎 x 和 S * 的一次观察值 s * 满足 粎 x - μ 0 t 0 s * 时, 我们作出拒绝零假设 H0 的决定, 即认为总体均值 μ 与 μ 0 有 显著差异. 这种方法称为检验正态总体均值的 t 检验法. 教材中的例 3 例 4 分别用 u 检验法 t 检验法去检验正态总 体的均值. 方法. 3. 本节的第三部分讲检验两个正态总体的均值是否不同的 设两个正态总体的均值分别为 μ,μ, 它们的方差相等. 检验 零假设 H 0 :μ - μ = 0. 从这两个总体中分别抽取一个简单随机样本, 样本的大小分 别为, ; 样本的均值分别为 x,x ; 样本方差的修正值分别为 s *,s *. 相应的随机变量用大写字母表示. 令 S * = ( - )S* + ( - )S * + - 假定零假设 H 0 :μ - μ = 0 成立, 令. t = X - X S * +, 则可以证明 t 服从自由度为 + - 的 t - 分布. 设显著水平 α = 0.05, 从 t - 分布表中可查得 t 0, 它使得 P( t t 0 )= 0.05. 50
因此当 x,x,s * 满足 x - x t 0 s * +, 时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 即认为这两个总体的均值有 显著差异. 这种方法称为检验两个正态总体的均值之差的 t 检 验法. 如果这两个正态总体的方差 σ 中, 把 s * 用 σ 代替, 把 t0 用.96 代替, 即当 x - x.96σ 已知, 那么在上述 t 检验法 + 时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 这种方法称为检验两个正态 总体的均值之差的 u 检验法. 4. 本节的第四部分是讲总体比例的检验. 在本节第 点的最后一段, 我们指出 : 上面讲的产品次品率的 假设检验方法也适用于总体百分比的假设检验. 从例 和例 看 到, 计算 P(ξ 4) 或 P(ξ ) 时, 需要用二项分布的概率公式, 计 算量较大. 当样本容量 较大时, 我们可以采用另外一种检验 方法. 检验一个总体的比例 ( 例如一批产品的次品率 )r 是否等于一 个特殊值 r 0, 即检验零假设 H 0 :r = r 0. 从总体中抽取一个简单随机样本, 样本大小为, 样本的比例 为 P, 相应的随机变量记作 P *. 在本书 5. 节的第 点已证明 : r( - r) 当 时,P * 服从正态分布 N(r, ). 假定零假设 H0 :r = r0 成立. 令 z = P * - r 0 r 0 ( - r 0 ) 则当 时,z 服从正态分布 N(0,). 于是, 5
由于 P( z >.96)= - 0.95 = 0.05. z >.96 P * - r 0 >.96 因此当 P * 的一次观测值 P 满足 P - r 0 >.96 r0 ( - r0 ), r 0 ( - r 0 ) 时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 这种方法称为检验总体比例 的 z 检验法. 教材中的例 6 和例 检验的是同一个零假设 H0 :r = 0.0. 显然例 6 使用的 z 检验法比较简单. 但是要注意 : 只有当样本大 小 比较大时才能用 z 检验法. 5. 本节的第五部分讲两个总体的比例之差的 z 检验法. 设两个总体的比例分别为 r, r, 要检验零假设 H 0 :r - r = 0. 从这两个总体中分别抽取一个简单随机样本, 样本大小分别 为,, 样本的比例分别为 P,P, 相应的随机变量记作 P *, P *. z = 假定零假设 H0 成立. 令 (P * - P * )- (r - r ) = P * ( - P * ) + P* ( - P * ) P * - P * P * ( - P * ) + P* ( - P * ) 则当 且 时,z 服从正态分布 N(0,). 从而 因此当 P,P P( z >.96)= - 0.95 = 0.05. 满足, 5 P - P >.96 P ( - P ) + P ( - P )
时, 我们作出拒绝零假设 H 0 的决定. 这种方法称为检验两个总体 的比例之差的 z 检验法. 检验总体比例的 z 检验法和检验两个总体的比例之差的 z 检 验法, 都只适用于样本大小 ( 或, ) 较大的情形. 如果样本大 小 ( 或, ) 较小, 则应先求出 z 的值 z 0, 然后去查 z 值的尾 概率表, 得出 z z 0 的概率 δ. 如果 δ < 0. 05, 则拒绝零假设 H 0 :r - r = 0. 关于 z 值的尾概率表, 在教材中未给出, 可以参看 Gudmud R. Iverse,Mary Gerge 著, 吴喜之等译 统计学 基 本概念和方法 的第 4 页. 练习的答案 A 组. 要检验假设 H 0 :r = 0. 0, 显著水平 α = 0. 05. 已知 = 0, 次品数为 3. 假设 H 0 成立, 则 p = 0.0,q = - p = 0.98. 于是 P(ξ = 0)= C 0 0 0.98 0 0.667 6, P(ξ = )= C 0 0.0 0.98 9 0.7 5, P(ξ = )= C 0 0.0 0.98 8 0.05 8, 从而 P(ξ ) 0.99 9. 于是 P(ξ 3)= - P(ξ ) - 0.99 9 0.007 < 0.05, 因此拒绝假设 H 0 :r = 0. 0. 由于 r 减小时,P(ξ 3) 随之减小, 因此还可以拒绝假设 H :r = r, 其中 r < 0. 0. 从而我们有 95 % 的把握认为产品的次品率已超过 %, 从而不允许这批产品 出厂.. 假定假设 H :r = 0.0 成立, 则 p = 0. 0,q = 0.90. 已知 53
= 70, 次品数为 3, 由于 从而 P(ξ = 0)= C 0 7 0 0.90 7 0 0.000 6, P(ξ = )= C 7 0 0.0 0.90 6 9 0.004 9, P(ξ = )= C 7 0 0.0 0.90 6 8 0.08 7, P(ξ = 3)= C 3 7 0 0.0 3 0.90 6 7 0.047 0. P(ξ 3) 0.07 < 0.0, 因此拒绝假设 H :r = 0. 0. 于是可以作出允许这批产品出厂的 决定. 由于 3. = 6, 粎 x = 7.,σ =.8. 检验零假设 H 0 :μ = 8.0, 显著水平为 α = 0.05. 由于总体方差 σ.96 σ 已知, 因此用 u 检验法. =.96.8 6 0.67. 粎 x - 8.0 = 7. - 8.0 = 0.8 > 0.67, 因此拒绝零假设 H0 :μ = 8.0. 于是 由于 4. =, 粎 x = 3.9,s * =.46. 检验零假设 H 0 :μ = 5.0, 显著水平为 α = 0.05. 由于总体方差 σ 未知, 因此用 t 检验法. 查 t - 分布表, 自由度为 - =,α = 0.05, 得 t0 s * t 0 =.0, =.0.46 0.98. 粎 x - 5.0 = 3.9-5.0 =. > 0.98, 因此拒绝零假设 H 0 :μ = 5.0. 54
5. = 50,P = 7 50. 检验零假设 H 0 :r = 0.5, 显著水平为 α = 0.05. 用总体比例的 z 检验法. 由于.96 P - r 0 = r0 ( - r0 ) =.96 0.5 ( - 0.5) 0.06. 50 7-0.5 = 0.468-0.5 = 0.03 < 0.06, 50 因此不能拒绝零假设 H0 :r = 0.5. 6. = 33, = 959, P = P = 33-343 0.44, 33 959-44 0.540. 959 检验零假设 H 0 :r - r = 0, 显著水平 α = 0.05..96 P ( - P ) + P ( - P ) =.96 0.44 ( - 0.44) + 33 0.540 ( - 0.540) 0.037 4. 959 P - P 0.44-0.540 = 0.6 >0.037 4. 因此拒绝假设 H0 :r - r = 0. 即有 95 % 的把握认为男生毕业率 与女生毕业率有显著差异. B 组. 检验假设 H 0 :r = 0.05, 显著水平 α = 0.05. 随机抽取 6 件产品, 次品数为. 产品总数为 80. 假设 H 0 成立, 则 80 件产品中的次品数为 0.05 80 = 4. P(ξ = 0)= C6 7 6 C 6 8 0 0.77 5, 55
从而 P(ξ = )= C 4 C 5 7 6 C 6 8 0 0.45 9. P(ξ )= - P(ξ ) - 0.77 5-0.45 9 0.06 6 < 0.05. 因此拒绝假设 H 0 :r = 0. 05. 由于 r 减小时,P(ξ ) 随之减小, 因此还可以拒绝假设 H :r = r, 其中 r < 0. 05. 从而我们有 95 % 的把握认为产品次品率 r 已超过 0.05, 因此不允许这批产品 出厂.. 某种化学纤维强力服从正态分布, 工艺改变后生产的纤维 的强力均值为 μ, 检验零假设 H 0 :μ = 6. 设显著水平 α = 0.05. 已知 σ =.9, = 00, 粎 x = 6.35. 由于正态总体的方差 σ 知, 因此用检验正态总体均值的 u 检验法. 由于.96 σ =.96.9 00 0.33, 粎 x - 6 = 6.35-6 = 0.35 > 0.33, 因此拒绝假设 H0. 即有 95% 的把握认为工艺改变后生产的纤维 的强力均值与原设计的平均强力标准值有显著差异. 3. 检验零假设 H 0 :μ - μ = 0, 设显著水平 α = 0.05. 由于正态总体的方差 σ 值之差的 u 检验法. 已 已知, 因此用检验两个正态总体的均 = 50, = 0,x = 4.553,x = 4.56,σ =.07. 由于.96σ + =.96.07 50 + 0 0.76, x - x = 4.553-4.56 = 0.037 < 0.76, 因此不能拒绝假设 H 0 :μ - μ = 0. 即不能认为现在生产的铁水 的含碳量比过去的有明显变化. 4. 检验假设 H 0 :r = 0.0, 显著水平为 α = 0.05. 56
= 0,P = 3 0 = 0.5..96 r0 ( - r0 ) =.96 0.0 ( - 0.0) 0.06 36, 0 P - r 0 = 0.5-0.0 = 0.3 >0.06 36, 因此拒绝假设 H 0. 设 f (x)= x ( - x),0 x. 则当 0 < x < 时, 有 f (x)= - x x( - x). 显然, 当 0 < x <0.5 时,f (x)>0. 从而 f (x) 在 (0,0.5) 是增函 数. 因此当 r0 减小时,.96 以拒绝假设 H :r = r, 其中 r r0 ( - r0 ) 随之减小. 于是我们还可 <0. 0. 从而我们有 95 % 的把握 认为这批产品的次品率 r 已超过 %. 因此不允许这批产品出厂..96 5. 检验零假设 H 0 :r = 0.64, 显著水平为 α = 0.05. = 5,P = 9 5 = 0.76. r0 ( - r0 ) =.96 0.64 ( - 0.64) 0.88. 5 P - r 0 = 0.76-0.64 = 0. < 0.88. 因此不能拒绝零假设 H 0. 即不能说高校男生中喝酒的人所占的 百分比高于全体成年男子中喝酒者的百分比. 5. 3 正态总体的 χ 检验法. 本节的第一部分是讲正态总体的方差的检验方法. 设某个正态总体的均值 μ 和方差 σ H0 :σ = σ 0, 显著水平为 α = 0.05. 均未知, 要检验零假设 从这个正态总体中取一个简单随机样本. 它有 个观测值 x,x,,x, 样本均值为粎 x. 57
假定零假设 H 0 成立. 令 χ = σ 0 i = (x i - 粎 x), 可以证明 χ 服从自由度为 - 的 χ - 分布. 查 χ - 分布表可得 χ α, 它使得 由于 因此当 i = P(χ χ α )= α = 0.05. i = χ χ α (x i - 粎 x) χ α σ 0, (xi - 粎 x) χ α σ 0 时, 就有 P(χ χ α )= 0.05. 从而拒绝 零假设 H0. 这种方法称为正态总体的方差的 χ 检验法. 如果 σ <σ 0, 则当 i = i = 从而还可拒绝假设 H 0 :σ = σ (x i - 粎 x) χ α σ 0 时, 也会有 (x i - 粎 x) > χ α σ,. 因此当 i = (x i - 粎 x) χ ασ 0 时, 可拒绝假设 H0 :σ σ 0. 教材中的例 给出了这方面的一个例子.. 本节的第二部分讲总体服从正态分布的检验. 这不用给学 生讲, 供有兴趣的读者自己看. 练习的答案 A 组. 检验零假设 H 0 :σ =.9, 显著水平为 α = 0.05. 3 0 = 30, i = (x i - 粎 x) = 68.40. 查 χ - 分布表, 自由度为 58
- = 9,α = 0.05, 得 从而 由于 χ α = 4.557, χ ασ 0 = 4.557.9 60.6. 3 0 i = 因此拒绝零假设 H 0. 从而 于是 由于 (x i - 粎 x) = 68.40 > 60.6,. 检验零假设 H0 :σ = 0.7, 显著水平为 α = 0.05. 在 5. 节的例 4 中已算出 查 χ S * = 0 (x 0 - i - 粎 x) 0.08, 0 i = i = (x i - 粎 x) 0.53 0. - 分布表, 自由度为 0 - = 9,α = 0.05, 得 χ α = 6.99, χ α σ 0 = 6.99 0.7 0.489 0. 0 i = (x i - 粎 x) 0.53 0 < 0.489 0, 因此不能拒绝零假设 H 0 :σ = 0.7. 从而 检验零假设 H 0 :σ = 0.05, 显著水平为 α = 0.05. 在 5. 节的例 4 中已算出 S * = (x - i - 粎 x) 0.006 34, i = 59
由于 (x i - 粎 x) 0.063 4. i = 查 χ - 分布表, 自由度为 0,α = 0.05, 得 χ α = 8.307. 从而 χ ασ 0 8.307 0.05 0.045 8. i = 因此拒绝零假设 H 0 :σ = 0.05. (xi - 粎 x) 0.063 4 > 0.045 8, B 组 检验零假设 H 0 : 铁水含碳量 X 服从正态分布. 查 χ 9 i = ( i - 0π i ) 0π i 9.884. - 分布表, 自由度为 9 - - = 6,α = 0.05, 得 χ α =.59. 由于 9.884 <.59, 因此不能拒绝零假设 H 0, 即不能否定铁水 含碳量 X 服从正态分布. 60