邏輯是研究人類思維法則 合理陳述的科學 ; 它是全人類自古至今共通的科學語言, 只要是與陳述表達, 推理思考有關係的一切論證, 不論是用那一種語言 文字來敘述, 其語句的結構或事件的描述都有確切的架構與運作模式, 以用來分辨事件陳述的合理性, 明確引導推論的過程, 以達到嚴謹地判斷事件陳述的真偽
第 1 章 邏輯概要 邏輯的基本精神, 在於追求思維推 理的一致性 合理性 明確性和論證過 程的嚴謹性 無論事件陳述問題是多麼 複雜, 邏輯學就是以簡單清楚 理性 明確為出發, 運用可操作的程序 模式 方法以及法則, 逐一逐次釐清真假對錯, 找出解決問題的合理方法
第一節 邏輯是什麼 邏輯是研究純粹理念的科學, 透過思維法則的分析, 讓思考過程更加嚴謹與合理化, 使得推理後的結論更具有說服力 我們可以說邏輯是提供一種正確的思考方法, 精細推導法則的思維模式
中文中的 邏輯 在理解過程也產生多種含義, 其中較廣為運用的有 : (1) 理念 觀點 ; (2) 客觀性 ; (3) 思維原則 ; (4) 推演的合理法則
第二節命題命題 (proposition) 是一種陳述句 (statement), 它所敘述的不是肯定, 就是否定 ; 不是真實的, 就是虛假的 換句話說, 命題就是可以判斷出是非真偽的語句
壹 直言命題若一命題只是單一語句, 而不是由二個或以上之語句組合而成, 則稱其為直言命題 其構造形式為 : 量詞 + 主詞 + 動詞 + 述詞
例 : 所有諾貝爾得主都是傑出的科學家例 : 沒有人誠實例 : 邏輯學這門課有些地方有趣例 : 邏輯學這門課有些地方不怎麼有趣
例題 1.1 命題 所有 S 是 P 與命題 所有 P 是 S 兩者不同, 例如 所有哲學系的學生都學邏輯 顯然不同於 所有學邏輯的學生都是哲學系的學生 但 等邊三角形是等角三角形 與 等角三角形是等邊三角形 兩命題為同義 一般而言, 我們可區分 之關係如下 : S P 所有 S 是 P, 且所有 P 是 S P S 所有 P 是 S, 且有些 S 不是 P S P 有些 S 不是 P, 有些 P 不是 S, 且有些既是 S 且是 P S P 所有 S 是 P, 有些 P 不是 S S P 所有的 S 不是 P, 且所有的 P 不是 S
例題 1.2 已知 所有新鮮人都選修科學思維方與方法, 問 有些選修科學思維方法的學生並非新鮮人 之真 偽如何 解 : 有些選修科學思維方法的學生並非新鮮人 可能真, 也可能為偽, 我們無法從 所有新鮮人都選修科學思維方法 合乎邏輯地推演出來
貳 否定命題將一個命題加以否定, 所得到的敘述稱為原命題的否定命題 若以 p 表一個命題, 則其否定命題表為 ~ p, 讀做 非 p
例題 1.3 令 p 表命題 澎湖為台灣的一部 分, 則 ~p 表命題 澎湖不是台灣 的一部分
例題 1.4 令 p 表命題 有些馬兒不吃草, 則命題 ~p 表 所有的馬兒都吃草
例題 1.5 令 p 表命題 有一個胖子不吃肉, 則其否定命題 ~p 為 所有的胖子都 吃肉
例題 1.6 得 令 p 表命題 不存在三相異質數 3 3 3 a b c a, b, c 使, 則 ~p 表命題 不存在三相異質數 a, b, c 使得, 或 對任意三相異質數 3 3 3 a b c a, b, c 恆有 a 3 3 3 b c
例題 1.7 每一位影評人都喜歡她的某些作品 的否定命題為 有些影評人不喜歡她的所有作品 ; 有些影評人喜歡她的所有作品 的否定命題為 所有影評人都不喜歡她的一些作品
例題 1.8 有甲 乙 丙三個抽屜, 其中恰有一抽屜放了一枚戒指, 並且 (a) 甲抽屜上寫著 戒指在這個抽屜 (b) 乙抽屜上寫著 戒指不在甲抽屜內 (c) 丙抽屜上寫著 戒指不在這個抽屜內 已知 (a) (b) (c) 三句話中恰有一句為真, 問戒指在那個抽屜內? 解 : (a) 與 (b) 互為否定命題, 由排中律得知兩者中恰有一為真, 另一為偽 又已知真話只有一句, 所以 (c) 為偽 換言之, 戒指在丙抽屜內
例題 1.9 甲 乙 丙 丁四人對戊先生的集郵數量做估計 : 甲說 : 戊有三百枚郵票 乙說 : 戊至少有五百枚郵票 丙說 : 戊的郵票不到五百枚 丁說 : 戊至少有一枚郵票 已知四句話中只有一句是對的, 問戊先生有多少枚郵票? 解 : 首先, 甲說不對, 理由是 : 若甲說為真, 則丁說亦真, 這樣就與已知 只有一句話是對的 不合 同理, 乙說也不對, 否則丁說也真 其次, 由排中律得知乙說與丙說恰有一為真 但已證乙說不真, 故丙說為真 最後再利用已知 只有一句是對的 推知丁說不真, 因此, 戊先生一枚郵票也沒有
參 複合命題 3.1 聯言命題 3.2 選言命題 3.3 假言命題 3.4 雙條件命題
3.1 聯言命題 設 P 與 Q 為二命題, 則它們的聯言命題為 P Q, 讀做 P且 Q, 意思是 : 只有在 P 與 Q 同時為真時, 才為真, 即其真值表如下 : P Q P Q T T T T F F F T F F F F
例題 1.10 若令 P 表 澎湖為台灣的一部分 ; Q 表 高雄市在台南縣, 則 P Q 表 澎湖為台灣的一部分且高雄市在台南縣, 雖然 P 為真, 但 Q 卻為偽, 所以為偽 P Q
P 例題 1.11 若令表 獅子是肉食動物 ; Q 表 老虎是 肉食動物, 則 P Q P Q P Q 表 獅子與老虎都是肉食動 物, 因與皆為真, 所以為真
3.2 選言命題 設 P 與 Q 為二命題, 則它們的選言命題為 P Q, 讀做 P 或 Q, 意思是 : 只要 P 與 Q 兩者中有一為真, 則為真, 即其真值表為 : P Q P T T T T F T F T T F F F Q
P 例題 1.12 若表 澎湖為台灣的一部分 ; Q 表 高 雄市在台南縣, P Q 則表 澎湖為台灣的一部分或高雄市在台南縣 雖然為偽, 但 Q 為 真, 所以 P Q 為真 P
例題 1.13 張三是李四的表哥或表弟 是何種命題? 試判別其真偽 解 : 張三是李四的表哥或表弟 為 張三是李四的表哥 與 張三是李四的表弟 兩命題之選言命題, 除非張三既不是李四的表哥, 也不是李四的表弟, 這個選言命題才為偽, 在其他狀況下都為真
聯言命題 P Q 之否定命題為 ~ P ~ Q 選言命題 P Q 之否定命題為 ~ P ~ Q
例題 1.14 他喜歡上英文課也喜歡上數學課 之否定命題如何? 解 : 他不喜歡上英文課或數學課
例題 1.15 張三與李四都喜歡翹課 之否定命題如何? 解 : 張三或李四不喜歡翹課
例題 1.16 教務處公告 學期成績中邏輯或微積分不及格者, 不准選修下學期的管理數學, 請問這公告的否定命題如何? 解 : 學期成績中邏輯與微積分都及格者准予選修下學期的管理數學
例題 1.17 處女座的人喜歡邏輯或數學 之否定命題如何? 解 : 處女座的人不喜歡邏輯與數學
3.3 假言命題 P Q 表二命題, 則命題 若 P, 則 Q 稱為假言命題或條件命題, 記做 P Q, 並稱為前提, 為結論 只有在前提 P 為真而結論 Q 為偽時, P Q 才為偽, 即其真值表為 : P Q P Q T T T T F F F T T F F T
例題 1.18 設真理大學的學生只有兩類 : 一為永遠說真話的紳士, 另一類為永遠說假話的無賴, 某天一位訪客在南台科大的校園內碰到一位學生, 這位學生對訪客說了兩句話 : (a) 我愛校長 (b) 若我愛校長, 則歡迎你到校訪問 問學生是否愛校長? 是否歡迎訪客到校訪問? 解 : 若這位學生為無賴, 則 (a) 不真 由於 (a) 為 (b) 的前提, 因而 (b) 為真 於是這位無賴學生說了一句真話, 此為不可能, 所以學生為紳士, 即 (a) (b) 兩句話皆為真 因此, 學生愛校長也歡迎訪客到校訪問
P 3.4 雙條件命題設 P 與 Q 為二命題, 則它們雙條件命題為 Q, 讀做 P 若且唯若 Q, 意思是 : 只有在 P 與 Q 有相同真值時才為真, 即其真值表為 : P Q P Q T T T T F F F T F F F T
例題 1.19 在實數系上, 令表命題 : x ; P 1 表命題 : 1 因為使為真的實數 Q 2 x P x 也使 Q 為真 ; 反之, 使 Q 為真的實數 x, 也使 P 為真 所以 P Q 為真, 即在實數系上, 敘述 x 1 2 若且唯若 為真 x 1
例題 1.20 在實數系上, 令 P 表命題 : x 1 ; Q 2 表命題 x 1 因為 x 1 時, P 為真, 但 Q 為偽, 所以命題 x 1 2 若且唯若 2 x 1 為偽 x 1
肆 同義命題 兩個命題 P 與 Q, 若有相同的真值, 則稱它們為同義命題或等價命題 例如 P 與 ~(~P) 為同義命題, 這可從它們的真值表看出 : P ~ P ~(~ P ) T F T F T F
例題 1.21 試以真值表說明 P Q 與 為同義命題 P 解 : 因為 P Q 與 ~ P Q Q 行與 ~ P Q 為同義命題 ~ P Q P Q P Q ~ P T T T T T F F F F T T T F F T T 行下之 T F 分布狀況完全一樣, 所以 Q
例題 1.22 南台科大 崑山科大與遠東科大舉行校際棒球比賽, 張三為贏得賭注, 到南鯤鯓五府千歲問神求卜, 結果神明的指示為 : 南台科大將打敗崑山科大或遠東科大 張三為更確定起見, 也到安平天后宮請示媽祖, 結果媽祖的神諭為 : 若南台科大沒有打敗崑山科大, 則南台科大將打敗遠東科大, 問兩個神明的指示是否相同? 解 : 命 P 表命題 南台科大打敗崑山科大 ;Q 表命題 南 台科大打敗遠東科大, 則南鯤鯓五府千歲之神示為 : P Q ; 安平天后宮的神示為 : ~ P Q 由例 1.21 得知 ~ P Q 與 ~(~ P) Q 同義, 亦即 ~ P Q 與 P Q 同義, 所以兩個神明的指示是相同的
例題 1.23 試以真值表說明 P 為同義命題 解 : 所以 P 因為 P Q行與 ~ Q ~ P Q 與 ~ Q ~ P Q 與 ~ Q ~ P P Q ~ P ~ Q T T F F T T T F F T F F F T T F T T F F T T T T 行下的 T F 分布狀況完全一樣, 為同義命題 P Q ~ Q ~ P
例題 1.24 某候選人對選民宣誓 : 若我賄選, 則受天打雷劈, 問這句話的否定命題如何? 解 : 我賄選且不受天打雷劈
例題 1.25 若我有海角七億, 則全台灣人都不吃牛肉 之否定命題如何? 解 : 我有海角七億且至少有一台灣人吃牛肉
第三節 充要條件 命題 P Q 可衍生其他 形式的命題
壹 條件命題之衍生命題 給定命題 : 若 P, 則 Q, 則 1. 原命題 : 若 P, 則 Q 2. 逆命題 : 若 Q, 則 P 3. 轉命題 : 若 ~P, 則 ~Q 4. 轉逆命題 : 若 ~Q, 則 ~P
例題 1.26 原命題 : 若兩整數都是偶數, 則它們的和也是偶數 ( 真 ) 轉逆命題 : 若兩個整數和不是偶數, 則這兩個整數不全是偶數 ( 真 ) 逆命題 : 若兩整數之和為偶數, 則這兩個整數都是偶數 ( 偽 ) 轉命題 : 若兩整數不全是偶數, 則它們的和不是偶數 ( 偽 )
例題 1.27 原命題 : 若地濕, 則天下雨 ( 偽 ) 轉逆命題 : 若天不下雨, 則地不濕 ( 偽 ) 逆命題 : 若天下雨, 則地濕 ( 真 ) 轉命題 : 若地不濕, 則天不下雨 ( 真 )
貳 充要條件 當一命題 P Q 為真時, 則稱 P 為 Q 的充分條件,Q 為 P 的必要條件, 若原命題 P Q 與其逆命題 Q P 兩者皆真時, 則稱 P 與 Q 互為充要條件, 或稱 P Q 為真
例題 1.28 從例 1.27 中, 我們可以看出, 天下雨為地濕的 充分條件, 但非必要條件
例題 1.29 命 P 表敘述 三角形中有二內角相等, Q 表敘 述 三角形是等腰三角形, 由於 P Q 為真, 所以三 角形中有二內角相等, 與三角形是等腰三角形互為充 要條件
參 條件式日常語言 日常語言中的條件型, 如 除非, 否則 只有, 才 與 只要, 就 等等係將必要條件置於句子的前半段, 所以有下列的同義命題 : 除非 P, 否則 Q 表示 唯有 P, 才不會 Q, 即 若非 P, 則 Q, 因此它與 若非 Q, 則 P 同義; 而 只有 P, 才 Q 與 只要 P, 就 Q 則皆同義於 若 Q, 則 P 與 若非 P, 則非 Q
例題 1.30 除非太陽從西邊出來, 否則我今天不去上課 乃表示 若我今天去上課, 則太陽從西邊出來
例題 1.31 媽媽對哭鬧的小孩子說 : 只要你不再哭鬧, 就帶你上麥當勞 乃表示 若你要去麥當勞, 則不要再哭鬧