投稿類別 : 數學類 篇名 : 最佳選擇 - 賽局理論 作者 : 洪錦緣 嘉義市立仁高級中學 一年丙班 邱唐資 嘉義市立仁高級中學 一年丁班 指導老師 : 林俊宇老師
壹 前言 一 研究動機 前幾天跟爸爸聊天, 聽爸爸說他跟媽媽在討論假日要去哪裡, 爸爸想去看棒球, 而媽媽想去逛百貨公司 爸爸說他知道媽媽很想去逛街, 但是他真的很想去看棒球, 如果他答應媽媽去逛街, 那他會很無聊, 但是媽媽會很開心, 而媽媽也可能面臨同樣的問題, 搞不好再過一會媽媽就會來說他願意陪爸爸去看棒球了 看著爸爸在煩惱, 我突然發現生活中充斥著許許多多的選擇, 每個人都會理性的做出自認為最佳的決策, 但往往又對結果不滿意, 這到底是為什麼呢? 既然是認為最理性的選擇, 又為何會不滿意, 又該怎麼才能做出最正確的選擇呢? 這深深的吸引了我們的好奇, 如果我們能夠選擇有深入的研究, 進而找出一套方法, 可以讓我們做出最棒的選擇, 一定可以為人們帶來很大的幫助 二 研究目的 ( 一 ) 了解決策者的思維模式, 並試著找出決策的最佳方式 ( 二 ) 對賽局理論做研究與探討, 試著從中找到答案 並觀察決策的歷程 ( 三 ) 對生活中能夠實際運用到賽局理論的狀況作探討 三 研究流程 研究動機 研究目的 資料收集 網際網路 資料整理 分析討論 結論 貳 正文 一 賽局理論的定義 如下圖 ( 一 ) 內容所說明, 有利益衝突的地方, 就有賽局 其中最為著名的例 子, 就是囚犯的兩難問題 對於賽局理論的研究, 開始於策墨洛 (Zermelo,1913), 波雷爾 (Borel,1921) 及馮 諾伊曼 (von Neumann, 1928), 後來由馮 諾伊曼和奧斯卡 摩根斯坦 (von Neumann and Morgenstern,1944,1947) 首次對其系統化和形式化 ( 參照 Myerson, 1991) 隨後約翰 福布斯 奈許 (John Forbes Nash Jr., 1950, 1951) 利用不動點定理 1
證明了均衡點的存在, 為賽局理論的一般化奠定了堅實的基礎 圖 ( 一 ) 二 納許均衡 回想 1994 年諾貝爾經濟學獎得主之一的奈許 (John F. Nash), 當年他提出均衡理論時, 只是抱持著一種數學遊戲的態度, 後來竟在經濟學中被廣泛運用, 可能也出乎他的意料之外 奈許在 1950 年和 1951 年發表了兩篇關於非合作賽局的重要論文, 塔克 (Albert Tucker) 教授也於 1950 年定義了 囚犯困境 (prisoners dilemma) 他們兩個人的著作基本上奠定了現代非合作賽局理論的基石 奈氏均衡點或奈許平衡 (Nash equilibrium), 又稱為非合作賽局平衡, 是由 John Nash 所提出的, 納什平衡是指個體出於自身利益最大化的考慮, 一般會採 取 不合作 的遊戲 玩法 2
圖 ( 二 ) 以奈許為主角的電影 三 賽局理論的代表例子 - 囚犯兩難 囚徒困境是 博弈論 的非零和博弈中具代表性的例子, 反映個人最佳選擇 並非團體最佳選擇 雖然困境本身只屬模型性質, 但現實中的價格競爭 環境保 護等方面, 也會頻繁出現類似情況 圖 ( 三 ) 若囚徒們不互相合作, 則無法脫離困境 1950 年, 由就職於蘭德公司的梅里爾 弗勒德 (Merrill Flood) 和梅爾文 德雷希爾 (Melvin Dresher) 擬定出相關困境的理論, 後來由顧問艾伯特 塔克 (Albert Tucker) 以囚徒方式闡述, 並命名為 囚徒困境 經典的囚徒困境如下 : 警方逮捕甲 乙兩名嫌疑犯, 但沒有足夠證據指控二人有罪 於是警方分開 囚禁嫌疑犯, 分別和二人見面, 並向雙方提供以下相同的選擇 ( 如下表 ( 一 )): 3
( 一 ) 若一人認罪並作證檢控對方 ( 相關術語稱 背叛 對方 ), 而對方保持 沉默, 此人將即時獲釋, 沉默者將判監 10 年 ( 二 ) 若二人都保持沉默 ( 相關術語稱互相 合作 ), 則二人同樣判監半年 ( 三 ) 若二人都互相檢舉 ( 互相 背叛 ), 則二人同樣判監 2 年 表 ( 一 ) 如同博弈論的其他例證, 囚徒困境假定每個參與者 ( 即 囚徒 ) 都是利己的, 即都尋求最大自身利益, 而不關心另一參與者的利益 參與者某一策略所得利益, 如果在任何情況下都比其他策略要低的話, 此策略稱為 嚴格劣勢, 理性的參與者絕不會選擇 另外, 沒有任何其他力量干預個人決策, 參與者可完全按照自己意願選擇策略 囚徒到底應該選擇哪一項策略, 才能將自己個人的刑期縮至最短? 兩名囚徒由於隔絕監禁, 並不知道對方選擇 ; 而即使他們能交談, 還是未必能夠盡信對方不會反口 就個人的理性選擇而言, 檢舉背叛對方所得刑期, 總比沉默要來得低 試設想困境中兩名理性囚徒會如何作出選擇 : ( 一 ) 若對方沉默 我背叛會讓我獲釋, 所以會選擇背叛 ( 二 ) 若對方背叛指控我, 我也要指控對方才能得到較低的刑期, 所以也是會選擇背叛 二人面對的情況一樣, 所以二人的理性思考都會得出相同的結論 選擇背 叛 背叛是兩種策略之中的支配性策略 因此, 這場博弈中唯一可能達到的奈許 均衡, 就是雙方參與者都背叛對方, 結果二人同樣服刑 2 年 四 賽局理論分析的關鍵步驟 賽局理論分析的關鍵步驟是去探求哪一種策略才是他人已選策略下的最適 反應 以新古典經濟學的觀念, 我們定義某位參賽者 (player) 的最適反應就是 : 給 4
定其他參賽者已選或預期將選的策略下, 哪一種策略能極大化這個參賽者的最大報酬 這是在賽局理論中關於理性的共通觀念 然而, 最適反應並非是賽局理論唯一定義理性的觀念, 而且賽局理論也不總是假設人們是理性的 因此, 也需探討關於理性的其他可能性 這場博弈的納許均衡, 顯然不是顧及團體利益的帕累托最優解決方案 以全體利益而言, 如果兩個參與者都合作保持沉默, 兩人都只會被判刑半年, 總體利益更高, 結果也比兩人背叛對方 判刑 2 年的情況較佳 但根據以上假設, 二人均為理性的個人, 且只追求自己個人利益 均衡狀況會是兩個囚徒都選擇背叛, 結果二人判監均比合作為高, 總體利益較合作為低 這就是 困境 所在 例子華麗地證明了 : 非零和博弈中, 帕累托最優和奈許均衡是相衝突的 五 賽局理論 新古典經濟學與數學之間的關係 賽局理論研究策略的理性選擇, 其理性的假設與新古典經濟學共通, 因此理所當然地, 這兩者間的關聯不容小覷 摩根斯坦是一位經濟學者, 但馮紐曼也不遑多讓, 對新古典經濟學相當地熟稔與認同 因此, 若說他們兩人的想法皆來自於新古典經濟學應不為過 新古典經濟學植基於 人們做經濟決策時是絕對理性 的假設, 更明確地說, 亦即每一個人會就其所面對的環境, 極大化個人的報酬 ( 這些報酬可能是利潤 所得或主觀的利益 ) 這樣的假設在經濟研究上, 可達到兩個目的 : 第一, 它縮減了各種可能性 畢竟, 理性的行為總是比非理性行為來得容易預測 其次, 它也提供了評估經濟體系效率的標準 若是在一個經濟體制下, 當減少某些人的報酬的同時, 卻無法產生較多的效益 ( 粗略地說, 就是成本大於效益 ), 就表示這個體制是有問題的 例如, 空氣與水的污染 過度漁獵以及花在研究的資源太少, 都是不具效率的例子 新古典經濟學中, 理性的個人在做決策時所面對的體制因素包括財產權 貨幣以及高度競爭的市場, 這些體制因素都是個人極大化報酬時所必須考慮的 財產權 貨幣經濟以及理想的市場競爭, 意味著個人在做決策時, 無須考慮到與其他人的互動, 而只需參酌自己的情況及市場條件 但是, 這些假設卻可能導致兩個問題 : 首先, 它限制了理論可能解釋的範圍 例如, 如果市場並非完全競爭 ( 但也不是獨占 ), 或是財產權無法清楚界定時, 新古典經濟理論就不太適用了 此外, 若是決策與貨幣無關, 新古典經濟學也是會有問題的 但是, 賽局理論企圖克服這些問題, 它提供人們直接互動而非透過市場時, 一套分析策略行為的理論 理性的選擇就是極大化某人的報酬, 我們可以將之想像成是去解一個極大化 的數學問題 但是, 在賽局理論裡, 情況是較為複雜的, 因為個人的最後報酬並 5
不只取決於此人的策略與相關的市場條件, 還取決於其他人的策略 雖然如此, 就合作賽局而言, 我們依然可以定義策略的理性選擇是一個 極大化一群策略互 動決策者的報酬 的數學問題, 而此問題的解就稱之為賽局的解 六 當賽局可以反覆選擇 當然, 這只是一次性博弈中形成的結果, 如果是有限次重複博弈, 結局會有所不同嗎? 不幸的是嚴格的分析表明, 如果博弈次數是有限的, 根據逆向歸納法, 人們會在最後一次背叛, 於是倒數第二次也會背叛 依此類推, 合作仍然不會出現 囚徒困境 深刻反映了個體理性與集體理性之間的矛盾: 一個人自私地尋求最大效益並不意味著就能得到最好的結果, 也不意味著由此可以促進公共的利益 相反, 只有甘願捨棄自己的部分利益, 走向合作才能獲得最好的結果 那麼, 人類相互合作在何種情況下會出現呢? 可以得到數學證明的答案是無限次重複賽局 ( 博弈 ) 如果賽局( 博弈 ) 無窮次, 雙方就會逐漸從互相背叛走向互相合作 因為任何一次背叛都會招致對方在下一次博弈時的報復 ; 而雙方都取合作態度會帶來合作收益 人生的生存競爭如同博弈, 人們總是要互相交往, 而且不止一次 因此重複的博弈會使人們遵守道德, 不做損害他人的事 但是實際情況又不完全這樣, 人總是要死的, 因而人與人之間的博弈不是無限次的 當一個人知道他終將退出博弈時, 他就可能不再害怕此後別人對他的報復, 從而可以在博弈結束前做損害他人的事情, 這就回復到多次重複的博弈的境況 然而, 如果死後還有靈魂, 情況就會發生變化 因為有限次的博弈變成了無限次的博弈, 那個使導致合作的多次博弈鏈條瓦解的因素不復存在 這也就是為什麼康得會假設靈魂不朽, 上帝存在的理由, 當然, 康得的本意並不是僅僅解決此問題 宗教, 無論基督教 伊斯蘭教 佛教 印度教, 不是有靈魂之說, 就是有來世之說, 絕非偶然, 根本上是為了實現有限博弈向無限博弈的轉變, 從而為善的可能提供終極的理論保證 也許只有在宗教信仰的底層隱藏著功利的計較, 才能獲的經久不衰的生命 愛克斯羅德是一個政治科學家, 對合作的問題久有研究興趣 為了進行關於合作的研究, 他組織了一場電腦競賽 這個競賽的思路非常簡單 : 任何想參加這個電腦競賽的人都扮演 囚徒困境 案例中一個囚犯 他們把自己的策略編入電腦程式, 然後這些程式會被成雙成對地融入不同的組合 分好組以後, 參與者就開始玩 囚徒困境 的遊戲 他們每個人都要在合作與背叛之間做出選擇 6
第一輪遊戲有 14 個程式參加, 再加上艾克斯羅德自己的一個隨機程式 ( 即以 50% 的概率選取合作或不合作 ), 運轉了 300 次 結果得分最高的程式是加拿大學者羅伯布 (Anatol Rapoport) 寫的 一報還一報 (tit for tat) 這個程式特點是, 第一次對局採用合作策略, 以後每一步都跟隨對方上一步的策略, 你上一次合作, 我這一次就合作, 你上一次不合作, 我這一次就不合作 艾克斯羅德還發現, 得分排在前面的程式有三個特點 : 第一, 從不首先背叛, 即 善良的 ; 第二, 對於對方的背叛行為一定要報復, 不能總是合作, 即 可激怒的 ; 第三, 不能人家一次背叛, 你就沒完沒了的報復, 以後人家只要改為合作, 你也要合作, 即 寬容性 為了進一步驗證上述結論, 艾克斯羅德決定邀請更多的人再做一次遊戲, 並把第一次的結果公開發表 第二次徵集到了 62 個程式, 加上他自己的隨機程式, 又進行了一次競賽 結果, 第一名的仍是 一報還一報 艾氏總結這次遊戲的結論是 : 第一, 一報還一報 仍是最優策略 第二, 前面提到的三個特點仍然有效, 因為 63 人中的前 15 名裏, 只有第 8 名的哈靈頓程式是 不善良的, 後 15 名中, 只有 1 個總是合作的是 善良的 可激怒性和寬容性也得到了證明 此外, 好的策略還必須具有的一個特點是 清晰性, 能讓對方在三 五步對局內辨識出來, 太複雜的對策不見得好 一報還一報 就有很好的清晰性, 讓對方很快發現規律, 從而不得不採取合作的態度 一報還一報 策略的優越性向我們充分展示了一個純粹自利的人何以會選 擇善, 只因為合作是自我利益最大化的一種必要手段 七 現實中的例子 ( 一 ) 政治學例子 : 軍備競賽 ( 如表 ( 二 )) 在政治學中, 兩國之間的軍備競賽可以用囚徒困境來描述 兩國都可以聲稱有兩種選擇 : 增加軍備 ( 背叛 ) 或是達成削減武器協議( 合作 ) 兩國都無法肯定對方會遵守協議, 因此兩國最終會傾向增加軍備 似乎自相矛盾的是, 雖然增加軍備會是兩國的 理性 行為, 但結果卻顯得 非理性 ( 例如會對經濟造成都有損壞等 ) 這可視作遏制理論的推論, 就是以強大的軍事力量來遏制對方的進攻, 以達到和平 7
美國軍備 美國撤消軍備 蘇聯軍備 兩國皆對經濟造成損害 美國被蘇聯殲滅 蘇聯撤消軍備 蘇聯被美國殲滅 兩國集中國力發展經濟 表 ( 二 ) 軍備的賽局表 ( 二 ) 經濟學例子 : 關稅戰 兩個國家, 在關稅上可以有以兩個選擇 : 1. 提高關稅, 以保護自己的商品 ( 背叛 ) 2. 與對方達成關稅協定, 降低關稅以利各自商品流通 ( 合作 ) 當一國因某些因素不遵守關稅協定, 而獨自提高關稅 ( 背叛 ) 時, 另一國也會作出同樣反應 ( 亦背叛 ), 這就引發了關稅戰, 兩國的商品失去了對方的市場, 對本身經濟也造成損害 ( 共同背叛的結果 ) 然後二國又重新達成關稅協定 ( 重複博弈的結果是將發現共同合作利益最大 ) ( 三 ) 商業例子 : 廣告戰 ( 如表 ( 三 )) 兩個公司互相競爭, 二公司的廣告互相影響, 即一公司的廣告較被顧客接受 則會奪取對方的部分收入 但若二者同時期發出質量類似的廣告, 收入增加很少 但成本增加 但若不提高廣告質量, 生意又會被對方奪走 此二公司可以有二選擇 : 1. 互相達成協議, 減少廣告的開支 ( 合作 ) 2. 增加廣告開支, 設法提升廣告的質量, 壓倒對方 ( 背叛 ) 若二公司不信任對方, 無法合作, 背叛成為支配性策略時, 二公司將陷入廣 告戰, 而廣告成本的增加損害了二公司的收益, 這就是陷入囚徒困境 在現實中, 要二互相競爭的公司達成合作協議是較為困難的, 多數都會陷入囚徒困境中 A 公司加強廣告 A 公司減少廣告 B 公司加強廣告 兩公司皆耗費大量資金 A 公司客戶被掠奪 B 公司減少廣告 B 公司客戶被掠奪 兩公司減少支出獲利提高 8
表 ( 三 ) 廣告站的賽局表 ( 四 ) 自行車賽例子 自行車賽事的比賽策略也是一種博弈, 而其結果可用囚徒困境的研究成果解釋 例如每年都舉辦的環法自行車賽中有以下情況 : 選手們在到終點前的路程常以大隊伍 ( 英文 :Peloton) 方式前進, 他們採取這策略是為了令自己不至於太落後, 又出力適中 而最前方的選手在迎風時是最費力的, 所以選擇在前方是最差的策略 通常會發生這樣的情況, 大家起先都不願意向前 ( 共同背叛 ), 這使得全體速度很慢, 而後通常會有二或多位選手騎到前面, 然後一段時間內互相交換最前方位置, 以分擔風的阻力 ( 共同合作 ), 使得全體的速度有所提升, 而這時如果前方的其中一人試圖一直保持前方位置 ( 背叛 ), 其他選手以及大隊伍就會趕上 ( 共同背叛 ) 而通常的情況是, 在最前面次數最多的選手 ( 合作 ) 通常會到最後被落後的選手趕上 ( 背叛 ), 因為後面的選手騎在前面選手的沖流之中, 比較不費力 參 結論 透過賽局的分析, 我們可以發現, 即使大家都是理性的人, 但實在很難做出 最好的選擇, 只要彼此互相不信任 猜疑, 就幾乎會選擇被判對方而獲得更高的 效益, 可惜的是, 對方也正做出這樣的抉擇, 往往都造成了更大的損失 經過這次的研究, 我們發現, 生活中有很多的地方, 不論是經濟面 軍事面 生活面等, 都不斷得出現賽局的現象, 而人們也不斷的重複的作出的 理性的選擇 來傷害彼此, 讓我們明白了很多事情發生的真正原因 如果能夠廣泛的推廣賽局的觀念跟精神, 我們相信, 一定可以幫助各個家庭 甚至是整個社會國家, 作出真正正確 合作的選擇 如此一來能阻斷惡性循環, 不再讓悲劇重演 肆 引註資料 一 策略 VS 極大化報酬 - 高點網路書店 http://www.publish.com.tw/new/hotissue/20060227.htm 二 賽局理論 - 維基百科, 自由的百科全書 http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%e5%8d%9a%e5%bc%88%e8%ae%ba 三 William Poundstone(2007) 囚犯的兩難 賽局理論與數學天才馮紐曼的故事 台北市 : 左岸文化 9