上 海 HPM 通 讯 编 委 会 名 单 主 编 : 汪 晓 勤 责 任 编 辑 : 彭 刚 洪 燕 君 邹 佳 晨 编 委 ( 按 姓 氏 字 母 序 ): 洪 燕 君 黄 友 初 林 佳 乐 刘 攀 彭 刚 蒲 淑 萍 田 方 琳 汪 晓 勤 王 芳 ( 义 乌 ) 王 芳 ( 杭 州 ) 王

上 海 HPM 通 讯 SHANGHAI HPM NEWSLETTER 014 年 第 3 卷 第 期 阿 基 米 德 (Αrchimedes, 公 元 前 87 公 元 前 1)

上 海 HPM 通 讯 编 委 会 名 单 主 编 : 汪 晓 勤 责 任 编 辑 : 彭 刚 洪 燕 君 邹 佳 晨 编 委 ( 按 姓 氏 字 母 序 ): 洪 燕 君 黄 友 初 林 佳 乐 刘 攀 彭 刚 蒲 淑 萍 田 方 琳 汪 晓 勤 王 芳 ( 义 乌 ) 王 芳 ( 杭 州 ) 王 科 吴 骏 张 小 明 邹 佳 晨 朱 琳

目 录 刊 首 语... 1 理 论 探 讨 HPM 领 域 教 师 专 业 发 展 探 究... 王 科 他 山 之 石 台 湾 HPM 研 究 的 内 容 与 特 点... 洪 燕 君 11 译 海 拾 贝 阿 基 米 德 是 怎 样 帮 助 学 生 揭 开 π 的 神 秘 面 纱 的... 叶 晓 娟 活 动 讯 息 人 教 社 课 题 数 学 史 融 入 数 学 教 材 开 题 会 暨 教 学 研 讨 会 召 开... 洪 燕 君 40

刊 首 语 本 期 的 封 面 人 物 是 古 希 腊 伟 大 的 数 学 家 力 学 家 天 文 学 家 阿 基 米 德 阿 基 米 德 生 于 西 西 里 岛 的 叙 拉 古 的 一 个 贵 族 家 庭 他 从 小 就 善 于 思 考, 喜 欢 辩 论 早 年 游 历 过 古 埃 及, 曾 在 亚 历 山 大 跟 随 欧 几 里 得 学 习 后 人 给 与 阿 基 米 德 极 高 的 评 价 数 学 史 家 贝 尔 (E.T.Bell) 说 : 任 何 一 张 列 出 有 史 以 来 三 个 最 伟 大 的 数 学 家 名 单 中, 必 定 包 括 阿 基 米 德, 另 外 两 个 通 常 是 高 斯 和 牛 顿 普 林 尼 (Pliny) 称 阿 基 米 德 是 数 学 之 神 对 阿 基 米 德 来 说, 除 了 机 械 和 物 理, 他 比 较 有 兴 趣 而 且 投 注 更 多 时 间 的 是 纯 理 论 上 的 研 究, 尤 其 是 在 数 学 和 天 文 方 面 在 数 学 方 面, 他 的 著 作 论 球 与 圆 柱 从 定 义 和 公 理 出 发, 利 用 逼 近 法 算 出 球 面 积 球 体 积 抛 物 线 椭 圆 面 积, 后 世 的 数 学 家 依 据 这 样 的 逼 近 法 加 以 发 展 成 近 代 的 微 积 分, 因 此 阿 基 米 德 被 誉 为 近 代 积 分 学 的 先 驱 他 还 研 究 出 螺 旋 形 曲 线 的 性 质, 现 今 的 阿 基 米 德 螺 线 曲 线, 就 是 因 为 纪 念 他 而 命 名 另 外 他 在 恒 河 沙 数 一 书 中, 他 创 造 了 一 套 记 大 数 的 方 法, 简 化 了 记 数 的 方 式 在 他 的 墓 碑 上 雕 刻 着 阿 基 米 德 要 求 用 的 标 记 : 内 接 圆 球 的 圆 柱 因 为 他 证 明 了 内 接 于 圆 柱 的 球 体 体 积 等 于 圆 柱 体 积 的 /3, 由 于 圆 柱 体 积 的 公 式 是 已 知 的, 因 而 他 推 出 了 圆 球 的 体 积 公 式 他 因 这 一 数 学 方 面 的 成 就 而 感 到 自 豪 在 人 类 历 史 上 没 有 哪 一 个 古 代 科 学 家 像 阿 基 米 德 那 样, 将 熟 练 的 计 算 技 巧 和 严 格 的 证 明 融 为 一 体, 将 抽 象 的 理 论 和 工 程 技 术 的 应 用 紧 密 结 合 起 来 让 我 们 谨 记 先 哲 成 就, 向 大 师 学 习!

理 论 探 讨 HPM 领 域 教 师 专 业 发 展 探 究 王 科 ( 华 东 师 范 大 学 数 学 系, 上 海,0041) 摘 要 : 如 何 帮 助 缺 乏 HPM 相 关 知 识 的 中 小 学 数 学 教 师 进 行 HPM 教 学 实 践, 迄 今 尚 缺 乏 可 行 的 途 径 本 文 建 立 HPM 教 师 专 业 发 展 的 三 棱 锥 模 型, 分 析 在 专 业 发 展 过 程 中, 教 师 知 识 领 域 数 学 教 育 研 究 者 知 识 领 域 和 数 学 史 家 的 知 识 领 域 之 间 的 相 互 作 用 和 融 合 的 过 程, 提 出 数 学 教 育 研 究 者 诠 释 学 循 环, 并 辅 以 案 例 来 诠 释 模 型, 阐 述 三 棱 锥 模 型 对 HPM 领 域 的 意 义 关 键 词 :HPM; 教 师 专 业 发 展 ; 三 棱 锥 模 型 ; 诠 释 学 循 环 197 年, 在 英 国 Exeter 召 开 的 第 二 届 国 际 数 学 教 育 大 会 上, 成 立 了 数 学 史 与 数 学 教 学 关 系 国 际 研 究 小 组 (International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 简 称 HPM),1976 年 开 始 隶 属 于 国 际 数 学 教 育 委 员 会 [1] 自 此, 数 学 史 与 数 学 教 育 关 系 成 了 数 学 教 育 的 重 要 研 究 领 域 之 一 1 HPM 研 究 方 向 HPM 关 注 的 内 容 包 括 数 学 与 其 他 学 科 的 关 系 多 元 文 化 的 数 学 数 学 史 与 学 生 的 认 知 发 展 发 生 教 学 法 数 学 史 与 学 生 的 困 难 数 学 原 始 文 本 在 教 学 中 的 应 用 等, 但 其 主 要 研 究 方 向 [] : (1) 关 于 为 何 的 探 讨 数 学 教 学 中 为 什 么 要 运 用 数 学 史? 即 对 数 学 史 的 教 育 价 值 进 行 探 讨 欧 美 学 者 早 在 19 世 纪 就 开 始 讨 论 其 中 有 数 学 家 泰 尔 凯 德 摩 根 邹 腾 等, 数 学 史 家 卡 约 里 史 密 斯 等 都 强 调 数 学 史 的 教 育 价 值 Fauvel 总 结 了 数 学 教 学 中 运 用 数 学 史 的 15 种 理 由 [3],Tzanakis 和 Arcavi 从 5 个 方 面 总 结 了 数 学 史 对 支 持 丰 富 和 改 进 数 学 教 学 的 作 用 [4],Gulikers 和 Blom 从 三 个 维 度 上 分 别 论 述 数 学 史 对 于 教 师 和 学 生 的 价 值 [5],Jankvist 将 数 学 史 对 于 数 学 教 学 的 作 用 分

成 工 具 和 目 标 [6] () 关 于 如 何 的 讨 论 对 于 数 学 史 在 数 学 教 学 上 的 具 体 运 用 方 法 作 理 论 探 讨 HPM 研 究 者 需 要 根 据 不 同 的 教 学 情 境 与 内 容, 探 索 数 学 史 融 入 数 学 教 学 的 最 佳 方 式 Fauvel 总 结 出 十 种 具 体 方 式 [3] ; Tzanakis 和 Arcavi 总 结 了 三 种 方 式 : 一 是 提 供 直 接 的 历 史 信 息 ; 二 是 借 鉴 历 史 进 行 教 学, 即 发 生 教 学 法 ; 三 是 开 发 对 数 学 及 其 社 会 文 化 背 景 的 深 刻 意 识 [4] ;Jankvist 提 出 另 三 种 方 式 : 启 发 法 模 块 法 和 基 于 历 史 法 [7] ; 汪 晓 勤 根 据 国 内 HPM 研 究 特 点 提 出 四 种 方 式 : 复 制 式 附 件 式 顺 应 式 和 重 构 式 [8] (3) 数 学 教 育 取 向 的 数 学 史 研 究 主 要 通 过 对 数 学 课 程 中 的 概 念 公 式 定 理 问 题 的 历 史 进 行 研 究, 不 是 为 历 史 而 历 史, 而 是 为 教 育 而 历 史 这 是 HPM 研 究 的 基 础 性 工 作, 如 果 不 了 解 一 个 概 念 公 式 或 定 理 的 历 史, 就 无 从 谈 论 概 念 理 解 的 历 史 相 似 性 以 及 借 鉴 历 史 的 概 念 教 学 目 的 是 获 取 相 关 知 识 点 的 教 学 启 示, 更 好 地 服 务 教 学 (4) 历 史 相 似 性 研 究 所 谓 历 史 发 生 原 理, 指 的 是 个 体 数 学 理 解 的 发 展 遵 循 数 学 思 想 的 历 史 发 展 顺 序, 这 就 是 我 们 通 常 所 说 的 历 史 相 似 性, 历 史 上 数 学 家 所 遭 遇 的 困 难 正 是 学 生 所 经 历 的 障 碍 如 果 某 一 概 念 的 历 史 相 似 性 得 到 检 验, 那 么, 教 师 可 以 参 照 历 史 来 预 测 学 生 的 认 知 障 碍, 采 用 发 生 教 学 法 有 针 对 性 地 制 订 相 关 教 学 策 略, 有 效 地 帮 助 学 生 跨 越 学 习 障 碍 (5)HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 设 计 与 实 践 HPM 研 究 者 们 需 要 积 极 探 索 着 具 体 的 教 学 设 计 模 式, 以 及 HPM 实 践 模 式 在 进 行 HPM 教 学 设 计 和 教 学 实 践 时, 期 望 数 学 教 师 都 熟 悉 数 学 史. 同 时, 先 由 大 学 教 师 完 成 相 关 主 题 的 历 史 研 究, 获 得 历 史 材 料, 然 后 由 大 学 与 中 学 的 教 师 合 作, 根 据 需 要 对 材 料 进 行 加 工, 使 之 适 合 于 教 学 ; 最 后 由 中 学 教 师 将 加 工 后 的 材 料 用 于 教 学 设 计, 并 付 诸 实 践. 并 在 此 过 程 中, 探 索 设 计 与 实 践 模 式 HPM 研 究 的 困 境 国 内 外 学 者 对 HPM 进 行 了 积 极 探 索, 并 取 得 了 大 量 研 究 成 果 如 [3-6] 对 运 用 数 学 史 理 由 的 总 结,[3,4,7,8] 数 学 史 运 用 方 式 的 探 讨, Furinghetti[9] 对 数 学 史 运 用 路 径 的 探 索, 以 及 一 些 实 证 研 究 同 时, 国 内 数 学 研 究 者 也 越 来 越 多 地 开 始 关 注 HPM 研 究 领 域, 研 究 数 学 史 3

的 价 值 及 其 应 用, 如 [,10,11,1, 13,14]; 对 于 数 学 史 融 入 数 学 课 堂 教 学, 这 也 是 近 年 来 国 际 上 HPM 研 究 者 关 注 的 主 题, 国 内 HPM 研 究 者 发 表 有 关 HPM 实 证 文 章 如 雨 后 春 笋, 层 出 不 穷, 如 [15,16,17], 虽 然 HPM 领 域 研 究 突 飞 猛 进, 但 学 术 研 究 与 课 堂 之 间 的 鸿 沟 使 得 数 学 史 在 中 学 高 评 价 低 应 用 的 境 遇, 迄 今 仍 未 得 到 实 质 性 的 改 善 融 入 数 学 史 的 数 学 教 学 设 计 与 实 践 是 HPM 研 究 的 最 终 落 脚 点 首 先, 数 学 教 育 取 向 的 数 学 史 研 究 即 为 教 学 而 历 史, 是 为 HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 提 供 可 用 的 历 史 素 材, 适 应 于 广 大 的 教 学 需 要 要 进 行 HPM 视 角 下 的 教 学, 就 必 须 对 相 关 数 学 史 材 料 进 行 搜 集 整 理, 为 其 所 用 其 次, 历 史 相 似 性 研 究 是 HPM 研 究 的 理 论 实 证 研 究,HPM 研 究 的 理 论 基 础 是 历 史 相 似 性 理 论, 即 学 生 对 数 学 知 识 的 认 知 过 程 和 历 史 上 该 知 识 的 发 展 过 程 存 在 一 定 的 相 似 性 相 似 性 的 研 究 可 以 预 测 和 解 释 学 生 的 学 习 困 难, 可 以 为 教 学 设 计 提 供 有 益 的 借 鉴 ; 同 时, 可 以 修 正 并 完 善 历 史 相 似 性 理 论 最 后, 数 学 教 学 中 运 用 数 学 史 的 方 式 研 究 直 接 与 HPM 视 角 下 的 教 学 实 践 紧 密 关 联, 即 采 用 什 么 样 的 方 式 融 入 数 学 史, 才 能 更 好 地 服 务 于 教 学 目 标 所 以, 教 学 设 计 与 实 践 是 整 个 HPM 研 究 的 最 核 心 部 分, 而 教 学 的 设 计 与 实 践 者 教 师 无 疑 成 了 整 个 HPM 研 究 的 理 解 与 实 践 的 桥 梁 如 何 能 让 HPM 真 正 走 进 课 堂? 首 当 其 冲 的 是 教 师 的 参 与, 只 有 通 过 教 师 的 专 业 发 展, 引 领 其 进 入 HPM 学 术 共 同 体, 促 进 其 HPM 研 究 的 专 业 发 展, 逐 渐 学 习 研 究, 并 实 践 数 学 史 融 入 数 学 教 学, 并 最 终 使 得 HPM 研 究 得 以 长 足 发 展 然 而, 对 于 刚 接 触 HPM 的 数 学 教 师, 如 何 把 数 学 史 融 入 数 学 课 堂, 如 何 促 进 其 进 入 HPM 研 究, 尚 缺 乏 相 关 的 研 究 理 论, 缺 乏 科 学 规 范 和 系 统 的 研 究 方 法 [18,19], 致 使 HPM 发 展 滞 后 于 PME (Psychology of Mathematics Education) 因 此, 笔 者 期 望 通 过 建 立 HPM 三 棱 锥 模 型 来 促 进 教 师 专 业 发 展, 为 HPM 研 究 的 理 论 方 面 作 出 些 许 贡 献 3 三 棱 锥 模 型 HPM 研 究 者 面 临 的 是 如 何 架 设 HPM 理 论 与 实 践 连 接 之 桥 梁, 如 何 把 数 学 史 融 入 到 真 实 教 学 情 境 中, 并 进 而 设 计 有 效 的 教 学 方 案 ; 问 题 的 关 键 是 促 进 教 师 专 业 发 展, 引 领 教 师 进 入 HPM 研 究 领 域 如 何 组 建 数 学 史 家 研 究 者 以 及 教 师 的 研 究 联 盟 ; 如 何 平 衡 研 究 在 促 进 教 学 实 践 和 提 高 学 习 效 率 之 间 的 张 力 等 重 要 课 题 为 此, 笔 者 建 立 HPM 领 域 教 师 专 业 发 展 模 型 三 棱 锥 模 型 ( 图 1) 即 通 过 建 立 HPM 学 术 共 同 体 把 HPM 研 究 领 域 的 静 态 的 二 维 HPM 教 学 实 践 [9]( 图 ) 变 成 了 动 态 的 螺 旋 式 立 体 三 维 图 ( 图 1), 并 从 理 论 与 实 践 两 4

个 方 面 解 决 上 述 问 题 图 1 HPM 领 域 教 师 专 业 化 发 展 模 型 图 HPM 教 学 实 践 步 骤 在 三 棱 锥 模 型 中, 如 图 1, 平 面 上 有 三 个 虚 线 圆 圈 分 别 代 表 三 个 知 识 领 域, 即 教 师 的 知 识 领 域 (T) 研 究 者 的 知 识 领 域 (R) 以 及 数 学 史 专 家 的 知 识 领 域 (H); 三 个 知 识 领 域 范 围 用 不 同 颜 色 来 表 示 各 自 领 域 的 主 要 特 征, 红 色 表 示 教 育 研 究 领 域 需 要 火 热 的 激 情, 蓝 色 表 示 数 学 史 领 域 需 要 严 谨 科 学 的 态 度, 绿 色 代 表 教 学 领 域 需 要 生 机 盎 然 的 活 力 并 且 这 三 个 知 识 领 域 有 各 自 的 诠 释 学 循 环, 下 面 我 们 依 次 来 看 一 下 这 三 个 领 域 的 诠 释 学 循 环 图 : 数 学 史 诠 释 学 循 环, 如 图 3 所 示, 古 代 数 学 家 (M) 对 数 学 对 象 (O) 进 行 诠 释, 形 成 数 学 理 论 (T),M O 和 T 构 成 初 圈 ; 数 学 史 家 (H) 设 想 自 己 进 入 古 代 数 学 家 的 世 界 的 对 初 圈 进 行 诠 释, 得 到 诠 释 的 结 果 数 学 史 (I) 数 学 教 学 的 诠 释 学 循 环, 如 图 4 所 示, 教 材 编 写 者 (E) 通 过 对 课 程 标 准 与 数 学 学 科 知 识 (S) 的 诠 释, 编 成 教 材 (C),E C 和 S 构 成 初 圈 ; 数 学 教 师 (T) 设 想 自 己 进 入 教 材 编 写 者 的 心 灵 之 中, 对 初 圈 进 行 诠 释, 得 到 教 学 内 容 知 识 (I), 并 确 定 T I 和 C1 构 成 次 圈 [8] 5

图 3 数 学 史 的 诠 释 学 循 环 图 图 4 数 学 教 学 的 诠 释 学 循 环 图 图 5 数 学 教 育 研 究 的 诠 释 学 循 环 图 笔 者 根 据 诠 释 学 理 论 对 数 学 教 育 研 究 者 也 给 出 来 类 似 的 诠 释 学 循 环, 如 图 5 所 示, 其 中 教 师 (T) 通 过 对 学 生 的 诠 释, 实 施 数 学 教 学 (M),T S 和 M 构 成 初 的 循 环 圈 ; 教 育 研 究 者 (R) 通 过 进 入 真 实 的 教 学 情 境 中 去, 对 初 圈 进 行 诠 释, 得 到 研 究 结 果 (I), 并 确 定 R I 和 初 圈 构 成 次 圈 从 平 面 起 始, 三 个 知 识 领 域 的 开 始 状 态 是 相 互 分 离 的 这 是 一 种 极 限 状 态, 在 现 实 中, 三 个 知 识 领 域 可 能 相 互 有 交 集, 可 能 其 中 两 个 有 交 集, 但 是 他 们 的 交 集 部 分 所 占 比 率 较 小 三 个 领 域 开 始 融 合 之 前, 教 学 中 的 教 师 (T) 和 书 斋 中 的 数 学 史 专 家 (H) 各 自 为 其 主, 各 自 诠 释 各 自 发 展, 彼 此 之 间 没 有 交 集 数 学 教 育 研 究 者 (R) 在 此 模 型 中 则 是 数 学 史 与 数 学 教 育 领 域 中 的 研 究 者, 当 R 通 过 数 学 史 融 入 数 学 教 学 的 研 究 把 T 和 H 组 织 在 一 起, 从 而 建 立 了 三 棱 锥 模 型, 这 里 的 R 是 T 和 H 之 间 的 纽 带, 是 把 H 的 领 域 的 知 识 输 送 到 T 领 域 中, 使 得 T 领 域 得 到 发 展, 即 教 师 在 HPM 领 域 的 专 业 发 展 三 棱 锥 模 型 的 启 动, 首 先 是 教 师 在 教 学 过 程 中 发 现 问 题, 反 馈 给 研 究 领 域 中 的 研 究 者 (R), 研 究 者 采 用 了 数 学 史 融 入 数 学 教 学 的 方 法 即 HPM 方 式, 来 解 决 教 学 问 题 或 改 善 教 学 效 果, 如 图 中 的 平 面 上 的 三 个 点 的 箭 头 方 法, 从 T 到 R 到 H 的 方 向, 再 把 得 到 的 结 果 反 馈 给 教 学 领 域 的 教 师, 如 此 下 去, 循 环 往 复, 螺 旋 式 上 升 如 图 中 箭 头 方 向 在 循 环 的 过 程 中, TRH 都 不 同 程 度 的 提 升 了 自 己 的 水 平, 如 图 中 三 棱 锥 的 棱, 从 底 面 到 顶 点, 代 表 的 水 平 由 低 到 高 同 时, 三 棱 锥 的 棱 是 各 自 领 域 不 断 上 升 的 轨 迹, 每 个 知 识 圈 随 着 螺 旋 式 上 升 而 不 断 扩 大, 而 三 个 领 域 的 知 识 圈 的 也 在 不 断 的 相 互 融 合, 并 最 终 达 到 完 全 融 合 状 态 并 且 在 每 一 次 循 环 结 束, 三 个 领 域 都 会 形 成 一 种 中 间 状 态, 类 似 于 平 行 于 图 1 中 底 面 的 一 个 平 面, 但 处 于 同 一 平 面 并 不 代 表 TRH 三 方 水 平 相 同 对 于 模 型 中 的 两 种 状 态 即 起 始 状 态 和 终 点 状 态 是 理 想 中 的 状 态, 在 实 践 的 研 究 过 程 中, 可 能 并 不 存 在 绝 大 多 数 的 状 态 是 三 棱 锥 的 中 间 部 分 所 表 示 的 状 态, 并 且 从 下 往 上, 他 们 彼 此 的 融 合 程 度 是 由 低 到 高 整 个 过 程 中, 三 棱 锥 模 型 是 以 R 为 桥 梁 和 纽 带, 组 建 HPM 学 术 共 同 体 把 三 个 领 域 的 参 6

与 者 紧 密 地 联 系 在 一 起, 并 形 成 一 个 有 机 整 体 三 个 领 域 通 过 彼 此 之 间 不 断 的 沟 通 与 交 流, 学 习 与 实 践, 并 在 教 学 中 不 断 实 践 数 学 史 融 入 教 学 的 想 法, 调 整 实 践 的 路 径, 探 讨 实 践 理 论 与 此 同 时, 这 三 个 领 域 的 参 与 者 都 不 同 程 度 地 扩 大 了 自 己 的 知 识 领 域, 彼 此 之 间 的 交 集 部 分 随 着 教 学 实 践 的 不 断 深 入 而 不 断 扩 大, 同 时, 不 断 深 入 的 教 学 实 际 推 动 着 三 个 不 同 领 域 相 互 融 合, 螺 旋 式 上 升, 如 图 1 中, 椎 体 上 部 的 三 个 虚 圈 的 状 态 当 然, 最 理 想 的 状 态 是 图 中 三 棱 锥 的 顶 点 即, 三 个 领 域 融 合 成 一 个 领 域, 即 其 中 的 任 何 一 个 领 域 都 具 有 其 他 领 域 的 相 关 知 识, 成 为 了 一 个 综 合 区 域 综 上 所 述, 三 棱 锥 模 型 不 仅 统 筹 各 方 研 究 人 员 于 一 体, 而 且 在 真 实 的 教 学 情 境 中, 有 步 骤 有 系 统 有 规 律 地 通 过 彼 此 融 合, 在 不 断 提 高 教 学 质 量 的 同 时, 也 促 进 教 师 专 业 化 发 展, 最 终 HPM 的 相 关 理 论 也 得 到 了 发 展 和 完 善, 甚 至 建 立 新 的 理 论, 使 得 HPM 研 究 成 果 丰 富 而 可 靠 4 三 棱 锥 模 型 对 HPM 研 究 领 域 的 实 践 意 义 4.1 三 棱 锥 模 型 为 HPM 实 践 提 供 了 新 的 路 径 HPM 研 究 的 目 标 是 通 过 数 学 历 史 的 运 用, 提 高 数 学 教 育 的 水 平 HPM 的 功 能 在 于 通 过 数 学 史 寻 找 数 学 教 育 的 规 律 和 经 验, 把 数 学 知 识 的 历 史 形 态 加 工 整 理 成 教 师 和 学 生 能 够 方 便 使 用 的 教 育 形 态, 使 数 学 史 真 正 为 实 际 的 数 学 教 学 服 务 而 数 学 教 学 设 计 与 实 践 是 HPM 研 究 最 终 的 目 标 与 落 脚 点 教 学 的 设 计 与 实 践 者 教 师 无 疑 成 了 整 个 HPM 研 究 的 理 解 与 实 践 的 桥 梁 三 棱 锥 模 型 可 以 很 好 解 决 了 这 一 问 题, 它 作 为 一 种 系 统 化 的 模 型, 强 调 在 真 实 教 学 情 境 中, 基 于 研 究 者 数 学 史 家 以 及 教 师 之 间 的 合 作, 通 过 不 断 的 沟 通 与 交 流, 进 行 一 系 列 学 习 实 践, 并 不 断 地 进 行 HPM 教 学 设 计 与 教 学 实 践 的 过 程 中 相 互 融 合 发 展, 并 最 终 促 进 教 师 真 正 融 入 到 HPM 学 术 共 同 体 中, 同 时 达 到 其 专 业 化 发 展 的 目 的, 使 得 HPM 的 教 学 实 践 真 正 付 诸 实 践 三 个 领 域 融 合 的 过 程 也 是 修 正 HPM 理 论 的 过 程, 所 以, 三 棱 锥 模 型 具 有 促 进 实 践 与 理 论 创 新, 以 及 促 进 教 师 专 业 化 发 展 的 双 重 功 能, 三 方 融 合 体 现 在 使 得 静 态 二 维 研 究 变 成 动 态 的 三 维 研 究 因 此, 三 棱 锥 模 型 可 以 为 HPM 研 究 领 域 的 实 践 提 供 了 新 的 路 径 4. 三 棱 锥 模 型 为 HPM 实 践 提 供 可 行 的 操 作 方 法 7

HPM 研 究 正 是 将 数 学 史 知 识 通 过 各 种 方 式 融 入 到 数 学 教 学 实 践 中, 并 不 断 提 升 教 学 效 率 的 过 程, 而 融 入 的 具 体 过 程 是 : 数 学 史 料 的 搜 集 与 开 发 合 理 地 设 计 HPM 视 角 下 的 教 学 方 案 通 过 教 师 的 教 学 实 践 与 不 断 修 正, 最 终 形 成 案 例 这 与 模 型 中 三 个 领 域 的 动 态 融 合 有 着 惊 人 的 相 似 首 先, 三 个 领 域 的 融 合, 开 始 是 教 师 发 现 问 题, 研 究 者 提 供 HPM 视 角, 去 H 知 识 领 域 中 去 寻 找 数 学 史 料, 并 与 教 师 合 作 实 践 HPM 的 教 学, 在 帮 助 教 师 提 升 专 业 化 的 同 时, 提 高 教 学 效 率 融 合 需 要 在 真 实 的 教 学 情 境 中 进 行, 非 常 吻 合 HPM 实 践 理 念 其 次, 三 棱 锥 模 型 是 用 来 说 明 HPM 领 域 教 师 专 业 发 展, 而 教 师 专 业 发 展 是 穿 插 在 HPM 教 学 实 践 的 过 程 中, 教 师 HPM 应 用 能 力 的 提 升, 从 另 一 方 面 也 使 得 HPM 教 学 的 具 体 实 践 实 施 变 的 更 加 可 控 和 可 操 作 所 以, 用 三 棱 锥 模 型 其 来 指 导 HPM 实 验 研 究 具 有 极 高 的 实 用 性 与 操 作 性 5 三 棱 锥 模 型 的 应 用 案 例 YW 市 WF 工 作 室 的 成 立, 目 的 是 帮 助 本 市 高 中 数 学 教 师 提 高 专 业 素 质, 但 由 于 缺 乏 一 些 列 的 理 论 指 导 和 培 养 方 向, 工 作 室 的 运 转 并 非 顺 利 一 次 HPM 大 会 让 工 作 室 的 创 办 者 WF 老 师 初 见 HPM 的 研 究 成 果, 会 后, 她 便 确 立 以 HPM 教 学 实 践 为 特 色 的 培 养 方 向, 同 时 邀 请 华 东 师 范 大 学 HPM 研 究 小 组 参 与 合 作, 每 年 吸 收 6-8 位 本 市 优 秀 高 中 数 学 教 师, 进 行 HPM 教 学 实 践 原 本 WF 是 一 名 高 级 教 师, 具 有 丰 富 的 教 学 经 验, 苦 于 不 知 如 何 进 行 HPM 教 学 实 践, 但 与 HPM 研 究 小 组 合 作 之 后, 逐 渐 建 立 了 以 HPM 研 究 理 论 为 基 础, 要 求 工 作 室 每 位 学 员 在 一 学 年 中 选 定 一 个 教 学 知 识 点, 开 发 HPM 教 学 设 计, 并 进 行 实 践, 当 某 学 员 进 行 教 学 实 践 以 及 实 践 总 结 时, 其 他 学 员 均 参 与 其 中, 观 摩 学 习, 以 便 更 快 地 融 入 到 HPM 研 究 中 来 工 作 室 的 每 个 成 员 都 具 有 丰 富 的 教 学 经 验, 在 教 学 设 计 的 过 程 中,HPM 研 究 小 组 ( 三 棱 锥 模 型 中 的 R) 将 与 数 学 史 研 究 人 员 ( 模 型 中 的 H) 合 作, 研 究 知 识 点 的 历 史 脉 络, 并 对 合 对 原 始 文 献 或 数 学 史 的 二 手 文 献 进 行 再 加 工, 以 资 工 作 室 学 员 ( 模 型 中 的 T) 设 计 教 学 之 用 自 此, 三 棱 锥 模 型 便 建 立 起 来 三 个 知 识 领 域 互 动 开 始,T 选 定 教 学 知 识 点, 对 知 识 点 的 数 学 教 学 进 行 诠 释 学 循 环,R 参 与 T 设 计 教 案 过 程, 开 始 对 教 育 研 究 进 行 诠 释 学 循 环,R 开 始 寻 求 数 学 史 料, 提 供 选 定 知 识 点 与 H 进 行 互 动,H 对 知 识 点 进 行 诠 释 学 循 环, 最 后 得 到 能 够 满 足 教 学 需 要 的 数 学 史 料, 再 将 数 学 史 料 以 合 适 方 式 融 入 到 数 学 的 教 学 中 最 后, 对 设 计 的 教 案 进 行 实 践, 在 实 践 过 程 8

中 发 现 问 题, 并 努 力 再 下 一 次 的 教 学 实 践 中 解 决 问 题, 修 正 与 完 善 教 案 通 过 不 断 地 螺 旋 式 的 循 环 设 计 教 案 实 践 教 案 和 反 思 总 结 过 程, 提 升 各 知 识 领 域 自 身 的 提 高, 从 而 达 到 培 养 教 师 关 于 HPM 研 究 的 专 业 化 发 展 目 标 自 工 作 室 开 展 HPM 教 学 实 践 一 年 多, 就 有 3 位 学 员 以 HPM 教 学 获 得 市 教 坛 新 秀 奖, 其 他 成 员 也 有 长 足 进 步 6 结 语 三 棱 锥 模 型 为 HPM 领 域 教 师 专 业 发 展 提 供 了 新 的 途 径, 同 时 为 HPM 理 论 发 展 带 来 了 新 的 机 遇, 当 前 如 何 更 好 地 运 作 三 棱 锥 模 型 来 推 进 教 师 专 业 发 展, 获 得 HPM 研 究 理 论 提 升, 对 于 研 究 者 来 说, 是 一 个 巨 大 的 挑 战 首 先,TRH 组 成 的 三 棱 锥 模 型 是 一 个 复 杂 的 系 统, 为 此, 需 要 研 究 者 在 HPM 的 教 学 研 究 实 践 中 不 断 地 应 用 与 推 广 TRH 学 术 共 同 体 来 促 进 教 师 的 专 业 发 展 同 时, 需 要 在 研 究 过 程 中 探 索 真 正 适 合 HPM 研 究 领 域 的 运 作 模 式, 使 得 三 棱 锥 模 型 真 正 成 为 连 接 教 学 与 HPM 领 域 之 间 的 桥 梁, 逐 步 推 动 着 HPM 研 究 理 论 发 展 与 完 善 此 外, 推 广 HPM 领 域 的 教 师 专 业 发 展 模 式, 需 要 广 大 数 学 教 育 研 究 者 从 书 斋 中 走 出, 进 入 真 实 的 教 学 情 境 中, 积 极 地 联 系 一 线 工 作 者, 了 解 教 学 现 状, 发 现 教 学 问 题, 切 实 从 HPM 视 角 去 帮 助 教 师 解 决 问 题 在 此 过 程 中, 研 究 者 需 要 采 用 组 建 TRH 的 三 棱 锥 模 型, 通 过 不 断 教 学 实 践, 不 断 地 融 合, 来 促 进 HPM 研 究 理 论 和 研 究 方 法 的 发 展, 乃 至 建 立 新 的 理 论 和 方 法 总 之, 对 于 HPM 研 究 者, 需 要 继 续 走 出 象 牙 塔 投 身 到 更 深 入 地 实 践 行 动 中 去, 通 过 三 棱 锥 模 型 搭 建 桥 梁 不 断 将 HPM 的 理 论 研 究 成 果 有 效 地 渗 透 到 现 实 的 教 学 世 界 中, 服 务 于 广 大 的 教 育 工 作 者, 同 时 紧 密 联 结 TRH 三 个 知 识 领 域, 加 深 彼 此 的 融 合 度, 并 在 此 过 程 中 加 速 数 学 史 教 学 价 值 的 溢 出, 促 进 教 育 研 究 发 展 与 进 步, 发 展 和 完 善 HPM 研 究 理 论, 并 最 终 达 到 共 赢 的 和 谐 未 来 参 考 文 献 [1] 汪 晓 勤 HPM 的 若 干 研 究 与 展 望 [J]. 中 学 数 学 月 刊. 01. No,1-5. [] 汪 晓 勤, 张 小 明. HPM 研 究 的 内 容 与 方 法 [J]. 数 学 教 育 学 报, 006,15(1): 16-18. [3] Fauvel.J. Using History in Mathematics Education[J]. For the Learning of Mathematics, 1991, 9

11(): 3-6. [4] Fzanakis,C & Arcavi,A. Integrating History of Mathematics in the Classroom: An Analytic Survey [M]//J.Fauvel, J. Van Maanen. History in Mathematics Education, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 000:01-40. [5] Gulikers, I. & Blom, K,. "A Historical Angle": A Survey of Recent Literature on the Used and Value of History in Geometrical Education[J]. Educational Studies in Mathematics, 001,47(): 3-58. [6] Jankvist, U. T. Using History as a "Goal" in Mathematics Education[D]. Roskilde University, 009. [7] Jankvist,U.T. A Categorization of the "Why" and "How" of Using History in Mathematics Education[J]. Educational Studies in Mathematics, 009, 71(3): 35-61. [8] 汪 晓 勤. HPM 与 初 中 数 学 教 师 的 专 业 发 展 一 个 上 海 的 案 例 [J]. 数 学 教 育 学 报, 013, (1): 18-. [9] Furinghetti, F. History of Mathematics, Mathematics Education, School Practice: Case Studies Linking Different Domains[J]. For the Learning of Mathematics, 1997,17(1): 51-61. [10] 张 奠 宙. 教 育 数 学 是 具 有 教 育 形 态 的 数 学 [J]. 数 学 教 育 学 报, 005, 14(3): 1-4. [11] 徐 利 治, 王 前. 数 学 哲 学 数 学 史 与 数 学 教 育 的 结 合 [J]. 数 学 教 育 学 报, 1994, 3(1): 3-8. [1] 王 青 建. 数 学 史 : 从 书 斋 到 课 堂 [J]. 自 然 科 学 史 研 究, 004, 3(): 148-154. [13] 朱 哲, 宋 乃 庆. 数 学 史 融 入 数 学 课 程 [J]. 数 学 教 育 学 报, 008, 17(4): 11-14. [14] 郭 熙 汉. 数 学 史 与 数 学 教 育 [J]. 数 学 教 育 学 报, 1995( 4): 68-77. [15] 汪 晓 勤, 王 苗, 邹 佳 晨. HPM 视 角 下 的 数 学 教 学 设 计 : 以 椭 圆 为 例 [J]. 数 学 教 育 学 报, 011, 0(5): 0-3. [16] 徐 章 韬, 虞 秀 云. 信 息 技 术 使 数 学 史 融 入 课 堂 教 学 的 研 究 [J]. 中 国 电 化 教 育, 01, 300: 109-11. [17] 冯 振 举, 曲 安 京. HPM 视 野 下 的 数 学 新 课 程 内 容 构 成 [J]. 课 程 教 材 教 法, 007, 7(9): 38-4. [18] 黄 友 初, 朱 雁. HPM 研 究 现 状 与 趋 势 分 析 [J]. 全 球 教 育 展 望, 013, 4(): 116-13. [19] 康 世 刚, 胡 桂 花. 对 我 国 数 学 史 与 中 小 学 数 学 教 育 研 究 的 现 状 分 析 与 思 考 [J]. 数 学 教 育 学 报, 009, 18(5): 65-68. 10

他 山 之 石 台 湾 HPM 研 究 的 内 容 与 特 点 洪 燕 君 ( 华 东 师 范 大 学 数 学 系, 上 海 0041) 摘 要 : 台 湾 HPM 通 讯 杂 志 是 台 湾 HPM 研 究 成 果 的 主 要 发 表 园 地 我 们 对 该 刊 1998 年 创 刊 以 来 所 有 16 卷 中 的 文 章 进 行 统 计 和 分 析, 发 现 台 湾 HPM 研 究 有 以 下 主 要 特 点 : 以 史 为 基, 点 连 成 线 ; 研 史 促 教, 线 结 成 面 ; 贴 合 课 堂, 形 式 多 元 ; 倡 导 合 作, 共 同 发 展 台 湾 HPM 研 究 为 大 陆 HPM 教 学 与 研 究 提 供 了 借 鉴 关 键 词 :HPM; 数 学 史 ;HPM 通 讯 HPM(International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics) 创 立 于 197 年, 它 隶 属 于 国 际 数 学 教 育 委 员 会 (ICMI), 是 专 门 研 究 数 学 史 与 数 学 教 育 关 系 的 一 个 研 究 组, 其 主 要 目 标 之 一 是 推 动 数 学 史 在 数 学 教 育 中 的 应 用 工 作, 即 利 用 数 学 史 的 研 究 成 果 以 及 数 学 史 与 数 学 教 育 的 互 动, 来 提 升 数 学 教 与 学 的 成 效 我 们 通 常 也 将 数 学 史 与 数 学 教 育 之 间 的 关 系 这 一 研 究 领 域 本 身 简 称 为 HPM 经 过 四 十 多 年 的 发 展,HPM 今 天 已 成 为 数 学 教 育 的 重 要 研 究 领 域 之 一 中 国 大 陆 的 HPM 研 究 起 始 于 005 年 近 十 年 间, 虽 有 不 少 研 究 成 果 问 世, 且 对 HPM 感 兴 趣 者 日 益 增 多, 但 研 究 方 法 还 不 够 成 熟, 学 术 共 同 体 尚 未 完 全 形 成, 学 术 水 平 仍 有 待 于 提 高 相 比 之 下, 台 湾 的 HPM 研 究 则 起 步 于 1998 年, 迄 今 已 产 生 了 相 当 丰 富 的 研 究 成 果, 在 国 际 上 也 产 生 了 一 定 的 影 响 为 了 提 高 大 陆 的 HPM 研 究 水 平, 拓 宽 大 陆 HPM 研 究 者 的 学 术 视 野, 我 们 有 必 要 吸 收 台 湾 的 HPM 研 究 成 果, 借 鉴 台 湾 学 者 的 成 功 经 验 那 么, 台 湾 的 HPM 研 究 有 何 特 点? 我 们 从 中 能 获 得 什 么 启 示? 为 了 回 答 上 述 问 题, 本 文 对 集 中 反 映 台 湾 HPM 研 究 成 果 的 刊 物 HPM 通 讯 进 行 较 为 详 尽 的 统 计 和 分 析 11

1 HPM 通 讯 概 况 000 年 8 月, 第 九 届 国 际 数 学 教 育 大 会 (ICME-9) 在 日 本 的 立 教 大 学 召 开, 台 湾 师 范 大 学 承 办 了 ICME 卫 星 会 议 HPM-9 为 了 准 备 此 次 盛 会, 台 湾 师 范 大 学 的 洪 万 生 教 授 于 1998 年 10 月 创 办 了 HPM 台 北 通 讯, 旨 在 为 数 学 教 师 探 讨 HPM 或 其 他 数 学 教 育 议 题 搭 建 一 个 学 术 交 流 的 平 台 翌 年 8 月, HPM 台 北 通 讯 改 名 为 HPM 通 讯 ( 以 下 简 称 通 讯 ) 早 在 80 年 代 初, 洪 万 生 教 授 在 决 定 攻 读 数 学 史 时 就 开 始 关 注 HPM 相 关 议 题, 但 直 到 1996 年 在 葡 萄 牙 参 加 HPM-8 后 才 正 式 走 进 HPM 领 域 此 后, 他 走 上 了 新 的 学 术 道 路, 成 为 HPM 的 耕 耘 者 和 HPM 在 台 湾 的 传 播 者 和 引 路 人 [1] 通 讯 每 年 发 行 10 期, 每 月 一 期, 其 中 3 月 与 7 8 月 各 为 合 刊 创 刊 以 来, 通 讯 培 养 了 一 批 HPM 研 究 人 员, 他 们 中 绝 大 多 数 为 中 学 教 师, 逐 渐 形 成 了 一 个 学 术 共 同 体, 在 台 湾 数 学 教 育 界 产 生 了 广 泛 的 影 响 这 16 年 间, 台 湾 HPM 团 队 不 断 有 研 究 成 果 推 向 国 际 HPM 舞 台, 受 到 国 际 HPM 界 的 肯 定 [], 刘 柏 宏 教 授 改 编 一 句 古 诗 来 总 结 通 讯 的 发 展 历 程 : 十 年 一 跃 洋 洲 梦, 赢 得 清 流 博 新 名 [3] 通 讯 的 论 文 内 容 统 计 16 年 间, 通 讯 已 累 积 了 数 量 可 观 的 论 文, 这 些 论 文 可 以 分 成 六 类 : 数 学 史 HPM 数 学 教 育 数 学 文 化 学 术 动 态 和 其 他 表 1 给 出 了 各 类 文 章 历 年 的 分 布 情 况 表 1HPM 通 讯 中 的 文 章 内 容 统 计 卷 年 份 数 学 史 HPM 数 学 文 化 数 学 教 育 学 术 动 态 其 他 专 辑 1 1998 1 6 0 3 1 1999 13 14 4 4 9 3 000 9 18 5 1 14 3 算 数 书 4 001 16 1 0 3 16 8 5 00 1 9 0 31 6 6 003 19 1 3 10 1

7 004 10 8 0 9 10 8 005 5 5 1 14 0 数 学 普 及 著 作 推 荐 95 学 年 高 中 数 学 暂 行 纲 要 ; 数 学 归 纳 法 9 006 18 9 0 4 0 7 海 伦 公 式 10 007 11 10 4 15 11 008 8 5 4 16 4 1 009 9 4 5 17 0 13 010 6 6 4 5 10 0 14 011 9 7 3 8 1 15 01 4 11 1 数 简 特 刊 16 013 8 5 0 7 10 总 计 167 148 8 64 66 67 6 百 分 比 %.57% 0% 3.78% 8.65% 35.95% 9.05%.1 数 学 史 这 里 的 数 学 史 类 是 指 纯 粹 针 对 数 学 史 料 的 学 术 研 究 从 表 1 可 见, 这 类 文 章 占 了 总 数 的.57%, 在 所 有 文 章 中 占 的 比 重 最 大 主 要 包 括 以 下 主 题.1.1 历 史 文 献 通 讯 第 3 卷 第 11 期 以 专 辑 形 式 发 表 了 算 数 书 特 刊, 这 是 国 际 数 学 史 界 第 一 篇 全 面 性 的 校 勘 报 告, 目 前 其 成 果 已 被 许 多 学 者 广 泛 引 用 对 国 际 上 新 兴 的 热 门 研 究 主 题 之 一 - 东 算 史, 学 者 们 从 当 时 数 学 知 识 的 发 展 与 交 流 到 韩 国 数 学 自 主 性 的 建 立 过 程 都 进 行 了 较 深 入 的 探 讨 一 批 台 师 大 的 硕 士 论 文 主 题 还 体 现 了 对 中 国 明 清 数 学 史 的 研 究, 如 林 仓 亿 中 国 清 代 173-180 年 间 的 借 根 方 与 天 元 术 (00) 陈 威 男 明 代 算 书 < 算 法 统 宗 > 内 容 分 析 (00) 等 这 些 研 究 充 分 显 示 了 台 湾 HPM 团 队 开 创 性 的 数 学 史 研 究 成 果 此 外, 第 卷 第 4 5 期 刊 出 了 几 何 原 本 第 VII 卷 定 义 之 解 读 ( 上 下 );00-003 年 间,HPM 团 队 还 完 成 了 九 章 术 解 卷 一 到 卷 八 的 系 列 校 勘 文 章 13

这 一 类 别 的 研 究 文 章 主 要 是 以 翻 译 解 读 和 校 勘 的 形 式 出 现, 作 者 大 多 直 接 从 原 始 文 献 入 手, 依 据 史 料 说 话, 很 少 掺 杂 个 人 的 想 法 见 解 和 推 断, 当 不 同 校 勘 策 略 产 生 了 不 同 风 貌 时, 是 非 优 劣 不 作 定 论 如 对 算 数 书 的 以 材 方 与 以 方 材 二 题 的 校 勘 与 解 读 中 同 时 呈 现 了 四 个 人 的 校 勘 另 外, 洪 万 生 教 授 在 对 中 算 史 的 早 期 研 究 中, 除 立 足 史 实 遵 循 中 国 古 算 本 原 的 慎 密 风 格 外, 还 有 意 识 地 将 研 究 题 材 纳 入 到 对 中 国 古 算 理 论 体 系 以 及 古 代 科 学 理 论 结 构 的 探 讨 中, 提 出 了 许 多 发 人 深 省 的 观 点 如 他 在 古 代 中 国 的 几 何 学 一 文 中 指 出 : 中 国 古 代 几 何 学 无 法 象 几 何 原 本 那 样 发 展 成 一 种 形 式 理 论 的 规 范, 是 由 于 本 体 论 和 方 法 论 方 面 的 欠 缺 ; 在 考 察 14 世 纪 中 国 数 学 由 盛 而 衰 的 原 因 时, 他 尖 锐 地 指 出, 其 内 在 原 因 是 当 时 缺 乏 有 意 义 的 问 题 ; 在 魏 晋 南 北 朝 的 数 学 研 究 中, 他 认 为 非 实 用 性 促 进 了 几 何 理 论 的 发 展, 从 而 几 何 学 成 为 当 时 最 突 出 的 成 就 [4].1. 数 学 人 物 通 讯 中 介 绍 了 许 多 古 今 数 学 家, 对 他 们 的 研 究 主 要 是 从 数 学 家 的 人 格 特 点 数 学 知 识 的 启 发 与 认 知 及 其 与 所 处 文 化 脉 络 的 互 动 等 角 度 来 描 述, 史 人 合 一 如 明 代 历 算 学 家 周 述 学 清 代 算 学 家 戴 煦 骆 腾 凤 梅 启 照, 韩 国 数 学 家 南 秉 吉, 以 及 利 玛 窦 斐 波 那 契 史 都 克 奥 马 海 亚 姆 阿 基 米 德 F 克 莱 因 莱 布 尼 兹 法 兰 契 斯 卡 李 善 兰 华 罗 庚 陶 哲 轩 等 等 第 15 卷 第 7 期 刘 雅 茵 在 她 的 硕 士 论 文 关 孝 和 < 括 要 算 法 > 之 内 容 分 析 中, 先 对 关 孝 和 生 平 及 著 述 作 了 概 述, 然 后 对 其 代 表 作 括 要 算 法 的 四 卷 内 容 进 行 分 析, 最 后 对 各 卷 内 容 与 中 国 传 统 数 学 的 关 系, 以 及 关 孝 和 的 延 拓 与 发 展 作 了 探 讨 [5] 另 外, 还 有 作 者 依 据 自 己 对 欧 几 里 得 阿 基 米 德 笛 卡 儿 等 名 家 数 学 成 就 的 理 解 来 创 作 其 肖 像 作 品 如, 第 15 卷 10 期 吴 宛 柔 选 择 柯 西 不 等 式 柯 西 积 分 公 式 和 柯 西 序 列 等 知 识 作 为 背 景, 用 深 蓝 色 外 套 象 征 柯 西 年 轻 又 不 失 稳 重 的 个 性, 以 较 少 的 头 发 表 现 其 勤 于 思 考 的 头 脑, 并 给 柯 西 画 了 一 双 大 眼 睛, 以 期 展 示 其 擅 长 洞 悉 数 学 之 美 的 特 点 [6] 早 期 洪 万 生 教 授 撰 写 的 从 李 约 瑟 出 发 文 集 (1985 年, 九 章 出 版 社 出 版 ) 中 对 一 些 数 学 人 物 也 做 了 深 刻 分 析, 如 他 认 为 李 俨 钱 宝 珠 两 位 学 者 的 主 要 贡 献 在 于 史 料 冤 集 与 理 性 重 建 的 层 面 上, 但 无 法 充 分 运 用 比 较 史 学 的 方 法 展 开 论 题 ; 而 李 约 瑟 对 中 国 古 算 体 系 特 别 是 对 刘 徽 成 就 认 识 的 不 足 使 他 无 法 正 确 理 解 中 国 古 代 数 学 的 理 论 意 义 [4] 14

.1.3 专 题 呈 现 通 讯 中, 作 者 对 许 多 数 学 概 念 公 式 定 理 的 历 史 进 行 了 深 入 的 介 绍, 如 三 角 函 数 公 式 的 托 勒 密 方 法 余 弦 定 律 可 以 怎 么 教 等 文 章 ; 还 有 些 是 以 专 辑 的 形 式, 如 海 伦 公 式 专 辑, 通 过 把 海 伦 公 式 的 历 史 证 法 当 成 三 角 形 面 积 教 学 的 桥 梁, 进 而 探 求 在 小 学 初 中 高 中 等 不 同 阶 段 现 行 教 材 内 容 的 衔 接 纵 深 与 统 整 的 方 法 另 外, 还 有 些 知 识 点 的 历 史 是 以 系 列 单 元 教 室 的 特 色 出 现, 苏 惠 玉 先 后 撰 写 了 十 个 HPM 教 室 单 元 :1 几 何 原 本 与 九 章 算 术 ; 有 理 数 与 无 理 数 可 公 度 量 与 不 可 公 度 量 ; 3 平 方 根 的 近 似 值 ;4 解 析 几 何 ;5 函 数 概 念 的 发 展 ;6 求 一 术 与 插 值 多 项 式 ;7 列 方 程 式 借 根 方 与 天 元 术 ;8 解 方 程 的 线 性 思 维 试 位 法 与 双 设 法 ;9 解 方 程 的 几 何 思 维 - 二 次 与 三 次 方 程 式 的 根 式 解 ;10 帕 斯 卡 三 角 形 通 过 这 些 文 章, 能 引 领 中 学 教 师 快 速 了 解 需 要 的 数 学 史 料, 进 一 步 塑 造 自 己 的 HPM 教 学 并 且, 为 了 让 研 究 者 了 解 数 学 史 在 教 与 学 中 如 何 有 效, 洪 万 生 教 授 及 HPM 团 队 在 1988-1990 年 间 积 极 开 展 了 古 代 数 学 文 本 在 课 堂 上 的 使 用 研 究 计 划 ; 在 006-008 年 间 与 台 大 数 学 系 教 授 张 海 潮 合 作 筹 划 拍 摄 的 16 部 数 学 史 影 片, 每 部 片 长 约 5~30 分 钟 内 容 包 括 乘 法 公 式 因 式 分 解 配 方 法 与 公 式 解 一 元 二 次 多 项 式 的 函 数 图 形 等 等. 数 学 史 与 数 学 教 育 (HPM) HPM 仅 指 数 学 史 与 数 学 教 育 关 系 的 研 究, 从 表 1 可 见, 这 类 文 章 占 了 0%, 仅 次 于 数 学 史 类 其 内 容 具 体 包 括 以 下 几 个 方 面 :..1 理 论 探 讨 洪 万 生 教 授 认 为 数 学 史 在 数 学 教 育 理 想 的 塑 造 数 学 教 学 方 法 的 借 鉴 以 及 数 学 课 程 教 材 的 恰 当 性 评 估 方 面 起 着 无 可 替 代 的 作 用 强 调 在 课 堂 上, 教 师 运 用 数 学 史 至 少 可 以 分 成 三 个 层 次 [7] :( 1) 说 故 事 可 以 提 升 学 生 的 数 学 学 习 兴 趣, 启 发 其 对 事 物 的 洞 察 力 包 容 力 和 创 造 力 () 在 历 史 的 脉 络 中 通 过 比 较 数 学 家 所 提 供 的 不 同 方 法, 可 以 拓 宽 学 生 的 视 野, 培 养 其 全 方 位 的 认 识 能 力 与 思 考 弹 性 如 他 在 如 何 在 课 堂 上 使 用 数 学 史 一 文 中, 列 举 勾 股 定 理 的 三 种 证 法, 希 望 学 生 通 过 比 较 差 异 来 分 享 历 史 的 多 元 文 化 关 怀 [8] ( 3) 提 倡 从 历 史 的 角 度 注 入 数 学 知 识 活 动 的 文 化 意 义, 在 数 学 教 育 过 程 中 实 践 多 元 文 化 关 怀 的 理 想 黄 俊 玮 也 15

总 结 了 数 学 史 的 教 育 价 值 [9] 此 外, 洪 万 生 教 授 还 提 出 了 数 学 史 融 入 数 学 教 学 的 流 程 图 [10] : 数 学 史 原 始 文 献 二 手 资 料 历 史 的 渗 透 教 学 材 料 数 学 史 融 入 数 学 教 学 课 堂 中 的 教 与 学 并 具 体 介 绍 了 国 际 上 的 做 法.. 教 学 实 践 学 习 单 是 台 湾 HPM 团 队 将 数 学 史 融 入 课 堂 教 学 的 主 要 载 体 苏 意 雯 认 为, 应 该 从 涵 盖 [11] 数 学 知 识 的 逻 辑 历 史 学 生 认 知 三 个 面 向 来 设 计 供 课 堂 教 学 使 用 的 学 习 单 目 前, 团 队 成 员 以 HPM 课 题 为 依 托, 已 撰 写 60 多 个 教 学 案 例 或 学 习 单, 部 分 已 发 表 在 通 讯 上, 如 无 限 微 积 分 概 念 数 学 归 纳 法 学 习 单 曲 线 下 的 面 积 对 数 等 等 例 如, 林 仓 亿 在 数 学 史 融 入 教 学 以 对 数 表 为 例 一 文 中, 依 据 现 行 课 程 纲 要 的 架 构, 在 对 数 函 数 图 像 教 学 之 后, 利 用 数 学 史 引 入 对 数 表, 让 学 生 体 会 前 人 制 作 对 数 表 的 艰 辛 [1] 第 1 份 学 习 单 是 通 过 法 国 数 学 家 许 凯 (N. Chuquet, 1455-1488) 的 工 作, 让 学 生 观 察 两 数 相 乘 与 指 数 相 加 的 对 应 关 系 第 份 学 习 单 介 绍 对 数 与 对 数 表 的 起 源 以 及 布 里 格 斯 求 lg 近 似 值 的 过 程 第 3 份 学 习 单 利 用 对 数 来 发 现 开 普 勒 (J. Kepler, 1571-1630) 的 行 星 第 三 运 动 定 律 课 后 问 卷 调 查 显 示, 将 数 学 史 融 入 教 学, 能 让 学 生 在 学 习 数 学 知 识 的 同 时, 还 能 获 得 更 多 的 历 史 与 人 文 关 怀, 改 变 对 数 学 的 看 法..3 专 业 发 展 为 了 说 明 和 预 测 HPM 如 何 促 进 数 学 教 师 的 专 业 发 展, 洪 万 生 和 苏 意 雯 借 助 两 种 诠 释 16

学 循 环 图, 建 立 了 数 学 教 师 基 于 HPM 的 专 业 发 展 模 型 [13-15] 如 下 图 1 和 图, 即 教 材 编 写 者 (E) 通 过 对 课 程 标 准 与 数 学 学 科 知 识 (S) 的 诠 释, 编 成 教 材 (C), E C 和 S 构 成 初 圈 (C1); 古 代 数 学 家 (M) 结 合 数 学 理 论 (T) 与 数 学 对 象 (O) 构 成 初 圈 (C) [16] ; 数 学 教 师 (T) 在 C1 和 C 之 间 建 立 起 密 切 的 联 系, 对 初 圈 进 行 诠 释, 确 定 教 学 内 容 知 识 (I), T I 和 C1 C 构 成 次 圈 即 在 此 阶 段, 教 学 将 历 史 和 教 材 课 程 标 准 有 机 地 融 合 在 了 一 起 T T E M C S T O I C C 1 C I C 1 基 于 HPM 新 诠 释 学 循 环 诠 释 学 四 面 体 苏 意 雯 的 博 士 论 文 数 学 教 师 专 业 发 展 的 一 个 面 向 : 数 学 史 融 入 数 学 教 学 之 实 作 与 研 究 中 通 过 教 师 行 动 研 究 表 明, 以 广 泛 阅 读 数 学 史 及 数 学 教 学 相 关 书 籍 研 究 HPM 学 习 工 作 单 的 设 计 及 撰 写 教 学 反 思 多 方 面 参 与 和 数 学 教 育 或 HPM 有 关 的 座 谈 与 研 讨 定 期 专 家 咨 询 以 及 以 学 校 为 中 心 的 实 践 社 群 方 式 等 HPM 策 略, 可 以 给 老 师 带 来 了 HPM 教 学 者 身 份 的 转 变 参 与 科 普 写 作 批 判 反 思 能 力 增 强 数 学 知 识 的 统 整 以 及 视 学 生 为 学 习 主 体 等 变 化, 从 而 证 明 了 数 学 史 融 入 数 学 教 学 的 发 展 与 实 践, 可 以 成 为 数 学 教 师 专 业 发 展 的 进 路 之 一 [17] 洪 万 生 和 苏 意 雯 还 就 HPM 对 教 师 专 业 发 展 的 促 进 作 用 对 若 干 教 师 进 行 了 个 案 研 究 3 台 湾 HPM 研 究 之 特 点 纵 观 洪 万 生 教 授 的 研 究 以 及 通 讯 16 卷 的 文 章, 我 们 可 以 总 结 出 台 湾 HPM 研 究 的 若 干 显 著 特 点 3.1 以 史 为 基, 点 连 成 线 数 学 史 研 究 是 HPM 的 基 础, 没 有 数 学 史 的 研 究,HPM 就 成 了 无 源 之 水 无 本 之 木 台 湾 HPM 研 究 非 常 重 视 数 学 史 研 究, 以 史 为 基, 点 连 成 线 如 通 过 研 究 刘 徽 注 来 把 握 中 国 17

古 算 理 论 体 系 ; 研 究 13 世 纪 中 算 理 论 体 系 来 了 解 近 代 中 国 科 技 落 后 的 史 实 ; 对 明 清 杰 出 数 学 家 及 其 著 作 的 研 究 进 而 丰 富 我 们 对 如 何 衔 接 传 统 与 现 代 问 题 的 认 识 [4] 而 且, 台 湾 HPM 团 队 中 绝 大 多 数 成 员 为 中 学 数 学 教 师, 和 大 多 数 的 大 陆 中 学 数 学 教 师 一 样, 在 进 入 HPM 领 域 之 初, 他 们 并 不 擅 长 数 学 史, 对 原 始 文 献 更 是 不 甚 了 了 但 是, 很 多 成 员 都 能 潜 下 心 来 从 某 个 点 入 手, 进 行 深 入 的 数 学 史 原 始 文 献 研 究, 如 他 们 的 HPM 教 室 单 元 系 列 设 计 以 及 数 学 专 题 研 究 的 多 元 化 呈 现 这 样 做 不 仅 能 确 保 用 于 教 育 的 数 学 史 料 的 真 实 性, 而 且 研 究 者 对 有 关 知 识 点 的 历 史 会 有 更 深 刻 的 理 解, 其 HPM 研 究 的 学 术 性 也 就 得 到 提 升 3. 研 史 促 教, 线 结 成 面 数 学 教 育 不 可 能 割 裂 数 学 的 历 史 研 究 数 学 史, 目 的 是 为 了 改 善 今 天 的 数 学 教 学 台 湾 HPM 研 究 的 另 一 个 显 著 特 点 是 以 史 促 教 线 结 成 面 如 几 何 原 本 第 VII 卷 定 义 之 解 读 一 文 为 今 天 如 何 辗 转 相 除 做 约 分 的 教 学 带 来 了 很 多 启 示 [18] ; 文 章 中 算 史 中 的 张 本 例 解 读 了 中 算 史 上 的 一 些 具 体 的 张 本 例, 并 明 确 指 出 其 可 以 供 HPM 研 究 者 参 考 或 使 用 [19] ; 杨 辉 算 书 的 探 讨 : 一 个 HPM 的 观 点 的 论 文 摘 要 显 示, 虽 然 杨 辉 算 书 的 职 责 是 普 及 实 用 民 生 数 学 知 识, 但 它 对 数 学 知 识 深 度 及 内 涵 地 探 索 很 重 视, 所 以 作 者 从 HPM 的 角 度 对 数 学 教 学 的 一 些 理 念 和 做 法 进 行 了 反 思 [0] 3.3 贴 合 课 堂, 形 式 多 元 虽 然, 学 习 单 是 台 湾 HPM 研 究 的 主 要 表 现 载 体, 但 它 不 是 一 成 不 变 的 如 在 对 数 的 学 习 中, 苏 俊 鸿 林 仓 亿 先 后 从 对 数 的 起 源 lg 的 计 算 等 角 度 设 计 了 不 同 的 学 习 单 再 如, 阮 锡 琦 老 师 为 了 贴 合 课 堂 选 择 从 有 利 于 学 生 学 习 的 角 度 出 发 来 设 计 学 习 单, 在 [1] 三 角 函 数 教 学 活 动 课 例 的 五 张 工 作 单 中, 内 容 包 含 了 东 西 方 的 数 学 史, 有 看 图 说 故 事 口 诀, 还 有 古 书 的 原 文, 但 第 五 张 工 作 单 与 前 四 张 不 同, 没 有 HPM 说 明 阮 老 师 的 教 学 没 有 为 历 史 而 历 史! 此 外, 卓 朝 赐 老 师 从 培 养 学 生 主 动 学 习 的 意 识 这 个 角 度 提 出 了 以 故 事 来 呈 现 主 题 让 学 生 做 专 题 研 究 提 供 数 学 游 戏 的 材 料 等 观 点 [] 而 且, 数 学 史 微 电 影 的 使 用 也 为 课 堂 教 学 的 多 样 化 提 供 了 有 效 策 略 18

3.4 倡 导 合 作, 共 同 发 展 台 湾 HPM 研 究 能 取 得 瞩 目 的 成 就 还 与 她 拥 有 一 个 精 诚 合 作 的 团 队 息 息 相 关 因 为 要 让 HPM 真 正 走 进 课 堂, 就 必 须 有 中 学 教 师 通 过 专 业 发 展 进 入 HPM 学 术 共 同 体 否 则 学 术 研 究 与 课 堂 实 践 之 间 的 鸿 沟 难 以 逾 越, 从 而 使 得 数 学 史 在 中 学 高 评 价 低 应 用 的 境 遇 很 难 获 得 实 质 性 的 改 善 [3] HPM 通 讯 自 创 刊 以 来 编 辑 组 里 的 中 学 教 师 人 数 就 占 到 60% 以 上, 这 些 中 学 老 师 大 都 是 洪 万 生 教 授 培 养 的 教 育 硕 士, 从 他 们 学 位 论 文 的 主 题 以 及 一 线 教 学 的 感 悟 里 可 以 看 出 他 们 呕 心 梳 理 数 学 史 料 的 印 痕 以 及 对 教 育 的 真 挚, 感 受 到 了 注 重 数 学 知 识 的 历 史 文 化 向 度, 能 使 学 生 对 数 学 的 理 解 更 加 完 整, 更 能 体 验 到 数 学 的 价 值 这 一 作 用 此 外, 还 值 得 一 提 的 是, 台 湾 数 学 文 化 工 艺 虚 拟 博 物 馆 的 管 理 和 运 营 是 由 接 受 过 HPM 通 讯 训 练 过 的 70 多 名 拥 有 数 学 史 /HPM 素 养 的 中 学 教 师 来 保 证 的 4 若 干 启 示 掩 卷 沉 思, 台 湾 HPM 的 以 史 为 基 研 史 促 教 贴 合 课 堂 倡 导 合 作 等 研 究 特 点 给 我 们 大 陆 HPM 的 研 究 带 来 怎 样 的 启 示? 要 让 HPM 研 究 真 正 走 进 中 学 课 堂 发 挥 它 独 特 的 教 育 价 值, 笔 者 有 如 下 管 窥 之 见 与 大 家 商 榷 (1) 坚 持 进 行 深 入 的 教 育 取 向 的 数 学 史 研 究 HPM 研 究 者 要 根 据 教 学 内 容 和 学 生 认 知 的 要 求, 坚 持 选 取 适 合 课 堂 教 学 的 历 史 材 料 深 入 研 究, 这 样 有 利 于 中 学 一 线 教 师 将 数 学 史 的 诠 释 与 原 有 数 学 教 学 的 诠 释 有 效 的 融 合, 使 数 学 史 学 形 态 的 资 料 转 化 为 数 学 的 教 育 形 态, 真 正 使 数 学 史 融 入 到 数 学 教 学 中 来, 从 而 达 到 为 教 育 而 历 史 的 目 的, 否 则,HPM 研 究 将 如 空 中 楼 阁, 不 堪 一 击 这 个 见 解 与 大 陆 HPM 团 队 的 思 考 几 乎 不 谋 而 合, 虽 然 我 们 起 步 稍 晚, 又 面 临 着 重 重 挑 战, 但 这 项 教 育 取 向 的 数 学 史 研 究 工 作 必 须 要 踏 实 深 入 地 坚 持 下 去 () 完 善 操 作 性 强 适 合 学 情 的 HPM 案 例 研 究 模 式 台 湾 HPM 团 队 建 立 了 融 入 数 学 史 的 学 习 单 模 式, 极 便 于 刚 进 入 HPM 领 域 的 数 学 教 师 实 践 但 这 种 模 式 并 不 适 用 于 大 陆 的 数 学 课 堂, 如 对 数 的 教 学, 台 湾 苏 俊 鸿 老 师 根 据 对 数 的 4 个 历 史 发 展 阶 段 设 计 了 相 应 的 4 个 学 习 单 进 行 教 学, 而 在 我 们 的 历 史 重 构 式 19

教 学 中 只 涉 及 了 个 阶 段, 但 课 堂 反 应 及 课 后 检 测 效 果 反 馈 非 常 好 诚 然, 数 学 是 心 智 的 活 动, 是 思 考 的 方 法 只 有 生 长 在 理 论 背 景 下 的 方 法 才 更 具 有 顽 强 的 生 命 力, 今 后 我 们 仍 将 在 教 学 的 知 识 与 技 能 过 程 与 方 法 情 感 态 度 和 价 值 观 上 对 理 论 进 行 实 践 和 再 探 讨, 以 期 建 立 起 更 完 善 的 操 作 性 强 适 合 学 情 的 HPM 案 例 研 究 模 式 (3) 加 强 高 校 与 中 学 教 师 学 习 共 同 体 的 研 究 模 式 学 习 共 同 体 是 指 一 个 由 学 习 者 及 其 助 学 者 ( 包 括 教 师 专 家 辅 导 者 等 ) 共 同 构 成 的 团 体, 以 完 成 共 同 的 学 习 任 务 促 进 成 员 全 面 成 长 为 目 的, 它 在 学 习 过 程 中 强 调 通 过 沟 通 交 流 和 分 享 各 种 学 习 资 源 而 互 相 影 响 互 相 促 进 台 湾 的 HPM 研 究 长 期 坚 守 中 学 阵 营, 高 校 与 中 学 教 师 并 肩 作 战, 这 使 得 她 在 国 际 HPM 舞 台 上 灵 动 有 加 魅 力 俱 增 大 陆 HPM 学 习 共 同 体 虽 已 有 雏 形, 但 在 规 模 和 深 度 上 还 需 进 一 步 发 展 成 熟 参 考 文 献 [1] 洪 万 生. 发 刊 词 [J]. HPM 通 讯, 1998,1(1):1-. [] 欧 士 福. HPM 的 发 展 史 : 1976-000 [J]. HPM 通 讯, 003, 6(10): -4. [3] 刘 柏 宏. 十 年 一 跃 洋 洲 梦, 赢 得 清 流 博 新 名 [J]. HPM 通 讯, 008,11(9):1-. [4] 刘 钝, 江 晓 原. 介 绍 台 湾 三 位 科 学 史 研 究 者 [J]. 自 然 辩 证 法 通 讯, 1991,(6):68-75. [5] 刘 雅 茵. 关 孝 和 < 括 要 算 法 > 之 内 容 分 析 [J]. HPM 通 讯, 01,15(7):1-1. [6] 吴 宛 柔. 柯 西 画 像 : 创 作 理 念 [J]. HPM 通 讯, 01,15(10):15-16. [7] 洪 万 生. HPM 随 笔 ( 一 )[J]. HPM 通 讯, 1998,1():1-3. [8] 洪 万 生. 如 何 在 课 堂 上 使 用 数 学 史 [J]. HPM 通 讯, 1998,1(1):-3. [9] 黄 俊 玮. 数 学 史 值 得 融 入 数 学 教 学 吗?[J]. HPM 通 讯, 007,10(6):1-4. [10] 洪 万 生. 数 学 史 与 数 学 的 教 与 学 [J]. HPM 通 讯, 1999,(4):1-3. [11] 苏 意 雯. 如 何 制 作 HPM 学 习 工 作 单 - 以 数 学 归 纳 法 单 元 为 例 [J]. HPM 通 讯, 005,8(4):16-19. [1] 林 仓 亿. 数 学 史 融 入 教 学 以 对 数 表 为 例 [J]. HPM 通 讯, 010,13(1):8-16. [13] 洪 万 生.PCK vs. HPM: 以 两 位 高 中 数 学 教 师 为 例 [D]. 香 港 教 育 学 院,005. [14] 苏 意 雯. 数 学 教 师 以 HPM 促 进 专 业 发 展 之 个 案 研 究 [R]. 数 理 教 师 专 业 发 展 学 术 研 讨 会, 彰 化 : 国 立 彰 化 师 范 大 学,004. 0

[15] 苏 意 雯. 运 用 古 文 本 于 数 学 教 学 - 以 开 方 法 为 例 [J]. 台 湾 数 学 教 师 电 子 期 刊,007,(9):56-67 [16] 汪 晓 勤. HPM 与 初 中 教 师 的 专 业 发 展 一 个 上 海 的 案 例 [J]. 数 学 教 育 学 报,013,(1): 18-. [17] 苏 意 雯. 数 学 教 师 专 业 发 展 的 一 个 面 向 : 数 学 史 融 入 数 学 教 学 之 实 作 与 研 究 [J]. HPM 通 讯, 005,8(5):1-. [18] 谢 佳 叡. 几 何 原 本 第 VII 卷 定 义 之 解 读 ( 上 )[J]. HPM 通 讯, 1999,(4):4-7. [19] 洪 万 生. 中 算 史 中 的 张 本 例 [J]. HPM 通 讯, 00,5(1):1-3. [0] 王 文 姵. 杨 辉 算 书 的 探 讨 : 一 个 HPM 的 观 点 [J]. 台 湾 HPM 通 讯,00,5(7):13-14. [1] 林 仓 亿. 高 中 数 学 的 HPM 相 关 资 源 [J]. HPM 通 讯, 01,15(1):1-13. [] 卓 朝 赐. HPM 台 北 通 讯 读 后 感 [J]. HPM 通 讯, 1999,(4):10-11. [3] 张 小 明, 汪 晓 勤. 中 学 数 学 教 学 中 融 入 数 学 史 的 行 动 研 究 [J]. 数 学 教 育 学 报, 009, 18(4): 89-9. 1

译 海 拾 贝 阿 基 米 德 是 怎 样 帮 助 学 生 揭 开 π 的 神 秘 面 纱 的 叶 晓 娟 编 译 ( 华 东 师 范 大 学 数 学 系, 上 海 0041) Ioannis Papadopoulos 本 文 描 述 了 一 个 课 堂 实 验, 在 实 验 中 学 生 利 用 数 学 史 中 的 方 法 来 学 习 一 种 重 要 的 数 学 思 想 确 切 地 说, 是 一 所 小 学 的 六 年 级 学 生 用 阿 基 米 德 穷 竭 法 计 算 π 值 在 计 算 机 环 境 下, 学 生 通 过 作 圆 的 内 接 和 外 切 正 多 边 形 来 求 圆 面 积 的 近 似 值 然 后 算 出 该 近 似 值 与 以 圆 半 径 为 边 长 的 正 方 形 面 积 的 比 值, 来 作 为 圆 面 积 与 其 半 径 平 方 的 比 值 追 随 阿 基 米 德 的 思 想, 学 生 发 现 当 增 加 多 边 形 的 边 数 时, 计 算 得 出 的 π 值 几 乎 等 于 3.14 1 序 言 在 过 去 几 年 里, 研 究 者 们 对 数 学 教 育 中 数 学 史 的 兴 趣 日 渐 浓 厚, 然 而, 据 Siu 和 Tzanakis(004) 所 说, 大 部 分 的 研 究 都 停 留 在 理 论 水 平 Jankvist (011) 在 他 的 国 际 数 学 教 育 委 员 会 第 一 个 百 年 (1908-008): 数 学 世 界 的 思 考 与 建 造 一 文 中 也 表 达 了 同 样 的 观 点, 编 者 Menghini 和 他 同 事 指 出 : 尽 管 有 很 多 对 于 数 学 教 育 中 历 史 的 研 究, 却 很 少 有 人 关 注 数 学 史 在 数 学 教 育 中 的 重 要 作 用 教 师 们 需 要 实 例 去 展 示 :(i) 数 学 史 是 怎 样 帮 助 人 们 发 展 更 熟 练 的 数 学 技 能 的 (ii) 在 数 学 教 学 中, 数 学 史 是 怎 样 促 进 理 解, 和 使 大 家 意 识 到 数 学 史 在 促 进 数 学 理 解 中 的 重 要 作 用 的 (Clark,01) Clark 还 补 充 道, 很 少 ( 如 果 有 的 话 ) 有 研 究 去 关 注 数 学 史 对 数 学 教 学 的 作 用 另 一 方 面, 有 些 名 不 见 经 传 的 小 学 教 师 们 在 小 学 算 术 教 学 中 有 过 与 数 学 史 联 系 起 来 的 尝 试 (Michalowicz 000) 这 些 人 以 及 少 数 的 关 于 在 教 育 中 实 现 这 一 想 法 的 文 章, 包 括 Smestad (01), Kjeldsen 和 Blomhøj (01), 证 明 了 这 种 方 法 是 可 以 实 现 的 我 们 需 要 更 多 的 实 证 研 究, 以 便 学 习 到 将 数 学 史 融 入 教 与 学 中 去 的 种 种 思 想 方 法 为 了 回 应 这 种 需 求, 本 文 向 大 家 展 示 了 一 项 实 证 研 究, 是 基 于 阿 基 米 德 穷 竭 法 计 算 π

的 教 学 实 验 这 一 实 验 的 灵 感 来 源 于 一 位 学 生 的 提 问 : 为 什 么 π 约 等 于 3.14, 而 不 是 其 他 数, 如 3.13 或 者 3.15? 如 果 该 问 题 得 不 到 解 决, 就 会 让 学 生 觉 得, 重 要 数 学 思 想 的 发 现, 只 是 智 者 脑 海 中 的 灵 光 一 闪, 而 不 是 任 何 人 都 能 掌 握 的, 可 探 索 的 科 学 研 究 成 果 不 仅 如 此, 如 果 一 个 概 念 只 是 作 为 它 本 身 背 景 中 的 一 个 事 实, 那 么 学 生 就 失 去 了 探 索 这 个 神 秘 数 字 的 机 会 借 用 Jankvist(009) 的 教 学 实 验 双 重 目 的 : 以 历 史 为 工 具, 同 时 还 要 以 历 史 为 目 的 就 前 者 而 言, 历 史 能 够 激 发 学 生 学 习 和 研 究 数 学 的 热 情 ; 对 于 后 者, 则 说 明 了 目 的 是 为 了 向 学 生 展 示 这 个 神 秘 的 数 字 的 存 在 和 它 经 历 的 演 变 过 程, 而 非 灵 光 一 闪 的 结 果 出 于 学 生 的 年 龄 考 虑 ( 小 学 生 ), 该 实 验 以 一 种 非 正 规 的 方 式 进 行, 正 规 程 序 可 能 更 适 合 年 龄 稍 长 的 学 生 (Furinghetti 00) 教 师 研 究 者 认 为 对 于 年 幼 的 学 生 来 说, 见 证 一 个 概 念 的 发 展, 经 历 构 建 数 学 思 想 过 程 中 严 密 思 维 与 丰 富 想 象 之 间 的 交 互 是 很 重 要 的 (Gulikers and Blom 001) 帮 助 学 生 去 做 数 学 对 于 促 进 数 学 学 习 非 常 重 要 引 言 π 在 数 学 史 与 数 学 教 育 史 上 都 占 据 着 重 要 的 位 置 在 数 学 史 上,π 的 定 义 是 圆 周 长 与 其 直 径 的 比 值, 以 及 圆 面 积 与 其 半 径 平 方 的 比 值 π 自 古 以 来 都 是 来 自 世 界 各 国 的 数 学 家 研 究 的 焦 点 在 数 学 教 育 领 域, 对 π 的 研 究 越 深 入, 就 越 能 发 现 它 的 神 秘 (Galton 009) 最 开 始,π 出 现 在 小 学 课 程 中 的 公 式 里 面 ; 它 在 圆 的 周 长 和 面 积 公 式 中 被 近 似 值 3.14 取 代 随 后, 学 生 知 道 π 不 能 用 一 个 准 确 的 小 数 表 示, 同 时 他 们 并 不 了 解 这 一 结 果 是 如 何 被 发 现 的 虽 然 π 是 个 看 似 简 单 的 比 值 ( C / r 和 A / r ), 但 它 小 数 点 后 面 有 无 数 位 确 切 来 说,π 也 不 能 用 分 数 表 示 多 年 后, 通 常 是 在 大 学 阶 段, 学 生 知 道 了 π 与 欧 拉 指 数 e 和 虚 数 1 之 间 存 在 联 系 π 在 数 学 教 育 中 的 故 事 并 未 止 于 此,π 的 数 学 趣 味 远 不 止 这 些 本 文 强 调 了 π 在 小 学 课 程 中 对 于 圆 面 积 的 作 用, 描 述 了 一 个 课 堂 实 验, 证 明 了 π 约 等 于 3.14 这 一 实 验 设 计 灵 感 来 自 于 阿 基 米 德 对 圆 作 内 接 与 外 切 正 多 边 形 的 方 法 这 种 方 法 适 合 小 学 生 去 理 解 某 些 数 学 概 念 和 使 用 一 些 工 具 下 一 节 介 绍 了 阿 基 米 德 是 怎 样 用 上 述 方 法 计 算 π 的 第 四 节 展 示 了 类 似 实 验 的 有 关 文 3

献 第 五 节 是 实 验 的 内 容, 给 出 了 实 验 进 行 的 具 体 步 骤 最 后 是 总 结 部 分, 突 出 了 概 念 历 史 的 重 要 性, 和 对 学 生 概 念 理 解 的 作 用 3 阿 基 米 德 方 法 的 简 短 历 史 1706 年,William Jones 首 次 使 用 希 腊 字 母 π 来 表 示 这 个 重 要 的 比 值, 但 是 对 于 该 值 的 近 似 要 追 溯 到 更 早 的 时 期 : 希 伯 来 人, 埃 及 人 和 巴 比 伦 人 (Harris 1959) 在 几 百 年 间 一 直 沿 用 3 作 为 这 一 比 值, 并 为 世 人 所 接 受 后 来, 到 了 公 元 前 4 世 纪,Euclid (~35 65 BC) 证 明 了 圆 面 积 的 比 值 等 于 半 径 平 方 的 比 值 (Book XII, Proposition ), 为 π 的 历 史 作 出 了 巨 大 贡 献, 这 一 结 论 逐 渐 发 展 为 圆 的 面 积 公 式 然 而, 直 到 公 元 前 3 世 纪,Syracuse 的 阿 基 米 德 (87-1BC) 才 开 始 用 科 学 的 方 法 计 算 π 在 他 的 著 作 圆 的 测 量 中, 用 到 了 三 种 方 法 第 一 种 是 基 于 与 圆 的 面 积 相 等 的 直 角 三 角 形, 该 三 角 形 分 别 以 圆 半 径 和 周 长 为 直 角 边 也 就 是 说 A 1 / C r, 其 中 A, C 和 r 分 别 表 示 圆 的 面 积, 周 长 和 半 径 第 二 种 方 法 基 于 圆 面 积 与 正 方 形 的 比 值, 该 正 方 形 以 圆 半 径 为 边 长, 测 量 得 到 的 比 值 是 11:14 第 三 种 方 法 是 作 圆 的 内 接 与 外 切 正 多 边 形, 然 后 将 多 边 形 的 边 数 加 倍 π 的 值 随 着 多 边 形 边 数 的 增 加 不 断 精 确 这 个 过 程 可 以 一 直 继 续 下 去, 直 到 多 边 形 与 圆 周 几 乎 重 合 为 了 得 到 π 的 近 似 值, 阿 基 米 德 记 下 算 得 的 π 的 上 界 和 下 界 他 用 圆 外 切 正 六 边 形 的 面 积 作 为 第 一 个 上 界 随 后 将 外 切 多 边 形 的 边 数 不 断 加 倍 他 算 出 每 个 多 边 形 的 周 长 ( 一 直 到 1 九 十 六 边 形 ) 最 后 得 出 π 的 一 个 上 极 限 3 同 样 地, 他 作 出 内 接 多 边 形 来 计 算 下 极 限 ( 例 7 如 正 六 边 形, 正 十 二 边 形, 二 十 四, 四 十 八, 九 十 六 边 形 ) 每 次 都 得 到 一 个 下 界 通 过 这 10 10 1 种 方 法, 他 找 到 了 π 的 一 个 下 极 限 3 最 后 他 得 到 π 的 范 围 : 3 < <3, 用 十 进 制 71 71 7 小 数 表 示 即 为 3.140845 <π<3.14857 1 1 3 常 常 被 误 当 成 π 值, 称 为 阿 基 米 德 值 : 事 实 上 3 只 是 阿 基 米 德 计 算 得 出 的 一 个 上 7 7 界 (Castellanos 1988) 在 以 后 的 数 年 里, 许 多 数 学 家 继 续 了 将 圆 内 接 和 外 切 多 边 形 边 数 翻 倍 的 过 程, 并 得 到 了 更 加 精 确 的 π 值 中 国 以 及 伊 斯 兰 国 家 的 数 学 家 们 在 计 算 π 的 近 似 值 方 面 作 了 类 似 的 努 力 (Burton 011) 在 公 元 3 世 纪, 中 国 的 王 蕃 计 算 出 近 似 值 3.1555 两 百 年 后, 著 名 数 学 家 和 天 文 学 家 祖 冲 之 在 他 儿 子 的 协 助 下 将 π 的 值 精 确 到 了 3.141596 到 3.141597 之 间 中 国 人 计 算 的 精 确 度 在 十 六 世 纪 末 以 前 都 远 落 后 于 西 方 在 伊 斯 兰 国 家, 4

Ghiyath al-din al-kashi 将 π 值 计 算 至 了 小 数 点 后 面 16 位, 远 超 过 了 当 时 的 水 平 直 到 十 六 世 纪 荷 兰 人 Van Ceulen 算 出 了 小 数 点 后 35 位 尽 管 后 面 通 过 将 多 边 形 边 数 加 倍 得 到 了 更 精 确 的 值, 阿 基 米 德 计 算 得 到 的 上 界 直 到 今 天 仍 作 为 π 的 近 似 值 一 直 被 沿 用 我 们 知 道 π 是 圆 周 长 与 半 径 的 比 值 ( 同 时 也 是 圆 面 积 与 其 半 径 平 方 的 比 值 ) 当 我 们 用 这 个 定 义 去 计 算 π 值 的 时 候, 我 们 需 要 测 出 圆 周 长 阿 基 米 德 的 穷 竭 法 是 基 于 圆 周 长 可 以 近 似 为 其 内 接 多 边 形 与 外 切 多 边 形 周 长 的 平 均 值 尽 管 误 差 一 直 存 在,π 值 随 着 多 边 形 边 数 的 增 加 会 越 来 越 精 确 表 1 是 从 正 六 边 形 开 始 的 一 系 列 周 长 的 值, 由 于 选 择 的 是 单 位 直 径 的 圆, 因 此 该 周 长 值 即 作 为 π 值 的 近 似 ( 见 图 1) 内 接 正 六 边 形 的 周 长 等 于 3, 然 而 外 切 正 六 边 形 的 周 长 是 3 3. 4641046 内 接 正 十 二 边 形 与 外 切 正 十 二 边 形 的 周 长 分 别 是 3.1058885 和 3.153903 将 该 过 程 继 续 下 去, 可 以 得 到 表 1 中 的 结 果 阿 基 米 德 得 出 结 论, 当 多 边 形 边 数 增 加 时, 算 得 的 π 值 会 越 来 越 接 近 π 的 准 确 值 因 此, π 值 即 为 多 边 形 周 长 的 极 限 ( 当 边 数 趋 于 无 穷 大 时 ) 图 1 圆 的 内 接 和 外 切 多 边 形 5

表 1 内 接 和 外 切 多 边 形 的 周 长 边 数 内 接 多 边 形 周 长 外 切 多 边 形 周 长 6 3.0000000 3.4641016 1 3.105885 3.153903 4 3.13686 3.1596599 48 3.139350 3.146086 96 3.1410319 3.147146 19 3.141454 3.14188730 4 文 献 综 述 : 课 堂 实 验 阿 基 米 德 计 算 π 的 方 法 尤 其 在 初 中 课 堂 里 有 着 不 同 程 度 的 展 示 Mason 和 Roth (005) 对 高 中 ( 九 年 级 ) 学 生 做 了 一 项 实 验, 通 过 将 数 学 公 式 看 作 一 种 函 数 关 系 和 计 算 的 一 种 方 法, 同 样 是 以 历 史 记 载 的 阿 基 米 德 方 法 为 基 础 学 生 用 直 尺 和 圆 规 作 圆 的 内 接 和 外 切 正 多 边 形 通 过 测 量 他 们 得 到 了 较 精 确 的 上 界 和 下 界 但 是 当 边 数 较 大 时, 学 生 很 难 作 出 图 形, 在 进 行 到 九 十 六 边 形 时, 教 师 直 接 给 出 了 算 得 的 结 果 另 外 一 种 方 法 ( 尽 管 不 是 那 么 传 统 ) 在 计 算 机 编 程 环 境 下 进 行 Costabile 和 Serpe (010) 对 一 群 初 中 学 生 提 出 了 一 些 问 题, 并 将 阿 基 米 德 思 想 蕴 含 其 中, 通 过 在 编 程 环 境 中 编 写 算 法, 运 行 程 序 来 计 算 学 生 利 用 阿 基 米 德 作 方 法, 从 用 MatCos 软 件 作 外 切 正 方 形 开 始 作 者 发 现 学 生 学 会 了 (a) 探 索 一 种 跨 数 学 与 信 息 技 术 学 科 的 方 法, 以 及 (b) 结 合 传 统 与 现 代 但 是, 最 具 成 就 的 是 下 一 部 分 中 描 述 的 Serge Lang 的 教 学 实 验 Serge Lang 被 耶 鲁 大 学 的 学 生 评 为 最 伟 大 的 数 学 教 师 (Kahn et al. 011) Lang 在 他 的 数 学 : 挑 战 中 学 生! (Lang 1985) 一 书 中 描 述 了 该 实 验 Lang 并 没 有 以 求 π 的 近 似 值 为 开 始, 而 是 建 立 了 π 只 有 唯 一 准 确 值, 即 它 是 一 个 常 数 这 一 概 念 计 算 π 的 问 题 是 由 欧 几 里 (Euclid) 早 已 建 立 的 事 实 所 激 发 的, 即 C 和 A 分 别 与 r 和 r 成 正 比 因 为 如 果 他 们 不 知 道 对 于 所 有 的 圆 都 存 在 这 样 的 关 系, 那 么 也 就 没 有 理 由 去 计 算 比 值 C / r 和 A / r 事 实 上 欧 几 里 得 的 结 论 正 是 如 此 从 逻 辑 上 看 等 式 C / r 和 A / r 等 同 于 等 式 C r 和 A r,lang 指 出 从 数 学 的 角 度, 二 者 是 不 一 样 的 C 6

和 A 分 别 与 r 和 r 成 正 比 这 一 概 念 的 合 理 性 是 通 过 相 似 的 概 念 来 说 明 的 Lang 举 了 一 个 简 单 的 例 子 相 似 三 角 形 来 说 明 其 原 理 在 第 一 章 什 么 是 π,lang 向 学 生 说 明 当 一 个 矩 形 边 长 都 扩 大 r 倍 时, 它 的 面 积 扩 大 r 倍 随 后 他 重 复 了 这 个 过 程, 不 过 这 一 次 变 成 了 一 个 曲 线 图 他 继 续 向 学 生 讲 述 这 样 一 个 事 实, 即 之 前 提 到 的 欧 几 里 得 的 结 论, 当 圆 的 半 径 从 1 扩 大 到 r 时, 面 积 是 原 来 的 r 倍 Lang 和 他 的 学 生 得 出 结 论, 半 径 为 r 的 圆 的 面 积 是 定 义 π 为 这 个 单 位 圆 的 面 积, 因 此 半 径 为 r 的 圆 的 面 积 为 r r A, 其 中 A 是 半 径 为 1 的 圆 的 面 积 他 们 随 后,Lang 通 过 正 多 边 形 来 估 计 圆 的 面 积 通 过 将 正 多 边 形 分 割 成 共 顶 点 的 等 腰 三 角 形 来 计 算 正 多 边 形 面 积 通 过 测 量 多 边 形 的 周 长 来 估 计 圆 周 长 1 三 角 形 T n 经 过 n 次 旋 转 将 底 边 即 为 b n, 高 记 为 h n 则 三 角 形 面 积 为 b n hn 由 于 多 1 1 边 形 由 n 个 三 角 形 组 成, 该 n 边 形 的 面 积 为 An n bnhn nbnhn nb n 即 为 多 边 形 周 长 1 L n 因 此 An LnBn 然 后 他 们 将 n 不 断 扩 大 到 无 限, 来 得 到 圆 周 长 和 面 积 的 近 似 值 当 n 趋 于 时, nb L 趋 近 于 C ( 即 周 长 ), h n 趋 近 于 r ( 即 半 径 ), A n 趋 近 于 n n r 因 此 1 A A Cr 这 一 重 要 的 公 式 揭 示 了 π 的 两 种 定 义 间 的 内 在 联 系, 即 如 果 用 常 数 π 表 示 的 r C 话, 那 么 也 同 样 成 立 r ' ' ' ' ' 如 图 所 示, 如 果 b, h, r, A, L 和 b h, r, A, L 分 别 表 示 两 个 n 边 形 的 相 关 数 量, n n n n n, n n n 那 么 由 他 们 的 相 似 性 可 以 得 出 他 们 的 角 是 相 等 的 因 此 我 们 得 到 了 一 些 相 似 的 三 角 形 ( 见 图 bn hn Ln hnbn An r ) 来 组 成 这 个 多 边 形, 同 时 有, ' ' ' ' ' ' bn hn L ' n hnbn An r 然 后 我 们 就 能 推 出 当 n 趋 于 时, L n 和 A n 分 别 趋 近 于 C 和 A ( 对 于 其 他 多 边 形 也 是 如 此 ), 随 后 便 能 得 到 正 比 例 关 1 系 C : r 和 A : r 根 据 以 上 等 式 还 能 推 出 对 于 每 个 正 n 边 形, 有 An Lnhn 于 是 可 以 得 1 出 结 论, 当 n, A rc 7

图 圆 面 积 的 近 似 ( 来 自 Lang,1985) 5 课 堂 实 验 5.1 实 验 环 境 该 实 验 在 希 腊 的 塞 萨 洛 尼 基 (Thessaloniki) 的 一 所 公 立 小 学 里 进 行 7 名 六 年 级 的 小 学 生 参 与 了 该 实 验 在 他 们 的 数 学 课 上, 学 生 已 经 学 过 一 些 常 规 图 形 的 面 积 公 式, 比 如 三 角 形, 正 方 形, 矩 形 他 们 在 5 年 级 的 时 候 学 过 圆 的 周 长 计 算 公 式 他 们 还 尝 试 过 计 算 不 规 则 图 形 的 面 积 : 将 不 规 则 图 形 分 割 成 熟 悉 的 图 形 来 计 算 在 实 验 开 始 前, 没 有 学 生 知 道 圆 面 积 的 计 算 公 式 在 本 实 验 中, 我 们 选 择 圆 的 面 积 而 不 是 圆 周 长 主 要 出 于 以 下 两 点 考 虑 :(i) 学 生 五 年 级 就 已 经 学 过 圆 的 周 长 公 式 (ii) 该 研 究 是 以 圆 的 面 积 是 其 半 径 平 方 的 3.14 倍 为 基 础, 我 们 想 把 重 点 放 在 这 一 点 上 虽 然 我 们 以 圆 面 积 为 基 础, 但 我 们 选 择 的 是 阿 基 米 德 第 三 种 方 法 中 计 算 周 长 的 方 法, 而 不 是 第 一 种 方 法 中 计 算 圆 面 积 的 方 法 因 为 阿 基 米 德 第 一 种 方 法 是 通 过 反 证 法 来 做, 并 不 适 合 小 学 生 第 三 种 方 法 是 从 正 六 边 形 开 始, 不 断 将 多 边 形 边 数 加 倍 来 计 算 周 长 更 加 适 合 小 学 生 该 实 验 在 一 个 计 算 机 环 境 下 进 行 实 验 分 为 四 部 分 前 三 个 部 分 发 生 在 课 堂 上 第 四 部 分 发 生 在 第 二 周 (4 天 后 ) 这 一 部 分 是 为 了 检 测 学 生 对 于 π 的 概 念 学 习 情 况 学 生 三 人 为 一 组, 借 助 Cabri Geometry II Plus 软 件 来 完 成 实 验 这 一 选 择 是 基 于 学 生 对 该 软 件 的 界 面 和 基 本 功 能 已 经 比 较 熟 悉, 并 且 适 合 这 个 年 龄 的 学 生 和 相 关 数 学 内 容 例 如, 他 们 知 道 如 何 绘 制 基 本 图 形 ( 工 具 :Triangle, Polygon, Circle, Line, Segment), 拖 动 ( 工 具 :Pointer, Rotate, Dilate), 测 量 长 度 ( 工 具 :Distance or Length), 测 量 面 积 ( 工 具 :Area), 角 ( 工 具 :Angle), 作 垂 线 和 平 行 线 ( 工 具 :Perpendicular Line, Parallel Line), 以 及 使 用 Cabri 计 算 器 ( 工 具 : Calculate ) 利 用 计 算 机 环 境 克 服 了 阿 基 米 德 穷 竭 法 中 构 造 圆 的 内 接 与 外 切 正 多 边 形 的 一 些 障 碍 对 8

于 年 幼 的 学 生 来 说, 用 圆 规 和 尺 子 作 圆 内 接 和 外 切 多 边 形 是 不 太 可 能 的, 他 们 也 不 能 用 几 何 方 法 算 出 周 长 或 面 积 Cabri 能 够 自 动 计 算 周 长 或 面 积, 但 它 无 法 作 出 正 多 边 形 为 了 完 成 实 验, 教 师 定 义 了 宏 ( 一 种 中 间 结 构, 能 够 进 行 存 储 和 再 现 ), 来 拓 展 软 件 的 功 能, 使 学 生 能 够 作 出 内 接 和 外 切 正 多 边 形 每 一 个 宏 都 用 一 个 易 于 辨 识 的 名 字 ( 如 inscribed_1gon.mac, circumscribed_4gon_mac 等 等 ) 便 于 学 生 使 用 在 这 三 部 分 结 束 的 四 天 后, 学 生 拿 到 一 份 包 含 了 四 道 题 的 作 业 单, 用 于 检 测 该 实 验 怎 样 帮 助 学 生 解 开 神 秘 数 字 π 的 谜 团 的 5. 实 验 是 如 何 开 始 的 学 生 的 数 学 教 材 上, 用 A 表 示 半 径 为 的 圆 的 面 积, 然 后 说 明 A 比 四 个 以 其 半 径 为 边 长 的 正 方 形 面 积 要 小 ( 即 A 4, 见 图 3) 然 后 教 材 作 出 规 定, 将 圆 的 面 积 看 作 3.14 倍 的 正 方 形 面 积, 也 就 是 说 A 3.14 这 时 候 有 学 生 提 了 一 个 问 题, 也 正 是 本 实 验 的 灵 感 来 源 值 S5: 为 什 么 π 约 等 于 3.14, 而 不 是 其 他 数, 如 3.13 或 者 3.15? 为 了 回 答 该 问 题, 教 师 设 计 了 基 于 阿 基 米 德 法 的 一 个 实 验, 旨 在 引 导 学 生 自 己 来 计 算 π 图 3 半 径 为 α 的 圆 和 边 长 为 α 的 正 方 形 9

5.3 将 阿 基 米 德 法 付 诸 实 践 我 们 将 课 堂 讨 论 的 内 容 记 录 下 来 以 下 是 一 段 师 生 间 的 对 话 : 教 师 问 学 生 的 第 一 个 问 题 : T: 要 算 出 圆 面 积 与 正 方 形 面 积 的 比 值, 你 需 要 知 道 什 么? S5: 这 两 个 图 形 各 自 的 面 积! S3: 是 这 样 的, 但 是 我 们 无 法 算 出 二 者 的 面 积 T: 为 什 么 呢? S3: 是 这 样, 我 们 知 道 正 方 形 的 面 积 公 式, 即 边 长 的 平 方, 但 是 怎 样 才 能 找 到 圆 的 面 积 公 式 呢? 如 果 我 们 知 道 了 圆 的 面 积 公 式 S6: 没 有 这 样 的 公 式 此 时 在 教 师 的 要 求 下 学 生 打 开 了 一 个 准 备 好 的 Cabri 文 件, 里 面 画 着 一 个 半 径 为 7 的 圆, 及 其 内 接 和 外 切 三 角 形 ( 见 图 4) 图 4 圆 的 内 接 和 外 切 三 角 形 T: 现 在 大 家 同 意 将 圆 的 内 接 三 角 形 面 积 作 为 圆 面 积 的 近 似 值 吗? S( 很 多 人 ): 不 能!!! T: 为 什 么? S7: 三 角 形 比 圆 面 积 小 太 多 了! S10: 圆 的 很 大 一 部 分 面 积 没 有 算 进 去 30

S1: 三 角 形 的 边 里 圆 周 太 远 了 T: 那 么, 外 切 三 角 形 呢? 用 它 来 代 替 圆 面 积 可 以 吗? 这 一 次 学 生 仍 然 不 能 接 受 S7: 它 比 圆 的 面 积 要 大 S13: 三 角 形 好 几 个 部 分 都 到 圆 外 面 了 这 时 就 到 了 一 个 关 键 的 时 刻 T: 既 然 内 接 三 角 形 的 面 积 太 小, 外 切 三 角 形 面 积 又 太 大 那 圆 的 面 积 应 该 怎 样 取 呢? S6: 很 显 然, 圆 面 积 是 一 个 比 内 接 三 角 形 面 积 大, 比 外 切 三 角 形 面 积 小 的 数 S16: 处 于 这 两 个 面 积 之 间 的 数 S5: 可 能 是 中 间 的 那 个 值 学 生 已 经 学 过 平 均 数 的 概 念, 因 此 将 内 接 和 外 切 多 边 形 面 积 的 平 均 值 作 为 所 说 的 中 间 值 是 没 有 什 么 问 题 的 该 平 均 值 代 表 圆 面 积 因 此, 最 后 一 步 就 是 计 算 该 平 均 值 与 以 圆 半 径 为 边 长 的 正 方 形 面 积 的 比 值 通 过 这 种 方 法 他 们 得 到 π 的 近 似 值 他 们 得 到 了 图 5 中 的 结 果 半 径 长 7cm 等 边 三 角 形 正 六 边 形 正 十 二 边 形 正 4 边 形 正 48 边 形 以 半 径 长 为 内 接 正 多 边 形 外 切 正 多 边 面 积 的 平 均 (= 边 长 的 长 方 的 面 积 形 的 面 积 圆 面 积 的 估 计 ) 形 面 积 圆 的 面 积 / 正 方 形 的 面 积 49 cm 63.65 cm 54.61 cm 159.13 cm 3.47551 17.31 cm 169.74 cm 148.55 cm 3.0311 147 cm 157.55 cm 15.75 cm 3.107653 15.19 cm 154.8 cm 153.505 cm 3.13755 153.50 cm 154.16 cm 153.83 cm 3.1393 3.14 图 5 学 生 实 验 得 出 的 结 果 下 一 步, 就 是 要 将 多 边 形 边 数 翻 倍 了 T: 显 然 大 家 对 我 给 出 的 三 角 形 还 不 够 满 意, 大 家 有 什 么 改 进 的 建 议 吗? S: 我 们 需 要 一 个 更 大 的 图 形 ( 很 多 学 生 ) S3: 一 个 更 多 边 数 的 图 形 31

当 教 师 要 求 学 生 用 已 经 建 好 的 宏 去 画 内 接 和 外 切 正 六 边 形 时, 学 生 都 很 赞 同 这 一 想 法 ( 见 图 6) 在 计 算 机 环 境 的 支 持 下, 学 生 在 原 来 图 形 的 基 础 上 画 出 了 内 接 和 外 切 正 六 边 形, 学 生 很 容 易 理 解 此 时 能 得 到 一 个 更 好 的 圆 面 积 的 近 似 值 图 6 内 接 和 外 切 正 三 角 形, 正 六 边 形 对 于 这 次 的 内 接 正 六 边 形, 学 生 有 如 下 的 评 价 : S3: 它 与 圆 接 近 多 了 S7: 它 覆 盖 了 圆 更 多 的 部 分 对 于 外 切 正 六 边 形, 他 们 的 评 价 是 : S10: 它 比 三 角 形 小 S18: 它 比 超 出 的 部 分 变 小 了 S1: 它 与 圆 更 接 近 了 S8: 外 面 的 正 六 边 形 盖 住 了 里 面 的 正 六 边 形 这 一 次 学 生 对 内 接 和 外 切 正 六 边 形 都 能 够 接 受 了 但 是 得 到 的 结 果 与 3.14 还 不 够 接 近 ( 图 5) 因 此, 这 个 结 果 还 不 太 令 人 满 意 这 时 学 生 已 经 可 以 跟 上 阿 基 米 德 的 思 想 了 S4: 我 们 需 要 更 多 边 数 的 多 边 形 S8: 内 接 多 边 形 边 数 越 多, 就 能 覆 盖 更 多 的 圆 面 积 S5: 当 我 们 增 加 多 边 形 的 边 数 时, 多 边 形 的 边 就 越 靠 近 圆 周 这 时,Cabri 又 派 上 用 场 了 学 生 开 始 作 内 接 和 外 切 正 十 二 边 形 了 ( 图 7) 3

图 7 内 接 正 三 角 形, 正 六 边 形 和 正 十 二 边 形 然 后 学 生 用 合 适 的 工 具 来 计 算 二 者 面 积 的 平 均 值, 及 其 与 正 方 形 ( 边 长 为 圆 半 径 ) 面 积 的 比 值 作 为 π 的 近 似 值 学 生 很 快 用 合 适 的 工 具 算 出 了 多 边 形 的 面 积 来 作 为 圆 面 积 的 近 似 值, 然 后 计 算 出 该 近 似 值 与 以 其 半 径 为 边 长 的 正 方 形 面 积 的 比 值 该 比 值 即 作 为 π 的 近 似 值 由 于 此 时 算 得 的 π 值 仍 然 不 够 令 人 满 意, 学 生 又 开 始 作 二 十 四 边 形, 四 十 八 边 形 于 是 他 们 得 到 了 更 精 确 的 近 似 值 ( 分 别 是 3.13755 和 3.1393, 见 图 5) 通 过 使 用 Cabri, 所 有 学 生 都 得 到 了 同 样 的 结 果 ( 见 图 5) 这 时 他 们 似 乎 已 经 满 意 了 他 们 得 出 的 π 值 (3.1393) 已 经 非 常 接 近 3.14 了 随 后 老 师 鼓 励 学 生 去 做 96 边 形, 但 学 生 认 为 这 个 结 果 不 会 有 明 显 的 改 善 了 而 且 边 数 增 加 到 96 时, 图 中 也 看 不 到 明 显 的 变 化 于 是 教 师 建 议 学 生 用 软 件 的 局 部 放 大 功 能 来 观 察, 随 后 得 到 了 更 精 确 的 值 ( 见 图 8) 该 图 使 得 他 们 能 够 观 察 到 四 十 八 边 形 与 九 十 六 边 形 的 细 微 差 别 使 用 相 关 的 计 算 软 件, 他 们 很 快 算 出 了 π 值 3.1414 图 8 内 接 和 外 切 96 边 形 局 部 放 大 图 这 时 学 生 觉 得 这 个 过 程 已 经 接 近 尾 声 了, 然 而 接 下 来 教 师 的 话 让 他 们 很 吃 惊 33

T: 我 很 欣 慰 大 家 都 对 圆 面 积 是 正 方 形 面 积 的 3.14 倍 这 个 结 果 比 较 满 意, 但 是 大 家 有 没 有 想 过 继 续 将 多 边 形 边 数 加 倍, 直 到 它 完 全 覆 盖 整 个 圆 呢? S4: 我 觉 得 总 是 有 一 部 分 圆 的 面 积 被 剩 下 的 S5: 我 认 为 圆 是 不 可 能 被 完 全 覆 盖 的 多 边 形 的 边 是 直 线, 而 圆 周 的 曲 线 S6: 在 这 个 过 程 中, 内 接 多 边 形 和 外 切 多 边 形 的 面 积 会 越 来 越 接 近 这 时, 即 使 这 个 方 式 显 得 有 些 笨 拙, 但 学 生 已 经 接 近 了 圆 的 面 积 是 多 边 形 面 积 极 限 这 样 一 个 概 念 ( 当 边 数 无 限 增 加 时 ) 当 证 实 了 圆 面 积 ( A ) 与 正 方 形 面 积 ( r ) 比 值 几 乎 等 于 π 时, 得 出 结 论 A r 就 比 较 容 易 了 当 学 生 们 了 解 到, 阿 基 米 德 在 研 究 π 上 面 有 着 同 样 的 兴 趣, 并 且 阿 基 米 德 计 算 π 的 方 法 与 他 们 几 乎 是 一 样 的 时, 学 生 显 得 很 兴 奋 由 于 该 实 验 仅 仅 是 对 于 一 个 半 径 确 定 的 圆 并 没 有 证 明 当 圆 的 大 小 发 生 变 化 时, 这 个 π 值 是 否 同 样 适 用 尽 管 学 生 们 没 有 完 成 这 个 证 明, 但 他 们 知 道 了 这 个 证 明 是 如 何 开 始 的, 及 证 明 过 程 中 的 一 些 方 法 过 程 这 种 动 态 的 几 何 环 境 有 着 借 鉴 意 义, 适 合 在 很 多 实 例 中 对 学 生 作 一 个 引 导 接 下 来 这 部 分 内 容, 学 生 实 验 了 不 同 大 小 的 圆 中,π 值 的 变 化 他 们 惊 奇 地 发 现 先 前 计 算 的 π 值 有 着 普 遍 适 用 性 学 生 此 时 是 信 服 了 当 一 个 疑 惑 被 清 楚 地 证 实 的 时 候, 是 个 极 为 重 要 的 时 刻 事 实 上, 正 如 Harel 和 Sowder (007) 所 说, 给 出 证 明 要 求, 一 个 断 言 可 以 作 为 一 个 猜 想, 也 可 以 成 为 一 个 事 实 当 人 们 能 够 确 定 其 真 实 性 的 时 候, 猜 想 就 成 为 了 事 实 教 师 需 要 区 分 二 者 的 差 异 学 生 在 适 当 的 年 龄 要 进 行 一 些 讨 论, 目 的 是 清 楚 某 个 发 现 是 真 实 有 效 的, 还 要 能 够 解 释 为 什 么 这 些 发 现 有 效 正 如 Mason et al. (198) 恰 当 地 描 述 到 : 通 常 猜 想 一 个 事 实 很 容 易, 要 证 明 它 却 很 难 要 给 所 有 刁 钻 的 读 者 们 一 个 满 意 的 回 答, 就 得 对 每 一 项 陈 述 作 出 证 明 要 做 到 这 一 点, 需 要 有 强 大 的 知 识 构 建, 清 楚 已 知 和 求 证 之 间 的 联 系 (p.115) 因 此, 教 师 告 诉 学 生, 如 果 他 们 多 年 后 仍 有 兴 趣 继 续 对 π 进 行 研 究, 那 么 他 们 就 有 机 会 完 成 π 的 故 事 34

6 教 学 后 记 四 天 后, 学 生 需 要 完 成 一 份 作 业 单 目 的 是 检 测 学 生 对 于 圆 面 积 与 π 之 间 关 系 的 概 念 理 解 学 生 有 0 分 钟 来 回 答 四 道 题 题 1 是 选 择 一 种 更 接 近 圆 面 积 的 正 多 边 形 ( 图 9) 图 9 作 业 单 题 1 7 名 学 生 中 有 5 人 答 对 了 这 道 题 他 们 给 出 了 很 多 解 释 (i) 它 与 圆 周 更 接 近 (S1,S4,S6,S7,S8,S10,S14,S15,S16,S18,S,S3, S4,S6) (ii) 它 覆 盖 了 圆 内 更 多 的 边 缘 部 分 (S7) (iii) 它 几 乎 盖 住 了 整 个 圆 (S9) (iv) 它 与 圆 更 合 适 (S0,S1) (v) 它 有 更 多 角 因 此 能 覆 盖 圆 更 多 的 部 分 (S3,S19) (vi) 正 十 二 边 形 与 圆 之 间 的 空 隙 比 正 六 边 形 要 小 (S) (vii) 它 能 更 好 地 表 示 圆 面 积 的 近 似 (S5,S11,S1,S17) 从 本 题 来 看, 学 生 似 乎 对 于 内 接 多 边 形 的 理 解 有 了 很 好 的 掌 握,( 如 前 所 言 ) 有 5 人 答 对 了 此 题 并 有 上 述 解 释 下 一 题 ( 图 10) 是 外 切 多 边 形 的 情 况, 结 果 表 明 该 图 形 对 学 生 来 说 似 乎 存 在 困 难 题 目 中 并 没 有 给 出 任 何 直 观 图 形 ( 如 多 边 形 ) 目 的 在 于 检 查 学 生 基 于 该 情 形 的 理 解, 而 不 是 在 给 出 直 观 图 形 的 帮 助 下 此 外, 直 观 图 像 信 息 的 缺 失, 可 以 让 学 生 表 达 出 他 们 对 于 多 边 形 的 边 与 其 面 积 关 系 的 困 惑 ( 内 接 多 边 形 和 外 切 多 边 形 ) 最 后, 要 注 意 到 这 份 作 业 单 是 在 教 学 实 验 结 束 四 天 后 做 的, 学 生 只 能 凭 印 象 回 忆 起 图 形 能 够 看 到 这 些 对 象 是 一 种 很 重 要 35

的 数 学 能 力, 这 也 是 Sfard(1991) 所 说 的 概 念 的 结 构 化 理 念 因 此, 学 生 的 回 答 是 建 立 在 对 于 该 情 形 的 理 解 之 上 的 只 有 八 名 学 生 ( 总 数 是 二 十 七 名 ) 给 出 了 十 二 边 形 的 面 积 小 于 10 cm 这 一 正 确 答 案 学 生 的 解 释 是 这 样 的 : 在 圆 外 面 时, 越 靠 近 圆 周, 多 边 形 的 面 积 就 越 小 (S4,S5,S6,S7,S9,S15,S16, S0) 图 10 作 业 单 题 可 以 说 有 了 结 构 化 概 念 使 得 他 们 能 够 知 道 是 什 么 和 为 什 么, 也 就 是 说 有 了 规 则 和 理 由 (Sfard, 1991) 十 一 名 学 生 认 为 正 十 二 边 形 的 面 积 大 于 10 cm, 他 们 的 理 由 如 下 : 正 十 二 边 形 比 正 六 边 形 的 边 数 要 多 因 此,, 它 的 面 积 比 正 十 二 边 形 要 大 (S1,S,S3, S10,S11,S1,S17,S,S3,S4,S5) 其 余 的 学 生 甚 至 回 答 说 面 积 相 等 或 是 没 有 回 答 我 们 给 出 了 至 少 三 种 造 成 错 误 回 答 的 原 因 :(i) 学 生 对 于 题 中 的 情 形 没 有 一 个 直 观 的 想 象,(ii) 对 于 多 边 形 的 边 与 面 积 关 系 存 在 误 解,(iii) 他 们 画 出 了 错 误 的 图 像 ( 将 外 切 多 边 形 画 成 了 内 接 ) 因 为 内 接 多 边 形 有 着 明 显 的 区 别, 它 与 外 切 多 边 形 恰 恰 相 反 : 随 着 外 切 多 边 形 边 数 的 增 加, 其 面 积 不 断 减 小 有 两 位 答 错 第 一 题 的 学 生 (S13,S15) 值 得 一 提 第 一 位 没 有 答 出 第 一 题 是 因 为 他 担 心 自 己 的 答 案 是 错 误 的, 于 是 擦 掉 了 它 他 甚 至 还 放 弃 了 回 答 第 二 题 第 二 位 这 两 题 都 没 有 回 答 题 3 和 题 4 类 似, 都 是 为 了 检 查 独 立 背 景 下 学 生 对 于 圆 面 积 公 式 的 理 解, 和 学 生 是 否 能 将 特 殊 情 境 与 公 式 所 描 述 的 情 境 联 系 起 来 题 3 是 纯 数 学 背 景, 题 4 则 将 数 学 背 景 隐 藏 在 一 个 看 似 简 单 的 情 境 下 ( 图 11) 题 4 中, 学 生 很 容 易 由 完 全 铺 满 正 方 形 的 弹 珠 数 联 想 到 正 方 形 面 积, 却 不 容 易 想 到 与 π 的 概 念 之 间 的 联 系 这 也 表 明 了 已 掌 握 的 知 识 ( 题 3 中 对 于 π 概 念 的 理 解 ) 能 否 转 化 到 其 他 情 境 中 去 教 师 研 究 者 对 于 学 生 能 否 认 识 到 他 们 所 学 的 知 识 不 仅 仅 在 单 纯 的 几 何 情 境 中 适 用 很 有 兴 趣 36

图 11 作 业 单 题 3 和 题 4 题 3 有 十 五 名 ( 总 数 为 7) 学 生 答 对 (S1,S,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10, S11,S1,S13,S14,S15) 这 些 学 生 将 正 方 形 面 积 乘 以 3.14 倍 来 作 为 圆 面 积, 他 们 利 用 以 前 学 过 的 知 识 发 现 圆 面 积 是 以 其 半 径 为 边 长 的 正 方 形 面 积 的 3.14 倍 然 而, 他 们 中 不 是 所 有 人 都 意 识 到 该 知 识 同 样 可 以 应 用 到 弹 珠 的 题 目 中 去 因 此, 这 十 五 名 学 生 中 只 有 八 人 (S1, S,S3,S4,S5,S6,S7,S8) 准 确 回 答 出 了 需 要 铺 满 整 个 圆 的 弹 珠 数 ( 约 ) 为 3.14 300 94 颗 其 他 学 生 仍 用 了 300 4(S10,S11,S1,S13,S15,S18,S,S3) 或 者 没 有 回 答 一 种 可 能 的 解 释 是 图 中 四 个 正 方 形 对 他 们 造 成 了 影 响, 也 就 是 说 他 们 只 注 意 到 了 用 弹 珠 铺 满 整 个 大 正 方 形 而 非 圆 7 结 语 本 文 中 的 实 验 目 的 在 于 研 究 学 生 是 怎 样 用 数 学 史 中 的 方 法 去 学 习 某 一 数 学 思 想 的 该 实 验 是 一 项 实 证 研 究 (Schoenfeld 007) 它 证 明 了 借 助 数 学 史 的 作 用, 可 以 让 学 生 (i) 对 π 有 一 个 更 深 的 理 解,(ii) 学 会 欣 赏 人 类 在 发 展 数 学 这 个 过 程 中 的 劳 动 和 智 慧 尽 管 所 有 学 生 都 分 享 了 阿 基 米 德 的 思 考 过 程, 但 是 不 是 所 有 人 都 成 功 地 答 对 了 四 道 题 这 也 在 意 料 之 中 有 很 多 影 响 学 生 表 现 的 因 素 : 疲 惫, 缺 乏 相 关 数 学 技 能, 时 间 不 足 以 完 成 一 项 任 务 或 是 思 考 和 消 化 知 识, 动 机 不 足, 健 康 状 况 等 等, 这 只 是 一 部 分 原 因 但 是, 最 重 要 的 是, 学 生 能 够 参 与 到 一 个 数 学 概 念 的 产 生 和 发 展 过 程 中 来, 学 生 能 够 学 习 一 个 数 学 概 念 背 后 的 故 事, 而 不 仅 仅 是 数 学 事 实 本 身 也 就 是 说, 学 生 有 机 会 去 经 历 数 学 概 念 作 为 一 项 人 类 活 动 的 发 展 过 程 当 学 生 知 道 他 们 分 享 了 与 阿 基 米 德 的 思 想 历 程 时, 他 们 非 常 兴 奋 但 是, 更 重 要 的 是 他 们 证 实 了 公 式 的 有 效 性, 是 来 自 于 他 们 自 己 的 探 究 而 不 是 教 师 的 权 威 而 这 就 是 数 学 史 所 起 37

的 作 用 在 类 似 的 案 例 中, 同 样 获 得 了 积 极 的 反 馈 这 不 仅 表 明 了 数 学 史 在 小 学 教 师 的 教 学 中 的 重 要 性, 还 证 明 了 数 学 课 程 中 的 数 学 史 的 重 要 作 用 尽 管 该 研 究 是 在 一 个 特 定 环 境 下, 在 数 量 相 当 有 限 的 学 生 中 进 行, 因 此 得 到 的 结 果 不 一 定 具 有 普 适 性, 但 是 具 有 推 广 意 义 的 该 研 究 对 于 某 些 命 题 给 出 了 一 个 高 信 度 的 回 答, 如 解 释 π 的 作 用 和 缘 由, 不 同 概 念 下 的 精 确 度 这 也 为 其 他 研 究 领 域 提 供 了 参 考 价 值 (Schoenfeld 007) 这 项 研 究 为 如 下 想 法 提 供 了 一 些 可 能 : 成 立 一 个 课 堂 数 学 协 会, 在 该 组 织 中, 学 生 可 以 进 行 过 去 数 学 家 的 一 些 活 动, 并 且 将 该 活 动 继 续 下 去 参 考 文 献 [1] D. M. (011). The history of mathematics. An introduction (7th ed.). New york: McGraw-Hill. [] Castellanos, D. (1988). The ubiquitous Pi. Mathematics Magazine, 61(): 67 98. [3] Clark, K. M. (01). History of Mathematics: illuminating understanding of school mathematics concepts for prospective mathematics teachers. Educational Studies in Mathematics, 81(1): 67 84. [4] Costabile, F., & Serpe, A. (010). Archimedes in secondary schools: A teaching proposal for the math curriculum. In S. A. Paipetis & M. Ceccarelli (Eds.), The genius of Archimedes: 3 centuries of influence on mathematics, science and engineering (Vol. 11, pp. 479 491)., History of Mechanism and Machine Science Netherlands: Springer. [5] Furinghetti, F. (00). On the role of the history of mathematics in mathematics education. In Paper presented at nd international conference on the teaching of mathematics at the undergraduate level. Crete, Greece. [6] Galton, D. (009). The magic of Pi (p): Coda. The Quarterly Journal of Medicine, 10(6): 439 440. [7] Gulikers, I., & Blom, K. (001). A historical angle. A survey of recent literature on the use and value of history in geometrical education. Educational Studies in Mathematics, 47():3 58. [8] Harel, G., & Sowder, L. (007). Toward comprehensive perspective on the learning and teaching of proof. In F. K. Lester Jr (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning(pp. 805 84). Charlotte: National Council of Teachers of Mathematics. 38

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活 动 讯 息 人 教 社 课 题 数 学 史 融 入 数 学 教 材 开 题 会 暨 教 学 研 讨 会 召 开 洪 燕 君 ( 华 东 师 范 大 学 数 学 系, 上 海 0041) 014 年 3 月 15-16 日, 由 华 东 师 范 大 学 数 学 系 汪 晓 勤 教 授 主 持 的 人 民 教 育 出 版 社 课 题 数 学 史 融 入 数 学 教 材 开 题 会 暨 HPM 教 学 研 讨 会 在 浙 江 省 义 乌 市 义 乌 中 学 成 功 举 行 本 次 会 议 围 绕 3 个 主 要 议 题 展 开 : 数 学 史 融 入 数 学 教 材 研 究 内 容 与 研 究 方 法 ; 数 学 史 融 入 数 学 教 学 的 实 践 经 验 分 享 ; HPM 课 例 研 究 研 究 方 法 与 分 析 框 架 会 议 由 人 教 社 资 助, 浙 江 省 义 乌 中 学 承 办 来 自 浙 江 诸 暨 杭 州 永 嘉 义 乌 桐 乡 等 地 的 浙 派 名 师 和 中 学 骨 干 教 师 人 教 社 王 嵘 老 师 华 东 师 范 大 学 博 士 硕 士 研 究 生 等 共 计 30 余 人 参 加 了 会 议 浙 派 名 师 义 乌 市 数 学 学 科 带 头 人 王 芳 老 师 主 持 了 会 议 汪 晓 勤 老 师 和 王 嵘 老 师 分 别 作 了 主 题 报 告, 介 绍 课 题 的 学 术 背 景 研 究 内 容 和 研 究 方 法 ; 浙 江 省 诸 暨 中 学 张 小 明 老 师 浙 江 省 萧 山 中 学 王 芳 老 师 浙 江 省 桐 乡 县 凤 鸣 中 学 沈 金 兴 老 师 义 乌 市 第 四 中 学 陈 锋 老 师 义 乌 市 第 三 中 学 金 慧 萍 老 师 分 别 作 了 专 题 报 告, 介 绍 数 学 史 融 入 高 中 数 学 进 行 的 理 念 方 法 案 例 和 成 效, 分 享 HPM 教 学 的 经 验 和 心 得 会 议 期 间, 温 州 市 永 嘉 县 夏 晓 华 数 学 教 育 工 作 室 的 老 师 们 还 带 来 了 她 们 独 具 特 色 的 模 拟 数 学 课 堂, 引 起 与 会 代 表 的 浓 厚 兴 趣 1 数 学 史 融 入 数 学 教 材 : 内 容 与 方 法 1.1 研 究 背 景 早 在 19 世 纪, 欧 美 学 者 就 已 经 开 始 关 注 数 学 史 的 教 育 价 值 了 0 世 纪 70 年 代, 数 学 史 与 数 学 教 育 关 系 (HPM) 与 数 学 教 育 心 理 学 (PME) 一 样, 成 了 数 学 教 育 中 的 重 要 研 究 领 域, 相 应 的 国 际 研 究 小 组 也 正 式 隶 属 于 国 际 数 学 教 育 委 员 会 (ICMI) 长 期 以 来, 人 们 对 40

数 学 史 的 教 育 价 值 已 经 做 了 广 泛 而 深 入 的 探 讨, 如,Gulikers 和 Blom(001) 建 立 了 一 个 三 维 分 类 框 架, 并 且 在 每 个 维 度 上 分 别 总 结 了 数 学 史 对 于 教 师 和 学 生 的 价 值, 见 表 1 表 1 数 学 史 的 教 育 价 值 :Gulikers 和 Blom 的 分 类 框 架 类 别 教 师 学 生 概 念 视 角 文 化 视 角 动 机 视 角 (1) 历 史 相 似 性 ( 历 史 发 生 原 理 ); () 丰 富 教 师 的 知 识 储 备 和 教 学 资 源 ; (3) 有 助 于 更 好 地 理 解 数 学 的 本 质 (1) 发 展 多 元 文 化 进 路 ; () 加 强 数 学 与 其 他 学 科 之 间 的 联 系 (1) 创 造 活 跃 的 课 堂 氛 围 ; () 获 取 有 用 的 史 料, 激 发 教 师 对 所 教 主 题 的 热 情 (1) 帮 助 学 生 理 解 数 学 ; () 使 学 生 获 得 心 理 安 慰 ; (3) 通 过 古 今 数 学 方 法 的 对 比, 拓 宽 学 生 的 思 维 ; (4) 帮 助 学 生 以 非 线 性 方 式 ( 即 非 演 绎 方 式 ) 学 习 ; (5) 提 供 另 类 方 法, 促 进 学 生 思 考 (1) 有 助 于 解 释 数 学 在 社 会 中 的 角 色 以 及 数 学 发 展 的 内 外 因 ; () 展 现 数 学 是 人 类 的 文 化 活 动 ; (3) 消 除 性 别 差 异, 鼓 励 女 生 学 习 数 学 (1) 增 加 学 生 的 学 习 兴 趣 ; () 创 造 学 生 的 学 习 动 机 ; (3) 使 数 学 变 得 更 亲 和 更 令 人 愉 悦 ; (4) 培 养 优 秀 生 的 远 见 卓 识 Jankvist(009) 则 将 数 学 史 对 数 学 教 育 的 作 用 分 成 工 具 和 目 标 两 类, 首 次 提 出 : 数 学 史 也 是 学 生 学 习 的 目 标 数 学 数 学 史 教 师 学 生 图 1 教 学 三 角 形 Gulikers 和 Blom 的 框 架 之 涉 及 教 学 三 角 形 的 两 个 顶 点 事 实 上, 数 学 史 对 于 第 三 个 顶 点 数 学 也 是 不 可 或 缺 的 人 教 版 高 中 数 学 教 材 中 有 较 为 丰 富 的 数 学 史 内 容, 见 表 41

表 人 教 版 高 中 数 学 教 材 中 的 数 学 史 类 别 内 容 所 属 栏 目 数 学 概 念 函 数 概 念 的 历 史 对 数 的 历 史 向 量 的 由 来 阅 读 材 料 学 科 领 域 三 角 学 的 历 史 画 法 几 何 与 蒙 日 阅 读 材 料 数 学 人 物 笛 卡 儿 费 马 海 伦 秦 九 韶 阅 读 材 料 数 学 方 法 中 外 求 解 方 程 的 方 法 秦 九 韶 算 法 欧 几 里 得 算 法 阅 读 材 料 辗 转 相 除 法 更 相 减 损 术 割 圆 术 蒙 特 卡 罗 方 法 高 斯 求 和 法 坐 标 法 与 机 器 证 明 定 理 公 式 圆 柱 容 球 祖 暅 原 理 海 伦 公 式 正 文 数 学 问 题 萨 莫 斯 隧 道 斐 波 那 契 数 列 国 际 象 棋 等 正 文 这 些 内 容 大 致 有 以 下 特 点 : 数 学 史 主 题 比 较 单 一, 主 要 关 注 了 部 分 数 学 概 念 和 少 数 数 学 人 物 ; 运 用 方 式 比 较 单 一, 大 部 分 内 容 是 以 附 加 式 的 阅 读 材 料 形 式 呈 现 的 ; 内 容 较 零 散, 不 够 系 统 因 此, 将 数 学 史 融 入 数 学 教 材 不 仅 是 十 分 自 然 而 必 要 的 事, 而 且 在 数 学 史 融 入 数 学 教 材 的 研 究 方 面 还 存 在 很 大 的 研 究 空 间 1. 研 究 现 状 1998 年,ICMI 研 究 会 议 ( 马 塞 ),J. Fauvel 和 van Mannen 组 织 16 个 国 家 ( 包 括 中 国 ) 的 学 者 对 数 学 史 在 各 国 数 学 课 程 中 的 地 位 进 行 考 察 涉 及 阿 根 廷 奥 地 利 巴 西 中 国 丹 麦 法 国 希 腊 以 色 列 意 大 利 日 本 荷 兰 新 西 兰 挪 威 波 兰 英 国 美 国 等 国 家 的 数 学 课 程, 但 较 少 涉 及 具 体 的 教 材 010 年, 在 维 也 纳 召 开 的 第 6 届 欧 洲 数 学 教 育 中 的 数 学 史 与 认 识 论 暑 期 大 学 (ESU-6), 来 自 法 国 意 大 利 波 兰 希 腊 等 过 的 学 者 组 织 了 一 次 小 组 讨 论, 与 会 者 介 绍 了 法 国 意 大 利 波 兰 希 腊 英 国 丹 麦 以 色 列 数 学 教 材 中 的 数 学 史, 并 粗 略 讨 论 了 教 材 中 融 入 数 学 史 的 目 标 方 式 评 价 标 准 以 及 反 对 将 数 学 史 融 入 教 材 的 一 些 观 点 此 外, 挪 威 学 者 Smestad(000) 对 挪 威 数 学 教 材 中 的 数 学 史 进 行 了 统 计 国 内 的 研 究 主 要 有 四 类 第 一 类 是 对 如 何 将 数 学 史 融 入 教 材 作 理 论 探 讨, 如 王 振 辉 等 (00) 曾 讨 论 过 将 数 学 史 融 入 教 材 的 方 式 ; 李 明 振 等 (006) 讨 论 了 数 学 史 融 入 中 学 数 学 4

教 材 的 原 则 和 方 式 ; 蒲 淑 萍 等 (01) 则 从 法 国 教 材 中 获 得 若 干 启 示 第 二 类 是 对 现 行 教 材 中 的 数 学 史 内 容 呈 现 方 式 等 进 行 统 计 分 析, 如 胡 炳 生 (00) 介 绍 过 新 加 坡 初 中 教 材 对 数 学 史 料 的 利 用 情 况 ; 杨 豫 晖 等 (007) 分 析 了 小 学 教 材 中 的 数 学 史 内 容 及 其 呈 现 方 式 ; 汪 晓 勤 (01) 对 法 国 初 中 数 学 教 材 中 的 数 学 史 进 行 了 分 析 ; 罗 新 兵 等 (01) 对 北 师 大 版 高 中 数 学 教 材 中 的 数 学 史 的 分 布 特 征 进 行 了 分 析 第 三 类 是 对 不 同 教 材 中 数 学 史 内 容 进 行 比 较 研 究, 如 李 开 慧 (006) 对 中 新 美 三 国 初 中 数 学 教 材 中 的 数 学 史 内 容 作 了 对 比 分 析 第 四 类 是 就 教 师 和 学 生 对 教 材 中 的 数 学 史 的 看 法 运 用 现 状 进 行 调 查 研 究, 如 张 明 月 (01) 国 内 相 关 研 究 有 如 下 特 点 : 针 对 初 中 和 小 学 教 材 的 研 究 较 多, 针 对 高 中 教 材 的 研 究 较 少 ; 多 局 限 于 对 教 材 中 的 数 学 史 内 容 的 分 析, 而 没 有 对 教 材 知 识 的 相 关 数 学 史 进 行 研 究 ; 文 本 研 究 较 多, 实 证 研 究 较 少 ; 所 提 建 议 较 多, 但 对 教 材 编 写 者 的 实 质 性 帮 助 不 大 因 此, 关 于 数 学 教 材 的 数 学 史, 还 有 很 大 的 研 究 空 间 1.3 研 究 内 容 鉴 于 国 内 外 相 关 研 究 的 不 足, 汪 晓 勤 老 师 围 绕 数 学 教 材 修 订 工 作 的 需 求, 提 出 了 课 题 研 究 的 内 容 框 架, 如 图 所 示 数 学 史 融 入 数 学 教 材 理 论 探 讨 教 材 研 究 文 献 研 究 实 证 研 究 为 何 如 何 早 期 教 材 现 行 教 材 术 语 之 辨 概 念 之 变 定 理 之 证 问 题 之 库 学 科 之 源 调 查 研 究 行 动 研 究 图 课 题 研 究 内 容 框 架 本 课 题 希 望 达 成 以 下 目 标 : 为 数 学 史 融 入 数 学 教 材 提 供 理 论 框 架 ; 43

为 数 学 史 融 入 数 学 教 材 提 供 更 为 丰 富 的 材 料 ; 完 善 现 行 教 材 中 的 有 关 数 学 史 内 容 ; 打 破 数 学 史 多 用 附 加 式 的 传 统, 增 加 数 学 史 融 入 数 学 教 材 的 方 式, 更 好 地 发 挥 数 学 史 的 教 育 价 值 ; 为 其 他 专 题 研 究 提 供 参 考 1.4 文 献 研 究 汪 晓 勤 老 师 在 报 告 中 较 为 详 细 地 介 绍 了 关 于 美 国 早 期 数 学 教 材 中 的 数 学 史 的 研 究, 研 究 对 象 为 19 世 纪 末 0 世 纪 初 的 六 种 教 材, 具 体 信 息 见 表 3 表 3 早 期 的 美 国 数 学 教 材 教 材 名 称 编 者 出 版 社 出 版 年 份 新 平 面 与 立 体 几 何 贝 曼 史 密 斯 Ginn& Company 1899 代 数 学 基 础 贝 曼 史 密 斯 Ginn& Company 1900 平 面 几 何 贝 兹 韦 伯 Ginn& Company 191 平 面 与 立 体 几 何 温 特 沃 斯 史 密 斯 Ginn& Company 1913 初 等 代 数 卡 约 黎 奥 戴 尔 The Macmillan Company 1915 初 中 数 学 温 特 沃 斯 史 密 斯 和 布 朗 Ginn& Company 1917 研 究 的 主 要 发 现 : 美 国 早 期 六 种 几 何 或 代 数 教 材 中 融 入 了 相 当 丰 富 的 数 学 史 元 素, 教 材 编 写 者 采 用 了 五 种 方 式 来 运 用 数 学 史, 但 主 要 集 中 在 点 缀 式 附 加 式 复 制 式 和 顺 应 式 ; 数 学 教 材 运 用 数 学 史 的 情 况 与 同 时 代 数 学 史 研 究 状 况 密 切 相 关 ; 相 同 学 科 不 同 教 材 运 用 数 学 史 的 情 况 千 差 万 别 ; 不 同 学 科 的 教 材 运 用 数 学 史 的 情 况 差 异 显 著 今 日 美 国 Prentice Hall 教 材 所 含 数 学 史 材 料 的 数 量 并 没 有 增 加 多 少, 而 数 学 史 的 运 用 方 式 也 仍 然 集 中 于 点 缀 式 附 加 式 和 顺 应 式, 并 无 创 新, 甚 至 还 少 了 重 构 式 1.5 专 家 解 读 人 教 社 中 学 数 学 研 究 室 的 王 嵘 老 师 就 数 学 史 在 现 有 教 科 书 中 的 渗 透 方 法 进 行 了 聚 类 说 明, 她 认 为 目 前 数 学 教 材 对 数 学 史 的 渗 透 有 四 种 呈 现 方 式 : 以 引 入 补 充 说 明 或 者 例 习 题 44

的 形 式 与 正 文 有 机 的 结 合 ; 以 阅 读 与 思 考 探 究 与 发 现 以 及 信 息 技 术 应 用 的 形 式 来 拓 展 资 料 ; 以 实 习 作 业 的 方 式 进 行 课 题 学 习 ; 把 数 学 史 选 讲 作 为 专 题 选 修 课 与 此 同 时, 她 对 数 学 史 融 入 数 学 教 材 的 呈 现 方 法 也 做 了 较 深 入 的 思 考, 如 在 现 有 内 容 与 方 法 的 梳 理 中 将 进 一 步 探 究 如 下 问 题 : 现 有 教 材 的 内 容 覆 盖 了 哪 些 历 史 方 面, 采 用 的 方 法 是 否 最 优? 现 有 内 容 的 层 次 性 如 何? 哪 些 内 容 需 要 保 留? 哪 些 内 容 需 要 进 一 步 改 造? 此 外, 在 与 正 文 结 合 以 及 课 题 学 习 的 方 式 中, 一 直 在 思 考 还 有 哪 些 方 法 值 得 研 究 ; 对 于 拓 展 资 料 的 多 样 化 以 及 数 学 史 选 讲 的 呈 现 方 式 里 考 虑 如 何 古 今 结 合, 适 当 的 让 学 生 经 历 历 史 上 数 学 家 探 究 与 发 现 某 知 识 的 过 程, 或 者 怎 样 让 学 生 运 用 现 代 信 息 技 术 解 决 古 题, 以 及 怎 样 更 有 利 于 阅 读 的 呈 现 方 式 来 吸 引 学 生 去 读 去 思 考 数 学 史 中 的 人 物 事 件 思 想 方 法 报 告 的 最 后, 王 嵘 老 师 从 文 本 和 文 献 相 结 合 的 角 度 提 出 了 专 题 研 究 工 作 的 个 人 计 划, 希 望 在 课 题 学 习 和 参 与 的 过 程 中 让 数 学 史 中 有 趣 有 价 值 的 东 西 更 好 地 反 映 到 教 材 中, 圆 满 完 成 数 学 史 在 数 学 教 材 中 的 研 究 课 题 数 学 史 融 入 数 学 教 学 : 经 验 分 享.1 矢 志 不 渝 浙 江 省 诸 暨 中 学 的 张 小 明 老 师 做 了 题 为 数 学 史 融 入 数 学 教 学 : 个 人 的 经 验 的 报 告 自 004 年 开 始, 张 小 明 老 师 立 足 于 自 己 的 课 堂 教 学 实 践, 围 绕 如 何 将 数 学 史 融 入 高 中 数 学 课 堂 教 学? 当 数 学 史 融 入 课 堂 后 的 情 形 为 何? 这 两 个 重 要 问 题, 开 展 了 长 期 的 行 动 研 究, 通 过 反 复 实 施 计 划 行 动 观 察 反 思 再 计 划 的 教 学 循 环, 对 中 学 数 学 教 学 中 融 入 数 学 史 的 方 法 和 途 径 进 行 了 探 索, 获 得 了 丰 富 的 实 践 经 验 张 小 明 老 师 认 为, 在 研 读 历 史 材 料 的 过 程 中, 一 方 面 要 着 眼 于 概 念 的 历 史 发 展, 另 一 方 面 也 要 关 注 数 学 概 念 的 历 史 发 展 对 数 学 教 学 的 启 示 和 意 义 : 如 历 史 上 数 学 家 遇 到 的 困 难 对 当 今 学 生 学 习 产 生 怎 样 的 启 示? 历 史 上 数 学 家 们 采 用 的 方 法 和 课 本 中 的 方 法 有 何 异 同? 能 否 为 学 生 所 用? 在 历 史 的 脉 络 中 重 新 思 考 课 本 内 容 的 编 排, 对 此 有 何 看 法? 哪 些 历 史 材 料 可 以 融 入 数 学 教 学 之 中? 具 体 形 式 是 怎 样 的? 在 将 数 学 史 融 入 教 学 的 方 式 选 择 上, 他 提 出 首 先 要 考 虑 学 生 的 需 求, 依 据 历 史 教 材 学 生 认 知 这 三 个 维 度 的 分 析 来 选 择 具 体 的 实 施 方 法, 而 且 无 论 运 用 哪 种 方 式, 都 需 要 对 历 史 材 料 进 行 一 定 的 加 工 和 剪 裁, 接 下 来 他 从 自 身 教 学 实 践 的 角 度 提 出 学 习 工 作 单 是 实 现 数 学 45

史 融 入 的 有 效 手 段 这 一 观 点, 并 详 细 的 从 历 史 考 证 教 材 分 析 学 生 认 知 历 史 材 料 的 剪 裁 加 工 和 融 入 等 这 些 层 面 介 绍 了 复 数 概 念 的 学 习 单 设 计 最 后, 他 和 大 家 分 享 了 几 个 精 彩 案 例 : 帕 斯 卡 赌 注 与 数 学 期 望 ( 附 加 式 ) 等 比 数 列 求 和 公 式 ( 复 制 式 ) 空 间 向 量 的 运 算 ( 顺 应 式 ) 均 值 不 等 式 的 证 明 ( 顺 应 式 ) 余 弦 定 理 的 证 明 ( 重 构 式 ). 且 行 且 思 浙 江 萧 山 中 学 的 王 芳 老 师 做 了 HPM 教 学 设 计 与 实 践 的 报 告 王 芳 虽 然 是 一 位 年 青 教 师, 但 勤 奋 好 学, 善 于 思 考, 在 HPM 领 域 颇 有 建 树 她 给 大 家 带 来 了 解 三 角 形 的 应 用 数 列 的 概 念 导 数 的 概 念 导 数 的 应 用 等 HPM 课 例, 并 分 享 了 先 内 容, 后 素 材 ; 多 角 度, 少 重 复 ; 看 需 求, 多 方 式 ; 重 思 想, 轻 形 式 的 HPM 课 例 研 究 心 得, 提 出 了 如 何 应 对 学 生 的 提 问 处 理 近 期 与 长 远 的 学 习 目 标 以 及 如 何 面 对 学 生 的 功 利 现 象 的 思 考.3 海 阔 天 空 浙 江 凤 鸣 高 级 中 学 的 沈 金 兴 老 师 做 了 题 为 校 本 课 程 : 数 学 史 融 入 课 堂 的 有 力 补 充 的 报 告 他 首 先 从 009 年 湖 北 理 科 高 考 卷 第 10 题 01 年 湖 北 卷 文 科 第 17 题 013 年 湖 北 卷 理 科 第 14 题 等 这 些 关 于 多 边 形 数 的 高 考 题 谈 起, 分 析 了 教 材 中 的 数 学 史 料 必 将 进 入 高 考 这 一 趋 势 ; 然 后, 他 谈 到 以 课 题 研 究 和 教 育 硕 士 的 求 学 历 程 为 依 托 的 自 身 专 业 成 长 经 历, 并 详 细 讲 解 了 形 数 理 论 的 应 用 和 拓 展 发 挥, 即 由 数 列 一 章 第 一 节 引 入 形 数 理 论 知 识 开 始, 讲 到 等 差 数 列 的 前 n 项 和, 再 到 等 比 数 列 的 前 n 项 和, 在 这 一 章 的 教 学 中, 形 数 理 论 如 一 根 主 线 贯 穿 始 终, 不 仅 让 学 生 领 略 了 数 学 文 化 的 博 大 精 深, 同 时 也 体 会 到 了 古 代 数 学 家 深 邃 的 数 学 思 想 006 年, 浙 江 省 实 施 新 课 程 改 革 以 来, 沈 金 兴 老 师 义 无 反 顾 地 承 担 了 数 学 文 化 的 校 本 课 程 开 发, 第 一 轮 校 本 课 程 以 提 高 学 生 数 学 学 习 兴 趣 为 主, 第 二 轮 校 本 课 程 (011-013 年 ) 围 绕 启 迪 学 生 的 数 学 思 想, 提 高 学 生 的 数 学 素 养 这 个 主 题, 并 自 行 撰 写 了 课 程 纲 要 和 部 分 教 材, 且 对 校 本 课 程 的 授 课 形 式 作 了 深 入 思 考 和 总 结 如 证 明 二 次 幂 和 公 式 时, 除 了 形 数 理 论 的 方 法, 还 可 以 用 三 角 形 法 以 及 几 何 证 法 和 物 理 学 证 法, 这 种 授 课 方 式 称 之 为 挖 掘 式 ; 概 率 论 诞 生 中 的 点 数 问 题, 贝 特 朗 悖 论 可 以 采 用 讨 论 的 方 法 ; 欧 拉 公 式 的 学 习 可 以 使 用 探 究 式 ; 让 学 生 通 过 网 上 查 找 与 主 题 相 关 的 资 料, 然 后 在 课 上 相 互 交 流, 称 之 为 交 互 式 ; 有 些 教 材 中 的 内 容 在 可 以 用 游 戏 或 动 46

手 实 验 的 形 式 来 展 现, 如 : 必 修 5 中 数 列 这 一 章 的 阅 读 与 思 考 的 九 连 环, 选 修 - 中 推 理 与 证 明 中 梵 天 塔 的 例 子 等 ; 还 有 一 些 数 学 公 式 定 理 结 论 等 具 有 对 称 美 形 式 美 简 洁 美 奇 异 美 等, 可 以 让 学 生 用 欣 赏 的 方 式 学 习 沈 金 兴 老 师 总 结 了 学 生 对 于 数 学 史 融 入 数 学 教 学 的 接 受 过 程 : 第 一 阶 段 : 愿 意 听, 没 用 处 ; 第 二 阶 段 : 喜 欢 听, 有 兴 趣 ; 第 三 阶 段 : 认 真 听, 会 思 考 ; 第 四 阶 段 : 想 听 懂, 善 挖 掘.4 牛 刀 小 试 金 惠 萍 老 师 是 义 乌 高 中 数 学 学 科 王 芳 名 师 工 作 室 的 青 年 骨 干 教 师, 首 次 接 触 高 中 数 学 起 始 课 的 HPM 教 学 设 计 课 题 研 究 活 动, 按 照 要 求 她 自 主 选 择 了 对 数 概 念 的 教 学 内 容, 并 在 HPM 团 队 指 导 下 进 行 了 三 轮 磨 课 在 大 会 的 这 个 HPM 实 践 交 流 的 环 节 中, 她 给 大 家 介 绍 了 历 史 重 构 下 的 对 数 概 念 的 三 次 教 学 成 长 历 程 : 在 这 个 过 程 中 她 不 仅 掌 握 了 HPM 教 学 的 基 本 原 则 步 骤 方 法, 而 且 从 观 念 到 知 识 能 力 等 层 面 上 提 升 了 自 己 的 HPM 教 学 设 计 能 力, 有 效 地 促 进 自 身 的 专 业 成 长.5 渐 入 佳 境 义 乌 高 中 数 学 学 科 王 芳 名 师 工 作 室 的 陈 锋 老 师 是 金 华 市 教 坛 新 秀 义 乌 市 教 学 名 师 他 在 义 乌 最 早 实 践 了 HPM 视 角 下 的 椭 圆 概 念 教 学, 而 后 又 实 施 了 棱 柱 的 定 义 教 学 此 次 大 会 上, 他 给 大 家 分 享 了 自 己 实 施 HPM 教 学 的 心 路 历 程 在 椭 圆 概 念 的 教 学 中, 他 介 绍 了 课 堂 实 验 手 电 筒 照 射 球 中 圆 如 何 向 椭 圆 47