第一章

第 一 章 拉 普 拉 斯 轉 換 - 緒 言 在 求 解 數 學 問 題 時, 常 常 碰 到 需 使 用 複 雜 的 數 學 運 算, 而 使 得 求 學 過 程 變 成 相 當 困 難, 甚 至 無 法 求 解 針 對 此 一 問 題, 有 許 多 數 學 家 嘗 試 著 利 用 轉 換 (Trnform) 的 技 巧, 以 達 到 將 一 個 求 解 困 難 的 數 學 問 題 轉 換 成 另 一 個 求 解 容 易 的 數 學 形 式 的 目 地 例 如, 在 微 積 分 中, 若 直 接 利 用 微 分 公 式 去 微 分 y 先 利 用 對 數 轉 換, 將 上 式 轉 換 成 再 利 用 隱 函 數 微 分 法 就 很 容 易 求 出 y ( x ) ( x+ ) x 3 + lny 3ln x - +ln x+ - ln x + 是 一 件 相 當 困 難 的 事, 此 時 我 們 可 以 除 了 上 述 所 提 及 的 對 數 轉 換 外, 數 學 家 已 成 功 地 發 展 出 很 多 種 轉 換 方 法, 諸 如 : 拉 普 拉 斯 轉 換 (plc Trnform) 傅 立 葉 轉 換 (Fourir Trnform) Z 轉 換 (Z Trnform) 等 等 在 本 章 中, 我 們 將 介 紹 其 中 的 一 種 轉 換 法 拉 普 拉 斯 轉 換, 並 探 討 如 何 利 用 拉 普 拉 斯 轉 換 來 解 微 分 方 程 式 的 初 值 問 題 - 拉 普 拉 斯 轉 換 的 定 義 及 基 本 函 數 之 轉 換 表 定 義 - 拉 普 拉 斯 轉 換 ( plc Trnformion) 設 f () 為 的 函 數, 其 中 >. 函 數 f () 的 拉 普 拉 斯 轉 換 ( 以 後 簡 稱 拉 氏 轉 換 ) 以 符 號 [ f ] 表 示, 且 定 義 為 - f () f () d f 以 下 我 們 將 求 出 一 些 基 本 函 數 的 拉 氏 轉 換 [ 例 題 -] f() 的 拉 氏 轉 換 為 - - [] ()d - ( > ) 第 / 47 頁

[ 例 題 ] [ 例 題 ] f 的 拉 氏 轉 換 為 ( ) ( ) d d ( ) ( > ) -3 已 知 正 弦 雙 曲 線 函 數 - - inh 餘 弦 雙 曲 線 函 數 + - coh 故 - [ inh ] (inh ) d - - - d - - - ( - d ) d - - + - 同 理 可 得 { } [ coh ] + - + - + 例 題 -4 已 知 in, co i 其 中 i 仿 照 例 題 3的 解 法, 可 得 [ in ] i i i i i i + i + i + i i ( i) + 第 / 47 頁

[ co ] + i + i + i + i ( i) + 註 : 尤 拉 公 式 ( Eulr Formul) i co + iin, i co iin 將 兩 式 相 減, 可 得 i i iin in 將 兩 式 相 加, 可 得 i i i i i + co co i + i [ 例 題 5] () i f () 的 拉 氏 轉 換 為 [] () d + ( > ) n ( ii) f ( n 為 正 整 數 ) 的 拉 氏 轉 換 為 n n ( ) d x 令 x 且 d d n n x x n x 故 ( dx) x dx n n+ Γ ( n + ) n! n+ n+ 第 3 / 47 頁

註 : () Γ ( α ) Γ ( α + ) α Γ ( α ) α 為 實 數 3 Γ ( n + ) n! n 為 正 整 數 4 Γ () Γ ( / ) π α x x dx 稱 為 Gmm 函 數 例 題 6 定 義 在 處 產 生 跳 躍 的 單 位 階 梯 函 數 ( Uni Sp Funcion), 如 下 : u ( ), < 則 u( ) 的 拉 氏 轉 換 為 u( ) u( ) d () d + ( ) d ( > ), 註 : 在 處 產 生 跳 躍 的 單 位 階 梯 函 數 為 u( ), < 且 其 拉 氏 轉 換 [ u() ] 第 4 / 47 頁

綜 合 上 述 各 例 題, 特 將 一 些 基 本 函 數 的 拉 氏 轉 換, 表 列 如 下 : 基 本 函 數 的 拉 氏 轉 換 表 f () F () f [ ()] + + n! n+ Γ ( + ) in co n n 為 正 整 數 為 實 數 + inh coh u ( ) u ( ) [ 例 題 7] 求 下 列 各 函 數 的 拉 氏 轉 換 5 3 b c d ( )in4 ( f)co ( g)inh ( h)coh5 解 : 由 拉 氏 轉 換 表, 得 5 + 5 第 5 / 47 頁

3 3! 6 Γ(3 ) π 4 4 3 3 4 [ in 4] [ co] + 6 + [ inh ] [ coh 5 ] 4 5 在 結 束 本 小 節 之 前, 讓 我 們 來 探 討 一 個 問 題 : f () 須 滿 足 那 些 條 件 才 會 使 拉 氏 轉 換 [ f() ] 存 在? 定 理 拉 氏 變 換 的 存 在 性 若 函 數 f() 滿 足 下 列 條 件 : () Ι f() r ( ΙΙ ) lim f r x 為 連 續 或 片 段 連 續 函 數 則 [ f() ] 存 在, 為 一 正 實 數 [ 8] () Ι n 故 [ n ] 不 存 在 例 題 因 不 為 連 續 或 片 段 連 續 函 數 ( ΙΙ ) 因 lim x 為 連 續 函 數 -r lim r x 故 不 存 在 第 6 / 47 頁

* ** 練 習 題 *** 一 利 用 定 義 -, 求 下 列 各 函 數 的 拉 氏 轉 換,, g, <, < () f 3 h,, < 二 利 用 基 本 函 數 的 拉 氏 轉 換 表, 求 下 列 各 函 數 的 拉 氏 轉 換 4 5 () in ( 3) ( 4) 3 w 5 coh 3 6 7 co 8 inh 5 三 求 下 列 各 Gmm 函 數 值 5 Γ ( 3) Γ( 5) () Γ (5) Γ ( 3) Γ( 8) 已 知 則 4 Γ.4.88764, Γ 3.4? Γ.4? 四 求 下 列 各 積 分 值 x () 5 3x x dx x dx x ( 3) ( 4) x dx x dx x 第 7 / 47 頁

-3 拉 氏 轉 換 的 運 算 定 理 我 們 可 利 用 拉 氏 轉 換 表, 查 出 一 些 基 本 函 數 的 拉 氏 轉 換 ; 但 碰 到 複 雜 一 點 的 函 數 要 做 拉 氏 轉 換 時, 就 會 有 捉 襟 見 肘 的 感 覺 因 此, 我 們 將 在 本 節 中 提 出 幾 個 拉 氏 轉 換 的 運 算 定 理, 藉 由 這 些 運 算 定 理 可 使 我 們 能 做 出 更 多 的 拉 氏 轉 換 定 理 線 性 運 算 若 f() 與 g() 的 拉 氏 轉 換 存 在, 且, b為 常 數 則 [ () + ()] [ ()] + [ ()] f bg f bg 證 明 : [ () + ()] { () + ()} f b g f b g d f () d + b g() d [ ()] b[ g() ] f + [ 例 題 9] 求 下 列 各 拉 氏 轉 換 () [ 5+ 3] [ in 3co] 3 4 in 3 解 : () [ 5+ 3] 5 + 3 5 + 3 5 + 3 [ in 3co] [ in ] 3[ co] 3 + + 3 + 第 8 / 47 頁

3 + [ 4 in 3 [] + + ( )( ) co6 { [] [ co6] } 8 + 36 + 36 例 題 - ] 將 下 列 各 函 數 圖 形 表 示 成 單 位 階 梯 函 數, 並 求 其 拉 氏 轉 換 () () - 解 : () f () 的 圖 形 可 視 為 兩 個 單 位 階 梯 函 數 所 組 成, 如 下 圖 所 示 : - f () u( ) + ( ) u( ) u ( ) u ( ) 第 9 / 47 頁

[ ()] [ ( )] f u u () g () 的 圖 形 可 視 為 兩 個 方 波 所 組 成, 如 下 圖 所 示 : - - { } { } g () u () u ( ) + ( ) u ( ) u ( ) u () u ( ) + u ( ) [ ()] [ () ( )] g u u + u + 定 理 3 第 一 移 位 定 理 ( Fir Shif Thorm) 若 f() F, 則 f() F( ) 即 : 在 求 f() 的 拉 氏 轉 換 時, 可 先 求 出 f() 的 拉 氏 轉 換 F (), 再 以 取 代, 得 F ( - ) [ 證 明 ]: 因 故 f() f() d F() { } f() f() d ( ) () f d F 第 / 47 頁

[ 例 題 ] 解 : () 因 求 下 列 各 拉 氏 轉 換 () 5 3 in ( 3) ( 3coh inh ) ( 4) [ coh ] 3 4 4 3 5 因 [ in] 3! 6 6 ( 5) 3 in ( 3) 因 [ 3coh inh] 4 + ( ) + 3 + 3 3 3( + ) ( 3coh inh ) + 4 因 coh + 又 [] [ coh ] { } + + ( ) ( + ) + 4 ( 4) 第 / 47 頁

定 理 4 F 的 微 分 定 理 n d n n 若 [ f() ] F(), 則 F() ( ) f () n d [ 證 明 ]: 因 F () f () f () d d d 故 F () f () d d d d f() d d f() d ( ) f [ ] 同 理, 連 續 微 分 可 得 n d F n n () ( ) f () n d 例 題 分 別 利 用 定 理 3與 定 理 4, 求 () 解 : 利 用 第 一 移 位 定 理 求 解 因 [], 故 利 用 F 的 微 分 定 理 求 解 因 又 - F() + d d F () d d + ( + ) ( + ) 第 / 47 頁

故 ( + ) n d n d n n 若 我 們 將 定 理 -4 改 寫 成 f() ( ) [ f() ] 時, 可 先 求 出 [ 例 題 3] 解 : [ f() ], 再 作 n 次 微 分, 並 乘 以 求 下 列 各 拉 氏 轉 換 () () 因 [ co5] 即 為 所 求 n co5 inh [ co5] ( ) 因 [ inh] + 5 d d + 5 5 + 5 d inh ( ) d 6 3 n, 即 在 求 解 f() 的 拉 氏 轉 換 定 理 5 F 的 積 分 定 理 f () 若 [ f() ] F(), 則 F() d 第 3 / 47 頁

[ 證 明 ] : 因 F f ( ) f d 故 ( ( ) Fd () f () dd ) d f() d () f d f () in 例 題 4 利 用 定 理 5, 求 in 由 ( ) 的 結 果, 求 d 解 : () () 因 [ in ] + in d + π n n 由 拉 氏 轉 換 的 定 義 與 (), 知 in in π d n in π 以 代 入 上 式, 得 d 第 4 / 47 頁

定 理 6 微 分 式 的 拉 氏 轉 換 若 f() 與 前 n階 導 函 數 均 為 連 續, 且 其 拉 氏 轉 換 存 在, 則 f () f() f() f () f() f() f () f f f f f 3 () () () () () f f f f f n n n n ( n ) () () () 證 明 : f () f () d 利 用 分 部 積 分 法 令 得 故 令 得 [ ()] u dv f d -, du d v f () f () f() + f() d f() + f f () f() f() h () f (), 則 h () f () [ ()] () f h () h() h() f f 再 重 覆 上 述 方 法, 可 得 { } f() f() f () f() f() f () f f f f f 3 () () () () () ( n) n n n ( n ) f () f() f() f () f () 第 5 / 47 頁

[ 例 題 4] () 求 in 6, ( ) 利 用 定 理 驗 證 的 答 案 解 : co in { [] [ co] } + + () 4 4 f 則 f in, () 令 f () inco in 由 定 理 5, 得 [ f () f () f () in + 4 in ( + 4) in in ] 在 定 理 -6 中, f () 須 為 連 續 函 數 ; 倘 若 f () 在 處 產 生 跳 躍, 且 其 餘 各 處 均 連 續 ( 如 下 圖 所 示 ), 則 定 理 -6 應 修 正 為 : [ ] f () f() f() j + 其 中 j f( ) f( ), 即 f 在 處 的 階 差 f () j 第 6 / 47 頁

, [ 例 題 5 ] 求 f(), 的 拉 氏 變 換 - 解 :, 因 f (), < 又 且 [ f () ] () d f () f() f() j f() j [ f () ] ( ) ( + ) [ f() ] 在 緒 言 中, 我 們 曾 提 及 拉 氏 轉 換 的 功 用 在 於 可 將 微 分 方 程 式 轉 換 成 代 數 方 程 式, 以 方 便 求 出 微 分 方 程 的 特 別 解 其 轉 換 過 程 如 下 : (i) 將 微 分 方 程 式 兩 邊 取 拉 氏 轉 換 (i i) 利 用 定 理 -6, 得 [ ] y y y() y y y() y () () () () 3 y y y y y (i i i) 再 將 起 始 條 件 代 入, 即 可 轉 化 成 含 有 [ y ] 的 代 數 方 程 式 第 7 / 47 頁

[ 例 題 ] 6 將 微 分 方 程 式 y -3y + y, y(), y () 解 : 作 拉 氏 轉 換 將 微 分 方 程 兩 邊 取 拉 氏 轉 換, 得 [ -3 + ] [ y ] [ y ] [ y] y y y 3 + 利 用 定 理 6, 得 { [ y] y y } { [ y] y } [ y] () () 3 () + 代 入 起 始 條 件, 得 { } { } ( 3 ) [ y] y 3 y + y + + 定 理 7 積 分 式 的 拉 氏 變 換 若 則 f () F f () F f () d [ f () ] F f () dd F f () dd d n n 次 積 分 第 8 / 47 頁

{ } 證 明 : () () f d f d d 利 用 分 部 積 分 法, 令 u f() d dv d du f () d v 得 f () d f () d + f () d + [ f ] [ f() ] 故 f() d 第 9 / 47 頁

[ 例 題 8] 解 : 求 下 列 各 拉 氏 變 換 3 () in 5 ( 3) () in d d d d 5 ( + 3) + 5 3 因 in 5 又 由 定 理 7, 得 3 5 in 5 d ( + 3) + 5 in π 因 n co 又 由 定 理 7, 得 ( 3) in co d 因 ( + ) 又 由 定 理 7, 得 d ( + ) d 定 義 摺 積 ( convoluion) 設 f () 與 g() 為 連 續 函 數 現 定 義 下 列 積 分 式 f ( λ) g( λ) dλ 為 f () 與 g() 的 摺 積, 並 記 為 f () g() 即 f () g() f ( λ) g( λ) dλ 第 / 47 頁

[ 例 題 ] 求 9 in co 解 : () ( λ) λ λ dλ λ dλ λ λ ( λ ) + in co in λco( λ) dλ { in in } + λ dλ λin co( λ ) 4 in 註 : 定 理 8 () f g g f f f ( λ ) dλ ( Convoluion Thorm) 且 摺 積 定 理 若 f() F g() G 則 f() g() f () g() F G [ 例 題 ] 求 解 : 因 + 第 / 47 頁

故 + + + ( + ) 另 解 : 由 定 理 -8知, [ 例 題 -] 定 理 解 : [] - + 求 下 列 各 拉 氏 轉 換 ( + ) 4 λ in( λ) dλ ( λ) dλ () () λin ( λ) dλ [ in ] [] [ in ] 4 4 λ λ ( + 4) ( ) d 4 4! 4 [] 5 5-9 第 二 移 位 定 理 ( Scond Shif Thorm ) 若 則 [ ()] f F f ( ) u( ) F + 4 證 明 : f ( ), 因 f ( ) u( ), τ < f ( ) u( ) () d + f ( ) d 第 / 47 頁

f( ) d 令 y y+, d dy ( y+ ) [ ] f u f y dy y f ( y) dy f() F() f d 若 f () 的 圖 形 往 右 移 單 位, 即 可 得 f ( - ) u( - ) 的 圖 形, 如 下 圖 所 示 : f () f ( ) u( ) 當 我 們 在 求 f( ) u( ) 的 拉 氏 轉 換 時, 第 二 位 移 定 理 告 訴 我 們 : 首 先 將 f ( ) u( ) 的 圖 形 往 左 位 移 單 位, 使 其 還 原 成 f 的 圖 形, 而 求 出 f [ ] f u, 再 乘 上, 即 可 求 出. [ ] in( π) u( π) 求 [ in( π) u( π) ] () π u π 例 題 試 繪 的 圖 形 解 : in 的 圖 形, 如 下 圖 所 示 : 第 3 / 47 頁

+ 利 用 第 二 位 移 定 理, 得 因 [ in] π [ in( π) ( π) ] [ in ] u π + [ 例 題 3] 解 : 求 下 列 各 拉 氏 轉 換 ( ) () u( ) ( ) [ (3 ) u( ) ] ( ) u( ) () ( ) [ (3 ) u( ) ] [ (3( ) + 5) u( ) ] + + 3 5 [ 3 5 ] (3 + 5 ) 定 理 週 期 函 數 的 拉 氏 轉 換 若 f () 為 週 期 函 數 且 週 期 為 p p 則 [ f () ] f () d p f p, 證 明 : 因 為 週 期 函 數 且 週 期 為 如 下 圖 所 示 即 f ( + np) f, n,,3, p p 3p 第 4 / 47 頁

f f d 3 p p 對 第 二 個 積 分 式, 令 y + p ; 對 第 三 個 積 分 式, 令 y + ; 依 此 類 推, 則 可 得 p p f d + f d p + f d + p ( y + p ) f f d + f ( y + p) dy p p p ( y + p ) + f ( y + p) dy + p y f d + f ( y) dy p p p y f ( y) dy + + p y f d + f ( y) dy + p p p p p p ( ) p p p y f ( y) dy + f d + + + f d p 例 題 -4 求 下 列 各 週 期 函 數 的 拉 氏 轉 換 () - 3 4 5 () 3 4 5 第 5 / 47 頁

解 : () f 的 週 期 p [ f ] f d + { () d d} + + ( + ) 因 g 連 續 函 數, 且 g() 又 g f 由 定 理 6, 得 [ g() ] g () g() g() [ g ] [ g ] [ f ] ( + ) 第 6 / 47 頁

*** 練 習 題 *** 一 求 下 列 各 拉 氏 變 換 () + 4 3 ( ) 3 co 5 4 inh 5 (co in ) 6 (3 ) 3 7 inco3 8 5 4 ( 9) co3 inh ( ) in ( 3) co ( 4 ) ( ) ( 5) [ in w] co 6 [ (3in co ) ] ( 7) in5 ( 8) d d 3 ( 9) co 4 d λ 3 λ λ dλ co ( 3) co ( 4 ) ( λ) dλ λ λ λ λ 5 4 5 ( ) d 6 in ( ) d 7 3( ) u( ) 5( 3) ( 8 ) u ( 3) ( 9 ) (5 ) u ( 3) ( 3) [ co u ( π )] 二 將 下 列 各 函 數 圖 形 表 示 成 單 位 階 梯 函 數, 並 求 其 拉 氏 轉 換 () 3 第 7 / 47 頁

() 3 3 (3) 3 3 三 將 下 列 各 微 分 方 程 式 轉 化 成 含 有 [ y ] 的 代 數 方 程 式 y + 6y + 8y y() y () y 4y + 4 y y() y() 3 y + 3y y + y y() y () y () 四 求 下 列 週 期 函 數 的 拉 氏 轉 換 () f () - 3 6 7 4 5 () f () - 3 4 5 6 7 第 8 / 47 頁

-4 反 拉 普 拉 斯 轉 換 一 個 既 定 函 數 f () 的 拉 氏 轉 換 F () 若 存 在, 則 滿 足 唯 一 性 ; 也 就 是 不 同 的 函 數 具 有 不 同 的 拉 氏 轉 換 在 介 紹 過 拉 氏 轉 換 後, 我 們 將 介 紹 反 拉 氏 轉 換, 正 如 同 微 分 與 積 分 間 的 逆 運 算 關 係 一 樣, 我 們 可 將 f () 經 由 拉 氏 轉 換 產 生 F (), 而 F () 經 由 反 拉 氏 轉 換 還 原 成 f () 現 定 義 反 拉 普 拉 斯 轉 換 如 下 : 定 義 3 反 拉 普 拉 斯 轉 換 若 f() 的 拉 氏 轉 換 為 F(), 即 f() f() d F() ( Invr plc Trnformion) ( 換 ) 則 反 過 來 定 義 F () 的 反 拉 普 拉 斯 轉 換 簡 稱 反 拉 氏 轉 F f () () 為 f(), 且 以 符 號 F() 表 示, 即 拉 氏 轉 換 表 可 提 供 我 們 查 出 一 些 基 本 函 數 F () 的 反 拉 氏 轉 換 f () [ 例 題 4] 解 : 求 下 列 各 函 數 的 反 拉 氏 轉 換 () ( 3) ( 4) ( 5) () 6 5 4 5 + 5 6 6 3 4 5 5 5 3 in5 4 + 5 6 coh4 u 5 第 9 / 47 頁

若 函 數 F () 較 複 雜 時, 我 們 就 必 須 藉 助 一 些 運 算 技 巧 才 能 求 得 反 拉 氏 轉 換 介 紹 三 種 求 反 拉 氏 轉 換 的 技 巧 : () 利 用 拉 氏 轉 換 定 理 的 逆 運 算 () 利 用 部 份 分 式 法 簡 化 F, () 再 作 反 拉 氏 轉 換 (3) 利 用 賀 維 賽 得 公 式 ( Hviid Formul ) f (), 以 下 將 首 先 介 紹 如 何 利 用 拉 氏 轉 換 定 理 的 逆 運 算, 求 得 反 拉 氏 變 換 在 -3 節 中 所 提 及 的 每 一 個 拉 氏 轉 換 定 理, 均 隱 含 著 一 個 逆 運 算, 即 f() F() F f() 現 將 一 些 常 用 的 拉 氏 轉 換 定 理 之 逆 運 算 敘 述 如 下 : 定 理 線 性 定 理 之 逆 運 算 若 F () 與 G () 的 反 拉 氏 轉 換 存 在, 且 b, 為 常 數 則 [ () + ()] [ ()] + [ ()] F bg F b G [ 例 題 5] 解 : 求 下 列 反 拉 氏 轉 換 ( ) + 3 4 + 3 6 + 4 + 36 () 4 ( 3) ( 4) () + 5 + 3 3 3 5 + ( ) 4+ 4 4 6 + 3 4 6 3 + 3 4 4 第 3 / 47 頁

4 4 3 6 + 4 6 + 4 inh 4 4 + 3 6 4 + 36 + 36 + 36 co6 + 5in 6 定 理 第 一 位 移 定 理 之 逆 運 算 若 則 [ ( )] F f F F f () [ 例 題 6] 解 : 求 下 列 反 拉 氏 轉 換 4 4 ( ) ( + ) + 6 3+ + ( 5) 64 ( 3) 5 4 + 4+ 8 () 5 ( 3) ( 4) ( 5) () ( 3) 4 4! ( ) 4 5 5 4 4 ( + ) + 6 + 6 in 4 3+ 3( 5) + 6 ( 5) 64 ( 5) 64 3 5 8 + 64 (3coh 8 + inh 8 ) 5 64 第 3 / 47 頁

( 4) ( 5) + ( 3) + 4 3 + 4 ( 3) ( 3) 3 + ( 4 ) 5+ 4 5( + ) 6 4 8 ( ) 4 + + + + 5 6 (5co 3 + 4 in ) 定 理 -3 F 的 微 分 定 理 之 逆 運 算 若 d [ ()] (), 則 () () d F f F f [ 例 題 7] 解 : 求 下 列 反 拉 氏 轉 換 () co ( 3) () n ( + ) d d ( n ) n n( ) d d 又 由 定 理 -3, 知 - { } d d - n n 故 n 第 3 / 47 頁

(co ) ( 3) d d + 又 由 定 理 -3, 知 in in d co co d in + in in 故 co d d + ( + ) 又 由 定 理 3, 知 d in d + + 即 故 ( + ) ( + ) 定 理 4 摺 積 定 理 之 逆 運 算 若 則 且 [ () ()] () () F f G g () () () () F G f g [ 例 題 8] 求 ( + ) 解 : ( ) i + + + 第 33 / 47 頁

in co inλ co( λ ) d λ { in in( λ )} + d λ λ in co( λ ) in 定 理 5 第 二 位 移 定 理 之 逆 運 算 若 則 F f ( ) ( ) F f u [ 例 題 9 解 : ] 求 下 列 反 拉 氏 轉 換 + 3 () π ( ) ( 3) ( 4) () ( ) 因 + 4 3 故 ( ) u( ) 3 因 + ( ) 故 u( ) + 3 因 in + 4 故 in ( ) ( π ) + 4 π π u 第 34 / 47 頁

( 4) 因 故 ( ) + u() ( ) u( ) + ( ) u( ) 在 求 F () 的 反 拉 氏 轉 換 時, 若 F () 的 分 母 可 作 因 式 分 解, 則 我 們 可 利 用 部 份 分 式 的 技 巧, 將 F () 化 成 部 份 分 式, 再 逐 項 求 其 反 拉 氏 轉 換 即 可 [ 例 題 3] 解 : 利 用 部 分 分 式 法, 求 下 列 反 拉 氏 轉 換 + + 3 3 4 ( )( + ) () 3 + + + + 5 ( + ) ( + )( + 4) 3 3 ( 3) ( 4) () 令 + + A B + 3 4 ( 4)( + ) 4 + 通 分, 得 + A( + ) + B( 4) 代 入 4, 得 A 9/5 代 入 故, 得 B /5 + 9/5 /5 + 3 4 4 + 9 4 + 5 5 + 3 A B + C + ( )( + ) + 令 + A + + B + C 3 比 較 係 數, 得 A+ B C -B A A-C 3 B C 第 35 / 47 頁

( 3) 故 + 3 + ( )( + ) + 3+ A A A + + ( + ) + ( + ) ( + ) co 3 令 3 3 利 用 綜 合 除 法, 得 3 5 7 即 A A 7 A 3 in 3+ 7 ( + ) + ( ) ( ) + + 7 + ( 7+ 3 ) 故 + + 3 3 ( 4 ) 令 5 + + + + 3 + + + A + B C + D + ( 4) 4 通 分, 得 3 + + ( A + B)( + 4) + C + D + 比 較 係 數, 得 A + C B + C Α, Β 4A + C C, D 4B + D 5 + + + 5 + ( )( 4) 4 + + + + in + co + in 3 故 + 第 36 / 47 頁

在 利 用 部 份 分 式 法 求 F () 的 反 拉 氏 轉 換 時, 我 們 必 須 作 大 量 的 代 數 計 算, 以 求 出 F () 的 部 份 分 式 展 開 式 之 係 數, 而 使 求 解 過 程 變 得 相 當 繁 雜 針 對 此 問 題, 我 們 將 介 紹 另 一 種 求 反 拉 式 轉 換 的 方 法, 稱 之 為 賀 維 賽 得 公 式 ", 利 用 此 法 求 F () 的 反 拉 式 轉 換 時, 可 根 據 F () 的 [ ] 分 母 之 因 式, 直 接 寫 出 F() 的 基 本 結 構, 在 套 公 式 計 算 出 一 些 未 知 係 數, 即 可 完 成 所 求 P () 首 先 假 設 F () P () () P () () Q (), 其 中 與 Q 為 多 項 式, 且 的 次 幕 低 於 Q 的 次 幕 若 分 母 Q () 可 做 因 式 分 解 時, 則 依 Q () 所 分 解 出 的 因 子, 由 下 列 三 種 狀 況 討 論 之 : 狀 況 一 : 當 Q 含 有 - 的 因 子, 即 Q ( - ) R 由 部 份 分 式 法, 知 P A W F + Q - R - [ 例 題 3] 求 解 : 因 F A W - R - - + - W A + R 其 中 未 知 係 數 Α可 由 下 列 公 式 求 出 : P 令 H ( ), 則 A H( ) Q ( 先 由 F 的 分 母 Q 中 扣 除, 即 得 H, 再 以 代 入 H 中, 可 得 係 數 A ) 4 3 + 4 4 3 + ( )( ) 4 A A + 3+ 第 37 / 47 頁

A + A 3 + 7 4 4 其 中 A 3, A 7 n n 狀 況 二 當 Q 含 有 ( ) 的 因 子, 即 Q ( ) R 由 部 份 分 式 法, 知 P A A F + + + n Q n ( ) n ( ) W + R A A [ F ] + + + n n n ( ) ( ) w R + n n A + A + + A ( n )! ( n )! W + R 其 中 未 知 係 數 A, A,, A 可 由 下 列 公 式 求 出 : P n 令 Η ( ) Q H ( ) H ( ) 則 Α H( ) A A3!! ( n ) H ( ) An ( n )! n ( 先 由 F 的 分 母 Q 中 扣 除 ( ), 即 得 H, 再 利 用 H 及 其 前 n- 階 導 數, 求 出 未 知 係 數 A A A n,,, ) n A A n! 第 38 / 47 頁

[ 例 題 3] 求 解 : ( + ) 3 A A B ( ) + + + ( + ) B B3 + + ( + ) + 3 3 Α + A + B + B + B3!!!!! 3 3 + + + 8 6 8 4 6 3 其 中 H H 3 4 ( + ) ( + ) H () 3 8! 6 6 Η H H 3 4 A H () A 又 H ( ) B H B 4! 4 ( ) B H ( ) 3! 6 3 狀 況 三 當 Q 含 有 的 因 子 ( α ) + β 即 Q R 由 部 份 分 式 法, 知 ( α ) + β P A + B W F + Q ( α ) + β R A + B W ( α ) + β R( ) F + A ( α ) + B + α A W + ( α ) + β R 第 39 / 47 頁

A + B + α A w β + R α + α Aβ B + α A w co β + in β + β β R α φ φ r w co β + in β + β β R 其 中 未 知 係 數 φ 與 φ 的 求 法, 如 下 : 令 P H ( α ) + β Q H ( α + β i) φ + i φ 則 r r ( 先 由 F 的 分 母 Q 中 扣 除 ( α ) + β, 即 得 H, 再 以 α + β i代 入 H 中, 得 複 數 Η ( α + β i ), 其 中 實 部 為 φ r, 虛 部 為 φ ) [ 例 題 33] 求 + + + ( ) ( ) 4 + A B + C 解 : ( ) ( ) 4 + ( ) 4 + + + + φ φr A + in + co 3 7 6 + in + co 3 6 3 + 3 其 中 H A H ( ) ( ) + 4 3 + 又 H + ( + i) + 3 + 4 i H ( + i) ( + i) + 3 + i (3 + 4 i)(3 i) 7 6 + i (3 + i)(3 i) 3 3 7 6 即 φr, φi 3 3 第 4 / 47 頁

練 習 題 試 求 下 列 反 拉 氏 轉 換 () ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) 5 ( + ) 4 3 3 + 4 4+ 3 6 4 4 3 9 ( 3) ( + ) + 4 + 5 ( 8) ( + 5) 6 6 9 + + + + + 9 4 co ( 3) ( 4) n ω b ( + ) ( ) ( + ) ( 5 ) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) 4 3 8 + 3 + + 4 ( + )( + )( 3) 5+ 6 4 + 3 3 4 3 ( )( + ) ( + 4)( + ) +4 ( ) ( ) 9 3 + 3 + + 3 3 3 ( 3) ( 4) 5 ( + 4)( 9) ( + )( + 4) ( 5) ( 6) 3+ 4 + ( + 5) ( ) ( + ) ( 7) ( 8) 第 4 / 47 頁

-5 拉 氏 轉 換 解 微 分 方 程 式 利 用 拉 普 拉 斯 轉 換 求 解 微 分 方 程 式 的 初 值 問 題 時, 不 必 像 傳 統 方 式, 先 求 出 微 分 方 程 式 的 一 般 解, 再 代 入 初 值 條 件 以 求 特 別 解 ; 而 只 須 將 微 分 方 程 式 經 拉 普 拉 斯 轉 換, 轉 換 成 含 有 [ y] 的 代 數 方 程 式 ( 在 轉 換 過 程 中, 初 值 條 件 會 自 動 納 入 運 算 ), 再 解 出 [ y ], 並 求 其 反 拉 普 拉 斯 轉 換, 即 可 得 微 分 方 程 式 的 特 別 解 y 初 值 問 題 代 數 方 程 式 特 別 解 y [y] 在 此 節 中, 我 們 將 利 用 拉 氏 轉 換 求 解 常 係 數 微 分 方 程 式 聯 立 常 係 數 微 分 方 程 組 之 初 值 問 題 一 解 常 係 數 微 分 方 程 式 之 初 值 問 題 [ 例 題 ] 34 解 y + 3y 4y ; y() y () 解 : 將 微 分 方 程 式 兩 邊 取 拉 氏 變 換, 得 [ + 3 4 ] y y y { y y() y ()} 3 { [ y] y() } + 代 入 初 值 條 件 y() y (), 得 + 3 4 y 4 + 4 [ y] + 3 4 特 別 解 y [ y] 4 第 4 / 47 頁

例 題 -35 解 y 3y + y ; y() y () 解 : 將 微 分 方 程 式 兩 邊 取 拉 氏 變 換, 得 [ 例 題 ] [ 3 + ] { } y y y { } y y() y () 3 y y() + y 代 入 初 值 條 件 y() y () 得 ( 3 + ) [ y] + + /( ) 3 [ y] 3 + ( )( ) 3 特 別 解 y + ( ( )( ) ) 36 解 y + y 4i n, y() y () 解 : 將 微 分 方 程 式 兩 邊 取 拉 氏 變 換, 得 [ + ] [ 4in ] y y { [ y] y() y ()} [ y] + 代 入 初 值 條 件 y() y () 得 ( + ) y + 4 [ y] + + ( + ) 特 別 解 + 4 + 4 + + 4 y + ( + ) co + in + 4in in co + in + 4( in co ) co + 4in co 第 43 / 47 頁

[ 例 題 ] 37 解 y y u( ), y(), y () 解 : 將 微 分 方 程 式 兩 邊 取 拉 氏 變 換 [ ] [ ( ) ] y y u, 得 { [ y] y() y ()} [ y] 代 入 初 值 條 件 y() y () 得 ( ) [ y] [ y] + ( ) 特 別 解 y + ( ) inh + ( ) inh + coh( ) u( ) 若 所 解 的 微 分 方 程 不 是 初 值 問 題 ( 即 y(), y () 未 知 ) 時, 仍 然 可 使 用 拉 氏 變 換 法 求 解 此 時, 只 須 先 設 y() A, y () B求 解 之, 再 由 原 來 給 定 的 條 件 求 出 A 與 B 即 可 π π 38 解 y + 4y, y y 解 : 將 微 分 方 程 式 兩 邊 取 拉 氏 變 換, 得 [ 例 題 ] [ + 4 ] y y { y y y } [ y] () () + 4 令 y() A y () B, 並 代 入 上 式, 得 + y A B ( 4) [ y] A + B + 4 A + B B + + 4 又 由 原 始 條 件 π π y y y Aco in 第 44 / 47 頁

得 A B 特 別 解 y co + in 二 解 聯 立 常 係 數 微 分 方 程 組 之 初 值 問 題 有 關 兩 個 或 兩 個 以 上 的 聯 立 常 係 數 微 分 方 程 組, 仍 然 可 利 用 拉 氏 轉 換 求 解, 其 步 驟 如 下 : () 將 每 個 常 係 數 微 分 方 程 式 取 拉 氏 轉 換 () 利 用 微 分 氏 定 理, 並 代 入 初 值 條 件, 即 可 得 聯 立 代 數 方 程 組 (3) 利 用 Crmr rul 求 出 代 數 方 程 組 的 聯 立 解 (4) 再 求 其 反 拉 氏 轉 換, 即 得 常 係 數 微 分 方 程 式 的 特 別 解 [ 例 題 -39] 解 : dx dy + + x + y d d 解 聯 立 微 分 方 程 組 dy + x y d 且 x() y() 將 微 分 方 程 式 取 拉 氏 轉 換 dx dy + + x + y d d dy + x y d [] [ x] x() + [ y] y() + [ x] + [ y] [ y] y() + [ x] [ y] 代 入 x() y(), 得 ( + ) [ x] + ( + ) [ y] [ x] + ( ) [ y] + 第 45 / 47 頁

[ x] + [ y] [ x] + ( ) [ y] 由 Crmr rul 得 [ x] [ y] ( 3) 特 別 解 ( 3) x ( 3) 3 3 y + ( 3) 3 3 3 3 第 46 / 47 頁

*** 練 習 題 *** 利 用 拉 氏 轉 換 法, 解 下 列 微 分 方 程 式 或 聯 立 微 分 方 程 組 () ( 5) y + 6y 8y, y() y () y + 4y, y() y () 3 y + 3y 4 y, y() y () 4 y + 3y + y 5y, y () y () y() y + y, y () y () y() π π 6 y + y, y y 7 y + 3y + y u( ), y() y () dx dy d d 8, x() y() dx x+ y d dx dy + x d d 9, x() y() dx dy 4 + 3 + y 6 d d d x x y d x() x (), d y y() y () + x y d 第 47 / 47 頁