Chap 1 Black-Scholes 定 價 理 論 韓 傳 祥 清 華 大 學 計 量 財 務 金 融 學 系
布 朗 運 動 定 義 2.1: 令 隨 機 過 程 W, 在 機 率 空 間 Ω, F, F, P 下 的 路 徑 是 連 續 的, 而 且 服 從 對 任 何 s >, 1) W = ( 在 時 間 的 位 置 為 ), 2) W +s W ~N, s, 3) W +s W 是 獨 立 於 W i+1 W i 對 於 任 何 = < < n = ( 也 就 是 給 定 時 間 上 沒 有 重 疊 的 兩 個 增 量, 這 些 增 量 會 互 相 獨 立 ), 滿 足 以 上 條 件 的 隨 機 過 程 稱 為 標 準 布 朗 運 動
布 朗 運 動 的 模 擬 在 金 融 模 型 中, 布 朗 運 動 常 用 來 模 擬 報 酬 率 Malab 程 式 2-1: 根 據 布 朗 運 動 的 定 義 模 擬 出 軌 跡 W = randn(1,25).* sqr(1/25); % 產 生 1 25 個 N,1 分 佈 的 樣 本 並 乘 上 1 25 [25 個 模 擬 的 日 報 酬 ] W = [ W]; % 從 開 始 W 1 = cumsum( W,2); % 累 加 增 量 以 形 成 布 朗 運 動 軌 跡 [ 一 年 內 的 累 積 報 酬 ]
布 朗 運 動 的 軌 跡 圖
定 理 2.2: 布 朗 運 動 的 隨 機 性 質 1) Maringale 性 質 : 布 朗 運 動 是 一 個 maringale 2) 布 朗 運 動 W 是 一 個 馬 可 夫 過 程 (Markov process) 3) 布 朗 運 動 的 Levy s 刻 畫 : 隨 機 過 程 W 是 一 個 標 準 布 朗 運 動 若 且 唯 若 條 件 特 徵 函 數 (condiional characerisic funcion) 為 E e ii W W s F s = e u2 s 2 4) 對 任 何 常 數 σ, Z = eee σw σ 2 /2 是 maringale Z 稱 為 指 數 平 賭 (exponenial maringale)
函 數 的 變 分 定 義 2.3: 變 分 (variaion). 在 定 義 域 [,T] 上, 時 間 上 的 切 割 為 Π = =, 1,, n = T 且 Π = mmm i=,,n 1 j+1 j 1) ( 一 次 ) 全 變 分 ((firs-order) oal variaion): 函 數 f 的 全 變 分, 記 為 TT T f, 的 定 義 是 TT T f = n 1 lll f j+1 Π j= f j 2) 二 次 變 分 (quadraic Variaion): 函 數 f 的 二 次 變 分, 記 為 f, f T, 的 定 義 是 n 1 2 f, f T = lll f j+1 f j Π j= 3) 交 叉 變 分 (cross variaion): 函 數 f 與 g 的 交 叉 變 分, 記 為 f, g T, 的 定 義 是 f, g T = n 1, lll f j+1 f j g j+1 g j Π j=
連 續 可 微 函 數 若 函 數 f 是 一 次 連 續 可 微 函 數, 記 做 f C 1, T, 則 T 1) TV T f = f () 2) f, f T = dd
布 朗 運 動 不 是 有 限 變 分 定 理 2.3: 給 定 了 T 之 後, 布 朗 運 動 W 的 變 分 如 下 : 1) 一 次 變 分 為 TV T W = 2) 二 次 變 分 為 W, W T = T a.s. 3) 交 叉 變 分 為 W, T T = W, W T =, 其 中 W 與 W 是 互 為 獨 立 的 布 朗 運 動
布 朗 運 動 的 特 色 1) 布 朗 運 動 的 軌 跡 並 非 是 平 滑 的 (smooh) 2) 布 朗 運 動 的 軌 跡 雖 是 連 續 的, 但 是 幾 乎 處 處 不 可 微 分 3) dw dw = dd, dw dd =, dw dw = 將 上 式 的 結 果 從 時 間 到 T 積 分 則 分 別 表 示 為 W, W T = T 與 W, T = W, W T =
幾 何 布 朗 運 動 (geomeric Brownian moion, GBM) 在 金 融 模 型 中, 幾 何 布 朗 運 動, 亦 稱 為 log normal 過 程, 是 一 個 隨 機 過 程 常 用 來 模 擬 股 價 的 動 態 行 為 它 服 從 以 下 結 構 : S = S eee σw + μ σ 2 /2 也 稱 作 Black-Scholes 模 型, 其 中 S 記 為 時 間 的 股 價, W 記 為 布 朗 運 動, μ 是 報 酬 率 (reurn rae) 或 成 長 率 (growh rae), σ > 是 波 動 率 (volailiy)
應 用 布 朗 運 動 的 二 次 變 分 - 估 計 波 動 率 對 每 個 分 割 =, 1,, n = T, 我 們 可 以 定 義 對 數 報 酬 (log reurn) 如 下 lll S j+1 S j = σ W j+1 W j + μ σ 2 /2 j+1 j 實 現 變 異 (realized variance, RV) 的 定 義 為 log 報 酬 率 平 方 的 均 值 : n 1 1 T j= lll S j+1 S j 實 現 變 異 會 收 斂 到 整 合 變 異 (inegraed variance) 1 T σ 2 dd = σ 2 2 T
隨 機 積 分 的 財 務 解 釋 令 給 定 的 Π = =, 1,, n = T 為 固 定 的 交 易 日 期, 為 一 些 事 前 給 定 的 交 易 策 略, 那 麼 I, k 1 < k, 為 從 離 散 的 交 易 策 略 Δ 所 累 積 的 增 益 過 程 (gain process) 或 稱 為 財 富 過 程 (wealh process) k 1 I = Δ j W j+1 W j + j= Δ k W W k = Δ u dw u
隨 機 積 分 的 性 質 定 理 : 令, T, 是 一 個 適 應 性 的 過 程, 而 且 滿 足 下 列 的 積 分 條 件 T E Δ 2 dd < 則 I = Δ u dw u 具 有 下 列 的 性 質 1) ( 連 續 性 ) I ω 對 每 一 個 ω Ω 幾 乎 是 處 處 連 續 2) ( 適 應 性 ) 對 每 一 個 時 間,I 都 是 F measurable 也 就 是 I 對 F 是 適 應 的 3) ( 線 性 ) 如 果 I = Δ u dw u 且 J = Γ u dw u, 則 αi + J = αδ u + Γ u dw u 4) (Maringale) I 是 一 個 maringale 5) (Io Isomery) E I 2 = E 2 u dd 6) (Quadraic Variaion) I, I = 2 u dd
布 朗 運 動 的 伊 藤 公 式 定 理 : 若 f, x C 1,2, 也 就 是 f 函 數 對 時 間 是 一 次 可 微 連 續, 對 狀 態 x 是 二 次 可 微 連 續, 而 且 W 是 一 維 的 布 朗 運 動, 則 f T, W T = f, W + f, W dd + f x, W dw + 1 2 f xx, W 或 者 以 微 分 的 形 式 寫 出 來 dd, W T T = f, W dd + f x, W dw + 1 2 f xx, W dd 備 註 : 注 意 到 最 後 一 項 1 2 T 1 f xx, W dd或 是 f 2 xx, W dd 稱 為 修 正 項 (correcion erm) T dd
證 明 描 述 在 期 間, T 中 給 定 一 分 割 (pariion) Π = Taylor 展 開 可 得 到 下 面 的 結 果 : n 1 =, 1, n = T 後, 利 用 f T, W T f, W = f i+1, W i+1 f i, W i i= n 1 n 1 = f i, W i i+1 i + f x i, W i W i+1 W i i= i= n 1 n 1 + 1 2 f 2 xx i, W i W i+1 W i + f i, W i i+1 i W i+1 W i i= i= n 1 + 1 2 f 2 i, W i i+1 i + H. O. T hlgh ooooo ; 高 次 項 i= 利 用 定 理 2.5, 可 知 道 在 最 後 等 式 中 的 前 三 項 有 非 的 收 斂 事 實 上 其 餘 項 包 括 所 有 H.O.T 皆 為 收 斂 到
T W d W 的 解 若 令 f x = x 2, 則 由 定 理 的 微 分 型 式 可 輕 易 看 出 dw 2 = 2W dw + 1 2 dd T 也 就 是 W d W = W 2 T T 2, 其 中 T 為 修 2 正 項, 而 非 使 用 傳 統 微 積 分 所 猜 測 的 結 果 W 2 T 2
伊 藤 過 程 (Io Process) 定 義 如 下 中 間 項 Θ u dd X = X + Θ u dd + Δ u dw u 稱 作 漂 移 項 (drif erm), 最 後 一 項 Δ u dw u 由 於 是 一 個 隨 機 積 分, 它 具 有 maringale 的 性 質, 因 此 通 常 也 稱 之 為 maringale 項 (maringale erm) 整 個 由 Θ 以 及 Δ 所 定 義 出 來 的 伊 藤 過 程 X 通 常 也 叫 做 一 個 連 續 半 鞅 的 隨 機 過 程 (coninuous semimaringale process)
微 分 形 式 (differenial form) dx = Θ dd + Δ dw X 若 由 一 個 隨 機 微 分 方 程 (sochasic differenial equaion, SDE) 來 定 義, 它 仍 與 原 來 積 分 的 定 義 是 等 價 的 SDE 的 解 具 有 馬 可 夫 性 質 (Markov propery)
Quadraic Variaion 引 理 3.4:(Quadraic Variaion) X, X = Δ 2 u dd 透 過 微 分 的 形 式, 我 們 可 以 將 X 的 過 程 描 述 如 下 : dx = Θ dd + Δ dw 它 的 交 叉 變 分 是 定 義 為 dx dx = 2 dd
伊 藤 過 程 的 伊 藤 公 式 定 理 : 若 f, x C 1,2 也 就 是 函 數 f 對 時 間 是 一 次 可 微 連 續, 對 狀 態 x 是 二 次 可 微 連 續, 而 且 dx = Θ dd + Δ dw, 則 f T, X T = f, X 或 者 T T + f, X dd + f x, X dx + 1 2 f xx, X T d X, X dd, X = f, X dd + f x, X dx + 1 2 f xx, X d X, X
運 算 表 令 W 1 和 W 2 都 是 獨 立 的 布 朗 運 動. Θ dd 1 dw 1 2 dw 2 Θ dd 1 dw 1 2 1 dd 2 dw 2 2 2 dd
伊 藤 乘 積 法 則 定 理 : ( 二 維 的 伊 藤 公 式, 或 稱 之 為 伊 藤 乘 積 法 則 ) d X Y = X dy + Y dx + dx dd
高 斯 過 程 (Gaussian process) r 是 一 個 高 斯 過 程 的 定 義 是, 將 任 一 組 離 散 的 時 間 1, 2,, n 所 對 應 的 隨 機 向 量 r 1, r 2,, r n, 它 們 的 聯 合 分 配 會 服 從 多 維 的 常 態 分 配 例 子 如 下 1. Ornsein-Ulenbeck process 也 稱 作 Vasicek process: dr = α m r dd + σσw 2. Ho-Lee model:dr = g dd + σσw
均 值 回 歸 過 程 (Mean-Revering Process) 則 它 的 解 dr = α m r dd + σσw r = e α u r u + α e α s mmm u 是 一 個 高 斯 過 程, 而 且 它 的 邊 界 分 配 可 被 導 出 如 下 + σe α s dw s u N e α u r u + m 1 e α u, σ2 2α 1 e 2α u N m, σ 2 2α 這 個 極 限 分 配 (limiing disribuion) 稱 作 r 過 程 的 不 變 分 配 (invarian disribuion)
幾 何 布 朗 運 動 對 數 常 態 過 程 (Log-Normal Process) ds = rs dd + σs dw 其 中 起 始 股 價 S = s 將 X = ln S, 則 利 用 伊 藤 公 式 dx = 這 指 出 了 X 是 常 態 分 配 並 服 從 r σ2 2 dd + σσw N ln s + r σ2 2, σ2 因 此 S = e X, 所 以 幾 何 布 朗 運 動 S, 也 稱 作 log-normal 過 程, 意 為 取 了 對 數 後 仍 為 常 態 分 配