微 分 與 積 分 的 交 換 積 分 設 f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 問 d dx f(x, y? f(x, ydy x 首 先 (1 式 兩 邊 必 須 有 意 義 f(x, ydy 必 須 對 x 可 導 若 f 及 x f(x, ydy 積 分 必 須 存 在 x f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 則 ( 及 (3 式 成 立, 下 面 的 定 理 告 訴 我 們, 這 兩 個 條 件 足 以 確 保 (1 式 成 立 定 理 設 f 及 f x 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 則 f 的 連 續 性 不 可 廢 d dx f(x, y f x 在 [a, b] [, d] 上 連 續 f 在 [a, b] [, d] 上 連 續 例 如 :φ(y { 1 y 是 有 理 數 y 是 無 理 數, y 1 f(x, ydy x 令 f(x, y φ(y, x 1, y 1, 則 f x (x, y (x, y, 但 f 並 不 連 續, 不 但 如 此, 它 甚 至 不 能 積 分
證 明 : 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x x f x (ξ, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy f x (x, ydy f(x + x, y f(x, y d dy f x (x, ydy x f x (x, ydy, ξ ξ(y 介 於 x, x 之 間, 不 同 y, 相 應 不 同 ξ f x 在 [a, b] [, d] 上 連 續,[a, b] [, d] 為, f x 在 [a, b] [, d] 上 均 勻 連 續 給 定 ϵ >, δ, 使 代 入 (4 式, 我 們 有 φ(x + x φ(x x 即 :φ (x (x 1, y 1 (x, y < δ f(x 1, y 1 f(x, y < f x (x, ydy, 得 証 f x (x, ydy < ϵ d ϵ d (d ϵ, 當 x < δ x π 例 f(x,, 令 φ(x f(x, d, 求 φ (x x { [ 分 析 :f 在 (,, π ] x 上 連 續, 又 f x (x, 1 [ f x 在 (,, π ] 上 連 續 依 定 理, φ (x φ ( π π f x (x, d f x (, d π π x d π x x, x 1d π 注 意 : x ϕ (x ϕ(, 故 ϕ 在 點 連 續 例 設 f 及 f x 在 [a, b] [, d] 上 連 續,a(x, b(x C 1 [a, b], 令 φ(x b(x a(x f(x, d, 則 φ (x f(x, b(x b (x f(x, a(x a (x + b(x a(x f x (x, d
分 析 : 令 g(x, y, z 則 g x z y z y f(x, d, f x (x, d 定 理, 且 g y f(x, y, g z f(x, z 微 積 分 基 本 定 理 φ(x g(x, a(x, b(x, 依 φ (x g x + g y a (x + g z b (x b a f x (x, d f(x, a(x a (x + f(x, b(x b (x. x 3 x 例 f(x, y y e y y >, x 1, y 1 y 觀 察 : φ(x 1 f(x, ydy 1 ( x e x y x d y x e x y 1 y xe x f x (, y 當 y > φ (x e x (1 x x ( e x y 3x f x (x, y y x4 y > y 3 y 1 f x (, ydy φ ( 1 定 理 在 x 點 不 成 立! 問 題 出 在 哪 裡? 且 看 f 在 (, 點 的 行 為 沿 拋 物 線 y x, 觀 察 f 及 f x f 在 (, 點 並 不 連 續, f x 在 (, 點 也 不 連 續! f(x, 1 x x x x e 1 f x(x, x 1 x x x 雖 然,f 及 f x 在 [, 1] [, 1] {(, } 上 連 續 請 同 學 檢 驗 之, 也 無 濟 於 事, 功 虧 一 簣, 而 那 一 簣 對 φ ( 及 1 f x (, ydy 的 影 響, 起 了 決 定 性 的 作 用
當 x, 定 理 成 立, 因 f 及 f x 在 [δ, 1] [, 1] 上 連 續 事 實 上, 1 f x (x, ydy 1 e x y ( 3x x4 y y 3 經 過 少 許 計 算 e x (1 x φ (x x dy 瑕 積 分 - 可 控 型 設 f x 在 [a, b] [, 上 連 續, 問 : 成 立 否 d dx f(x, ydy f x (x, ydy 首 先,f x 在 [a, b] [, 上 連 續 已 不 足 以 確 保 (7 式 右 邊 積 分 的 存 在, 故 乃 必 加 的 條 件 f x (x, ydy 存 在 x [a, b] 光 這 樣 夠 嗎? 我 們 不 妨 從 定 義 出 發, 回 顧 (7 式, d [ 1 f(x, ydy f(x + x, ydy dx x x ] f(x, ydy? x x f(x + x, y f(x, y dy x f(x + x, y f(x, y dy x f x (x, y 從 (9 到 (1, 是 問 題 的 關 鍵, 在 什 麼 條 件 下 可 以 進 去? x 實 變 函 數 中, 有 一 個 非 常 基 本 而 重 要 的 定 理, 叫, 陳 述 如 下 : 設 E 為 R n 中 可 測 集,f n 為 E 上 可 積 函 數, f n ( 存 在 E, n 若 存 在 g, 使 f n ( g(, 且 g( d <, 則 n E E f n ( d E f n( d n
換 言 之, f n 被 一 可 積 函 數 g 所 控, 則 可 以 回 頭 看 (9 式, x 可 以 是 任 意 x n, x n 因 此, 若 存 在 g, 則 可 以 g(ydy <, 使 f(x + x, y f(x, y x g(y 當 x 夠 小 據 此, 我 們 把 (11 式 稍 作 修 改 : 下 面 定 理 告 訴 我 們,(1 足 以 保 証 可 f x (x, y g(y (x, y [a, b] [, 定 理 設 f 及 f x 在 [a, b] [, 上 連 續, 若 存 在 g, 使 且 分 析 : g(ydy <, 則 f x (x, y g(y (x, y [a, b] [, d dx f(x, ydy f(x, ydy x 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x f x (x, ydy x ( f(x + x, y f(x, y f x (x, ydy x + f(x + x, y f(x, y dy x + f x (x, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy + f x (ξ, y dy + I 1 + I + I 3, ξ ξ(y, 介 於 x 與 x + x 之 間 g(ydy <, 給 定 ε >, 使 依 假 設, f x (x, y < g(y x, y, 故 I < f x 在 [a, b] [, ] 上 連 續, f x 在 [a, b] [, ] 上 均 勻 連 續, g(ydy < ε 3, g(ydy < ε 3 I 3 g(ydy < ε 3, 待 定 f x (x, y dy 對 此 ε, δ, 使
f x (x 1, y 1 f x (x, y < ε 當 (x 1, y 1 (x, y < δ 3 (x 1, y 1, (x, y [a, b] [, ] 依 此, 結 論 : I 1 < φ(x + x φ(x x ε 3 ε 3, 當 x < δ f x (x, ydy < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε, 當 x < δ 即 :φ (x f x (x, ydy. g 稱 為 控 制 函 數,I f x (ξ, ydy, ξ ξ(y 介 於 x 和 x + x 之 間, 如 圖 所 示 它 無 視 於 ξ ξ(y, f x (ξ, y g(y, 恆 被 g 所 控, 從 而 得 到 I < ε 3, 好 厲 害! 定 理 中 的 瑕 積 分 未 必 一 定 要 [,, 可 以 是 (,, (, b], [a, b, (a, b] 等, 只 要 存 在 控 制 函 數 g, 定 理 都 成 立
1 x 1 例 ϕ(x d, x [a,, a > 1, 求 φ 分 析 : 1 x 1 x 1 + x x 1 1 1 + xx 1 x x x, 1 非 奇 點 { 當 x < 當 x 故 φ(x 為 當 x <, 為 當 x. 任 取 b > a, 令 f(x, x 1, 則 f x (x, x 在 [a, b] (, 1 上 連 續 (x, [a, b] (, 1, 顯 然 f 及 f x f x a (x, [a, b] (, 1 1 a d < a > 1. 依 定 理,φ (x 1 f x (x, d 1 φ(x (x + 1 + C, φ( C x d 1 x + 1 b 任 意, 故 φ(x (x + 1, x [a,, a > 1. 例 求 d 之 值 說 明 : 這 是 數 學 上 一 個 相 當 著 名 的 瑕 積 分, 其 收 斂 我 們 已 於 之 前 討 論 過 收 斂 歸 收 斂, 收 斂 到 何 值, 則 是 一 個 具 有 深 度 的 問 題, 有 各 種 不 同 的 方 法 可 求 其 值 你 們 在 大 三 時 學 複 變 函 數, 那 時 你 們 應 該 會 看 到 利 用 複 變 的 留 數 定 理 來 求 其 值, 那 是 一 個 很 的 方 法, 許 多 困 難 的 定 積 分 或 瑕 積 分 都 可 透 過 它 來 求 值 下 面 我 要 介 紹 的 是 利 用 定 理, 把 它 化 成 常 微 分 方 程, 求 解 分 析 : 考 慮 函 數 的 φ(x x e d, x 在 此 我 們 碰 到 第 一 個 問 題 :(13 式 收 斂 嗎?
x e > 設 它 收 斂, 令 f(x, 1, 則 f x (x, { e x > 顯 然 f 及 f x 在 [, [, 上 連 續, 又 f x (x, e x, 依 定 理, 我 們 有 e x d 1 x e x 1 x <, 當 x > φ (x f x (x, d e x d, 當 x > 利 用 我 們 有 e x d e x d e x + 1 x e x d 1 x e x d [ 1 x e x e x d 1 1 + x, 代 入 (14 式 得 φ 1 1 + x 當 x > 1 x e x d de x de x ] φ(x 1 x + C 當 x > 又 φ(x e x d 1 x, 當 x > x φ(x, 於 (15 式 中, 令 x 得 C π, 代 入 (15 式 得 φ(x 1 x + π 當 x > 令 x, 得 d φ( π
在 此, 我 們 碰 到 第 二 個 問 題 : φ(x φ(, 對 嗎? x 以 下 我 們 就 來 思 考 上 面 所 提 二 問 題 第 一 問 : 分 析 : x e d 的 收 斂 問 題 觀 察 e x < x, > y 的 圖 形 如 下 : a n nπ (n 1π nπ a n nπ d (n 1π d (n 1π, a n 當 n d a 1 a + a 3 a 4 + 收 斂 x y e 的 圖 形 如 下 :
x e d b 1 (x b (x + b 3 (x 由 於 < y < y 1, < b n (x < a n a 1 a + a 3 收 斂 n, b 1 (x b (x + b 3 (x 均 勻 收 斂, 當 x. 故 第 一 問 過 關 第 一 問 也 可 由 : e x < e x, 斂 x e d 收 斂, 當 x >, 不 過 這 樣 的 處 理 看 不 到 e x d 1 x < 當 x > x e d 在 x 上 均 勻 收 第 二 問 : x + φ(x φ(, 對 嗎? 分 析 : 根 據 (17 和 (18 式, φ( d a 1 a + a 3 a 4 + x φ(x e d b 1 b + b 3 b 4 + d π a 1 a +1 + a + < a < ( 1π x e d b b +1 + b + < b < a < π 1 ( 1π
給 定 ε >, 使 f(x, x e 1 ( 1π < ε 3, 於 是 φ(x φ( 1 π e x + ε 3 + ε 3 在 [, 1] [, π] 上 連 續, 均 勻 連 續 對 此 ε >, δ 使 代 入 (19, 我 們 有 e x < ε 3π 當 < x < δ φ(x φ( < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε 當 < x < δ 故 第 二 問 也 過 關! 瑕 積 分 - 不 可 控 型 定 理 中, f x (x, y g(y, 時, 又 如 何 確 保 定 理 成 立? 例 如 :f(x, f x (x, 定 理 失 敗 了! 那 麼 : d dx x + 1, x + 1 f x(x, f(x, d g(ydy <, 保 証 了 定 理 的 成 立 當 控 制 函 數 g 找 不 到 + 1, 但 f x (x, d 還 成 立 嗎? 以 下 我 們 引 入 均 勻 收 斂 的 條 件, 以 確 保 定 理 的 成 立 f 在 [a, b] [, 上 連 續, 設 固 定 x [a, b], 瑕 積 分 給 定 ε >, x, 使 + 1 d f(x, ydy < ε 注 意, 不 同 x, 有 不 同 的, 能 不 能 找 到 一 個, 與 x 無 關, 使 f(x, ydy < ε x [a, b] 如 能 辦 到, 我 們 稱 f 在 [a, b] 上 均 勻 收 斂 f(x, ydy 存 在 x [a, b], 因 此 寫 成 定 義 如 下 :
定 義 : 設 f 在 I [, 上 連 續,I R, ε >, 使 我 們 稱 f 在 I 上 的 瑕 積 分 均 勻 收 斂 f(x, ydy < ε f(x, ydy 存 在 x I x I, 若 對 任 意 當 然, 如 果 存 在 控 制 函 數 g, 使 f(x, y g(y (x, y I [,, 而, 則 f 在 I 上 的 瑕 積 分 均 勻 收 斂 g(ydy < 上 面 的 瑕 積 分 未 必 一 定 要 在 [, 上, 它 可 以 是 [, 1, (, 1], (, 1, (, b], (,, 定 理 設 f 及 f x 在 [a, b] [, 上 連 續,f x 的 瑕 積 分 在 [a, b] 上 均 勻 收 斂, 則 d dx f(x, ydy 定 理 顯 然 是 定 理 的 特 別 情 形 f(x, ydy x [a, b] x 分 析 : 定 理 中, I 在 此 行 不 通 了, 因 均 勻 收 斂 只 保 證 x 固 定, 不 能 隨 y 而 變! 如 圖 所 示 f x (ξ(y, ydy < ε 3 f x (x, ydy < ε
怎 麼 辦? 陸 路 走 不 通 走 水 路, 水 路 行 不 得 還 可 坐 飛 機, 且 看 : 令 φ(x 依 假 設 f(x, ydy, ψ(x f x (x, ydy 在 [a, b] 上 均 勻 收 斂, 我 們 有 f x (x, ydy 均 勻 收 斂 到 任 取 x [a, b], 固 定 之, x [a, b], 我 們 有 x x ( f x (x, ydy, 欲 証 :φ (x ψ(x x f x (, ydy d ( x f x (x, ydy ψ(x 在 [a, b] 上 ( f x (, ydy d x x ( x f x (, ydy d ψ(d x 上 面 ( 式 成 立, 因 [x, x] 為 閉 區 間, 其 上 均 勻 收 斂 函 數 列 的 積 分, 可 以 定 下 眼 睛 看 看 ( 式 等 號 的 左 邊,[x, x] [, ] 為,f 及 f x 在 [x, x] [, ] 上 連 續, 依 定 理, 代 入 ( 式, 有 x ( x f x (x, ydy d f(x, ydy x x ( d f(x, ydy d dx f(x, ydy 微 積 分 基 本 定 理 f(x, ydy f(x, ydy x x ψ(d (1 式 兩 邊 對 x 求 導, 得 φ (x ψ(x 証 畢 例 f(x, 分 析 : x + 1, 問 : d dx f(x, d f x (x, d 成 立 否? f x (x, x + 1, 作 y x + 1 的 圖 如 下 :
x x nπ n nπ, n, 1,, 3, x α n (x y n n 1 + 1 + 1 當 > 1, n n + 1 < α n(x < n x d n n 1 n 1 x d n 1 n 1 + 1 α n (x 當 n x > 設 x [a,, a >, α n+1 (x < n n + 1 nπx (nπ + x < 給 定 ε >, 使 α n (a < ε 當 n >. 故 知 d dx x d + 1 π f x (x, d 在 [a, 上 均 勻 收 斂 a > f(x, d d f x (x, d, x > 成 立 x 點 如 何? 下 面 的 例 子 將 回 答 這 問 題 nπa (nπ + a < α n(a, α n (a 當 n
x 例 φ(x ( + 1 d, x, 試 証 :φ(x π (1 e x, x. 分 析 : x f(x, ( + 1, 則 x f x (x, + 1, f 及 f x 在 [, [, 上 連 續 且 f x (x, 1 + 1, 1 1 + d < 依 定 理, 又 根 據 例, φ (x φ (x φ(x + x d x [, + 1 x + 1 d 當 x > 1 ( + 1 x d ( + 1 x d φ(x + π 解 微 分 方 程 φ φ π, x >, 得 φ(x ae x + be x + π, x > φ(x x ( + 1 x x 1 x + 1 d 1 x + 1 d x π 當 x. φ (x x + 1 d, x + 1 < 1 + 1, 1 + 1 d < 依 借 用 之 x x + 1 d x x + 1 d 1 + 1 d π.
根 據, 於 ( 式 中, 令 x, 得 a + b + π 又 φ (x ae x be x, 根 據, 令 x 得 a b π (3(4 a, b π, 故 φ(x π (1 e x 當 x > 又 x 時 等 號 也 成 立, 故 有 φ(x π (1 e x x 當 x, φ( φ φ(x ( x + x 故 φ ( π x + 1 e x x f x (, d π x + e x π, f x (, d π φ ( π, φ (x π e x φ ( x φ (x φ ( x x 而 f xx (x, d + 1, φ ( π e x 1 x x f xx (, d π x ( e x π. f xx (, d, 回 答 了 例 中 分 析 的 提 問
定 理 的 回 顧 我 們 於 第 八 章 証 明 了 冪 級 數 基 本 定 理 :f(x a n x n, 收 斂 半 徑 R, 則 有 上 式 可 簡 記 為 f (x n na n x n 1, x < R. d d dx dx. 可 看 成 一 種 形 式 的 積 分, 那 麼 (6 即 為 一 種 微 分 和 積 分 的 交 換 n1 利 用 微 積 分 基 本 定 理, 我 們 有 見 第 八 章 既 是 一 種 形 式 的 積 分,(7 即 是 一 種 積 分 與 積 分 的 交 換, 換 言 之, 微 分 和 積 分 的 可 交 換 性 及 積 分 和 積 分 的 可 交 換 性 是 等 價 的, 中 間 的 橋 梁 是 微 積 分 基 本 定 理 以 下 我 將 透 過 微 分 與 積 分 的 可 交 換 性, 再 回 顧 定 理 定 理 說 : K f(x, y b a ( ( b a f(x, ydy dx f(x, ydx dy 其 中 K [a, b] [, d], 上 面 式 中 所 牽 涉 到 的 積 分 都 必 須 存 在 先 來 看 (8 (9 這 件 事 : 令 g( h( a ( ( a f(x, ydy dx f(x, ydx dy 為 了 運 算 上 的 方 便, 對 f 做 嚴 苛 一 點 的 要 求, 設 f 在 K 上 連 續, 於 是 g ( h ( d d f(, ydy ( 微 積 分 基 本 定 理 ( f(x, ydx dy a ( f(x, ydx dy ( 定 理 a f(, ydy g (
而 g(a h(a, 故 g( h(, a b. 令 b 得 b a ( f(x, ydy dx ( b a f(x, ydx dy 其 次, 我 們 來 觀 察 (8 式 : 先 引 介 一 個 設 f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 令 K [a, ] [, d] a b φ( f(x, ydxdy, 則 K 分 析 : φ ( f(, ydy, a b. φ φ( + φ( 1 ( K f(x, ydxdy, K K + K. 把 [, d] n 等 份, y < y 1 < y < < y n d, 令 D j [, + ] [y j 1, y j ], 則 K f(x, ydxdy n j1 D j f(x, ydxdy. f 在 D j 上 連 續, 依 均 值 定 理, D j f(x, ydxdy f(ξ j, η j y j
於 是 有 1 f(x, ydxdy K n f(ξ j, η j y j j1 f 在 K 上 連 續, 所 以 在 K 上 均 勻 連 續 給 定 ϵ >, δ, 使 故 而 f(x 1, y 1 f(x, y < n f(, η j y j, 為 j1 f(, η j f(ξ j, η j < ϵ (d, 只 要 (x1 x + (y 1 y < δ ϵ (d, 只 要 < δ. f(, ydy 的, 對 此 ϵ, 使 f(, ydy n f(, η j y j < ϵ, 只 要 n > 因 此, 當 < δ, 選 定 n >, 我 們 有 : φ( + φ( d f(, ydy n f(ξ j, η j y j f(, η j y j + n f(, η j y j j1 j1 ϵ (d (d + ϵ ϵ. 故 φ ( 根 據 這 個, 我 們 有 f(, ydy, a b. j1 而 φ(a g(a, 依 微 積 分 基 本 定 理 得 φ ( g (, a b. φ( g(,, a b 令 b, 即 得 (8 式 於 是, 我 們 乃 可 宣 告 : 當 f 為 連 續 函 數 時, 定 理 成 立 f(, ydy 定 理 對 連 續 函 數 既 然 成 立, 那 麼 對 可 積 函 數 是 否 成 立 呢? 回 答 如 下 : 可 積 函 數 可 以 用 逼 近, 又 可 用 連 續 函 數 逼 近, 所 以 : 可 積 函 數 可 以 用 連 續 函 數 逼 近
(8 式 對 連 續 函 數 成 立, 因 此,(8 式 對 可 積 函 數 成 立 行 家 過 招, 可 以 這 樣 子 談 數 學, 不 過 對 初 學 者, 有 如 天 馬 行 空, 很 不 踏 實 怎 麼 樣 的 逼 近? 那 個 因 此 又 從 何 而 來? 請 說 個 清 楚, 講 個 明 白 講 義 寫 到 這 裡, 讓 我 停 頓 了 很 久, 我 試 著 用 最 基 本 的 工 具, 把 它 導 出, 但 它 的 論 述 又 和 定 理 無 異, 這 樣, 何 必 再 來 一 遭 呢? 於 是, 我 乃 鐵 了 心, 借 用 來 說 明, 這 樣 的 處 理 方 式, 在 數 學 上 是 一 條 康 莊 大 道, 早 一 點 上 路, 並 不 是 壞 事 同 學 如 果 覺 得 難 以 下 嚥, 以 下 兩 點 的 論 述 可 略 過 說 : f n f (, µ, f n g, 則 :f 可 積, 且 g dµ <, 其 中 是 一 個,µ 是 其 上 的 測 度 f n dµ f dµ n 可 以 是 R 1, R, [a, b], [a, b] [, d],,, µ 可 以 是 R 1, R 上 的 測 度, 或, 上 的 計 數 測 度 所 謂 f n f 是 指 集 合 {x f n (x f(x} 的 測 度 為 是 的 簡 寫 首 先 :f 在 K 上 可 積, 所 以 f 是 有 界 的 因 此, α 使 f + α, 在 K 上 而 (8 式 對 f + α 成 立 (8 對 f 成 立, 我 們 不 妨 一 開 始 就 假 設 f. 其 次 :f 在 K 上 可 積 φ n, φ n f, 使 φ n f K K φ n dxdy 即 f 在 K 上 相 應 某 個 分 割 P n 的, 取 P n P n+1 即 得 φ n φ n+1.
第 三 : 設 P n A n B n, A n : a x < x 1 < x < < x n b 為 [a, b] 上 的 分 割, 令 A A n, 於 是 有 : n1 x A, 則 φ n (x, y f(x, y [, d] ( 請 想 一 想 A 可 數, m(a, 換 言 之 : (φ n (x, y f(x, y, y [, d] x [a, b] 第 四 : 每 一 個 φ n, 又 可 用 連 續 函 數 g n 逼 近, 示 意 如 下 : 因 此, g n 滿 足 : g n f K (g n (x, y y [, d] x [a, b]. 第 五 : 定 理 對 g n 成 立 : g n (x, ydxdy K b a ( g n (x, ydy dx 令 n, 利 用 即 得 b ( f(x, ydxdy f(x, ydy dx K a
看 來 定 理 的 証 明 直 截 了 當, 不 用 開 車, 直 接 登 上 峯 頂, 腳 力 很 健, 這 種 功 夫, 要 好 好 學 習, 你 的 能 力 自 然 不 凡 上 面 從 連 續 函 數 推 廣 到 可 積 函 數, 騎 著 一 部 牌 的 摩 托 車, 走 大 馬 路, 繞 幾 個 彎, 兜 風 上 頂, 也 很 順 暢, 這 部 摩 托 車 馬 力 很 強, 同 學 要 學 會 騎 它, 以 後 才 能 越 野 度 澗 反 觀 的 其 次 第 三 兩 小 段 φ n, φ n f, 使 φ n f K (φ n (x, y f(x, y, y [, d] x [a, b] 想 想 : 定 理 對 特 徵 函 數 χ D, D : [x 1, x ] [y 1, y ], 成 立 嗎? 經 檢 驗, 沒 問 題! 請 同 學 自 行 驗 之 那 麼 它 對 φ n 也 成 立! 對 φ n 也 成 立, 再 利 用 剛 才 那 部 摩 托 車, 對 f 也 要 成 立! 這 又 是 定 理 一 個 很 簡 單 的 証 明, 直 接 觀 它 的 竅 門, 最 省 事 積 分 中 的 定 理 就 是 這 樣 處 理, 因 為 它 有 那 部 摩 托 車 可 騎
C 的 建 構 我 們 於 寒 假 作 業 中 曾 做 過 如 下 的 問 題 : Ω : {(x, y x + y < }, K : [ 1, 1] [ 1, 1] 試 造 一 C 函 數 f 滿 足 f 1, 在 K 上 f, 在 Ω 之 外 < f < 1, 在 Ω 與 K 之 間 當 Ω 為 R n 中 任 意,K Ω 為, 如 何 造 一 C 函 數 滿 足 上 述 三 條 件 呢? 由 於 Ω 和 K 之 間 關 係 並 不 規 則, 我 們 對 稍 微 放 寬, 只 要 求 : f < 1, 在 Ω 與 K 之 間 分 析 如 下 : 令 λ 1 { K, ΩC } 造 一 R 1 上 的 C 函 數 φ : 習 題 五, 第 四 題 1, 當 x λ φ(x, 當 x, 當 x λ λ φ(x < 1, 當 < x < λ 並 將 φ 推 廣 到 R n 中, 令 φ( φ( 令 α φ( d, g( 1 R α φ(, 則 n g( d g( d 1 R n B λ (
令 K λ { R n, (, K < λ, 其 中 (, K K, 並 令 依 定 理, f( (χ Kλ g( χ Kλ ( g( d R n f ( x i R n x i [χ Kλ ( g( ]d φ C, f x i (, i 1,,, n 上 面 的 操 作 可 以 為 所 欲 為, f 3 f,, 皆 為 連 續 函 數, f C. x i x j x i x j x k f 滿 足 上 述 三 條 件 K B λ ( K λ, f( 1. Ω B λ ( K λ ϕ > λ, K λ χ Kλ ( g(,, f( Ω K B λ ( K λ χ Kλ ( g( < 1 當 B λ ( K λ. f( < 1 以 上 推 論, 圖 示 如 下 :
藍 色 部 分 表 示 χ Kλ ( g(. 打 個 比 方 來 說 : 好 比 一 個 人, 他 撐 著 一 枝 傘, 半 徑 為 λ, 那 隻 傘 就 是 B λ ( K 是 屋 子,K λ K 是 遮 雨 棚, 寬 度 為 λ,ω 是 庭 院 內 表 人 在 屋 內, 撐 起 傘 來, 傘 在 雨 棚 內, 不 會 淋 到 雨, 因 此 f( 1 表 人 在 庭 院 外, 撐 開 傘, 傘 碰 不 到 雨 棚, 全 淋 到 雨, 全 淋 到 雨 表 示 χ Kλ g, 因 此 f( 表 人 在 棚 下 或 在 棚 院 之 間, 因 此 傘 必 淋 到 雨, 即 χ Kλ g 至 少 某 些 地 方 為, 因 此 f( < 1 傘 可 能 全 部 淋 到 雨, 此 時 f( 第 十 四 章 全 文 完