解 析 几 何 教 学 大 纲 Analytic Geometry 课 程 编 码 :22701106 课 程 类 型 : 学 科 专 业 基 础 课 程 ( 必 修 ) 课 程 学 时 :64 课 程 学 分 : 4 编 写 人 : 李 善 明 审 定 人 : 汪 义 瑞 一 课 程 性 质 与 任 务 本 课 程 是 高 等 院 校 数 学 专 业 的 主 要 基 础 课 程 之 一, 其 基 本 思 想 是 用 代 数 的 方 法 来 研 究 几 何, 把 空 间 几 何 结 构 有 系 统 的 代 数 化 数 量 化 通 过 教 学 使 学 生 系 统 掌 握 解 析 几 何 的 基 本 知 识 和 基 本 理 论, 以 向 量 和 坐 标 为 工 具, 把 几 何 问 题 转 化 为 代 数 方 程 以 达 到 解 决 几 何 问 题 的 目 的, 从 而 培 养 学 生 用 形 数 结 合 的 思 想 方 法 来 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ; 熟 练 地 掌 握 一 些 几 何 图 形 的 性 质 及 其 标 准 方 程, 熟 练 地 进 行 某 些 几 何 量 的 计 算 ; 会 描 绘 一 些 常 见 的 空 间 曲 线 和 曲 面 的 图 形, 进 一 步 提 高 学 生 的 空 间 想 象 能 力 本 课 程 主 要 内 容 为 : 1. 向 量 代 数 ; 2. 空 间 曲 面 与 曲 线 ; 3. 平 面 与 空 间 直 线 ; 4. 柱 面 锥 面 旋 转 曲 面 与 二 次 曲 面 ; 5. 二 次 曲 线, 二 次 曲 面 的 一 般 理 论 二 学 时 分 配 章 课 程 内 容 学 时 分 配 第 一 章 向 量 与 坐 标 12 第 二 章 轨 迹 与 方 程 6 第 三 章 平 面 与 空 间 直 线 12 第 四 章 柱 面 锥 面 旋 转 曲 面 与 二 次 曲 面 14 第 五 章 二 次 曲 线 的 一 般 理 论 10 第 六 章 二 次 曲 面 的 一 般 理 论 10 合 计 64 三 课 程 内 容 及 要 求 第 一 章 向 量 与 坐 标 (1) 理 解 向 量 的 有 关 概 念, 掌 握 向 量 的 线 性 运 算 及 其 运 算 规 律 ; (2) 弄 清 标 架 与 坐 标 的 关 系 以 及 标 架 与 坐 标 系 的 联 系 和 区 别 ; (3) 理 解 向 量 乘 法 运 算 定 义, 掌 握 向 量 的 运 算 规 律 和 熟 悉 它 们 的 几 何 性 质 ; (4) 能 熟 练 地 进 行 向 量 的 各 种 运 算, 并 能 利 用 向 量 或 坐 标 来 解 决 一 些 几 何 问 题 重 点 是 向 量 的 概 念 向 量 的 线 性 运 算 标 架 与 坐 标 向 量 的 乘 法 运 算 ( 内 积 外 积 混 合 积 ) 以 及 它 们 的 几 何 意 义 难 点 是 用 向 量 等 式 坐 标 关 系 式 刻 画 点 与 点 点 与 向 量 及 向 量 与 向 量 间 的 位 置 关 系
讲 授 为 主, 讲 练 与 研 讨 相 结 合 第 一 节 向 量 及 其 线 性 运 算 1. 理 解 向 量 的 概 念, 掌 握 几 种 特 殊 且 重 要 的 向 量, 理 解 共 线 与 共 面 向 量 的 特 征 ; 2. 掌 握 向 量 的 线 性 运 算 及 几 何 意 义 ; 3. 掌 握 用 向 量 的 线 性 关 系 刻 画 向 量 的 位 置 关 系 第 二 节 标 架 与 坐 标 1. 弄 清 标 架 与 坐 标 的 关 系 ; 2. 理 解 标 架 与 坐 标 系 的 联 系 与 区 别 ; 3. 掌 握 向 量 的 坐 标 表 示 法 及 其 运 算 第 三 节 向 量 的 乘 法 运 算 1. 弄 清 两 个 向 量 乘 法 ( 内 积 外 积 ) 三 个 向 量 乘 法 ( 混 合 积 双 重 向 量 积 ) 的 定 义 ; 2. 掌 握 向 量 乘 法 的 运 算 规 律, 熟 悉 它 们 的 几 何 背 景 ; 3. 能 熟 练 进 行 向 量 的 上 述 各 种 运 算 ; 4. 会 解 决 一 些 实 际 的 几 何 问 题 第 二 章 轨 迹 与 方 程 (1) 能 正 确 理 解 平 面 曲 线 方 程, 曲 面 方 程 空 间 曲 线 方 程 定 义, 它 们 的 参 数 方 程 定 义 ; (2) 理 解 并 能 掌 握 求 平 面 曲 线 与 曲 面 的 普 通 方 程 与 空 间 曲 线 一 般 方 程 的 方 法, 会 用 向 量 来 求 平 面 上 或 空 间 中 由 质 点 运 动 而 产 生 的 轨 迹 参 数 方 程 ; (3) 会 进 行 轨 迹 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化, 理 解 互 化 时 的 等 价 问 题 ; (4) 了 解 球 坐 标 系 与 柱 坐 标 系, 为 后 继 课 程 作 准 备 重 点 是 利 用 向 量 求 曲 线 ( 平 面 或 空 间 ) 曲 面 的 参 数 方 程 ( 向 量 式 与 坐 标 式 ), 参 数 方 程 与 其 普 通 方 程 的 互 化 难 点 是 参 数 方 程 的 建 立, 参 数 方 程 与 普 通 方 程 互 化 时 的 等 价 性 问 题 讲 授 为 主, 讲 练 结 合 第 一 节 1. 掌 握 用 向 量 的 方 法 建 立 平 面 曲 线 的 方 程 方 法 ; 2. 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 1. 了 解 曲 面 方 程 的 定 义 ; 2. 掌 握 曲 面 方 程 的 建 立 ; 第 二 节 平 面 曲 线 的 方 程 曲 面 的 方 程 3. 了 解 球 坐 标 系 与 柱 坐 标 系, 能 进 行 球 柱 坐 标 与 直 角 坐 标 间 的 转 换 第 三 节 1. 理 解 空 间 曲 线 的 定 义, 一 般 方 程 ; 空 间 曲 线 方 程 2. 掌 握 空 间 曲 线 向 量 式 与 坐 标 式 参 数 方 程 的 建 立 第 三 章 平 面 与 空 间 直 线 (1) 了 解 下 列 基 本 概 念 : 1 法 向 量, 点 法 式 方 程, 单 位 法 向 量, 法 式 方 程, 离 差 ; 2 直 线 的 方 向 向 量, 方 向 角, 方 向 余 弦, 方 向 数 ;
3 直 线 与 平 面 的 交 角, 异 面 直 线 间 的 距 离, 公 垂 线, 平 面 束 (2) 理 解 平 面 与 空 间 直 线 的 各 种 形 式 的 方 程 以 及 方 程 中 系 数 或 常 数 的 几 何 意 义, 能 根 据 决 定 平 面 或 直 线 的 几 何 条 件 导 出 它 们 的 方 程, 熟 悉 平 面 方 程 直 线 方 程 各 种 形 式 的 相 互 转 换 ; (3) 认 识 平 面 的 基 本 定 理 ; (4) 弄 清 空 间 直 线 是 空 间 曲 线 的 特 例 ; (5) 理 解 并 熟 悉 平 面 束 的 方 程, 会 利 用 它 来 解 题 ; (6) 能 熟 练 地 根 据 平 面 和 空 间 直 线 的 方 程 以 及 点 的 坐 标 判 别 有 关 点, 平 面, 直 线 之 间 的 位 置 关 系 和 计 算 它 们 之 间 的 距 离 与 交 角 重 点 是 建 立 满 足 指 定 条 件 的 平 面 和 直 线 的 方 程 难 点 是 判 定 直 线 与 直 线, 直 线 与 平 面 以 及 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 与 度 量 关 系 讲 授 讨 论 探 究 相 结 合 第 一 节 平 面 的 方 程 1. 理 解 决 定 平 面 的 几 何 条 件 ; 2. 掌 握 平 面 方 程 ( 各 种 形 式 ) 的 建 立 ; 3. 了 解 平 面 方 程 中 系 数 与 常 数 的 几 何 意 义 ; 4. 熟 悉 不 同 形 式 间 方 程 的 转 换 ; 5. 会 用 平 面 束 方 程 解 题 第 二 节 1. 理 解 点 与 平 面 相 关 位 置, 会 求 点 与 平 面 距 离 ; 平 面 间 的 位 置 关 系 与 度 量 关 系 2. 掌 握 平 面 与 平 面 间 位 置 关 系 判 定 以 及 度 量 问 题 1. 理 解 决 定 空 间 直 线 的 几 何 条 件 ; 第 三 节 2. 掌 握 空 间 直 线 方 程 ( 各 种 形 式 ) 的 建 立 ; 3. 熟 悉 不 同 形 式 间 方 程 的 转 换 第 四 节 空 间 直 线 的 方 程 直 线 与 点, 直 线 与 平 面, 直 线 与 直 线 的 相 关 位 置 与 度 量 关 系 1. 掌 握 点 线, 线 面, 线 线 的 位 置 关 系 判 定 方 法 ; 2. 熟 悉 点 与 直 线, 直 线 与 平 面, 直 线 与 直 线 间 距 离, 交 角 的 计 算 第 四 章 柱 面 锥 面 旋 转 曲 面 与 二 次 曲 面 (1) 理 解 柱 面 的 方 向 准 线 母 线 熟 练 掌 握 柱 面 方 程 的 一 般 形 式 锥 面 的 概 念 顶 点 准 线 母 线 的 概 念 以 及 锥 面 方 程 的 一 般 形 式 旋 转 曲 面 的 概 念 旋 转 轴 母 线 经 线 纬 圆 的 概 念, 旋 转 曲 面 的 方 程 ; (2) 理 解 椭 球 面 单 叶 双 曲 面 双 叶 双 曲 面 的 标 准 方 程 性 质 和 形 状 顶 点 和 中 心 椭 圆 抛 物 面 的 标 准 方 程 性 质 形 状 顶 点 双 曲 抛 物 面 的 标 准 方 程 性 质 形 状 鞍 点 ; (3) 理 解 直 纹 面 和 非 直 纹 面, 二 阶 直 纹 面 的 性 质 ; (4) 掌 握 柱 面 锥 面 旋 转 曲 面 方 程 的 建 立, 用 平 行 截 割 法 研 究 二 次 曲 面 的 标 准 方 程 确 定 曲 面 的 性 状 以 直 线 族 研 究 单 叶 双 曲 面 和 双 曲 抛 物 面 重 点 是 掌 握 几 种 特 殊 曲 面 的 方 程 及 其 形 状 难 点 是 理 解 曲 面 的 直 纹 性, 及 其 空 间 区 域 的 作 图
讲 授 阅 读 讨 论 相 结 合 第 一 节 柱 面 锥 面 旋 转 曲 面 1. 领 会 与 理 解 直 线 族 产 生 曲 面 的 理 论 ; 2. 掌 握 求 柱 面, 锥 面, 旋 转 曲 面 方 程 的 方 法 与 步 骤 ; 3. 能 识 别 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 顶 点 为 (x0,y0,z0) 的 锥 面, 以 及 母 线 在 坐 标 面 上 绕 坐 标 轴 旋 转 的 旋 转 曲 面 的 方 程 ; 4. 熟 悉 求 圆 柱 面 圆 锥 面 的 特 殊 方 法 第 二 节 二 次 曲 面 1. 掌 握 二 次 曲 面 ( 椭 球 面, 双 曲 面, 抛 物 面 ) 方 程 形 式 ; 2. 掌 握 讨 论 二 次 曲 面 方 程 的 方 法, 能 熟 练 地 利 用 平 行 截 割 法 来 认 识 空 间 曲 面 的 形 状 ; 3. 掌 握 椭 球 面 双 曲 面 与 抛 物 面 的 主 要 性 质, 并 能 由 其 标 准 方 程 画 出 它 们 的 图 形 ; 4. 初 步 掌 握 空 间 曲 线, 空 间 区 域 简 图 的 画 法 第 三 节 二 次 直 纹 面 1. 了 解 单 叶 双 曲 面 双 曲 抛 物 面 的 直 纹 性 ; 2. 掌 握 求 直 母 线 的 方 法 第 五 章 二 次 曲 线 的 一 般 理 论 (1) 联 系 中 学 有 关 知 识 理 解 并 掌 握 二 次 曲 线 的 概 念 和 理 论 ; (2) 熟 悉 坐 标 变 换 公 式 的 导 出 并 领 会 其 实 质 ; (3) 熟 练 运 用 坐 标 变 换 和 不 变 量 的 方 法 对 二 次 曲 线 方 程 进 行 化 简 并 对 二 次 曲 线 进 行 分 类 ; (4) 掌 握 二 次 曲 线 的 作 图 方 法 重 点 是 二 次 曲 线 与 直 线 的 相 交 情 况 ; 二 次 曲 线 的 一 些 几 何 性 质 ( 渐 近 方 向 中 心 渐 近 线 切 线 直 径 主 直 径 主 方 向 等 ); 二 次 曲 线 方 程 的 化 简 与 作 图 ; 对 二 次 曲 线 进 行 分 类 难 点 是 应 用 不 变 量 化 简 二 次 曲 线 方 程 讲 授 为 主, 讲 练 结 合 第 一 节 二 次 曲 线 与 直 线 的 相 关 位 置 1. 牢 记 二 次 曲 线 的 一 些 记 号 ; 2. 理 解 并 熟 悉 二 次 曲 线 与 直 线 相 交 的 各 种 情 况 以 及 其 成 立 的 条 件 第 二 节 二 次 曲 线 的 渐 近 线 切 线 与 直 径 1. 了 解 二 次 曲 线 的 中 心, 渐 近 方 向, 共 轭 方 向, 切 线, 直 径 的 概 念 ; 2. 搞 清 二 次 曲 线 渐 近 线, 切 线, 直 径 的 性 质 ; 3. 熟 悉 渐 近 线, 切 线, 直 径 方 程 的 求 法 ; 4. 理 解 二 次 曲 线 的 特 征 方 程 与 特 征 根 和 二 次 曲 线 的 主 方 向 与 主 直 径 的 关 系, 会 求 特 征 根, 主 方 向 与 主 直 径 第 三 节 二 次 曲 线 方 程 的 化 简 与 分 类 1. 清 楚 移 轴 转 轴 坐 标 变 换 公 式 的 推 导 以 及 其 对 二 次 曲 线 方 程 系 数 的 变 化 规 律 ; 2. 掌 握 用 坐 标 变 换 化 简 二 次 曲 线 方 程 的 方 法, 从 而 画 出 二 次 曲 线 的 图 形 ; 3. 理 解 二 次 曲 线 有 且 只 有 九 种 的 结 论 第 四 节 二 次 曲 线 的 不 变 量 及 其 应 用
1. 明 确 不 变 量 的 地 位 与 作 用 ; 2. 理 解 并 能 应 用 不 变 量 化 简 二 次 曲 线 的 方 程 和 判 定 二 次 曲 线 的 类 型 与 形 状 第 六 章 二 次 曲 面 (1) 理 解 二 次 曲 面 的 中 心 和 渐 进 方 向 ; 二 次 曲 面 的 切 线 与 切 平 面 ; 二 次 曲 面 的 主 方 向 等 概 念 与 几 何 性 质 ; (2) 掌 握 二 次 曲 面 的 分 类 与 化 简 ; (3) 能 用 不 变 量 化 简 二 次 曲 面 的 方 程 重 难 点 是 二 次 曲 面 的 化 简 方 法 讲 授 为 主, 讲 练 结 合 第 一 节 二 次 曲 面 的 渐 近 方 向 与 中 心, 切 线 与 切 平 面, 主 径 面 与 主 方 向 1. 理 解 相 关 概 念 及 其 几 何 性 质 ; 2. 掌 握 它 们 的 求 法 第 二 节 二 次 曲 面 的 方 程 化 简 与 分 类 1. 掌 握 应 用 坐 标 变 换 化 简 二 次 曲 面 方 程 的 方 法 并 进 行 分 类 ; 2. 掌 握 应 用 不 变 量 化 简 二 次 曲 面 方 程 的 方 法 并 进 行 分 类 四 教 材 与 教 材 参 考 教 材 : 解 析 几 何 ( 第 四 版 ) 吕 林 根 许 子 道 编 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 2006 年 5 月 参 考 书 : 1. 空 间 解 析 几 何 南 开 大 学 主 编 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,2002 年 2. 空 间 解 析 几 何 王 敬 庚 傅 若 男 主 编 北 京 : 北 京 师 范 大 学 出 版 社,2004 年 3. 解 析 几 何 丘 维 生 编 北 京 : 北 京 大 学 出 版 社,1996 年 4. 空 间 解 析 几 何 ( 第 一 版 ) 李 养 成 郭 瑞 芝 编 北 京 : 科 学 出 版 社,2004 年 5. 解 析 几 何 [ 苏 ]A.B. 波 格 列 诺 夫 著 姚 志 亭 译 吴 祖 基 校 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社,1982 年
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