* 摘 要 本 研 究 目 的 是 依 據 Lamon(1993) 的 比 與 比 值 語 意 結 構 的 分 類, 提 出 比 與 比 值 初 始 概 念 引 入 的 替 代 性 教 學 設 計 及 試 驗 性 教 學 初 探 採 用 文 獻 評 析, 提 出 影 響 學 生 學 習 比 值 的 重 要 因 素 及 分 析 教 科 書 的 架 構 ; 以 內 容 分 析 法, 分 析 現 行 六 年 級 教 科 書 在 比 與 比 值 單 元 的 題 目 情 境 類 型 本 文 亦 提 出 比 與 比 值 起 始 概 念 引 入 的 關 鍵 概 念 : 比 的 使 用 之 適 當 性 比 感 的 建 立 及 比 值 相 對 關 係 兩 數 量 在 題 目 中 需 符 合 固 定 倍 數 關 係 情 境 可 類 推 性 對 應 關 係 意 義 化 三 種 條 件, 使 用 比 的 符 號, 才 具 意 義 性 本 研 究 的 替 代 性 教 學 設 計 包 含 教 學 目 標 及 教 學 布 題, 可 作 為 教 科 書 編 輯 及 教 師 教 學 設 計 的 參 考 責 任 編 輯 : 楊 龍 立 投 稿 日 期 :2009 年 11 月 18 日,2010 年 5 月 17 日 修 改 完 畢,2010 年 6 月 15 日 通 過 採 用 * 林 碧 珍, 國 立 新 竹 教 育 大 學 數 理 教 育 研 究 所 教 授,E-mail: linpj@mail.nhcue.edu.tw 127
128 aba b XYYfX XYXY XY XY 2000 XY XY62 6226 a b x y
4 12 26 228228 3050000303000 30 3000 Lamon1993, 1994 well-chunked measures --part-part-wholeassociated sets/ stretchers/shrinkers 1. 2. -- -- 3. 623 129
5 4. // 53 8282 2002 1 30 2020302 201010203 6262 62344 66 66 66 822002Lamon 1 1 82Lamon 82 Lamon 1993 2002 34 42 Q 66 134 12024000 62 35 -- 2010 2030 --- / 53 130
131 1Lamon82 2002Lamon 82 Lamon QLamon82 -- Lamon Lamon Hart1981 4951Lamon- - Lamon19934 220094242 342009a 34 2424 AB AB AB ABA B B A1982 151615:16 A B A B A B 15 16
2002P. 21 AB A A B B A 20092009a1982 AB 1B1 B A A AB2001 B B A AB B A 33 A B B 1. a 42Qaba b b 2 2. 124aba b b a b a A 3. 1 B 1a:b= 1 A B 1 14221 111122 132
133 212 2009b ab abab ab Lammon1993 1. PaigeWillcuttWagenblast1968 differencequotient 2002XYX Y XYXY 2. ABCDABAC 3. 268aa a b a b
2 8 2 a 6 a 6 824a6a 8 8 a 6 24 24 6 1. VerschaffelDe CorteLasure1994 1012 100171000 901012 170 Van DoorenDe BockEversVerschaffel2006 CramerPostCurrier33 9 31532 Van Dooren200630 51 2. Lamon1993 --/ - 134
- 20052007Jeong, Levine, & Huttenlocker, 2007; Steinthorsdottir, 2006 Lamon1993 ABCDXX ABCXABXD X XXBCD AXCD 3. ABCDABA CABC 1ABAC268a 2AB269a 3AC258a 4ABAC259a 200520072004Karplus, Pulos, & Stage, 1983; Ruiz & Lupianez, 2009; Van Dooren, et al., 2006 AB 2 3ABCAB D2002 135
20052007Karplus, et al., 1983; Van Dooren, et al., 2006 AB ABAC2844X 864XLo & Watanable, 1997AB 3557X35157X355 7/1X Lamon content analysis98. 33 136
33 1 12 1 1421 2331 4124 3 137
1135 23105 310800 43903.97 / 64 197582 1993 89N-3-15 ppm 20009297 N-3-05 20032008 138
N-3-05 20092009a2009 1 23 4 98 22 98 Lamon1993 422 2222 142 ab a a 1ab b 1 b 4 61218 4 12 461218 6 18 4 12 46 6 18 139
1218 /0 1 2009 2009a 2 98 A B C 1 1-1 1-2 1-3 2 2-1 2-2 3 3-1 1-1 1-2 1-3 1-4 2-1 2-2 3-1 1-1 1-2 1-3 2-1 3-1 140
2 98 A B C 3-2 3-3 3-4 3-2 3-3 3-2 3-2 4 4-1 4-2 4-1 4-1 1218 10 10 3398ABC 3 AB-- 141
-- A - -B --B C C2 1235 23 142
3 Lamon A B C 42 8 5 5 320 1215 Q 9060 1 0 1 23 7 3 1 3105 - - 18 8 9 1 0 0 10800 1 0 0 63 101 1 6 1 52 133 0 0 1 32 2030 490210-5 8 4 20-0 1 0 30 1160100 2050 1 0 0 53 0 2 1 25 23 16 208 208 1235 0 0 2 23 6786 143
Lamon 2009 2009a200932 32 9 96 98 329 68 Lamon24 Q6 24Q Q246 144
1224 68 246 A 1004B200? A1004 200? Lamon A1004200? 315 632406 5 367865353 67866786 145
146 106Lamon ab 1 24Q 6 2 32015 3 6215 4 1289 124 Q1 Q24
3 1. 1 2 2. 1 147
148 1-1 1-2 1-3 2 2-1 2-2 6 11-121-2 1-1 1 1 H1N1 10042008?? 2 H1N1 1100 2 3 6318
9?? 4 100 171000 14 23 14 4 1 100 2200 15 4 28 18 8 1 1002200 2 2 428 2 0 33 11002 200 6 212 3 26 3 33 6 32 0 12 26 1 22 100 2200 1000 10010 23 17 10170 10 4 100 101000 17 10170 149
21 3 3 2345 1-2 2 1 1326 2 50510010 3 6312 6 4 3156 30 5 1223 6 606pizza30 3pizza 2 1. 34512 6 2. 12346 5 150
348 1 48 2 48 3 48<> 4 4<> 5 8<> 41-3 1-3 4340 3 1 2 1.520 3 680 4 5 <> 6 8061 7 806 1 8 1 9 8061 806 151
2-1 1 4836 1 2 15 53323 4 3 1 200520072004Karplus, Pulos, & Stage, 1983; Ruiz & Lupianez, 2009; Van Dooren, et al., 2006 5 1 3 2 10 13 4 3 152
2-2 2 24 63 515 728 1 2 266 30 17 10 172 6 2 3 14 3 10 153
1-31 2-12-2 1. 2. 3. 4. 154
155 12 325 AB A B ABA B AB AB AB ABABB1 ABABB1A B 1AAAB AB 1 A B A B A B A B A B A B
2002 2781-96 2009 1982 2000 2001 2009a 2009b 1975 1993 2000 2003 2008 2005 2007 本 文 所 呈 現 的 結 果 為 國 科 會 科 教 處 資 助 的 三 年 期 研 究 計 畫 數 學 教 學 案 例 在 教 師 專 業 發 展 的 應 用 編 號 NSC96-2521-S-134-001-MY3 之 部 分 資 料, 感 謝 國 科 會 科 教 處 對 本 研 究 計 畫 在 經 費 上 的 支 持 感 謝 參 與 於 本 研 究 計 畫 現 場 教 師 在 比 與 比 值 教 學 實 務 的 貢 獻, 讓 本 文 得 以 融 入 了 理 論 與 實 務 的 觀 點 156
2002 2004 2009 Hart, K. M. (1981). Fractions. In K. M. Hart, D. Kerslake, M. L. Brown, G. Ruddock, D. E. Kuchmann, & M. McCartney (Eds.), Children understanding of mathematics (pp. 11-16). Oxford, London: Northampton. Jeong, Y., Levine, S. C., & Huttenlocker, J. (2007). The development of proportional reasoning: Effect of continuous versus discrete quantities. Journal of Cognition and Development, 8(2), 237-256. Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E. (1983). Proportional reasoning of early adolescents. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes. New York: Academic Press. Lamon, S. (1993). Ration and proportion: Connecting content and children's thinking. Journal for Research in Mathematics Education, 24(1), 41-61. Lamon, S. (1994). Ration and proportion: Cognitive foundations in utilizing and norming. In G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp.89-120). Albany, NY: State University of New York Press. Lo, J., & Watanable, T. (1997). Developing ratio and proportion schemes: A story of fifth grader. Journal for Research in Mathematics Education, 28(2), 216-236. Paige, D. D., Willcutt, R. E., & Wagenblast, J. M. (1968). Mathematics methods for junior high school teachers. Boston: Prindle. Ruiz, E. F., & Lupianez, J. L. (2009). Detecting psychological obstacles to teaching and learning the topics of ratio and proportion in sixth grade primary pupils. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, 17(7), 397-424. Steinthorsdottir, B. (2006). Proportional reasoning: Variable influencing the problem difficulty level and one's use of problem solving strategies. 157
Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol.5 (pp.169-176). Prague: Charles University. Van Dooren, W., De Bock, D., Evers, M., & Verschaffel, L. (2006). Pupils' overuse of proportionality on missing vaule problems: How numbers may change solutions. Proceedings of the 30 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol.5 (pp.305-312). Prague: Charles University. Verschaffel, L., De Corte, E., & Lasure, S. (1994). Realistic considerations in mathematical modeling of school arithmetic word problem. Learning and Instruction, 4, 273-294. 158
The Exploration of Teaching Initial Concept of Ratio Pi-Jen Lin* Abstract The study was indented to explore an alternative approach of teaching initial concept of rate and ratio by taking the view of the nature of mathematics in which is based on Lamons four semantic structures of proportion problems. Main factors of influencing studentssolving proportion problems and the framework of analyzing current textbooks were addressed by literature reviewing. The semantic structures of the proportion problems were compared and contrast among three textbooks. The key initial concepts of ratio includes: the use of ratio, the sense of ratio, and the meaning of the relationship between two numbers. Particularly, the study claims that students learned the sense of ration by emphasizing the use of ratio in which ratio can only be used when the contexts of problem is inferred and the numbers are patterns. The inference of contexts being embedded into the problems are two essential elements of developing sense of ratio. The alternative instructional design can be as a reference for curriculum writing committees. Key words: rate, ratio, sense of ratio, semantic structure Section editor: Long-Lih Yang Received: November 18, 2009; Modified: May 17, 2010; Accepted: June 15, 2010 * Pi-Jen Lin, professor, Department of Graduate Institute of Mathematics and Science Education, National Hsinchu University of Education, E-mail: linpj@mail.nhcue.edu.tw 159
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