物 理 專 欄 觀念物理 試題 從平移到轉動 運動可分為 平移 與 轉動 兩種 而現行課程多半將兩種 力學 分別討論 很少 有機會做兩者間的比較與整合 本單元提供兩個看似相似的情境 透過以下問題 讓我們 釐清 力學原理 在平移與轉動現象中 彼此間的關聯 包含 F = ma 與 τ = Iα 動 量 vs. 角動量 平移動能 vs. 轉動動能 等 小試身手 (I) 第 1~5 題 請根據以下條件作答 相同的外力 (F) 在無摩擦的光滑平面上 分別作用在一長條木 板的 (1) 中央 及 (2) 邊緣上 ( 如圖 1 所示 ) 並使其質心推動相 同距離 (S) 後 外力才消失 則 1. 2. 施力於邊緣上時 木板是否必然會旋轉 (A) 是 (B) 否 施力過程中 兩長條木板的質心加速度 a 何者較大 4. (A) a1 >a 2 (B) a1 < a 2 (C) a1 = a 2 施力過程後 兩長條木板所獲得的平移動能 E k 何者較多 (A) E k1 > E k2 (B) E k1 < E k2 (C) E k1 = E k2 施力過程中 外力對兩木板的作功 W 何者較多 5. (A) W1 > W2 (B) W1 < W2 (C) W1 = W2 兩種施力過程所耗費的時間 t 關係如何 3. (A) t1 > t 2 (B) t1 < t 2 圖 1 相同外力推動 (C) t1 = t 2 (II) 第 6~9 題 請根據以下條件作答 相同質量與速度之子彈 分別往上瞄準懸浮木板的 (1) 中心 及 (2) 邊緣 並卡入木板帶動木板向上升 ( 如圖 2 所示 ) 若兩個木 板的所有條件相同 且假設子彈卡入木板的力遠大於兩者之重 力 則 6. 兩木板質心的上升高度 h 何者較高 或兩者相等 8. 9. (A) p1 > p 2 (B) p1 < p 2 (C) p1 = p 2 子彈卡入兩木板的距離 S 何者較長 或兩者相等 7. (A) S1 > S2 61 圖 2: 相同子彈卡入懸浮木板 (A) h1 > h 2 (B) h1 < h 2 (C) h1 = h 2 [ 木板 + 子彈 ] 之系統 在子彈卡入後 何者的總動能 E k 較大 或兩者相等 (A) E k1 > E k2 (B) E k1 < E k2 (C) E k1 = E k2 [ 木板 + 子彈 ] 之系統 在子彈卡入後 何者的動量 p 較大 或兩者相等 (B) S1 < S2 (C) S1 = S2 2016 38 卷 8月 4 期
觀 念 物 理 - 解 答 從 平 移 到 轉 動 詳 解 與 困 難 剖 析 本 單 元 包 含 兩 種 情 境, 第 1~5 題 如 圖 1 所 示, 第 6~9 題 如 圖 2 所 示 每 題 的 正 確 答 案 常 見 錯 誤 選 項 及 試 題 難 度, 列 於 表 1 並 說 明 如 下 : 圖 1: 相 同 外 力 推 動 圖 2: 相 同 子 彈 卡 入 懸 浮 木 板 表 1: 各 題 之 正 確 答 案 常 見 錯 誤 及 題 目 難 度 題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 正 確 答 案 A C C B C C B C A 常 見 誤 答 B A A C B A C A C 難 度 中 難 難 難 難 難 難 中 易 第 1 題 正 確 觀 念 : 如 圖 1-(2) 所 示, 要 判 斷 木 板 不 受 摩 擦, 但 其 邊 緣 持 續 受 外 力, 是 否 會 旋 轉? 本 題 原 本 的 用 意 只 是 要 引 出 施 力 後 的 轉 動 現 象, 沒 想 到 難 度 超 乎 預 期 若 以 質 心 為 參 考 軸, 則 外 力 (F) 的 施 力 點 到 質 心 有 力 臂, 因 而 形 成 力 矩 ( 逆 時 針 ), 所 以 會 旋 轉 運 用 τ = I α 公 式 時 所 引 用 的 參 考 軸 是 有 限 制 的, 包 含 :1) 通 過 質 心 2) 無 加 速 度 的 點 ( a = 0) 3) a 0, 但 加 速 度 向 著 質 心 的 點 因 此, 若 將 參 考 軸 移 到 F 的 施 力 點, 則 此 點 因 a 0 且 方 向 不 通 過 質 心 ( a : ), 所 以 不 能 用 F 的 施 力 點, 套 用 τ = I α 來 分 析 木 板 是 否 旋 轉 62
物 理 專 欄 常 見 錯 誤 : 相 當 高 比 例 的 學 生 選 擇 不 會 旋 轉, 而 他 們 的 理 由 包 含 :(1) 因 沒 有 摩 擦, 水 平 僅 受 F, 所 以 無 力 矩 (2) 光 滑 平 面 找 不 到 支 點, 因 此 不 會 轉 動 ;(3) 以 為 無 摩 擦 代 表 支 點 必 須 在 F 上 方, 所 以 不 會 旋 轉 上 述 理 由 可 歸 納 出 兩 項 誤 解 :(1) 學 生 在 理 解 一 對 力 偶 可 使 物 體 旋 轉 的 同 時, 可 能 會 誤 以 為 單 一 外 力 並 不 會 旋 轉 (2) 誤 將 τ = I α 的 轉 軸 定 在 施 力 點, 則 因 為 沒 有 力 τ = 0, 但 I 0 α = 0 ) 邏 輯 雖 然 正 確, 卻 違 反 了 臂 而 不 會 旋 轉 ( 根 據 τ = I α, 其 中 τ = I α 對 轉 軸 的 限 制, 而 這 項 限 制 也 常 常 被 教 科 書 忽 略, 導 致 學 生 的 困 擾 第 2 3 題 正 確 觀 念 : 欲 比 較 圖 1-(1) 及 圖 1-(2) 的 質 心 加 速 度 ( a cm ), 需 理 解 F = m a 的 公 式 也 可 以 套 用 在 轉 動 的 剛 體, 但 須 修 正 為 F = m a cm 無 論 外 力 是 否 產 生 力 矩 ( 與 所 有 外 力 的 作 用 點 無 關 ), 只 要 求 出 外 力 之 向 量 和, 就 可 推 論 出 質 心 的 加 速 度 ( 透 過 F = m a cm ), 所 以 圖 1-(2) 雖 然 會 有 轉 動 的 效 果, 但 因 兩 者 之 外 力 相 等, 所 質 心 加 速 度 ( a cm ) 相 等 ( 第 2 題 ) 接 著 可 以 透 過 a cm 相 等, 推 導 出 在 加 速 相 同 距 離 (S) 後, 兩 者 質 心 末 速 也 相 等, 所 以 兩 者 之 平 移 動 能 會 相 等 a cm 末 速 v f E k ( 第 3 題 ) 這 兩 題 的 作 答 相 關 性 相 當 高, 只 要 a cm ( 第 2 題 ) 判 斷 正 確, 平 移 動 能 ( E k, 第 3 題 ) 就 沒 有 問 題 常 見 錯 誤 : 以 為 有 轉 動 效 果 時 [ 圖 1-(2)], 質 心 的 加 速 度 會 變 小 有 學 生 解 釋 說 因 為 轉 動, 多 了 角 加 速 度, 所 以 加 速 度 會 比 較 小, 也 有 人 解 釋 : F 1 = ma 1, F 2 = ma 2 + I a, a 1 > a 2 ( 第 2 題 ), 透 露 出 他 們 在 分 析 加 速 度 時, 抱 持 著 [ 平 移 + 轉 動 ] 守 恆 的 誤 解, 進 而 也 造 成 平 移 動 能 ( 第 3 題 ) 錯 誤 另 外, 若 學 生 在 第 1 題 就 誤 以 為 圖 1-(2) 不 會 旋 轉, 則 可 能 第 2, 3 題 皆 能 答 對, 但 實 際 上 他 們 可 能 並 未 掌 握 加 速 度 與 旋 轉 與 否 無 關 的 這 項 概 念 換 句 話 說, 若 題 目 明 講 圖 1-(2) 會 旋 轉, 則 可 能 會 有 更 多 的 學 生 誤 認 為 a 1 > a 2 第 4 題 正 確 觀 念 : 要 比 較 外 力 作 功 的 大 小, 可 以 透 過 兩 條 不 同 的 途 徑 :1) 透 過 作 功 的 定 義 ( Work = F d ), 其 中 的 位 移 ( d ) 是 施 力 位 移 ( 而 不 是 質 心 位 移 ), 圖 1-(2) 因 為 有 旋 轉, 施 力 位 移 會 比 圖 1-(1) 長, 所 以 作 功 較 大 ;2) 也 可 透 過 功 能 原 理 ( Work = E K 平 移 + 轉 動 ), 因 兩 圖 具 有 相 同 的 平 移 動 能 ( 第 3 題 ), 但 圖 1-(2) 還 多 出 轉 動 動 能, 所 以 總 動 能 較 大, 反 推 出 外 力 作 功 較 多 這 兩 條 推 導 的 途 徑, 前 者 根 據 作 功 的 原 因, 後 者 根 據 結 果 來 推, 無 論 因 或 果 結 論 都 相 同 63 常 見 錯 誤 : 雖 然 大 多 數 學 生 可 以 掌 握 上 述 兩 條 推 導 途 徑, 但 在 引 用 Work = F d 時, 卻 誤 以 為 其 中 的 位 移 ( d ) 是 質 心 位 移 ( 而 不 是 施 力 位 移 ), 所 以 誤 推 了 兩 者 作 功 相 等 另 外, 也 有 學 生 根 據 功 能 原 理 作 答, 但 誤 以 為 總 動 能 相 等, 而 導 致 作 功 的 推 論 也 一 起 錯 兩 者 都 會 誤 選 W 1 = W 2 2016 38 卷 8 月 4 期
第 5 題 正 確 觀 念 : 判 斷 施 力 的 時 間, 需 引 用 牛 頓 定 律 ( F = m a cm ) 與 運 動 學 S = (1/2)at 2, 透 過 外 力 相 等, 所 以 質 心 加 速 度 ( a cm ) 相 等, 且 質 心 位 移 (S) 相 等, 故 推 得 時 間 (t) 也 相 等 ( t 1 = t 2 ) 也 可 以 透 過 衝 量 動 量 與 力, 來 推 導 出 作 用 時 間 ( J = F t = Δ p = m v f ), 因 為 質 心 末 速 相 等, 動 量 相 等, 所 需 衝 量 相 等, 故 外 力 作 用 時 間 必 相 等 常 見 錯 誤 : 雖 然 多 數 學 生 能 引 用 關 鍵 原 理 ( 公 式 ), 但 可 能 因 為 :1) 誤 以 為 轉 動 的 質 心 加 速 度 較 小 ( a 1 > a 2 )( 第 2 題 ), 所 以 推 出 轉 動 需 要 較 長 時 間 ( t 1 > t 2 ); 2) 雖 然 正 確 掌 握 了 a 1 = a 2, 但 誤 以 施 力 位 移 ( 而 非 質 心 位 移 ), 來 判 斷 施 力 時 間, 同 樣 導 致 t 1 < t 2 的 結 果 ;3) 甚 至 有 人 認 為 圖 1-(2) 只 會 原 地 旋 轉 不 會 前 進, 所 以 不 可 能 達 到 虛 線 位 置 ( 如 圖 3) 這 些 學 生 可 能 將 線 性 平 移 與 轉 動 做 了 切 割, 例 如 : 外 力 (F) 的 轉 動 效 果 會 取 代 平 移 的 效 果, 但 實 際 上 剛 體 受 的 外 力, 同 時 具 有 力 矩 功 能, 故 包 含 平 移 與 轉 動 兩 種 運 動 現 象 ( 如 圖 4) 圖 3: 只 有 轉 動 效 果 圖 4: 包 含 平 移 與 轉 動 第 6~8 題 正 確 觀 念 : 如 圖 2 所 示, 要 探 討 子 彈 分 別 射 入 懸 浮 木 板 的 不 同 位 置 後,[ 木 板 + 子 彈 ] 系 統 的 總 動 能 ( 第 7 題 ) 總 動 量 ( 第 8 題 ) 及 可 上 升 的 高 度 ( 第 6 題 ) 因 為 子 彈 卡 入 的 過 程, 只 受 到 子 彈 與 木 板 間 互 相 卡 住 的 作 用 力, 對 [ 木 板 + 子 彈 ] 系 統 而 言 是 內 力 ( 此 過 程 忽 略 重 力 ), 所 以 動 量 守 恆 因 此, 系 統 總 動 量 在 卡 入 前 後 會 相 等, 因 為 圖 2-(1) 與 圖 2-(2) 的 初 動 量 相 等 ( 皆 等 於 子 彈 的 mv), 所 以 兩 圖 的 末 動 量 也 相 等 ( p 1 = p 2 = p 子 彈 + p 木 板 )( 第 8 題 ) 接 著 透 過 動 量 相 等 ( p 子 彈 + p 木 板 ) 1=2 =( m 子 彈 + 木 板 v ) 1=2, 推 得 子 彈 卡 入 後 的 系 統 末 速 相 等, 所 以 木 板 上 升 高 度 也 相 等 ( h 1 = h 2 )( 第 6 題 ) 至 於 總 動 能 則 因 兩 者 質 心 的 末 速 相 等, 平 移 動 能 相 等, 但 圖 2-(2) 還 有 旋 轉 運 動, 總 動 能 =( 平 移 動 能 )+( 轉 動 動 能 ), 會 比 純 粹 平 移 的 動 能 大 ( E k1 < E k2 ) 兩 者 動 能 不 相 等 的 原 因 是, 子 彈 卡 入 的 力 算 是 動 摩 擦, 卡 入 的 過 程 摩 擦 力 所 作 的 功 會 消 耗 子 彈 動 能 且 因 子 彈 卡 在 不 同 位 置 時, 在 卡 入 過 程 所 消 耗 的 動 能 會 有 所 不 同, 因 此 兩 者 的 末 動 能 不 會 一 致 64
物 理 專 欄 常 見 錯 誤 : 這 三 題 比 較, 動 量 相 等 ( 第 8 題 ) 的 答 對 率 最 高, 且 多 數 學 生 能 依 據 系 統 僅 有 內 力, 或 非 彈 性 碰 撞 正 確 推 論 但 許 多 學 生 卻 同 時 誤 用 力 學 能 守 恆, 來 推 出 動 能 相 等 ( 第 7 題 ), 同 時 根 據 圖 2-(2) 涉 及 轉 動 動 能, 而 使 系 統 上 升 高 度 較 低 ( 第 6 題 ) 第 6~8 題 的 概 念 盲 點 ( 誤 解 ), 包 含 :1) 摩 擦 力 是 非 保 守 力, 會 消 耗 系 統 的 能 量, 也 會 消 耗 動 量 ( 兩 者 皆 不 守 恆 ) 2) 摩 擦 力 是 內 力, 不 會 消 耗 系 統 的 動 量, 也 不 會 消 耗 能 量 ( 兩 者 皆 守 恆 ) 3) 前 兩 點 的 盲 點 都 透 露 出 學 生 無 法 分 辨 動 量 與 能 量 的 區 別, 包 含 術 語 的 意 義 及 守 恆 條 件 4) 誤 以 為 [ 總 動 量 = 動 量 + 角 動 量 ] 5) 直 接 引 用 動 能 相 等 或 末 速 相 等, 但 無 法 提 出 其 原 理 依 據 6) 誤 以 為 同 一 個 力, 不 能 重 複 力 與 力 矩 的 雙 重 效 果, 以 為 系 統 若 會 旋 轉, 就 不 會 平 移 第 9 題 正 確 觀 念 : 要 比 較 兩 圖 中 子 彈 卡 入 木 板 距 離 的 大 小, 需 透 過 能 量 比 較, 因 子 彈 的 初 動 能 相 等, 且 系 統 末 動 能 為 E k1 < E k2 ( 第 7 題 ), 所 以 圖 2-(2) 在 子 彈 卡 入 過 程 所 消 耗 的 動 能 較 少 ( ΔE k1 < ΔE k2 ), 而 消 耗 的 動 能 = 摩 擦 力 作 功 = 摩 擦 力 卡 入 距 離, 推 得 卡 入 距 離 S 1 > S 2 理 論 上 本 題 應 該 比 動 能 的 判 斷 更 難, 但 結 果 卻 不 然 因 為 本 題 也 可 以 透 過 生 活 經 驗 直 接 判 斷 : 子 彈 打 在 邊 緣 時, 因 木 板 會 旋 轉, 所 以 較 不 易 卡 入 因 此, 不 需 透 過 任 何 物 理 概 念 與 推 理, 也 能 順 利 答 對 常 見 錯 誤 : 有 人 誤 以 為 兩 圖 動 能 相 等 ( 第 7 題 ), 而 推 得 卡 入 的 距 離 相 等 ( E k1 = E k2, 且 ΔE k1 = Work = F S S 1 = S 2 ), 推 理 邏 輯 與 原 理 ( 功 能 原 理 ) 皆 正 確, 可 惜 所 依 據 的 前 提 ( 動 能 相 等 ) 是 錯 誤 的 65 2016 38 卷 8 月 4 期
不 當 推 理 及 有 效 策 略 綜 合 以 上, 當 同 時 涉 及 轉 動 與 平 移 力 學 時, 學 生 常 忽 略 以 下 幾 點 關 鍵 的 概 念 或 解 題 策 略 : 首 先, 掌 握 原 理 的 使 用 限 制, 例 如 : 1) τ = I α 對 於 轉 軸 是 有 限 制 的, 如 圖 1-(2) 的 施 力 點, 就 不 能 當 作 參 考 軸 ( 如 第 1 題 );2) 功 能 原 理 ( 第 3, 4 題 ) 與 動 量 守 恆 ( 第 6~8 題 ) 的 限 制 條 件 完 全 不 同, 後 者 不 能 有 外 力 涉 入, 前 者 須 能 掌 握 外 力 作 功 其 次, 探 討 原 理 所 涉 及 的 觀 點, 常 須 隨 著 知 識 的 累 積, 反 覆 回 頭 做 比 較 例 如 : 針 對 質 點 學 過 F = m a, 到 了 剛 體 認 識 τ = I α 之 後, 還 需 回 頭 了 解 F = m a cm 對 剛 體 如 何 使 用? 探 討 力 矩 ( τ = I α ) 時, 需 思 考 施 力 點 的 影 響, 但 F = m a cm 則 與 施 力 點 無 關, 無 論 施 力 點 是 否 在 質 心 F = m a cm 皆 可 成 立, 即 使 數 個 外 力 作 用 點 不 同, 也 可 以 平 移 求 出 合 力 ( F )( 第 2 題 ) 因 此 F = m a cm 與 τ = I α 所 涉 及 的 觀 點 是 不 同 的 第 三, 當 運 動 現 象 同 時 包 含 平 移 與 轉 動 時, 有 些 物 理 量 可 以 加 總, 如 總 動 能 = 平 移 動 能 + 轉 動 動 能 ; 但 其 他 物 理 量 卻 是 分 別 定 義, 兩 者 意 義 不 同, 單 位 也 不 同, 故 不 能 加 總 如 動 量 與 角 動 量 不 能 加 總, 前 者 探 討 平 移, 而 後 者 探 討 轉 動 ( 第 8 題 ) 同 理, 加 速 度 與 角 加 速 度 也 不 能 加 總 ( 第 2 題 ) 最 後, 公 式 符 號 的 理 解 需 更 周 延, 例 如 : F = m a 的 a 除 了 代 表 加 速 度, 還 需 指 明 是 質 心 ( 不 是 施 力 點 ) 的 加 速 度 ; 同 理 Work = F d 的 d 不 僅 需 知 道 是 位 移, 更 須 確 認 是 施 力 點 ( 不 是 質 心 ) 的 位 移 從 本 單 元 看 來, 學 生 對 於 這 兩 個 公 式 並 不 陌 生 且 能 主 動 引 用, 但 卻 無 法 掌 握 符 號 的 指 認 對 象 這 種 細 節 影 響 了 推 理 的 正 確 性, 值 得 重 視 註 1: 第 2 題 參 考 Beatty, I.D., Gerace, W.J., Leonard, W.J., & Dufresne, R.J. (2006). Designing effective questions for classroom response system teaching. American Journal of Physics, 74(1), 31-39. 註 2: 第 6 題 參 考 Shakur, A. (2015). Bullet-block science video puzzle. The Physics Teacher, 53(1), 15-16. 66