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單 元 大 綱 : 前 言 簡 單 邏 輯 斯 回 歸 模 型 (Logistic Regression Model) 的 介 紹 邏 輯 斯 回 歸 模 型 的 統 計 分 析 邏 輯 斯 回 歸 模 型 的 模 型 適 合 度 檢 驗 類 別 解 釋 變 數 的 邏 輯 斯 回 歸 模 型 /5

前 言 : 例 子 : 馬 蹄 蟹 (horseshoe crab) Y 為 母 馬 蹄 蟹 是 否 有 是 否 有 追 求 者, 有 追 求 者,Y 為, 否 則 為 原 先 資 料 為 Sa, 表 示 追 求 者 ( 在 其 洞 口 旁 邊 守 候 的 公 蟹 ) 的 數 目 此 地 分 割 為 有 及 無 追 求 者 兩 類 解 釋 變 數 有 : 寬 度 (W:width) 顏 色 (C:Color) 脊 股 情 況 (S) 重 量 (Wt:Weight) 例 子 :O-ring Data (Dalal, Fowlkes, and Hoadley, 989) Y 為 某 種 零 件 測 試 成 功 與 否, 成 功 為, 失 敗 為 解 釋 變 數 為 溫 度 想 看 看 溫 度 與 該 種 零 件 測 試 成 功 與 否 的 關 係 Case Flight Failure Success Temp 4 53 9 57 3 3 58 4 63 5 66 6 5 67 7 3 67 8 5 67 9 4 68 3 69 8 7 7 7 3 7 4 7 5 6 7 6 7 73 7 6 75 8 75 9 9 76 76 78 79 3 8 8 /5

簡 單 邏 輯 斯 回 歸 模 型 (Logistic Regression Model) 的 介 紹 令 為 連 續 解 釋 變 數 ;Y 為 二 元 反 應 變 數, 即 Y ~ B(, π ( x)), 其 中 π ( x ) P( Y x), 為 當 x 時,Y 的 機 率 邏 輯 斯 回 歸 模 型 是 假 設 π 與 x 的 關 係 為 π ( x) log α + βx π ( x) π 取 勝 算 再 取 log 的 這 種 轉 換, 成 為 logit 轉 換 這 就 是 邏 輯 斯 回 歸 名 稱 的 由 來 π [ ( )] ( x) log it π x log α + βx π ( x) π 與 x 的 關 係 亦 可 寫 成 exp( α + βx) π ( x) + exp( α + βx) 邏 輯 斯 回 歸 是 假 設 π 與 x 的 關 係 為 一 S 形, 如 圖 5. 有 時 π 隨 x 變 大 而 S 形 變 大, 有 時 π 隨 x 變 大 而 S 形 變 小 關 鍵 在 β 參 數 β 的 解 釋 一 : β 與 S 形 的 上 升 或 下 降 速 度 的 關 係 dπ ( x) βπ ( x) [ π ( x) ]: 在 x 時, 切 線 的 斜 率 即 變 化 一 單 位,π 變 化 βπ ( x) [ π ( x) ] dx 若 β >,π 隨 x 變 大 而 S 形 變 大 若 β <,π 隨 x 變 大 而 S 形 變 小 若 β,π 與 x 無 關 S 形 的 上 升 或 下 降 速 度 在 π ( x). 5時 最 快, 為.5β 此 時 x α / β, 稱 為 中 位 有 效 水 準 (median effective level), 並 記 為 EL 5 α / β, 代 表 此 時 Y 的 機 率 有 5% 上 升 或 下 降 速 度 在 π ( x) 遠 離.5 時, 越 來 越 慢 參 數 β 的 解 釋 二 : β 與 勝 算 (odds) 的 關 係 π ( x) α β x e ( e ) x β exp( α + β ) : 變 化 一 單 位, 勝 算 變 化 的 倍 數 為 e ( 在 x+ 時, π ( x) β 勝 算 為 x 時 的 e ) 若 β >, 勝 算 隨 x 變 大 而 變 大 若 β <, 勝 算 隨 x 變 大 而 變 小 若 β, 勝 算 與 x 無 關 參 數 β 的 解 釋 三 : β 與 對 數 勝 算 (log odds) 的 關 係 π ( x) log α + βx : 變 化 一 單 位, 對 數 勝 算 變 化 β 單 位 π ( x) 3/5

邏 輯 斯 回 歸 模 型 的 統 計 分 析 統 計 推 論 : 最 大 概 似 估 計 量 ˆ β ~ N ( β, ) 效 應 的 區 間 估 計 : β 的 信 賴 區 間 為 顯 著 性 檢 定 : H : β ˆ H β 檢 定 : z ~ N (,) ASE ˆ β H Wald 檢 定 : W ~ χ ASE LRT: 在 H 對 時, 概 似 函 數 的 最 大 值 l Λ 無 限 制 時, 概 似 函 數 的 最 大 值 l ˆ β ± ASE zα / ( log l logl ) ( L L ) ~ log Λ χ 當 x 時, 機 率 的 估 計 : 點 估 計 : exp( ˆ α + ˆ βx) ˆ π ( x) + exp( ˆ α + ˆ βx) 區 間 估 計 : 先 計 算 α + βx 的 信 賴 區 間 ˆ Var ( ˆ α + βx) Var( ˆ) α + x Var( ˆ) β + xcov( ˆ, α ˆ β ) ( ˆ α + ˆ β ) ± z ASE x α / 再 轉 換 成 π (x) 的 信 賴 區 間 因 為 計 算 複 雜, 一 般 需 要 軟 體 SAS 中 的 PROC GENMOD 或 PROC LOGISTIC 均 可 利 用 程 式 一 : proc logistic descending; model y width / covb; output outcrabout pphat lowerlcl upperucl / alpha.5; run; H P( Y x 使 用 descending, 可 強 迫 邏 輯 斯 回 歸 為 log α + βx, 否 則 會 顛 倒 P( Y x 使 用 covb 是 計 算 出 各 參 數 估 計 量 的 共 變 異 數 矩 陣 output 可 儲 存 各 個 解 釋 變 數 之 下 的 機 率 估 計 值 極 其 信 賴 區 間, 而 alpha.5 則 是 指 定 信 賴 區 間 的 信 賴 度 4/5

程 式 二 : data crabs; input width cases satell; cards;.69 4 5 3.84 4 4 4.77 8 7 5.84 39 6.79 5 7.74 4 8.67 8 5 3.4 4 4 ; proc logistic; model satell/cases width; output outpredict ppi_hat lowerlcl upperucl; run; 使 用 列 聯 表 資 料 而 不 是 原 始 資 料 時 的 寫 法 需 列 出 總 數 及 邏 輯 斯 回 歸 中 分 子 的 個 數 5/5

報 表 (household crab): The LOGISTIC Procedure Model Information Data Set WORK.CRAB Response Variable y Number of Response Levels Number of Observations 73 Model binary logit Optimization Technique Fisher's scoring Response Profile Ordered Total Value y Frequency 6 Probability modeled is y. Model Convergence Status Convergence criterion (GCONVE-8) satisfied. Model Fit Statistics Intercept Intercept and Criterion Only Covariates AIC 7.759 98.453 SC 3.9 4.759 - Log L 5.759 94.453 Testing Global Null Hypothesis: BETA Test Chi-Square DF Pr > ChiSq Likelihood Ratio 3.359 <. Score 7.875 <. Wald 3.887 <. Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard Wald Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq Intercept -.358.687.749 <. width.497.7 3.887 <. Odds Ratio Estimates Point 95% Wald Effect Estimate Confidence Limits width.644.347.7 6/5

Estimated Covariance Matrix Variable Intercept width Intercept 6.97 -.6685 width -.6685.35 7/5

報 表 (O-Ring) The LOGISTIC Procedure Model Information Data Set WORK.RING Response Variable Failure Number of Response Levels Number of Observations 3 Model binary logit Optimization Technique Fisher's scoring Response Profile Ordered Total Value Failure Frequency 7 6 Probability modeled is Failure. Model Convergence Status Convergence criterion (GCONVE-8) satisfied. Model Fit Statistics Intercept Intercept and Criterion Only Covariates AIC 3.67 4.35 SC 3.43 6.586 - Log L 8.67.35 Testing Global Null Hypothesis: BETA Test Chi-Square DF Pr > ChiSq Likelihood Ratio 7.95.48 Score 7.3.7 Wald 4.68.3 Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard Wald Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq Intercept 5.49 7.3786 4.563.45 Temp -.3.8 4.68.3 Odds Ratio Estimates Point 95% Wald Effect Estimate Confidence Limits Temp.793.64.98 8/5

例 子 :Household Crab 最 大 概 似 估 計 量 ˆ β. 497 效 應 的 區 間 估 計 : ASE. β 的 95% 信 賴 區 間 為.497 ±.96. (.98,.697) 勝 算.497 寬 度 每 增 加 cm, 母 馬 蹄 蟹 有 追 求 者 的 勝 算 為 原 先 的 e. 644.98 e, e 寬 度 每 增 加 cm, 母 馬 蹄 蟹 有 追 求 者 的 勝 算 至 多 為 原 先 的 兩 倍 S 形 的 上 升 速 度 在 π ( x). 5時 最 快, 為.5β 估 計 值 為.5 ˆ β. 4 95% 信 賴 區 間 為.5(.98,.697) (.74,.74) 中 位 有 效 水 準 ( 代 表 此 時 Y 的 機 率 有 5%) EL ˆ α / ˆ β.35/.497 4. 8.697 寬 度 每 增 加 cm, 母 馬 蹄 蟹 有 追 求 者 的 勝 算 的 95% 信 賴 區 間 為 ( ) (.35,.) 5 H : β 顯 著 性 檢 定 :.497 檢 定 : z 4. 9, p _ value P( > 4.9) <...497 Wald 檢 定 : W 4.9 3. 9, p _ value P( χ > 3.9) <.. LRT: log Λ ( logl logl ) ( L L ) L - - L 5.759-94.453 ( ) ( ) 3.36 p _ value P( χ > 3.36) <. 當 6.5 時, 機 率 的 估 計 : 點 估 計 : exp(.35 +.497 6.5) ˆ π ( 6.5). 695 + exp(.35 +.497 6.5) 區 間 估 計 : 利 用 軟 體 得 到 的 結 果 (.6,.77) 利 用 共 變 異 數 矩 陣 計 算 結 果 : ˆ α + ˆ βx.35 +.497 6.5. 85 ˆ Var( ˆ α + βx) 6.9+ 6.5.35 + 6.5 (.668). 38 α + βx 的 95% 信 賴 區 間 為.85 ±.96.38 (.44,.) π 的 95% 信 賴 區 間 為, (.6,.77) (6.5) 例 子 :O-Ring Data 自 己 試 試 看.44 e e.44 + e + e.. 9/5

邏 輯 斯 回 歸 模 型 的 模 型 適 合 度 檢 驗 模 型 適 合 度 檢 驗 的 假 說 : 飽 和 模 型 (saturated model): 若 一 模 型 將 資 料 中 的 自 由 度 用 光, 則 該 模 型 即 稱 為 飽 和 模 型 適 合 度 檢 定 即 在 比 較 精 簡 模 型 M 與 飽 和 模 型 的 解 釋 能 力, 若 解 釋 能 力 差 不 多, 但 精 簡 模 型 較 精 簡, 就 會 選 擇 精 簡 模 型 M 假 說 : H : 某 一 模 型 (M) 是 適 合 的 H : 飽 和 模 型 檢 定 方 法 : 卡 方 適 合 度 檢 定 (, G ) 資 料 視 為 I 列 聯 表 在 虛 無 假 說 對 時 的 期 望 個 數 我 們 已 經 算 出 在 x 時,Y 的 機 率 ˆ π ( x) n ˆ π ( x), n ˆ( π x) 每 一 列 的 期 望 個 數 為 ( ( )) i+ i+ 利 用 或 G 的 公 式 算 出 檢 定 統 計 量 的 值 自 由 度 為 I, 再 由 此 算 出 P 值 可 在 SAS PROC LOGISTIC 的 model 後 加 scalenone aggregate 得 到 G ( M ), 稱 為 模 型 M 的 機 差 (deviance) G ( M ) ( L ) ( L ) ( L M ) ( L S ) ~ χ I 相 關 報 表 : H Deviance and Pearson Goodness-of-Fit Statistics Criterion DF Value Value/DF Pr > ChiSq Deviance 64 69.76.895.9 Pearson 64 55.779.86.776 若 解 釋 變 數 為 連 續 變 數 時, 使 用 卡 方 適 合 度 檢 定 的 一 些 問 題 每 一 個 格 子 的 個 數 一 般 會 太 少 ( 小 於 5), 導 致 大 樣 本 理 論 不 能 用 增 加 樣 本 數 也 沒 有 用, 因 為 I( 列 數, 寬 度 的 個 數 ) 會 跟 著 變 大 即 I 並 不 是 固 定 的 因 為 解 釋 變 數 是 連 續 的, 每 一 個 值 都 有 可 能, 增 加 樣 本 數, 可 能 會 有 不 同 的 值 出 現, 故 I 會 增 加 一 般 會 將 資 料 分 組, 再 利 用 卡 方 適 合 度 檢 定 但 如 何 分 組, 分 組 後 如 何 計 算 期 望 個 數? /5

分 組 方 法 一 : 分 成 8- 組 左 右, 每 一 組 的 組 距 相 近 馬 蹄 蟹 例 子, 分 成 下 列 八 組 : Width Number(Yes) Number(No) Fitted(Yes) Fitted(No) <3.5 5 9 3.64.36 3.5~4.5 4 5.3 8.69 4.5~5.5 7 3.78 4. 5.5~6.5 8 4.3 4.77 6.5~7.5 5 7 5.94 6.6 7.5~8.5 4 9.38 4.6 8.5~9.5 5 3 5.65.35 >9.5 4 3.8.9 缺 點 : 並 不 能 保 證 每 個 格 子 的 個 數 超 過 5 若 解 釋 變 數 一 多, 該 如 何 分 組 期 望 個 數 的 計 算 : 方 法 一 : 將 各 組 中 Y 的 機 率 算 出 再 相 加.9.9596 3.5.38 4.5.38 5.5.38 6.9.763 7.9.763 8.9.763 9 3.868 3.868 3..9634 3..9634 3 3..9634 4 3..368 將 機 率 相 加 為 3.64, 此 為 第 一 列 Y 的 期 望 個 數,Y 的 期 望 個 數 為 4-3.64.36 其 他 依 此 類 推 可 算 出 5.3, P value P( χ > 5.3) >. 4, G 6., P value P( χ > 6.) >.4 故 模 型 適 合 缺 點 為 需 自 己 計 算 各 組 機 率 及 期 望 個 數 6 6 /5

方 法 二 : 以 各 組 解 釋 變 數 的 平 均 數 為 該 組 解 釋 變 數 的 值, 重 新 分 析, 可 由 軟 體 直 接 得 到 5或 G 6 Width Number(Yes) Number(No) Prob(Yes) Fitted(Yes) Fitted(No).69 5 9.748 3.847.58 3.84 4.397 5.4978 8.5 4.77 7.499 3.97 4.8 5.84 8.69 4.5 4.7849 6.79 5 7.78 5.796 6.4 7.74 4.7984 9.66 4.8384 8.67 5 3.859 5.4638.536 3.4 4.939 3.466.9534 適 合 度 檢 定 (Hosmer and Lemeshow, 989): 以 預 測 機 率 分 成 g 組 ( 例 如 g 組 ), 若 全 部 資 料 為 n, 則 第 一 組 有 著 預 測 機 率 最 高 的 前 n/g 個 資 料, 下 一 組 有 著 預 測 機 率 次 高 的 n/g 個 資 料, 依 此 類 推 可 在 SAS PROC LOGISTIC 的 model 後 面, 加 上 lackfit 指 令 所 提 出 的 類 似 Pearson 卡 方 檢 定 統 計 量, 在 虛 無 假 設 對 時, 近 似 卡 方 分 配, 自 由 度 為 g- 輸 出 如 下 : Partition for the Hosmer and Lemeshow Test y y Group Total Observed Expected Observed Expected 9 5 5.39 4 3.6 8 8 7.6.38 3 7 8.6 6 8.38 4 7 8 9.9 9 7.8 5 6. 5 5.9 6 8.3 7 5.7 7 6.6 4 3.94 8 6.9 4 3. 9 6 3 3.69 3.3 8.4.59 Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test Chi-Square DF Pr > ChiSq 5.465 8.739 /5

LRT 的 應 用 ( 應 用 軟 體 計 算 G ) LRT 的 基 本 的 統 計 量 是 : 在 H 對 時, 概 似 函 數 的 最 大 值 l Λ 在 H 對 時, 概 似 函 數 的 最 大 值 l ( log l log l ) ( L L ) ( L ) ( L )) ~ χ df df G log Λ 我 們 曾 用 LRT 檢 定 過 邏 輯 斯 回 歸 模 型 中 的 參 數 是 否 為 H β, H : β : 亦 可 寫 成 H H π ( x) : ln α π ( x) π ( x) : ln α + βx π ( x) H ~ G ( ) ( )) χ L M L M 我 們 可 以 由 SAS 報 表 讀 到 ( 稱 為 模 型 M ), ( 稱 為 模 型 M ) L M 及 L M, 以 及 整 個 G 要 知 道 到 哪 裡 去 找 這 些 值 我 們 曾 用 LRT 檢 定 過 某 模 型 (M) 是 否 適 合 虛 無 假 說 是 現 行 模 型 是 適 合 的, 對 立 假 說 是 飽 和 模 型 飽 和 模 型 是 最 複 雜 的 模 型, 所 有 的 參 數 是 最 多 的 此 種 適 合 度 檢 定 是 比 較 現 行 模 型 與 飽 和 模 型 的 差 別 若 差 別 不 大, 現 行 模 型 又 較 簡 單, 故 採 用 現 行 模 型 H π ( x) 模 型 M是 適 合 的 ln α + βx, : 飽 和 模 型 π ( x) : H H ~ G ( M) ( L ) ( L ) ( L M ) ( L S ) χ I 可 在 SAS PROC LOGISTIC 的 model 後 加 scalenone aggregate 得 到 G ( M), 稱 為 模 型 M 的 機 差 (deviance) 上 述 兩 種 情 況, 其 實 都 可 以 看 做 是 檢 定 兩 種 模 型, 只 不 過 這 些 模 型 有 一 些 限 制 我 們 可 以 將 此 觀 念 推 廣 為 檢 定 兩 種 模 型, 看 在 虛 無 假 說 的 模 型 是 否 較 好 例 如 我 們 可 以 比 較 下 列 兩 種 模 型 : π ( x) M : ln α + βx ( 模 型 M) π ( x) M : ln( π ( x) ) α + βx ( 模 型 M ) 假 說 : H : M 是 好 的 H : M 是 好 的 在 H ( M ) 對 時, 概 似 函 數 的 最 大 值 l Λ 在 H( M ) 對 時, 概 似 函 數 的 最 大 值 l G ( M M ) ( loglm logl ) ( ) ( ) ~ M L M L M χ df df 但 是 在 SAS 中, 一 個 PROC 裡 面 只 能 寫 一 個 模 型 如 何 得 到 這 個 值 呢? 可 以 寫 兩 次 程 式, 作 兩 次 的 適 合 度 檢 定, 比 較 現 行 模 型 (M) 與 飽 和 模 型, 得 到 個 別, 再 相 減 L Mi 的 G (Mi) 或 是 ( ) M M H H 3/5

G ( M G ( M G ( M ) ) M ( LM ) ( L ) S ( L ) ( L ) M ) G ( M S ) G ( M ) 模 型 不 適 合 的 後 續 動 作 若 模 型 檢 定 不 適 合, 我 們 可 能 還 要 細 部 看 一 下, 到 底 是 哪 些 觀 察 值 導 致 作 法 可 觀 察 殘 差 (residuals) 或 影 響 值 (influence) Pearson 殘 差 ( Pearson residuals): 觀 察 值 減 去 估 計 值, 在 標 準 化 y ˆ i niπ i ei n ˆ π ( ˆ π ) i i i 當 ni 夠 大 時, ~ i N(, v) 近 似 常 態 分 配, 但 變 異 數 v 比 小 一 般 來 說, 若 e i >, 則 代 表 此 觀 察 值 異 常 e hi 為 hat matrix 中 的 對 角 線 中 的 元 素 e H 調 整 殘 差 (adjusted residuals): ( ) 比 Pearson residual 大 H 當 ni 夠 大 時, e ( h ) ~ N(,) i h i i 例 子 : 以 馬 蹄 蟹 為 例 表 table5.3 邏 輯 斯 回 歸 時, 反 應 變 數 為 的 殘 差 的 平 方 和, 剛 好 為 卡 方 適 合 度 檢 定 中 的 Y e i 影 響 值 (influence): 若 某 一 觀 察 值 去 掉 後, 對 整 個 模 型 的 配 適 或 參 數 的 估 計 有 很 大 影 響, 則 此 觀 察 職 稱 為 影 響 值 影 響 值 的 衡 量 有 多 種 指 標, 一 般 均 與 Hat matrix 有 關 Dfbeta(difference of beta): 當 某 一 觀 察 值 去 掉 後, 參 數 估 計 的 變 化 情 況 c (change in joint confidence interval): 當 某 一 觀 察 值 去 掉 後, 參 數 聯 合 信 賴 區 間 的 變 化 情 況 或 G : 當 某 一 觀 察 值 去 掉 後, 或 G 的 變 化 情 況 利 用 model 後 加 influence, 可 得 到 上 述 幾 個 值 亦 可 利 用 output outaaa c dfbeta difchisq difdev, 將 這 些 指 標 存 在 資 料 集 中, 再 列 印 出 來 看 4/5

類 別 解 釋 變 數 的 邏 輯 斯 回 歸 模 型 前 述 邏 輯 斯 模 型 中 的 解 釋 變 數 是 連 續 的 情 況, 當 解 釋 變 數 是 類 別 時, 一 般 我 們 會 用 虛 擬 變 數 來 替 代 該 解 釋 變 數 若 類 別 變 數 有 I 個 水 準 時, 就 需 要 I- 個 虛 擬 變 數 虛 擬 變 數 的 值 的 定 法 有 很 多 種, 底 下 是 其 中 一 種 : 3 3 Y Y A A B B C D - - - 不 管 是 何 種 表 法, 要 清 楚 知 道 模 型 中 回 歸 參 數 的 意 義 例 子 :AT 的 使 用 () 是 否 會 影 響 AIDS 的 症 狀 (Y), 以 種 族 () 為 控 制 變 數 症 狀 AT 的 使 用 有 症 狀 (Y) 無 症 狀 (Y) 白 人 () 使 用 () 4 93 未 使 用 () 3 8 黑 人 () 使 用 () 5 未 使 用 () 43 Y 為 二 元 反 應 變 數, 有 症 狀 為, 無 症 狀 為 π ( x, z) P( Y x, z) 為 AT 的 使 用, 表 示 有 使 用, 表 示 未 使 用 為 種 族, 表 示 白 種 人, 表 黑 種 人 機 率 的 定 義 : π (,) : 白 種 人, 有 使 用 AT 者, 有 症 狀 發 生 的 機 率 π (,) : 黑 種 人, 有 使 用 AT 者, 有 症 狀 發 生 的 機 率 π (,) : 白 種 人, 未 使 用 AT 者, 有 症 狀 發 生 的 機 率 π (,) : 黑 種 人, 未 使 用 AT 者, 有 症 狀 發 生 的 機 率 邏 輯 斯 回 歸 模 型 : logit( π ) α + βx + β z 此 地 並 未 假 設 交 互 作 用, 一 般 可 能 會 有 參 數 的 意 義 : 沒 有 交 互 作 用 時 odds( x, z) β ( α + β + β z) ( α + β z) logit( π z ) logit( π z ) log odds( x, z) β 為 固 定 z( 種 族 ) 之 下,x 的 兩 種 水 準 的 logit 之 差 ( 即 對 數 勝 算 比 ) odds( x, z) β e odds( x, z) β e 為 固 定 z( 種 族 ) 之 下, 使 用 AT 者 有 症 狀 發 生 的 勝 算 為 未 使 用 AT 者 倍 數 這 個 例 子 也 是 一 個 xxk 的 列 聯 表, 我 們 在 第 三 章 曾 經 分 析 過 此 種 例 子 我 們 在 此 種 例 子 中 會 關 心 幾 個 問 題 : 一 為 是 否 有 均 質 關 聯? 若 有 均 質 關 聯, 共 同 的 條 件 勝 算 比 為 何? 是 否 為 條 件 獨 立? 那 在 邏 輯 斯 回 歸 中, 這 些 問 題 如 何 陳 述? 5/5

因 為 此 地 未 假 設 與 之 間 有 交 互 作 用, 所 以 不 管 是 哪 一 個 值, 條 件 勝 算 比 都 一 樣 若 是 與 之 間 有 交 互 作 用, 情 況 就 不 一 樣 所 以 上 述 無 交 互 作 用 的 模 型, 就 已 經 假 設 了 與 Y 之 間 是 均 質 關 聯 e β θ Y ( ) 為 以 前 所 謂 的 共 同 條 件 勝 算 比 β 對 數 共 同 條 件 勝 算 比 log( θ ) ) 如 果 後 來 檢 定 出 β, 則 代 表 與 Y 之 間 是 條 件 獨 立 SAS 分 析 : 虛 擬 變 數 : Obs race azt yes no cases dum_race dum_azt Y ( white y 4 93 7 white n 3 8 3 3 black y 5 63 4 black n 43 55 SAS 程 式 proc logistic data aids_dummy orderdata; model yes/cases dum_race dum_azt/lackfit scalenone aggregate ; output outaaa pp lowerlower upperupper; run; SAS 輸 出 : Response Profile Ordered Binary Total Value Outcome Frequency Event 69 Nonevent 69 Model Convergence Status Convergence criterion (GCONVE-8) satisfied. Deviance and Pearson Goodness-of-Fit Statistics Criterion DF Value Value/DF Pr > ChiSq Deviance.3835.3835.395 Pearson.39.39.38 Number of unique profiles: 4 Model Fit Statistics Intercept Intercept and Criterion Only Covariates 6/5

AIC 344.8 34.5 SC 347.94 35.6 - Log L 34.8 335.5 Testing Global Null Hypothesis: BETA Test Chi-Square DF Pr > ChiSq Likelihood Ratio 6.9664.37 Score 6.8957.38 Wald 6.74.344 The LOGISTIC Procedure Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard Wald Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq Intercept -.736.69 6.675 <. dum_race(z).555.886.37.8476 dum_azt(x) -.795.79 6.657.99 由 此 可 知 道 ˆ β ˆ.795( ASE.79), β.555( ASE.866), 並 可 藉 此 做 出 參 數 的 信 賴 區 間 亦 可 看 出 檢 定 結 果 : 使 用 AT 與 否 對 是 否 有 症 狀 是 有 顯 著 差 異 的 種 族 對 是 否 有 症 狀 則 無 顯 著 差 異.795 此 地 用 的 是 Wald 檢 定 統 計 量 W 6.657, P( χ > 6.657). 99.69 如 何 用 LRT 呢? 如 何 得 到 G? 在 報 表 的 上 面 有 一 個 Likelihood Ratio6.9664 的 檢 定, 這 個 檢 定 的 虛 無 假 說 是 β β, 不 是 β 可 以 仿 照 剛 剛 所 講 的, 利 用 PROC LOGISTIC 作 兩 次, 一 次 的 模 型 寫 成 logit( π ) α + β z, 一 次 的 模 型 寫 成 logit( π ) α + βx + β z 得 到 兩 個 deviance G, 再 相 減 得 到 嗎?( 不 行, why???) 利 用 PROC LOGISTIC 作 兩 次, 一 次 的 模 型 寫 成 logit( π ) α + βz, 得 到 ( L M 335.5) ; 一 次 的 模 型 寫 成 logit( π ) α + βx + β z, 得 到 另 一 個 L 34. 兩 個 相 減, 就 得 到 ( ) G M 34. 335.5 6.87, P _ value P( χ > 6.87). 整 個 模 型 的 適 合 度 檢 定, 可 由 報 表 上 的 機 差 看 出, G.3835, p. 395, 還 算 適 合 亦 可 利 用 Hosmer and Lemeshow 算 出 期 望 值, 再 根 據 第 二 章 的 算 法 計 算, 結 果 亦 相 同 估 計 模 型 為 log it( ˆ) π.736.795x +. 555z 7/5

ˆ ˆ 795 β. θ Y ( ) e e. 487, 代 表 不 管 是 何 種 族, 使 用 AT 者, 其 有 症 狀 的 勝 算 為 無 使 用 者 的.487 倍 ( 將 近 一 半 ), 故 使 用 AT 者 較 無 症 狀 亦 可 由 下 面 的 報 表 得 到 該 條 件 勝 算 比 的 估 計 值 及 信 賴 區 間 亦 可 利 用 第 三 章 共 同 條 件 勝 算 比 的 算 法 : ˆ ˆ 4 *8/ + * 43/8 θ Y ( ) θ MH.487 93* 3 / + 5 * /8 Odds Ratio Estimates Point 95% Wald Effect Estimate Confidence Limits dum_race.57.6.86 dum_azt.487.8.84 Partition for the Hosmer and Lemeshow Test Event Nonevent Group Total Observed Expected Observed Expected 63 8.99 5 54. 7 4 6. 93 9.99 3 55 4. 43 4.99 4 3 3 9.99 8 83. Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test Chi-Square DF Pr > ChiSq.39.4988 8/5

邏 輯 斯 模 型 的 變 異 數 分 析 表 法 前 面 的 邏 輯 斯 模 型 均 是 以 回 歸 方 式 表 示, 但 當 解 釋 變 數 是 類 別 變 數 時, 常 常 會 以 變 異 數 分 析 的 方 式 表 示 邏 輯 斯 模 型 這 就 像 是 以 前 因 子 實 驗 中 的 模 型 表 法 以 兩 個 類 別 解 釋 變 數 與 為 例 模 型 可 寫 成 : log it( π ) α + β + β i k 參 數 的 上 標 表 示 相 對 應 的 是 哪 一 個 解 釋 變 數, 下 標 則 表 示 該 變 數 的 哪 一 個 水 準 每 一 個 I 水 準 的 類 別 解 釋 變 數 ( 又 稱 因 子 ), 有 I 個 參 數, 但 只 有 I- 個 獨 立 參 數 這 I 個 參 數 的 關 係 可 以 有 很 多 種 方 式 : 令 最 後 一 個 變 數 為 (Set to zero(last)): β I 令 第 一 個 變 數 為 (set to zero(first)): β 參 數 總 和 為 (sum to zero): β i 以 xx 為 例, 邏 輯 斯 回 歸 模 型 與 變 異 數 分 析 模 型 中 參 數 的 差 異 : (,) 回 歸 模 型 Set to sero(last) (,) α + β + β (,) α + β (,) α β (,) * α log it( π ) α * + β x + β z α + β + β α + β + β α α + α + * * β α + α β i Set to zero(first) α + β β α + β + β k Sum to zero β + β α + β + β α + β β α β + β α β β set to zero(last) : β β, β β β β set to zero(first):, β β, β β, β β, β β β sum to zero: β 以 AT 使 用 與 否 為 例 : 參 數 Set to Set to zero Sum to zero zero(last) (first) 截 距 項 -.74 -.738 -.46 * α. 74 β -.7 -.36. 7 β.7.36 β.55.8. 55 β -.55 -.8 在 變 異 數 表 示 法 時, 個 別 水 準 參 數 的 意 義 較 不 重 要 不 管 是 哪 一 種 變 異 數 分 析 表 法, 回 歸 模 型 與 變 異 數 分 析 模 型 參 數 之 間 的 關 係 必 為 : β β β, β β β 因 為 無 論 是 β β 還 是 β 都 代 表 著 解 釋 變 數 兩 水 準 之 間 logit 的 差 值 所 以 重 要 的 是 兩 水 準 參 數 的 差 值 不 管 是 哪 一 種 變 異 數 分 析 表 法 或 是 回 歸 模 型 表 法, 各 水 準 組 合 所 算 出 來 的 logit 值 相 等, 故 所 算 出 來 的 條 件 勝 算 比 或 是 機 率 估 計 值, 都 是 一 樣 的 ( 可 舉 例 說 明 ) β β 9/5

若 β β, 代 表 在 給 定 時, 與 Y 條 件 獨 立 程 式 SAS LOGISTIC 用 的 參 數 關 係 是 sum to zero,sas GENMOD 用 的 參 數 關 係 是 set to zero(last) 輸 出 : proc logistic dataaids; class race azt; model yes/cases race azt/lackfit scalenone aggregate ; run; Class Level Information Design Variables Class Value race black white - azt n y - Standard Wald Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq Intercept -.456.467 9.88 <. race black -.77.443.37.8476 azt n.3597.395 6.657.99 /5

xxk 列 聯 表 的 邏 輯 斯 變 異 數 分 析 模 型 邏 輯 斯 模 型 最 常 應 用 的 一 種 情 況 就 是 xxk 列 聯 表 反 應 變 數 Y 是 二 元 的, 為 二 項 分 配 ; 有 興 趣 的 解 釋 變 數 ( 因 子 ) 有 兩 水 準 ; 可 當 作 是 區 集 因 子, 一 般 是 與 無 交 互 作 用 在 這 樣 的 一 個 情 況 中, 我 們 有 興 趣 的 在 第 三 章 中 曾 提 到 幾 個 問 題, 這 幾 個 問 題 用 模 型 來 形 容 的 話, 各 是 哪 些 問 題? 是 否 均 質 關 聯, 即 給 定 之 下, 各 分 表 的 條 件 勝 算 比 是 否 相 同? 各 種 模 型 中 最 複 雜 的 稱 為 飽 和 模 型 飽 和 模 型 為 每 種 組 合 ( 共 有 四 種 組 合 ), 有 個 別 的 機 率 π 飽 和 模 型 可 用 π ( x, z) log it( π ) log α + βi + β k + βik 表 示, π ( x, z) 其 中 π ( x, z) P( Y x, z) 若 參 數 之 間 的 關 係 是 用 sum to zero, 則 β i i, β, β k 在 固 定 某 下 標 之 下, 另 一 下 標 的 總 和 為 β + β + β + β 交 互 作 用 項 的 限 制 與 實 驗 設 計 中 的 限 制 相 同, + β k 即 β β β β 在 給 定 z 之 下, 各 分 表 的 log 條 件 勝 算 比 為 π log π logit (, k) ( π (, k) ) (, k) ( π (, k) ) ( π (, k) ) logit( π (, k) ) ( α + β + βk + β k ) ( α + β + βk + βk ) ( β β ) + ( β β ) β + β k k k 所 以, 若 要 各 分 表 的 條 件 勝 算 比 相 等 ( 與 無 關 ), 則 要 交 互 作 用 項 為 也 就 是 模 型 應 為 log it( π ) α + βi + βk, 此 即 為 均 質 關 聯 的 邏 輯 斯 變 異 數 分 析 模 型 故 檢 定 是 否 均 質 關 聯, 即 檢 定 模 型 log it( π ) α + βi + βk 是 否 適 合 ( 適 合 度 檢 定 ) 也 就 是 檢 定 交 互 作 用 項 β 不 存 在 在 第 三 章 我 們 用 的 是 Breslow-Day 檢 定 統 計 ik 量 如 果 是 均 質 關 聯, 我 們 會 想 進 一 步 估 計 這 共 同 的 條 件 勝 算 比 由 上 式 可 看 出 共 同 的 條 β 件 勝 算 比 為 e 接 下 來 我 們 還 想 進 一 步 看 是 否 有 條 件 獨 立 由 上 式 可 看 出 這 就 是 檢 定 β 也 就 是 檢 定 在 無 交 互 作 用 之 下, 解 釋 變 數 是 否 有 影 響 我 們 可 能 也 想 看 看 是 否 有 影 響, 這 就 是 檢 定 β /5

例 子 : 使 用 AT 是 否 影 響 AIDS 症 狀 的 發 生, 以 種 族 為 控 制 變 數 程 式 前 幾 頁 已 經 秀 過 如 下 : proc logistic dataaids; class race azt; model yes/cases race azt/lackfit scalenone aggregate ; run; SAS 報 表 如 下 Response Profile Ordered Binary Total Value Outcome Frequency Event 69 Nonevent 69 Class Level Information Design Variables Class Value race white black - azt y n - 要 注 意 哪 一 個 是 第 一 個 水 準, 哪 一 個 是 第 二 個 水 準 Model Convergence Status Convergence criterion (GCONVE-8) satisfied. Deviance and Pearson Goodness-of-Fit Statistics Criterion DF Value Value/DF Pr > ChiSq Deviance.3835.3835.395 Pearson.39.39.38 Number of unique profiles: 4 均 質 關 聯, 作 適 合 度 檢 定 如 上 : G.3835,.39, P _ value >. 表 示 無 交 互 作 用 的 邏 輯 斯 模 型 合 適, 即 均 質 關 聯 若 用 第 三 章 的 Breslow-day 檢 定, 可 用 SAS PROC FREQ 加 上 cmh, 可 得 檢 定 統 計 量 的 值 為.39 相 當 接 近 /5

ˆ 共 同 的 條 件 勝 算 比 為 β *.3597.794.7 e e e e. 49, 亦 可 由 下 面 的 報 表 看 出.8,.84 勝 算 比 極 其 信 賴 區 間,95% 信 賴 區 間 為 ( ) Model Fit Statistics Intercept Intercept and Criterion Only Covariates AIC 344.8 34.5 SC 347.94 35.6 - Log L 34.8 335.5 Testing Global Null Hypothesis: BETA Test Chi-Square DF Pr > ChiSq Likelihood Ratio 6.9664.37 Score 6.8957.38 Wald 6.74.344 Type III Analysis of Effects Wald Effect DF Chi-Square Pr > ChiSq race.37.8476 azt 6.657.99 Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard Wald Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq Intercept -.456.467 9.88 <. race white.77.443.37.8476 azt y -.3597.395 6.657.99 參 數 檢 定 結 果 : 種 族 是 沒 有 影 響 的.37,p_value>.8 AT 使 用 與 否 是 有 影 響 ( β 不 為 ) 6.657,p_value.99 G 6.87( 需 再 做 一 次 PROC LOGISTIC) 故 條 件 勝 算 比 不 為, 也 就 是 並 沒 有 條 件 獨 立 若 使 用 第 三 章 所 交 的 CMH 檢 定 統 計 量,CMH6.8, 結 論 一 樣 Odds Ratio Estimates Point 95% Wald Effect Estimate Confidence Limits race white vs black.57.6.86 azt y vs n.487.8.84 3/5

Partition for the Hosmer and Lemeshow Test Event Nonevent Group Total Observed Expected Observed Expected 63 8.99 5 54. 7 4 6. 93 9.99 3 55 4. 43 4.99 4 3 3 9.99 8 83. Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test Chi-Square DF Pr > ChiSq.39.4988 總 結 : 最 後 模 型 為 log it( ˆ) π ˆ α + ˆ β i Design Variables Class Value azt y n - Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard Wald Parameter DF Estimate Error Chi-Square Pr > ChiSq Intercept -.397.394.484 <. azt y -.369.394 6.756.96 Odds Ratio Estimates Point 95% Wald Effect Estimate Confidence Limits azt y vs n.486.8.839 Obs azt race p 4/5

y white.476 n white.69 3 y black.476 4 n black.69 5/5