標題

3 二 元 二 次 方 程 式 的 化 簡 ( 甲 ) 化 簡 二 元 二 次 方 程 式 (1) 化 簡 二 元 二 次 方 程 式 : 二 次 曲 線 Γ:ax +xy+cy +x+y+f=0 ( 0),δ = 4ac 根 據 前 面 的 例 子 可 知, 不 管 δ>0 δ=0,δ <0, 我 們 先 轉 軸 消 去 xy 項, 再 移 軸, 化 成 標 準 式, 都 可 以 達 到 化 簡 Γ 的 方 程 式 為 標 準 式 的 目 的 但 是 對 於 有 心 錐 線 ( 有 對 稱 中 心 的 圓 錐 曲 線, 如 橢 圓 雙 曲 線 ), 先 移 軸 到 對 稱 中 心, 再 轉 軸 消 去 xy 項, 會 比 較 簡 便 化 簡 原 則 : 設 g(x,y)= ax +xy+cy +x+y+f=0,( 0).(1) (A) 檢 查 δ, 如 果 δ= 4ac 0, (a) 先 移 軸 至 新 原 點 O (h,k), 消 去 兩 個 一 次 項 係 數,(1) 化 簡 成 Γ:ax +x y +cy = f..(),( 移 軸 後 二 次 項 係 數 不 變 ), 其 中 新 原 點 坐 標 O h + k + = 0 (h,k) 滿 足, 解 出 (h,k), 得 到 f =g(h,k). h + ck + = 0 () 再 轉 軸 一 個 銳 角 θ, 其 中 cotθ= a c, 消 去 x y 項, 變 成 Γ:a x +c y = f ( 轉 軸 後 常 數 項 不 變 ), 即 可 將 Γ 化 成 標 準 式 (B) 檢 查 δ, 如 果 δ= 4ac=0 (a) 先 轉 軸 一 個 銳 角 θ, 其 中 cotθ= a c, 消 去 xy 項, (1) 化 簡 成 Γ:a x +c y + x + y +f=0( 轉 軸 後 常 數 項 不 變 ).(3), 此 時 (3) 中 a c 必 有 一 個 為 0 ( 後 面 會 說 明 ), 若 c =0, 則 (3) 會 變 成 Γ:a x + x + y +f=0 (4) () 當 0 時, 再 將 (4) 加 以 配 方, 再 移 軸 可 得 Γ 為 拋 物 線 當 =0 時, 則 Γ 可 能 為 兩 條 平 行 線 或 兩 條 重 合 直 線 或 沒 有 圖 形 [ 例 題 1] 利 用 坐 標 變 換, 將 二 次 曲 線 Γ:x +4xy+y 8x+y 8=0 化 成 標 準 式 Ans: y x 3 1 =1 ~ 3 1~

[ 例 題 ] 利 用 坐 標 變 換, 將 二 次 曲 線 Γ:x xy+y 8x 8y+16=0 化 成 標 準 式 Ans:y =4 x ( 練 習 1) 試 利 用 坐 標 變 換, 將 下 列 二 次 曲 線 化 簡 成 標 準 式 : (1)17x 1xy+8y +46x 8y+17=0 ()9x 4xy+16y 18x 101y+19=0 (3)x +4xy y 8x+0y+40=0 (4)xy=k Ans:(1)x +4y =4 ()y =3x (3)x 3y +78=0(4)x y =k ( 乙 ) 坐 標 變 換 的 不 變 量 從 前 面 的 討 論, 我 們 可 以 得 到 化 簡 一 般 二 次 曲 線 的 方 法 與 原 則, 根 據 這 些 原 則, 我 們 可 以 去 判 定 Γ 的 形 狀, 不 過 在 化 簡 過 程 中, 除 非 到 最 後, 否 則 無 法 判 別 出 Γ 的 形 狀 是 否 有 其 他 方 法 可 以 幫 助 我 們 來 更 快 達 成 化 簡 二 次 曲 線 方 程 式 的 目 的, 且 根 據 原 來 的 係 數 就 可 以 判 別 出 Γ 的 形 狀 呢? 數 學 家 在 坐 標 變 換 的 過 程 中 發 現 有 些 係 數 所 形 成 的 代 數 式 是 保 持 不 變, 利 用 這 些 係 數 所 形 成 的 代 數 式 我 們 就 可 以 根 據 原 方 程 式 的 係 數 來 判 斷 出 Γ 的 形 狀 (1) 不 變 量 : 定 理 : 二 次 曲 線 Γ:ax +xy+cy +x+y+f=0 中 經 過 移 軸 轉 軸 的 變 換 後, 其 係 數 所 形 成 的 代 數 式 : (1)H=a+c ()δ= 4ac (3) +(a c) (4) = 1 [ 證 明 ]: c f 的 值 都 不 會 改 變 [ 移 軸 ]: 設 移 軸 至 新 原 點 O x = x + h (h,k), 移 軸 公 式, 代 入 Γ 的 原 方 程 式 後 得 y = y + k ~ 3 ~

到 Γ:a x +x y +cy + x + y +f =0, 其 中 a =a, =,c =c, =h+k+, =h+ck+,f =ah +hk+ck +h+k+f 所 以 對 於 H δ +(a c) 而 言, 經 過 移 軸 顯 然 是 不 變 量 只 需 證 明 為 不 變 量 即 可 = 1 = 1 c h + k + f c h + ck + ( ah h + k + h + ck + + hk + ck ( 第 一 行 ( h) 第 二 行 ( k) 加 到 第 三 行 ) = 1 h + k + c h + ck + h + k + f ( 第 一 列 ( h) 第 二 列 ( k) 加 到 第 三 列 ) = 1 c f + h + k + x = x cosθ y sinθ [ 轉 軸 ]: 設 轉 軸 一 個 銳 角 θ, 轉 軸 公 式 代 入 Γ 的 原 方 程 式 後 y = x sinθ + y cosθ 得 到 Γ :a x + x y +c y + x + y +f =0 其 中 a =acos θ+ sinθ cosθ +csin θ, = sin cosθ +(cos θ sin θ)+csinθcosθ =cosθ (a c)sinθ c =asin θ sinθ cosθ +ccos θ = cosθ + sinθ = sinθ + cosθ f =f f ) 證 明 H 為 轉 軸 不 變 量 a +c =( acos θ+ sinθ cosθ +csin θ)+( asin θ sinθ cosθ +ccos θ) =a(cos θ+sin θ)+c(cos θ+sin θ) =a+c 證 明 +(a c) 為 轉 軸 不 變 量 +(a c ) =[ cosθ (a c)sinθ] +[sinθ+(a c)cosθ] = (cos θ+sin θ)+(a c) (sin θ+cos θ) = +(a c) 證 明 δ 為 轉 軸 不 變 量 4a c = +(a c ) (a +c ) = +(a c) (a+c) = 4ac ~ 3 3~

當 轉 軸 角 θ 滿 足 cotθ = a c (0<θ<π ) 時, +(a c ) = +(a c), 因 為 此 時 =0, 所 以 a c =± +(a c), 又 a c =(a c)cosθ +sinθ =(sinθ)[( a c sinθ>0 故 a c 的 正 負 號 與 的 正 負 號 相 同 )cotθ+1]= (sinθ)[( a c ) +1], 證 明 為 轉 軸 不 變 量 ( 補 充 僅 供 參 考 ) c f = c + +f c a =acos θ+ sinθ cosθ +csin θ, = sin cosθ +(cos θ sin θ)+csinθcosθ =cosθ (a c)sinθ c =asin θ sinθ cosθ +ccos θ = cosθ + sinθ = sinθ + cosθ f =f f c =f c ( 因 為 f =f, 且 4ac 為 不 變 量 ) c (cos θ sin θ ) ( a c)sinθ cosθ = sin θ sinθ cosθ + c cos θ cosθ + sinθ sinθ + cosθ =( )sinθcos θ+( c)sin θcosθ+( )sin 3 θ+( c)cos 3 θ =( )sinθ(cos θ+sin θ)+( c)cosθ(sin θ+cos θ) c = cosθ sinθ 同 理 可 證 明 : 所 以 c f c = sinθ cosθ = + c c = ( cosθ sinθ ) c = +f +f c c ( sinθ+ cosθ)+f = c f c ~ 3 4~

() 利 用 不 變 量 來 化 簡 方 程 式 : 二 次 曲 線 Γ :g(x,y)= ax +xy+cy +x+y+f=0 檢 查 δ= 4ac (A) δ= 4ac 0 先 移 軸 再 轉 軸 (a) 先 平 移 到 新 原 點 O h + k + = 0 (h,k) 消 去 x,y 項 係 數, 其 中 (h,k) 滿 足 h + ck + = 0 Γ:a x +x y +cy +f =0, 其 中 a =a, =,c =c,f =g(h,k), () 再 轉 軸 銳 角 θ, 消 去 x y 項, 其 中 cotθ= a c, Γ :a x +c y +f =0 因 為 +(a c ) = +(a c), 且 此 時 =0, 所 以 a c =± +(a c) a c =(a c)cosθ+sinθ=(sinθ)[( a c )cotθ+1]=(sinθ)[(a c ) +1], 且 sinθ>0 故 a c 的 正 負 號 與 的 正 負 號 相 同, a c =± +(a c) (>0, 取 正 號 ;<0, 取 負 號 ) 根 據 不 變 量 的 理 論 a +c =a +c =a+c, 所 以 可 以 解 出 a c,f =f = g(h,k) (B)δ= 4ac=0 先 轉 軸 再 移 軸 (a) 先 轉 軸 銳 角 θ 消 去 xy 項,cotθ= a c Γ:a x +c y + x + y +f =0 因 為 4a c = 4ac=0 4a c =0 a =0 或 c =0, 不 妨 設 c =0 Γ:a x + x + y +f =0, = cosθ+ sinθ, = sinθ+ cosθ,f =f () 再 移 軸 至 O (h,k),(h,k) 的 找 法 可 利 用 配 方 法 [ 例 題 3] 利 用 坐 標 變 換, 將 曲 線 Γ:5x +8xy+5y 18x 18y+9=0 化 成 標 準 式, 並 作 其 圖 形, 然 後 回 答 下 列 問 題 : (1)Γ 的 圖 形 名 稱 為 ()Γ 之 中 心 的 坐 標 為 (3)Γ 的 正 焦 弦 長 為 (4)Γ 的 焦 點 坐 標 為 (5)Γ 的 長 軸 所 在 的 直 線 方 程 式 為 Ans:(1) 橢 圓 ()(1,1) (3) 3 (4)( 1,3) 及 (3, 1) (5)x+y =0 ~ 3 5~

[ 例 題 4] 於 xy 平 面 上, 方 程 式 x +xy+y +8x 8y+16=0, 利 用 坐 標 移 軸 轉 軸 化 簡 方 程 式 成 標 準 式 Ans:x =4 y A C ( 練 習 ) 將 坐 標 軸 旋 轉 θ 角 ( cot θ = ), 使 得 曲 線 Γ: B Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+7=0 的 新 方 程 式 為 : A x +B x y +C y +D x +E y +F =0, 則 下 列 何 者 正 確? (A)A +C =A+C (B)A C =A C (C)A C= (A C) +B (D)B =0 (E) 4A C = B 4AC (F)F =7 (G)D +E =D+E Ans:(A)(D)(E)(F)(G) ( 練 習 3) 設 坐 標 系 S 旋 轉 18, 方 程 式 3x + 3 xy+y +x- 3 y=0 的 新 方 程 式 為 ax' +x'y'+cy' +x'+y'+f=0, 試 求 (1) a+c=?() -4ac=?(3) + =?(4) f=? Ans:(1) 4() 0(3) 16(4) 0 ( 練 習 4) 利 用 坐 標 變 換, 將 曲 線 Γ:5x 6xy+5y 4x 4y 4=0 化 成 標 準 式, 並 作 其 圖 形, 然 後 回 答 下 列 問 題 : (1)Γ 的 圖 形 名 稱 為 ()Γ 之 中 心 的 坐 標 為 (3)Γ 的 正 焦 弦 長 為 (4)Γ 的 焦 點 坐 標 為 (5)Γ 的 兩 對 稱 軸 所 在 的 直 線 方 程 式 為 ~ 3 6~

x y Ans:(1) 橢 圓 : + = 1 ()(1,1) (3)1 4 1 6 6 6 6 (4)( + 1, +1) 及 ( + 1, + 1) (5)x y=0 及 x+y =0 ( 練 習 5) 設 Γ : xy + 3x y = 10, 則 : (1) 中 心 坐 標 為,() 頂 點 坐 標 為, (3) 焦 點 坐 標 為,(4) 貫 軸 長 為, (5) 正 焦 弦 長 為,(6) 漸 近 線 方 程 式 為 (7) 標 準 式 : Ans:(1)(, 3) ()(4, 1) 與 (0, 5) (3) ( +, 3),( +, 3) (4) 4 (5) 4 x y (6)x =0 與 y+3=0 (7) = 1 8 8 ( 練 習 6) 設 二 次 曲 線 Γ : x + xy+ y 4x 1y =0, 則 : (1) 頂 點 坐 標 為,() 焦 點 坐 標 為, (3) 對 稱 軸 方 程 式 為,(4) 正 焦 弦 長 為, (5) 準 線 方 程 式 為 (6) 標 準 式 : 7 1 Ans:(1)(4,0) () (, ) (3)x+y=4 (4) (5)x y=5 (6) x = y ( 練 習 7) 求 橢 圓 Γ:5x 3xy+7y 4=0 於 第 一 象 限 的 頂 點 坐 標 3 Ans:(,1 ) (90 台 中 指 定 考 科 模 擬 測 驗 ) ( 丙 ) 二 次 曲 線 的 分 類 (1) 二 元 二 次 方 程 式 的 圖 形 : ax +xy+cy +x+y+f=0 稱 為 二 元 二 次 方 程 式 二 元 二 次 方 程 式 的 圖 形 共 可 分 成 9 類 : 1 圓 :x +y x 4y=5 (x 1) +(y ) =10 橢 圓 3 拋 物 線 合 稱 為 圓 錐 曲 線 4 雙 曲 線 5 二 相 交 直 線 :x xy y x 4y =0 (x+y+1)(x y )=0 6 二 平 行 直 線 :x xy+y +3x 3y+=0 (x y+1)(x y+)=0 7 一 直 線 :x xy+y +x y+1=0 (x y+1) =0 8 一 點 :x +y 4x 6y+13=0 (x ) +(y 3) =0 9 沒 有 圖 形 :x +y 4x 6y+14=0 (x ) +(y 3) = 1 退 化 的 圓 錐 曲 線 注 意 : 圓 一 定 沒 有 xy 項, 橢 圓 拋 物 線 雙 曲 線 可 能 有 xy 項 ( 歪 的 ) 橢 圓 拋 物 線 雙 曲 線 合 稱 圓 錐 曲 線, 因 為 可 以 用 平 面 截 圓 錐 而 成 ~ 3 7~

() 不 變 量 與 係 數 : 設 二 次 曲 線 Γ:g(x,y)=ax +xy+cy +x+y+f=0, (A) δ= 4ac 0 先 移 軸 若 Γ 經 移 軸 至 O (h,k) 後, 其 中 h,k 滿 足 h+k+=0 且 h+ck+=0 則 新 方 程 式 ax +x y +cy +g(h,k)=0, 其 中 g(h,k)= δ,δ= 4ac, = 1 c f [ 分 析 ]: 根 據 前 面 座 標 移 軸 轉 軸 的 說 明, 我 們 只 需 證 明 g(h,k)=ah +hk+ck +h+k+f = δ, 即 可 又 因 為 g(h,k)= 1 (h+k+)h+1 (h+ck+)k+1 (h+k+f)= 1 (h+k+f) 所 以 真 正 要 證 明 的 結 果 是 δ =1 (h+k+f) [ 證 明 ]: = 1 c f = 1 h + k + c h + ck + h + k + f = 1 0 c 0 h + k + f = 1 (h+k+f) c = 1 (h+k+f) ( δ), 故 得 證 根 據 上 面 的 結 果, 移 軸 之 後 方 程 式 為 ax +x y +cy = δ ~ 3 8~

再 轉 軸 移 軸 後 再 轉 軸 θ,(0<θ< π ),cotθ=a c, 得 新 方 程 式 a x +cy = δ 其 中 a +c =a+c,a c =± (a c) +,( 正 負 號 與 相 同 ) 圖 形 的 討 論 :(δ= 4ac 0) 對 於 二 次 曲 線 Γ:a x +cy = δ.(*) 而 言, 因 為 δ H 為 不 變 量, a +c =a+c=h,0 4a c = 4ac (a)δ= 4ac>0 a c <0 x y 0 時 (*) 可 化 為 + = 1, 所 以 Γ 為 雙 曲 線 a δ c δ =0 時,Γ 為 兩 相 交 直 線 ()δ= 4ac<0 a c >0 x y 0 時 (*) 可 化 為 + = 1, a δ c δ H =(a +c ) =(a+c) H <0 a 與 異 號 c 與 異 號 Γ 表 示 一 個 橢 圓 或 圓 H >0 a 與 同 號 c 與 同 號 Γ 無 圖 形 (B)δ= 4ac=0 先 轉 軸 a δ >0 且 δ >0 a δ,<0 且 δ <0 轉 軸 θ,(0<θ< π ),cotθ=a c, 得 新 方 程 式 a x +c y + x + y +f =0 因 為 δ 為 不 變 量,0 4a c =0 a c =0 所 以 a =0 或 c =0 不 失 一 般 性 下, 設 c =0, 得 a x + x + y +f =0 又 = 1 c f = 1 (a) 0 時, 0,Γ 為 拋 物 線 0 0 0 f = a () =0 時, =0 (a 0), 新 方 程 式 可 化 為 a x + x +f=0 若 4a f >0, 則 Γ 為 兩 平 行 線 若 4a f =0, 則 Γ 為 兩 重 合 線 若 4a f <0, 則 Γ 無 圖 形 ~ 3 9~

將 上 述 的 結 果 列 表 如 下 : δ δ>0 δ=0 δ<0 0 雙 曲 線 拋 物 線 =0 兩 相 交 直 線 兩 條 平 行 線 兩 條 重 合 直 線 無 圖 形 H <0: 橢 圓 H >0: 無 圖 形 一 點 [ 例 題 5] 請 判 斷 下 列 二 元 二 次 方 程 式 之 圖 形 為 何? (1)x xy+y x+y 1=0 ()x xy+y x+y+1=0 (3)x +4xy+4y +x+y =0 (4)x xy y +x y+1=0 (5)x 3xy 4y x 11y 6=0 Ans:(1) 橢 圓 () 拋 物 線 (3) 兩 平 行 直 線 (4) 雙 曲 線 (5) 相 交 兩 直 線 ~ 3 10~

[ 例 題 6] 求 雙 曲 線 x +4xy y 6y+3=0 之 漸 近 線 及 其 共 軛 雙 曲 線 Ans:x +4xy y 6y 3=0,x +4xy y 6y 9=0 [ 例 題 7] 請 問 當 k 的 條 件 為 何 時? 下 列 方 程 式 x +y +x+y+k(x +xy y )=0 表 示 (1) 橢 圓 () 雙 曲 線 (3) 拋 物 線 (4) 圓 (5) 相 交 兩 直 線 Ans:(1) 5 <k< 5,k 0 ()k< 或 5 5 <k< 或 k> (3)k=± (4)k=0 (5)k= 5 ( 練 習 8) 試 判 別 下 列 方 程 式 所 代 表 的 圖 形 (1)x +4xy+5y +x+4y 7=0 ()x xy y +5x y+5=0 (3)x xy y 8x+9=0 (4)4x 4xy+y +x+4y+1=0 (5)4x +1xy+9y +x+3y+1=0 Ans:(1) 橢 圓 () 雙 曲 線 (3) 兩 相 交 直 線 (4) 拋 物 線 (5) 兩 平 行 直 線 ( 練 習 9) 試 判 定 下 列 二 元 二 次 方 程 式 之 圖 形 為 何? (1) x + 4xy+ 4y x 4y 3= 0 的 圖 形 為 () x + 5xy+ 6y + y 1= 0 的 圖 形 為 (3) x 4xy+ 4y + x 4y+ 1= 0 的 圖 形 為 (4) x + 3xy+ 4y = 0 的 圖 形 為 ~ 3 11~

(5) x + y + x + y + 3 = 0 的 圖 形 為 Ans:(1) 平 行 兩 直 線 () 相 交 兩 直 線 (3) 一 直 線 (4) 一 點 (5) 沒 有 圖 形 ( 練 習 10) 求 xy+x 3y 1=0 之 (1) 中 心 () 共 軛 雙 曲 線 Ans:(1)(3, ) ()xy+x 3y 11=0 ( 練 習 11) 若 x +4xy+4y +kx+y 1=0 表 示 二 平 行 線, 則 k 的 值 為 ; 又 此 二 平 行 線 間 的 距 離 = Ans:k=1, 7 5 ( 練 習 1) 試 就 實 數 k 的 值 討 論 下 列 方 程 式 的 圖 形 : x 4xy+3y +x y+k=0 Ans:k < 3 4, 橢 圓 ;k = 3 4, 1 一 點 ( 1, );k > 3 4, 無 圖 形 [ 例 題 8] 坐 標 平 面 上, 當 點 P(x,y) 在 曲 線 x +xy+y x+6y+1=0 上 變 動 時, 點 P 到 直 線 x y+4=0 的 距 離 的 最 小 值 = (9 指 定 甲 ) Ans: 8 ( 練 習 13) 坐 標 平 面 上, 當 點 P(x,y) 在 曲 線 5x 6xy+5y 4x 4y 4=0 上 變 動 時, 點 P 到 直 線 x y 10=0 的 距 離 的 最 小 值 = Ans: 10 1 ~ 3 1~

綜 合 練 習 (1) 在 坐 標 平 面 上 以 Γ 表 示 拋 物 線 y=x 的 圖 形 試 問 以 下 哪 些 方 程 式 的 圖 形 可 以 由 Γ 經 適 當 的 平 移 或 旋 轉 得 到? (A)y=x (B)y= x (C)x=y (D)y=x +4x+3 (E)(x+y)=(x y) (95 指 定 甲 ) () 拋 物 線 Γ 的 準 線 為 x+y+=0, 焦 點 F(3,3), 現 在 將 轉 軸 銳 角 θ, 再 移 軸 至 O (h,k)[ 針 對 xy 坐 標 ], 方 程 式 可 化 為 y =4cx, 請 問 θ=?(h, k)=?c=? (3) k 為 正 奇 數, 方 程 式 kx 6xy+ky 8x+8y 1=0 之 圖 形 Γ 為 雙 曲 線, 則 (a) 試 求 k 之 值 () 將 坐 標 原 點 平 移 至 (h.k) 再 做 旋 轉 θ 角 度 (0<θ< π ), 使 Γ 的 方 程 x 式 標 準 化 成 A + y B =1, 試 求 序 對 (A,B)=? (c) 求 Γ 的 共 軛 雙 曲 線 之 方 程 式 (91 南 一 中 模 擬 考 ) (4) 假 設 甲 乙 是 兩 條 圓 錐 曲 線, 方 程 式 分 別 為 甲 :x +Bxy+Cy +Dx+Ey=1, 乙 :x +Bxy+Cy +Dx+Ey=, 請 問 下 列 敘 述 那 些 是 正 確 的? (A) 甲 乙 兩 條 曲 線 不 相 交 (B) 如 果 甲 的 圖 形 是 橢 圓, 乙 的 圖 形 也 是 橢 圓 (C) 如 果 乙 是 兩 條 相 交 直 線, 則 甲 的 圖 形 是 雙 曲 線 (D) 如 果 乙 在 坐 標 平 面 上 的 圖 形 是 甲 的 圖 形 往 上 平 移 一 單 位, 則 甲 乙 的 圖 形 均 為 拋 物 線 (E) 如 果 甲 的 圖 形 是 雙 曲 線, 乙 的 圖 形 也 是 雙 曲 線 (5) 下 列 方 程 式 所 表 示 的 圖 形 是 雙 曲 線 的 有 那 些? (A)4xy+3x =0 (B)5x +8xy y +x =0 (C)x +6xy+9y 3y+1=0 (D)x +xy+y +x 3y+6=0 (E)x +y +4x+4y+6=0 (9 台 北 指 定 考 科 模 擬 測 驗 甲 ) (6) 二 次 曲 線 Γ:ax +xy+cy +x+y+f=0 中, 經 過 移 軸 轉 軸 的 變 換 後, 下 列 那 些 值 不 會 改 變? (A) 4ac (B)a c (C)a+c (D)f (E)a++c (9 台 北 指 定 考 科 模 擬 測 驗 甲 ) (7) 已 知 P 為 橢 圓 Γ:5x 6xy+5y =8 上 一 點, 設 F 1 F 為 Γ 的 兩 個 焦 點 且 F 1 PF =90, 則 下 列 敘 述 何 者 正 確? 3 (A)(, ) 為 Γ 之 長 軸 端 點 坐 標 (B)(,3 ) 為 Γ 之 焦 點 坐 標 (C) 正 焦 弦 長 為 1 (D) F 1 PF 的 周 長 為 ( 3+) (E) F 1 PF 的 面 積 為 1 (9 台 北 指 定 考 科 模 擬 測 驗 甲 3) (8) 將 直 角 坐 標 平 面 上 的 兩 坐 標 軸 以 原 點 為 中 心, 旋 轉 θ 角 (0<θ< π ) 後, 原 曲 線 Γ 的 方 程 式 為 5x 14xy+5y =88 之 新 方 程 式 為 a(x ) +(y ) =1, 則 : ~ 3 13~

(A)θ= π 4 (B)a=1 9 (C)= 1 16 (D)( 14, 14 ) 為 原 曲 線 Γ 的 一 焦 點 (E)(, ) 為 原 曲 線 Γ 的 一 個 頂 點 (90 台 北 指 定 考 科 模 擬 測 驗 甲 1) (9) 在 坐 標 平 面 上,(8,6) (0,0) 分 別 為 橢 圓 Γ 上 的 長 軸 之 端 點 及 中 心 點, 且 短 軸 長 為 10 若 將 座 標 軸 旋 轉 一 個 角 度 θ(0<θ< π ) 後 可 將 Γ 的 方 程 式 變 長 標 準 式, 試 問 下 列 敘 述 何 者 為 真? (A)θ=tan 1 4 3 (B) x +y 旋 轉 後 的 新 方 程 式 為 100 5 =1 (C) 旋 轉 前 的 方 程 式 為 5x +7xy+73y =500 (D) 有 一 焦 點 其 原 坐 標 為 ( 4 3, 3 3) (E) 有 一 短 軸 的 端 點 其 原 座 標 為 (3, 4) (90 高 雄 女 中 模 擬 考 ) (10) 若 坐 標 平 面 上 滿 足 x + axy + y = 1上 的 點 ( x, y), 都 滿 足 x + y 1, 則 a 的 最 小 值 可 能 為 (93 指 定 甲 ) (11) 證 明 :xy=k (k 0) 的 方 程 式 為 一 等 軸 雙 曲 線 (1) 求 8x +10xy 3y x+4y =0 之 漸 近 線, 並 求 兩 漸 近 線 的 交 點 (13) 設 k 為 實 數, 試 就 k 的 值 來 討 論 x +kxy+y =1 所 代 表 的 圖 形 (14) 二 次 曲 線 Γ:kx +8xy+ky =1, 當 k= 時, 表 示 兩 平 行 線, 若 k 表 示 橢 圓, 則 k 的 範 圍 為 (15) 若 二 元 二 次 方 程 式 x 4xy+ky 3x+ly 4=0 的 圖 形 表 兩 平 行 直 線, 則 : (a) 數 對 (k,l)= () 此 兩 平 行 直 線 的 距 離 為 (16) a,,c 為 實 數, 若 二 元 二 次 方 程 式 3x 4xy+ 3y +ax+y+c=0 之 圖 形 為 相 交 二 直 線 L 1 L 之 聯 集 且 L 1 L 之 銳 夾 角 θ, 則 θ=? (A) π 6 (B)π 4 (C)π 3 (D)π (91 南 一 中 模 擬 考 ) (17) 設 k 為 實 數, 且 3x +kxy+(k 1)y 8x ky+6=0 圖 形 表 示 一 點, 則 (a) 求 k 之 值 () 此 點 坐 標 (91 高 雄 中 學 模 擬 考 ) (18) 求 曲 線 xy= 上 的 點 到 直 線 x+y=0 的 距 離 的 最 小 值 (19) 坐 標 平 面 上, 設 二 次 曲 線 Γ 的 方 程 式 為 x 3xy+y =1, 且 直 線 L:x=k 為 Γ 的 切 線, 則 下 列 何 者 為 真?(91 台 中 區 模 擬 考 3) (A)Γ 的 圖 形 為 拋 物 線 (B)k 有 兩 解 (C)y 有 最 大 值 (D)Γ 在 第 二 象 限 沒 有 圖 形 ~ 3 14~

(0) 關 於 曲 線 Γ:7x 8xy+y 30x+1y+18=0, 則 下 列 敘 述 何 者 正 確? 1 (A)Γ 之 中 心 坐 標 為 (1, ) (B)Γ 之 對 稱 軸 斜 率 為 和 (C)Γ 之 正 焦 弦 長 為 3 (D) 若 P(x,y) 為 Γ 上 任 一 點, 則 (x 1) +(y+) 之 最 小 值 為 1 (91 台 中 區 模 擬 考 ) 進 階 問 題 (1) 化 簡 方 程 式 x + y = a (a>0), 證 明 此 方 程 式 的 圖 形 為 與 兩 軸 相 切 的 一 段 拋 物 線, 並 求 其 頂 點 焦 點 坐 標 及 準 線 方 程 式 () 求 證 無 論 θ 為 何 值, 方 程 式 x tanθxy y +yscθ a =0 恆 代 表 兩 直 線, 且 兩 直 線 恆 各 過 一 定 點 並 請 求 出 θ 變 化 時 此 兩 直 線 交 點 的 軌 跡 (3) 設 二 實 數 x,y 滿 足 x +xy+y x 4y 6=0, 則 x 值 的 範 圍 為 (1) (B)(C)(D) () π 4,(1,1), 綜 合 練 習 解 答 (3) (a)k=1 ()(, 1) (c)x 6xy+y 8x+8y+4=0 (4) (A)(B)(C)(D) (5) (A)(B) (6) (A)(C) (7) (C)(D)(E)[(E) 提 示 : 移 軸 轉 軸 後 的 方 程 式 為 4 1 =1, 設 PF 1 =m, PF =n m+n==4,m +n =(c) =1 mn= F 1 PF 的 面 積 為 1] (8) (A)(D) (9) (B)(D)(E) (10) x y (11) 提 示 : 經 過 軸 轉 可 得 方 程 式 為 =k x + y (1) 8x +10xy 3y x+4y 1=0,( 1 7,3 7 ) (13) k > 雙 曲 線, k = 兩 平 行 直 線, k < 橢 圓 ( 含 圓 ) (14) 4,k>4 (15) (a) (4,6) () 5 [ 提 示 : 兩 平 行 直 線 4ac=0 ( 4) 4k=0 k=4 x 4xy+4y 3x+ly 4=0 雙 十 字 可 分 解 為 (x y 4)(x y+1)=0 l=6 兩 平 行 線 x y 4=0 及 x y+1=0 的 距 離 = 5 ] (16) (A)[ 提 示 : 原 方 程 式 可 化 為 ( 3x y+m)(x 3y+n)=0] (17) (a)k= ()(1,1) [ 提 示 :(a) 利 用 =0, 求 出 k= () 圖 形 代 表 的 點 即 為 對 稱 中 心 ] (18) 4 5 [ 設 與 x+y=0 平 行 的 切 線 為 x+y k=0, 與 xy= 聯 立 判 別 式 =0, 解 ~ 3 15~

出 k=±4, 再 計 算 切 線 到 x+y=0 的 距 離 ] (19) (B)(C) (0) (A)(D) (1) 頂 點 ( a 4,a 4 ), 焦 點 ( a,a ), 準 線 x+y=0 () 計 算 = 1 tanθ 0 tanθ scθ 0 scθ =0,δ=4sc θ>0, 所 以 方 程 式 代 表 兩 相 交 直 線 恆 過 點 (a cosθ,a sinθ ), 兩 直 線 交 點 的 軌 跡 為 圓 (3) 4 x 4 [ 提 示 : 將 方 程 式 視 為 y 的 一 元 二 次 方 程 式 y +(x 4)y+(x x 6)=0, 因 為 要 解 出 實 數 y, 因 此 y 的 判 別 式 =(x 4) 4 ( x x 6) 0, 藉 此 可 解 出 x 的 範 圍 ] ~ 3 16~