数 学 公 共 基 础 课 程 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 丛 书 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 主 编 刘 剑 平 施 劲 松 鲍 亮 曹 宵 临 上 海

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图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 / 刘 剑 平 等 主 编. 上 海 : 华 东 理 工 大 学 出 版 社,2012.9 ISBN978 7 5628 3345 1 Ⅰ.1 线 Ⅱ.1 刘 Ⅲ.1 线 性 代 数 研 究 生 入 学 考 试 自 学 参 考 资 料 Ⅳ.10151.2 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2012) 第 178675 号 数 学 公 共 基 础 课 程 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 丛 书 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 主 编 / 刘 剑 平 施 劲 松 鲍 亮 曹 宵 临 责 任 编 辑 / 郭 艳 责 任 校 对 / 张 波 封 面 设 计 / 肖 车 裘 幼 华 出 版 发 行 / 华 东 理 工 大 学 出 版 社 有 限 公 司 地 址 : 上 海 市 梅 陇 路 130 号,200237 电 话 :(021)64250306( 营 销 部 ) (021)64252174( 编 辑 室 ) 传 真 :(021)64252707 印 网 址 :press.ecust.edu.cn 刷 / 上 海 展 强 印 刷 有 限 公 司 开 本 /787mm 1092mm 1/16 印 字 版 印 张 /24.25 数 /586 千 字 次 /2012 年 9 月 第 1 版 次 /2012 年 9 月 第 1 次 书 号 /ISBN978 7 5628 3345 1 定 价 /49.80 元 联 系 我 们 : 电 子 邮 箱 :press@ecusteducn 官 方 微 博 :eweibocom/ecustpress

本 书 编 委 会 主 编 刘 剑 平 施 劲 松 鲍 亮 曹 霄 临 编 委 刘 剑 平 施 劲 松 鲍 亮 曹 霄 临 朱 坤 平 钱 夕 元 王 薇 邓 淑 芳 解 惠 青 陆 元 鸿 俞 绍 文 姬 超 林 爱 红 宋 洁 卢 俊 杰 温 涛 黄 文 亮 闫 中 凤 孙 叶 李 平 樊 国 号 雷 倩 倩 叶 炎 钧

前 言 线 性 代 数 是 高 等 学 校 理 工 科 和 经 济 学 科 专 业 的 一 门 主 要 的 基 础 课, 也 是 研 究 生 入 学 考 试 的 必 考 内 容. 由 于 线 性 问 题 广 泛 存 在 于 科 学 技 术 的 各 个 领 域, 而 某 些 非 线 性 问 题 在 一 定 条 件 下 可 转 化 为 线 性 问 题 得 以 解 决, 尤 其 是 计 算 机 的 日 益 普 及, 用 代 数 方 法 解 决 实 际 问 题, 已 渗 透 到 各 个 领 域, 显 示 出 其 重 要 性 和 实 用 性, 且 作 为 修 读 后 续 课 程 的 一 门 必 不 可 少 的 基 础 课 程, 更 决 定 其 地 位 的 重 要. 为 了 更 好 地 指 导 学 生 学 好 这 门 课 程, 加 深 对 所 学 内 容 的 理 解 和 掌 握, 提 高 其 综 合 运 用 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力, 以 及 帮 助 学 生 有 效 地 备 考, 我 们 编 写 了 这 本 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导, 其 目 的 是 为 广 大 教 师 提 供 一 本 好 的 参 考 书, 为 广 大 学 生 提 供 一 位 好 的 辅 导 老 师. 本 书 是 按 教 育 部 制 订 的 教 学 基 本 要 求 组 织 编 写, 内 容 包 括 矩 阵 行 列 式 线 性 代 数 方 程 组 向 量 矩 阵 特 征 值 问 题 二 次 型 及 线 性 空 间 和 线 性 变 换 等 7 章, 前 6 章 均 包 含 基 本 要 求 精 述, 基 本 内 容 精 讲, 典 型 例 题 精 析, 习 题 全 解, 考 研 试 题 精 选, 单 元 练 习 精 练, 单 元 练 习 精 解 等, 第 7 章 包 含 习 题 全 解. 本 书 可 作 为 大 学 本 科 专 科 专 升 本 的 学 生 学 习 线 性 代 数 的 辅 导 教 材, 也 可 供 参 加 硕 士 生 入 学 考 试 的 学 生 复 习 使 用. 本 书 通 过 基 本 要 求 精 述 基 本 内 容 精 讲 和 典 型 例 题 精 析, 不 仅 使 学 生 对 基 本 概 念 基 本 理 论 基 本 方 法 有 一 个 系 统 的 总 结, 而 且 对 理 解 各 概 念 之 间 的 关 系, 提 高 学 生 的 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力, 深 入 理 解 和 巩 固 知 识 无 疑 是 极 其 有 益 的. 每 章 后 有 单 元 练 习 精 练 及 精 解, 书 末 附 6 套 线 性 代 数 期 终 考 试 卷 历 年 研 究 生 入 学 考 试 题 5 套 考 研 模 拟 练 习 卷 及 其 答 案, 为 学 生 自 测 练 习 复 习 思 考 开 阔 视 野 提 供 了 很 好 的 材 料. 本 书 由 长 期 从 事 线 性 代 数 教 学 和 考 研 复 习 的 有 经 验 的 教 师 编 写 而 成, 由 刘 剑 平 施 劲 松 鲍 亮 曹 宵 临 主 编. 在 编 写 过 程 中 得 到 了 华 东 理 工 大 学 教 材 建 设 委 员 会 和 教 务 处 的 大 力 支 持, 得 到 了 鲁 习 文 教 授 李 建 奎 教 授 的 支 持 和 关 心, 在 此 表 示 衷 心 的 感 谢. 同 时, 对 编 写 过 程 中 给 予 过 建 议 的 全 体 线 性 代 数 数 学 团 队 成 员 表 示 感 谢. 在 编 写 中 难 免 存 在 不 妥 或 商 榷 之 处, 恳 请 读 者 指 教 并 提 出 宝 贵 意 见. 作 者 的 e mail 地 址 :liujianping60@163.com

目 录 第 1 章 矩 阵!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1.1 基 本 要 求 精 述!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1.2 基 本 内 容 精 讲!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1.2.1 矩 阵 的 概 念!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1.2.2 矩 阵 的 运 算!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2 1.2.3 矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 1.2.4 可 逆 矩 阵 的 定 义!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 1.2.5 可 逆 矩 阵 的 性 质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 1.2.6 可 逆 矩 阵 的 判 别 方 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 1.2.7 逆 矩 阵 的 计 算 方 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 1.2.8 分 块 矩 阵!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 1.3 典 型 例 题 精 析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7 1.3.1 矩 阵 乘 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7 1.3.2 方 阵 幂 的 计 算!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9 1.3.3 逆 矩 阵 的 计 算!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 13 1.3.4 求 解 矩 阵 方 程!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 17 1.3.5 有 关 矩 阵 可 逆 的 证 明 题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 18 1.3.6 综 合 题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 20 1.4 习 题 全 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 22 1.5 考 研 试 题 精 选!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 31 1.6 单 元 练 习 精 练!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 35 1.7 单 元 练 习 精 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 41 第 2 章 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 46 2.1 基 本 要 求 精 述!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 46 2.2 基 本 内 容 精 讲!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 46 2.2.1 行 列 式 的 定 义!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 46 2.2.2 行 列 式 的 性 质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 47 2.2.3 特 殊 行 列 式 的 值!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 47 2.2.4 分 块 矩 阵 对 应 的 行 列 式 公 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 48 2.2.5 与 矩 阵 运 算 有 关 的 行 列 式 公 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 49 2.2.6 行 列 式 的 计 算!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 49 2.2.7 行 列 式 的 应 用!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 49 2.2.8 与 行 列 式 有 关 的 结 论!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 50 2.3 典 型 例 题 精 析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 50 2.3.1 利 用 行 列 式 的 定 义 计 算 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 50 2.3.2 直 接 用 行 列 式 的 性 质 计 算 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 51

2 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 2.3.3 利 用 行 列 式 的 性 质 化 为 上 ( 下 ) 三 角 行 列 式 计 算!!!!!!!!!!!!!!!!!! 54 2.3.4 利 用 降 阶 法 计 算 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 57 2.3.5 利 用 升 阶 法 计 算 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 58 2.3.6 利 用 递 推 法 计 算 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 59 2.3.7 利 用 析 因 子 法 计 算 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 61 2.3.8 利 用 范 德 蒙 行 列 式 计 算 和 证 明!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 62 2.3.9 涉 及 矩 阵 运 算 的 行 列 式 计 算!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 63 2.3.10 利 用 分 块 行 列 式 公 式 计 算 行 列 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 64 2.3.11 行 列 式 的 应 用!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 67 2.3.12 综 合 题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 70 2.4 习 题 全 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 72 2.5 考 研 试 题 精 选!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 81 2.6 单 元 练 习 精 练!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 84 2.7 单 元 练 习 精 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 90 第 3 章 线 性 代 数 方 程 组!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 96 3.1 基 本 要 求 精 述!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 96 3.2 基 本 内 容 精 讲!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 96 3.2.1 矩 阵 秩 的 定 义!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 96 3.2.2 矩 阵 秩 的 性 质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 96 3.2.3 矩 阵 秩 的 有 关 结 论!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 97 3.2.4 矩 阵 秩 的 求 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 97 3.2.5 系 数 矩 阵 可 逆 的 线 性 代 数 方 程 组 的 求 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 97 3.2.6 齐 次 线 性 方 程 组!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 97 3.2.7 非 齐 次 线 性 方 程 组!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 98 3.3 典 型 例 题 精 析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 99 3.3.1 用 定 义 求 矩 阵 的 秩!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 99 3.3.2 用 初 等 变 换 法 求 矩 阵 的 秩!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 99 3.3.3 用 性 质 求 矩 阵 的 秩!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 100 3.3.4 用 有 关 结 论 求 矩 阵 的 秩!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 101 3.3.5 用 齐 次 方 程 的 基 础 解 系 求 矩 阵 的 秩!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 102 3.3.6 齐 次 线 性 方 程 组 的 求 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 102 3.3.7 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 求 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 104 3.3.8 逆 矩 阵 法 求 线 性 方 程 组 的 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 107 3.3.9 利 用 解 的 结 构 求 非 齐 次 方 程 组 的 通 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 107 3.4 习 题 全 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 108 3.5 考 研 试 题 精 选!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 119 3.6 单 元 练 习 精 练!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 122 3.7 单 元 练 习 精 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 128 第 4 章 向 量!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 131 4.1 基 本 要 求 精 述!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 131 4.2 基 本 内 容 精 讲!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 131 4.2.1 n 维 向 量!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 131

目 录 3 4.2.2 向 量 的 内 积!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 131 4.2.3 线 性 组 合 线 性 相 关 线 性 无 关 的 定 义!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 132 4.2.4 向 量 的 线 性 表 出 及 线 性 相 关 性 与 线 性 方 程 组 的 关 系!!!!!!!!!!!!!!! 132 4.2.5 向 量 的 线 性 相 关 性 的 有 关 结 论!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 132 4.2.6 向 量 组 的 极 大 无 关 组 与 向 量 组 的 秩!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 133 4.2.7 有 相 同 线 性 关 系 的 向 量 组!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 134 4.2.8 极 大 无 关 组 的 求 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 134 4.2.9 向 量 空 间!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 134 4.2.10 向 量 空 间 的 基 和 维 数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 134 4.2.11 施 密 特 正 交 化 方 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 135 4.2.12 标 准 正 交 基!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 136 4.2.13 正 交 矩 阵!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 136 4.2.14 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=0 的 解 空 间 (A 为 m n 矩 阵 )!!!!!!!!!!!!!!! 137 4.3 典 型 例 题 精 析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 137 4.3.1 向 量 α 可 由 向 量 组 β1, β2,, βm 线 性 表 出!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 137 4.3.2 线 性 相 关 性 的 判 定!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 139 4.3.3 有 关 线 性 表 出 与 线 性 相 关 性 的 证 明!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 140 4.3.4 求 向 量 组 的 极 大 无 关 组 与 秩!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 143 4.3.5 有 关 向 量 组 的 极 大 无 关 组 与 秩 的 计 算 及 证 明!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 144 4.3.6 利 用 向 量 证 明 有 关 矩 阵 秩 的 问 题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 146 4.3.7 齐 次 方 程 组 基 础 解 系 的 有 关 求 解 与 证 明!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 148 4.3.8 求 过 渡 矩 阵!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 150 4.3.9 有 关 正 交 基!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 151 4.4 习 题 全 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 153 4.5 考 研 试 题 精 选!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 165 4.6 单 元 练 习 精 练!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 171 4.7 单 元 练 习 精 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 177 第 5 章 矩 阵 特 征 值 问 题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 184 5.1 基 本 要 求 精 述!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 184 5.2 基 本 内 容 精 讲!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 184 5.2.1 特 征 值 与 特 征 向 量 的 定 义!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 184 5.2.2 特 征 值 与 特 征 向 量 的 求 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 184 5.2.3 特 征 值 与 特 征 向 量 的 性 质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 184 5.2.4 相 似 矩 阵 的 概 念!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 185 5.2.5 相 似 矩 阵 的 性 质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 185 5.2.6 n 阶 矩 阵 A 可 对 角 化 的 条 件!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 185 5.2.7 将 A 对 角 化 的 方 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 186 5.2.8 实 对 称 矩 阵 的 正 交 对 角 化!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 186 5.3 典 型 例 题 精 析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 186 5.3.1 特 征 值 与 特 征 向 量 的 计 算!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 186 5.3.2 由 特 征 值 或 特 征 向 量 的 概 念 确 定 矩 阵 中 的 某 些 元 素!!!!!!!!!!!!!!!! 189 5.3.3 有 关 特 征 值 与 特 征 向 量 的 证 明!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 192

4 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 5.3.4 利 用 特 征 值 证 明 矩 阵 的 可 逆 性!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 195 5.3.5 矩 阵 相 似 与 矩 阵 对 角 化 条 件!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 197 5.3.6 矩 阵 对 角 化 的 应 用!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 200 5.4 习 题 全 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 203 5.5 考 研 试 题 精 选!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 212 5.6 单 元 练 习 精 练!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 220 5.7 单 元 练 习 精 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 223 第 6 章 二 次 型!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 228 6.1 基 本 要 求 精 述!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 228 6.2 基 本 内 容 精 讲!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 228 6.2.1 二 次 型 及 其 矩 阵 形 式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 228 6.2.2 与 二 次 型 的 标 准 形 有 关 的 概 念!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 228 6.2.3 化 二 次 型 为 标 准 形 的 方 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 229 6.2.4 化 二 次 型 为 规 范 形 的 方 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 230 6.2.5 正 定 二 次 型 和 正 定 矩 阵 的 概 念!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 230 6.2.6 正 定 矩 阵 的 判 别 方 法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 230 6.2.7 正 定 矩 阵 的 有 关 结 论!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 231 6.3 典 型 例 题 精 析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 231 6.3.1 实 对 称 阵 的 正 交 对 角 化 和 用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 形 问 题!!!!!!!!!!!! 231 6.3.2 用 配 方 法 化 二 次 型 为 标 准 型!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 235 6.3.3 与 二 次 型 的 标 准 形 有 关 的 问 题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 237 6.3.4 正 定 矩 阵 的 判 别 与 证 明!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 240 6.3.5 利 用 二 次 型 的 知 识 解 决 综 合 问 题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 243 6.4 习 题 全 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 245 6.5 考 研 试 题 精 选!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 251 6.6 单 元 练 习 精 练!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 255 6.7 单 元 练 习 精 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 258 第 7 章 线 性 空 间 与 线 性 变 换!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 262 7.1 习 题 全 解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 262 附 录 1 线 性 代 数 期 终 试 卷 精 选!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 268 附 录 1.1 试 卷!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 268 附 录 1.2 答 案 及 提 示!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 279 附 录 2 1987 年 2012 年 硕 士 生 入 学 考 试 各 类 数 学 试 卷 中 线 性 代 数 试 题 汇 编!!!! 285 附 录 2.1 试 卷!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 285 附 录 2.2 答 案 及 提 示!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 323 附 录 3 硕 士 生 入 学 考 试 模 拟 练 习 卷!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 361 附 录 3.1 练 习 卷!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 361 附 录 3.2 答 案 及 提 示!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 370 参 考 文 献!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 377

第 1 章 矩 阵 1.1 基 本 要 求 精 述 (1) 理 解 矩 阵 的 概 念, 掌 握 常 见 的 特 殊 矩 阵 及 其 性 质. (2) 熟 练 掌 握 矩 阵 的 线 性 运 算 乘 法 运 算 转 置 运 算 及 其 运 算 规 律. (3) 理 解 逆 矩 阵 的 概 念, 掌 握 逆 矩 阵 的 性 质 及 求 逆 矩 阵 的 方 法. (4) 熟 练 掌 握 矩 阵 的 初 等 变 换, 了 解 初 等 矩 阵 的 性 质 及 其 与 初 等 变 换 可 逆 矩 阵 的 关 系. 知 道 矩 阵 的 标 准 形 分 解. (5) 了 解 分 块 矩 阵 及 其 运 算. 1.2 基 本 内 容 精 讲 1.2.1 矩 阵 的 概 念 (1) 定 义 由 m n 个 元 素 aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n) 排 成 的 m 行 n 列 的 矩 形 元 素 表 熿 a11 a12 a1n A= a21 a22 a2n 燀 am1 am2 a mn 燅 称 为 m n 维 ( 阶 ) 矩 阵, 简 记 为 A=(aij) m n. 注 1 本 书 中 我 们 讨 论 的 主 要 是 实 矩 阵, 即 A 的 元 素 aij 为 实 数 的 情 形. 注 2 当 m=n 时, 称 A 为 n 阶 方 阵. 注 3 称 Am n 与 Bm n 为 同 维 ( 阶 ) 矩 阵, 如 果 两 个 同 维 矩 阵 A 与 B 的 对 应 元 素 相 等, 则 A=B. (2) 特 殊 矩 阵 零 矩 阵 : 元 素 全 为 零 的 矩 阵, 记 作 O. 行 矩 阵 :A=[a1,a2,,an] 熿 a1 列 矩 阵 :A= a2 燀 a m 燅

2 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 熿 a11 a12 a1n 三 角 阵 :A= 0 a22 a2n 称 为 上 三 角 阵, 满 足 aij=0(i>j) 燀 0 0 a nn 燅 熿 a11 0 0 a21 a22 0 A= 称 为 下 三 角 阵, 满 足 aij=0(i<j) 燀 an1 an2 a nn 燅 熿 a11 0 0 0 a22 0 对 角 阵 :A= Δ diag(a11,a12,,ann), 满 足 aij=0(i j) 燀 0 0 a nn 燅 熿 k 数 量 阵 :diag(k,k,,k)= k 燀 k 燅 熿 1 单 位 阵 :diag(1,1,,1)= 1, 常 记 作 In 或 I, 有 时 也 记 作 En 或 E. 燀 1 燅 对 称 阵 : A=A T, 满 足 aij=a ji (i,j=1,2,,n) 反 对 称 阵 :A=-A T, 满 足 aij=-a ji (i,j=1,2,,n) 注 1 行 ( 列 ) 矩 阵 通 常 称 为 行 ( 列 ) 向 量, 并 习 惯 用 小 写 字 母 表 示, 其 每 一 元 素 称 为 分 量, 分 量 个 数 称 为 向 量 的 维 数. 注 2 上 述 所 列 的 特 殊 矩 阵, 除 零 矩 阵 行 或 列 矩 阵 外, 均 为 方 阵. 注 3 注 4 对 反 对 称 阵 A=(aij) 来 说, 必 有 ai=0 (i=1,2,,n). 任 一 方 阵 A 均 可 表 为 一 个 对 称 阵 与 一 个 反 对 称 阵 之 和, 即 A= 1 2 ( A+A T )+ 1 2 ( A-A T ) 1.2.2 矩 阵 的 运 算 (1) 加 法 : 设 ) ) A=(aij m n,b=(bij m n, 则 ) A+B=(aij+bij m n. 条 件 : 同 维 矩 阵 才 能 相 加. 运 算 规 则 : 交 换 律 A+B=B+A 结 合 律 (A+B)+C=A+(B+C) 零 元 素 A+O=A 负 元 素 A+(-A)=O (2) 数 乘 : 设 ) A=(aij m n,k 为 数, 则 ) ka=(kaij m n 运 算 规 则 : 分 配 律 k(a+b)=ka+kb

第 1 章 矩 阵 3 结 合 律 k(la)=(kl)a 零 元 素 0A=O 1 元 素 1A=A, (-1)A=-A (3) 乘 法 : 设 A=(aij) m s,b=(bij) s n, 则 AB=(cij) m n, 其 中 s cij = aikbkj =ai1b1j +ai2b2j + +aisbsj(i=1,2,,m;j=1,2,,n) k=1 条 件 : 左 边 矩 阵 的 列 数 等 于 右 边 矩 阵 的 行 数. 运 算 规 则 : 结 合 律 分 配 律 注 1 Am nin=imam n=a. (AB)C=A(BC),(kA)B=k(AB),k 为 任 意 数 (A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB 注 2 交 换 律 不 满 足, 即 AB BA. 若 AB=BA 称 A,B 可 交 换 相 乘. 注 3 消 去 律 不 满 足, 即 若 AB=AC,A O \B=C. 但 当 A 可 逆 时 必 有 B=C. 注 4 方 阵 的 幂 : 设 A,B 是 n 阶 方 阵. (ⅰ) 指 数 法 则 :A k A l =A k+l,(a k ) l =A kl (k,l 为 正 整 数 ) (ⅱ) 矩 阵 多 项 式 : 设 m 次 多 项 式 f(x)=amx m +am-1x m-1 + +a1x+a0 则 f(a)=ama m +am-1a m-1 + +a1a+a0i 是 一 个 n 阶 矩 阵. (ⅲ) 若 AB=BA, 则 A 2 -B 2 =(A-B)(A+B),(A±B) 2 =A 2 ±2AB+B 2,(AB) 2 =A 2 B 2 一 般 有 (A+B) m =C 0 ma m +C 1 ma m-1 B+ +C m-1 m AB m-1 +C m mb m (m 为 自 然 数 ) (4) 转 置 : 设 A= A T 或 A. 熿 a11 a12 a1n a21 a22 a2n 燀 am1 am2 a mn 燅, 则 熿 a11 a21 am1 a12 a22 am2 燀 a1n a2n a 运 算 规 则 :(A T ) T =A, (A+B) T =A T +B T, (ka) T =ka T (k 为 数 ), (AB) T =B T A T 1.2.3 矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 mn 燅 (1) 矩 阵 的 初 等 行 变 换 初 等 列 变 换 统 称 为 初 等 变 换, 有 如 下 三 类 : 第 一 类, 将 A 的 第 i 行 ( 列 ) 与 第 j 行 ( 列 ) 对 换, 记 作 rij(cij). 第 二 类, 以 非 零 常 数 k 乘 A 的 第 i 行 ( 列 ), 记 作 ri(k)(ci(k)). 第 三 类, 将 A 的 第 i 行 ( 列 ) 的 k 倍 加 到 第 j 行 ( 列 ) 上, 记 作 rij ( k)(cij ( k)). (2) 单 位 阵 I 经 过 一 次 初 等 变 换 后 得 到 的 矩 阵 称 为 初 等 矩 阵. I槇 ri jrij, (k ) I槇 ri Ri (k), I rij( k) 槇 Rij (k), I槇 ci jcij, (k ) I槇 ci Ci (k), I cij( k) 槇 Cij (k). 其 中, ( Rij=Cij Ri(k)=Ci(k),Rij k)=c ji (k). (3) 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 之 间 的 关 系 称 为 A 的 转 置 阵, 记 作

4 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 初 等 矩 阵 左 ( 右 ) 乘 A, 相 当 于 对 A 进 行 一 次 相 应 的 初 等 行 ( 列 ) 变 换, 例 如 A 槇 ri jb RijA=B, A 槇 ci j B ACij=B. 注 1 若 矩 阵 A 经 过 有 限 次 初 等 变 换 得 到 矩 阵 B, 则 称 B 与 A 等 价, 此 时 必 有 等 式 Rs R1AC1 Ct=B 成 立, 其 中 R1,,Rs 与 C1,,Ct 均 为 初 等 矩 阵. 注 2 秩, 称 矩 阵 任 一 矩 阵 A 经 有 限 次 初 等 变 换 后 均 可 化 为 形 如 Ir O O O 为 A 的 标 准 形. Ir O O O 的 矩 阵, 其 中 r 为 A 的 1.2.4 可 逆 矩 阵 的 定 义 设 A 为 n 阶 方 阵, 若 存 在 n 阶 方 阵 B, 使 AB=BA=I, 则 称 A 为 可 逆 矩 阵, 称 B 为 A 的 逆 矩 阵. 注 1 可 逆 矩 阵 A 必 是 方 阵, 其 逆 必 唯 一, 记 作 A -1, 即 有 AA -1 =A -1 A=I 注 2 可 逆 矩 阵 又 称 为 非 退 化 阵 或 非 奇 异 阵 或 满 秩 阵, 不 可 逆 阵 又 称 为 退 化 阵 或 奇 异 阵 或 降 秩 阵. 1.2.5 可 逆 矩 阵 的 性 质 (1) 若 A 可 逆, 则 A T,A -1 均 可 逆, 且 (A -1 ) -1 =A, (A T ) -1 =(A -1 ) T (2) 若 A 可 逆, 数 k 0, 则 ka 可 逆, 且 (ka) -1 = 1 k A-1 (3) 若 A,B 是 同 阶 可 逆 阵, 则 AB 可 逆, 且 (AB) -1 =B -1 A -1 注 1 若 A,B 为 同 阶 的 可 逆 矩 阵,A+B 不 一 定 可 逆. 注 2 初 等 矩 阵 都 是 可 逆 阵, 且 其 逆 也 是 初 等 矩 阵. 1 Rij -1 =Rij, Ri -1 (k)=ri ( k ), Rij -1 (k)=rij(-k) 因 此, 对 任 一 矩 阵 A, 必 存 在 可 逆 阵 P Q, 使 PAQ= Ir O O O, 这 称 为 A 的 标 准 形 分 解. 1.2.6 可 逆 矩 阵 的 判 别 方 法 (1) 利 用 定 义 : 若 A,B 为 同 阶 方 阵, 且 AB=I 或 BA=I, 则 必 有 A 可 逆, 且 A -1 =B. (2) 利 用 行 列 式 : 若 A 0, 则 A 可 逆. (3) 利 用 性 质 (3): 将 矩 阵 分 解 成 可 逆 矩 阵 的 乘 积, 则 A 可 逆. (4) 利 用 矩 阵 的 秩 :A 为 n 阶 方 阵, 若 r(a)=n, 则 A 可 逆. (5) 利 用 线 性 方 程 组 : 若 n n 方 程 组 Ax=b 有 唯 一 解, 则 A 可 逆. (6) 利 用 向 量 组 的 线 性 无 关 性 : 若 方 阵 A 的 行 ( 或 列 ) 向 量 组 线 性 无 关, 则 A 可 逆. (7) 利 用 初 等 矩 阵 : 若 A 可 分 解 为 有 限 个 初 等 矩 阵 之 积, 则 A 可 逆. (8) 利 用 特 征 值 : 证 明 数 零 不 是 A 的 特 征 值, 则 A 可 逆.

第 1 章 矩 阵 5 (9) 利 用 反 证 法 : 这 是 常 用 方 法. 1.2.7 逆 矩 阵 的 计 算 方 法 (1) 利 用 初 等 变 换 注 1 注 2 ( A 行 变 换 I) 槇 ( IA -1 ) 或 对 ( A I)~( IA -1 ) 只 能 用 行 初 等 变 换. ( I) A( ~ I -1 ) A 对 只 能 用 列 初 等 变 换. A 列 变 换 ( I) 槇 若 A 可 逆 且 AX=B, 则 X=A -1 B 可 由 初 等 行 变 换 求 得 (2) 利 用 伴 随 阵 行 变 换 (A B) 槇 (I A -1 B) I -1 A( ) A -1 = 1 (1.5) A A 注 在 具 体 计 算 时 这 一 公 式 适 用 于 较 低 阶 的 矩 阵. (3) 利 用 分 块 矩 阵, 见 1.2.8. (4) 凑 法 当 条 件 中 有 矩 阵 方 程 时, 通 过 矩 阵 运 算 规 律 从 矩 阵 方 程 中 凑 出 AB=I 的 形 式, 从 而 可 得 A -1 =B, 这 一 方 法 适 用 于 抽 象 矩 阵 求 逆. 1.2.8 分 块 矩 阵 (1) 定 义 用 若 干 条 纵 线 和 横 线 把 一 个 矩 阵 分 成 若 干 个 小 块, 每 一 小 块 称 为 矩 阵 的 一 个 子 块 或 子 矩 阵, 则 以 这 些 子 块 为 元 素 的 原 矩 阵 称 为 分 块 矩 阵. (2) 运 算 进 行 分 块 矩 阵 的 加 减 乘 法 和 转 置 运 算, 可 将 子 矩 阵 当 作 通 常 矩 阵 的 元 素 看 待. 注 1 同 维 矩 阵, 只 有 用 同 样 的 分 块 方 法 分 块 时, 才 能 进 行 分 块 相 加. 注 2 分 块 乘 法 只 有 当 左 边 矩 阵 的 列 分 法 与 右 边 矩 阵 的 行 分 法 一 致 时 才 能 进 行. 注 3 分 块 转 置 除 了 行 列 互 换 外, 每 一 子 块 也 须 转 置, 即 若 熿 A11 A12 A1r 则 A= A21 A22 A2r 燀 As1 As2 A sr 燅 熿 A11 T A21 T As1 T A T A T 12 A22 T As2 T = 燀 A T 1r A T 2r As T r 燅

6 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 这 一 点 容 易 忽 视. (3) 利 用 分 块 矩 阵 求 逆 阵 对 分 块 对 角 阵 熿 A1 A= 燀 若 Ai(i=1,2,,s) 可 逆, 则 A 可 逆 且 A1-1 熿 A -1 = 燀 对 熿 A2 A2-1 A s 燅 As -1 A1 燅 A= 燀 As 若 Ai(i=1,2,,s) 可 逆, 则 A 可 逆, 且 A2 燅 对 A -1 = 熿 A1-1 燀 A= B D O C A -1 s-1 As -1 燅 或 A= B O D C 其 中 B 为 m m 可 逆 阵,C 为 n n 可 逆 阵, 则 A 可 逆, 且 A -1 = B-1 -B -1 DC -1 B -1 O 或 A -1 = -1 [ O C -C -1 DB -1-1 ] C 注 当 矩 阵 的 零 元 素 较 多 时, 可 考 虑 分 块, 使 高 阶 矩 阵 的 运 算 转 化 为 低 阶 矩 阵 的 运 算, 这 是 简 化 矩 阵 运 算 的 一 个 途 径. (4) 用 列 ( 行 ) 分 块 推 得 的 结 论 若 A=(aij ) m n=[α1,α2,,αn]= 熿 β T 1 β T 2 燀 β T m 燅 T 其 中 αj 是 A 的 第 j 列 (j=1,2,,n), βi 是 A 的 第 i 行 (i=1,2,,m), 又 设 e j 是 单 位 阵 In 的 第 j 列,ei 是 单 位 阵 Im 的 第 i 列, 则 有

第 1 章 矩 阵 7 Aej=αj e T ia=β T i e T iaej=aij (j=1,2,,n) (i=1,2,,m) (i=1,2,,m,j=1,2,,n) 则 A -1 的 计 算 也 可 转 化 为 方 程 组 Aαi=ei(i=1,2,,n) 的 求 解 问 题. (5) 关 于 正 交 阵 定 义 : 若 AA T =I, 即 A T =A -1, 称 A 为 正 交 阵. 结 论 : 将 A 列 分 块 A=[α1,α2,,αn], 则 由 A T A=I 可 得 αiαj= 0,i j, { T 1,i=j. 同 理, 由 AA T =I 可 得 A 的 行 向 量 组 具 有 同 样 的 结 论. 1.3 典 型 例 题 精 析 1.3.1 矩 阵 乘 法 例 1 设 A= [ 2 1 ] 解 AB= 2 1-4 -2-4 -2, B= 3-1 -6 2, 求 AB,BA,A 2. 3-1 BA= 3-1 -6 2-6 2 = 0 0 0 0 2 1 2 1 A 2 = 2 1-4 -2 注 1 AB BA, 交 换 律 不 满 足. -4-2 = -20-10 10 5-4 -2 = 0 0 0 0 注 2 A O,B O, 可 有 AB=O,A 2 =O. 注 3 AB=A 2,A O, 但 A B, 消 去 律 不 满 足. 例 2 已 知 A= [ 1 1 ] 0 1, 求 与 A 可 交 换 的 所 有 矩 阵. 解 解 法 一 若 B 与 A 可 交 换, 则 由 AB=BA 知,B 必 为 二 阶 方 阵. 设 B= b11 b12 b21 22 b 根 据 AB=BA, 有, 则 b11 b12 AB= 1 1 0 1 b21 BA= [ b11 b12 b 21 ] b22 = b11+b21 b12+b22 b21 22 b22 b 1 1 0 1 = b11 b11+b12 b 21 b 21+b 22

8 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 其 为 烄 b11+b21=b11 b12+b22=b11+b12 烅 b21=b21 烆 b22=b21+b 22 解 得 b21=0,b11=b22, 由 此 得 到 与 A 可 交 换 的 任 一 矩 阵 是 其 中 b11,b12 为 任 意 实 数. 解 法 二 将 A 分 解 为 B= b11 b12 11 0 b 0 1 A= 1 1 0 1 = 1 0 0 1 + 0 1 0 0 =I+ 0 1 0 0 由 于 单 位 阵 I 与 任 何 同 阶 方 阵 都 可 交 换, 故 问 题 变 为 求 与 B= b11 b12 b21 b22 b11 b12 = b21 b22 b21 b22 0 0 BC= b11 b12 0 1 b21 22 21 CB= 0 1 0 0 b 0 0 = 0 b11 0 b 由 CB=BC 得 b21=0,b11=b22,b12 任 意, 故 与 A 可 交 换 的 矩 阵 为 其 中 b11 和 b12 是 任 意 常 数. B= b11 b12 11 0 b 0 0 =C 可 交 换 的 矩 阵, 设 T 例 3 已 知 α= 1 2, 1 0,,0, 2 由 于 α T α= 1 2, 1 0,,0, 2 是 n 维 列 向 量,A=I-αα T,B=I+2αα T, 求 AB 与 BA. 解 显 然 A B 均 为 n 阶 方 阵, 由 矩 阵 运 算 规 律 可 得 AB =[I-αα T ][I+2αα T ]=I+2αα T -αα T -2αα T αα T =I+(1-2α T α)αα T 熿 1 2 0 0 = 1 4 +1 4 =1 2, 所 以 AB=I. 1 燀 2燅 由 于 A B 是 同 阶 方 阵, 故 由 AB=I, 可 得 必 有 BA=I. 注 1 对 n 维 列 向 量 α 来 说,αα T 与 α T α 有 很 大 不 同, 由 此 也 说 明 任 意 矩 阵 A,A T A 与

第 1 章 矩 阵 9 AA T 未 必 相 同, 应 看 仔 细, 不 能 混 为 一 谈. 注 2 作 矩 阵 运 算 时, 应 尽 量 先 根 据 运 算 规 则 进 行 符 号 运 算, 最 后 再 将 具 体 数 字 代 入 算 得 结 果. 例 4 某 公 司 为 了 技 术 革 新, 计 划 对 职 工 实 行 分 批 脱 产 轮 训, 已 知 该 公 司 现 有 2000 人 正 在 脱 产 轮 训, 而 不 脱 产 职 工 有 8000 人, 若 每 年 从 不 脱 产 职 工 中 抽 调 30% 的 人 脱 产 轮 训, 同 时 又 有 60% 脱 产 轮 训 职 工 结 业 回 到 生 产 岗 位, 设 职 工 总 数 不 变, 令 0.7 0.6 A=,X= 8000 0.3 0. 4 2000 试 用 A 与 X 通 过 矩 阵 运 算 表 示 一 年 后 和 两 年 后 的 职 工 状 况, 并 据 此 计 算 届 时 不 脱 产 职 工 与 脱 产 职 工 各 有 多 少 人. 解 一 年 后 职 工 状 况 为 不 脱 产 职 工 6800 人, 轮 训 职 工 3200 人. 两 年 后 职 工 状 况 为 A[ 6800 ] 不 脱 产 职 工 6680 人, 轮 训 职 工 3320 人. AX= [ 6800 ] 3200 3200 =A2 X= 6680 3320 例 5 设 A B 是 n 阶 矩 阵, 且 满 足 A 2 =A,B 2 =B 及 (A+B) 2 =A+B 求 证 AB=O. 证 由 于 (A+B) 2 =A 2 +AB+BA+B 2, 故 由 已 知 可 得 AB+BA=O 两 边 分 别 左 右 乘 A, 得 AB+ABA=O 及 ABA+BA=O 故 AB+BA=-2ABA 代 入 AB+BA=O 可 得 ABA=O, 进 而 有 AB=O. 1.3.2 方 阵 幂 的 计 算 常 用 方 法 有 :(1) 利 用 乘 法 结 合 律. (2) 递 推 法. (3) 利 用 数 学 归 纳 法. (4) 利 用 分 块 矩 阵. (5) 利 用 矩 阵 对 角 化.

10 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 2 3 [ -1 2 1 2 = 1 0 ] [ n] = I n=2k 例 6 设 P= 2 3 1 2, Λ= 1 0 0-1, Q= 2-3 -1 2, A=PΛQ, 计 算 QP 及 A n. 解 QP= 2-3 0 1 =I ; Λ n = 1 0 0 (-1) { Λ n=2k +1 A n =[PΛQ] n =[PΛQ][PΛQ] [PΛQ] =PΛ(QP)Λ(QP)Λ (QP)ΛQ=PΛ n Q = PQ n=2k 烄 I n=2k { PΛQ n=2k +1 = 烅 7-12 烆 4-7 n=2k +1 熿 1-1 -1-1 -1 1-1 -1 例 7 已 知 A=, 求 A n. -1-1 1-1 燀 -1-1 -1 1 燅 解 ( 递 推 法 ) 熿 4 4 因 为 A 2 =AA= 4 燀 =4I, 所 以 A 3 =A 2 A=2 2 A, 于 是 4 燅 当 n 为 偶 数 时,A n =(A 2 ) n 2 =(2 2 I) n 2 =2 n I 当 n 为 奇 数 时,A n =A n-1 A=(2 n-1 I)A=2 n-1 A 熿 3 4 0 0 4-3 0 0 例 8 设 A=, 求 A 4. 0 0 2 0 燀 0 0 2 2 燅 熿 3 4 0 0 4-3 0 0 解 A= = [ B1 O ], 其 中 B1= [ 3 4 ] 0 0 2 0 O B2 4-3, B2= [ 2 0 ] 2 2, 燀 0 0 2 2 燅 于 是 A 4 = B4 1 O, 而 B 2 1= 4 [ 25 0 ] O B2 0 25 =25I, 故 又 B 2 2=2 1 0 2 1 1 1 0 1 0 1 1 =22 2 1, 故 B 4 1=25 2 I=5 4 I. 1 0 B 4 2=2 1 0 4 2 1 4 0 [ 4] 2 1 = 2 2 6 2

第 1 章 矩 阵 11 所 以 熿 5 4 0 0 0 0 5 4 0 0 A 4 = 0 0 2 4 0 燀 0 0 2 6 4 2燅 熿 1 0 1 例 9 设 A= 0 1 0, 求 A n. 燀 0 0 1 燅 解 解 法 一 由 于 I 与 B 可 交 换, 故 熿 1 0 0 熿 0 0 1 A= 0 1 0 + 0 0 0 =I+B 燀 0 0 1 燅 燀 0 0 0 燅 n A n = C k ni n-k B k k=0 又 I n-k =I,B 2 =O, 从 而 B k =O (k=2,3, n), 所 以 注 熿 1 0 n A n =C 0 ni n +C 1 ni n-1 B=I+nB= 0 1 0 燀 0 0 1 燅 这 种 解 法 一 般 来 说 是 将 A 写 成 A=B+C, 然 后 用 二 项 式 展 开, 但 注 意 前 提 条 件 是 BC=CB 且 C m =O(m 很 小 ). 解 法 二 熿 1 0 2 熿 1 0 3 因 为 A 2 =AA= 0 1 0, A 3 =A 2 A= 0 1 0, 燀 0 0 1 燅 燀 0 0 1 燅 观 察 这 些 结 果, 可 看 出 规 律, 得 到 熿 1 0 4 A 4 =A 3 A= 0 1 0 燀 0 0 1 燅 熿 1 0 n A n = 0 1 0 燀 0 0 1 燅 此 结 论 正 确 与 否, 还 须 用 数 学 归 纳 法 证 明, 显 然 n=2 成 立, 假 设 n=k 时 成 立 当 n=k+1 时, 有 熿 1 0 k A k = 0 1 0 燀 0 0 1 燅

12 线 性 代 数 解 题 分 析 与 考 研 辅 导 熿 1 0 k 熿 1 0 1 熿 1 0 k+1 A k+1 =A k A= 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 燀 0 0 1 燅 燀 0 0 1 燅 燀 0 0 1 燅 故 n=k+1 时 结 论 亦 成 立, 于 是 上 述 结 果 正 确. 解 法 三 ( 利 用 列 分 块 ) 将 A 列 分 块 A=[α1,α2,α3]=[e1,e2,e1+e3], 其 中 ei(i=1,2,3) 为 I3 的 第 i 列, 则 由 Aei=αi 得 A 2 =A[e1,e2,e1+e3]=[Ae1,Ae2,Ae1+Ae3] =[α1,α2,α1+α3]=[e1,e2,2e1+e3] A 3 =A[e1,e2,2e1+e3]=[α1,α2,2α1+α3]=[e1,e2,3e1+e3] 假 设 n=k 时 成 立 A k =[e1,e2,ke1+e3], 则 当 n=k+1 时, A k+1 =A[e1,e2,ke1+e3]=[α1,α2,kα1+α3] =[e1,e2,(k+1)e1+e3] 由 数 学 归 纳 法 知, 对 一 切 n 有 熿 1 0 n A n =[e1,e2,ne1+e3]= 0 1 0 燀 0 0 1 燅 解 法 四 ( 利 用 初 等 矩 阵 ) 熿 1 0 0 显 然,A 是 初 等 矩 阵 C13(1), 则 A n =IAA A, 相 当 于 对 I= 0 1 0 施 行 n 次 列 初 等 烏 烐 烑 n 个 A 燀 0 0 1 燅 变 换 ( 将 第 1 列 加 到 第 3 列 ), 得 熿 1 0 n A n = 0 1 0 燀 0 0 1 燅 例 10 设 f(x)=x 3-3x 2 +3x+2, 以 f(a) 表 示 矩 阵 A 的 多 项 式 A 3-3A 2 +3A+2I, 熿 1-1 0 即 f(a)=a 3-3A 2 +3A+2I, 如 果 A= 0 1-1, 求 f(a). 燀 0 0 1 燅 解 解 法 一 熿 0 1 0 令 B= 0 0 1, 则 容 易 计 算 B 3 =O, 由 于 A=I-B, 所 以 燀 0 0 0 燅 f(a)=(i-b) 3-3(I-B) 2 +3(I-B)+2I =I-3B+3B 2 -B 3-3I+6B-3B 2 +3I-3B+2I =3I 解 法 二

第 1 章 矩 阵 13 3 熿 0-1 0 由 于 A 3-3A 2 +3A-I=(A-I) 3 = 0 0-1 =O, 所 以 燀 0 0 0 燅 f(a)=(a-i) 3 +3I=3I 熿 1 0 1 例 11 设 A= 0 2 0,n 为 大 于 1 的 正 整 数, 求 A n -2A n-1. 燀 1 0 1 燅 解 解 法 一 先 求 出 A 的 方 幂 的 一 般 公 式 可 得 到 于 是 于 是 熿 2 0 2 A 2 = 0 4 0 =2A 燀 2 0 2 燅 A k =2 k-1 A (k=1,2,,n) A n -2A n-1 =2 n-1 A-2 2 n-2 A=O 解 法 二 A n -2A n-1 =A n-1 (A-2I) 从 而 当 n 2 时, 有 1.3.3 逆 矩 阵 的 计 算 熿 -1 0 1 A-2I= 0 0 0 燀 1 0-1 燅 熿 1 0 1 熿 -1 0 1 A(A-2I)= 0 2 0 0 0 0 =O 燀 1 0 1 燅 燀 1 0-1 燅 A n -2A n-1 =A n-1 (A-2I)=O 熿 0 2 0 例 12 (1) 设 A= 0 0-3, 求 A -1. 燀 4 0 0 燅 熿 O A1 O (2) 设 A= O O A2, 其 中 Ai(i=1,2,3) 是 可 逆 方 阵, 求 A -1. 燀 A3 O O 燅 解 (1) 解 法 一 ( 初 等 变 换 法 ) 熿 0 2 0 1 0 0 [A I]= 0 0-3 r 熿 4 0 0 0 0 1 13 0 1 0 槇 0 0-3 0 1 0 燀 4 0 0 0 0 1 燅 燀 0 2 0 1 0 0 燅