第 14 卷 第 1 期 中 国 水 利 水 电 科 学 研 究 院 学 报 Vol.14 No.1 2016 年 1 月 Journal o China Institute o Water Resources and Hydropower Research February,2016 文 章 编 号 1672-3031(2016)01-0016-07 组 合 网 格 法 在 无 压 稳 定 渗 流 中 的 应 用 1,2 1,2 张 顺 福, 丁 留 谦 (1. 中 国 水 利 水 电 科 学 研 究 院 防 汛 抗 旱 减 灾 研 究 所, 北 京 100038;2. 水 利 部 防 洪 抗 旱 减 灾 中 心, 北 京 100038) 摘 要 针 对 无 压 稳 定 渗 流 分 析 过 程 中 常 遇 到 的 线 形 结 构 问 题, 提 出 将 组 合 网 格 法 应 用 于 无 压 稳 定 渗 流 计 算 采 用 两 套 独 立 的 网 格, 对 整 体 区 域 采 用 尺 寸 较 大 的 粗 网 格 进 行 模 拟, 不 考 虑 线 形 结 构 的 影 响, 在 线 形 结 构 附 近 则 采 用 尺 寸 比 较 小 的 细 网 格 进 行 模 拟, 考 虑 线 形 结 构 的 影 响 计 算 在 粗 细 两 套 网 格 之 间 迭 代 调 整, 直 到 达 到 收 敛 精 度 组 合 网 格 法 大 大 简 化 离 散 工 作 量, 且 适 应 于 非 规 则 网 格 数 值 计 算 结 果 表 明, 组 合 网 格 法 合 理 可 行, 计 算 程 序 可 靠, 这 为 线 形 结 构 的 无 压 稳 定 渗 流 分 析 提 供 了 一 种 思 路 和 方 法 关 键 词 无 压 稳 定 渗 流 ; 组 合 网 格 ; 线 形 结 构 ; 改 进 初 流 量 法 ; 有 限 单 元 法 中 图 分 类 号 TV139.14 文 献 标 识 码 A doi10.13244/j.cnki.jiwhr.2016.01.003 1 研 究 背 景 在 饱 和 无 压 稳 定 渗 流 有 限 元 数 值 模 拟 中, 常 常 会 遇 到 这 样 一 些 结 构, 它 们 在 某 一 方 向 的 尺 寸 与 整 体 计 算 区 域 相 比 非 常 小, 比 如 岩 体 中 大 量 存 在 的 断 层 蚀 变 带 软 弱 夹 层 等 结 构 面 ; 土 石 坝 中 常 用 的 土 工 膜 防 渗 面 板 防 渗 心 墙 防 渗 帷 幕 等 局 部 构 造 等 等 ( 为 方 便 描 述, 下 文 中 统 称 这 些 结 构 为 [1] 线 形 结 构 或 奇 异 区 域 ) 当 这 些 结 构 中 的 水 流 运 动 可 以 忽 略 不 计 的 时 候, 可 以 采 用 结 点 双 编 号 或 内 [2] 部 隔 水 边 界 对 这 些 结 构 进 行 处 理, 否 则 对 这 些 结 构 需 要 进 行 精 细 离 散, 但 这 些 结 构 在 某 一 方 向 的 尺 寸 可 能 达 到 厘 米 甚 至 毫 米 级 别, 与 整 体 模 拟 区 域 的 尺 寸 相 差 太 远, 根 据 有 限 元 误 差 理 论, 为 保 持 计 算 精 度 其 它 区 域 必 然 也 需 要 精 细 的 离 散, 从 而 导 致 离 散 所 需 结 点 数 目 和 单 元 数 目 将 会 大 大 增 加, 且 考 虑 到 结 构 的 空 间 特 性, 整 体 计 算 区 域 的 离 散 难 度 将 会 大 幅 度 提 升, 计 算 所 需 时 间 也 大 大 增 加, 甚 至 到 达 一 般 计 算 机 难 以 承 受 的 程 度 对 于 这 类 局 部 特 性 强 烈 的 线 形 结 构, 一 般 是 采 用 非 规 则 网 格 局 部 加 密 的 方 法 对 这 些 结 构 及 其 附 近 区 域 进 行 局 部 的 离 散 加 密, 但 局 部 加 密 网 格 法 的 要 求 比 较 高, 不 仅 要 求 整 个 计 算 区 域 的 网 格 质 量 很 好, 而 且 还 要 求 网 格 的 尺 寸 过 渡 非 常 光 滑, 这 些 条 件 在 二 维 情 况 下 尚 且 能 够 很 好 的 满 足, 但 在 三 维 情 况 下, 对 复 杂 区 域 的 非 规 则 网 格 划 分 常 常 遇 到 下 述 问 题 直 接 划 分 失 败, 划 分 成 功 但 单 元 质 量 差, 或 者 划 分 成 功 但 单 元 尺 寸 过 渡 不 光 滑 等 为 避 免 局 部 加 密 所 遇 到 的 问 题, 一 种 可 行 的 方 案 是 采 用 非 拟 一 致 网 格 (Non-conorming Grid) 技 术, 非 拟 一 致 网 格 技 术 的 主 要 思 想 是 将 整 体 区 域 分 解 为 相 互 之 间 只 在 区 域 表 面 有 交 集 的 不 重 叠 小 区 域, 区 域 采 用 独 立 的 网 格 离 散, 区 域 之 间 不 需 要 满 足 网 格 协 调 的 要 求, 区 域 之 间 的 连 续 性 条 件 通 过 多 点 约 束 技 术 (Multiple-Point Constraints) 实 现, 通 过 运 用 这 种 局 部 区 域 协 调 整 体 区 域 非 协 调 的 网 格 离 散 方 式, 达 到 不 同 的 局 部 区 域 上 采 用 不 同 的 网 格 离 散 或 者 不 同 的 数 值 计 算 方 法 的 目 的, 也 就 是 说 [3] 可 以 在 某 个 区 域 采 用 有 限 元 方 法 进 行 计 算, 而 在 其 它 区 域 采 用 有 限 体 积 或 者 有 限 差 分 进 行 计 算 非 拟 一 致 网 格 技 术 很 好 的 将 局 部 特 性 控 制 在 小 范 围 内, 使 局 部 区 域 的 特 性 不 至 于 导 致 整 体 计 算 的 急 剧 增 长 但 有 效 的 适 应 局 部 特 性 目 标 往 往 与 计 算 求 解 过 程 相 冲 突, 包 括 (1) 由 于 离 散 尺 寸 的 差 收 稿 日 期 2015-08-04 基 金 项 目 中 国 科 技 部 国 际 合 作 项 目 (2010DFA74520) 作 者 简 介 张 顺 福 (1982-), 男, 广 西 人, 博 士, 工 程 师, 主 要 从 事 渗 流 与 控 制 研 究 E-mailzhangshunu@live.cn 16
异 变 化 而 导 致 方 程 求 解 器 会 降 低 效 率 甚 至 求 解 失 败 ;(2) 由 于 考 虑 了 非 结 构 网 格, 数 据 结 构 变 得 繁 琐 ;(3) 计 算 机 体 系 结 构 可 能 会 不 能 够 高 效 的 处 理 非 规 则 网 格 的 影 响 ( 比 如, 向 量 化 被 抑 制 );(4) 即 使 是 在 离 散 过 程 中, 这 个 目 标 也 会 带 来 重 重 困 难, 对 于 有 限 差 分 格 式 而 言, 很 难 为 非 规 则 网 格 构 造 出 相 应 的 高 精 度 差 分 格 式 ; 对 于 有 限 元 计 算 而 言, 一 组 质 量 好 的 非 结 构 化 网 格 的 自 动 生 成 意 味 着 高 额 的 花 销 [4-6] 为 避 免 非 拟 一 致 网 格 的 困 境,Mc Cormick [6] 提 出 了 一 种 有 叠 加 的 区 域 分 解 法 快 速 自 适 应 组 合 网 格 (FAC) 方 法 FAC 方 法 首 先 形 成 一 套 对 应 于 整 体 区 域 的 规 则 粗 网 格, 然 后 对 规 则 粗 网 格 上 相 应 于 关 注 的 局 部 区 域 形 成 一 套 或 者 多 套 与 整 体 粗 网 格 嵌 套 的 细 网 格, 计 算 的 时 候 先 对 粗 网 格 求 解, 然 后 将 粗 网 格 的 计 算 结 果 通 过 延 拓 算 子 延 伸 到 细 网 格 上, 进 而 获 得 细 网 格 上 的 误 差, 将 这 些 误 差 再 通 过 [7-8] 限 定 算 子 返 回 粗 网 格 上, 粗 细 网 格 之 间 循 环 迭 代, 反 复 对 误 差 进 行 校 正 直 至 收 敛 由 于 规 则 网 的 处 理 ( 离 散 与 求 解 ) 相 对 不 规 则 网 而 言 要 容 易 得 多, 从 而 使 得 快 速 自 适 应 组 合 网 格 (FAC) 方 法 成 为 非 常 有 效 的 方 法, 但 是 快 速 自 适 应 组 合 网 格 (FAC) 方 法 高 效 性 有 2 个 基 本 要 求 (1) 嵌 套 和 结 构 化 或 规 则 的 网 格 又 往 往 成 为 其 应 用 的 限 制 条 件, 由 于 工 程 实 际 问 题 中 区 域 的 复 杂 性 使 得 规 则 网 格 和 嵌 套 的 规 则 网 格 往 往 很 难 甚 至 无 法 得 到 ;(2)FAC 方 法 相 关 的 数 值 计 算 格 式 以 嵌 套 为 基 础, 如 果 不 满 足 嵌 套 条 件, 那 么 几 乎 所 有 相 关 的 计 算 都 无 从 下 手 这 些 均 使 得 FAC 的 应 用 收 到 了 限 制 为 此, 本 文 引 入 一 种 改 进 的 快 速 自 适 应 组 合 网 格 法 组 合 网 格 法 (Composite Grid Method, CGM) CGM 继 承 了 FAC 反 复 在 粗 细 两 套 网 格 进 行 误 差 校 正 的 思 想, 并 且 可 以 使 用 非 规 则 网 格, 细 [9] 网 格 和 粗 网 格 相 互 独 立, 不 要 求 网 格 嵌 套 组 合 网 络 法, 该 方 法 已 广 泛 应 用 于 水 工 结 构 油 田 开 采 数 [10-11] [12] [13] [14-16] 值 模 拟 电 磁 场 电 磁 机 械 耦 合 焊 接 数 值 模 拟 等 领 域 2 无 压 稳 定 渗 流 基 本 理 论 [17] 根 据 微 分 体 质 量 守 恒 定 律, 在 渗 流 区 域 D, 三 维 地 下 水 稳 定 渗 流 微 分 方 程 为 - 3 v i + W = 0 (,2,3 ) (1) x i 式 中 x i 为 笛 卡 尔 直 角 坐 标 系 的 坐 标 轴 ;v i 为 沿 坐 标 轴 x i 方 向 的 渗 流 速 度,m/s;W 为 源 或 汇 项,1/s, 以 获 得 水 流 为 正 同 时 满 足 Darcy 定 律 3 v i = - k ij (,2,3 ) (2) x j 式 中 k ij 为 渗 透 系 数 ;H 为 总 水 头,m,H = x 3 + p γ ;p 为 孔 隙 水 压 强,Pa;γ 为 水 的 容 重,N/m 3 定 解 条 件 如 下 ( 如 图 1 所 示 ) (1) 定 水 头 边 界 Γ 1 H Γ1 = H 0 ( x 1,x 2,x 3 ) (3) (2) 流 量 边 界 Γ 2 ( 以 流 入 为 正 ) æ ç k ij ø (3) 自 由 面 边 界 Γ 3 æ H Γ3 = x 3, 且 ç x 1,x 2,x 3 (4) x j n i Γ 2 = q ( ) k ij n x i = 0 (5) j ø Γ 3 图 1 渗 流 计 算 边 界 条 件 17
(4) 渗 流 逸 出 边 界 Γ 4 æ H Γ = x 3, 且 4 ç k ij n x i < 0 (6) j ø Γ 4 式 中 H 0 为 已 知 水 头 函 数,m;q 为 已 知 流 量,m 3 /s;n i 为 边 界 外 法 线 方 向 余 弦 求 解 [18] 无 压 稳 定 渗 流 控 制 方 程 属 于 椭 圆 型 偏 微 分 方 程, 本 文 采 用 基 于 子 域 积 分 改 进 的 初 流 量 法 进 行 3 组 合 网 格 法 原 理 3.1 组 合 网 格 法 基 本 思 想 组 合 网 格 法 是 一 种 有 叠 加 的 区 域 分 解 算 法, 其 基 本 思 想 是 采 用 粗 网 格 和 细 网 格 两 套 网 格 进 行 分 析 计 算, 粗 网 格 对 应 整 个 区 域, 不 考 虑 线 形 结 构 的 影 响, 细 网 格 则 为 包 含 线 形 结 构 在 内 的 局 部 区 域 两 套 网 格 之 间 反 复 迭 代 直 至 收 敛, 网 格 之 间 的 信 息 交 互 通 过 网 格 空 间 位 置 插 值 实 现, 网 格 之 间 无 需 嵌 套, 因 此 适 应 性 [19] 强, 规 则 网 格 和 非 规 则 网 格 均 可 使 用 组 合 网 格 法 是 文 献 [20-21] 所 提 出 的 方 法 的 改 进 从 数 学 上 证 明 了 用 两 套 网 格 所 求 得 的 数 值 解 可 以 在 粗 网 格 区 域 达 到 粗 网 格 的 精 度, 在 细 网 格 区 域 达 到 细 网 格 的 精 度, 从 理 论 上 证 明 了 组 合 网 格 法 的 有 效 性 3.2 算 法 描 述 对 于 图 2 所 示 的 整 体 区 域 = c ( 下 标 c L c 图 2 L 计 算 区 域 [18,22-24] c 分 别 代 表 细 网 格 区 域 及 细 网 格 以 外 的 区 域 ), 考 虑 采 用 初 流 量 法 进 行 求 解 的 三 维 无 压 稳 定 渗 流 问 题 ì L c v = c c í (7) îl u = v Γ = u Γ 式 中 u v 分 别 为 细 网 格 区 域 未 知 量 及 细 网 格 以 外 区 域 的 水 头 值 ;L p = 3 v 0 æ x ç k ij 为 相 应 区 域 i x j ø i 的 偏 微 分 算 子 ; p = -W x p,v 0 [22] i 为 初 始 流 速,W p 为 相 应 区 域 的 源 或 汇 项 ;Γ = c 为 两 个 区 i 域 的 交 界 的 边 界 采 用 尺 寸 比 较 大 的 粗 网 格 T H 对 整 体 区 域 进 行 网 格 剖 分, 得 到 有 限 元 离 散 空 间 S H ; 采 用 尺 寸 比 较 小 的 细 网 格 T h 对 区 域 也 进 行 网 格 剖 分, 得 到 有 限 元 离 散 空 间 S h 根 据 虚 位 移 原 理, 式 (7) 对 应 的 虚 功 方 程 为 式 中,( a,b ) = a T bd ì í î v,δv ) =( c c,δv ) c ( L u,δu ) = ( ),δu ;v Γ = u Γ (8) 将 式 (8) 中 两 式 相 加 并 注 意 到 ( v ) = ( u c ) ; ( δv ) = ( δu ), 整 理 可 得 ì í î v - c,δv ) = u c - c,δv ) - ( ) ( L u,δu ) = ( ) L u -,δv (9),δu ;v Γ = u Γ 18
令 细 网 格 上 的 基 函 数 为 { Φ j } n, 粗 网 格 上 的 基 函 数 为 { Ψ j } n c, 它 们 之 间 存 在 关 系 Ψ = DΦ, 其 中 æ d 11 d 1L D = ç 为 插 值 矩 阵,L 为 粗 网 格 单 元 结 点 个 数,n ç d n c 分 别 为 细 网 格 和 粗 网 格 结 点 总 个 数 n 1 d n L ø 推 导 得 到 边 界 Γ 上 满 足 [19] 组 合 网 格 在 无 压 稳 定 渗 流 中 的 应 用 张 顺 福 丁 留 谦 n c n v = v j ψ j = V T Ψ;u = u j Φ j = U T Φ (10) U = D T V (11) 3.3 程 序 编 制 组 合 网 格 算 法 在 三 维 稳 定 无 压 渗 流 计 算 中 实 现 的 具 体 流 程 如 图 3 [25] 所 示, 其 中 a 场 代 表 粗 网 格 区 域,b 场 代 表 采 用 细 网 格 控 制 参 数 的 细 网 格 区 域,c 场 代 表 采 用 粗 网 格 控 制 参 数 的 细 网 格 区 域,U U c 分 别 为 b 场 和 c 场 的 水 头 值 据 此 编 制 了 相 应 的 三 维 有 限 元 程 序 IIFM3DS-CGM [25] 初 始 化 ; 迭 代 步 n=0, Uc U V 赋 初 值 n=n+1 计 算 a 场 V n+1 插 值 获 得 细 网 格 边 界 条 件 Γ = D T V n + 1 b 场 对 a 场 的 修 正 ( L Φ - ( L c 场 对 a 场 的 修 正 Φ - ( c 计 算 修 正 项 D é ù ( ë ê L c Φ ú - ( c - D é ù ( û ë ê L Φ ú - ( û 图 3 计 算 流 程 4 算 例 某 无 限 长 土 坝 宽 100.5 m 高 30.0 m, 中 部 有 0.5 m 的 垂 直 心 墙, 心 墙 距 离 上 游 50.0 m, 如 图 4 所 示 心 墙 和 坝 壳 均 为 各 向 同 性 材 料, 上 游 水 位 为 30.0 m, 下 游 水 位 为 6.0 m 坝 长 方 向 取 单 位 长 度, 采 用 组 合 网 格 法, 用 细 网 格 模 拟 心 墙 及 其 上 下 游 17.0 m 区 域 范 围, 整 体 区 域 则 用 粗 网 格 进 行 离 散, 其 中 细 网 格 心 墙 处 的 六 面 体 单 元 尺 寸 为 0.125 m 1 m 0.25 m, 心 墙 上 下 游 2 m 范 围 内 单 元 尺 寸 为 0.25 m 1 m 0.25 m, 其 它 区 域 单 元 尺 寸 为 1 m 1 m 0.25 m, 如 图 5 粗 网 格 不 考 虑 心 墙 的 影 响, 单 元 尺 寸 大 小 0.995 m 1 m 1 m, 如 图 6 为 验 证 组 合 网 格 法 的 精 度, 文 中 同 时 采 用 较 细 的 网 格 对 整 体 区 域 进 行 离 散, 整 体 细 网 格 在 心 墙 及 其 上 下 游 17 m 的 范 围 内 采 用 与 图 6 一 样 的 网 格 剖 分, 其 它 区 域 用 尺 寸 为 1 m 1 m 0.25 m 的 单 元 进 行 离 散 表 1 给 出 了 坝 壳 渗 透 系 数 k 1 与 心 墙 渗 透 系 数 k 2 不 同 比 值 下, 组 合 网 格 法 计 算 得 到 的 心 墙 下 游 出 水 19
Z X 图 4 计 算 模 型 Z X 图 5 不 考 虑 心 墙 的 整 体 区 域 及 相 应 粗 网 格 剖 分 ( 组 合 网 格 法 ) Z X 图 6 考 虑 心 墙 的 局 部 区 域 及 相 应 细 网 格 剖 分 ( 组 合 网 格 法 ) 表 1 心 墙 下 游 出 水 点 高 程 比 较 k1/k2 组 合 网 格 /m 整 体 细 网 格 /m 相 对 误 差 /% 10 21.931 21.700 1.1 100 19.477 19.048 2.3 1000 10.429 10.328 1.0 10000 6.500 6.591-1.4 点 高 程 与 整 体 区 域 细 网 格 的 计 算 结 果 比 较, 从 表 1 可 以 看 到, 组 合 网 格 法 计 算 的 结 果 与 整 体 区 域 细 网 格 的 计 算 结 果 基 本 一 致, 最 大 误 差 为 2.3 % 图 7 给 出 了 不 同 渗 透 系 数 比 值 条 件 下, 组 合 网 格 法 计 算 得 到 的 心 墙 附 近 自 由 面 与 整 体 区 域 细 网 格 计 算 结 果 的 比 较 从 图 7 可 以 看 到, 组 合 网 格 法 的 计 算 结 果 与 整 体 区 域 细 网 格 的 结 果 非 常 接 近 5 结 语 无 压 稳 定 渗 流 有 限 元 分 析 中, 线 形 结 构 增 加 了 计 算 区 域 的 离 散 难 度 本 文 介 绍 了 组 合 网 格 法 的 20
图 7 组 合 网 格 与 整 体 细 网 格 的 自 由 面 比 较 基 本 原 理, 并 将 其 引 入 到 稳 定 无 压 渗 流 有 限 元 分 析 中, 为 线 形 结 构 的 模 拟 提 供 了 一 种 新 思 路 由 于 组 合 网 格 的 粗 细 网 格 可 以 独 立 生 成, 因 此 组 合 网 格 法 对 线 形 结 构 的 网 格 剖 分 具 有 较 强 的 适 应 性, 能 极 大 的 简 化 无 压 渗 流 计 算 的 网 格 剖 分 工 作 组 合 网 格 法 在 粗 网 格 区 域 达 到 粗 网 格 的 精 度, 在 细 网 格 区 域 达 到 细 网 格 的 精 度 结 合 改 进 的 初 流 量 法 给 出 了 稳 定 无 压 渗 流 组 合 网 格 算 法 格 式 和 计 算 流 程, 并 编 制 了 相 应 的 三 维 有 限 元 程 序 IIFM3DS-CGM 采 用 垂 直 心 墙 算 例 对 算 法 和 程 序 进 行 了 验 证, 结 果 证 明 算 法 是 合 理 的, 程 序 是 有 效 的 可 信 的 本 文 的 研 究 成 果 还 需 结 合 实 际 工 程 进 行 更 深 入 的 研 究 参 考 文 献 [ 1 ] 王 浩 然, 朱 国 荣. 淄 博 市 孝 妇 河 源 区 地 下 水 资 源 的 开 发 利 用 研 究 [J]. 高 校 地 质 学 报,2000,4(2) 198-204. [ 2 ] 薛 禹 群, 谢 春 红. 水 文 地 质 学 的 数 值 法 [M]. 北 京 煤 炭 工 业 出 版 社,1980. [ 3 ] Bernardi C,Maday Y,Patera A. Domain decomposition by the mortar inite element method[j]. Asymptotic and Numerical Methods or PDEs with Critical Parameters,1993,384269-286. [ 4 ] Mc Cormick S,Thomas J. The ast adaptive composite grid(fac)method or elliptic equations[j]. Mathematics o Computation,1986,46439-456. [ 5 ] 吕 涛, 石 济 民, 林 振 宝. 区 域 分 解 算 法 [M]. 北 京 科 学 出 版 社,1992. [ 6 ] Mc Cormick S. Fast adaptive composite grid(fac)methodstheory or the variational case[j]. Deect Correction Methods Computing Supplementum,1984,5115-121. 21
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