壹 前 言 解 開 2048 的 謎 一 研 究 動 機 最 近 我 們 都 很 熱 衷 於 2048 這 款 遊 戲, 遊 戲 方 法 非 常 簡 單, 但 是 想 要 達 成 2048 卻 很 難, 每 次 只 差 臨 門 一 腳 就 能 達 到 2048, 因 此 都 沒 有 成 功 過 於

投 稿 類 別 : 數 學 類 篇 名 : 解 開 2048 的 謎 作 者 : 陳 思 嘉 新 竹 市 立 建 功 高 中 高 二 7 班 曹 子 涵 新 竹 市 立 建 功 高 中 高 二 7 班 指 導 老 師 : 詹 佩 珊 老 師

壹 前 言 解 開 2048 的 謎 一 研 究 動 機 最 近 我 們 都 很 熱 衷 於 2048 這 款 遊 戲, 遊 戲 方 法 非 常 簡 單, 但 是 想 要 達 成 2048 卻 很 難, 每 次 只 差 臨 門 一 腳 就 能 達 到 2048, 因 此 都 沒 有 成 功 過 於 是 我 們 就 決 定 要 來 研 究, 用 甚 麼 方 法 達 到 2048 比 較 容 易, 又 或 者 和 出 現 方 塊 2 和 方 塊 4 的 比 例 是 不 是 有 關 聯 此 外, 當 我 們 從 網 路 上 得 知 一 些 2048 遊 戲 策 略 後, 依 著 該 原 則 進 行 遊 戲 時, 果 然 順 利 達 到 比 較 高 的 分 數, 但 到 最 後 就 變 成 單 純 的 滑 動, 於 是 我 們 就 想 研 究 看 看 是 不 是 有 某 種 邏 輯, 或 是 只 要 有 耐 心 地 撐 到 最 後, 就 能 夠 達 到 2048 呢? 因 此 我 們 決 定 尋 找 2048 的 種 種 奧 妙 二 研 究 目 的 1. 分 析 2048 遊 戲 規 則 與 並 探 討 致 勝 攻 略 2. 實 測 不 同 遊 戲 攻 略 並 分 析 其 優 劣 3. 探 討 方 塊 2 及 方 塊 4 出 現 數 量 與 達 成 2048 快 慢 之 關 係 三 研 究 架 構 影 響 2048 之 可 能 因 素 1. 遊 戲 攻 略 2. 遊 戲 規 則 3. 理 論 分 析 遊 戲 過 程 數 據 取 得 1. 遊 戲 攻 略 比 較 2. 方 塊 2 4 出 現 數 量 影 響 結 論 貳 正 文 一 2048 遊 戲 規 則 與 致 勝 攻 略 ( 一 )2048 遊 戲 規 則 2048 遊 戲 規 則 [5] 是 這 樣, 開 始 遊 戲 時 會 隨 機 出 現 2 個 數 字,2 或 4 的 方 塊 ( 以 下 簡 稱 方 塊 2 及 方 塊 4), 理 論 上 應 該 有 三 種 可 能 的 初 始 狀 態, 包 含 兩 個 方 塊 2 方 塊 2 及 方 塊 4 各 一 或 兩 個 方 塊 4, 如 圖 1 所 示 圖 1:2048 初 始 畫 面 接 下 來 可 以 按 四 個 按 鍵, 按 時 所 有 方 塊 會 全 部 移 到 最 上 方, 相 鄰 方 塊 數 字 相 同 時 則 會 合 併 成 一 個 方 塊, 該 方 塊 的 數 字 是 為 合 併 方 塊 數 字 和, 例 如 兩 個 方 塊 2 合 併 後 會 得 到 方 塊 4 按 則 分 別 往 左 下 及 右 方 集 中 圖 2 即 是 2048 遊 戲 前 三 步 驟 的 畫 面 擷 圖, 圖 2 第 一 個 圖 是 啟 動 2048 遊 戲 時 得 到 的 -1-

2 個 方 塊 2, 按 後 原 本 的 2 個 方 塊 2 全 部 向 左 移, 然 後 右 下 角 出 現 新 的 方 塊 2( 如 圖 2 中 ) 再 按 時 原 本 的 3 個 方 塊 會 向 下 移, 其 中 最 左 邊 相 鄰 的 2 個 方 塊 2 結 合 成 方 塊 4, 其 上 方 則 出 現 新 的 方 塊 2 圖 2:2048 遊 戲 進 行 前 三 步 遊 戲 中 是 利 用 移 動 方 塊, 使 相 同 數 字 的 方 塊 能 合 成 更 大 的 數 字, 例 如 兩 個 2 便 能 和 成 1 個 4 2 個 256 便 能 和 成 一 個 512 以 此 類 推 而 每 按 下 一 次 鍵 時, 方 塊 移 動 合 成 結 束 後, 會 隨 機 出 現 一 個 新 的 方 塊 2 或 方 塊 4 所 以 2048 的 目 的 就 是 藉 由 合 成 數 字 方 塊, 來 形 成 一 個 方 塊 2048, 只 要 合 成 兩 個 方 塊 1024, 出 現 方 塊 2048 的 時 候, 便 算 是 玩 家 勝 利, 但 仍 可 以 選 擇 繼 續 往 下 挑 戰 更 高 的 分 數 ( 二 )2048 的 遊 戲 攻 略 經 過 本 研 究 實 際 嘗 試 2048 的 遊 戲, 如 果 沒 有 規 則 隨 意 滑 動, 通 常 很 難 2048, 最 多 只 能 合 成 到 512, 而 1024 也 是 很 少 出 現, 但 是 也 有 玩 家 可 以 到 2048 甚 至 更 大 的 數 字 於 是 我 們 就 上 網 查 詢 有 關 2048 的 遊 戲 攻 略 [1][4], 其 規 則 都 是 盡 可 能 往 某 一 個 方 向 集 中, 而 在 停 不 下 來 的 2048 科 展 報 告 中 [3], 將 2048 遊 戲 攻 略 進 一 步 分 為 三 種, 並 以 理 論 分 析 其 致 勝 原 理 這 三 種 2048 遊 戲 攻 略 分 別 是 L 形 堆 疊 法 ( 以 下 簡 稱 L 型 法 ) 垂 直 掉 落 堆 疊 法 ( 以 下 簡 稱 垂 直 法 ) 一 行 角 落 堆 疊 法 ( 以 下 簡 稱 一 行 法 ), 本 研 究 將 其 攻 略 原 則 整 理 如 下 表 表 1:2048 遊 戲 攻 略 ( 整 理 停 不 下 來 的 2048 [3] ) L 型 法 1. 集 中 在 4x4 遊 戲 區 右 下 角, 只 能 往 右 或 往 下 滑 2. 將 最 大 數 字 方 塊 放 在 最 角 落 3. 依 序 將 數 字, 由 下 至 上, 由 大 到 小 依 序 排 於 L 型 的 角 落 垂 直 法 1. 集 中 於 4x4 遊 戲 區 的 最 下 方, 只 能 向 左 向 右 或 向 下 滑 2. 將 最 大 的 數 字 疊 在 最 下 層, 最 下 層 由 左 到 右 或 由 右 到 左 疊 滿 後, 再 依 序 向 上 堆 疊 3. 當 左 右 都 無 法 滑 動, 也 無 法 向 下 滑 動 時, 可 以 向 上 滑 一 次 一 行 法 1. 集 中 於 介 面 的 最 左 邊 的 直 行, 並 且 使 最 左 邊 直 行 穩 定 不 移 動 2. 依 序 由 下 到 上, 由 大 到 小 排 列 3. 當 往 左 滑 及 往 上 滑 都 無 法 滑 動 時, 才 考 慮 向 下 滑, 萬 不 得 已 時 才 向 右 滑 綜 合 以 上 三 種 遊 戲 攻 略, 均 強 調 減 少 一 至 二 個 滑 動 方 向, 例 如 L 型 法 盡 可 能 不 向 左 滑 亦 不 向 右 滑, 而 垂 直 法 盡 可 能 不 向 上 滑, 一 行 法 盡 可 能 不 向 右 及 向 下 滑 最 主 要 原 因 是 要 讓 方 塊 2 及 方 塊 4 的 位 置 能 集 中 在 某 個 區 域, 已 合 成 之 8 以 上 的 數 字 方 塊 集 中 於 另 一 區, 以 利 相 同 數 字 方 塊 的 合 成, 也 能 減 少 合 成 較 大 數 字 方 塊 的 步 數, 因 為 步 數 一 旦 增 多, 即 表 示 會 出 現 方 塊 2 或 方 塊 4, 形 成 相 同 數 字 方 塊 之 間 的 障 礙 -2-

( 三 ) 合 成 2 n 需 要 的 方 塊 2 及 4 的 數 量 估 計 2048 的 遊 戲 運 用 的 數 學 原 理 很 簡 單, 一 開 始 出 現 方 塊 2 或 方 塊 4, 然 後 相 鄰 之 相 同 數 字 的 方 塊 可 以 加 總 成 為 新 的 方 塊, 從 排 列 組 合 的 角 度 來 分 析 [2], 假 設 合 成 方 塊 2 n 需 要 x 個 2 及 y 個 n, 則 2x+4y=2 n, 其 中 x 及 y 均 為 0 或 正 整 數 以 合 成 一 個 方 塊 8 為 例, 要 尋 找 2x+4y=8 的 0 或 正 整 數 解, 其 可 能 解 為 (4,0) (2,1) 及 (0,2), 也 就 是 可 以 是 四 個 2 合 成 一 個 8, 或 是 二 個 2 及 一 個 4, 又 或 者 是 二 個 4, 共 有 3 種 組 合 方 式, 如 圖 3 所 示 圖 4 則 是 方 塊 16 有 5 種 可 能 的 組 合 方 式, 依 此 類 推 : 2 n 至 少 需 要 2 (n-2) 個 方 塊 4, 最 多 需 要 2 (n-1) 個 方 塊 2 2x+4y=8 (4,0) (2,1) (0,2) 2x+4y=16 (8,0) (4,2) (6,1) (2,3) (0,4) 圖 3: 合 成 方 塊 8 可 能 之 方 塊 組 合 圖 4: 合 成 方 塊 16 可 能 之 方 塊 組 合 但 事 實 上 並 不 是 如 此, 如 果 所 出 現 的 兩 個 方 塊 4 是 在 同 欄 或 同 列, 且 中 間 並 沒 有 其 他 的 數 字 方 塊, 那 麼 一 步 即 可 合 成 方 塊 8; 但 是 如 果 不 在 同 欄 或 同 行, 那 就 會 多 於 1 步, 所 以 通 常 實 際 上 合 成 某 個 數 字 方 塊 時, 通 常 會 多 於 預 估 方 塊 2 的 數 量 理 論 上 一 個 方 塊 2 n, 至 少 需 要 2 (n-1) 個 方 塊 2, 最 多 需 要 2 (n-2) 個 方 塊 4, 而 2048 遊 戲 過 程 中, 方 塊 2 及 方 塊 4 是 隨 機 出 現, 所 以 合 成 一 個 方 塊 2 n, 其 所 需 要 步 數 應 介 於 2 (n-2) 與 2 (n-1) 之 間 ( 包 含 初 始 會 有 2 個 方 塊 2 或 方 塊 4), 但 是 通 常 合 成 某 個 數 字 方 塊 時,4x4 方 格 中 通 常 會 留 有 部 份 未 合 成 的 其 他 數 字 方 塊, 致 使 步 數 會 多 於 實 際 合 成 一 個 數 字 方 塊 所 需 之 方 塊 數 二 三 種 遊 戲 攻 略 是 否 真 的 容 易 2048 之 比 較 依 2048 遊 戲 規 則 來 看, 第 一 點 中 所 提 之 L 型 法 一 行 法 及 垂 直 法 三 種 遊 戲 攻 略, 理 論 上 都 是 採 取 依 數 字 大 小 有 系 統 的 排 列, 並 且 盡 量 減 少 往 某 一 個 方 向 滑 動, 以 防 止 新 產 生 的 方 塊 2 及 方 塊 4 可 能 成 為 合 成 較 大 數 字 的 阻 礙, 但 是 究 竟 何 種 方 法 會 有 較 佳 效 率, 我 們 將 在 這 個 實 驗 中 以 實 際 的 遊 戲 過 程 數 據 作 探 討 ( 一 ) 撰 寫 能 記 錄 遊 戲 過 程 之 2048 程 式 曾 經 嘗 試 利 用 截 圖 方 式 記 錄 過 程, 但 是 有 時 會 不 小 心 漏 掉 某 個 畫 面, 而 事 後 又 要 以 人 工 方 式 進 行 比 對, 花 費 時 太 多 無 法 取 得 大 量 數 據, 而 網 路 上 也 找 不 到 可 以 記 錄 過 程 的 2048 程 式,, 所 以 我 們 決 定 運 用 在 高 一 的 程 式 語 言 課 程 [6] 中 所 學 之 Visual BASIC 2010 自 行 撰 寫 程 式 -3-

1. 首 先 依 2048 遊 戲 規 則, 以 Visual Basic 的 主 控 台 模 式 撰 寫 程 式, 因 主 控 台 模 式 不 需 要 處 理 圖 形 化 介 面, 因 此 本 研 究 是 以 簡 單 的 數 字 介 面 配 合 普 通 文 字 檔 (.txt) 儲 存 遊 戲 過 程 每 次 滑 動 方 向 方 塊 2 或 方 塊 4 出 現 的 位 置, 以 方 便 日 後 研 究 分 析 2. 分 別 以 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 等 三 種 遊 戲 攻 略 進 行 遊 戲 過 程 之 記 錄, 取 得 能 合 成 方 塊 1024 之 至 少 10 次 之 遊 戲 過 程 記 錄 3. 再 從 前 述 遊 戲 記 錄 中, 選 取 10 次 可 合 成 方 塊 1024 以 上 的 數 據, 分 別 計 算 平 均 步 數 和 方 塊 2 方 塊 4 出 現 的 數 量, 並 探 討 數 據 間 的 關 係 ( 二 ) 三 種 攻 略 合 成 32 64 128 256 512 1024 及 2048 步 數 與 估 計 時 間 本 研 究 分 別 以 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 等 三 種 遊 戲 攻 略 各 進 行 41 次 遊 戲 過 程 的 記 錄, 其 中 L 型 法 有 32 筆 數 據 達 到 512,12 筆 數 據 達 到 1024,1 筆 數 據 達 到 2048 垂 直 法 有 29 筆 數 據 達 到 512,10 筆 數 據 達 到 1024, 而 只 有 第 8 筆 數 據 有 達 到 2048 一 行 法 有 34 筆 數 據 達 到 512,10 筆 數 據 達 到 1024, 而 只 有 第 7 筆 數 據 達 到 2048 接 著 將 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 三 種 方 法 各 41 次 遊 戲 結 束 時, 方 塊 最 大 值 的 次 數 整 理 於 表 2, 各 欄 位 數 據 分 別 表 示 遊 戲 結 束 時 方 塊 最 大 值 的 次 數 及 比 例 表 2: 三 種 方 法 合 成 方 塊 32 64 128 256 512 1024 及 2048 的 比 例 合 成 32 合 成 64 合 成 128 合 成 256 合 成 512 合 成 1024 合 成 2048 L 型 法 1/2% 0/0% 3/7% 5/12% 20/49% 11/27% 1/2% 垂 直 法 0/0% 0/0% 1/2% 10/24% 20/48% 9/22% 1/2% 一 行 法 0/0% 0/0% 3/7% 4/10% 24/59% 9/22% 1/2% 從 表 2 可 以 看 出 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 三 種 方 法 遊 戲 結 束 時 方 塊 最 大 值 以 512 所 佔 比 例 最 高, 也 就 是 說 若 運 用 遊 戲 攻 略, 多 半 能 順 利 合 成 至 512, 但 若 要 1024 甚 至 2048, 需 要 更 多 的 耐 力 與 智 力 再 計 算 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 三 種 方 法 合 成 32 64 128 256 512 1024 2048 時 之 平 均 步 數, 並 以 滑 動 一 步 費 時 3 秒 計 算, 將 數 據 整 理 於 表 3, 其 中 各 欄 位 分 別 記 錄 兩 筆 數 據, 第 一 筆 指 的 是 合 成 該 數 字 時 平 均 花 費 的 步 數, 第 二 筆 則 是 以 一 步 花 費 3 秒 估 計 花 費 的 分 鐘 數 表 3: 合 成 方 塊 32 64 128 256 512 1024 2048 時 之 平 均 步 數 與 估 計 時 間 合 成 32 合 成 64 合 成 128 合 成 256 合 成 512 合 成 1024 合 成 2048 L 型 法 18.0/0.9 34.2/1.7 62.1/3.1 117.6/5.9 210.5/10.5 393.6/19.7 714/35.7 垂 直 法 19.4/1.0 35.9/1.8 64.5/3.2 119.1/6.0 216.8/11.0 403.4/20.2 793/39.7 一 行 法 18.1/0.9 33.5/1.7 61.5/3.1 110.3/5.5 210.4/10.4 387.3/19.4 692/34.6 方 塊 2 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024 方 塊 4 2 3 =8 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 欲 合 成 512, L 型 法 的 是 210.5 步, 估 計 需 要 10.5 分 鐘 垂 直 法 是 216.8 步, 估 計 需 要 11.0 分 鐘 一 行 法 是 210.4 步, 估 計 需 要 10.4 分 鐘, 無 論 是 那 一 種 方 法, 合 成 512 大 約 需 10 分 鐘 若 要 合 成 1024, L 型 法 的 是 393.6 步, 估 計 需 要 19.7 分 鐘 垂 直 法 是 403.4 步, 估 計 需 要 20.2 分 鐘 一 行 法 是 387.3 步, 估 計 需 要 19.4 分 鐘, 無 論 是 那 一 種 方 法, 合 成 1024 大 約 需 要 20 分 鐘 -4-

數 據 中 有 三 次 合 成 2048, 其 所 花 費 的 步 數 及 估 計 時 間 分 別 是 L 型 法 為 714 步, 估 計 需 要 35.7 分 鐘, 垂 直 法 為 793 步, 估 計 需 要 39.7 分 鐘, 以 及 一 行 法 為 692 步, 估 計 需 要 34.6 分 鐘 從 合 成 1024 的 平 均 步 數 來 看, 以 一 行 法 所 需 步 數 最 少, 同 時 一 行 法 合 成 512 比 例 為 59% 亦 是 三 種 方 法 中 最 高 從 一 行 法 的 攻 略 來 分 析, 由 於 將 較 大 數 字 集 中 一 行, 因 此 可 以 空 出 4x3 製 造 區, 再 者 往 左 上 堆 疊, 集 中 一 角 落, 依 照 數 字 大 小 順 序 排 列, 新 出 現 的 數 字 也 不 容 易 影 響 到 大 數 字, 因 而 大 部 分 都 能 以 較 少 步 數 達 到 1024, 估 計 所 花 費 的 時 間 是 最 少 的 垂 直 法 則 是 比 較 冒 險 的 玩 法, 先 預 留 一 些 數 字, 以 便 在 無 法 滑 動 時, 還 有 拯 救 的 機 會, 也 因 為 一 直 往 下 堆 疊, 有 時 候 會 同 步 滑 動 合 成, 步 數 也 沒 有 想 像 中 的 大, 但 較 不 容 易 合 成 較 大 數 字, 或 者 合 成 之 數 字 方 塊 較 分 散 ( 不 相 鄰 ) 致 使 無 法 合 併 L 型 法 有 3x3 的 製 造 區, 但 是 這 種 方 法 是 一 直 往 右 下 角 集 中, 是 不 停 往 右 合 成 的, 所 用 的 步 數 雖 不 多, 但 是 也 因 為 不 方 便 依 數 字 大 小 排 列, 缺 少 同 步 合 成 ( 一 次 合 成 2 個 以 上 的 方 塊 ) 的 機 會, 所 以 需 要 較 多 步 數 才 能 合 成 較 大 數 字, 有 如 表 格 中 的 平 均 值, 到 達 1024 的 步 數, 是 排 名 第 二 的 再 比 較 同 一 種 攻 略 的 合 成 32 64 128 256 512 1024 2048 時 之 平 均 步 數 與 估 計 時 間 發 現, 合 成 1024 所 花 費 的 步 數 是 合 成 512 的 2 倍 左 右, 因 為 當 合 成 512 時, 必 需 要 設 法 再 合 成 另 一 個 512 才 能 合 成 1024, 因 此 所 花 費 步 數 應 呈 現 2 倍 成 長, 我 們 將 三 種 方 法 合 成 32 64 128 256 512 1024 2048 的 平 均 步 數, 並 與 合 成 2 n 所 需 之 方 塊 2 數 量 及 方 塊 4 數 量 以 折 線 圖 繪 製 如 圖 5 1200 1000 800 600 400 200 L 型 法 垂 直 法 一 行 法 方 塊 2 方 塊 4 0 合 成 32 合 成 64 合 成 128 合 成 256 合 成 512 合 成 1024 合 成 2048 圖 5: 三 種 方 法 與 方 塊 2 及 方 塊 4 需 求 數 折 線 圖 從 圖 5 可 以 看 出 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 合 成 32 64 128 256 512 1024 2048 所 需 步 數 幾 乎 差 不 多, 其 圖 形 呈 現 2 的 指 數 成 長, 但 都 少 於 理 論 上 需 求 之 方 塊 2 數 量, 多 於 理 論 上 需 求 之 方 塊 4 數 量, 主 要 是 因 為 合 成 方 塊 2n 時, 通 常 4x4 的 方 格 內 仍 會 有 其 他 未 合 成 的 數 字 方 塊 其 折 線 圖 在 合 成 256 時, 其 所 花 費 步 數 與 組 合 256 理 論 上 最 多 只 需 128 個 2 接 近, 而 略 高 於 理 論 上 需 求 最 少 的 方 塊 4 數 量 ( 因 為 遊 戲 中 不 會 只 有 方 塊 4), 但 是 合 成 512 及 1024 時 則 開 始 明 顯 低 於 256 及 512 個 2, 同 時 也 明 顯 高 於 -5-

方 塊 4 的 數 量 解 開 2048 的 謎 ( 三 ) L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 三 種 遊 戲 攻 略 優 劣 分 析 在 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 三 種 遊 戲 攻 略 中, 以 一 行 法 合 成 1024 時 所 需 平 均 步 數 最 少, 但 以 L 型 法 較 容 易 1024 其 原 因 與 三 種 攻 略 的 製 造 區 大 小 有 關, 說 明 如 下 : 圖 3 是 分 別 就 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 三 種 攻 略 在 遊 戲 結 束 時, 其 所 合 成 之 最 大 方 塊 為 512 1024 及 2048 時 之 最 後 一 個 畫 面, 其 中 紅 色 方 框 圈 出 來 的 部 分 為 製 造 區, 而 藍 色 框 框 圈 出 來 的 部 分 為 堆 疊 區 5 1 2 L 型 法 垂 直 法 一 行 法 1 0 2 4 2 0 4 8 圖 6: 三 種 方 法 達 到 512 1024 2048 之 遊 戲 結 束 畫 面 從 圖 6 可 以 發 現, L 型 法 的 製 造 區 只 有 3x3, 相 對 較 小, 但 因 為 製 造 區 部 分 排 列 由 大 到 小, 有 順 序 的 排 列 造 成 合 成 方 塊 容 易, 由 表 6 也 可 看 出, 以 最 大 值 512 結 束 遊 戲 的 比 例 是 三 種 方 法 最 少 的, 代 表 當 L 型 法 達 到 較 大 值 時, 後 面 合 成 容 易 達 到 2048, 但 平 均 步 數 排 序 第 二, 所 花 費 時 間 多 垂 直 法 的 製 造 區 有 3x4, 是 較 大 的 製 造 區, 不 過 製 造 區 的 部 分 排 列 沒 有 按 照 次 序 由 大 到 小, 會 造 成 製 造 區 一 分 為 二, 如 圖 中 圈 出 的 黑 色 框 框, 除 了 要 合 成 右 邊 的 方 塊 也 要 合 成 左 邊 的 方 塊, 由 於 相 同 的 方 塊 距 離 遙 遠, 所 以 不 易 合 成 ( 如 圖 7) 圖 7: 垂 直 法 第 一 筆 數 據 的 結 束 畫 面 一 行 法 的 製 造 區 和 垂 直 法 的 製 造 區 同 為 3x4, 但 因 製 造 區 的 數 字 方 塊 很 有 順 序 地 由 左 到 右 由 大 到 小 排 序 ( 如 圖 8), 雖 然 表 2 中 以 最 大 值 512 結 束 遊 戲 的 比 例 占 了 59%, 比 其 他 方 法 都 高, 代 表 一 行 法 容 易 合 成 512, 而 且 在 三 個 方 法 之 中, 平 均 步 數 又 是 最 小 的, 花 費 時 間 最 少 -6-

L 型 法 垂 直 法 一 行 法 圖 8: 一 行 法 排 列 順 序 說 明 圖 ( 四 ) 過 程 中 2 及 4 出 現 的 數 量 對 合 成 1024 之 影 響 2048 遊 戲 規 則 是 每 滑 動 一 步 會 出 現 一 個 方 塊 2 或 方 塊 4, 過 程 中 兩 種 方 塊 出 現 的 比 例 是 否 亦 會 影 響 合 成 步 數, 因 此 我 們 從 三 種 方 法 各 10 次 達 成 1024 的 數 據 取 得 過 程 中 方 塊 2 及 方 塊 4 出 現 的 數 量 整 理 於 表 4 表 4: 三 種 方 法 合 成 方 塊 1024 期 間 所 出 現 2 4 的 數 量 及 平 均 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平 均 比 例 2 173 197 180 226 183 213 219 190 198 223 200.2 0.50 4 179 185 203 185 190 220 228 198 184 212 198.4 0.49 2 170 216 222 209 172 192 209 234 193 195 201.2 0.49 4 202 248 225 184 183 203 207 215 184 191 204.2 0.50 2 193 193 198 226 170 219 187 206 190 186 196.8 0.50 4 220 190 196 155 194 209 191 188 189 193 192.5 0.49 從 表 9 的 結 果 發 現 各 次 數 據 方 塊 2 與 方 塊 4 出 現 之 比 例 相 當, 各 有 50% 左 右, 無 法 看 出 方 塊 2 或 方 塊 4 的 數 量 是 否 影 響 合 成 步 數 三 方 塊 2 或 方 塊 4 出 現 比 例 是 否 比 較 容 易 2048 從 表 4 發 現, 方 塊 2 及 方 塊 4 數 量 差 不 多, 因 此 若 遊 戲 中 只 出 現 方 塊 2, 或 者 只 出 現 方 塊 4, 是 不 是 比 較 容 易 達 成 2048, 於 是 我 們 設 計 了 兩 個 程 式, 一 個 程 式 只 會 出 現 方 塊 2( 以 下 以 olny2 簡 稱 ), 而 另 外 一 個 則 是 只 會 出 現 方 塊 4( 以 下 以 olny4 簡 稱 ), 並 探 討 方 塊 2 及 方 塊 4 對 合 成 2048 有 所 影 響 一 行 法 較 其 他 兩 種 攻 略 能 以 較 少 步 數 合 成 較 大 數 字, 所 以 在 此 將 全 部 採 取 一 行 法 遊 戲 攻 略 進 行 實 驗 數 據 的 取 得 ( 一 ) 修 改 2048 程 式 為 只 出 現 方 塊 2 方 塊 4 1. 修 改 程 式 成 only2( 只 出 現 方 塊 2 的 程 式 ) 和 only4( 只 出 現 方 塊 4 的 程 式 ), 並 以 普 通 文 字 檔 (.txt) 記 錄 遊 戲 過 程 2. 以 一 行 法 攻 略 分 別 進 行 only2 及 only4 各 20 次 的 遊 戲, 並 記 錄 其 過 程 3. 記 錄 遊 戲 進 行 中 合 成 8 16 32 64 128 512 1024 2048 時 所 花 費 的 步 數 ( 二 )only 2 或 only4 何 者 較 容 易 2048 再 以 一 行 法 分 別 使 用 only2 及 only4 程 式 進 行 20 次 的 遊 戲 過 程 記 錄, 其 中 only2 的 20 次 記 錄 中, 最 高 能 合 成 到 4096( 有 1 次 ), 有 10 次 可 達 2048, 而 only4 最 高 能 合 成 到 4096( 有 6 次 ), 有 10 次 可 達 2048 本 研 究 將 only2 及 only4 各 20 次 遊 戲 結 束 時 方 塊 最 大 值 的 次 數 整 理 於 表 5, 各 欄 位 數 據 分 別 表 示 遊 戲 結 束 時 方 塊 最 大 值 的 次 數 及 比 例 -7-

表 5:only2 only4 合 成 方 塊 32 64 128 256 512 1024 及 2048 4096 的 比 例 合 成 32 合 成 64 合 成 128 合 成 256 合 成 512 合 成 1024 合 成 2048 合 成 4096 only2(20 次 ) 0/0% 0/0% 0/0% 0/0% 1/5% 9/45% 9/45% 1/5% only4(20 次 ) 0/0% 0/0% 0/0% 0/0% 0/0% 4/20% 10/50% 6/30% 從 表 5 可 以 看 出 only2 only4 遊 戲 結 束 時 方 塊 最 大 值 以 2048 所 佔 比 例 最 高 此 時 only2 平 均 步 數 為 1215.4 only4 平 均 步 數 為 636.2 換 言 之, 只 出 現 方 塊 2 或 只 出 現 方 塊 4 非 常 容 易 合 成 2048 再 計 算 only2 only4 合 成 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 時 之 平 均 步 數, 並 以 滑 動 一 步 費 時 3 秒 計 算, 將 所 得 數 據 整 理 於 表 6, 其 中 各 欄 位 分 別 記 錄 兩 筆 數 據, 第 一 筆 指 的 是 合 成 該 數 字 時 平 均 花 費 的 步 數, 第 二 筆 則 是 以 一 步 花 費 3 秒 估 計 花 費 的 分 鐘 數 表 6: 合 成 方 塊 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 時 之 平 均 步 數 與 估 計 時 間 合 成 32 合 成 64 合 成 128 合 成 256 合 成 512 合 成 1024 合 成 2048 合 成 4096 only2 26.9/1.4 45.8/2.3 82.5/4.1 171/8.6 289/14.5 577/28.9 1213.8/60.7 2079/104.0 only4 13/0.7 26/1.3 50/2.5 83.4/4.2 162/8.1 295.4/14.8 625.6/31.3 1095.5/54.8 方 塊 2 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024 2 11 =2048 方 塊 4 2 3 =8 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024 我 們 將 only2 only4 合 成 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 的 平 均 步 數 與 方 塊 2 方 塊 4 的 指 數 圖 形 繪 製 如 圖 9 2500 2000 1500 1000 500 only2 only4 方 塊 2 方 塊 4 0 合 成 32 合 成 64 合 成 128 合 成 256 合 成 512 合 成 1024 合 成 2048 合 成 4096 圖 9:only2 only4 與 方 塊 2 方 塊 4 的 指 數 圖 形 折 線 圖 從 圖 9 可 以 看 出 only2 合 成 32 64 128 256 512 1024 的 圖 形 皆 在 2 的 指 數 圖 形 折 線 上, 而 only4 則 在 2 的 指 數 圖 形 折 線 下, 明 顯 看 出 only2 所 花 費 步 數 最 大, 而 only4 則 是 最 小 而 only2 所 花 費 的 步 數 幾 乎 是 only4 的 2 倍 若 以 2048 來 看 的 話,only2 約 需 1200 步 左 右 達 到, 與 合 成 2048 理 論 上 需 求 1024 個 方 塊 2 接 近 ; 而 only4 約 需 600 步 左 右 達 到, 與 合 成 2048 理 論 上 需 求 512 個 方 塊 4 接 近 接 下 來 我 們 從 數 據 挑 選 所 有 達 2048 的 數 據, 將 其 所 花 費 的 步 數 並 計 算 其 平 均 整 理 於 表 7-8-

表 7:only2 only4 合 成 2048 的 數 據 2048 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平 均 only2 1199 1042 1035 1214 1039 1058 1131 1078 1126 1187 / / / / / / 1110.9 only4 740 725 635 689 647 763 523 629 528 645 553 578 538 574 550 692 625.56 合 成 2048 情 況 下,only2 平 均 步 數 為 1110.9,only4 平 均 步 數 為 625.56, 從 步 數 就 能 知 道 only4 能 運 用 比 only2 少 的 時 間 達 成 2048, 所 以 如 果 是 方 塊 2 4 比 例 的 話, 如 果 都 是 only4 能 夠 花 費 時 間 少 也 能 達 到 2048 而 從 表 7 也 可 明 顯 看 出,only4 在 20 筆 數 據 中, 就 有 16 筆 數 據 達 到 2048, 而 only2 卻 只 有 10 次, 代 表 only4 非 常 容 易 達 到 2048 四 方 塊 2 及 方 塊 4 出 現 比 例 對 遊 戲 難 易 度 之 影 響 只 出 現 方 塊 4 最 容 易 2048, 只 出 現 方 塊 2 次 之, 前 者 花 費 時 間 較 少 ; 而 方 塊 2 及 方 塊 4 交 錯 出 現 之 遊 戲 則 不 容 易 2048 從 2048 程 式 實 測 中,2048 遊 戲 的 方 塊 2 方 塊 4 之 比 例 幾 乎 是 1:1, 遊 戲 啟 動 時 更 少 會 出 現 兩 個 方 塊 4, 運 用 攻 略 可 有 較 多 機 會 合 成 方 塊 512 或 方 塊 1024, 但 要 進 一 步 合 成 方 塊 2048, 則 一 定 的 難 度 2048 的 遊 戲 規 則 很 簡 單, 只 使 用 加 法, 但 是 方 塊 2 及 方 塊 4 交 錯 出 現 讓 遊 戲 變 得 有 點 難 度 在 第 三 點 中 可 以 明 顯 看 出, 只 出 現 方 塊 2 或 只 出 現 方 塊 4, 兩 者 皆 容 易 達 到 2048, 甚 至 能 進 一 步 達 至 4096, 其 過 程 到 最 後 進 行 機 械 式 的 滑 動, 容 易 令 人 厭 煩, 只 是 比 耐 力 而 已, 相 對 來 說 方 塊 2 4 比 例 大 概 1:1 則 較 有 挑 戰 性, 需 要 謹 慎 思 考 每 一 步 參 結 論 看 似 簡 單 的 2048 程 式, 仍 需 要 遊 戲 攻 略 才 容 易 合 成 2048 應 用 遊 戲 攻 略 L 型 法 垂 直 法 及 一 行 法 容 易 合 成 512( 約 有 一 半 的 機 會 ), 但 三 者 仍 不 容 易 2048 若 真 要 從 三 者 挑 選 一 種 較 佳 遊 戲 攻 略, 本 研 究 認 為 一 行 法 是 三 種 滑 動 方 法 最 容 易 達 成 2048 的, 原 因 是 從 數 據 中 看 出 達 到 512 的 比 率 最 高, 且 滑 動 步 數 最 少, 耗 時 也 短, 容 易 達 成 也 不 減 玩 家 興 致 若 以 滑 動 一 次 需 時 3 秒 來 估 計, 方 塊 2 與 方 塊 4 交 錯 出 現 的 狀 況 下, 三 種 攻 略 要 合 成 方 塊 32 約 需 1 分 鐘 合 成 方 塊 64 約 需 2 分 鐘 合 成 方 塊 128 約 需 3 分 鐘 合 成 方 塊 256 約 需 6 分 鐘 合 成 方 塊 512 約 需 10 分 鐘 合 成 方 塊 1024 約 需 20 分 鐘, 若 要 達 2048 則 初 步 估 計 約 需 30 分 鐘, 隨 著 數 字 越 來 越 大, 開 始 考 驗 著 玩 家 耐 力 當 遊 戲 設 定 只 出 現 方 塊 2(only 2) 或 只 出 現 方 塊 4(only 4) 時, 以 一 行 法 遊 戲 攻 略 進 行 遊 戲, 合 成 2048 的 比 例 過 半, 甚 至 可 以 達 成 4096, 兩 者 只 差 在 滑 動 步 數,only4 滑 動 步 數 與 估 計 耗 時 均 較 only 2 在 only 2 及 only 4 遊 戲 過 程 中 也 發 現, 當 掌 握 或 熟 悉 遊 戲 攻 略 後,2048 變 成 是 耐 力 大 於 智 力 的 考 驗 綜 合 言 之, 若 2048 只 出 現 方 塊 2 或 只 出 現 方 塊 4, 非 常 容 易 致 勝 ( 達 成 2048), 也 就 是 遊 戲 變 簡 單 了, 而 原 本 設 定 的 版 本 是 方 塊 2 與 方 塊 4 交 錯 出 現, 讓 遊 戲 變 得 難 度 而 挑 起 玩 家 挑 戰 的 慾 望 -9-

肆 引 述 資 料 解 開 2048 的 謎 [1] 小 昭 (2014) 2048 過 關 技 巧 心 得 攻 略 2014/11/1 日, 取 自 http://shouyou.com.tw/how/2014/0605/185323.html#.vgizyifffku [2] 高 淑 珍 ( 譯 )(2003) 圖 解 數 學 基 礎 入 門 台 北 縣 : 世 茂 出 版 有 限 公 司 [3] 許 馨 云 孫 瑋 彤 翁 子 恒 (2014) 停 不 下 來 的 2048 2014/11/11, 取 自 http://163.25.121.156/registration/103/score( 第 54 屆 金 門 地 區 中 小 學 科 學 展 覽 會 ) [4] 星 詠 (2014) 數 字 和 空 間 的 無 窮 魅 力 停 不 下 來 的 2048 2014/11/10, 取 自 http://www.taiwanfansclub.com/article-171989-1.html [5] 維 基 百 科 (2014) 2048 2014/10/26, 取 自 http://zh.wikipedia.org/wiki/2048 [6] 旗 立 研 究 室 (2012) Visual Basic 2010 程 式 語 言 台 北 市 : 旗 立 資 訊 股 份 有 限 公 司 -10-