互 補 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 平 角 (80 0 0 ), 我 們 稱 這 兩 個 角 互 補, 如 圖, + = 80, 故 我 們 稱 與 互 補 互 餘 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 直 角, 我 們 稱 這 兩 個 角 互 餘, 如 圖, + =90 0, 故 我

點 線 角 : 在 探 討 幾 何 學 之 前, 我 們 必 須 先 瞭 解 構 成 平 面 圖 形 的 基 本 元 素 - 點 線 角 點 : 點 是 幾 何 學 中 所 討 論 的 最 基 本 圖 形 點 僅 用 來 表 示 事 物 所 在 的 位 置, 而 不 考 慮 它 的 形 狀 與 大 小 圖 示 記 法 讀 法 點 或 點 點 或 點 線 : 線 可 以 想 成 是 筆 尖 在 紙 上 連 續 移 動 時 所 經 過 的 路 線, 因 此 線 是 沒 有 寬 窄 的 線 可 以 分 為 曲 線 與 直 線, 如 下 圖 曲 線 直 線 直 線 : 通 過 兩 點 用 直 尺 所 畫 出 來 的 線, 也 就 是 說 : 兩 點 決 定 一 直 線 ; 符 號 是 表 示 直 線 可 以 向 兩 邊 無 限 延 伸, 所 以 直 線 是 不 談 長 短 的 圖 示 記 法 L 直 線 L 直 線 L 直 線 線 段 : 直 線 在 點 與 點 之 間 的 部 分 就 稱 為 線 段 圖 示 記 法 讀 法 或 線 段 或 線 段 角 : 兩 線 段 與 相 交 於 點 形 成 一 個 角, 如 右 圖 記 作 或 若 角 的 度 數 >90 0, 我 們 稱 這 個 角 為 鈍 角, 如 下 圖 的 若 角 的 度 數 =90 0, 我 們 稱 這 個 角 為 直 角, 如 下 圖 的 若 角 的 度 數 <90 0, 我 們 稱 這 個 角 為 銳 角, 如 下 圖 的

互 補 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 平 角 (80 0 0 ), 我 們 稱 這 兩 個 角 互 補, 如 圖, + = 80, 故 我 們 稱 與 互 補 互 餘 : 若 兩 個 角 的 和 是 一 個 直 角, 我 們 稱 這 兩 個 角 互 餘, 如 圖, + =90 0, 故 我 們 稱 與 互 餘 對 頂 角 : 兩 直 線 相 交 會 形 成 兩 組 對 頂 角 如 右 圖, 與 為 對 頂 角, 3 與 4 亦 為 對 頂 角 對 頂 角 相 等, 即 = ; 3= 4 證 明 : + 3=80 0 又 3+ =80 0 =80 0-3= 4 3 有 關 點 線 角 的 應 用 : 我 們 已 經 知 道 兩 點 可 以 決 定 一 條 直 線, 接 著 要 來 討 論 平 面 上 相 異 的 點 決 定 線 段 數 目 及 角 度 等 相 關 問 題 範 例 上 相 異 5 點 E, () 至 多 可 決 定 幾 條 直 線? () 至 少 可 決 定 幾 條 直 線? E 解 答 () 自 點 出 發, 可 得 E 共 4 條 自 點 出 發, 可 得 E 共 3 條 自 點 出 發, 可 得 E 共 條 E 自 點 出 發, 可 得 E 共 條 自 E 點 出 發, 均 已 連 線 故 0 條 共 4+3+++0=0 條 () 當 5 點 共 線 時, 可 決 定 最 少 的 條 直 線 結 論 : 平 面 上 相 異 n 點, 至 多 可 決 定 n ( n ) 條 直 線 ; 至 少 可 決 定 條 直 線 (n 點 共 線 時 )

範 例 平 行 線,L 上 有 相 異 三 點,V 上 有 相 異 四 點, 除 L V 外, 由 上 述 七 點 可 決 定 多 少 線 段? L V X Y Z W 解 答 () 由 出 發 可 決 定 : X Y Z W 共 4 條 () 由 出 發 可 決 定 : X Y Z W 共 4 條 (3) 由 出 發 可 決 定 : X Y Z W 共 4 條 總 共 4+4+4=4 3= L V X Y Z W 範 例 如 圖, 算 一 算 總 共 幾 個 角? 解 答 () 以 O 邊 算 起 有 : O () 以 O 邊 算 起 有 : O (3) 以 O 邊 算 起 有 : O O OE 共 4 個 O OE 共 3 個 O O OE 共 個 4 ( 4 + ) (4) 以 O 邊 算 起 有 : OE 共 個 總 共 4 + 3 + + = = 6 個 E O E 範 例 已 知 =(45-a) 度, 與 互 補, 求? 解 答 =80 0 - =80 0 -(45-a) 0 =(35+a) 0 3

0 範 例 與 交 於 O 點, 已 知 O+3 O= 350, 則 O=?? O 解 答 O= O( 對 頂 角 相 等 ) O+3 O=350 0, 5 O=350 0 0 O= 350 5 = 70 0 故 O=80 0-70 0 = 0 0 範 例 9 點 30 分 時, 分 針 與 時 針 的 夾 角 為 幾 度? 0 0 9 3 9 0.5 30 O 3 8 7 6 5 4 8 7 6 5 4 360 0 解 答 時 針 小 時 走 = 30 0 時 針 分 鐘 走 30 0 =0.5 0 60 360 0 分 針 分 鐘 走 = 6 0 60 0 0 夾 角 = 0. 5 30 + 90 = 05 0 範 例 點 多, 小 明 外 出 吃 午 餐, 出 門 前 發 現 時 針 與 分 針 的 夾 角 為 55 0, 吃 完 飯 後 時 針 與 分 針 的 夾 角 仍 為 55 0, 請 問 小 明 出 去 多 久? ( 已 知 小 明 出 門 的 時 間 不 超 過 小 時 ) 0 0 9 8 7 6 55 0 5 4 3 9 8 7 6x 6 5 4 3 解 答 假 設 出 去 X 分 鐘 分 針 走 了 6X 0 ( 分 鐘 6 0 ), 時 針 走 了 6X 0 =0.5X 0 6X 0 +55 0 +(55 0-0.5X) 0 =360 0 X=45 5 分 鐘 4 6X 0

範 例 一 練 習 一 平 面 上 相 異 0 點, 至 多 可 決 定 幾 條 直 線? ㄧ 平 面 相 異 n 點 至 多 可 決 定 36 條 直 線, 則 n= 範 例 二 練 習 二 兩 平 行 線, L 上 有 相 異 三 點,V 上 有 相 異 五 兩 條 高 速 公 路 上 分 別 有 三 個 及 五 個 交 流 道, 點, 則 此 八 點 可 決 定 多 少 線 段? 若 想 在 這 些 交 流 道 之 間 做 一 些 直 達 便 道, 那 麼 需 要 幾 條 直 達 便 道 呢? 北 一 高 北 二 高 X Y Z W U 範 例 三 練 習 三 3 點 30 分 兩 針 之 夾 角 為 幾 度? 4 點 4 分 兩 針 之 夾 角 為 幾 度? 範 例 四 一 角 比 其 補 角 的 3 倍 多 4 0, 求 此 角 的 對 頂 角 度 數 練 習 四 的 倍 與 的 5 倍 互 補, 且 + =60 度, 求 的 度 數 5

生 活 中 的 平 面 圖 形 : 三 角 形 四 邊 形 及 圓 形 是 生 活 中 最 常 見 的 平 面 圖 形, 這 一 節 我 們 將 討 論 有 關 這 些 圖 形 的 基 本 性 質 三 角 形 : 一 個 三 角 形 有 三 個 頂 點 三 個 邊 和 三 個 角 等 腰 三 角 形 : 有 兩 邊 等 長 的 三 角 形 如 下 圖, 其 中 等 長 的 兩 邊 叫 做 腰, 另 一 邊 叫 做 底 邊 或 底, 與 底 邊 相 對 的 角 叫 做 頂 角, 其 餘 的 兩 個 角 都 叫 做 底 角 等 邊 三 角 形 : 三 邊 都 等 長 的 三 角 形, 叫 做 正 三 角 形 如 下 圖, 每 個 正 三 角 形 也 都 是 等 腰 三 角 形 直 角 三 角 形 : 有 一 個 角 是 直 角 的 三 角 形 如 下 圖, 其 中 直 角 所 對 的 邊 叫 做 斜 邊, 其 餘 兩 邊 叫 做 股 頂 角 腰 腰 股 斜 邊 底 角 底 角 底 邊 股 等 腰 三 角 形 正 三 角 形 直 角 三 角 形 銳 角 三 角 形 : 三 內 角 皆 為 銳 角 的 三 角 形, 稱 為 銳 角 三 角 形 如 下 圖 鈍 角 三 角 形 : 三 角 形 其 中 一 內 角 為 鈍 角 的 三 角 形, 稱 為 鈍 角 三 角 形 如 下 圖 銳 角 三 角 形 鈍 角 三 角 形 四 邊 形 : 一 個 四 邊 形 有 四 個 頂 點 四 個 邊 和 四 個 角 長 方 形 : 四 個 角 都 是 直 角 的 四 邊 形, 叫 做 長 方 形, 也 稱 做 矩 形 如 下 圖, 長 方 形 相 對 的 兩 邊 都 等 長 正 方 形 : 四 邊 都 等 長 的 長 方 形, 如 右 圖 ; 正 方 形 也 是 長 方 形 的 一 種 6

平 行 四 邊 形 : 兩 雙 對 邊 分 別 平 行 的 四 邊 形, 如 下 圖, //, // O 平 行 四 邊 形 有 以 下 重 要 性 質, 後 面 章 節 我 們 會 一 一 證 明, 現 在 我 們 先 來 了 解 一 些 性 質 : 平 行 四 邊 形, 兩 組 對 邊 分 別 相 等, 即 =, = 平 行 四 邊 形, 兩 組 對 角 分 別 相 等, 即 =, = 平 行 四 邊 形, 兩 條 對 角 線 互 相 平 分, 即 O = O, O = O 菱 形 : 四 邊 都 相 等 的 四 邊 形, 如 下 圖, = = = O 菱 形 有 以 下 性 質, 後 面 章 節 我 們 會 一 一 證 明, 現 在 我 們 先 來 了 解 這 些 性 質 : 兩 對 角 線 互 相 垂 直, 即 兩 對 角 線 互 相 平 分, 即 O = O O = O 箏 形 : 兩 雙 鄰 邊 分 別 相 等 的 四 邊 形, 如 下 圖, =, = O 梯 形 : 只 有 一 雙 對 邊 平 行, 另 ㄧ 雙 對 邊 不 平 行 的 四 邊 形, 如 下 圖, // 由 定 義 可 知, 平 行 四 邊 形 菱 形 長 方 形 和 正 方 形 都 不 是 梯 形 7

對 角 線 : 四 邊 形 中, 不 相 鄰 的 兩 個 頂 點 的 連 線 叫 做 它 的 對 角 線 每 一 個 四 邊 形 都 有 兩 條 對 角 線 四 邊 形 的 每 一 條 對 角 線 都 把 這 個 四 邊 形 分 割 成 兩 個 三 角 形, 如 下 圖 線 角 對 對 角 線 對 三 角 形 角 三 角 形 線 我 們 可 以 利 用 四 邊 形 的 對 角 線 性 質 來 簡 單 的 判 別 某 些 四 邊 形 : a. 對 角 線 互 相 平 分 的 四 邊 形 必 為 平 行 四 邊 形 b. 對 角 線 互 相 平 分 且 相 等 的 四 邊 形 必 為 矩 形 c. 對 角 線 互 相 平 分 且 垂 直 的 四 邊 形 必 為 菱 形 d. 對 角 線 互 相 平 分 且 垂 直 相 等 的 四 邊 形 必 為 正 方 形 關 係 如 下 圖 : 平 行 四 邊 形 長 方 形 正 方 形 菱 形 四 邊 形 的 包 含 關 係 : 由 各 種 四 邊 形 的 定 義 來 看, 如 下 圖, 可 以 歸 納 出 四 邊 形 彼 此 間 的 關 係 四 邊 形 平 行 四 邊 形 長 方 形 正 方 形 菱 形 箏 形 梯 形 上 圖 中 大 範 圍 包 含 小 範 圍, 大 範 圍 有 的 性 質, 小 範 圍 必 定 有 其 性 質 反 之, 小 範 圍 有 的 性 質, 大 範 圍 不 一 定 有 其 性 質 像 是 平 行 四 邊 形 有 三 項 性 質 :() 兩 雙 對 邊 相 等 () 兩 雙 對 角 相 等 (3) 兩 對 角 線 互 相 平 分 則 菱 形 長 方 形 正 方 形 皆 有 上 列 性 質 同 理, 箏 形 的 兩 雙 鄰 邊 分 別 相 等, 對 角 線 互 相 垂 直, 菱 形 與 正 方 形 也 有 同 性 質 ; 菱 形 任 一 對 角 線 會 平 分 其 頂 角, 兩 對 角 線 互 相 垂 直 平 分, 正 方 形 亦 有 相 同 性 質 ; 長 方 行 四 個 角 皆 為 直 角, 對 角 線 互 相 平 分 且 相 等, 正 方 形 亦 會 有 相 同 性 質 ; 反 之, 正 方 形 對 角 線 互 相 垂 直, 長 方 形 則 沒 有 此 性 質 正 方 形 對 角 線 等 長, 菱 形 及 箏 形 則 沒 有 此 性 質 8

圓 : 在 平 面 上 與 一 固 定 點 的 距 離 等 於 一 固 定 長 度 的 所 有 點 所 組 成 的 圖 形 如 下 圖, 固 定 點 叫 做 圓 心, 固 定 長 度 叫 做 半 徑 圓 心 與 圓 上 任 意 點 所 連 的 線 段 也 叫 做 半 徑 半 徑 半 徑 圓 心 弦 : 圓 上 任 意 兩 點 所 連 的 線 段 如 下 圖, 如 果 一 弦 恰 好 通 過 圓 心, 它 就 是 直 徑, 所 以 直 徑 也 是 一 弦 直 徑 弦 弧 : 一 弦 把 圓 分 為 兩 部 分, 每 一 部 分 都 叫 做 弧 如 下 圖, 大 於 半 圓 的 弧 叫 做 優 弧 ; 小 於 半 圓 的 弧 叫 做 劣 弧 優 弧 弦 劣 弧 弓 形 : 圓 的 一 弦 和 其 所 對 的 一 弧 所 組 成 的 圖 形 如 右 圖 扇 形 : 圓 的 兩 半 徑 和 其 所 夾 的 弧 所 組 成 的 圖 形 如 下 圖 扇 形 弓 形 弓 形 扇 形 圓 形 周 長 及 面 積 的 計 算 公 式 : 若 圓 形 半 徑 =r, 則 圓 形 周 長 =π r, 圓 形 面 積 =π r 扇 形 周 長 及 面 積 的 計 算 公 式 : 如 右 圖, 若 扇 形 半 徑 =r, 圓 心 角 =n, 則 扇 形 周 長 =(π r 圓 形 面 積 =π r n 360 n 360 )+ r, 9 r n

有 關 簡 單 幾 何 圖 形 的 應 用 範 例 如 右 圖, 求 灰 色 面 積 部 分 的 周 長 及 面 積 解 答 周 長 = 大 弧 長 + 小 弧 長 + 半 徑 差 5 公 分 0 9 公 分 0 0 = 9 π + 5 π + (9-5) 360 360 = 8 π +8 ( 公 分 ) 3 面 積 = 大 扇 形 面 積 - 小 扇 形 面 積 = 0 360 9 9 π - 0 360 5 5 π = 56 π ( 平 方 公 分 ) 3 範 例 一 圓 上 有 相 異 6 點 : E F, 任 意 兩 點 成 一 弦, 問 此 6 點 共 可 連 成 幾 條 弦? 解 答 自 點 出 發, 可 得 E F 共 5 條 自 點 出 發, 可 得 E F 共 4 條 自 點 出 發, 可 得 E F 共 3 條 自 點 出 發, 可 得 E F 共 條 自 E 點 出 發, 可 得 EF 共 條 共 5+4+3++=5 條 F E 範 例 一 圓 上 有 相 異 6 點, 問 此 6 點 共 可 決 定 幾 個 弧? 解 答 因 為 條 弦 可 決 定 個 弧, 所 以 由 上 題 範 例 可 知 此 6 點 共 可 決 定 5 = 30 個 弧 範 例 一 練 習 一 一 圓 上 有 相 異 8 點, 任 意 兩 點 成 一 弦, 問 此 8 一 圓 上 有 相 異 0 點, 問 此 0 點 共 可 決 定 幾 點 共 可 連 成 幾 條 弦? 個 弧? 0

範 例 二 練 習 二 一 圓 直 徑 公 分, 將 其 對 摺 3 次, 求 : 將 一 圓 對 摺 4 次, 問 : () 摺 痕 將 此 圓 分 成 幾 等 分? () 摺 痕 將 此 圓 分 成 幾 等 分? () 最 後 所 得 扇 形 面 積 () 最 後 所 得 扇 形 面 積 與 圓 面 積 的 比? 範 例 三 練 習 三 求 此 斜 線 部 份 的 周 長 及 面 積 如 右 圖, 此 圓 半 徑 為 公 分, 求 此 斜 線 部 分 周 長 及 面 積 6 公 分 60 O 0 公 分 O 範 例 四 練 習 四 如 右 圖, 分 別 以 E 為 頂 點 的 如 右 圖, 請 問 其 中 共 有 多 少 個 正 方 形? 三 角 形 有 哪 些? E

認 識 柱 體 與 錐 體 : 在 日 常 生 活 中, 我 們 可 以 看 到 許 多 簡 單 的 立 體 圖 形, 例 如 : 正 方 體. 長 方 體 : 頂 點 長 方 體 角 柱 角 錐 及 球 等, 其 中 由 多 邊 形 的 平 面 所 圍 成 的 立 體 圖 形 叫 做 多 面 體 在 多 面 體 中, 圍 成 此 多 面 體 的 各 多 邊 形, 其 相 鄰 兩 個 面 的 交 線 叫 做 邊 或 棱, 邊 的 交 點 叫 做 頂 點 () 由 6 個 長 方 形 的 面 所 圍 成 的 立 體 圖 形, 如 下 圖 () 有 8 個 頂 點, 個 邊 與 6 個 面 (3) 每 個 面 都 是 長 方 形, 其 中 上 下 兩 面 全 等, 左 右 兩 面 全 等, 前 後 兩 面 全 等 (4) 相 鄰 的 兩 邊 一 定 互 相 垂 直, 相 鄰 的 面 也 一 定 互 相 垂 直 頂 點 邊 頂 點 面 面 頂 點 頂 點 邊 頂 點 上 底 下 底 側 面 頂 點 邊 面. 正 方 體 : 展 開 圖 () 由 6 個 全 等 的 正 方 形 所 圍 成 的 立 體 圖 形, 如 下 圖 () 有 個 等 長 的 邊,8 個 頂 點 與 6 個 面 兩 平 面 垂 直 : 長 方 體 中 相 鄰 的 兩 邊 會 互 相 垂 直, 而 它 相 鄰 的 兩 個 面, 我 們 稱 為 兩 個 互 相 垂 直 的 平 面 我 們 要 檢 驗 兩 個 相 交 平 面 是 否 互 相 垂 直 時, 可 以 用 長 方 體 來 檢 驗 將 一 個 長 方 體 緊 靠 這 兩 個 相 交 平 面, 如 果 長 方 體 的 兩 面 和 被 量 測 的 兩 平 面 重 合 時, 我 們 就 說 這 兩 個 平 面 互 相 垂 直 展 開 圖 兩 平 面 不 垂 直 兩 平 面 不 垂 直 空 隙 兩 平 面 不 垂 直 空 隙

3. 角 柱 : 角 柱 是 由 兩 個 全 等 多 邊 形 的 底 面 ( 或 簡 稱 為 底 ), 和 一 些 長 方 形 的 側 面 所 組 成 的 立 體 圖 形 如 果 一 個 角 柱 的 兩 個 底 都 是 n 邊 形, 稱 這 個 角 柱 為 n 角 柱, 它 有 n 個 側 面 () 直 角 柱 : 每 個 側 面 都 和 底 面 垂 直 的 角 柱, 叫 做 直 角 柱 () 斜 角 柱 : 如 果 側 面 和 底 面 不 垂 直 的 角 柱, 叫 做 斜 角 柱 底 面 (3) 正 n 角 柱 : 若 一 個 n 角 柱 的 底 面 是 正 多 邊 形, 則 稱 為 正 n 角 柱 (4) 在 國 中 數 學 中, 所 說 的 角 柱, 通 常 是 指 直 角 柱 底 面 側 面 側 面 四 角 柱 五 角 柱 正 六 角 柱 斜 角 柱 斜 角 柱 三 角 柱 展 開 圖 範 例 觀 察 右 圖 的 直 五 角 柱, 回 答 下 列 問 題 : () 此 五 角 柱 共 有 多 少 個 面? 它 們 分 別 是 什 麼 形 狀? () 此 五 角 柱 共 有 多 少 個 邊? 共 有 多 少 個 頂 點? 解 答 () 共 有 7 個 面, 其 中 個 全 等 底 面 是 五 邊 形, 5 個 側 面 是 長 方 形 () 上 下 兩 個 底 面 各 是 5 個 邊, 側 面 除 了 底 面 重 複 的 邊 外, 尚 有 5 個 邊, 所 以 共 有 5 個 邊 上 下 兩 個 底 面 各 是 5 個 頂 點, 所 以 共 有 0 個 頂 點 範 例 填 填 看 : 下 列 角 柱 各 有 多 少 個 頂 點? 多 少 個 邊? 多 少 個 面? 角 柱 頂 點 數 邊 數 面 數 六 角 柱 8 8 七 角 柱 4 9 4. 角 錐 : 角 錐 是 由 一 個 多 邊 形 的 底 面, 和 一 些 三 角 形 的 側 面 所 組 成 的 立 體 圖 形 如 果 一 個 角 錐 的 底 都 是 n 邊 形, 稱 這 個 角 錐 為 n 角 錐, 它 有 n 個 側 面 () 直 角 錐 : 每 個 側 面 是 等 腰 三 角 形 的 角 錐, 叫 做 直 角 錐 () 正 n 角 錐 : 若 一 個 n 角 錐 的 底 面 是 正 多 邊 形, 且 每 個 側 面 都 是 等 腰 三 角 形, 則 稱 為 正 n 角 柱 (3) 在 國 中 數 學 中, 所 說 的 角 錐, 通 常 是 指 正 角 錐 底 面 側 面 3

三 角 錐 四 角 錐 五 角 錐 四 角 錐 展 開 圖 範 例 一 個 正 六 角 錐 共 有 多 少 個 頂 點? 多 少 個 邊? 多 少 個 面? 解 答 正 六 角 錐 的 底 面 有 6 個 頂 點, 加 上 錐 頂, 共 有 7 個 頂 點 正 六 角 錐 的 底 面 有 6 個 邊, 加 上 側 面 的 6 個 邊, 共 有 個 邊 正 六 角 錐 有 個 底 面 和 6 個 側 面, 共 有 7 個 面 範 例 填 填 看 : 下 列 角 錐 各 有 多 少 個 頂 點? 多 少 個 邊? 多 少 個 面? 圖 形 頂 點 數 邊 數 面 數 三 角 錐 4 6 4 四 角 錐 5 8 5 五 角 錐 6 0 6 六 角 錐 7 7 5. 圓 柱 : 圓 柱 是 由 兩 個 等 圓 形 的 底 面, 和 一 個 側 面 所 構 成 的 立 體 圖 形 圓 柱 沒 有 頂 點 與 邊, 側 面 可 以 展 開 成 一 個 長 方 形, 其 一 邊 長 為 底 圓 的 圓 周 長, 另 ㄧ 邊 長 為 柱 高 () 直 圓 柱 : 兩 底 圓 心 的 連 線 與 兩 底 的 所 有 半 徑 都 垂 直 的 圓 柱 () 國 中 數 學 中, 只 討 論 直 圓 柱 上 底 上 底 側 面 柱 高 側 面 柱 高 下 底 圓 周 長 下 底 展 開 圖 範 例 如 右 圖, 計 算 圓 柱 側 面 展 開 後 的 周 長 ( 單 位 : 公 分 ) 解 答 ( 5 π + 0 ) = 0 π + 0 ( 公 分 ) 5 0 4

6. 圓 錐 : 圓 錐 是 由 一 個 圓 形 的 底 面 一 個 頂 點 和 一 個 側 面 所 構 成 的 立 體 圖 形 圓 柱 沒 有 邊, 側 面 可 以 展 開 成 一 個 弧 長 等 於 底 圓 圓 周 長 的 扇 形 () 直 圓 柱 : 頂 點 與 底 圓 心 的 連 線 與 底 的 所 有 半 徑 都 垂 直 的 圓 錐 () 國 中 數 學 中, 只 討 論 直 圓 錐 頂 點 高 側 面 底 面 展 開 圖 表 面 積 與 體 積 計 算 :. 長 方 體 : 長 寬 高 各 為 a b c 的 長 方 體, b a a a 表 面 積 =(ab+bc+ca), 體 積 =abc c a. 正 方 體 : 邊 長 為 a 的 正 方 體, 表 面 積 =6a, 體 積 =a 3 範 例 求 右 圖 中, 長 方 體 的 表 面 積 與 體 積 各 為 多 少? 解 答 表 面 積 = ( 長 寬 + 寬 高 + 長 高 ) = (5 3 + 3 + 5 ) = 46 (cm ) 體 積 = 長 寬 高 =5 3 = 5 (cm 3 ) 3cm cm 5cm 範 例 求 右 圖 中, 正 方 體 的 表 面 積 與 體 積 為 多 少? 解 答 表 面 積 = 6 0 0 = 600 (cm ) 體 積 = 0 0 0 = 000 (cm 3 ) 0cm 3. 角 柱 : 表 面 積 =( 底 面 積 ) +( 側 面 積 ), 體 積 = 底 面 積 高 範 例 求 右 圖 中 立 體 圖 形 的 表 面 積 與 體 積? 解 答 底 面 積 =8 5 =0 側 面 長 方 形 面 積 =6 + 8 + 8 = 64 表 面 積 = 底 面 積 + 側 面 長 方 形 面 積 = 0+64=304(cm ) 體 積 = 底 面 積 高 =0 = 40 (cm 3 ) 6cm 5cm 8cm 8cm cm 5

4. 角 錐 : 表 面 積 =( 底 面 積 )+( 側 面 積 ) 範 例 右 圖 是 一 個 四 角 錐 的 玩 具 金 字 塔, 其 底 面 是 邊 長 6 公 分 正 方 形, 四 個 側 面 是 腰 長 5 公 分 的 等 腰 三 角 形, 求 此 四 角 錐 的 表 面 積 與 體 積? 解 答 等 腰 三 角 形 的 高 = 5 3 = 4 側 面 三 角 形 面 積 = 底 面 積 =6 6=36 6 4= 表 面 積 = 底 面 積 + 4 側 面 三 角 形 面 積 = 36 + 4 = 36 + 48 = 84 (cm ) 5 公 分 6 公 分 5 公 分 5. 圓 柱 : 底 面 半 徑 為 r, 高 為 h, r r 表 面 積 = 底 面 積 + 圓 柱 側 面 積 =π r +π rh 體 積 = 底 面 積 高 =π r h h 圓 周 長 = r h π 範 例 求 右 圖 圓 柱 的 表 面 積 與 體 積? 解 答 底 面 積 =6 6 π =36π 圓 柱 側 面 積 = 長 方 形 面 積 = 6 π 0 = 40π 表 面 積 = 底 面 積 + 圓 柱 側 面 積 = 36π + 40π = 3 (cm ) 體 積 =36π 0 = 70π (cm 3 ) 0cm cm 6. 圓 錐 : case : 底 面 半 徑 為 r, 扇 形 半 徑 為 a, 表 面 積 = 底 面 積 + 側 面 積 ( 扇 形 ) r π = r π + a π a π 說 明 因 圓 錐 展 開 後 的 扇 形 弧 長 = 底 面 圓 周 長 =rπ, rπ 所 以 扇 形 的 度 數 為 a π a r r a case : 底 面 半 徑 為 r, 高 為 h, 則 扇 形 半 徑 為 r + h, 表 面 積 = 底 面 積 + 側 面 積 ( 扇 形 ) = r π + ( r + h ) π r r π + h π h r r r + h 6

範 例 如 右 圖, 求 此 圓 錐 的 表 面 積 ( 單 位 : 公 分 ) 解 答 圓 錐 展 開 後 的 扇 形 弧 長 占 圓 周 的 0 π = 0 π 0 0 故 側 面 積 =0 =00π 表 面 積 = 底 面 積 + 側 面 積 =0 0 π +00π =300π ( cm ) 範 例 一 在 下 面 的 四 個 圖 中, 哪 些 是 正 確 的 正 方 體 展 開 圖? 請 在 ( ) 內 打 ˇ: () () (3) (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 練 習 一 下 圖 哪 幾 個 圖 形 是 圓 柱 體 的 展 開 圖?( ) () () (3) (4) 範 例 二 圖 ( 一 ) 是 由 白 色 紙 拼 成 的 立 體 圖 形, 將 此 立 體 圖 形 中 的 兩 面 塗 上 顏 色, 如 圖 ( 二 ) 所 示 下 列 四 個 圖 形 中 哪 一 個 是 圖 ( 二 ) 的 展 開 圖? () () 圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) () () 7

練 習 二 () 右 圖 為 一 立 體 圖 形, 則 下 列 ()~() 四 個 平 面 圖 形 中, 何 者 為 此 立 體 圖 形 所 對 應 的 展 開 圖?( ) () () () () 範 例 三 練 習 三 如 下 圖, 下 半 部 邊 長 為 6 公 分 的 正 方 體, 上 半 部 是 腰 長 5 公 分 的 正 四 角 錐, 求 此 多 面 體 的 表 面 積 如 下 圖, 求 此 多 面 體 的 表 面 積 0cm 5cm 5cm 5cm 6cm 6cm 範 例 四 練 習 四 如 下 圖, 求 五 角 柱 形 的 工 具 箱 體 積 如 圖 所 示, 工 具 箱 的 蓋 子 是 圓 柱 的 一 半, 盒 身 是 長 方 體, 求 工 具 箱 體 積 0 公 分 0 公 分 0 公 分 40 公 分 8cm 8cm 4cm 0 公 分 8

範 例 五 練 習 五 下 圖 是 一 個 圓 錐 側 面 展 開 後 的 扇 形 如 圖 示, 已 知 圓 O 的 半 徑 為 5 公 分, 扇 形 O 3 的 面 積 恰 為 圓 面 積 的 求 : 5 弧 長 =π () 求 此 扇 形 兩 半 徑 所 夾 的 圓 心 角 度 數 () 求 此 圓 錐 的 底 面 積 (3) 求 此 圓 錐 的 表 面 積 O 5 公 分 () 扇 形 O 的 面 積 為 多 少 平 方 公 分? () 扇 形 O 兩 半 徑 所 夾 的 圓 心 角 為 多 少 度? (3) 扇 形 O 的 弧 長 為 多 少 公 分? 範 例 六 練 習 六 cm 逢 甲 茶 行 賣 出 一 罐 茶 葉, 店 員 玲 玲 將 一 個 圓 柱 體 半 徑 為 5 公 用 一 張 包 裝 紙 包 裝 側 面, 左 右 重 疊 3 公 分, 再 用 包 裝 繩 如 包 裝, 打 結 處 是 5 公 分 5cm 分, 柱 高 為 0 公 分 的 果 凍 筒, 放 在 一 個 長 方 體 的 盒 子 裡, 盒 子, 盒 子 至 少 還 有 多 少 空 間? (π 以 3.4 代 入 ) () 求 包 裝 紙 的 長 寬 各 多 少 公 分? () 需 要 繩 子 多 少 公 分?(π 以 3.4 代 入 ) 9