Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a : aj a : aj = j 由 l a =+知 l =+ 而 E m m = a p < j= j j 所以 lm ap j ( aj) lm ap = 从而 lm ap j ( aj) = j j = j j 4.7 设 Y 都是只取两个值的随机变量 则 a a b b R st.. a Y a = B( p ) Y = B p b b Y 独立 Y 独立 Y 不相关 Y 不相关 所以只需说明 B( p ) 关 ( 详细证明略 ) ( ) Y B( p ) 时 Y 独立的充要条件是 Y 不相 Y 不相关 EY ( ) = EEY P ( = Y = ) = pp Y 独立 C46 4.9 令 表示抽中前的抽签次数 则 P ( ) = C 46 C E = P = = = = 46 49 46 4 4 ( C5) C 9 = C5 = 4. 5 4.9 m+ E = f ( ) d = e d m = + m! P( < < ( m+ )) = P( m < E < m+ )
计算 Var( ): = P( E < m+ ) = P( E m+ ) (*) Var E E e d m m! m+ = = ( + ) = ( m+ )( m+ ) ( m+ ) = m+ m + P( E m+ ) = m+ m+ m 从而由 (*) 知 P( < < ( m+ )) m + 4.4 由练习 4.5() 知 [ E ( Y)] E ( Y) 又 E( Y) = μ E ( Y) = a μ a 即 μ a E E EE [ ( Y)] a μ = μ = μ = μ μ = as.. 即 = μ as.. 的充要条件是 a = μ 4.38 首先说明 E <: = E E M E < 其中 M 是 E 的上界 = = = = 再来证 E = μ P( ): E = E( E( )) = E( E ) = = = = E( μ ) = ( μ ) P ( = ) = μ ( P ( = )) = μ P ( ) = = = = = = 4.38 ( 详细的证明 ) 首先说明 : E < =
E( ) E = E( ( ω)) { = } = = = = = E( ) = E( ; = ) { = } = = = = = E( ; = ) = E( ) P( = ) = E( ) P( = ) = = = = = = = E P( = ) = E P( ) M P( ) = = = M E < = = E( ) = E( ( ω)) = E( ( ) ) = E( ( ) { = } { = } { = } = = = = = = = Fub = E( ; = ) = E( ) P( = ) = = E P( ) = = = = = = = μ P ( ) ) 4.43 + + ) E = E E = E = E + ( σ ) E = E E ) P ( E> σ ) = P(( μ) + ( μ) >σ ) + + P(( μ) > σ) E( μ) σ 4.6 () ( F( )) d = P( > ) d y = = d f y dy = f y dy d = yf y dy E t= α α α α α α () E = P( > t) dt = P( > ) α d Or: P ( ) α α α d ( F ) α d = > = α α ( F( )) α d= P( > ) α d α y α α = α d f ( y) dy = f ( y) dy α d = y f ( y) dy = E α 3
4. 设库存为 台 由于销量 Y 是随机变量 所以利润 R 也是随机变量 其中 ay b( Y ) Y R = a Y > = [( a+ b) Y b] + a { Y } { Y> } ER = ( a + b) yf ( y) dy bp( Y ) + ap( Y > Y ) = ( a+ b) yf ( y) dy ( a+ b) P( Y ) + a Y = ( a + b) yf ( y) dy ( a + b) f ( y) dy + a Y ER a ( a b ) e λy dy a ( a b )( e λ = + λ = + ) ER a λ 令 = 得 = e a+ b a+ b = l 时 平均利润达到最大 λ b Y Z 5.7 设 Z = 已知 Φ () t = ep t μ t Σ Z t 其中 Σ 是 阶对称非负定 Z 矩阵 要证一定存在 μ 矩阵 ε ε ε 使得 B 及..d. 服从 ( ) 分布的随机变量 由 Σ 是对称矩阵知 正交矩阵 U( Z = μ + Bε. UU I = 阶单位阵 ) 使得 U λ λ r Σ U =Λ= 其中 λ λ λ r ( r 称为 r r Σ 的秩 ) 又因 Σ 非负定 所以 λ > = r 4
λ λr 从而 Λ=D 其中 D = 从而 Σ= UΛ U = UDDU = UD UD.( 提示我们取 B= UD) 因 U ( Z μ ) 的特征函数为 ( μ) ( μ) Φ t = Ee = Ee = ep Ut μ Ee U ( Z μ )() ( ) ( Ut μ ) Z ( Ut) ( ( Ut) μ) ep( Ut) μ ( Ut) ( Ut) t U Z Ut Z Ut Z = ep Φ = ep Σ = ep tu Σ Ut= ep tλt U ( Z μ ) ( Λ) 即 U ( Z μ ) 的前 r 个分量是 r 个互相独立的正态随机变量 方差分别为 λ λr 后 -r 个分量为 取 ε ε r U Z μ 前 r 个分量的正规 分别为 化 ε r ε 分布 且 ε εr εr+ ε互相独立 D ε = U Z μ 即 Z = μ + UDε. +..d. 服从 则 5.7 另解 : Σ 非负定 设秩为 m m阶矩阵 Bs.t. Σ= BB 且 B B 是 m 阶可逆矩阵 令 ε = ( B B) B ( Z μ ) 即可 5.47 设..d. 服从 U() 分布 设 hd<+ ( 若 望为 + 的情形 不要求 ) hd= + 结论仍成立 但需推广强大数律到期 5
as.. 由强大数律 ( 由 g Eg g( ) d = = Eg M Eh M h d < as.. 同理 = = h Eh h( ) d as.. ( ) ( ) = = + 知可用强大数律 ) g h g( ) d h( ) d = = 又由 g < M h 知 g( ) h( ) M E g h = = <+ g + g + + g gd 且 E h ( ) + h ( ) + + h ( ) hd ( ) g + g + + g gd 即 lm d d. = h( ) + h( ) + + h( ) hd U = + Y 5. 另 设 U V 的 p.d.f. 分别为 g(u) h(v) V = Y 由 U V 独立知 (UV) 的联合 p.d.f. 为 g(u) h(v) 由 Y 独立知 (Y) 的联合 p.d.f. 为 f(u) f(v) 从而求得 (UV) 的 p.d.f. 为 u + v f f u v u+ v u v g u h v = f f u v u v log g u log h v log log f + log f + = + + 两边取对数 : 令 m = log f( ) 上式变为 u v u v log g( u) log h( v) log m + m + = + + 6
两边求 u v 得 m'' u+ v m'' u v = 常数 c 使得 m'' c 从而 常数 a b 使得 m a+ b+ c f ( ) = ( a+ b+ c ) ep 又 f() 是 p.d.f. 且 f() 恒正 c 再由 P 75 练习.3(3) 知 f() 是正态 p.d.f. 从而 也服从正态分布 由 5.3 节相关知识 +Y -Y 都服从正态分布 5.44 设..d. 服从 Posso() 分布 由中心极限定理 + + + d ( ) + + + P lm + + + = P( ) + + + 服从 Posso() 分布 又 + + + = = P e P( )! lm + + + = = = 即 lm e =.! = μ μ = = 5.33 由中心极限定理 近似有 ( ) 即 ( / ) σ σ σ μ = m σ 同理 Y μ m = m 7
m σ σ Y μ μ +. = m = m 5.35 注意 + 是单增函数 ( ) μ μ μ 由 E = E { } + E { } μ μ μ > ε μ μ ε + + + ε P( μ > ε ) μ + ε 知 E + ( μ ) ε P( μ > ε) + + ε μ 由 () 知 lm E = + μ P μ. 由 () 知 若 P μ 则对 ε μ 由 ε 的任意性知 lm E =. + μ (). () 可推出 对 ε > P( μ > ε) μ ε > lm E + μ + ε 5.3 只需证明 P ( ξ η > ε) = 对任意 ε 成立 ε ε 而 ξ η > ε ξ or η ε ε > + P( ξ η ε) P ξ P η P ( ξ η > ε) = P( ξ η) = P( ξ η ) = P ξ η > P ξ η > =. 5.39 对任意 ε > ε ε P( + Y Y > ε ) P > + PY Y > P 由 ε 的任意性知 + Y +Y. 8