物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f g (iii) 連鎖律 : f (g ()) = g y y=g() 由萊布尼茲律可將 (α )=α α 1 推到 α 是任意整數的情形 假設 n 是正整數, 令 f () = n f () n =1 = f 0 n + f n n 1 =0 = f 0 = nf 1 = n n 1 1
由連鎖率可將 (α )=α α 1 推廣到 α = 1 n 令 f () = 1 n 兩邊微分 : = [f ()] n = n [f ()] n 1 f 0 () =1 f 0 () = 1 n [f ()]1 n = 1 n 1 n 1 同理可將此結果推廣到 α = n m, 任意有理數 Eample 1 ( + +) 3 f (g) =g 3,g() = + + {f (g ())} 0 = g g = 3g 4 ( +1) = 3( +1) + + 4 三角函數的微分 : sin ( + ) sin () sin sin cos +cossin sin lim cos =1 = sin 當 0 < < π sin, sin < < tan = cos 即 = 1 < sin < 1 = lim sin =cos 同理 sin =1 cos µ sin cos cos ( + ) cos () cos cos cos sin sin cos = sin,
tan = = µ sin cos 1 cos =sec 0 = cos cos sin µ sin cos 同理 cot = csc sin sec = =tansec cos 同理 csc = cot csc 指數函數的微分根據定義 其中 a a + a c (a) = ½ lim ¾ a 1 = ca 隨 a 遞增, 但是與 無關 存在自然基底 e 使得 c (e) =1 即 e = e 數值上 e n µ1+ 1 n n.7188 e 1 lim lim n 假設 n = m 是整數 e 1 lim lim µ 1+ m m = k=0 m e 1 = lim µ 1+ n 1 n 1 µ 1+ m m 1 k µ = lim 1+ m = m m mx m! µ k!(m k)! m ½ ¾ 1+ + O ( ) 1 =1 3 X k=0 k k!
HW 1. 定義雙曲線三角函數 證明 sinh e e cosh e + e tanh sinh cosh sinh = cosh cosh = sinh tanh = sech 反函數的微分令 y = f 1 () = f (y) = 兩邊微分 :f 0 (y) y =1 = y = 1 f 0 (y) = 1 f 0 [f 1 ()] 自然對數 : 以 e 為底的對數, 記做 ln ln 是 e 的反函數令 y =ln = e y = = y = 1 e y = 1 a = (ln a) e a = (lna) e (ln a) =lna a arcsin (), arccos (), arctan () 分別是 h sin (), cos (), tan () 的反函數 arcsin (), arctan () 的值域一般取成 π, π i arccos () 的值域則是 [0,π]( 單值 ) Eample arcsin () =? 令 y =arcsin() = sin (y) = y = 1 cos (y) = 1 1 4
HW. 求 arccos () 及 arctan () HW 3. 求 arc sinh (), arc cosh () 及 arc tanh () HW 4. 隱函數的微分 4 +y y =1 ;求曲線在 (, y) =(1, 1) 處的斜率把 y 看成是 的函數 y (), 則上式 4 + y () y () =1 是一個恆等式 = 8 +y ()+y 0 () y () y 0 () =0 y 0 () {y () } =8 +y () y 0 () = 4 + y () y () (, y) =(1, 1) = y 0 () = 3 ye y +3=0 求曲線在 (, y) =(1, 0) 處的斜率 高階微分 : f = µ, f (n) () = f (n 1) () 1. 若 f 0 ( 0 ) > 0, 則在 0 附近 f () 隨 遞增 若 f 0 ( 0 ) < 0, 則在 0 附近 f () 隨 遞減. 若 f 0 ( 0 )=0, 且 f 00 ( 0 ) > 0, 則 f ( 0 ) 為極小 若 f 0 ( 0 )=0, 且 f 00 ( 0 ) < 0, 則 f ( 0 ) 為極大 3. 反曲點 :f 0 ( 0 )=f 00 ( 0 )=0, 但 f 000 ( 0 ) 6= 0, 例如 f () = 3, 在 =0 處 f 0 (0) = f 00 (0) = 0,f 000 (0) = 6 6= 0 5
Eample 3 畫出 y = 1 3 3 + 的曲線 y = 1=0 極值點 1=0 = = ±1 y = = y = 1 = ( 極大 ) y =1 =( 極小 ) y ( 1) = 1 3 ( 1) + = 8 3 y (1) = 1 3 1+= 4 3 3.5 y 1.5 1 0.5 0-3 - -1 0 1 3 泰勒展式 : f () 在 = 0 處的泰勒展開 f () = f ( 0 )+f 0 ( 0 )( 0 )+ f 00 ( 0 )! + f (n) ( 0 ) ( 0 ) n + n! y 0 f ( 0 ), 1 = 0 +,y 1 f ( + ) 考慮通過 ( 0,y 0 ), ( 1,y 1 ) 的直線 ( 0 ) + g 1 () =a 1 + b 1 = ½ a1 + b 1 0 = y 0 a 1 + b 1 1 = y 1 6
= a 1 = y 0 0 (y 1 y 0 ),b= y 1 y 0 在 0 的極限下, 定義 Eample 4 g 1 () =f ( 0 )+f 0 ( 0 )( 0 ) = 0 +,y = f ( +) 考慮通過 ( 0,y 0 ), ( 1,y 1 ), (,y ) 的拋物線 g () =a + b + c = = a + b 0 + c 0 = y 0 a + b 1 + c 1 = y 1 a + b + c = y = a = y 0 + 0 [3y 0 4y 1 + y ] b = [3y 0 4y 1 + y ] c = [y 0 y 1 + y ] 在 0 的極限下, b + c ( 1 + 0 )= y 1 y 0 1 0 b + c ( + 1 )= y y 1 1 + 0 [y 0 y 1 + y ] 0 [y 0 y 1 + y ] g () =f ( 0 )+f 0 ( 0 )( 0 )+ f 00 ( 0 ) e = e, e e =0 =1 = e = = e,, n e X n=0 n = e 1 n! n, 在 =0 的展開 HW 5. 求 sin (), cos () 及 (1 + ) α 在 =0 的泰勒展開 泰勒展開可以用來估計數值 ( 0 ) Eample 5 估計 104 104 = 100 + 4 = 10 1+0.04 10 ½ 1+ 1 (0.04) ¾ = 10+0. =10. 7
Eample 6 當 θ<10 即 θ< π 18 ¾ sin θ ' θ ½1 θ3 6 = θ θ 6 ³ µ π 1 /6 0.05 約為第一項的 18 00 偏微分 : f (, y) f ( +,y) f (, y) 即把 y 當作常數 f(,y) 同理是對 y 的偏微, 即把 當作常數 y Eample 7 求 f (, y) = y + y 3 +3y 的極小值 f (, y) = y 3=0 f (, y) y = +y +3=0 = + y =0(, y) =(1, 1) f (1, 1) = 1 ( 1) + 1 3+( 3) = 3 有條件限制時求極值的方法 : 引進 Lagrange 乘數 Eample 8 3 + y =1, 求 +y 的極值 方法 1: 令 =3cosθ, y =sinθ 此參數式可自然滿足 3 + y =1, 則 +y =3cosθ +4sinθ 3 +4 3cosθ +4sinθ 3 +4 故極大 極小分別是 5 和 5 方法 : 令 ½ ¾ f (, y) = +y λ 3 + y 1 限制條件 接下來把, y 當作互相獨立, ½ ¾ f =1 λ =0 ½ 9 ¾ f y y = λ =0 4 = 8 = 9 λ y = 4 λ
9 + y 4 =1 = 1 µ 9 9 4λ + 1 µ 4 4 λ =1 µ 9 4 +4 = λ = λ = ± 5 µ 9 (, y) = 5, 8 µ 或 9 5 5, 8 5 +y =5 或 5 Eample 9 + y + y =1 求 + y 的極值 令 f (, y) = + y λ + y + y 1 ª f f y = λ { + y} =0 (1) = 1 λ { +y} =0 () (1) () : y =0 代入 + y + y =1 = =1 = = ±1 + y = 或 HW 6. 一個靜止中的炸彈爆炸後裂成 3 塊, 質量分別是 m 1,m 及 m 3, 若炸藥的內能是 E, 求 m 1 的最大能量, 即在 ( p 1 + p + p 3 ) = 0 p 1 + p + p 3 m 1 m m 3 = E p 1 的限制下求的最大值 m 1 9