大學入學考試中心 106 學年度學科能力測驗試題數學考科 作答注意事項 考試時間 :100 分鐘題型題數 : 單選題 7 題, 多選題 6 題, 選填題第 A 至 G 題共 7 題作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡 上作答 ; 更正時, 應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 未依規定畫記答案卡, 致機器掃描無法辨識答案者, 其後果由考生自行承擔 選填題作答說明 : 選填題的題號是 A,B,C,, 而答案的格式每題可能不同, 考生必須依各題的格式填答, 且每一個列號只能在一個格子畫記 請仔細閱讀下面的例子 例 : 若第 B 題的答案格式是 18 19, 而依題意計算出來的答案是, 則考生 8 必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記, 如 : 8 18 19 1 4 5 6 7 8 9 0 1 4 5 6 7 8 9 0 例 : 若第 C 題的答案格式是 0 1 50 7, 而答案是時, 則考生必須分別在答 50 案卡的第 0 列的與第 1 列的畫記, 如 : 7 0 1 1 4 5 6 7 8 9 0 1 4 5 6 7 8 9 0 試題後附有參考公式及可能用到的數值
第 1 頁共 7 頁 106 年學測數學考科 第壹部分 : 選擇題 ( 占 65 分 ) 一 單選題 ( 占 5 分 ) 說明 : 第 1 題至第 7 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記 在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 5 分 ; 答錯 未作答或畫記多 於一個選項者, 該題以零分計算 1. 已知某校老師玩過 寶可夢 的比率為 r, 1 而學生玩過的比率為 r, 其中 r1 r 由下列選項中的資訊, 請選出可以判定全校師生玩過 寶可夢 的比率之選項 (1) 全校老師與學生比率 () 全校老師人數 () 全校學生人數 (4) 全校師生人數 (5) 全校師生玩過 寶可夢 人數 a 當一開始時螢. 某個手機程式, 每次點擊螢幕上的數 a 後, 螢幕上的數會變成幕上的數 b 為正且連續點擊螢幕三次後, 螢幕上的數接近下列哪一個選項? (1) 1.7 () () 5. (4) 9 (5) 81 81 試問實數 b 最接近 y x. 設 : 1為坐標平面上一雙曲線, 且其通過第一象限的漸近線為 考慮動 a b 點 (, tt ), 從時間 t 0 時出發 當 t 0 時, 請選出正確的選項 (1) 此動點不會碰到, 也不會碰到 () 此動點會碰到, 但不會碰到 () 此動點會碰到, 但不會碰到 (4) 此動點會先碰到, 再碰到 (5) 此動點會先碰到, 再碰到 4. 在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 AC, 同時出發, 各自以等速直線運動分別向頂點 B, D 前進, 且在 1 秒後分別同時到達 B, D 請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項 (1) 兩質點的距離固定不變 D () 兩質點的距離越來越小 () 兩質點的距離越來越大 1 (4) 在秒時兩質點的距離最小 C A 1 B (5) 在秒時兩質點的距離最大 - 1 -
106 年學測 第 頁 數學考科 共 7 頁 5. 下圖是某城市在 016 年的各月最低溫 ( 橫軸 x ) 與最高溫 ( 縱軸 y ) 的散佈圖 5 0 5 0 15 10 5 0-15 -10-5 0 5 10 15 0 5 今以溫差 ( 最高溫減最低溫 ) 為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖 試依此選出正確的選項 (1) 最高溫與溫差為正相關, 且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 () 最高溫與溫差為正相關, 且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 () 最高溫與溫差為負相關, 且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (4) 最高溫與溫差為負相關, 且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (5) 最高溫與溫差為零相關 6. 試問有多少個實數 x 滿足 x 且 cos x cos x? (1) 0 個 () 1 個 () 個 (4) 4 個 (5) 無窮多個 7. 小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫 他的餐點共有四種選擇 : 牛肉麵 大滷麵 咖哩飯及排骨飯 小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐 : ( 甲 ) 每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次 ( 乙 ) 連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食根據上述原則, 小明這五天共有幾種不同的午餐計畫? (1) 5 () 60 () 68 (4) 76 (5) 84 - -
第 頁共 7 頁 106 年學測數學考科 二 多選題 ( 占 0 分 ) 說明 : 第 8 題至第 1 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選 項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對 者, 得 5 分 ; 答錯 1 個選項者, 得 分 ; 答錯 個選項者, 得 1 分 ; 答錯多於 個 選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 8. 設 m, 為小於或等於 4 的相異正整數且 ab, 為非零實數 已知函數 f ( x) 數 g( x) bx 的圖形恰有 個相異交點, 請選出可能的選項 (1) m, 皆為偶數且 ab, 同號 () m, 皆為偶數且 ab, 異號 () m, 皆為奇數且 ab, 同號 (4) m, 皆為奇數且 ab, 異號 (5) m, 為一奇一偶 ax m 與函 9. 設 為坐標平面上的圓, 點 (0, 0) 在 的外部且點 (, 6) 在 的內部 請選出正確的選項 (1) 的圓心不可能在第二象限 () 的圓心可能在第三象限且此時 的半徑必定大於 10 () 的圓心可能在第一象限且此時 的半徑必定小於 10 (4) 的圓心可能在 x 軸上且此時圓心的 x 坐標必定小於 10 (5) 的圓心可能在第四象限且此時 的半徑必定大於 10 x t x 1 y1 z x yz 4 10. 坐標空間中有三直線 L1 :, L :, L : y t, t 為實 1 x y4z 5 z 4 4t 數 請選出正確的選項 (1) L 1與 L 的方向向量互相垂直 () L 1與 L 的方向向量互相垂直 () 有一個平面同時包含 L 1與 L (4) 有一個平面同時包含 L 1與 L (5) 有一個平面同時包含 L 與 L - -
106 年學測 第 4 頁 數學考科 共 7 頁 11. 最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形 ABCDE, 其示意圖如下 關於這五邊形, 請選出正確的選項 (1) AD () DAB 45 () BD 6 (4) ABD 45 (5) BCD 的面積為 1. 某班級 50 位學生, 段考國文 英文 數學及格的人數分別為 45 9 4 人, 且英文及格的學生國文也都及格 現假設數學和英文皆及格的有 x 人, 數學及格但英文不及格的有 y 人 請選出正確的選項 (1) x y 9 () y 11 () 三科中至少有一科不及格的學生有 9 x y 人 (4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有 11 人 (5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有 7 人 1. 空間中有一四面體 ABCD 假設 AD 分別與 AB 和 AC 垂直, 請選出正確的選項 (1) DB DC DA AB AC () 若 BAC 是直角, 則 BDC 是直角 () 若 BAC 是銳角, 則 BDC 是銳角 (4) 若 BAC 是鈍角, 則 BDC 是鈍角 (5) 若 AB DA且 AC DA, 則 BDC 是銳角 - 4 -
第 5 頁共 7 頁 106 年學測數學考科 第貳部分 : 選填題 ( 占 5 分 ) 說明 :1. 第 A 至 G 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (14 4). 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 遞迴數列 a 滿足 a a1 f( ), 其中 且 f ( x ) 為二次多項式 若 a1 1, a, a 5, a4 1, 則 a5 14 15 B. 在坐標平面上, ABC 內有一點 P 滿足 4 5 AP (, ) 及 6 1 AP 1 AB AC 若 A, P 連線 5 交 BC 於 M, 則 AM ( 16 17 18 19, 0 1 ) ( 化成最簡分數 ) C. 若 a 為正整數且方程式 5 x ( a4) x ax1 0的根都是有理根, 則 a 4 ax 1 ayaz k1 D. 設 a1, a,, a9為等差數列且 k 為實數 若方程組 ax 4 ay 5 az 6 k5 ax 7 ay 8 az 9 k9 有解, 則 k 5 6-5 -
106 年學測 第 6 頁 數學考科 共 7 頁 E. 設 abx,, 皆為正整數且滿足 a x b及 b a 若用內插法從 log a, logb 求得 log x 的近似值為 則 x 的值為 7 8 1 1 log x log a logb 1 log log 4log log, F. 一隻青蛙位於坐標平面的原點, 每步隨機朝上 下 左 右跳一單位長, 總共 跳了四步 青蛙跳了四步後恰回到原點的機率為 9 0 1 ( 化成最簡分數 ) G. 地面上甲 乙兩人從同一地點同時開始移動 甲以每秒 4 公尺向東等速移動, 乙以每秒 公尺向北等速移動 在移動不久之後, 他們互望的視線被一圓柱體 建築物阻擋了 6 秒後才又相見 此圓柱體建築物底圓的直徑為. 4 公 尺 - 6 -
第 7 頁共 7 頁 106 年學測數學考科 參考公式及可能用到的數值 ( a ( 1) d) 1. 首項為 a, 公差為 d 的等差數列前 項之和為 S 首項為 a, 公比為 r ( r ¹ 1) 的等比數列前 項之和為 S a(1 r ) 1 r. 三角函數的和角公式 : si( A B) si Acos B cos Asi B cos( A B) cos Acos B si Asi B ta A ta B ta( AB) 1 taatab a b c. ABC 的正弦定理 : R ( R 為 ABC 外接圓半徑 ) si A si B si C ABC 的餘弦定理 : c a b abcosc 1 1 4. 一維數據 X : x1, x,..., x, 算術平均數 X ( x1 x x) xi 標準差 1 1 X ( xi X) (( xi ) X ) i 1 i1 i1 5. 二維數據 ( X, Y) : ( x1, y1),( x, y),...,( x, y ), 相關係數 r XY, i1 ( x )( y ) i X i Y X Y 迴歸直線 ( 最適合直線 ) 方程式 y Y Y rx, Y ( x X) X 6. 參考數值 : 1.414, 1.7, 5.6, 6.449,.14 7. 對數值 : log 10 0.010, log 10 0.4771, log 10 5 0.6990, log 10 7 0.8451 8. 角錐體積 = 1 底面積 高 - 7 -