闻彬数理化系列 疯狂的几何 ( 初中版 ) 闻彬著
图书在版编目 (IP) 数据疯狂的几何 : 初中版 / 闻彬著. 上海 : 华东理工大学出版社,05. ( 闻彬数理化系列 ) ISN978 7 568 44 0 Ⅰ. 疯 Ⅱ. 闻 Ⅲ. 几何课 初中 教学参考资料 Ⅳ.G64.6 中国版本图书馆 IP 数据核字 (05) 第 594 号 闻彬数理化系列 疯狂的几何 ( 初中版 ) 闻彬著 策划编辑 / 陈月姣责任编辑 / 陈月姣责任校对 / 成俊封面设计 / 视界创意出版发行 / 华东理工大学出版社有限公司地址 : 上海市梅陇路 0 号,007 电话 :(0)645006( 营销部 ) (0)64575( 编辑室 ) 传真 :(0)645707 网址 :press.ecust.edu.cn 印刷 / 江苏凤凰数码印务开本 /787mm 09mm /6 印张 /8 字数 /9 千字版次 /05 年 月第 版印次 /05 年 月第 次书号 /ISN978 7 568 44 0 定价 /5.00 元 联系我们 : 电子邮箱 press@ecust.edu.cn 官方微博 e.weibo.com/ecustpress 天猫旗舰店 htp://hdlgdxcbs.tmal.com
前 言 公元前 4 世纪, 欧氏几何创立以来, 不知孕育了多少伟人, 从哥白尼到伽利略, 从牛顿到爱因斯坦. 可以说, 几何创造了整个西方文明. 在古希腊, 几何 被公认为专门提高智商的一门课. 这种观点, 在西方一直延续至今. 我国的中考, 尤以 欧氏几何 为最重要的内容. 而几何学 头 上的皇冠 几何辅助线 问题, 从来都是中考压轴题的不二之选. 教育界公认, 学好 辅助线, 需要极高的智商和个人的天赋. 由于学习难度太大, 能够掌握 辅助线 的学生不到 %, 关于 辅助线 的教学, 一直在黑暗中摸索, 关于 几何, 也一直没有形成一种行之有效的教学方式 疯狂的几何 揭示了几何学的 6 大基本要素 及由 6 大基本要素 组成的 9 张基本图形, 全面揭开了几何学的基因图谱. 第一次让 几何 的教学, 从 黑暗 走向 光明. 金字塔 沙漏 大山 母子 兄弟等 9 张基本图形的发现, 标志着 疯狂的几何 进入了完善的阶段, 9 张基本图形 在几何教学中的地位, 相当于 三基色 在 色度学 中的地位, 三基色 按照不同比例进行组合, 组成了成千上万种颜色, 形成了多姿多彩的世界. 同样, 几何学 的所有题目, 都是由 9 张基本图形 不同组合的结果, 只要掌握了 9 张基本图形, 就可以在几何的世界里游刃有余. 疯狂的几何 可以让 50% 的学生彻底掌握 辅助线 技巧, 可以让 00% 的学生将几何能力提高到自己的 极限. 几何 这扇智慧之门, 将彻底向普通大众敞开 疯狂的几何 的诞生, 标志着几何的教学, 将进入一个崭新的时代, 出版后, 人手一本, 只是一个时间问题. 疯狂的几何 也是 闻彬数理化 最得意之作. 一群孩子迎面走来, 你能一眼看出, 哪些是我们的学生, 那些满嘴都是 金字塔 扫把 飞机 的后生, 皆是 闻彬数理化 的子弟 闻彬数理化工作室 05 年 0 月 0 日
目 录 目 录 第 讲几何中的 6 大基本要素 [ 总纲 ] 第 讲三角图 ()[ 全等三角形 ()] 第 讲 T 台折线 [ 全等三角形 ()] 5 第 4 讲踩高跷 [ 平行线 ()] 7 第 5 讲大队长 [ 平行线 ()] 9 第 6 讲小红旗 [ 全等三角形 ()] 第 7 讲尺字形小红旗 [ 全等三角形 (4)] 5 第 8 讲金字塔基础题 [ 全等三角形 (5)] 8 第 9 讲来自沙漠的塔铃 [ 等边三角形 ] 0 第 0 讲等腰群 [ 等腰三角形 ()] 第 讲雨伞 () 基础题 [ 等腰三角形 ()] 6 第 讲雨伞 () 辅助线 [ 等腰三角形 ()] 9 第 讲青蛙嘴 () 基础题 [ 全等三角形 (6)] 第 4 讲青蛙嘴 () 辅助线 [ 全等三角形 (7)] 5 第 5 讲直角群 [ 全等三角形 (8)] 7 第 6 讲母子情深 () 角之间的关系 [ 全等三角形 (9)] 4 第 7 讲母子情深 () 残缺的母子 [ 全等三角形 (0)] 4 第 8 讲兄弟和鹅掌 [ 全等三角形 ()] 45 第 9 讲圆规基础题 [ 全等三角形 ()] 47 第 0 讲巍峨的大山 () 基础题 [ 全等三角形 ()] 49 第 讲神秘的沙漏 () 基础题 [ 全等三角形 (4)] 5 第 讲神秘的沙漏 () 辅助线 [ 全等三角形 (5)] 54 第 讲银白色的飞机 [ 角平分线定理 ()] 57
第 4 讲飞机群 [ 角平分线定理 ()] 6 第 5 讲瘦三 [ 直角三角形 ()] 64 第 6 讲胖三 [ 直角三角形 ()] 67 第 7 讲哈利波特的扫把 [ 直角三角形 ()] 70 第 8 讲截取定理 [ 平行四边形 ()] 7 第 9 讲平行四边形与青蛙嘴 [ 平行四边形 ()] 76 第 0 讲矩形与扫把 [ 矩形 ] 79 第 讲正方形与圆规 [ 正方形 ()] 8 第 讲正方形与大山 [ 正方形 ()] 85 第 讲鞋长公式 [ 梯形 ] 88 第 4 讲金字塔和沙漏 [ 相似三角形 ()] 9 第 5 讲歪金字塔 [ 相似三角形 ()] 95 第 6 讲母子情深 () 边之间的关系 [ 射影定理 ] 98 第 7 讲歪母子 () 基础知识 [ 相似三角形 ()] 00 第 8 讲歪母子 () 拓展训练 [ 相似三角形 (4)] 0 第 9 讲三角图 () 相似 [ 相似三角形 (5)] 07 第 40 讲巍峨的大山 () 辅助线 [ 相似三角形 (6)] 第 4 讲遍地都是 45 [ 直角三角形 (4)] 5 第 4 讲找到回家的路 [ 向量 ] 8
第 讲几何中的 6 大基本要素 [ 总纲 ] ì 平行, 垂直 一 几何中的 6 大基本要素 : í中点, 角平分线 î等腰三角形, 等边三角形 第 讲 几何中的 6 大基本要素[总纲] 大家知道, 大自然中的几乎所有颜色都可以通过红 绿 蓝三色按照不同的比例合成产生 红 绿 蓝是三基色, 这三种颜色合成的颜色范围最为广泛 6 大基本要素 在几何中的地位, 等同于 三基色 在色度学中的地位 正是 6 大基本要素 的排列组合, 让整个几何的世界丰富多彩, 变化万千 6 大基本要素 按照不同的方式进行组合, 形成了 9 张基本图形 ( 金字塔 沙漏 大山, 母子, 兄弟等 ) 几何学 的所有题目, 都是这 9 张基本图形 互相叠加的结果, 只要掌握了这 9 张基本图形, 就可以在几何的世界里游刃有余 6 大基本要素 及由 6 大基本要素 组成的 9 张基本图形, 包含了几何学的全部秘密 深入地学习 6 大基本要素, 熟练地掌握 6 大基本要素 的特点, 是学好几何的必经之路, 更是学好 辅助线 技巧的不二法门 所以, 它的重要性不言而喻 二 值得注意的是, 在学习的过程中, 要特别留意以下几点注意事项 :. 平时, 我们对中点和中线不加区分. 对 90 和高也不加区分. 边相等和角相等不属于 6 大基本要素
第 讲三角图 ()[ 全等三角形 ()] 一 角的分类. 小角如图 所示, O 的内部不包含其他角, 这样的角叫做小角. 小角一般用数字来表示, 如 等. 例外当某个点处只有一个角时, 这个角一般是用代表这个点的字母来表示, 如, 而不是用数字来表示. O 图 O 图. 中角如图 所示, O 的内部包含 个小角, 这样的角叫做中角. 中角只能用三个字母来表示, 如 O.. 大角如图 所示, O 的内部包含 个或 个以上的小角, 这样的角叫做大角. 大角也只能用三个字母来表示, 如 O. O 图 O 图 4
二 三角图. 三角图如图 4 所示, 图中的 个小角拥有一个公共的顶点, 并且上下两个小角相等, 这样的图形, 叫做三角图.. 组成三角图中包含 个小角, 个中角和 个大角. 三 三角图的性质. 小角推中角在三角图中, 如果上 下两个小角相等, 那么它的两个中角也相等, 简称 小角推中角.. 中角推小角在三角图中, 如果它的两个中角相等, 那么上 下两个小角也相等, 简称 中角推小角. 第 讲 三角图( )[全等三角形( )] 例 请写出图 5 中所有的小角 中角和大角.( 不包括平角 ). 解题思路 : 如图 5 所示. 小角 :,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 中角 :, P,, P, 大角 :, 8 7 0 P 9 5 4 6 O 图 5 图 6 例 如图 6 所示, 已知 =, 请说明 O= O 的理由. 解题思路 : 因为 =,( 已知 ) ü 所以 + = +,( 等式性质 ) ý小角推中角即 O= O. þ 例 如图 7 所示, 将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起, 如果 =0, 那么 =. 解题思路 : 因为中角均为 90, 所以 = =0.} 中角推小角 图 7
4 练习 请写出图 8 中所有的小角 中角和大角.( 不包括平角 ). 图 8 练习 如图 9 所示, 已知 O= O, 请说明 = 的理由. O 图 9 练习 如图 0 所示, 将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起, 如果 = 44 8'0, 那么 =. 图 0
一 典型的三角图 ( 图 ) 第 讲 T 台折线 [ 全等三角形 ()] 第 讲 T 台折线[全等三角形( )] 二 T 台.T 台 如图 所示,, 这样的图形叫做 T 型台, 简称 T 台.. 节点 其中 点叫做节点. 图 图 图 三 T 台折线.T 台折线如图 所示, 折线 经过 点, 它叫做 T 台上的折线, 简称 T 台折线..T 台折线的夹角 叫做 T 台折线的夹角. 例 如图 4 所示, 已知,, () 请说明 = 的理由 ; () 请说明 = 4 的理由. 解题思路 : (), =90., 4 图 4 5
6 =90, =, ü - = -, ý中角推小角 =. þ (), =90., =90, =, ü - = -, ý中角推小角 = 4. þ 例 如图 5 所示, 已知, =, 请说明 的理由. 解题思路 : =, ü + = +, ý小角推中角即 =. þ, =90, =90, 图 5 即. 练习 如图 6 所示, 已知, =, 请说明 的理由. 图 6
第 4 讲 踩高跷 [ 平行线 ()] 第 4 讲 踩高跷(平行线( ) 一 踩高跷. 踩高跷 如图 所示, 两条直线都垂直于第三条直线, 这种 图形叫做踩高跷.. 地面 图 中, 叫做地面.. 高跷 图 中, 和 叫做两个高跷. 二 踩高跷的两种变形 ( 图, 图 ) 图 图 图 例 如图 4 所示, 已知,, 垂足分别为, 请你说明为什么? 解题思路 :,( 已知 ) ü =90.( 垂直的意义 ),( 已知 ) ý踩高跷 =90,( 垂直的意义 ) =,( 等量代换 ).( 同位角相等, 两直线平行 ) þ 例 如图 5 所示, 已知,, 垂足为, 请你说明为什么? 图 4 7
8 解题思路 :,( 已知 ) ü =.( 两直线平行, 同位角相等 ),( 已知 ) ý踩高跷 =90,( 垂直的意义 ) =90,( 等量代换 ).( 垂直的定义 ) þ 例 如图 6 所示, 已知 =,G,, 垂足分别为, 请你 说明为什么 =? 解题思路 : =,( 已知 ),( 同位角相等, 两直线平行 ) =.( 两直线平行, 内错角相等 ),G,( 已知 ) G,( 垂直于同一直线的两直线平行 )} 踩高跷 =,( 两直线平行, 同位角相等 ) =.( 等量代换 ) 图 5 G 练习 如图 7 所示, 点 在一条直线上, 并且, =,, 那么 与 垂直吗? 为什么? 图 6 G 图 7 练习 如图 8 所示, =, =, 请你说明 与 互补的理由. G 图 8
第 5 讲 大队长 [ 平行线 ()] 第 5 讲 大队长[平行线( )] 一 三八图. 三八图如图 所示, 由两条平行线和一条斜线构成 的图形, 叫做三线八角图, 简称三八图.. 截线图 中, 和 叫做平行线, 叫做截线.. 截线的基本特征和两条平行线都有交点. 图 二 三八图 背后的定理 平行线的性质. 两直线平行, 同位角相等. 两直线平行, 内错角相等. 两直线平行, 同旁内角互补三 大队长 a b 大队长 如图 所示, 三条互相平行的直线所构成的图 c 形, 叫做大队长. 图 四 折线与折点 ( 图 ) % 图 明理由. 例 如图 4 所示, 已知, =, 那么 与 平行吗? 为什么? 请说 9
0 解题思路 : =,( 已知 ) ü.( 同位角相等, 两直线平行 ) ý大队长又,( 已知 ).( 平行的传递性 ) þ 例 如图 5 所示, 已知, 请你说明为什么 + + =60? 图 5 图 6 图 4 解题思路 : 过点 作, 如图 6 所示.,( 已知 ) ü 又,( 已作 ) ý大队长.( 平行的传递性 ) þ,( 已作 ) + =80.( 两直线平行, 同旁内角互补 ),( 已证 ) + =80,( 两直线平行, 同旁内角互补 ) + + + =60,( 等式性质 ) 即 + + =60. 练习 如图 7 所示, 当 满足条件 时, 有. 练习 如图 8 所示, 当 4 满足条件 时, 有. 4 图 7 图 8 练习 如图 9 所示,, 那么 三者之间的关系为 ( ).. + + =60. + - =80
. - + =80. + + =80 练习 4 如图 0 所示, 已知, 那么 4 之间的关系为. 4 图 9 图 0 第 5 讲 大队长[平行线( )] 练习 5 如图 所示,, 且 P=60 -α, P=45 +α, P=0 α, 则 α=. 练习 6 如图 所示, 已知 =, =, 请你说明 的理由. P 图 图