北京市第四 四中学 05 06 学年度第 学期期中测试 九年年级数学试卷 (0 分钟 ) 考试说明 本试卷共 8 页 五道 题 9 道 题 满分 0 分 作答时 将选择题答案写在机读卡上 写在本试卷上 效 3 考试结束后 将本试卷和机读卡 并交回 选择题 ( 每题 3 分 共 30 分 ) ff8080849848e4704989046fce08de 已知 3x = 4y( xy 0) 则下列 例式成 的是 ( ) x 4 A 3 = x y x 3 = = y 4 y B 4 3 C y 4 D x = 3 3 sin B = ff8080849f0e4c4049f5430f6a09f7 在 Δ ABC 中 C = 90 则 B 为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 3 4d30c7ad098a4fbd9d5e6d940304e38f 抛物线 y = ( x ) + 的顶点坐标是 ( ) A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) 4 e9c3dabaef45db8c0973c675efcd 把抛物线 y = x + 向右平移 3 个单位 再 向下平移 个单位 得到抛物线 ( ) = ( + ) ( ) y x 3 y = x + 3 + 3 A B = ( ) ( ) y x 3 y = x 3 + 3 C D 5 cfee50e3a8345dd9508e3d739d76580 如图 在 ABC 中 点 D E 分别为边 AB AC 上的点 且 DE BC 若 AD = 5 BD = 0 AE = 3 则 CE 的长为 ( ) D A E A3 B6 C9 D B C 6 ff80808477bd84c047a0e4e657e 在 Rt ABC 中 C=90 若 BC=AC!
= 则 sina 的值为 ( ) 5 5 A 5 B 5 C D 7 8aac50a74e74b3f04e9f6a35357a 如图 在 Rt ABC 中 ACB= 90 AC=BC=5 CD AB 于点 D 那么 sin BCD 的值是 ( ) 5 5 A 3 B C 3 D 5 8 ff8080849990d0a049a85a7d7553 如图 O 的半径为 5 AB 为弦 OC AB 垂 为 E 如果 CE = 那么 AB 的长是 ( ) A4 B 6 C 8 D 0 A C E O B 9ff808084694a4c3046c7b8bca06a 次函数 y=ax +bx+c(a 0) 的图象如图所 则下列结论中正确的是 ( ) Aa>0 B 当 x 时 y 随 x 的增 增 Cc<0 D 当 -<x<3 时 y>0 0 ff808084d4b9804d55b5d6f55 如图 在矩形 ABCD 中 AB<BCAC BD 交于点 O 点 E 为线段 AC 上的 个动点 连接 DEBE 过 E 作 EF BD 于 F 设 AE=x 图 中某条线段的长为 y 若表 y 与 x 的函数关系的图象 致如图 所 则这条线段可能是图 中的 ( )!
y A E D F O B C!! 图 图 A 线段 EF B 线段 BE C 线段 CE D 线段 DE O x 填空题 ( 每题 3 分 共 8 分 ) 两个相似三 形的 积 是 4 : 9 则它们的周长 是 答案 : 3 解析 根据相似三 形 积 等于相似 的平 周长 等于相似 4 周长 为 9 = 3 ff808084670afec046935eccc8645 请写出 个开 向上 并且与 y 轴交于点 (0-) 的抛物线的解析式 3 8aac50a74e74b3f04e9f7bba9f8 如图 点 D 为 ABC 外 点 AD 与 BC 边的交点为 EAE=3 DE=5BE=4 要使 BDE ACE 且点 BD 的对应点为 AC 那么线段 CE 的长应等于 4 b39fdbb7b68f4e9a7c6068058e6eb 如图 AB 是半圆 O 的直径 AC 为弦 OD AC 于 D 过点 O 作 OE AC 交半圆 O 于点 E 过点 E 作 EF AB 于 F 若 AC= 则 OF 的长为 y = ax 5 ff808084d75c604d7956e7350575 如图 抛物线与直线 y=bx+c 的! 3
A( 4) B( ) 两个交点坐标分别为 则关于 x 的 程 C E ax bx c = 0 的解为 6 ff8080849848e4704989046bbd08d8 如图 点 A A D O F B A A3 点 B B B3 分别在射线 OM ON 学校班级姓名学号 上 AB AB A3B3 A4B4 如果 AB=AA=OAAA3=3OAA3A 4=4OA 那么 AB= AnBn= (n 为正整数 ) A A A 3 三 解答题 ( 共 6 道 题 每 题 5 分 共 30 分 ) 7 7 e 7 f 7 f b 3 4 6 6 d 9 8 3 c 5 5 f 5 7 c 3 a 6 6 9 c 计算 : 3 c o s + 3 0 s i n 4 5 ( 3 O A 4 M B B B 3 B 4 N 8 已知抛物线 y = x x 8 y = x x 8 y = ( x h) + k () 配 法把化为形式 : ; ( ) 并指出 : 抛物线的顶点坐标是 抛物线的对称轴 程是 抛物线与 x 轴交点坐标是 当 x 时 y 随 x 的增 增 答案 () y = ( x ) 9 ;() ( 9) ; x = ; (40) ( 0) ; x > 解析 见答案 y = x A(03) 9 ff808084d95366b04d98906e403fa 抛物线平移后经过点 B(3) 求平移后的抛物线的表达式 解 :! 4
! 0 ff808084a9e7004ad36ac9a070 已知 : 如图 在 ABC 中 D 是 AB 上 点 E 是 AC 上 点 且 ADE = ACB () 求证 : AED ABC; () 若 DE: CB=3:5 AE=4 求 AB 的长 如图 ABC 在 格纸中 () 在 格纸上建 平 直 坐标系 使 A (3) C(6 ) B 点坐标为 ; () 以原点 O 为位似中 相似 为 在第 象限内将 ABC 放 画出放 后 的图形 AʹBʹCʹ ; (3) 计算 AʹBʹCʹ 的 积 S = () 答案 () ;() 如图 ;(3) 6 A B C 解析 () 画出原点 O x 轴 y 轴 B() () 略 S = 4 8 = 6 (3)! 5
8aac50a74e74b3f04e9f0638aef9f 如果关于 x 的函数的图象与 x 轴只有 个公共点 求实 数 a 的值 解 : y ax a x a = + ( + ) + + 四 解答题 ( 本题共 0 分 每 题 5 分 ) 3 ff80808477bd84c047a083456d 如图 为了估算某河的宽度 在河对岸边选定 个 标点 A 在近岸取点 BC D 使得 AB BD ACB=45 ADB=30 并且点 BCD 在同 条直线上 若测得 CD=30 求河宽 AB( 结果精确到 3 取 73 取 4) 解 : 4 ff808084d75c604d7975ee70687 某 产的某种产品按质量分为 0 个 档次 据调研显 每个档次的 产量及相应的单件利润如下表所 ( 其中 x 为正整数 且 x 0): 质量档次 x 0! 6
产量 ( 件 ) 95 90 50!00 5x 单件利润 ( 万元 ) 6 8! x + 4 4 为了便于调控 此 每天只 产 个档次的产品 当 产质量档次为 x 的产品时 当天的利润为 y 万元 () 求 y 关于 x 的函数关系式 ; () 为获得最 利润 应选择 产哪个档次的产品? 并求出当天利润的最 值 解 : 5 8aac50a74e74b3f04e9ef83b4f5f 如图 在正 形 ABCD 中 有 个 正 形 EFGH 其中顶点 EFG 分别在 ABBCFD 上 () 求证 : EBF FCD; () 连接 DH 如果 BC=BF=3 求 tan HDG 的值 6 8aac50a74e74b3f04e9ed0d94ae4 已知抛物线 C: y= x + x 3 抛物线顶点坐标与 x 轴交点坐标与 y 轴交点坐标 抛物线 C: y= x + x 3! A( )! B( )! (0)! (0 3)! 7
() 补全表中 AB 两点的坐标 并在所给的平 直 坐标系中画出抛物线 C; () 将抛物线 C 上每 点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标变为原来的 可证明得到的曲线仍是 抛物线 ( 记为 ) 且抛物线的顶点是抛物 线 C 的顶点的对应点 求抛物线 表达式 变换后的抛物线 C C C C 对应的函数 五 解答题 ( 本题共 分 第 7 题 7 分 第 8 题 7 分 第 9 题 8 分 ) 7 ff808084694a4fc046b9e3cae3f9 已知抛物线 y = ( m ) x mx + m + ( m >) () 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ; () 若抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离为 求 m 的值 ; (3) 若 次函数 y = kx k 的图象与抛物线始终只有 个公共点 求 次函数的解析式 8 ff808084638e07e0465aef0f75a 阅读理解 : 如图 若在四边形 ABCD 的边 AB 上任取 点 E( 点 E 与点 AB 不重合 ) 分别连结 EDEC 可以把四边形 ABCD 分成三个三 形 如果其中有两个三 形相似 我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 ; 如果这三个三 形都相似 我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点 解决问题 : () 如图 若 A= B= DEC=55 试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相! 8
学校班级姓名学号 似点 并说明理由 ; () 如图 在矩形 ABCD 中 AB=5BC= 且 ABCD 四点均在正 形 格 ( 格中每个 正 形的边长为 ) 的格点 ( 即每个 正 形的顶点 ) 上 试在图 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的 个强相似点 E; 拓展探究 : (3) 如图 3 将矩形 ABCD 沿 CM 折叠 使点 D 落在 AB 边上的点 E 处 若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的 个强相似点 请直接写出 AB 的值为!! 图 图 图 3 解 : BC 9ff808084974ee3b0497f88ab30cdc 已知直线 y=kx-3 与 x 轴交于点 A(4 3 y = x + mx + n 0) 与 y 轴交于点 C 抛物线 4 经过点 A 和点 C 动点 P 在 x 轴上以每 秒 个长度单位的速度由抛物线与 x 轴的另 个交点 B 向点 A 运动 点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 倍 () 求此抛物线的解析式和直线的解析式 ; () 如果点 P 和点 Q 同时出发 运动时间为 t( 秒 ) 试问当 t 为何值时 以 A P Q 为顶点的三 形与 AOC 相似 ; (3) 在直线 CA 上 的抛物线上是否存在 点 D 使得 ACD 的 积最 若存在! 9
求出点 D 的坐标 ; 若不存在 请说明理由 备 图 北京市第四 四中学 05 06 学年度第 学期期中测试 九年年级数学试卷答案 选择题 ( 每题 3 分 共 30 分 ) 3 4 5 6 7 8 9 0 B C B C B A A C D D 填空题 ( 每题 3 分 共 8 分 ) 5 :3 y=x - 3 4 4 5-6 6 n(n+)! 0
三 解答题 ( 共 6 道 题 每 题 5 分 共 30 分 ) 7 解 :! 3 c o s + 3 0 s i n 4 5 ( 3 3 + =! =0 y = x x 8 8 已知抛物线 y = x x 8 y = ( x h) + k y = ( x ) 9 () 配 法把化为形式 : () 并指出 : 抛物线的顶点坐标是 (-9) 抛物线的对称轴 程是 x= 抛物线与 x 轴交点坐标是 (40)(-0) 当 x > 时 y 随 x 的增 增 y = x + bx + c 9 解 : 设平移后抛物线的表达式为 平移后的抛物线经过点 A (03) B(3) 3 = c 3 = 8 + b + c b = 4 c = 3 解得 所以平移后抛物线的表达式为 y = x 4x + 3 解 : 平移后的抛物线经过点 A (03) B(3) 平移后的抛物线的对称轴为直线 x = y = x + k 设平移后抛物线的表达式为 ( ) 3 = + k k = y = x + 所以平移后抛物线的表达式为 0 () 证明 : A= A ADE = ACB ( ) ( ) AED ABC () 解 : AED ABC = DE: CB=3:5 AE=4 D A E! B C
4 3! AB = 5 0 AB =! 3 () B 点坐标为 () () 略 (3)6 () 当 a = 0 时 函数 y = x + 的图象与 x 轴只有 个公共点成 () 当 a 0 时 函数 y = ax + ( a + ) x + a + 是关于 x 的 次函数 它的图象与 x 轴只有 个公共点 关于 x 的 程! ax + ( a + ) x + a + = 0 有两个相等的实数根 Δ = ( a + ) 4 a( a + ) = 0! 整理 得 3a 4 = 0 a = ± 3 解得 3 a = ± 3 综上 a = 0 或 3 四 解答题 ( 本题共 0 分 每 题 5 分 ) 3 解 : 设河宽 AB 为 x AB BC ABC=90 在 Rt ABC 中 ACB=45 AB=BC=x 在 Rt ABD 中 ADB=30 BD= 3AB = 3x! CD = BD BC = 3x x 解得 x = 5 3 + 5 4 答 : 河宽 AB 约为 4 ( )( ) y = 00 5x x + 4 = 0x + 80x + 400 4 解 :() ( x 0 且 x 为整数 ) ( ) y = 0x + 80x + 400 = 0 () x 9 + 0 又 x 0 且 x 为整数!
!!! 当 x = 9 时 函数取得最 值 0 答 : 为获得最 利润 应 产第 9 档次的产品 当天的最 利润为 0 万元 5 证明 : 如图 正 形 ABCD 正 形 EFGH B= C=90 EFG=90 BC=CDGH=EF=FG 又 点 F 在 BC 上 点 G 在 FD 上 DFC+ EFB=90 DFC+ FDC=90 EFB = FDC EBF FCD () 解 : BF=3BC=CD= CF=9 DF = CF + CD = 5 BE CF = 由 () 得 BF CD BF CF 3 9 9 BE = = =! CD 4 GH = FG = EF = BE + BF =! 4 45 DG = DF FG =! 4 GH tan HDG = =! DG 3 6 A( 4) B( 30) 解 :() 画图象见图 C 5 () 由题意得变换后的抛物线的相关点的坐标如下表所 : 抛物线顶点坐标与 x 轴交点坐标与 y 轴交点坐标 变换后的抛物线 C Aʹ( ) Bʹ( 60)! (0)! (0 5) C y = a( x + ) 设抛物线对应的函数表达式为 (a 0) 抛物线 C 与 y 轴交点的坐标为 (0 5) 3 = 4a! A a = 解得 8 3 H E B
3 y = ( x + ) = x + x! 8 8 3 y = x + x 抛物线 C 对应的函数表达式为 8 说明 : 其他正确解法相应给分 五 解答题 ( 本题共 分 第 7 题 7 分 第 8 题 7 分 第 9 题 8 分 ) y = 0 ( m ) x mx + m + = 0 7 解 :() 令 则 Δ = ( m) 4( m )( m + ) = 4 m ± x = 解 程 得! ( m ) m + x! = x = m m + 抛物线与 x 轴的交点坐标为 (0)( m 0) m + > () m > m m + = 由题意可知 m 解得 m = 经检验 m = 是 程的解且符合题意 m = (3) 次函数 y = kx k 的图象与抛物线始终只有 个公共点 程 kx k = ( m ) x mx + m + 有两个相等的实数根 整理该 程 得! ( m ) x ( m + k) x + m + + k = 0! Δ = ( m + k) 4( m )( m + + k) = k + 4k + 4 = ( k + ) = 0 k 解得! = k = 次函数的解析式为 y = x + 8 略! 4
3 9 解 :() 直线 y=kx-3 过点 A(40) 0 = 4k -3 解得 k=! 4 3 直线的解析式为 y=! 4 x-3 3 由直线 y=! 4 x-3 与 y 轴交于点 C 可知 C(0-3) 3 4 4 3 0 5 + m = 4 解得 m=! 4 3 5 y = x + x 3 抛物线解析式为 4 4 分 3 5 y = x + x 3 () 对于抛物线 4 4 3 5 x + x 3 = 0 令 y=0 则 4 4 解得 x=x=4 B(0) AB=3AO=4OC=3AC=5AP=3-tAQ=5-t 若 QPA=90 则 PQ OC( 如图 ) APQ AOC AP AQ 3 t 5 t 5 = =! AO AC! 4 5 解得 t=! 3 ; 若 PQA=90 PAQ = OAC APQ AOC! 5
AP AQ 3 t 5 t 3 = =! AC AO! 5 4 解得 t=! 6 ; 5 3 综上所述 当 t 的值为 3 或 6 时 以 P Q A 为顶点的三 形与 AOC 相似 (3) 答 : 存在 过点 D 作 DF x 轴 垂 为 E 交 AC 于点 F( 如图 ) S ADF= DF AES CDF= DF OE S ACD= S ADF + S CDF= DF (AE+OE) = 4 (DE+EF) 3 5 3 3 x + x 3 x + 3 x + 6x = (! 4 4 4 )=! 3 (x ) + 6 S ACD= (0<x<4) 3 < 0 又 0<<4 且 次项系数 当 x= 时 S ACD 的 积最 3 3 当 x= 时 y=! 满 条件的 D 点坐标为 D (! )! 6