Chapter 3 Diffraction Theory Elastic scattering - interaction of e - beam / atom (chapter 3) - interaction of e - beam / unit cell (chapter 16) - interaction of e - beam / crystalline sample (chapter 16) - reciprocal lattice(chapter 12) - Diffraction Pattern - Shape Effect of Nano-object (Chapter 17)
3.1 interaction of e - beam / atom
電 子與原 子作 用 電 子與原 子的作 用基本上可分成兩 大類 (a) 彈性散射 (elas(c sca*ering)! 入射電 子不損失能量, 因此我們稱之為 彈性散射!!!! (b) 非彈性散射 (inelas(c sca*ering) 入射電 子損失能量, 因此我們稱之為 非彈性散射
3.1.1 Elastic Scattering (particle picture) As an electron approaches an isolated atom, it feels Coulomb potential of atom, it will diffract its direction due to Coulomb force. This is the nature of a charge particle.! Coulomb potential includes two contributions: 1) Nucleus 2) Electron Cloud NTHU Nucleus Electron Cloud Noting that x-ray is electro-magnetic wave only interacts with electron could but not nucleus.
3.1.2 Wave Model of Electron Scattering 入射電 子可近似為平 面波, 因為波 長 比起觀察者距離短得太多 當 入射電 子波接近原 子核時, 就會感受到原 子庫侖位能的作 用, 因 而改變波 長及 方向 這就如同光波進 入不同的介質 ( 如由空氣進 入 水中 ), 引起折射 連續加速和減速的帶電粒 子亦伴隨 ( 連續 ) 產 生 x- ray 成為 Bremsstrahlung X- ray 折射率與原 子庫侖位能有關
3.1.3 Imaging of Single Atom NTHU Incoming electron interacts with electrostatic potential contributing from both nucleus and electron cloud (X-ray only interacts with electron cloud) V( r) Atomic focuser electrostatic field of an atom acts as an electrostatic lens Lens does two focus action (two Fourier transforms in Math) -2g -g o g 2g H V(-r) F -1 (f el )= F -1 (F (V(r))): Image Plane
Further on atomic scattering factor NTHU f x (H) or f x (Θ) is called x-ray scattering factor and is the Fourier transform of electron cloud, since the x-ray only interacts with the electron cloud.! The unit of f el (Θ) is the length (nm) f el decreases as increasing of θ f el decreases as decreasing of λ f el increases as increasing of Z refer to P.A. Doyle Hartree-Folk X-Ray and Electron Scattering Factors.Acta Cryst.(1968)A24, 390 H
雙原 子繞射 coherent length > a 對遠 方的觀察者 P 而 言, 所 看到的總繞射波為 F (V(x))exp(iπ2asinθ/λ) = F (V(x)) exp(i2πka) F (V(x)) V(x) (δ (x)+ δ (x+a)) Potential is placed at the positions given by δ functions! P Ψ 1 與 Ψ P 2 相差一個相位! 相位 = 波程差 /λ =(AB+BD)/λ 事實上, 對觀察者 而 言 r p >>a, 所偵測到的總繞射 波為!! 入射波被雙原 子 ( 位能
3.1.4 Scattering (Diffraction) from two atoms coherent length > a NTHU V(x) (δ (x)+ δ (x+a)) Potential is placed at the positions given by δ functions For observer at far distance P, he s a w t h e i n c o m i n g w a v e w a s diffracted by the sum of electrostatic potential of bi-atoms (Fraunhofer Diffraction) P amplitude of wave depends on the atomic potential (kinds of atom) F (V(x) (δ (x)+ δ (x+a))) =F(V(x)).(1+exp(2πiHa)) =f el exp(exp(2πi 0))+f el (exp(2πiha)) interference of two diffracted waves phase of wave gives the relative position of atoms second atom produces phase shift
3.2 Scattering (Diffraction) from unit cell 入射波通過晶胞時, 屬於 晶胞的原子依其相對位置不同, 而產生不同相位差的繞射波 在遠方的觀察者 ( 透鏡的聚焦面, 很遠平行光被聚焦到此 ), 觀察到這些波的總和 在遠方觀察者偵測到的強度與入射波振幅晶胞內原子位能, 晶胞內原子相對為置有關 結構因子 晶胞對入射電子的散射基本上與單一原子相同, 所不同的只是多了一個結構因子 (structure factor) 在晶胞內原子間距離不同相對位置, 及數目不同, 繞射波亦不同
3.2.1 結構因 子 ri! 1. f i 是在第 i 個原 子位能 U i 的傅 立葉轉換 2. r i 為第 i 個原 子的座標 (x i, y i, z i )- 實空間向量 3. H 為倒空間向量 ri
3.2.2 幾個重要的結構因 子 (a) 體 心 立 方 (body-center cubic,bcc) 晶胞內有兩個原 子 (0,0,0) 及 (1/2,1/2,1/2) F=f{exp(2πi(h 0+k 0+l 0)+exp(2πi(h 1/2+k 1/2+l 1/2)} =f{1+exp(πi(h+k+l)} h,k,l 為平 面指數 選擇法擇 (selection rule) F=2f 要是 h+k+l= 偶數 =0 要是 h+k+l= 奇數 體 心 立 方的晶體結構的倒空間是 面 心 立 方
(b) 面 心 立 方 (face-center cubic,bcc) 晶胞內有四個原 子 (0,0,0), (1/2,1/2,0), (0,1/ 2,1/2) 及 (1/2,0,1/2) F=f{exp(2πi(h 0+k 0+l 0)+exp(2πi(h 1/2+k 1/2+l 0) +exp(2πi(h 0 +k 1/2+l 1/2) +exp(2πi(h 1/2 +k 0+l 1/2) } =f{1+exp(πi(h+k) +exp(πi(k+l) +exp(πi(h+l)} h,k,l 為平 面指數 選擇法擇 (selection rule) F=4f 要是 h, k, l=un-mixed =0 要是 h, k, l=mixed 面 心 立 方的晶體結構的倒空間是體 心 立 方
(c) 面 心 立 方結構與鑽 石結構 Diamond: a b c d F=f{exp(2πi(h 0+k 0+l 0)+exp(2πi(h 1/4+k 1/4+l 1/4)} {1+exp(πi(h+k) +exp(πi(k+l) +exp(πi(h+l)} Basis: super lattice diffraction Lattice fundamental diffraction
(d) NiAl (L10) 選擇法則 F= f Ni + f Al h+k+l= 偶 ( 基本晶格, fundamental lattice) = f Ni - f Al h+k+l= 奇 ( 對 bcc 而 言這項是 0, 超晶格 superlattice)
(e) Ni 3 Al, Cu 3 Au(LI 2 ) 結構 ( 有序結構 ) Al(0 0 0),Ni(1/2 1/2 0),(1/2 0 1/2 ),(0 1/2 1/2) =2(f Al -f Ni ) h,k,l 全偶或全奇基本晶格 (fundamental lattice) h,k,l 是混合奇數或偶數超晶格 (super lattice) 若 Ni 3 Al 及 Cu 3 Au 為無序結構則超晶格點陣消失
3.3 interaction of e - beam / crystalline sample 相位差 =(AB+BC)/λ= n 時, 有建設性干涉 若平面間距為 d, 反射角 θ B AB+BC=2d sin θ B = n λ 此公式稱為 Bragg s Law Bragg 因此公式而得到諾貝爾獎.! 從 Bragg s 公式我們可以清楚地看到平面間距愈小者繞射角愈大, 因此若我們知道入射波的波長 λ(=12.2/e 1/2 ), 我們可藉由散射角度的量測來決定平面的間距. 這是電鏡繞射術在結晶訊息的重要工作. Bragg s law
以 波 的觀念來看 : trace of atomic plane H=k -k 0 (Bragg s condition) H 原 子平 面跡 (plane trace) 原 子平 面跡是 k 0 及 k 的分角線 1/2 H = k 0 sin θ B, k 0 =1/λ ko k H λ=2/ H sin θ B, 與 λ=2d sin θ B 比較 H =1/d, 且 H // 原 子平 面之法向量 ( 有建設性 干涉的原 子平 面 ) 原 子平 面跡 {H} 代表晶體可產 生 建設性 干涉的平 面組, 其 方向為平 行平 面之法向量且長度為對應的平 面間距之倒數 倒晶格空間
3. 3.1 實空間與倒空間 ( 晶體結構與繞射花樣 ) 為何需要另 一個空間? 倒空間能使我們 方便描述及處理晶體繞射的問題 事實上, 倒 晶格空間和 實 晶格空間 一樣的 真實 我們可以把晶體想成有兩個 晶格 一個 實 晶格, 一個 倒 晶格 實晶格是晶體本身, 倒晶格則是繞射空間的點陣
Fourier Transform of periodic function ~ f(h) -3a -2a -a 0 a 2a 3a 晶體原 子結構 ( 實空間 ) -3/a -2/a-1/a 0 1/a 2/a 3/a 倒空間繞射花樣 此函數只在 k=1/a 時有 的值
倒空間 1) 倒空間 : 與實空間一樣真實 2) 倒空間的一點相對於實空間的一平面 3) 倒空間的一點至原點的距離等於平面間距的倒數
3.3.2 Ewald Sphere and Laue Zone 以 k 0 方向通過晶格原點以畫 一球, 稱為 Ewald 球! K 0 方向改變 Ewald 球亦跟著改變 倒晶格就如同事與晶體 ( 時空間 ) 是訂在 一起的. 晶體傾斜, 則倒晶 格亦被傾斜.
對電 子繞射 而 言, Å 25 Å Å Å Ewald 球切過第 0 層的勞厄區時幾乎近似 一平 面 ( 而非球 面 ) 因此在原點附近的倒晶格點幾乎都作落在 Ewald 球上, 也就是 有很多組平 面都近似滿 足 Bragg s 繞射條件 我們觀察到的繞射花樣事實上是第 0 層的倒空間中原點附近的點陣
3.3.3 倒晶格與繞射圖形 一點代表實空間 一平 面 倒晶格點至原點的距離 正比 面間距的 倒數 ( 倒空間之 Zero Laue Zone ) 在 ZOLZ 的倒晶格點幾乎作落在 Ewald 球上, 也就是近似的滿 足 Bragg s 繞射條件 g=k -k 0 or 2dsinθ B =λ g 原 子平 面軌跡 在電 子繞射的繞射條件下, 我們在後聚焦 面看到的其實是 二維的 ZOLZ.
3.3.4 EXAMPLES
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Fourier Transform of Top-Hat Function Fraunhofer Diffraction NTHU
3.3.4 Shape Effect for nano- object Fourier Transform
3.3.5 Thin Foil Effect 每 一晶格點沿著 Z 方向 (i.e 垂直試 片表 面 ) 被 一棍狀函數代替.
3.3.4 Diffraction from nano-precipitates, particles 10 nm HRTEM image of 17nm MgO cube after preparation Diffuse scattering around [200] Bragg peak
3.3.5 晶軸 (Zone axis) rel-rod 的長度與晶體的厚度成反比 [u v w] 是所有 {h k l} 平 面的交線, 稱為 晶軸 (Zone axis) 晶軸為各平 面之交線晶軸 方向垂直於各平 面之法向量 * 事實上若電子束平行於晶軸沒有任何一組平面是滿足繞射條件 ( 都是薄樣品的條件下而近似滿足 Bragg s 條件 )
NTHU Kikuchi Lines HOLZ ZOLZ
習慣上,S>0 倒晶格點在 Ewald 球內部 ;S<0 倒晶格點在 Ewald 球內部
NTHU
NTHU
[110]Si
[110]Si