第一章基本概念 第一部分重點公式及觀念提示與範例解說 重點公式及觀念一 du 1. 牛頓黏性定律 : τ = μ dy 其中 μ : 絕對黏滯係數 ( absolute viscosity ) 或流體黏滯係數 ( viscosity ) 或動力黏滯係數 ( dynamic viscosity ) u : 流體流動方向之速度 y : 垂直流動方向之長度 du dy : 速度梯度或角變形率或剪應變率. μ 之因次 :[ M LT ] FT 或 [ L ] (1) 公制單位 : kg / m s 或 N s m = P s () 英制單位 : lb s / ft / a μ (3) 定義運動黏滯係數 v ( kinematic viscosity ) 為 v, 其中 ρ 為密度, 而 v 之 ρ L 因次為 [ T ], 公制單位為 m /sec 3. 溫度對黏滯係數之影響 : (1) 對液體而言 : 液體分子排列較為緊密, 分子間之內聚力 ( 吸引力 ) 較大, 而此內聚力液體 黏滯力之主要部分 故當溫度升高時, 內聚力變小, 使得黏滯係數變小 ; 反之, 若溫度降低時, 則黏滯係數變大 () 對氣體而言 : 氣體分子排列較為鬆散, 分子間之作用力極大 故當溫度升高時, 氣體分 子之運動速度隨之增加, 分子間產生碰撞之機會亦增高, 使得黏滯係數變 大 ; 反之, 若溫度降低時, 則黏滯係數變小 1
4. 流體黏滯性之量測 : 設計一流場於兩同心圓管間, 其中外圓管固定且內圓柱作等速旋轉運動, 並施以一扭矩抵抗因流體黏性所造成之阻力, 如圖 1-1 所示, 則可得流體之黏滯係 Th 數為 μ = 3 π a ωl, 其中 A= π al為內圓柱表面積, L 為圓柱長度 圖 1-1 兩同心圓管間之旋轉運動
精選範例 1-1 u 一平行板間之層流速度分佈為 u max y = 1 h, 其中 h 為兩板間隔距離, 且座標原點定於兩板間隔之中央 今有一流體為水, 在 15 C 時其最大速 3 率為 0.3 m / sec, μ = 1.1 10 N sec/ m, 若 h= 0.5mm, 試求上平板所受剪 應力之大小 答案 : yx.64 ( N/ m ) τ = 3
精選範例 1- 同心圓筒粘度計可藉緊密套合之兩圓筒組成, 並由內圓筒之轉動而操作 對於微小間隙而言, 其間液體可假設具有線性分佈 一粘度計之內筒直徑 為 75mm, 高度為 150mm, 餘隙寬度為 0.0mm 若使內筒以 100rpm 轉動, 必須施加 0.01N m之扭矩, 試求間隙中液體之粘度 答案 : μ 8.07 10 4 ( N sec/ m ) = 4
精選範例 1-3 有一塊 1m 1m木板, 其重量為 5N, 該板沿一坡角為 0 的斜面下滑, 其 速度為 cm / s 板面與斜面之間隙有一層潤滑油, 其間隔為 0.1mm 試 求潤滑油之動力黏滯係數 ( dynamic viscosity ) 技師檢覆 答案 : μ = 0.0513( Pa s) 5
精選範例 1-4 相距 1.5 公分兩平行板中充滿黏滯係數 μ = 0.050 kg / m s 的油, 如圖所 示, 在其中置一塊 30 公分 60 公分之薄板 試問需用多少力才能使此薄板 以 0.4 公尺 / 秒速度移動? 技師檢覈 答案 : 1.08( N ) 6
精選範例 1-5 一軸直徑為 8cm, 被推過一直徑為 8.0cm,30cm 長之軸承口 假設餘隙 為均勻且充滿了 ν = 0.005 m / sec, 比重 = 0.9 之油脂 (1) 若此軸以 0.5 m / sec 的速度運動, 計算油脂對軸所產生的阻力大小 () 若固定其軸向運動, 而使軸以 1800rpm 轉動, 試求其阻抗力矩為多少 (3) 須多少的功率來轉動此軸? 答案 :(1) 1696.5( N ) () 103.3( N m) (3) ( ) 19.89 kw 7
重點公式及觀念二 1. 流體之種類 : 如圖 1- 所示. 連體運動之數學描述法 : 圖 1- 牛頓 非牛頓 賓漢塑性及理想流體 (1) 拉格蘭君描述法 ( Lagrangian description ): 把注意力集中在物質之各質點 上, 以觀測物理性質隨時間之變化量, 此稱為拉格蘭君描述法 在固體力 學中, 一般都採用此法 () 歐拉描述法 ( Eulerian description ): 把注意力集中且固定在空間中某一特 定範圍內, 以觀測物理性質隨位置及時間之變化量, 此稱為歐拉描述法 在流體力學中, 一般都採用歐拉描述法 DB ur B = V B+ Dt t ur r r r 其中 1 V = ui+ vj+ wk, B 可為純量或向量 (3) 拉格蘭君與歐拉描述法之關係 : ( ) r r r 數學之運算子 ( operator ) i + j + k x y z D 3 Dt : 隨質導數 ( substantial derivative ) 或稱為物質導數 ( material derivative ) 為跟隨著某質點所得到之性質變化率 ur 4 ( V ) : 對流導數 ( convective derivative ) 為質點運動所造成之變 化率 8
5 t : 局部導數 (local derivative ) 為當位置保持不變時, 僅觀測某 性質隨時間之變化 若流場中流體之流速不隨時間而改變, 即 V = 0, 則此稱為穩定流 ( steady flow ) 或稱為定常流 恆定流 t DT ur T 6 計算溫度場 T 之變化率 : 令 B = T, 則 = ( V ) T + Dt t 7 計算速度場 V ur ur ur ur ur DV r ur ur V 之變化率 : 令 B = V, 則 = a= ( V ) V +, 其 Dt t 中 a r 為流場之加速度 9
精選範例 1-6 如圖所示, 以剪應變率 ( rate of shear strain ) 與剪應力 ( shear stress ) 分別為水平與垂直座標軸, 繪劃下列各種物質, 剪應力與剪應變率間的示意曲線 : (1) 理想流體,() 牛頓流體,(3) 非牛頓流體 專利三等 答案 : 請參閱講義內容 10
精選範例 1-7 ur r r r V = u v w = x yi+ yz+ x j+ tk, 其中 t 給定一三維流場之速度向量 (,, ) 10 5( ) rr r 為時間, i, j, k分別表示卡氏坐標 x, y 和 z 方向之單位向量 試計算其加 速度向量場 a r 之三個分量加速度各為多少? 3 答案 :(1) a 00x y 50x ( yz x) x = + + () ( ) a = 50x y+ 5z yz+ x + 5yt y (3) a z = 1 造船技師 11
精選範例 1-8 有一個三維流場之,, ( ) x yz 方向速度分量分別為 u = ( x+ z), v ( y 3x) w= y z ( 速度之單位為 m /sec), 該流場中溫度分布為 = +, = + ( 單位 C ) 今將一溫度計置入流場中, 試問若將溫度 T x yz xy t 計固定於座標 (,1,1 ) 處, 試求其所顯示之溫度變化率 DT Dt = 答案 : 7 ( C /sec) 1
重點公式及觀念三 1. 表面張力 (σ ): F (1) 因次為 L, 總淨力即為特徵長度與表面張力之乘積, 此時特徵長度為液體與固體或氣體表面接觸之長度 () 如圖 1-3 所示, 為一半氣泡及一半液滴之自由體圖, 其中氣泡有內外膜兩個表面, 而液滴只有外膜一個表面 則 1 氣泡之內部壓力 : P 4 σ i = R 4σ 若考慮氣泡之外部壓力 P o, 則氣泡內外壓差為 Pi Po = R 液滴之內部壓力 : P σ i = R σ 若考慮液滴之外部壓力 P o, 則液滴內外壓差為 Pi Po = R 3 由 1 之結果可知, 在相同半徑下, 氣泡內部壓力為液滴內部壓力之兩倍 (a) 氣泡 (b) 液滴 圖 1-3 半氣泡與半液滴之自由體圖. 毛細現象 : 由圖 1-4 取高度 h 之液柱為自由體圖, 則由力平衡方程式可求得因毛細現象之 4σ cosθ 水面所上升高度 h = γ D 13
圖 1-4 水在玻璃管內 14
精選範例 1-9 3 如圖所示之試管, 若 R= 1.5mm, θ = 0, σ = 0.074 N / m, ρ = 1000 kg / m, 試計算毛細高度 h =? 水利 機械高考 答案 : h 1( cm) = 15
精選範例 1-10 大氣中, 有一直徑為 mm 的雨滴, 若水之表面張力為 0.078 N / m, 試求 雨滴內部之平均壓應力為何? 答案 : P 145.6( Pa) i = 16
精選範例 1-11 有一直徑為 1.6mm 的玻璃細管插入水體, 水在管中升起高度為 19mm, 若 水與玻璃管之接觸角 θ = 0, 試求水的表面張力 技師檢覆 答案 : 0.0746 ( N / m) σ = 17
精選範例 1-1 請證明表面張力的作用讓水滴的內部壓力與外部壓力差值如下式 : σ Pi Po = r 這裡 σ 為表面張力, r 為水滴半徑 答案 : 令大氣壓力為 P 0, 則由力平衡方程式可得 π σ = π σ = r ( ) r Pi P0 r Pi P0 18
第二部分精選試題演練 一 計算題 1. 有一二維流場, 速度分量分別為 u = xt+ y, 在 x = 1m, y = 1m 處之流體總加速度為何? r r r 答案 : a = 4i+ 4j v xt yt = 當時間 t = 1sec 時, 機械技師. 有一黏度計係由兩個半徑相差極小的同心圓筒所構成, 其內筒可旋轉, 兩圓筒之間隙極小以確保速度分佈為線性 若已知此黏度計之內筒半徑為 7.6cm, 高 15.0cm, 間隙 mm, 以 00 轉 / 分 ( ) rpm 旋轉, 所需的力矩為 0.01N m, 試問 此間隙流體之黏度 環工高考 答案 : 0.0388 ( N s/ m ) μ = 3. 有一個三維流場之,, ( 3 ) x yz 方向速度分量分別為 u = ( x y), v ( x 3z) w= y+ z ( 速度之單位為 m /sec), 該流場中溫度分布為 = +, T x yz xy 5t = + ( 單位 C ) 今將一溫度計置入流場中, 若溫度計隨流體 流動, 試求溫度計流經點座標 ( 0,0,1 ) 時所顯示之溫度變化率 DT Dt = 答案 : 1 ( C /sec) 環工高考 19
4. 已知移動平板和固定表面間充滿潤滑油, 其間距為 0.381mm, 平板速度為 3 17.3 m/ s, 試求流體產生的剪應力 ( 潤滑油的黏性係數為 9.6 10 N sec/ m ) 答案 : τ = 435.9( Pa) 原特三等 5. 有一無限大平板, 以等速度在薄層牛頓流體表面運動, 牛頓流體的速度分速為線性分佈如下圖 試問作用於等速平板面的剪切應力 ( shear stress 或 5 shearing stress ) 為多少? 牛頓流體的黏度 μ = 65 10 kg / ( m s) 答案 : τ = 0.65( Pa) 身障三等 6. 如圖所示, 將一根微小且兩端開口之管子插入液體中 相對於管外之液面, 管 內的液面會因毛細現象上升或下降 h 之距離 請分別求出 : (1) 距離 h () 管內液面下的壓力變化 P( y ) 請以 ρ ( 密度 ), g ( 重力加速度 ),σ ( 表面 張力 ), R ( 半徑 ), y ( 半月型液面下的距離 ),θ ( 接觸角 ) 來表示 0
環工 水利普考 答案 :(1) h σ cosθ ρ gr = () P( y) σ cosθ = ρgy R 7. 在一個二維流場中, 流場中流體溫度分佈為 T = 3x+ 8y( x y 單位為公尺, 溫 度單位為 C ), 流場中流速 u = 5 m/ s, v= 0 m/ s 試問, 隨流體流動之一微 小質點其溫度隨時間變化率為多少 ( C /sec)? DT Dt = 答案 : 35 ( C/ s) ur r r 8. 若一水流之速度向量為 V = xi+ yj, 請以兩種方法求其加速度向量? r r 答案 : xi+ yj 9. 在流體力學中要如何區分流體與固體? 答案 : 請參閱講義內容 1
10. 何謂 dynamic viscosity 及 kinematic viscosity? 答案 : 請參閱講義內容 11. 當牛頓流體 (Newtonian fluid) 流經兩塊無窮大 間距為 h 且平行放置之 3V y 平板間時, 若其速度分佈可表示為 u = 1, 式中 V 為平均速度且 y h 之原點位置位於兩平板之中心線位置 ( y 之範圍介於 h 至 + h 之間 ) (1) 請找出流場中最大之流速及其所發生之位置 () 請計算流體作用於上方平板 ( y = h ) 之剪應力大小及其方向 (3) 請計算於最大流速發生位置之剪應力大小 3 答案 :(1) u max = V, 發生於 y = 0處 3μV () τ y = h= ( ) h (3) τ y = 0 = 0 1 3 1. 某流場之速度向量為 V = xy i y j+ xy k 3 ur r r r, 請計算於座標點 ( xyz=,, 1,,3) 處, 流體粒子之加速度 (the acceleration of a fluid particle) r 16r 3 r 16 r a = i+ j+ k 3 3 3 答案 : ( 1,, 3)
13. 氣體與液體黏滯度 (dynamic viscosity) 是隨流體溫度上升而上升或是隨流體溫度上升而下降? 為什麼? 答案 : 請參閱講義內容 ur r r r 14. 一二維流場, 其速度場為 V = ( U + bx) i byj 計算其加速度向量場 a( x, y) r r r 答案 : ( 0 ) a = U b+ b x i+ b yj 0 15. 何謂毛細現象 (capillary phenomenon)? 答案 : 請參閱講義內容 16. 請說明流體 (fluid) 的定義 答案 : 請參閱講義內容 3
二 重要名詞解釋 1. 流體 : 受剪應力作用下會產生連續且永久變形之物質, 亦可定義流體為無法在靜止狀 態下承受任何剪應力之物質 身障三等. 無滑移邊界條件 : 流體由於黏性效應, 在流經固體表面處會黏在固體之邊界上, 形成一層很薄的 邊界層, 此時流體與固體表面之間沒有滑動 ( 相對速度 ) 之現象, 稱為無滑移 ( no slip ) 邊界條件 3. 牛頓黏性定律 : 流體受剪應力之作用下, 其剪應力與速度梯度 ( 剪應變率 ) 成正比之關係, 以數 du 學式表示為 τ = μ, 此式即稱為牛頓黏性定律 dy 4. 牛頓流體 : 若流體在某指定溫度和壓力下其黏滯性為定值時 ( 即流體之剪應力與剪應變率 呈線性關係 ), 則稱此流體為牛頓流體 例如水 空氣 海水與油等 機械高 考 身障三等 5. 非牛頓流體 : 若流體在某指定溫度和壓力下其黏滯性為非定值 ( 即流體之剪應力與剪應變率 呈非線性關係 ), 而是速度梯度之函數, 則稱此流體為非牛頓流體 例如血液 油漆等 6. 賓漢塑性流體 : du 當流體之剪應力小於 τ c ( 臨界剪應力 ) 時, 其剪應變率 為零, 而流體之剪 dy 應力大於 τ c 後, 則具有牛頓流體之特質, 則具有此特性之流體稱為賓漢塑性流 體或簡稱賓漢流體 例如黏土 紙漿 牙膏 美乃滋及污泥漿等 7. 理想流體 : 當流場中之流體具有不可壓縮之特性, 且其黏性作用力相較於其他作用力 ( 如 4
重力 慣性力 ) 可忽略不計時, 亦或黏性剪應力趨近於零時, 可視為無黏性流體, 則此流體稱為理想流體 造船技師 地特三等 公務人員升官等 8. 可壓縮流體與不可壓縮流體 : 若流體受壓力作用時, 使體積變小且密度變大, 則稱此為可壓縮流體 反之, 若流體受壓力作用時, 體積及密度皆不改變者, 則稱為不可壓縮流體 水利高考 造船技師 身障三等 9. 蒸氣壓 : 液體分子若具有足夠之能量, 皆可能會汽化成氣體 故當液體分子逐漸脫離液面汽化成蒸氣而產生壓力, 在液面之壓力不再增加時, 汽化便達到一個平衡狀態, 此時液面之上的壓力即為蒸氣壓 ( vapor pressure ) 公務人員升官等 5