2.5 史密斯圆图

.5 史密斯圆图 前面讨论的都是求解 : ( d) j tg β d Γ 1Γ ρ 1 Γ j tg β d 之间关系的问题, 一般均为复数, 求解较为复杂, 有耗时更为困难 圆图 : 是一种计算阻抗 反射系数等参量的简便图解方法

圆图的构成 : 均匀传输线特性 : ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) zz ( ) z Γ z 或 : zd ( ) d Γ d 1 Γ( z) 1 Γ( d) 也可解为 : (z) 1 1 Γ ( z) 存在一一或 : Γ 1 (z) 1 对应关系 一般 z(d),γ(d) 均为复数 : jβ z zd ( ) rd ( ) jxd ( ) ze Γ ( d) Γ Re( d) j Γ im( d) Γ ( d) e 归一化阻抗 ( 实部 虚部 ) 反射系数 ( 模 复角 ) jφ ( d ) 将二者的归一化关系画在同一图上即可从复变函数的概念, 为保角变换

. 史密斯圆图 采用双线性变换, 将 z 复平面上 实部 r 常数和虚部 x 常数两族正交直线变化为正交圆并与 : 反射系数 Γ 常数和虚部 x 常数套印而成

A)Γ 复平面上的反射系数圆 无耗线反射系数 : Γ ( d) Γ jγ Γ e Γ e j ( φ β d ) j φ ( d ) Re im 这是一组 Γ 常数的同心圆 若将相位参数 (Φ) 定于右端 ( 波长计数于左端 ) 则随 d 增大 ( 向电源 ) 相位变小 顺时针反之向负载 逆时针

b) Γ 复平面上归一化阻抗圆 用 z / r jx和 ΓΓ jγ 带入 : 1 ( d) Γ 1 Γ( d) r jx ( ) Re Re Im 1Γ Re jγ 1Γ Im Re jγim 1- ΓRejΓ 1-Γ -jγ 1- Γ Γ Re 1 Γ Γ jγ Re Im 1 - Γ Γ Im Im Im ( )( ) ( ) Re Im Im

r 1 Γ Re ( ) Re Γ Im 1- Γ Γ (r1) Γ (r1) Γ -rγ r 1 r r Γ im ΓRe r r jγi m x 1- Γ Γ Im im Re Re ( ) Re Im (1 Γ Γ Γ Re Im x Re Im b) Γ 复平面上归一化阻抗圆 ( 续一 ) 1 r 1 1 r 1 r 1 ) 1 1 (1 Γ ) Γ.5 x Im x 1 ( ) ( ).5-3 为园心在 (r/(1r),) 等电阻园.5-4 为园心在 (1,1/x) 等电抗阻园 4

b) Γ 复平面上归一化阻抗圆 ( 续二 ) 将两套图套在一起, 机构成阻抗圆图

c) 复平面上等衰减园 实际传输线有耗 : 反射系数 Γ 与阻抗仍然保持一一对应关系, 仅多了衰减因子 e -αd 即 : Γ(d) Γ e -αd 随 d 增加而下降, 实际数值可在 e -αd 为半径的同心园 ( 圆图左边标尺 ) 上读出

圆 图

圆图的特点 1. 圆图是由长线公式组合而成, 交点代表了联立方程组的解. 圆图坐标下端点对应 Γ Γ e jφ 的 Φ 点, 即电压波最大点 ( 开路 zf); 轴上数据 r max ρ 圆图坐标上端点对应 Γ Γ e jφ 的 Φπ 点, 即电压波最小点 ( 短路 z) 轴上数据 r m K 圆心 z1, 代表阻抗匹配点 3. 阻抗圆周 (Γ1) 右部为感抗 ( 正 ); 左部为容抗 ( 负 ) 圆图上转一周为 λ/ 4. d 增加 向信号源 顺时针 ; 1 y g jb d 减小 向负载 逆时针 ; r 5. 导纳圆图与阻抗圆图旋转 18 jπ 相同 1 Γ 1Γe 1Γ 1 Γe jπ jx

圆图的应用 例.5-1 已知同轴线的特性阻抗为, 端接负载阻抗为, 如图.5-4(a) 所示, 求距离负载处的输入阻抗. 1. 计算归一化负载阻抗. 连接 oz 向电源波长.3λ 3. 再以 z 为半径顺时 ( 向电源 ) 针旋转.4λ 得 z.4-j.5 4. z *51-j1.5 1 j5 z 5 j1

圆图的应用 ( 续一 ) 例.5- 由测量得到 sc j16ω, oc -j3.6ω 5-j7Ω( 终端接实际负载时 ), 求负载阻抗 1. 值 sc oc 传输线的特性阻抗为 : 5( Ω). 归一化 : 并在圆图上标出 z sc sc / o j.1 z oc sc / o -j.47 z / o.5-j1.4 3. 由 z sc 得向电源波长为.18λ, 而短路时 z, 圆图左端点 : 传输线长度为.18λ 4. 负载在输入点 传输线长处 :.157λ.18λ.333λ 从 z 沿等半径转.18l 得 z z * o 8.5j75Ω

圆图的应用 ( 续二 ) 例.5-3 在 o 为 5Ω 的无耗线上测得为 VSWR5, 电压驻波最小点出现在距负载 λ/3 处, 求负载阻抗值. 解 : r m 1/5.-->z m 在实轴左半 ( 上半部 ) 反时针 ( 向电源 ) 转 λ/3 得 : z.77j1.48 z *538.5j74Ω 小节 : 将已知条件归一化 画出阻抗 ( 两圆焦点 ) 波长 ( 阻抗与中心连线 ) 旋转 : 向电源 ( 顺时针 ) 向负载 ( 逆时针 ) 读出结果并还原

圆图的应用 ( 续三 ) 例.5-4 在 o 为 5Ω 开槽线终端接入一未知负载时测得 V m 出现在距负载.1m\.35m\.6m 和.85m 处 ; 而当终端以短路器代替未知负载时测得 V m 出现在 \.5m\.5m 和.75m 处, 试求工作频率和未知负载 8 3 1 阻抗 λ /.5m 或者 λ.5m, f 6(.5 由 V max db, V m -6dB 查表得 VSWR, 则 K.5 (r v max / V m ) 实际负载电压最小点距负载电长度为.1/.5.λ 从 z m 沿等 ρ 圆反时针转.λ 即可得 z 1.55-j.65 z 577.5-j3.5 MH )

圆图的应用 ( 续四 ) 例.5-5 已知双导线的特性阻抗为 5Ω, 负载阻抗为 5 j 15Ω, 线长 4.8λ, 求输入导纳 归一化阻抗 :z (5-j15)/5-j6 以 z 沿等 Γ 圆转 18 o 得到 y.45j.15; ( 对应电波长数为.8) 以 y 沿等 Γ 圆顺时针转.3λ 到.38λ, 此处即 为 y 1.18-j.9 Y y /5.47-j.36(S)

阻抗匹配 1. 阻抗匹配的概念 : (impedance matchg) 使微波电路 / 系统无反射, 尽量接近行波 重要性 : a) 负载和传输线功率最大, 损耗小 b) 避免失配时大功率击穿 c) 减小失配对信号源的牵引作用 匹配方式 : 1. 负载匹配 :. 信号源匹配 a) ( 选 调 βl) b) * ( 还接入隔离器防牵引 )

阻抗匹配分析阻抗匹配分析设 α 代入传输线通解有 : ) ( 1 ) ( d j d j l j l j e e e e E d V β β β β Γ Γ Γ 令式中 dl, 则得到 V ( ).6. 1 j l j l j l j l E e V e e e β β β β Γ Γ Γ 由于无耗, 电磁波 (d,dl) 振幅不变 :, 3) (.6 1 e e E V V l j l j Γ Γ Γ Γ β β

传输功率 : 阻抗匹配分析 ( 续一 ) 1 { * } 1 1 1 1 Re Re Re P V I V E 令 : ( 分压式 ) 有 : R jx, R jx, 1 R X R jx P E Re ( R R ) ( X X ) R X 1 R E ( R R ) ( X X ).6 14

阻抗匹配分析 ( 续二 ) 现在假定信号源内阻抗固定, 讨论上述三种匹配问题 : 1. 负载匹配 : o > Γ ( - o )/( o ) _ V e Γe γl -γl γl - γl I e Γe 必为纯阻抗 P 1 E ( R ) X

阻抗匹配分析 ( 续三 ). 信号源与传输线匹配 : R jx 直接由功率表示式有 (Γ ) P 1 R E 4( R ) X.6 8 这种情况虽然匹配但是功率可能小于情况 1 3. 信号源与传输线共轭匹配 ( 调 ) 对功率表示式.6-5 中 实部和虚部分别 取微商并令为零有 :( 求极值 )

由 P/ R 可得 : 阻抗匹配分析 ( 续三 ) R R ( X X ) (.6 9 a) 由 P/ X 得到 X ( X X ) (.6 9 b) P 联立求解得 :( 共轭匹配 ) R R *, 1 1 E 4R X X.6 11 (.6 1) 匹配时多次反射可能造成相位叠加 功率增大 显然 P 共轭 >P( ) P( o )

阻抗的匹配方法 接入匹配装置 要求 : 简单易行 附加损耗小 宽频带 可调分为 (1) 集中参数 () 分布参数两类 (1) 集中参数 :(f < 1 Hz) 节匹配网络 类似于移相电路

例.6-1 设计一 节匹配网络, 在 5MHz 使负载阻抗 -j1ω 与特性阻抗 1Ω 的传输线匹配 归一化阻抗为 :z / o -j 在 1jx 圆内,a 方 案 (1) 归一化 并在图中标出 () 由于要计算并联转换成导纳较为方便 将 z 旋转 18 度得出 y.4j.; 如果加上 jb 可使总电导落在 1jb 的圆周上 ( 电阻 1jx), 则可能串接 jx 达到匹配 (3) 在.4 圆上转到 y(1jy 圆周 )yy j.3.4j.5 (4) 再变回 z 1-j1. ( 转 18 度 ) (5) 显见只要串接 b xj1. x即可匹配.9( pf); 38.8( nh ) C πf πf

例.6-1 ( 续 ) 若向下半圆移动交 1jb 圆周于 y.4- j.5, 得到并联电纳 b -.7, 然后转换回阻抗后, 加上一串联电抗 x -1. 也可做匹配 由此则得到由并联电感 和串联电容 C 组成的 节匹配电路, 如图.6-4(c) 所示 其元件值在 5M 时为 1 46.1( nh ); C.61( pf) πfb πfx 匹配由 : (a) 并联元件使总电阻转到 1jb( 顺 逆两种 ) (b) 串连元件使总电阻转到实轴

() λ/4 变换器 λ/4 变换器 (the quarter wave transformer ) 是实现实阻抗匹配的简单而实用的电路 πλ π R d j1tgβ d β λ 4 1 1 jr tg β d R 1 匹配时 故有 : 1 R.6 13 一般仅适用于纯阻负载可通过并 / 串接电抗 ( 短 / 开路线 ) 转换成纯阻 / 差别过大可通过多级平滑过渡 ( 保证带宽 )

(3) 支节调配器 在距负载 l 处放入 ( 串 / 并 ) 短路或开路线 (a) 单支节调配器 通过改变 ( 接入位置 支节长度 ) 实现 如图, 总存在 d 使 : jx Y Y jb 则可通过 : 串连电抗为 -jx 的支节使 并联电抗为 -jb 的支节使 Y Y

单支节并联调配器 此类题的解法为公式法和圆图解法 设阻抗为 1/Y R jx 带入并有理化 ( R jx ) j tg d ( R jx ) j t 有 : β j( R jx ) tg d j( R jx ) t Y β 1 X t jr t R j( X t) R j( X t) R j( X t) 1 ( Xt) R Rt( X t) R ( 1 t ) R X t R X t B ( ) ( ) Rt Xt ( ) ( X R ( X t) t)

单支节并联调配器 ( 续一 ) 选 d 使 Y 1/ 可得关于 t (tgβz) 的方程 : ( R ) t X t ( R R X ) { } t X ± R ( R) X / ( R ) (.6 16) R X R d λ 1 1 arctg t π ( π π t arctg t) t < ( )

单支节并联调配器 ( 续二 ) 将 t 代入式 (.6-15b) 可求得支节的输入电纳再由 :SC( 短路 ) OC( 开路 ) 输入阻抗公式 : sc j tgβ d oc -j ctgβ d 5.3 7 可解出 : 短路 : 开路 : lsc 1 Y 1 Y arctg arctg λ π Bs π B (.6 18) l 1 oc B s 1 B arctg arctg (.6 19) λ π Y π Y

单支节串联调配器 设阻抗为 Y 1/ jb 带入并有理化有 : ( jb ) jyt Y Y Y j ( jb ) t 1 R jx 带入 Y并将分母有理化可得 : Y ( 1 t ) R (B Y ) X t Bt ( ) ( ) Bt Y B Y ( B Yt) Yt 推导方法完全相同 Y 换 换 R B 换 X

单支节并联调配器 ( 续一 ) 选 d 使 R 1/Y 可得关于 t (tgβz) 的方程 : Y ( Y ) t B Yt ( Y B ) { } t B ± ( Y ) B / Y ( Y ) (.6 16) Y B Y d λ 1 1 arctg t π ( π π t arctg t) t < ( Y )

单支节串联调配器 ( 续二 ) 将 t 代入式 (.6-1b) 可求得支节的输入电抗 X s -X; 再由 :sc 短路 oc 开路输入阻抗公式可解出长度 : 短路 : 开路 : lso 1 X 1 X arctg arctg (.6 4) λ π π s loc 1 1 arctg arctg λ π Xs π X (.6 5) 小节 : 并 / 串联单支节匹配器是通过 : 1. 选取适当长度 d 接入点, 使实部匹配 Y / R 公式.6-17.6-3. 选取适当支节长度 l, 消除该接入点的阻抗 / 电抗达到完全匹配.6-18 19/ 4 5 3. 可采用 CAD 编程计算 ( 并接分析导纳串接分析阻抗 )

例题.6- 特性阻抗 为 5Ω 的无损耗线终端接 为 575Ω 的负载, 采用单支节匹配, 求 d 和 l 解 :1) 归一化阻抗 : z ( 5 j75) 5.5 j1.5 找出 z, 旋转 18 度得 y. - j.6; 读出向电源波长 λ.41. 由 y 沿等 圆顺时针 ( 向电源 ) 旋转, 交 g1 圆于两点 : y 1 1 j. λ.19 / y 1 3 支节位置 d d 1 j. λ.38 λ/ 补偿.5.41.19.8λ.5.41.38.396λ 4. 短路支节导纳 :y -j. (.318λ)y 'j.(.18λ) 5. 支节长度 : ( 一般取较短的解 ) l.318λ.5λ l /.5λ.18λ.68λ.43λ

b) 双支节调配器 理论上单支节可实现匹配, 但实际上 d 的位置是很难精确确定的 ( 误差 不可能到处开口 ) 双支节调配器 (double stub tuner) 在两个固定位置并联 ( 串连 ) 接入 ( 间距 λ/8,λ/4,3λ/8; 非 λ/) 本质是调节第一支节到单支节所需的 d, 再调第二支节达到匹配 解法 : 调节支节 1 匹配实部 ( 得出支节长度 虚部值 ) 调节支节 匹配虚部 ( 得出支节长度 )

双支节调配器 理论 支节 1 点的输入导纳 :Y 1 j(b B 1 ) 支节 点的输入导纳 : Y jyt j( B B Yt) (.6 7) 1 1 Y Y Y jyt 1 Y j ( jb jb 1) t 有理化分母并令实部 Y 有.6-8 1 1 Y Y Y B t Bt 1 j t Y B t Bt 1 j t Y ( ) 1 1 j( B B Yt) Y B t Bt j t Y Y Bt Bt ( B B Yt) t 1 t Y t Y B t Bt t ( ) ( ) 1 Y B t Bt Y ( ) t 1 ( 实部 ).6 8

双支节调配器 理论 ( 续一 ) 关于 的二次方程求根有.6-9 1 t 4 t ( Y Bt Bt 1 ) Y 1 1.6 9 ± t Y (1 t ) 由于 为实数则要求根号内 b -4ac 即 : 由于 : t tgβd 4 t ( Y B t Bt) 1 1 Y (1 t ) β ctg βd1 1 1t cos d 1 于是 t s d s d β β

双支节调配器 理论 ( 续二 ) 1 Y 1 ± s βd.6 9* 1 4s βd( Y B tgβd Btgβd) 4 1 Y 4 4s βd[ Y ( B B1) tgβd] 1 Y 由此可解 d 的取值是有一定范围的 当 d 固定后我们可由式.6-8 解出 :

B 1 B Y ± 双支节调配器 理论 ( 续三 ) ( 1 t ) Y t 第二支路的电纳也可由.6-7 得虚部求得 B ± Y Y t ( 1 t ) t Y 支节长度可由 B 值求得为 : lsc 短路 : λ 1 Y arctg π B (.6 33) l 1 oc B 开路 : arctg (.6 34) λ λ Y t

例.6-3 如图.6-9 求支节长度 1) 归一化阻抗 :z ' j1 导纳为 :y '.4 - j. 可得出对应波长为 @.463λ ) y ' 沿等 Γ 圆旋转 λ/8 得 ( 移到枝节 1) y.5j5 @.88λ 3) 从 y 沿等 g.5 的圆旋转交辅助圆 (λ/8) 于 y 1.5j.14 在 y 上并联支节使 jb 1 j.5j.14 即 : jb 1 -j.36 @.445λ 可解出 l 1 (.445-.5).195λ 4) 以 y 1 沿等 Γ 圆旋转 λ/8 得 y 1j.7 取 :jb -j.7 @.45λ 故 :l.45-.51.55λ 由于 y >y 1 可能在辅助圆上有两个焦点 ( 两个解 ) 但当 y 落入 g> 的圆内时必然无解 ( 匹配禁区 ) 可通过增加支节数达到匹配

(4) 渐变线 1. 如上所述, 用 λ/4 变换器匹配时, 若阻 抗变换比很大或要求宽带工作时, 可采 用多节变换器 ( 节数增加时, 两节之 间的特性阻抗阶梯变化很小 ) 在节数无 限大的极限下就变成了连续的渐变线. 条件 :l >>λ ( 频率越高越易满足 )

(4) 渐变线 图.6-1(a) 给出了特性阻抗从 z 处的 变至 zl 处的 的渐变线 可看成长度为 z 的许多增量节组成 : 阶梯增量 反射系数 : ( Δ) Δ ΔΓ (.6 35) ( Δ )

渐变线 ( 续一 ) 式中 Γ 和 均为距离 (z/d) 的函数, 符号 - 表示对 的阻抗归一化 令 Δz, 可得 : d 1 d(1 n / ) d dz 假设渐变线无耗, 则此阻抗变化所产生的对输入端反射系数的贡献为 : Γ dz 总反射系数为 : ( 多次反射忽略 ) (.6 36) 1 d(1 n / ) dz jβ z dγ e dz 1 d Γ l jβ z e 1n dz z dz 用于阻抗匹配的渐变线有指数线式 克洛普芬斯坦式 直线式 三角式 切比雪夫式等 ( 不同算法 )

A) ) 指数渐变线 Exponential tapered le: 是以指数 ln(/ ) 为坐标单位的渐变线 :(z) e αz (<z<l) 在 zl 时 (l) e αl 可得 : 故 :( 设 β 不随 z 变化 TEM) a 1 n / 1 1 n l 1 l βz d az jβl sβl Γ e (1 ne ) dz e dz βl 如图.6.11 当 l>>λ 反射系数很小

指数渐变线 ( 续一 ) 指数渐变线在给定阻变换比 ( / 或 / ) 和终端反射系数 Γ 时, 其最短长度为 : 1 λ lm n n 4β Γ 8π Γ l max 1 1.6 41 当要匹配的阻抗相差不大时, 为了加工 方便, 指数线可做成直线过渡