实验三 ( 包含原两个实验 ) 一维运动项目 ( 水平 竖直 ) 一. 实验室仪器设备 注意事项 实验内容. 竖直方向的一维运动项目. 仪器介绍 Videoco 照相机是专门与计算机连接而设计的专用照相机 通过使用单线 CCD,Videoco 为计算机采集数据 该设备能高精度地记录物体的线形运动 要记录一个实验物体的线形运动, 需要在物体上贴上反光箔 Videoco 相机通过识别来自 LED 闪光照射在物体上反光箔的反射光, 并通过测量来自背景反射光的强度来识别箔的反射光, 从而确定箔的位置 实验中 Videoco 通过自由落体上反光箔的反光来确定物体的位置和移动, 然后计算出自由落体的速度 加速度和其它相关的物理量 在测量前必须对系统进行定标 所谓定标是指 校正象素间距 即使物体实际移动 米时, 物体的象在屏幕标尺上移动 4000 格 线性化可以进一步提高测量精度, 线性化的方法是对自由落体上二个反射光箔作一个试验测量, 软件利用对二个反射光箔的测量差值自动计算出校正值, 线性化后应重新进行校正 实验实际测量的数据是 S(t), 软件缺省地计算显示 V(t) 和 (t), 利用公式标签可以计算和显示 感兴趣的物理量, 例如 : E( t) vt g( h st) 是自由落体铁片的机械能, 利用 E(t) 即可了解自由下落过程中铁片机械能的变化 图 () 给出了主要实验装置 图 仪器装置图
图 () 自由落体实验. 供研究课题及拓展.. 自由落体运动规律的研究, 测量出当地的重力加速度 研究空气阻力与运动之间的相互影响关系, 其中可以测量气球的半径, 定性研究半径对空气阻力的影响.. 研究竖直方向的弹簧振子的阻尼运动及简谐运动, 完成相关物理量的测定
. 水平方向的一维运动项目. 实验室仪器设备 数据处理系统 改变力和质量的配件. 实验提示 Videoco 是专门与计算机连接而设计的专用照相机 通过使用单线 CCD,Videoco 为 计算机采集数据 该设备能高精度地记录物体的线性运动 要记录一个或多个实验物体的线性运动, 需要在物体上贴上反光箔 Videoco 相机通
过识别来自 LED 闪光照射在反光箔的反射光, 并通过测量来自背景反射光的强度来识别入 射光, 从而确定箔的位置 实验中 Videoco 通过一维运动物体上反光箔的反光来确定物体 的位置和移动, 然后计算出物体的速度 加速度和其它相关的物理量 实验实际测量的数据是 S(t), 软件缺省计算出并显示和, 利用公式标签可 以计算和显示感兴趣的物理量, 例如 : 是系统线动量, 可验证动 量守恒定律.3 实验内容.3. 定量研究牛顿运动定律及物体的弹性碰撞规律.3. 定量研究水平方向的振子运动 ( 阻尼及简谐运动 ), 测量相关物理参量 3. 新配仪器设备 电子天平一台 ( 准确到 0. 克 ), 弹簧数个 砝码一套 二. 相关内容及背景知识. 研究弹簧振子的周期和小球质量的关系实验 一根弹簧竖直悬挂, 上端固定, 下端挂质量为 的重物 这系统称为弹簧振子 实验表明, 系统在竖直方向的小幅振动就是简谐振动 若弹簧的质量可忽略, 则振动周期为 式中, 为弹簧的劲度系数 实验研究这种运动规律时, 应分二步进行 : 第一, 选一根 值适中的弹簧 ( 恒定 ), 逐次增大, 精确测定相应的 T 然后, 画出 T - 图线, 看是否为直线 第二, 用不同的弹簧多次做实验, 结果发现每次得到的图线都像图 () 那样, 并不通过原点 O 显然这不是测量的偶然误差造成的, 而是反映了一种必然规律, 即实验所用的弹簧振子系统必须考虑弹簧的质量
弹簧振子是一个理想化的模型, 它只考虑振子末端的悬挂质量, 弹簧只提供弹力, 不考虑其本身质量对振动的影响 在实验中, 弹簧下悬挂的重物很轻 ( 太重就会超出弹簧的弹性限度 ), 弹簧本身的质量不能忽略, 但由于它的质量是连续分布的, 振动中任一时刻弹簧各部分的速度大小不同, 如果把弹簧本身质量全部加到末端悬挂质量上, 是不合适的 我们把弹簧本身等效成一个弹簧振子, 相当于其末端 悬挂 一质量为 0 的重物, 0 称为 折合质量, 它等于图 () 中图线在横轴上截距 p 的绝对值 因此实际的弹簧振子周期公式应为 () 修正后的图线如图 (b) 所示 由此可知, 只要在弹簧下悬挂不同的砝码, 并测出相应的振动周期 T, 便可画 T ~ 图线 ( 如图 b), 在 轴上截距为 0, 并由其斜率得到劲度系数 [ 器材 ] 长螺旋弹簧 铁架台 钩码组 ( 每个 50.0±0.5 克 ) 细线 秒表 质量未知的重物 ( 约 70~80 克 ) 天平及砝码 实验装置如图 所示 [ 实验步骤 ]. 如图 所示, 在细线 下悬挂弹簧和 3 个钩码, 使它们在竖直方向做振幅较小的振 动 适当长度的细线能有效地防止系统振动时左右摇 t=7.7±0. 秒, 则 T=0.79±0.003 秒, 相对误差. 逐次增加钩码, 但不能超出弹簧允许 ( 弹性形变 ) 的负荷, 按上述方法测出不少于 5 组 T 值 3. 将 式化为 : 由实验数据画 T - 图线, 由图线求 0 值 4. 用天平称出弹簧的真实质量 ', 将 0 与 ' 做比较 用静力拉伸法依据胡克定律测出弹簧的 值, 与上述振动法的测量结果做比较 5. 在弹簧下挂几个钩码和待测的重物, 测出振动周期 T, 在 T - 图线上做内插求出重物的惯性质量 再用天平称出此重物的引力质量, 看惯性质量是否与引力质量相符
[ 数据处理 ] 注意以下几点. 用表做记录 最末行 (i=7) 的 是 与几个砝码的已知质量之和. 为了提高图线的准确度, 纵横轴都不从零开始 在图线上取 b 两点求其斜率 c, 则弹簧的劲度系数 : 再将 c 及 或 b 点坐标代入 式求 0 3. 若各次的 按等间隔取值, 则可再用逐差法处理数据求 请自行设计表格 记录表 [ 讨论题 ]. 本实验可以取三组测量数据, 用差值计算法求重物的未知质量 试写出计算公式, 说明为了减小误差要选用表中哪几个数据?. 水平气轨上质量为 的滑块和倔强系数分别为 的两根弹簧按图 3 装置也构成一个可作简谐振动的振动系统 设想其振动周期 T 与 和倔强系数 的函数关系为 : T=bc 其中 =+ 那么, 怎样做实验并用图线法处理数据来求出式中的常数 b c 而得到经验公式? 为此, 实验时用光电计时装置测 T; 在滑块旁加配重块以改变 ; 更换不同弹簧以改变 : 借助气轨端部小滑轮和细线 小盘和砝码可测弹簧的 和. 弹簧振子运动的研究 如图 () 所示, 把一个有孔的小球安在弹簧的一端, 弹簧的另一端固定, 小球穿在光滑的 水平杆上, 可以在杆上滑动 小球在水平杆之间的摩擦忽略不计, 弹簧的质量比小球的质量小得 多, 也可忽略不计 这样的系统称为弹簧振子, 其中的小球常称作振子
图 () 由弹簧振子的定义可以看出, 振子在运动的过程中, 由于合外力时刻在改变, 从而导致了加 速度 速度跟着不断改变, 因此它的运动就显得较为复杂 为了能够更好的掌握它的运动规律, 同时锻炼我们对运动的研究能力, 我们对它进行了初步的研究 弹簧振子的周期和运动表达式. 周期规律 可能影响因素 : 小球的质量 (M), 弹簧的劲度系数 (K) 以及振子的振幅 () () 周期与振幅 () 的关系 质量为 的小球, 前后两次振幅分别为,, 弹簧的劲度系数为 K, 前后两次振动的周期 分别为 T,T 推论 : 在前后两个运动过程中分别取两小段位移,, 使得 q, 根据胡克定 律及牛顿第二定律, 得, q 由于位移 是任意的, 且 q 为定值 而 v v T T q T 4 T 4 T ( ) 4 T ( ) 4 结论 : 弹簧振子的周期与振幅无关 () 周期与振子质量和劲度系数的关系 有两个弹簧振子, 振子的质量分别为,, 弹簧的劲度系数分别为,, 并且振子 的振幅相同 ( 因为周期与振幅无关, 所以不用考虑它的影响 ) 推论 : 在两个运动中都取一小段位移 ( 任意的 ), 同样有
由于是任取的, 同样可得 ) 4 ( ) 4 ( T T T T 所以 T T 因此有 T 由此可以看出 : 弹簧振子的周期与振子的质量的算术根成正比, 与弹簧劲度系数的算术根成反比, 即 n T ( 其中 n 是一个与小球质量, 弹簧劲度系数, 振子振幅等无关的常数 ). 振子位移, 速度, 加速度的变化规律根据沙漏实验 ( 图 ) 可知 : 弹簧振子的位移 时间图像是一条余弦曲线 因为右图沙漏实验得到的余弦曲线, 实际上是由 方向上的匀速直线运动和 y 方向的振动的合成, 因此 y 方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线 图 () 如图 (3), 以经平衡位置向右运动开始计时, 则其初相为 图 (3) 设 ) cos( t t (,ω>0)
vt ' t sin( t ). t " t cos( t ) F t t cos( t ) cos( t ) t cos( t ) vt ' t sin( t ). t cos( t ) 如图 (4) 是弹簧振子运动的 -t 图象 图 (4) 由图像可见 T ( 即正面的常数 η=π); 当 大, 此时振子速度 ν=0( 振子 ν-t 图象如图 (5) 所示 ); 当 速度达到反向最大 t t nt 4 T (n ) 时, 达到正向最 时, 振子位移为 0, 图 (5) (3) 振子机械能的变化规律
取任意时刻 t, 则此时系统的总机械能为 : E v [ cos( t )] [ sin( t )] 如图 (6) 是振子动能和弹簧势能的关系图, 亦可见其机械能总量 E 恒等于 图 (6) 结论 : 弹簧振子在运动过程中机械能守恒, 恒为 E 上述弹簧振子均为理想化模型, 在实际生活中, 由于各种阻力的存在, 导致振子周期出现偏差, 与理论不相符 ; 振子的振幅也会逐渐减小, 机械能逐渐减小.4 恒力作用下的弹簧振子 如图 (7) 是竖直方向上的弹簧振子, 振子受到一个恒力 -- 重力的作用 设弹簧的劲度系数为 K, 自然长度为 l 0, 振子静止时弹簧伸长量为, 则 有 :g= 现将振子向下拉伸, 则 : F F g ( ) 弹 因为 ΣF 与 反向, 所以矢量式为 F T 由此可见, 恒力作用下的弹簧振子 ( 此时平衡位置为静止放置时振子所在处 ) 周期不变, 运动表达式不变 图 (7) 实验验证周期公式 ( 主要验证周期与质量和振幅的关系 ). 实验装置 : () 如图 (), 弹簧和小球 ( 穿孔 ) 穿过细杆, 一端固定在支架上, 另一端系着一个小球, 使小球在细杆上振动 这种装置既有优点, 亦有缺点 优点 : 可以避免小球在振动中偏离原来的轨道 缺点 : 由于细杆与小球间存在较大的摩擦, 给实验造成较大的误差 为减小摩擦, 考虑在细杆上涂一层油脂 但是油是粘性物质, 会给实验造成新的误差 () 既然水平细杆的存在会造成摩擦, 那么去掉呢? 则小球会下落 但如果
顺应或防止这种下落, 实验还是可以顺利进行 顺应下落 将水平弹簧振子变为竖直方向上的弹簧振子, 如图 (7), 由于恒力对振子周期没有影响, 因此可以用此装置实验 这种装置的优点是 : 可以减少阻力的影响 ; 但当振子的振幅较大时, 振子会左右摆动 防止小球下落 考虑用细线吊住小球, 但是由于左右受力不平衡, 会造成小球严重脱离轨道 因此可以在小球右端加多一根劲度系数与左边相近的弹簧 ( 此时 ) 如图 (8) 图 (8) 虽然解决了偏离问题, 但也存在一些新的问题 当振幅太大时, 小球受到细绳的拉力变大, 且此拉力水平分量也变大, 小球会上偏 解决办法 :() 增加细绳长度 这样, 相同振幅下, 绳偏离角度变小, 绳拉力的水平分量减小, 且小球上偏程度减小 () 减小振子振幅, 同样可以减小阻力和上偏程度 比较图 (7) 和图 (8) 装置, 图 (8) 的装置显得优越些 因此, 实验时选择图 (8) 装置. 实验测取数据并分析整理 按图 (8) 装置, 取不同质量的小球, 振子振幅不同 ( 都不会太大 ) 测得的数据如下 ( 弹 簧劲度系数 =+=3.3+3.3=46.43N/) 时 质量 间 振 幅 c (30 次 ) 4c (30 次 ) 6c (30 次 ) 平均值 ( 次 ) 理论值 ( 次 ) 0.33Kg.0s.3s.4s 0.375 0.340 0.84Kg.s.3s.3s 0.408 0.395 0.45Kg 3.7s 3.9s 4.0s 0.46 0.450 结论 : 在误差允许的范围内, 周期满足公式 T, 即周期与小球质量的算术平方 根成正比, 与振幅无关 3 弹簧振子的扩展 -- 简谐运动 3. 除了弹簧振子外, 单摆也是简谐运动的典例 下面我们对单摆进行研究 () 单摆周期与质量的关系如图 (9) 是一个单摆 前后两次用两个质量分别为 M,(M ) 小球拉开相同的角度, 然后放手让小球作单摆运动
图 (9) 假如质量大的周期长 ( 即速度快 ), 所以 M 运动的速度小于 如果有一个质量 M+ 的小球, 则它下落的速度应小于 M 但是, 将 M+ 的小球看成两部分, 由于 下落比 M 快, 可以带动 M 从而使整个球的速度大于 M, 这与质量大的周期长相等 因此质量大的周期不一定长 同样, 我们可以推出, 质量小的周期也不一定长 由此可见, 周期与小球质量无关 () 推导单摆周期公式现在, 让我们用能量的角度来推导 如图 (0) 当小球的振幅为 时, 有 ( θ 很小, 所以振幅为 θ) Rt 0θD Rt θ0e l h h l 图 (0) 同样, 当位移为 时, h l h h h l 由于绳的拉力方向始终垂直于小球的速度方向, 因此拉力对绳不做功, 机械能守恒 v gh g l g l v ( ) l g v 根据弹簧振子机械能守恒公式 对比 式, 用 l g 取代, 即可得 : v T L 得 v l g ( 亦可得到位移, 速度 v, 加
速度 的表达式 ) 3. 据对弹簧振子和单摆的研究可以得到简谐运动的一般规律 () 回复力 F ( 亦可写成 F=-, 为比例常数 ) () 周期 T= (3) 瞬时速度 v sint 3.3 简谐运动的其它例子 () 均速圆周运动质点在 轴 ( 或 y 轴 ) 上的投影作反复运动, 可以证明, 它的运动是简谐运动 如图所示 : 在 轴投影的位移 cos t, v ' sint 在 y 轴投影的位移 y sint, v y ' cost 由此可见, 两个相互垂直, 振幅, 频率相同初相差为 () 如下的运动亦为简谐运动 : 的简谐运动的合成是匀速圆周运动 在半径较大的光滑圆弧 弯曲水管中的具有 两物块固定在弹簧两端压缩 ( 或拉 槽中运动的小球, 其运动 一定高度差的水在做简 伸 ) 一段距离后放手, 两物块做简谐运 为简谐运动, 类似单摆 谐运动 动, 周期相同 简谐运动是最简单最原始的振动, 它在自然界中广泛存在 4. 阻尼振动研究实例
弹簧振子在油中或较粘稠的液体中的缓慢运动是阻尼振动的典型例子, 如图 所示, 由流体力学可知, 弹簧振子在油中或较粘稠的液体中运动时所受阻力的大小和速度的大小成 正比, 由牛顿第二定律, 得 式中 γ 是阻力系数 两边除以, 得 令 ω0 为振动系统的固有圆频率,β 为阻尼系数, 和振动系统的性质以及介质的性质有关 于是, 方程可写为 我们讨论的是阻力很小的欠阻尼状态的阻尼振动, 即 β<ω0, 由上式可求出弹簧振子 中质点的运动学方程为, 和 为待定常数, 由初始条件决定 此式中包含两个因子,e -t 表示随时间衰减的振幅,cos(ω't+) 表示振动以 ω' 为圆频率周期地变化, 二因子相乘表示质点做运动范围不断缩小的往复运动 由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现, 因此阻尼振动不是周期运动 不过,cos(ω't+) 是周期变化的, 它保证了质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动的时间间隔是相同的, 可见 等时性 具有非常严格的条件 而 且由于大于弹簧振子系统的固有周期, 可见阻尼振动的节奏 变慢了