第七章 交流电路的频率特性 山东大学信息科学与工程学院
内容提要 C 电路的频率特性 LC 串联谐振电路 LC 并联谐振电路 理想变压器 本章重点 : 分析典型动态电路在不同频率激励下的响应特性及其作用 理想变压器及其阻抗变换功能
7- C 电路的频率特性 频率特性 ( 频率响应 ) 电路响应随激励信号的频率而变化的特性 网络函数 : 响应相量与激励相量之比 幅频响应 输入端口 Asin( π ft + ϕ) Ae jϕ 响应相量 j ( ) H( jω) H( jω) e θ ω 激励相量 动态电路 输出端口 j A ϕ Be Bsin( π ft+ φ) φ 相频响应 B φ 动态电路的网络函数反映了电路的功能 : 滤波器 选频器等
7-- C 低通网络 网络函数 U jωc jθ ( ω) H( jω) H( jω) e + jωc U + j ω C H ( jω ) + ω ω c U jωc U θ ( ω) arctan ω ω c ω c C
7-- C 低通网络 网络功能 ( 低通滤波电路 ) ω 0 H( jω ) θ ( ω ) 0 π 截止频率半功率点 ω ωc C H( jω ) θω ( ) π ω H( jω) 0 θω ( ) H ( jω) θ(ω) ωc ω π 4 π ω c ω 4
7-- C 高通网络 网络函数 U j θ ( ω ) H ( jω) H ( jω) e U + + jωc jωc H ( jω ) θ ( ω ) arctan ω + c ω ω c ω ω c C U jωc U
7-- C 高通网络 网络功能 ( 高通滤波电路 ) ω 0 ω ωc C ω π H( jω) 0 θω ( ) π H( jω ) θω ( ) 4 H( jω ) θ ( ω ) 0 H ( jω) ω c π π 4 ω θ (ω) ω c ω 截止频率半功率点
7- 谐振电路 谐振的概念 二端网络的等效阻抗与等效导纳 Z( jω) j ( ) Z( jω) Z ( jω) e ϕ ω e[ Z( jω)] + jim[ Z ( jω)] + jx jϕω ( ) Y ( jω) Y ( jω) e e[ Y( jω)] + jim[ Y ( jω)] G + jb 一般情况下, 等效电抗和等效电纳不为零, 电路呈现一定的容性 ( X < 0, B> 0 ) 或感性 ( X > 0, B< 0) 谐振 : 当电感 电容和正弦角频率满足一定条件时, 电路的等效电抗和等效电纳均为零, 电路呈现纯电阻性 这种现象称作 谐振 动态电路
7- 谐振电路 典型谐振电路 :LC 串联谐振电路 LC 并联谐振电路 谐振的应用 : 正弦信号发生 选频电路 有时要避免谐振的发生, 如放大电路
7-- 串联谐振电路 LC 串联谐振电路模型 电路的等效阻抗 Z( jω) + jωl+ + j( ωl ) jωc ωc
LC 串联谐振电路 电路的等效电抗随角频率而变 X ωl ωc ω < ω 0 X < 0 ω > ω 0 X > 0 ω ω 0 X 0 电路呈容性 电路呈感性 电路呈电阻性, 发生谐振
LC 串联谐振电路 谐振角频率 电路发生谐振时的角频率 ( 弧度 / 秒 ) 自然谐振频率 ( 赫兹 ) 谐振电路的特性阻抗 X ω0l 0 0 ω0c 发生谐振时, 电路的感抗或容抗 0 f 0 ω 0 LC ω π π LC LC L ρ ω0l ω C C C
LC 串联谐振电路 谐振时的电路状态 电流相量 U U U I Z( jω ) s s s jϕ. 电流有效值达到最大值 ; u 0 激励源输出的复功率 * * U U S S S U U S SI U. 激励源仅输出有功功率, S. 不需要输出无功功率 电阻端电压 U s U I U s 激励源电压全部落于电阻上 e. 电压 电流同相位 ;
LC 串联谐振电路 谐振时的电路状态 电阻吸收的复功率 * * U U S S S U I U S S 激励源输出的功率全部被 US 电阻吸收 电感端电压与电容端电压 U s U ρ L I jω0l jρ Us e U s U ρ ρ C I Us e jω C j 0 π j( ϕu + ) u π j( ϕ ) 电感 电容端电压大小相等, 方向相反, 二者叠加后相互抵消 ;
LC 串联谐振电路 谐振时的电路状态 电感与电容吸收的复功率 S U I j U j U * * ρ U s ρ L L s ( 吸收无功 ) S S U I j U j U * * ρ U s ρ C C s ( 输出无功 ) S. 电感吸收的无功与电容输出的无功数值相等, 达到无功平衡. 从能量转换角度解释为 : 电容 电感不耗能, 二者之间的电场能量与磁场能量进行周期性的相互转换 ( 振荡 )
LC 串联谐振电路 谐振电路的品质因数 Q π 谐振时电路中的电磁总能量谐振时一个周期内电路损耗的能量 LI L L L I C f m ω0 ρ π π f0 L 0 ρ I U U I U U UC U L QU QU S C 谐振时, 电容 / 电感电压有效值为激励源电压有效值的 Q 倍, 极小的激励电压可以产生很大的电容 / 电感电压 ; 从能量角度, 品质因数 Q 越大, 维持电容电感间能量交互 ( 振荡 ) 所消耗的能量越小
LC 串联谐振电路 LC 串联电路频率特性 ω ω 0 Z( jω) + j( ωl ) + Q ωc ω0 ω U I Z( jω) U I U ω ω 0 + Q ω0 ω U + ω0 ω 0 Q ω ω 品质因数 Q 越大, 电路选频特性越强
7-- 并联谐振电路 LC 并联谐振电路模型 电路等效导纳 Y( jω) G+ jωc+ G+ j( ωc ) jω L ωl
LC 并联谐振电路 电路的等效电纳 B ωc ωl 电感 电容保持不变时, 电纳随角频率而变化 B ω ω < ω 0 B < 0 ω > ω 0 B > 0 电路呈感性 电路呈容性 ω ω 0 B 0 电路呈电阻性, 发生谐振
LC 并联谐振电路 谐振角频率 电路发生谐振时的角频率 B C ω0 0 ω0l 自然谐振频率 谐振电路的特性阻抗 0 f 0 0 ω LC ω π π LC LC L ρ ω0l ω C C C 0
LC 并联谐振电路 谐振时的电路状态 电压相量 Is Is j I U ϕ Is Is e Y( jω0 ) G. 电压电流同相位 ; 激励源输出的复功率 S UI S I G G I 电阻电流. 电压有效值达到最大值 * I S * IS 激励源仅输出有功功率 I S S S s s, 不需要输出无功功率 I UG I G I 激励电流全部流过电阻支路
LC 并联谐振电路 谐振时的电路状态 电阻吸收的复功率 S UI I I I S * * s 激励源输出的功率 s s s I S 全部被电阻吸收 电感电流与电容电流 U I I j I I e s L s s jω0l jρ ρ ρ j I C U jω0c I s j I s Ise ρ ρ ρ π j( ϕi ) π j( ϕi + ) 电感 电容电流大小相等, 方向相反, 二者叠加后相互抵消
LC 并联谐振电路 谐振时的电路状态 电感与电容吸收的复功率 * * L L s s S S UI I j I j I ρ ρ * * C C s s S S UI I j I j I ρ ρ 吸收无功 输出无功 电感吸收的无功与电容输出的无功数值相等, 达到无功平衡 从能量转换角度解释为 : 电容 电感不耗能, 二者之间的电场能量与磁场能量进行周期性的相互转换 ( 振荡 )
LC 并联谐振电路 谐振时的电路状态 谐振电路的品质因数 谐振时电路中的电磁总能量 Q π 谐振时一个周期内电路损耗的能量 CUm C π π f0 ω0c UG G ρ L f0 C U IL IC ρ U I I I L IC QI QIS 谐振时, 电容 / 电感电流有效值为激励源电流有效值的 Q 倍, 极小的激励电流可以产生很大的电容 / 电感电流 ; 从能量角度, 品质因数 Q 越大, 维持电容电感间能量交互 ( 振荡 ) 所消耗的能量越小
LC 并联谐振电路 LC 并联电路频率特性 ω ω 0 Y( jω) G+ j( ωc ) G + Q ωl ω0 ω Z( jω) ω ω 0 + Q ω0 ω U I Z( jω) I ω ω 0 + Q ω0 ω 品质因数 Q 越大, 电路选频特性越强
LC 谐振电路小结 串联谐振与并联谐振的对偶性 串联谐振产生高的谐振电压, 并联谐振产生大的谐振电流 ; 串联谐振 品质因数 与电阻呈反比关系, 并联谐振则与电阻呈正比 ; 串联谐振与并联谐振时 LC 网络的功率因数均为 复功率 视在功率 有功功率 UC U L QU QU S I L IC QI QIS ρ L Q C Q ρ * L C S L C S ( U + U + U ) I U S U( I + I + I ) I * L C S
7-3 理想变压器 变压器 利用磁路耦合效应进行 交流信号 的传递 调整 隔离 阻抗匹配的设备 ( 部件 ) 实质上是一种耦合电感元件 常用变压器 : 升压变压器 降压变压器 隔离变压器等 变压器的结构 变压器是由两个紧密耦合的线圈组成的, 分别称为原边 ( 初级 ) 线圈 副边 ( 次级 ) 线圈 原边线圈与信号源连接, 构成原边 ( 初级 ) 回路, 副边线圈与负载连接, 构成副边 ( 次级 ) 回路 原边线圈 副边线圈既有自电感又有互耦电感, 同时线圈电阻将引起能量损耗
理想变压器 理想变压器 从实际变压器抽象出的反映其主要特征的模型 忽略线圈电阻等次要因素, 用简单的模型描述原 副边电压 电流关系 配合电阻元件等, 可模拟实际变压器
理想变压器 理想变压器元件模型 理想变压器是一个二端口元件 理想变压器的变比 ( 匝比 ): 原边与副边的电压 ( 有效值或峰值 ) 比值 n, 是理想变压器的唯一参数 理想变压器的 ( 工作 ) 特性方程 注意同名端 变比与原 副边线圈匝数关系 : n n: n u() t nu() t i() t i() t n U nu I I n
理想变压器 理想变压器等效受控源模型 理想变压器的属性 + u - i i i n * * + - u n + u - ui nu i ui n * * * ui + ui 0 UI nu I UI UI * + UI * n 0 理想变压器不再是动态元件, 它既不储能也不耗能, 只是将原边能量向副边传递, 传递过程中, 按变比调整电压和电流
理想变压器 理想变压器的阻抗变换功能 根据理想变压器工作特性, 列出方程 I I n Z i U nu niz L + U - I n : I * * + U - Z L 原边等效阻抗 Z eq U ni Z L I I n Z i + U - I n ZL nz L (a) (b) 对于变比为 n : 的理想变压器原边等效阻抗为副边阻抗的倍 n
理想变压器 若副边负载为电阻, 则原边等效电阻为 : eq n 若副边负载为电感 L, 则原边等效电感为 : Leq nl 若副边负载为电容 C, 则原边等效电阻为 : C C n eq 注 : 利用变压器的阻抗变换功能, 可以实现阻抗匹配功能, 以便实现信号功率的有效传输
理想变压器 同名端方向变化后理想变压器的特性方程 u i nu i n U nu I I n + u - n : i * i N N * + u - 实际变压器与理想变压器近似的条件 变压器原 副边线圈自电感 :L L 耦合电感 : M k LL 近似条件 : M n k L L 很大 n LL n
例题 一个理想变压器的额定值是 400V/0V,9.6kVA 且在次级有 50 匝 计算 :(a) 匝数比,(b) 初级的匝数,(c) 初级绕组和次级绕组的额定电流值 原 副边匝比 : 初级匝数 : n V 400 V 0 0 n n 50 0 50 000 匝 初级绕组和次级绕组的额定电流值 I 9600 9600 4A V 400 I 9600 9600 80A V 0
例题 求负载的端电压 U U + S U 0 0 V - S I + U - :0 * * Ω 50Ω I + U - + U S - I U + - i 回路分析法 (a) I + U U S I U (b) U nu U I ni 33.3V
阻抗变换法 i 50 n 0.5Ω 00 0.5 0 0 3.33V + + 0.5 i U US i U U 0U 33.3V n
例题 已知信号源电动势 6V, 内阻 00 欧, 扬声器的电阻 8 欧 计算直接把扬声器接在信号源上时的输出功率 若用匝比为 n 3 的变压器耦合, 输出功率是多少? 若使输出功率达到最大, 问变压比为多少? 此时输出功率等于多少? r E r E (a) (b)
直接连接 E 6 P I 8 5mW + r 8 + 00 用匝比为 n 3 的变压器耦合 扬声器的反射阻抗 ' N 300 8 7Ω N 00 输出功率 P ' 6 E 7 88mW ' + r 7 + 00
若使输出功率达到最大, 要求阻抗匹配 ' n n 8Ω 00Ω n 3.54 ' 6 E P 00 90mW ' + r 00 + 00