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2 資料結構 < 王致強老師精選 > 高一 給定一個遞迴時間關係式 Θ 1, 1, 1 點請說明在下列情況之下,T(n) 的時間複雜度為何? ( 一 ) a<c ( 二 ) a=c ( 三 ) a>c 解 ( 一 ) a<c 時,n Ω, 故 T(n)=n ( 二 ) a=c 時,n Θ, 故 Θ Θ nlogn ( 三 ) a>c 時,n O, 故 Θ 說明 : 使用 Master method 二 有一時間關係式 T(n) T( n ) lgn, 請問 T(n) 的 tight bound 為何? 解 高取 n m m m, 遞迴式可以表示成 T( ) T( ) m, 再取 m k k k 1 k, 遞迴式可以表示成 T( ) T( ), k 令 ak T( ), 得 a 1 k k ak 特微方程式 (r-) =0, 解得 r=( 二重根 ) k k k 通解為 T( ) ak ( c1 k c) ( 上k ) 故 T(n)= ((loglogn)(logn)) 三 下面是 Ackermann s Function 的定義 1, 0, 1,1, 0 0 1,, 1, / ( 一 ) 請使用熟悉的語言寫出此遞迴程式 ( 二 ) 請問 A(,) 的結果為何? ( 三 ) 計算 A(,) 的過程, 函數 A 總共被呼叫中了多少次? ( 四 ) 請問 A(3,3) 的計算結果為何? 解 ( 一 ) 使用者 C 語言撰寫如下 int ack(int m, int n) { if (m==0) return n+1; else if (n==0) return ack(m-1,1); else return ack(m-1,ack(m,n-1)); } ( 二 ) A(,) 的結果為 7 ( 三 ) 計算 A(,) 的過程, 函數 A 總共被呼叫 7 次 ( 四 ) A(3,3)=61 1-1

3 四 請回答下面問題高( 一 ) 如果後序追踪順序為 HJFGDECA; 中序追踪為 HJAFDGCE, 請逐步重建二元樹 ( 二 ) 重建完成後, 請為此二元樹加上中序引線 ( 三 ) N 個節點的四元樹 (Quad Tree), 其高度最小為何? 假設樹根在 Level 1 ( 四 ) 為何樹常會轉換成以二元樹的方式來表示? 解 ( 一 ) postorder : HJFGDECA 樹根點inorder: HJAFDGCE A postorder:hj postorder:fgdec inorder: HJ inorder: FDGCE 處理 A 的左子樹 A postorder:fgdec 高inorder: FDGCE H J 處理 A 的右子樹 A 上C H J postorder:fgd postorder:e inorder: FDG inorder: E 處理 C 的左子樹, 得到最後二元樹 A C H J D E F G 1-

4 ( 二 ) Threaded binary tree 如下, 其中虛線為 threads: 高A 首節點 C 點H J D E F G h 4-1 N+ 3 ( 三 ) N 個節點的 Quad Tree 高度為 h, 則 4(h - 1) + 1 N, 故 élog 4 (3N 1) ù + h 3 ê ú êë 4 ú û ( 四 ) 假設 order 為 k 的樹有 n 個節點, 則整棵樹的指標總數 =k n, 有用的指標為 n-1 個故空指標總數 = k n-(n-1)=(k-1)n+1 高空指標總數 (k 1) n 1 指標浪費率 = 指標總數 k n (k 1) n 1 = k n k n = k 1 1 k 1 k k n k 上1 當 k= 時 ( 即 binary tree 時 ), 指標浪費率, 為最小值 故以 binary tree 來表示樹 ( 或森林 ), 可以降低指標浪費率 五 一個二元樹如下, 請找出其前序引線二元樹與後序引線二元樹 A C D E F G H I J 1-3

5 解 高preorder seq.: ADECFHJIG header node A C 點D E F G H I J pre-threaded binary tree postorder seq.: DEJHIFGCA header node 高A C D E F G H I 上J post-threaded binary tree 六 ( 一 ) 請針對字串 ACADAA 編出它的 Huffman code, 寫出各符號碼, 並計算平均一個符號需要幾個位元 ( 二 ) 若有一套 Huffman code 如下 : A: 11, : 10, C: 001, D:000, E:01 請對下面訊息解碼 解 ( 一 ) 先統計各字元的出現頻率字元 A C D 頻率

6 建立的 Huffman coding tree 如下 : 高8 0 1 A C D 點Huffman coding table 如下 : 字元 A C D code 平均一個符號需要的位元數 = =1.75 bits ( 二 ) 解碼得到字串 :CAEAED 七 下面優先次序表之中有 6 個運算符號 : +. -, =, *, /,!, 整數值愈大代表愈優 symbol operator precedence associativity! unary 4 right 高to left * / binary 3 left to right - + binary right to left = binary 1 right to left 給予運算式 A = = C + D * E / F!! G * H ( 一 ) 請繪出運算式的算式樹 ( 二 ) 請說明如何得到此運算式的前置式與後置式 上( 三 ) 如果輸入一個前置式, 請設計一個建立算式樹的遞迴程序 解 ( 一 ) = A = + C - / * * F! H D E! ( 二 ) 對算式樹做前序追踪可得前置式 : =A=+C-/*DEF*!!GH 對算式樹做後序追踪可得後置式 : ACDE*F/G!!H*-+== G 1-5

7 ( 三 ) 高TreePtr TreeConst() { TreePtr p; p = getnode(); p->data = gettoken(); if (IsOperand(p->data)) p->left = p->right =NULL; else { p->left = TreeConst(); 點p->right = TreeConst(); } return p; } 八 ( 一 ) 下面圖形是否可以找到 Eularian Cycle? 為什麼? 高( 二 ) 如果一個圖形找 Eularian Cycle, 但最後不用回到起點, 其條件為何? ( 三 ) 如果有一個圖形所有頂點的 degree 皆為 0~3 之間, 邊總共有 8 個 :degree 為 0 的頂點有 3 個 ;degree 為 1 的頂點有 個 ;degree 為 的頂點有 4 個 ;degree 為 3 的頂點可以有幾個? 上 解 ( 一 ) 可以, 因為所有頂點的 degree 皆為偶數 ( 二 ) 不用回到起點, 只有起點與終點為 odd degree, 其餘頂點須為 even degree ( 三 ) 0*3+1*+*4+3*x=*e, 其中 x 為 degree=3 的頂點人田戈口數,e 為邊的總數 解得 10+3x=*8, 故 x=3 九 若一棵二元搜尋樹一開始時是空的 ( 一 ) 依序插入資料 , 請在圖 4 框中畫出此二元搜尋樹 ( 二 ) 接著若再刪除 37, 且刪除處理之後樹的高度減少 1, 請畫出此二元搜尋樹 1-6

8 解 ( 一 ) ( 二 ) 高 點 高上

9 十 ( 一 ) 假設資料輸入的順序如下 : 60, 80, 30, 90, 70, 100, 40, 0, 50, 10 請以 -3-4 樹儲存, 並列出結果 ( 二 ) 如下圖所示之 -3 樹 (-3 tree): 1. 若連續刪除 (Delete) 鍵值 (Key)58,65,55,40, 此 -3 樹之變化為何? 請依序用圖表示. 若從圖中直接刪除鍵值 50, 此 -3 樹之變化為何? 請用圖表示 點 ,70 高 , , 插入 90 先 split root, 再插入 90 高60 60 => 插入 上 插入 100 先 split node(70,80,90), 再插入 => 插入 40, 插入 50 先 split node(0,30,40), 再插入 => 解 ( 一 ) 插入 60, 80,

10 插入 10 先 split root(30,60,80), 再插入 10 ( 二 ) 1. 刪除 58 刪除 65 刪除 55 刪除 , 高 點 , ,80 50 高30 60, 上 , ,75 10,30 60, ,70. 刪除 50, 將 55 移動以取代 50, 轉換為刪除原 55 所在節點的一個 key 1-9

11 十一 試利用 ( 一 ) 深度優先搜尋 (Depth First Search) 及 ( 二 ) 廣度優先搜尋 (readth First Search) 求出下圖的擴展樹 (Spanning Tree), 並分別列出各節點之優先搜尋順序 高1 3 點 解 ( 一 ) 深度優先搜尋 (Depth First Search):1,, 4, 8, 5, 6, 3, 7 ( 本題答案非唯一 ) 深度優先擴展樹如下 : 1 3 高 上( 二 ) 廣度優先搜尋 (readth First Search):1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8( 本題答案非唯一 ) 廣度優先擴展樹如下 :

12 十二 如果 G 代表一無向圖 (Undirected graph) 高的定義 : V(G) = {1,,3,4,5,6,7,8} E(G) = {(1,),(1,3),(,4),(,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(5,5),(6,7),(7,8)} 其中 V(G) 為 G 之節點 (Vertices) 集合,E(G) 為邊線 (Edges) 集合 ( 一 ) 指出該定義有一不合法的邊線並說明原因 ( 二 ) 剔除該不合法的邊線後, 依節點編號次序編製, 寫出該無向圖的鄰接矩陣 (Adjacency matrix) 點( 三 ) 寫出其中任兩個不同的跨距樹 (Spanning tree) 解 ( 一 )(5,5) 為不合法, 因為圖形中一般不能有自我迴路 (self-loop) 註 : 沒有自我迴路的圖形稱為簡單圖形 (simple graph) ( 二 ) ( 三 ) 只要使用 V -1 個 edges, 構成一個 connected acyclic 高graph 即為 spanning tree 原圖形為 1 3 上 兩棵 spanning trees 可以為 ( 答案不只一組 )

13 十三 高( 一 ) 說明什麼是優先權佇列 (priority queue) 的作用 ( 二 ) 試比較使用陣列 (array), 線性串列 (linked list), 和樹 (tree) 來表現優先權佇列 解 ( 一 ) 優先權佇列是一種抽象資料結構, 須支援兩個運算 : 加入新資料與刪除最大資料 ( 二 ) ( 二 ) 二元搜尋法 (inary search) 表現方式加入新資料刪除最大資料點陣列 ( 資料不排序 ) 將新資料加在末端即可, 時間 O(1) 須搜尋出最大資料再予以刪除, 時間 O(n) 陣列 ( 資料由小而大排序 ) 須按由小而大次序插入新資料, 時刪除最後一項資料即可, 時間 O(1) 間 O(n) 鏈結串列 ( 資料不排序 ) 將新資料加在串列開頭即可, 時間須搜尋出最大資料再予以刪除, 時 O(1) 間 O(n) 鏈結串列 ( 資料由小而大 須按由大而小次序插入新資料, 時 刪除第一項資料即可, 時間 O(1) 排序 ) 間 O(n) 最大堆積將資料加入最尾部, 向上調整, 時刪除樹根, 再進行調整, 時間間 O(logn) O(logn) 十四 請比較 Insertion sort ubble sort Selection sort Shell sort Quick sort Merge sort Heap sort MSD radix sort LSD radix sort 高 Count sort Distribution Counting sort 的時間複雜度 穩定性與額外儲存空間 解 additional Type name best case worst time average time stability storage O(n) O(n) Insertion O(n 排序好的資料反轉的資料 ) stable a little 上O(n) O(n) ubble O(n simple 排序好的資料反轉的資料 ) stable a little Selection O(n ) O(n) O(n 視實作方式而 ) a little 定 Shell O(nlogn) O(n) O(nlog n) unstable a little O(n) Quick O(nlogn) 排序好的資 O(nlogn) unstable O(log n)~(n) advanced 料 Merge O(nlogn) O(nlogn) O(nlogn) stable O(n) Heap O(nlogn) O(nlogn) O(nlogn) unstable a little O(nd) O(nlogn) 視實作方式而 MSD 資料分佈不 O(nd) radix 平均分佈資料定均 O(n) LSD O(d(n+r)) O(d(n+r)) O(d(n+r)) stable O(n+r) Count O(n ) O(n) O(n ) stable O(n) counting Distribution sort O(n+m) O(n+m) O(n+m) stable O(n+m) Couting 十五 請說明以下四種搜尋 (Search) 方法的基本原理, 並分別比較其優缺點 ( 一 ) 循序搜尋法 (Sequential search) 1-1

14 ( 三 ) 內插搜尋法 (Interpolation search) 高( 四 ) 費氏搜尋法 (Fibonacci search) 解 基本原理優點缺點循序搜尋法由第一項資料開始, 逐一 1. 資料不需要先排序過 ; 搜尋資料 使用鏈結串列也可以. 適合動態資料 點3. 適合少量資料搜尋 二元搜尋法 1. 須先排序好資料, 並置時間複雜度為 O(logn), 於隨機存取記憶體 適合大量資料之搜尋. 取中間項比較, 相等則找到 ; 若小於中間項則往前半段繼續搜尋 ; 若大於中間項, 則往後半段繼續搜尋 內插搜尋法以 Fibonacci Number 之特 1. 時間複雜度為 O(logn), 性, 取中間項, 原理與二適合大量資料之搜尋 分搜尋法相同. 實作不需要使用除法運算, 只需要用到加減法高, 比二分搜尋法好 overhead 較高 費氏搜尋法以線性內插法之特性, 取時間複雜度為中間項, 原理與二分搜尋 O(loglogn), 適合大量資法相同料之搜尋 適合平均分佈之資料搜尋 上十六 試繪一 AVL 樹, 由空樹開始, 依序加入下列節點 50,60,6,79,,11,17,19,97,71,65,75,41,51,61,63 ( 一 ) 試表示出在建立此樹時, 每一旋轉 (Rotation) 前後之結構 ( 二 ) 欲在上述之 AVL 樹中去除 60 及 71 兩節點, 試分別表示出消除後之 AVL 樹 解 ( 一 ) 插入 50,60,6 之後進行 RR 旋轉 R R 6 時間複雜度為 O(n), 大量資料時, 較費時間 1. 資料需要先排序過 ; 須使用陣列. 不適合動態資料 3. 使用除法計算中間項位置, 在少量資料搜尋時,overhead 較高 1. 資料需要先排序過 ; 須使用陣列. 不適合動態資料 3. 少量資料搜尋時, 資料需要先排序過 ; 須使用陣列 不適合動態資料 使用內插法計算中間項位置, 在少量資料搜尋時, overhead 最高 資料分佈平均時, 可能會與線性搜尋時間相同, 達到 O(n) 1-13

15 插入 79,,11 之後進行 LL 旋轉高 L 6 79 L 點11 插入 17,19 之後進行 RR 旋轉 R 17 R 19 高插入 97 之後進行 RR 旋轉 60 6 R 上R 插入 71,65 之後進行 RL 旋轉 R L

16 插入 75 之後進行 RL 旋轉高60 79 L R 點71 75 插入 41,51,61 之後進行 LR 旋轉 L L 高插入 63 之後完成 上 ( 二 ) 十七 -3-4 tree 與 red-black tree 間的轉換 ( 一 ) 試繪一棵 -3-4 樹, 由空樹開始, 依序加入下列節點 A D I A M O N D I S F O R E V E R ( 二 ) 請將此 -3-4 樹轉換成為 red-black tree 1-15

17 解 ( 一 )-3-4 tree 如下 : ( 二 ) 高I O D E M R A A D E F I N O R S V 點I D O A E M R A D F I N O S E R V 高上 Insert 1 1 Insert 十八 有關紅黑樹的問題 ( 一 ) 請說明 red-black tree 的重要特性 ( 二 ) 請將 插入一棵空的 red-black tree, 請繪出過程的樹 ( 三 ) 從 ( 二 ) 的 red-black tree 中刪除 7 與 9, 請繪出過程的樹 解 ( 一 ) 紅黑樹 (Red-lack tree) 是 -3-4 tree 的一種二元樹的表示法 red-black tree 的特點 : 1. 每一條由 root 到任一個 leaf 的 path 上面, 其 black nodes 的數目是相同的. 由 root 到任一個 leaf 的 path 上, 不可以有兩個連續的 red nodes 3.root 是 black node 4.failure nodes 是 black nodes ( 二 ) Insert 1-16

18 Insert 7 Insert 5 Insert 8 Insert 高點高上

19 Insert 11 Insert 10 ( 三 ) Delete 7 Delete 9 高 點高上

20 V7 十九 ( 一 ) 請敘述 Kruskal 演算法, 此演算法用於求一個圖高(graph) 之最小跨越樹 ( 二 ) 圖一之最小跨越樹為何? A step F C 0 9 點5 E 13 D 解 ( 一 ) T Φ; while T 中少於 n-1 個 edges 且 E is not empty do begin (v,w) E 中 weight 最低的 edge; delete (v,w) from E; if (v,w) 不會造成 T 中的迴路 then add (v,w) to T else discard (v,w) end; if T 中的 edges 數少於 n-1 then not_found; 高( 二 ) A F C 0 9 上5 E 13 D 二十 請求出下圖中 V1 到 V6 的最短路徑 ( 需將過程寫出 ) 解 最短路徑為 V1 -> V4 -> V7 -> V6 Dist V1 V V3 V4 V5 V6 V7 selected initial 0 1 V1 step V4 step V step V3 step V5 1-19

21 廿一 高( 一 ) 請用串列來表示下面多項式 Px,y,z ( ) = 3xyz + 5xyz + 4xyz + xyz ( 二 ) 請宣告節點結構, 並解釋所使用的結構的各欄位 解 ( 一 ) 點var z - ptr 1 nil var y - ptr nil var y - ptr 4 ptr nil var x - no 1 4 nil var x - no 3 8 no 5 6 nil var x - no 4 6 nil ( 二 ) 節點結構定義如下 : typedef enum {varname, coeficient, sublist} triple; typedef struct ListNode * ListPtr; struct ListNode { triple tag; union 高{ char vname; // 當 tag=varname 時, 存放變數名稱 float coef; // 當 tag=coeficient 時, 存放係數 ListPtr ptr; // 當 tag=coeficient 時, 存放 sublist 指標 }; int exp; // 存放冪數 ListPtr link; // }; 上 1-0

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