壹 前言 一 研究動機 由於我是全國商業類技藝競賽程式設計職種的選手之一, 因此有機會參與程式設計類的研習, 在一次由三重商工林易民老師主講的研習中, 他提到 二元樹拜訪 給定前序 中序轉後序 相當有挑戰性, 當時聽到這個題目就試著解題 林易民老師提到一般傳統解此題的演算法是以 先重建二元樹 再以後

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1 投稿類別 : 資訊類 篇名 : 二元樹的走訪 給定前序 中序轉後序 遞迴演算法及實作 作者 : 李恩瑋 國立宜蘭高級商業職業學校 資料處理科三年忠班 指導老師 : 陳建州老師 盧忠信老師

2 壹 前言 一 研究動機 由於我是全國商業類技藝競賽程式設計職種的選手之一, 因此有機會參與程式設計類的研習, 在一次由三重商工林易民老師主講的研習中, 他提到 二元樹拜訪 給定前序 中序轉後序 相當有挑戰性, 當時聽到這個題目就試著解題 林易民老師提到一般傳統解此題的演算法是以 先重建二元樹 再以後序走訪 的兩階段方式進行 在聽完之後, 我想要嘗試直接以前序及中序的資料導出後序式 由於我們只學過陣列, 因此採用一維陣列來模擬樹狀結構 在經過 2 天的解題失敗後, 我請教了指導老師 2 個關鍵問題, 才順利的解題 巧合的是,105 年度的商科技藝競賽程式題恰好有 1 題為 後序表示法 的類似題, 完成這 1 題讓我在技藝競賽中取得不錯的成績, 因此想將這個演算法和實作的程式, 分享給有興趣的人 二 研究目的 ( 一 ) 設計一個 二元樹的走訪 給定前序 中序轉後序 的一維陣列遞迴演算法 ( 二 ) 利用 Visual Basic 2010 實作這個演算法的程式, 並分享給對演算法有興趣的人 三 研究方法 ( 一 ) 文獻分析法 : 參考相關書籍, 例如 : 細談資料結構 使用 Visual Basic, 計算機概論課本 和 Visual Basic 工具書 ( 二 ) 訪談法 : 由於指導老師以前也是程式競賽的選手, 在解題上很有經驗, 因此我第 1 次設計 演算法遇到問題時, 準備 2 個訪題請教指導老師, 分別是遞迴演算法的結束條件及繼續遞 迴呼叫的思考方式 ( 三 ) 實作法 : 依據解題的演算法實作出 Visual BASIC 程式 四 研究流程 構思題目文獻探討設計演算法實作程式結論與建議 貳 正文 圖 1: 研究流程圖 1

3 一 名詞定義 ( 一 ) 何謂二元樹 (Binary Tree) 二元樹的定義 : 若一棵樹的內部節點最多只有 2 個子節點, 則稱此為二元樹 ( 謝樹明, 2010), 參考圖 1, 解決本問題需要的二元樹性質有 : 性質 1: 二元樹上的第 i 階所有節點數量最多為 2 i-1 個, 圖 1 第 3 階為 =4 個 性質 2: 高度為 k 的二元樹, 總節點數最多有 2 k -1 個 圖 1 高度為 3,2 3-1=7 個 圖 1: 二元樹示意圖 資料來源 :105 年商科技藝競賽 - 程式設計題目 ( 二 ) 一維陣列 (One-dimension Array) 1 個變數只能存放 1 個資料, 一個陣列則可連續存放資料型態相同的多個資料, 一維陣列是最基本的資料結構, 只利用一個索引值, 就可以存放多個相同型態的資料 ( 秦邦皓, 2012), 本題採用一維陣列來模擬二元樹, 以圖 1 為例, 樹高度為 33,2 3-1=7 個, 只需要一維陣列 7 個元素即可存放, 存放方式舉例下表 : 陣列值 Index 表 1: 一維陣列模擬二元樹的存放方式 ( 三 ) 二元樹的走訪 (Binary Tree Traversals) 在二元樹的運用上, 常常需要找出所有的節點資料, 這個過程稱為樹的走訪 二元樹的 走訪順序分 3 種 : 前序走訪 (pre-order) 中序走訪 (in-order) 及後序走訪 (postorder) ( 謝樹明,2010) 二元樹走訪的方法說明如下 : 2

4 1. 前序走訪 (pre-order): 根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 2. 中序走訪 (in-order): 左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 3. 後序走訪 (post-order): 左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 二元樹走訪範例, 請參考圖 2: 前序走訪 :A B C 中序走訪 :B A C 後序走訪 :B C A ( 四 ) 自定函數和遞迴函數 (Recursive function) A B C 圖 2: 二元樹示意圖資料來源 : 自行繪製 在 Visual Basic 中有內建函數和自定函數 2 種, 當內建函數的功能無法滿足我們的需求 時, 我們可以自行撰寫函數來使用 ( 施威銘 吳文立 李亮生,2016), 即為自定函數, 我們 解題過程會用到自定函數 函數執行過程中有 自己呼叫自己的現象, 稱之為遞迴呼叫 ( 謝樹明,2010), 含有遞迴 呼叫的函數, 稱為遞迴函數, 表 2 是個可以計算 N! 的遞迴函數 : 表 2: 計算 N!(N 階乘 ) 的自定遞迴函數 Function fact(byval n As Integer) As Integer If n <= 1 Then fact = 1 本行 If n <=1 Then fact = 1 為遞迴的結束條件 Else fact = fact(n-1) * n 本行 fact = fact(n-1) * n 有遞迴呼叫, 因此為遞迴函數 End If Function ( 五 ) 問題說明 依據 105 學年度商業類學生技藝競賽 程式設計 職種正式考題 (2017) 的 Problem 3 子 題 2 的問題為 後序表示法 (post-order) 知道中序表示法 (in-order) 和前序表示法 (preorder), 就可還原二元樹, 然後求出後序表示法, 本題各節點編號不會相同 輸入檔案範例 : 10,5,2,6,14,12,15 第 1 列為前序表示法 (pre-order) 2,5,6,10,12,14,15 第 2 列為中序表示法 (in-order) 輸出檔案範例 : 3

5 2,6,5,12,15,14,10 後序表示法 (post-order) ( 六 ) 解題演算法 Function Postorder( 相關參數 ) 遞迴函數 Step1:preorder( 子樹最左邊 ) 為樹根, 然後到 inorder 中找到 的位置 [ 中左右 ] Step2: 將 inorder 陣列拆成 postorder( 左子樹 ) + + postoder( 右子樹 ) [ 左中右 ] Step3:postorder 陣列 = postorder( 左子樹 ) + postorder( 右子樹 ) + [ 左右中 ] End Funtion 將輸入檔案的中序表示法放入 inorder 陣列, 前序表示法放入 preorder 陣列, 以圖 1 為 例, 執行 Postorder 遞迴演算法, 執行的第 1 輪 第 2 輪與第 3 輪請參考表 3 表 4 及表 5 表 3:PostOrder 遞迴演算法執行第 1 輪 陣列 preorder 左子樹 右子樹 陣列 inorder 左子樹 右子樹 陣列 postorder 根據走訪順序, 可以得知前序 (preorder) 的第一個節點, 利用這兩個結果, 就能在中序分 隔出左右子樹, 在第一輪執行過程, 根節點編號為 3, 從此推斷出左子樹一共有三個節點, 順勢將右子樹範圍也一併確定 以下為第 2 輪與第 3 輪的執行結果 : 4

6 表 4:PostOrder 遞迴演算法執行第 2 輪 陣列 preorder 左子樹 右子樹 陣列 inorder 左子樹右子樹 左子樹右子樹 陣列 postorder 表 5:PostOrder 遞迴函數執行第 3 輪 陣列 preorder 左根右根左根右根 陣列 inorder 左根 右根 左根 右根 陣列 postorder 在第三輪結束時, 我們可以發現, 剩下的 2,6,12,15 節點, 都只剩下樹根, 而無子樹, 不 須再往下遞迴呼叫, 因此, 這個狀況即為遞迴呼叫的停止條件 ( 七 ) 問題訪談 問題 1: 該如何判斷遞迴函數結束的時機點 ( 即結束條件 )? 老師答 : 結束條件的寫法可參考二分搜尋法 (Binary Search) 的結束條件, 當小的位置 > 大的位置時, 就可結束 (start_index > end_index) 問題 2: 如何圈定左右子樹的範圍? 5

7 老師答 : 可以配合中序走訪結果的特性, 左子樹的範圍在中序陣列樹根 () 的左邊, 右子樹的範圍在中序陣列樹根 () 的右邊, 透過控制範圍的參數, 就能分隔出左右子樹 ( 八 ) 程式碼實作 使用語言 :Visual Basic 2010 輸入檔案 :in.txt 是純文字檔 輸出檔案 :out.txt 是純文字檔 表 6: 前序 中序轉後序遞迴函數 表 7: 前序 中序轉後序主程式 表 8: 後序 中序轉前序遞迴函數 表 9: 後序 中序轉前序主程式 表 6: 前序 中序轉後序遞迴函數 Function postorder(pre_start, pre_end, in_start, in_end) As String If pre_start > pre_end OrElse in_start > in_end Then Return "" 遞迴結束條件 Dim left_n, middle As Integer Dim As String = preorder(pre_start) 每次都以前序陣列子樹的第 1 個為樹根 For k = in_start To in_end 找到樹根在中序陣列的位置 If inorder(k) = Then middle = k middle, left_n 用來圈定左右子樹範圍 left_n = middle - in_start End If 遞迴呼叫方式如下 :postorder( 左子樹 ) & postorder( 右子樹 ) & 樹根 左右中 Return postorder(pre_start + 1, left_n + pre_start, in_start, middle - 1) & " " & postorder(pre_start + left_n + 1, pre_end, middle + 1, in_end) & " " & End Function 表 7: 前序 中序轉後序主程式 ( 主要在進行回傳資料的處理 ) FileOpen(1, "in1.txt", OpenMode.Input) FileOpen(2, "out.txt", OpenMode.Output) Dim n As Integer = Trim(LineInput(1)) Dim post_sort(), ans As String For z = 1 To n preorder = Split(Trim(LineInput(1)), ",") 讀入前序陣列 inorder = Split(Trim(LineInput(1)), ",") 讀入中序陣列 6

8 叫 取 二元樹的走訪 給定前序 中序轉後序 遞迴演算法及實作 post_sort = Split(postorder(0, UBound(preorder), 0, UBound(inorder)), " ") 遞迴呼 For k = 0 To UBound(post_sort) 處理後序陣列的列印 If post_sort(k) <> "" Then ans = ans & post_sort(k) & "," End If ans = Left(ans, Len(ans) - 1) 由於最後會多出一個逗號, 因此最後的字不 PrintLine(2, ans) 輸出結果至輸出檔中 在完成 前序 中序轉後序 之後, 發現 後序 中序轉前序 的演算法有異曲同工之 妙, 因此一併完成 敘述如下 : 表 8: 後序 中序轉前序遞迴函數 Function prefix(in_strat, in_end, post_start, post_end) As String If in_strat > in_end OrElse post_start > post_end Then Return "" 遞迴結束條件 Dim left_n, middle As Integer Dim As String = postorder(post_end) 以後序陣列子樹的最後 1 個為樹根 For k = in_strat To in_end 找到樹根在中序陣列的位置 If inorder(k) = Then middle, lef_n 可圈定左右子樹範圍 middle = k left_n = middle - in_strat End If 遞迴呼叫方式如下 : 樹根 & prefix( 左子樹 ) & prefix( 右子樹 ) 中左右 Return & " " & prefix(in_strat, middle - 1, post_start, post_start + left_n - 1) & " " & prefix(middle + 1, in_end, post_start + left_n, post_end - 1) End Function 表 9: 中序 後序轉前序主程式 ( 主要在進行回傳資料的處理 ) FileOpen(1, "in1.txt", OpenMode.Input) FileOpen(2, "out.txt", OpenMode.Output) Dim n As Integer = Trim(LineInput(1)) Dim pre_sort(), ans As String For z = 1 To n inorder = Split(Trim(LineInput(1)), ",") 讀入前序陣列 7

9 取 二元樹的走訪 給定前序 中序轉後序 遞迴演算法及實作 postorder = Split(Trim(LineInput(1)), ",") 讀入中序陣列 pre_sort = Split(prefix(0, UBound(inorder), 0, UBound(postorder)), " ") 遞迴呼叫 For k = 0 To UBound(pre_sort) 處理後序陣列的列印 If pre_sort(k) <> "" Then ans = ans & pre_sort(k) & "," End If ans = Left(ans, Len(ans) - 1) 由於最後會多出一個逗號, 因此最後的字不 PrintLine(2, ans) 輸出結果至輸出檔中 參 結論與建議 一 結論 在本文中我們提供一個 給定前序 中序轉後序 的一維陣列遞迴演算法, 並提供這個演算法的 VB 2010 版的實作程式碼和呼叫的主程式, 原本只預計完成 給定前序 中序轉後序 的程式, 但是由於長期解題的習慣, 因此馬上開始思考 後序 中序轉前序 的演算法, 後序 中序轉前序 的遞迴程式很快的完成, 這兩個題目的關鍵點都十分類似, 只需要更改部分程式碼即可 寫程式的過程是相對簡單的, 但要將這個程式演算法解釋的非常清楚卻相當困難, 不僅 要對程式裡面的每一行所代表的意義瞭解透徹, 同時將當時的想法一步步釐清, 再利用簡單 的文字說明清楚, 我將當時靈光乍現的想法用文字整理, 參與這次小論文的投稿 二 建議 由於這個演算法的前題為 本題各節點編號不會相同, 因此思考過程中, 並未考慮到資料重複的問題, 例如二元樹的 A 陣列可能為 :1,1,2,3,4,4,4,5,6, 其中 1 有兩個,4 有三個, 結果可能是不穩定 (unstable), 也就是第一個 1 可能在 A 陣列中卻不是第一個 1, 第一個 4 可能在 A 陣列中也不是第一個 4, 以此類推 那要如何區分順序呢? 我的建議是可再宣告一個新的一維陣列 Dup 或修改重複資料, 若 是有重複資料, 則在相應的編號中放入是第幾個重複資料, 代表第 2 個 1 第 2 個 4 和第 3 個 4, 讓重複資料具有唯一性, 就能用原來的演算法解題 ( 參考表 10 表 11) 表 10: 利用 Dup 陣列讓重複資料具有唯一性 A

10 index 7 8 Dup 表 11: 處理過程中修改資料讓重複資料具有唯一性 A index 7 8 肆 引註資料 105 學年度商業類學生技藝競賽 程式設計 職種正式考題,2017 年 1 月 18 日, 取自 施威銘 吳文立 李亮生 (2015) 計算機概論 IV 台北市 : 旗立資訊 秦邦皓 (2012) Visual Basic 2010 輕鬆學習 台北市 : 上奇資訊 謝樹明 (2010) 細談資料結構 使用 Visual Basic 台北市 : 旗標出版 9

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