悖论

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1 0 年 月总第 7 期 数学方法与数学思想 编辑点评 该文集中研究了数理统计中常用的一元线性回归方法中拟合直线的产生方 法.为了使观测值与拟合值之间偏差达到最小,应用多元函数极值理论,得到了最 小二乘法 为了使拟合直线的斜率达到最佳,应用物理上重心的思想,得到了定中 心法 作者在综合前两种方法的思想的基础上 另辟思路 运用 折衷 的思想 连接相邻两个观测点中点 得到一条新的折线,其节点减少一个 如法炮制 直 至得到一条只有两个节点的线段,此线段的斜率与截距就是拟合直线的斜率和截 距,这就是 总体中位线法. 此文最值得赞赏之处就在于作者有着很强的创新欲望和创新思维.本来一元 线性回归方法中的最小二乘法已是十分成熟的方法,且具有坚实的理论基础,人们 往往觉得没有再探讨的必要 而本文作者则不受常规思维束缚,试图寻求新的观 点 新的思路,于是得到了总体中位线法.更可贵的是,作者对总体中位线法中拟合 直线的斜率与截距给出了归纳法证明,进而将上述三种方法综合在一起,编制了 C 程序,并且对 0 组物理实验数据和两组拟合数据进行了计算,还利用 Excel 将三种 方法的计算结果列成表格 绘成图形,直观地对算例进行比较分析. 本文表明,作者数学基础比较扎实,能够 大胆猜测,小心求证,也表现出比 较好的动手能力和一定的分析研究能力.当然,作者还可以对三种方法作更深入的 比较研究,例如最小二乘法要求被拟合的函数是单值函数,而总体中位线法可以弱 化此要求. 基于 VC 和 Excel 的三种一元线性回归模型的比较分析 侯大可 数学科学学院 数学试点班 摘 要 基于计算机强大的数据处理能力,本文提出了通过几何变换绘制出样本数据 点的一条 总体中位线 建立一元线性回归模型方法.在 Visual C 和 Excel 提供的平台上, 对多组物理实验数据和 虚拟数列 进行处理,用直观的方式给出对最小二乘估计 定中心 估计和总体中位线三种回归模型的比较分析. 关键词 线性回归 最小二乘估计 定中心估计 总体中位线 VC Excel 引言 回归分析是数理统计学的重要内容. 最小二乘法 作为经典的回归模型,能帮助我们 根据两个变量的 N 组实验数据求出它们之间函数关系的近似表达式,使用最普遍的函数关 [] 系是线性函数.根据高斯 马尔可夫定理, 最小二乘法 是最优估计,但其使用中不可避 免地会涉及到庞杂的计算,于是人们设计出了更多简单实用的模型如 倍乘法 分组累加 [] 法 和 定中心法 等.笔者在观察研究样本数据的散点图时,找到了一条 总体中位线, 并建立模型.借助 VC 和功能强大的 Excel 软件,避开烦琐的数学运算,用直观的方式给出对三 种回归模型的比较分析. 模型建立. 最小二乘法 设有 n 组数据 S n x, y i n,用一个线性函数 y ax b 来近似反映 x 与 y i i

2 0 年 月总第 7 期 之间的函数关系.记偏差的平方和 M (a, b) n y ax b i i i.我们认为 M (a, b) 越小,函 [3] 数的拟合程度越好.由此应用二元函数极值的必要条件得以下方程组 n M yi axi b xi 0, a i n M y ax b 0 i i i b 整理,可解得 n n n yi xi n xi yi i a i i n n xi n xi i i n n n n xi xi yi yi xi i i i i b n n xi n xi i i 于是便求出了线性函数 y ax b. [] 把不具有确定函数关系的两个变量之间的统计关系称为相关关系,引入样本相关系数 n ( x x )( y y ) r i i i n, n ( x x ) ( y y) i 其中 x i i n n x y, yi. r 越接近于,说明 x, y 的线性相关程度越强. i n i n i 设样本数据总的离差平方和 SST 归 平 方 和 SSR n ( y y) i R i i n n i i ( yi y ),残差平方和 SSE ( yi yi ),回, 这 里 yi axi b. 可 证 S S T S S E S R.S 令 SSR SSE,当 R 越接近于 时,意味着残差平方和 SSE 越小,故所求得的回归方 SST SST 程的拟合程度越高.经由数学推导发现 R r,这说明 x 与 y 的线性相关程度越强,由最小 [] 二乘法求出的 x 的回归方程对 y 的解释能力也就越强. []. 定中心法

3 0 年 月总第 7 期 由测量得到 n 组数据 ( xi, yi ), i,,, n,先求出 x n n x y 和 yi,把 ( x, y) i n i n i 称作中心,把 n 个测量值分为两组,测量点小于或等于 x 的 k 个值为一组,其余的 (n k ) 个 值为另一组 不妨把这两组数据重新从 开始编号,则有 k k x x, y k i k yi, i i n k n k x x, y yi. i n k n k i i 此方法的基本思想是力图寻找拟合直线的最佳斜率,因而把联结两点 ( x, y ), ( x, y ) 之 间的斜率视为最佳斜率,则 a y y, b y ax. x x.3 总体中位线法.3. 拟合直线的构造 考 虑 三 点 A,, B, 3, C 3,, 记 它 们 的 横 纵 坐 标 值 依 次 为 x, x, x3 3 和 y, y 3 y i i 3 3 i i 3, y3,于是,利用最小二乘法 3, xi 6, xi yi 3 3, xi 4, i 可以得到直线方程 y x. 4 而 ABC 与 BC 边平行的中位线方程是 y x,接近于上述方程. 4 8 如果进行下述操作,如图 所示. y F _ O _ D N K _ E _ J _ I _ A _ M _ G _ C _ L _ H _ B _ 图 总体中位线拟合直线的构造 3 x

4 0 年 月总第 7 期 设 A, B, C, D, E, F 是样本数据点(按 x 值升序排列,若 x 值相同则按 y 值 升序排列),作出 AB 的中点 G, BC 的中点 H, CD 的中点 I, DE 的中点 J, EF 的中点 K,将这些中点依次连接(每次连接都相当于作出一个三角形的中位线), 连接完毕称为一轮操作, G, H, I, J, K 称为这一轮操作后产生的 新中点 以 此类推,再作出 GH 的中点 L 设样本总数为 n,则 n - 轮操作后只产生 个 新中点,它们决定的一条直线即所谓 总体中位线.观察图, 总体中 位线 的两侧都有数据点分布 由它是否可推出接近最小二乘法的回归方程呢 有什么约束条件呢.3. 公式推导 命题 用数学归纳法可证明 p 次操作后产生 新中点 的集合为 Sn p p p k k C p xi p k C p yi p k k 0, k 0 p p i n p. 证 p = 时,定理显然成立. 设 p = q ( q )时命题成立,即 Sn q q q k k Cq xi q k Cq yi q k k 0, k 0 q q i n q, 在此基础上产生 新中点 的横坐标为 q q k C x Cqk xi q k q i q k k 0 q k 0 q q Cq0 xi q Cqk Cqk xi q k Cqq xi k 0 q q Cq0 xi q Cqk xi q k Cqq xi k 0 q q C k 0 k q i q k x q q C 同理可证 新中点 的纵坐标为 k 0 k q i q k y q. 每轮操作后产生的 新中点 数逐一递减. 综上得 4

5 0 年 月总第 7 期 Sn q q q k k Cq xi q k Cq yi q k k 0, k 0 q q i n q, 于是 q 时命题也成立 命题获证. 根据已获证的命题,考虑 p n 时产生的两个 新中点,得 总体中位线 的斜率 为 n C k 0 a n n k n C k 0 yn k n C k 0 n k n n k x n C k 0 k n yn k n n k n n k x n C y k 0 n k n n k C x k 0 k n n k yn k xn k. 考虑 p n 时产生的唯一 新中点,它在 总体中位线 上 n n k k C x n n k Cn yn k k 0 n, k 0 n, 由上述分析,可求出 总体中位线 的截距 b n n k C y a Cnk xn k. n n k n k 0 k 0 3 模型分析 如前所述,由定理可以证明 最小二乘法 是最优估计,但 定中心法 和 总体中位线 法 与 最小二乘法 的差距究竟有多大,用纯粹的数学推导进行解析分析存在一定困难. 为此,笔者利用 Visual C,编制出实现三种一元线性回归模型的程序,并用该程序对若干 组物理实验数据进行了对比计算.此外,由于 Excel 软件提供了强大的数据拟合及绘图等功 能,利用它可对虚拟数据进行计算,使上述比较对比能够绘制成三种回归模型的 R r 曲线 图,从而,使我们可以直观地分析与比较三种回归模型的优劣. 3 实现如上功能的程序代码 #include "stdio.h" #include "math.h" #define size 50 #define TIMESA 0 #define TIMESB 0 int n[30],flag=; double sumx,sumy; 5

6 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 void setary(int mi,int mode,int time,double x[][size],double y[][size],double c[][size]) { int i; if(mode==) { printf(" 第 %d 组 \n 样 本 总 量 :",time+); scanf("%d",&n[time]); for(i=0;i<n[time];i++) { printf("x[%d]=",i+); scanf("%lf",&x[time][i]); c[i][0]=c[i][4]=c[i][8]=x[time][i]; printf("y[%d]=",i+); scanf("%lf",&y[time][i]); c[i][]=c[i][5]=c[i][9]=y[time][i]; } } else for(i=0,n[time]=time+;i<n[time];i++) { c[i][0]=c[i][4]=c[i][8]=x[time][i]=(double)(i+); if(mi==) { if(i%==0) { y[time][i]=x[time][i]+/x[time][i]; } else { y[time][i]=sqrt(x[time][i]*x[time][i]-); } } else if(mi==) { if(i%3==0) { y[time][i]=x[time][i]+/x[time][i]; } else if(i%3==) { y[time][i]=sqrt(x[time][i]*x[time][i]-); } else { y[time][i]=log(exp(x[time][i])+); } } c[i][]=c[i][5]=c[i][9]=y[time][i]; } } void rearg(int j,int k,int i,double q[][size]) { double temp; temp=q[i][j]; q[i][j]=q[i][k]; q[i][k]=temp; } void zcdzf(int time,double a[][size],double b[][size],double p[][size],double q[][size],double r[][size]) { int i,count=0,count=0; double lax=0,max=0,lay=0,may=0,ds,cs,up,downx,downy; for(i=,ds=a[time][0]*a[time][0];i<n[time];i++) ds+=a[time][i]*a[time][i]; for(i=,cs=a[time][0]*b[time][0];i<n[time];i++) cs+=a[time][i]*b[time][i]; for(i=0,up=downx=downy=0;i<n[time];i++) { up+=(a[time][i]-sumx/n[time])*(b[time][i]-sumy/n[time]); downx+=(a[time][i]-sumx/n[time])*(a[time][i]-sumx/n[time]); downy+=(b[time][i]-sumy/n[time])*(b[time][i]-sumy/n[time]); } if(downx*downy<e-6) r[0][time]=r[][time]=r[][time]=; else r[0][time]=r[][time]=r[][time]=up/sqrt(downx*downy); p[time][0]=(sumy*sumx-n[time]*cs)/(sumx*sumx-n[time]*ds); q[time][0]=(sumx*cs-sumy*ds)/(sumx*sumx-n[time]*ds); for(i=0;i<n[time];i++) { if(a[time][i]<sumx/n[time]) 6

7 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 { lax+=a[time][i]; lay+=b[time][i]; count++; } else { max+=a[time][i]; may+=b[time][i]; count++; } } p[time][]=(may/count-lay/count)/(max/count-lax/count); q[time][]=sumy/n[time]-p[time][]*sumx/n[time]; } void jhf(int time,double a[][size],double b[][size],double p[][size],double q[][size]) { int i; double midx,midy; if(a[time][]!=0) { for(i=0;a[time][i+]!=0;i++) a[time][i]=(a[time][i]+a[time][i+])/; for(i=0;b[time][i+]!=0;i++) b[time][i]=(b[time][i]+b[time][i+])/; a[time][i]=0; b[time][i]=0; jhf(time,a,b,p,q); } else { midx=0.5*(a[time][]+a[time][0]); midy=0.5*(b[time][]+b[time][0]); p[time][]=(b[time][]-b[time][0])/(a[time][]-a[time][0]); q[time][]=midy-p[time][]*midx; } } void princt(int time,int k,double c[][size],double p[][size],double q[][size],double r[][size],double m[][size],double dev[][size]) { int i,j; printf("y=%fx+%f\n",p[time][k],q[time][k]); printf(" 原 始 x 值 原 始 y 值 计 算 y 值 计 算 y 值 - 原 始 y 值 \n"); for(i=0;i<n[time];i++) { for(j=4*k;j<4*(k+);j++) printf("%0.6f ",c[i][j]); printf("\n"); } printf(" 相 关 数 r=%f\n",r[0][time]); printf(" 可 决 数 R^=%f\n",m[k][time]); printf(" 对 标 准 回 归 直 线 的 偏 差 为 :%f\n",dev[k][time]); } void main() { int i,j,k,time,times,mode,mi=,box; double sst,x[size][size],y[size][size],c[size][size],p[size][size],q[size][size],dev[size][size]={0},m[size][size],r[size][size]; printf(" 请 选 择 :\n. 实 测 数 据 \n. 虚 拟 数 列 \n"); scanf("%d",&mode); if(mode== mode==) { if(mode==) times=timesb; else { times=timesa; printf(". 数 列 A. 数 列 B\n"); scanf("%d",&mi); } for(time=0;time<times;time++) { if(mi== mi==) { setary(mi,mode,time,x,y,c); 7

8 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 for(i=0;i<n[time]-;i++) for(j=i+;j<n[time];j++) if(x[time][i]>x[time][j]) { rearg(i,j,time,x); rearg(i,j,time,y); } else if(x[time][i]==x[time][j]) if(y[time][i]>y[time][j]) { rearg(i,j,time,x); rearg(i,j,time,y); } } else { printf(" 您 的 输 入 有 误!\n"); flag--; break; } for(i=n[time];i<size;i++) x[time][i]=y[time][i]=0; for(i=0,sumx=0,sumy=0;i<n[time];i++) { sumx+=x[time][i]; sumy+=y[time][i]; } for(i=0,sst=0;i<n[time];i++) sst+=(y[time][i]-sumy/n[time])*(y[time][i]-sumy/n[time]); zcdzf(time,x,y,p,q,r); jhf(time,x,y,p,q); for(i=0;i<n[time];i++) { for(j=;j<=0;j+=4) c[i][j]=p[time][(j-)/4]*c[i][j-]+q[time][(j-)/4]; for(j=3;j<=;j+=4) c[i][j]=c[i][j-]-c[i][j-]; } for(i=0,m[0][time]=m[][time]=m[][time]=0;i<3;i++) { for(j=0;j<n[time];j++) m[i][time]+=c[j][4*i+3]*c[j][4*i+3]; m[i][time]=-m[i][time]/sst; } for(i=;i<3;i++) { if(m[0][time]<e-6) dev[i][time]=(m[i][time]-m[0][time])/e-6; else dev[i][time]=(m[i][time]-m[0][time])/m[0][time]; } printf(" 最 小 二 乘 法 处 理 结 果 :\n"); princt(time,k=0,c,p,q,r,m,dev); printf(" 中 位 线 法 处 理 结 果 :\n"); princt(time,k=,c,p,q,r,m,dev); printf(" 定 中 心 法 处 理 结 果 :\n"); princt(time,k=,c,p,q,r,m,dev); printf("\n"); } } else { printf(" 您 的 输 入 有 误!\n"); flag--; } if(flag) { printf(" 以 下 三 张 表 格 依 次 是 对 最 小 二 乘 法 中 位 线 法 定 中 心 法 的 分 析 :\n"); for(i=0;i<3;i++) { for(j=0;j<times-;j++) for(k=j+;k<times;k++) if(r[i][j]>r[i][k]) { if(i==0) { box=n[j]; n[j]=n[k]; n[k]=box; } rearg(j,k,i,r); rearg(j,k,i,m); rearg(j,k,i,dev); } printf(" 样 本 大 小 相 关 数 可 决 数 对 最 小 二 乘 方 法 的 偏 差 \n"); for(j=0;j<times;j++) printf("%0d %0.6f %0.6f %0.6f\n",n[j],r[i][j],m[i][j],dev[i][j]); printf("\n"); } } } 8

9 0 年 月总第 7 期 3. 物理实验数据分析 物理实验数据见附表.执行上述程序,在弹出的对话框中显示 请选择.实测数据.虚拟数列 输入,按 ENTER 键,继续按程序提示操作.每组数据输入完毕后都将显示 ①样本相关 系数 ②三种模型下的回归方程及它们各自的可决数 对最小二乘法的偏差 以可决数的相 对偏差为依据 ③各数据点处不同模型的实测数据值 模型计算值 残差 模型计算值实测数据值.这些功能允许我们就单独一组数据进行详细的比较分析. 0 组数据全部输入完毕后程序显示出如下结果 以下三张表格分次是对应最小二乘法 中位线法 定中心法 表 最小二乘法 样本大小 相关数 可决数 对最小二乘方法的偏差 表 中位线法 样本大小 相关数 可决数 对最小二乘方法的偏差 表 3 定中心法 样本大小 相关数 可决数 对最小二乘方法的偏差

10 0 年 月总第 7 期 这些表格每一行对应于一组物理实验数据,记录其样本大小 相关系数 用三种模型之 一求得的回归方程的可决数 对最小二乘法的偏差. 从上述数据中可以看出,在样本相关性 r 0.9 时,用 定中心法 代替 最小二乘法 -3 不会引起很大误差 0.而 总体中位线法 模型与 最小二乘法 在 r 0.95 差距较大. 因而采用 总体中位线法 则要求样本相关性 r 0.95 以上. 应当指出 上述分析还是很粗糙的,一方面 R r 数据对太少,某些变化趋势可能被丢 失 另一方面,在 定中心法 和 总体中位线法 模型中,无法确定 R r 关系是否还会 受到样本其它性质的影响. 3.3 虚拟数列 分析 数列 A n, n mod 0, an n, n mod. n n,, 数列 B ln( en ), n mod 3 0, an n, n mod 3, n,, n n, n mod 3. 这两个虚拟出来的数列的共同特点是,当 n 趋于无穷大时,数据点列( n, a n )趋于直线 y x 上的点列( n, n ).若把这些点视为实验数据样本,则其相关系数随 n 的增大而增大. 通过构造 虚拟数列,我们可以获得较多的 R r 数据对.对于虚拟数列,在区间 [0.9,] 上利用 Excel 软件进行数据拟合,绘制三种回归模型的 R r 曲线 如图 和图 3 所 示,并可进行比较分析. 由上述结果可见,对于 定中心法 和 总体中位线法,在 r 0.9 且样本相关系数较 高时,用物理实验数据或 虚拟数组 做出来的 R r 曲线图 含三种回归模型的 R r 曲 线 具有许多相似性质 ①各回归模型的 R r 曲线均按函数 fi x ax bx c 递增, lim fi x x ②在 r 0.9 时, 定中心法 的 R r 曲线相对于 最小二乘法 的 R r 曲线偏差 小于 0,而当 r 0.95 时, 总体中位线法 也将十分接近于 最小二乘法. -3 ③在 r 的 [0.9,] 区间上各模型优劣性比较的结果始终是 最小二乘法 优于 定中心法, 定中心法 优于 总体中位线法. 0

11 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 R 最 小 二 乘 法 定 中 心 法 总 体 中 位 线 法 r 图 虚 拟 数 列 A R -r 曲 线 图 R r 图 3 虚 拟 数 列 B R -r 曲 线 图 4 结 语 本 文 提 出 了 通 过 几 何 变 换 绘 制 出 样 本 数 据 点 的 一 条 总 体 中 位 线 建 立 一 元 线 性 回 归 模 型 的 方 法, 借 助 计 算 机 强 大 的 数 据 处 理 能 力, 在 Visual C 和 Excel 提 供 的 平 台 上, 对 多 组 物 理 实 验 数 据 和 虚 拟 数 列 进 行 处 理, 用 直 观 的 方 式 给 出 对 最 小 二 乘 估 计 定 中 心 估 计 和 总 体 中 位 线 三 种 回 归 模 型 的 比 较 分 析, 并 为 线 性 回 归 模 型 的 分 析 提 供 新 的 手 段.

12 0 年 月总第 7 期 参考文献 []罗德安,廖丽琼.基于 Excel 的数据批量录入与输出,[J].计算机系统应用,005.. []龙永红.概率论与数理统计(第二版),[M],北京 高等教育出版社,004. [3]潘元胜,冯璧华,于瑶编.大学物理实验(第二册修订版),[M].南京 南京大学出版社,004. [4]罗亚平等.大学数学教程,南京 南京大学出版社,996. 附表 物理实验数据(省略了数据单位,因为无需关心它们的物理意义). 摆长 l 与单摆周期时间 t l t.4.55 [4].某一矩形长 l 宽 m 的测量值 l m 铜丝的温度 t 与电阻 R t 4.3 R [4] [4] U I 光电效应 I-U 5.万用电表校准改装电流表 I标 I改 音叉阻尼振动 lna-t t lna 液氮汽化 m t 中途插入铜棒 t m [] 8.伏安法测电阻 U I V p 稀有气体 p V [4] 0.水温 t 和水表面张力系数 a t a

13 0 年 月总第 7 期 编辑点评 该文遴选了几个多人博弈问题来展开自己的讨论 从比较生动有趣的问题入 手 有时又联系到历史实际 有时还把问题推广 探讨一般性的结果 所以让我 们看到 一旦把握了问题的本质 利用基本的逻辑推理 就能够收放自如 从三名枪手博弈的结论联系 三国 时期孙 刘联合抗曹的历史事件 是该 问题的点睛之笔 而海盗分金问题 小结 中对数学思想方法的表述 是后一问 题的点睛之笔 点睛之笔 笔墨不多 却发人深省 这种写作技巧值得读者学 习 文章最后既强调了数学方法和思想的重要作用 也强调了理论数学的实用价 值 显得比较全面 浅谈几个多人博弈问题 赵泽华 (数学科学学院 伯苓班 004) 摘 要 博弈论 Game Theory 亦名 对策论 赛局理论 是研究具有斗争或 竞争性质现象的数学理论和方法 同时也是运筹学的一个重要分支 博弈论考虑游戏中个 体的预测行为和实际行为 并研究它们的优化策略 本文遴选了几个生动有趣的多人博弈实 例 三名枪手博弈问题 海盗分金问题 以及它们的推广 并分析了其背后所包含的数学 方法与数学思想 旨在揭示一些实际中博弈问题中的数学本质 谨供数学爱好者分享与进一 步讨论 关键词 博弈;优化;运筹学;海盗分金. 问题 我们先来看一个有趣的例子 多人博弈 无处不在的三方制衡 这个故事是这样的 在一个小镇上 有三个枪手正在进行着殊死搏斗 枪手 A 的枪法 最为准确 命中率高达 80% 枪手 B 枪法也不错 命中率为 60% 枪手 C 枪法欠佳 命中 率仅为 40% 如果这三人同时开枪 那么他们中谁活下的几率大呢 如果不深入分析 乍看之下 水准最高的 A 应该最有可能生存下来 但结果究竟如何呢 我们来分析一下 这三名枪手为确保自己的生存 应该制定合理明确的射击策略 当然 在这里我们假 设三位枪手都足够理智 可以做出有利于自己的理性抉择 那么 在这个体系之中 三人 的射击策略应该为 A 枪击 B B 枪击 A C 枪击 A 我们来看他们思考的过程 对 A 而言 C 相对最为弱小 只有 B 可以和自己抗衡 故枪击 B 可以减轻对自己的威胁 不需要考虑 C 而对 B 而言 C 的威胁亦可忽略不计 而 A 极强的实力却令 B 处境十分危险 从而 B 的枪 击策略是枪击 A 最后 对于枪手 C 而言 由于其实力最为弱小 不会被其他人着重攻击 竟在险境中生存了下来 经过计算发现 经过第一轮枪击过后 三人生存的概率分别为 LIVE(A)= -40% * -60% =4% LIVE(B)= -80% * -0% =0% LIVE(C)= -0% * -0% =00% 不难发现 在这种情形 A B 两位枪手经过第一轮枪击过后被击毙的可能性相对较大 所以可以得到结论 枪手 C 是最可能生存下来的人 因此我们便得到 3

14 0 年 月总第 7 期 三方博弈问题中 很大程度上 最容易遭到打击的往往是强者之敌 因为其拥有与强者 不相上下的实力是让强者最为担心的 其次危险的是强者 因为其他人的矛头都指向了他 处于两者之外的最弱者则是相对最为安全的 这种看似奇异的现象其实无处不在 众所周知的著名历史战役 赤壁之战 孙刘联合抗曹的历史事件中 曹操实力最强 相 当于问题中的枪手 A 孙权实力逊之 相当于枪手 B 而刘备兵力最弱 相当于枪手 C 根 据上述分析 故可知孙权方面的处境最危险 所以东吴集团尽其所能维护孙刘联盟 以共同 抗曹 与之逐鹿天下 终成三足鼎立 这与历史的事实发展也是一致的 我们再来想一想,该问题若变换了一个条件之后,结果又会如何呢 如果把同时开枪变为自 C 轮流 以 C-A-B 的顺序或者以 C-B-A 的顺序 开枪情形又会 变成什么样呢 C 应该如何做呢 结果会是如何 应该打 A 还是打 B 经过上面的分析我们不难看出 只有三人均存活的状态下对于最为弱小的 C 而言最为 有利 如果他打死了 A 或 B 后果都是非常危急的 存活的那名枪手比 C 实力要强的多 且 首先对 C 开枪 枪手 C 必然凶多吉少 故而枪手 C 的最佳策略为 放空枪 只有避免自 己首先击毙其他枪手 维持三人博弈的体系 才对枪手 C 自身最为有利 小结 通过这个问题的探究我们可以看出 很多实际问题离不开理性的思维和数学工具 的使用 本题通过假设和分类讨论模拟分析出每名枪手的最佳策略 然后通过数学计算得出 最终结论. 问题 我们再来看一个有趣的问题 海盗分金 有趣的多人博弈 故事如下 一日 有 5 名海盗一同抢得了 00 枚金币 他们通过以下制度来分配金币 先由 号海 盗提出一种分配方案 此方案由五名海盗进行表决 当且仅当超过半数海盗同意时 方案被 通过 否则 号海盗则被扔进海里 依此类推 当然了 这里 我们仍然假设每个海盗 都非常聪明 能判断得失 衡权利弊 做出有利于自己的正确抉择 试问 号海盗应该采 用什么样的分配方案才对自己最有利 在该情形下 号海盗最多能得到多少金币 此问题乍看之下 号海盗直接面临死亡的威胁 恐怕不能获得太多的金币 而 5 号没有死亡危险还可以 坐收渔利 纵横捭阖 应该得到的好处会更多一些吧 可是结果 却并非如此 正确答案 是 号海盗最多可以得到 97 枚金币 这与上面的想法确实大相径庭 且让我们细细分 析 首先 对于一个过程相对复杂的问题 在正向分析不太方便的时候 我们不妨使用倒推 法 从简单的情形分析起 我们不妨考虑一下当 号 号 3 号 三名海盗都被扔进海里 后的情形 此时 无论 4 号海盗给出什么样的方案 5 号海盗都会予以反对 由于支持方案的人数 没有过半数 5 号海盗便会独享金币 且 4 号海盗还要被丢进海里 失去性命 因而 这是 4 号海盗最不愿意看到的 注意 这里题干里叙述的超过半数指的是严格超过 3 号海盗 洞察到这一点 他就会给出 即 3 号海盗 4 号海盗 5 号海盗分别分得 00 枚金币 0 枚金币 0 枚金币 的分配方案来独享金币 进而 对于 号海盗而言就会给出 98,0,, 的放弃 3 号海盗的分配方案来争取 4 号 5 号的支持 因为至少这种程度的分配才能为自己争取到宝贵的两票 方能使自己的方案被 通过 分析至此 号海盗的策略和分配方案不难得到 一方面他要放弃 号 因为他的 胃 口 太大了 至少分给他 99 枚金币才能得到其支持 另一方面 在 3 号 4 号 5 号这三 个人中需要再获取两枚支持票 加上自己的一票便可通过 当然 若要某位海盗支持自己的 4

15 0 年 月总第 7 期 方案 则要给予他超过除掉自己后下一个人给出的分配方案后分配给自身的利益 亦即金币 数 通过上面的倒推分析我们不难得到 号海盗的分配的最佳策略 或 至此 这道看似复杂的问题便解决了 最后结论为 号海盗最多可以得到 97 枚金币 我们再想一想 如果把 00 枚金币推广到 n 枚的话会是怎么样的情形 如果把海盗的人数推广到 m 名的话又会是什么情形 我们来考虑一下这两个有趣的拓展性问题吧 n 枚金币的情形推广的分析 事实上 我们可以看到 在上面的分析中 金币总数并不是特殊的因素 但直观地来看 金币总数不应太少 至少大于总人数的一半 否则这种分配制度便不太合理了 因为分配 者无法使大多数人拥有金币 这样他的分配方案便不会被通过 其自身也将丢掉性命 因此 我们可以做出合理的假定 金币总数 n 足够大 于是我们采取的分析过程与上面的过程完全 一致 最后可得出结论 号海盗最多可以得到 n-3 枚金币 其分配的最佳策略为 n 或 n m 名海盗的情形的分析 此问题相对来说较为复杂 但思维过程亦是类似的 我们对 n 枚金币 m 名海盗的情形 作相应讨论 我们先对人数较少的情形进行分析 可知倒推到 5 人的最佳分配策略仍为 n 或 n 但在向 6 人的情形倒推的过程中利用相同的分析发现 有 n 或 n-6,0,,,0,3 两种最佳分配策略 进而 我们对 7 人 8 人 乃至人数更多的情形作讨论 并结合所得到的结论 可以 做出猜想 当金币总数 n 足够大的时候 号海盗的最佳分配策略为 n-(m-)(m-3)/,0,,, m-3,0 或(n-(m-)(m-3)/,0,,, 0,m-3) 此时其获得的金币数 为 n-(m-)(m-3)/ 这个结果与我们的分析是一致的 利用数学归纳法不难给出其严格证 明 鉴于篇幅有限 这里便不赘述 有兴趣的朋友们可以自己尝试着对其给出数学归纳法的 严格数学证明 小结 通过这道问题的解决我们可以发现其中蕴含的一些数学方法和数学思想 假设法 假设分析前三名海盗死亡后的情形 复杂问题简单化 对于 5 名海盗间的博弈简化到 名海盗间的博弈 3 逆推方法 顺序从 名海盗 3 名海盗 4 名海盗倒推至 5 名海盗的情形 该方法在这 个问题的分析过程中作用显著 简化了问题 4 特殊问题一般化 有助于对问题的推广和探究 3.结束语 数学并不单是对理论的研究 其对现实问题的理论指导作用是非常巨大的 我们 在学习纯粹数学知识的同时 应该注意以下方面的提高和增强 了解数学历史 拓宽 对数学的认识 引发对数学的兴趣 感悟数学思想 提高数学素养 学会用数学方式 的理性思维观察世界的方法 并随时随地想着用数学来处理现实问题 本文通过对几个生动有趣的多人博弈实例进行探究 抽象和分析出了一些数学方 法和思想与读者朋友们共同分享和探讨 旨在展现数学的应用性及其理论方法指导性 的重要作用 鉴于笔者水平有限 希望各界朋友们给予意见 建议 共同切磋进步 参考文献 []每天读点博弈论 郑月玲 北京 人民邮电出版社 00.9 []数学文化 顾沛 北京 高等教育出版社 [3]百度百科 博弈论 5

16 0 年 月总第 7 期 编辑点评 该文的选题具有一定的挑战性 因为大多数人认为化学是一门实验科学 很 多结论是经过实验得到的 所以这些结论未必具有普适性 而且 随着实验手段 与技术的改进 原有的结论很可能被新的发现推翻 正因为此 化学公理化至今 是一个很难有确切答案的问题 作为一名本科生 敢于讨论这个问题 真有点初 生牛犊不怕虎的劲头 其实 化学是否能公理化 对本文来讲并不十分重要 重 要的是我们应当有这种大胆探索的精神 这种精神就是一种数学精神 如果可能 我们希望作者继续其探索 公理化之于化学 无论能还是不能 或者在化学的某一分支可以实现公理化等等 都是一种了不起的收获 化学公理化探讨 王凯 (南开大学化学学院 化学专业 ) 摘 要 公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征 化学作为自然科学的一个 学科 在相当长的一段时间里 一直被视为是一门实验科学 很少有人提及其公理化 笔者 就化学公理化的问题进行大胆探讨 力图像数学那样 从基本的公设 公理出发 通过逻辑 推理导出具有普适性的结论 为此 本文将从 化学是否需要公理化 化学如何进行公理 化 化学公理化的前景与反思 三个方面来展开讨论 关键词 公理化 相互作用 空间构型 体系环境 所谓公理化方法 就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题 即公理 公设 出发 按照逻辑规则推导出其他命题 建立起一个演绎系统的方法 恩格斯曾说过 数学 上的所谓公理 是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定 公理化方法能系统的总 结数学知识 清楚地揭示数学的理论基础 有利于比较各个数学分支的本质异同 促进新数 学理论的建立和发展 现代科学发展的基本特点之一 就是科学理论的数学化 而公理化是 科学理论成熟和数学化的一个主要特征 那么 作为自然学科之一的化学能否进行公理化 对此 笔者大胆提出一个设想 化学公理化 之所以称之为设想 是因为迄今为止 谈化学 公理化的鲜有其人 一代又一代工作者倾其毕生精力于探索物质世界之奥秘 即使有人提出 了一些理论来阐述某些化学反应的机理 但其是不系统的 笔者设想 能否将化学像数学一 样 以精确的计算和严密的逻辑推理得出普适性的原理 即化学公理化 本文将从 化学是 否需要公理化 化学如何进行公理化 化学公理化的前景与反思 三个方面来阐述化学 公理化的相关问题 化学学科是否需要公理化 当前 人类所了解的化合物超过数百万种 而且未来了解 的还会更多 自然界中存在的 α -氨基酸 亦称天然氨基酸 就有 00 多种 而这些氨基酸组 成蛋白质的方式也是多样的 如胰岛素的三级结构图 见图 仅从其结构上我们就可以看出其复杂性 图 -胰岛素的三级结构 如果化学工作者仅从物质的细微的结构和性质出发 而不能从全局上提出一个理论去概 括它 化学终不能像数学那样以精确的计算和严密的逻辑推理得出普适性的结论 正所谓 不 谋千里者不足以谋一域 因此 笔者认为 精确的计算和严密的逻辑推理下的化学研究是 必要的和具有前瞻性的 6

17 0 年 月总第 7 期. 从有机合成中的逆向思维看公理化的必要性 有机合成的目的在于获得人们所需要的物质 如有机合成反应 见图 二乙 图 有机合成反应() 即丙二酸二乙酯 它是导入基团() 见图 3 的一个很好的底物 同样 三乙 即乙酰乙酸乙酯 是导入基团(3) 见图 4 的一个很好的底物 那么 要想得到产物(4) 见图 5,只需要反应按照有机合成反应(5) 见图 6 进行即可 图 3 基团( )的结构 图 4 基团( 3)的结构 图 5 产物( 4)的结构 图 6 有机合成反应(5) 二乙 和 三乙 分别定向地导入 基团 和 基团 3 从逆向上看 只要 是含有前面两个基团的物质 在原则上都可以分割以合成 从上面的例子可以看出 有机合成反应应遵循一定的原理 而不能是盲目性的 以一 定的原理合成我们所需要的物质 这个原理经过一定的升华之后 可以称之为定理 那么 那些涵盖大多数定理并且具有高度的概括性的且无需证明的结论是否可以称之为公理呢 事实上 物质世界是有其自身规律的 长期以来 与化学类似的学科之所以仍处于实验科学 阶段 是人们对原本存在于物质世界之中的规律还没有能够深刻而透彻地了解 当这种认识 与了解达到一定程度时候 实验科学有可能上升为依靠或主要依靠逻辑推理的理性科学 由此 笔者认为化学应该而且也可以建立在精确的计算和严密的逻辑推理之上 因此 化学有必要也可以公理化 化学如何公理化 笔者认为 化学公理化似乎可以建立在三个基础之上 即相互作用 空间构型和体系环 境 相互作用是物质世界一切事物的普遍特性 从无机自然界到有机生命过程,从社会历史 运动到人类思维的发展,相互作用无处不有 恩格斯曾经科学地预言: 相互作用是事物真正 的终极原因 我们不能追溯到比对这个相互作用的认识更远的地方,因为正是在它背后没有 什么要认识的了 ( 自然辩证法 第 09 页)现代科学的发展证实了恩格斯论断的正确性 今天,如果我们仔细阅读那些时髦和流行的自然科学和哲学著作,就会发现,相互作用是极为 普遍地使用的一个概念,如同控制 信息 系统等概念的使用一样 化学中的空间结构是指分子中各个原子在空间位置上的分布,即分子的立体构型 比 如 甲烷分子在空间是个四面体结构 乙烯的分子结构是个平面对称且具有对称中心的 构型 又如二氧化碳分子是个直线型分子结构等等 7

18 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 体 系 环 境 则 指 的 是 体 系 与 环 境 之 间 的 关 系, 据 此 可 划 分 成 三 种 类 型 : 敞 开 体 系 (open system), 即 体 系 与 环 境 之 间 有 物 质 交 换 也 有 能 量 交 换 ; 封 闭 体 系 (close system), 即 体 系 与 环 境 之 间 只 有 能 量 交 换 而 没 有 物 质 交 换, 孤 立 体 系 (isolate system), 即 体 系 与 环 境 之 间 既 无 物 质 交 换 也 无 能 量 交 换 门 捷 列 夫 的 元 素 周 期 表 是 化 学 公 理 化 的 一 个 极 有 说 服 力 的 例 子 元 素 周 期 表 最 大 的 贡 献 在 于 将 自 然 界 中 的 元 素 以 原 子 序 数 的 大 小 和 核 外 电 子 排 布 的 情 况 进 行 了 分 类 与 排 布 从 元 素 周 期 表 的 发 现 到 在 它 的 指 引 下 发 现 更 多 的 未 知 元 素 可 以 看 到 化 学 公 理 化 的 优 越 性 在 门 捷 列 夫 生 活 的 时 代, 科 学 家 们 发 现 了 大 量 的 新 元 素, 总 共 有 63 种 如 何 以 一 种 合 乎 逻 辑 的 方 式 组 织 这 些 元 素, 成 为 一 个 难 题 门 捷 列 夫 仔 细 研 究 了 63 种 元 素 的 物 理 性 质 和 化 学 性 质, 又 经 过 几 次 并 不 满 意 的 开 头 之 后, 他 想 到 了 一 个 很 好 的 方 法 对 元 素 进 行 系 统 的 分 类 门 捷 列 夫 准 备 了 许 多 类 似 扑 克 牌 一 样 的 卡 片, 将 63 种 化 学 元 素 的 名 称 及 其 原 子 量 氧 化 物 物 理 性 质 化 学 性 质 等 分 别 写 在 卡 片 上 门 捷 列 夫 用 不 同 的 方 法 去 摆 那 些 卡 片, 用 以 进 行 元 素 分 类 的 试 验 最 初, 他 试 图 将 元 素 分 为 三 个 一 组, 得 到 的 结 果 并 不 理 想 他 又 将 非 金 属 元 素 和 金 属 元 素 分 别 摆 在 一 起, 使 其 分 成 两 行, 仍 然 未 能 成 功 他 用 各 种 方 法 摆 弄 这 些 卡 片, 都 未 能 实 现 最 佳 的 分 类 869 年 3 月 日, 门 捷 列 夫 仍 然 在 对 着 这 些 卡 片 苦 苦 思 索 他 先 把 常 见 的 元 素 族 按 照 原 子 量 递 增 的 顺 序 拼 在 一 起, 之 后 是 那 些 不 常 见 的 元 素, 最 后 只 剩 下 稀 土 元 素 没 有 全 部 入 座, 门 捷 列 夫 无 奈 地 将 它 放 在 边 上 从 头 至 尾 看 一 遍 排 出 的 牌 阵, 门 捷 列 夫 惊 喜 地 发 现, 所 有 的 已 知 元 素 都 已 按 原 子 量 递 增 的 顺 序 排 列 起 来, 并 且 相 似 元 素 依 一 定 的 间 隔 出 现 第 二 天, 门 捷 列 夫 将 所 得 出 的 结 果 制 成 一 张 表, 这 是 人 类 历 史 上 第 一 张 化 学 元 素 周 期 表 门 捷 列 夫 大 胆 预 言 : 按 着 原 子 量 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 各 种 元 素, 在 原 子 量 跳 跃 过 大 的 地 方 会 有 新 元 素 被 发 现, 因 此 周 期 律 可 以 预 言 尚 待 发 现 的 元 素 果 真, 在 元 素 周 期 表 发 现 之 后, 大 量 的 新 元 素 被 发 现 迄 今 为 止, 人 们 发 现 的 元 素 总 数 达 8 种 那 么, 如 果 能 找 到 隐 藏 在 数 以 万 计 的 化 学 反 应 背 后 的 规 律, 从 这 个 规 律 出 发, 人 类 将 大 大 加 快 探 索 未 知 世 界 的 脚 步 前 面 提 到 的 化 学 公 理 化 的 三 个 基 础 相 互 作 用 空 间 构 型 和 体 系 环 境, 如 果 能 够 将 化 学 反 应 底 物 与 产 物 这 三 个 方 面 的 因 素 都 置 于 精 确 的 计 算 和 严 密 的 逻 辑 推 理 之 下, 而 得 出 的 产 物 是 满 足 条 件 的, 那 么 该 化 学 反 应 在 理 论 上 就 可 以 发 生, 就 可 以 得 到 人 们 所 想 合 成 的 物 质 反 之, 如 果 一 个 化 学 反 应 从 理 论 上 行 不 通, 那 么 我 们 就 没 有 必 要 花 费 时 间 去 一 遍 又 一 遍 地 做 实 验 了 不 妨 将 上 述 三 个 基 础 中 的 每 一 个 都 视 为 一 个 空 间, 每 个 空 间 下 又 有 若 干 个 子 空 间, 每 个 子 空 间 中 有 若 干 元 素 那 些 与 化 学 反 应 相 关 的 元 素, 我 们 称 之 为 自 由 度 比 如, 一 个 子 空 间 下 有 m 个 元 素, 本 文 下 面 将 其 称 为 因 子, 其 中 有 n ( n m ) 个 因 子 是 与 化 学 反 应 相 关 的, 那 么 这 n 个 因 子 就 称 之 为 该 子 空 间 的 n 个 自 由 度, 剩 余 的 因 子 则 称 之 为 弱 因 子 和 无 关 因 子 当 然, 人 们 对 涉 及 化 学 反 应 的 自 由 度 的 认 识 可 能 会 随 着 时 间 的 推 移 而 有 所 改 变, 例 如 原 本 是 自 由 度 因 子, 而 被 人 们 错 认 为 是 弱 因 子 或 无 关 因 子, 而 被 人 们 认 为 是 自 由 度 因 子 的, 也 很 可 能 是 实 际 上 是 弱 因 子 或 无 关 因 子 举 个 简 单 的 例 子, 两 千 多 年 前, 古 希 腊 的 哲 学 家 亚 里 士 多 德 认 为 质 量 是 一 个 物 体 从 高 处 落 下 速 度 快 慢 的 自 由 度 因 子, 即 两 个 物 体 同 时 从 同 一 个 高 点 处 落 下, 质 量 大 的 物 体 下 落 速 度 大 于 质 量 小 的 物 体, 即 质 量 大 的 物 体 先 着 地 而 在 他 以 后, 伽 利 略 在 意 大 利 比 萨 斜 塔 的 试 验 却 推 翻 了 这 位 哲 学 家 的 论 断, 将 物 体 的 质 量 置 为 无 关 因 子, 而 并 非 亚 里 士 多 德 所 认 为 的 自 由 度 因 子 那 么, 可 以 将 这 些 自 由 度 因 子 都 置 于 一 个 子 空 间 之 下, 我 们 称 这 个 子 空 间 为 自 由 度 子 空 间 显 然, 自 由 度 子 空 间 涵 盖 了 与 一 个 化 学 反 应 有 关 的 所 有 的 自 由 度, 而 将 那 些 无 关 因 子 置 于 该 自 由 度 子 空 间 之 外, 这 样 就 可 以 省 去 人 们 花 在 那 些 无 关 因 子 上 的 时 间 与 精 力 当 然, 自 由 度 子 空 间 是 可 大 可 小 的 同 样, 不 同 的 自 由 度 子 空 间 之 间 也 有 相 关 性 我 们 并 不 需 要 建 立 一 个 无 穷 大 的 子 空 间, 这 个 子 空 间 是 有 限 的, 具 有 代 表 性 的 该 子 空 间 只 涉 及 相 关 而 不 涉 8

19 0 年 月总第 7 期 及无关 这就好比一个淘金者淘金 他所关注的是金子 而并非沙子 当然 笔者也在想是 否需要建立一个无穷大的子空间 毕竟 以有限的子空间去研究和概括无穷大的物质世界是 不合理的 对于化学反应的原子 分子 基团之间的相互作用 可以抽象为涉及其相关自由度的 相互运算 就目前人们所研究的情况来看 这些相互作用是静电性的 数量化的 那么 能 否概括出一个定则 来进行这些基团的自由度的运算呢 就空间构型而言 许多化学反应底物在一些构型下是对称性允许的 而在另一些构型 下是对称性禁阻的 要判断对称性对化学反应的影响 须确定其空间构型 确定一个物质的 空间构型有多种方法 这些方法要用到仪器 由于仪器本身的偏差和人分析的偏差 测量结 果通常存在误差 化学家能否像数学家一样 算 出物质的空间构型来 这里有个很有意 思的小故事 对 晶体的结构有多少种 的研究进行了很多年 许多的物理学家 化学家 晶体学家给出了不同的结论 最终 数学家运用了 群 的理论 解决了晶体的空间构型问 题 晶体的空间构型只能有 30 种 数学家的推理是如此的精确 令人信服 原因就在于数 学有公理化的支持 而这是现阶段的化学所缺少的东西 同样对于体系环境来说 我们有必要找出与化学反应相关的体系环境的自由度 比如 对于理想气体来说 其状态方程 pv nrt,其中 p, V, n, T 为 4 个自由度 这 4 个自由 度可以准确的描述理想气体所处的状态 当然 化学反应所处的体系环境是复杂的 化学反 应的底物与产物所处的体系环境的自由度远多于 p, V, n, T 这 4 个自由度 而且至今人 们也未能将它们全部找出 故于此不再赘述 3 化学公理化的前景与反思 总的来说 化学公理化的前景是美好的 现代科学发展的基本特点之一 就是科学理 论的数学化 而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征 那么 建立在公理化基础 上的化学才能够称之为真正意义上的科学 笔者的设想是 建立在公理化基础上的化学能够 进一步的帮助化学家探索物质世界的奥秘 要想分离或合成所需的物质 只要在化学公理化 的框架下 以精确的计算和严密的逻辑推理来分析此种方案能否付诸实践 但化学作为自然科学 有其复杂性 只有建立在发现大量的基本规律的基础上 运用 数学物理方法加以概括和总结 形成公理化的模式 化学才能称之为真正意义上的科学 当 然 这种想法肯定会招来批评 批评的人认为化学不可能像数学一样建立在公理和逻辑的基 础上 换个角度 这种批评有其合理的一面 当一切的事物都被公理化的时候 这个世界会 因此变得索然无味 化学不可能 00%的公理化 正如毕达哥拉斯的 万事皆数 的论断不 能成立一样 当然 囿于笔者的学识 本文所提的某些公理化设想是含混不清的 比如对化学空间 的划分 子空间及自由度的论述 在某种程度上 是不是称空间为集合更为合理和正确 同 样 对于子空间是有限的还是无限的笔者至今未能给出合理的解释 同时 对化学公理化的 三个基础的划分也不尽准确 因为这三个基础是互相影响的 比如 体系环境 与 相互 作用 会影响到物质的 空间构型 不过在不久的将来 这些问题最终会被一一解决 化 学公理化必将使化学成为真正意义上的科学 参考文献 []李尚志.线性代数.北京:高等教育出版社,006.5(007 重印).ISBN []顾沛.数学文化.北京:高等教育出版社,008.6(00 重印).ISBN [3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析.北京:高等教育出版社,004.0(008 重印).ISBN [4]王积涛.有机化学. 版.天津:南开大学出版社,003.0(009.5 重印).ISBN

20 0 年 月总第 7 期 编辑点评 本文讨论的是一个非常大的话题 即数学与物理之间的紧密联系及其背后的 根源 很多伟大的科学家都曾关注这一话题 关于这个话题有很多观点 对于一 个二年级本科生来说 这个话题无疑是困难的 本文反映出作者兴趣广泛 对这 一话题的持续思考对一个物理学专业的学生是难能可贵的且将大有裨益 数学与物理的共同发展 张芷铭 物理科学学院 物理学专业 0084 摘 要 数学与物理从它们的产生起就密不可分 虽然二者向着不同的方向发展但却 时刻紧密地联系着 二者的核心思想往往是建立在相同基础之上的 本文从这两个学科发展 历史的角度上讨论了数学和物理学相互促进的紧密联系 并试图揭开这种共同进化背后的自 然真相 关键词 数学与物理学;创造的来源.数学与物理学的来源 人们首先是通过最原始的方式即人们的感官来认识世界的 这种方式得到的是对自然现 象唯象的经验 一开始 人们对于各种神秘的自然现象无法做出很好的解释 只好诉诸于鬼 神 古希腊的自然哲学家开始崇尚理性的作用 并试图对人们感性的认识以及以前所积累的 唯象的经验做出理性的解释 要对自然现象做出解释并且找到事物发展的规律人们首先需要 从各种具体的 杂乱无章的事物中找出它们的共性 而最普遍存在于事物之间并且最容易发 现的便是数量的关系和几何的关系 数学就起源于对事物之间的这种抽象的共性以及这些性 质之间关系的把握 并逐渐上升到一种理论的高度从而建立起公理化体系 在古希腊 数学 和物理之间还没有严格的界限 毕达哥拉斯学派认为 应用数学可以去除人们对自然神秘的 幻想和随意性 并且能够把看似无法理解的现象转化为一种有序并且可以理解的格局 于是 他们认为事物的数学性质便是事物的本质 并建立了 万物皆数 的信仰 亚里士多德的 物 理学 是最早对物理现象做出理性解释的著作 亚里士多德试图做出数学与物理之间的区别 他以逻辑思辨的方式来研究物理而导致了对物理概念的错误理解 但他还是非常重视数学形 式以及对物理严密体系的追求 古希腊的学者的诸多成就来源于他们认为自然是和谐 简单 经济 统一而优美的 他 们对自然及对自然的认识方法的信念形成了物理与数学的一体论 数学和物理的共同起源为 二者的共同进化提供了可能 正如共同进化的生态系统的各个部分都有着相同的起源.数学对物理学进化的作用 在古希腊数学与物理学都属于自然哲学的范畴 而大部分人认为物理学作为一门独立 的科学是从伽利略关于物体运动的定量的数学描述开始的 伽利略在他的 关于两种新科学 的对话 中利用距离和时间作为基本量 开始对物体运动进行数学描述 他的方法深受欧几 里几何学得的影响 从公理和基本假设出发 通过演绎推理和逻辑证明得出一系列定理 伽 利略认为关于物体运动的科学必须具有一门数学科学所具有的明晰性和必然性 它的定律可 用数学形式来表述 并且是能够从先前所提出的公理或公设通过形式推理推导出来 然后就 可以通过对距离和时间的测量来检验这些定律 这也是物理学的基本思想 可以说 是数学 协助了物理学实现了从定性的到定量的飞跃 0

21 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 数 学 对 物 理 的 进 化 起 决 定 性 作 用 的 一 个 经 典 例 子 就 是 相 对 论 的 建 立 爱 因 斯 坦 发 现 了 经 典 力 学 中 的 种 种 困 难 ( 如 对 水 星 运 动 的 描 述 ) 后 试 图 建 立 新 的 运 动 理 论 907 年 数 学 家 闵 可 夫 斯 基 提 出 了 闵 可 夫 斯 基 空 间, 为 爱 因 斯 坦 狭 义 相 对 论 提 供 了 合 适 的 数 学 模 型 有 了 闵 可 夫 斯 基 时 空 模 型 后, 爱 因 斯 坦 又 进 一 步 研 究 引 力 场 理 论 以 建 立 广 义 相 对 论 9 年 他 已 经 概 括 出 新 的 引 力 理 论 的 基 本 物 理 原 理, 但 是 一 直 没 有 找 到 能 准 确 描 述 这 些 物 理 原 理 的 数 学 三 年 后, 在 数 学 家 格 罗 斯 曼 的 介 绍 下, 爱 因 斯 坦 学 习 了 意 大 利 数 学 家 勒 维 奇 维 塔 等 在 黎 曼 几 何 基 础 上 发 展 起 来 的 绝 对 微 分 学 ( 张 量 分 析 ), 并 很 快 发 现 这 就 正 是 建 立 广 义 相 对 论 引 力 理 论 的 合 适 的 数 学 工 具, 广 义 相 对 论 作 为 一 种 逻 辑 结 构 终 于 大 功 告 成 数 学 是 物 理 学 创 造 新 的 物 理 理 论 的 武 器 库, 而 物 理 学 为 数 学 创 造 的 种 种 武 器 提 供 了 用 武 之 地 前 面 提 到 伽 利 略 创 造 运 动 理 论 就 是 运 用 了 欧 式 几 何 的 数 学 证 明 方 法, 广 义 相 对 论 的 建 立 运 用 了 黎 曼 几 何 和 张 量 分 析 的 武 器 另 外 还 有 数 不 胜 数 的 例 子, 比 如 : 开 普 勒 在 研 究 行 星 的 运 动 规 律 时 使 用 了 数 学 中 对 圆 锥 曲 线 的 研 究 如 果 人 们 当 时 没 有 发 现 圆 锥 曲 线 的 性 质, 开 普 勒 就 不 可 能 超 过 他 的 老 师 布 勒 而 从 布 勒 大 量 的 观 测 资 料 中 抽 象 出 行 星 轨 道 的 椭 圆 形 状 有 了 微 积 分 这 一 在 当 时 十 分 先 进 的 武 器, 牛 顿 对 物 体 的 运 动 做 了 进 一 步 的 分 析, 不 仅 给 出 了 速 度 和 加 速 度 的 代 数 表 述, 而 且 进 一 步 拓 宽 了 这 些 基 本 概 念 的 内 涵, 进 一 步 明 确 了 瞬 时 速 度 和 瞬 时 加 速 度 的 定 义, 为 物 理 学 的 发 展 奠 定 了 更 广 泛 的 基 础 有 了 失 量 分 析 这 一 武 器, 麦 克 斯 韦 才 得 以 将 法 拉 第 的 物 理 思 想 用 数 学 公 式 定 量 化 地 表 达 出 来, 并 且 统 一 了 电 和 磁, 建 立 了 完 整 的 经 典 电 磁 学 理 论 群 论 起 源 于 对 高 次 方 程 的 求 解 问 题, 在 它 刚 产 生 时 看 起 来 与 物 理 没 有 任 何 关 系, 而 它 在 近 代 物 理 学 中 的 重 要 应 用 绝 对 是 出 乎 所 有 人 意 料 的 量 子 力 学 说, 粒 子 的 构 形 和 相 互 作 用 上 无 处 不 在 的 对 称 性 成 为 一 个 很 精 巧 的 群 另 外, 群 论 在 整 理 大 量 数 据 和 预 言 新 粒 子 的 存 在 上 取 得 了 重 要 的 成 就 杨 振 宁 在 西 蒙 斯 教 授 那 里 学 到 的 纤 维 丛 理 论 和 陈 省 身 沃 尔 定 理 后 为 他 之 前 和 米 尔 斯 建 立 的 非 阿 贝 尔 规 范 场 理 论 找 到 了 深 刻 的 数 学 背 景, 逐 步 揭 示 了 规 范 场 和 属 于 现 代 微 分 几 何 及 拓 扑 学 范 畴 的 纤 维 理 论 的 内 在 联 系 数 学 还 有 一 个 重 要 的 性 质, 就 是 它 的 美 学 性 质 这 一 性 质 对 物 理 学 的 进 化 也 有 不 容 忽 视 的 作 用 比 如 : 薛 定 谔 找 到 了 一 个 描 述 粒 子 运 动 的 优 美 方 程, 但 因 当 时 人 们 不 知 道 电 子 还 有 自 旋, 并 没 有 很 好 地 符 合 实 验 结 果, 于 是 他 去 掉 相 对 论 效 应 后 做 了 一 种 粗 糙 的 近 似 后 才 与 实 验 符 合, 他 发 表 的 第 一 篇 论 文 就 只 是 一 种 粗 糙 的 近 似 方 程 后 来 人 们 在 薛 定 谔 原 先 的 方 程 中 加 入 了 电 子 的 自 旋 得 到 了 正 确 的 结 果, 这 方 程 被 命 名 为 克 莱 因 戈 登 方 程 这 个 例 子 说 明 也 许 方 程 的 美 比 方 程 与 实 验 相 适 合 更 为 重 要, 如 果 薛 定 谔 当 年 对 他 的 方 程 更 有 信 心, 就 会 发 表 一 个 更 准 确 的 方 程 理 论 与 实 验 的 不 相 符 很 可 能 是 因 为 没 有 考 虑 某 种 因 素, 而 优 美 的 理 论 往 往 会 发 展 并 弄 清 这 些 问 题 3. 物 理 学 对 数 学 进 化 的 作 用 : 物 理 学 对 数 学 进 化 的 作 用 有 直 接 的 和 间 接 的 前 面 提 到 了 数 学 作 为 物 理 学 开 创 新 理 论 的 工 具 的 重 要 作 用, 事 实 上 不 少 数 学 理 论 正 是 由 于 物 理 上 的 需 要 而 产 生 的, 而 创 造 数 学 新 理 论 和 物 理 新 理 论 的 往 往 是 同 一 个 人 因 为 物 理 问 题 的 需 要 而 创 造 数 学 新 方 法 就 是 物 理 学 对 数 学 进 化 的 直 接 作 用 牛 顿 经 典 力 学 所 使 用 的 微 积 分 正 是 牛 顿 本 人 所 创 造 的, 他 当 时 创 造 微 积 分 时 并 没 有 给 出 严 格 的 数 学 证 明 这 种 创 造 完 全 靠 的 是 物 理 直 觉, 因 而 产 生 了 第 二 次 数 学 危 机 并 引 来 了 贝 克 莱 的 责 难 但 是 最 后 微 积 分 还 是 由 柯 西 魏 尔 斯 特 拉 斯 等 人 建 立 的 严 格 的 实 数 理 论 和 极 限 理 论 所 严 格 地 证 明 了 物 理 学 家 用 其 敏 锐 的 物 理 直 觉 所 创 造 的 数 学 理 论 可 以 暂 时 将 其 严 格 证 明 留 给 数 学 家 去 做, 而 自 己 只 需 使 用 它 们 便 可 另 一 个 例 子 是 费 曼 为 了 使 表 述 粒 子 之 间 的 相 互 作 用 而 创 造 了

22 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 费 曼 图, 同 样 费 曼 图 也 是 由 物 理 直 觉 所 创 造 的, 他 并 不 能 给 出 严 格 的 证 明 一 开 始, 由 于 费 曼 图 过 于 不 寻 常 ( 如 一 个 反 粒 子 等 价 于 沿 时 间 负 方 向 运 动 的 粒 子 ) 而 不 被 大 多 数 物 理 学 家 接 受 但 是 事 实 证 明, 使 用 费 曼 图 可 以 在 很 短 的 时 间 内 解 出 以 往 需 要 一 个 月 才 能 解 出 的 方 程 当 然, 费 曼 图 最 终 还 是 得 到 了 严 格 的 证 明 由 物 理 学 家 所 创 造 的 数 学 理 论 还 有 很 多, 比 如 : 矢 量 分 析 这 种 被 广 泛 应 用 数 学 理 论 就 是 麦 克 斯 韦 为 描 述 电 磁 场 的 性 质 而 创 立 的, 而 经 典 傅 里 叶 分 析 是 傅 里 叶 在 研 究 热 传 导 的 偏 微 分 方 程 所 创 造 的 ; 泰 勒 麦 克 劳 林 为 了 研 究 弦 的 振 动 和 天 文 学 的 有 关 问 题, 开 拓 了 级 数 展 开 理 论 ; 欧 拉 拉 格 朗 日 贝 努 力 为 了 研 究 理 论 力 学 建 立 了 常 微 分 方 程 和 变 分 法 拉 格 朗 日 达 郎 贝 尔 拉 普 拉 斯 为 了 研 究 弹 性 力 学 建 立 了 偏 微 分 方 程 除 了 由 物 理 学 家 直 接 创 立 数 学 理 论 之 外, 物 理 学 对 于 数 学 的 进 化 还 起 着 间 接 的 作 用 圆 锥 曲 线 黎 曼 几 何 张 量 分 析 希 尔 伯 特 空 间 以 及 纤 维 丛 理 论 之 所 以 能 够 作 为 一 种 工 具 在 建 立 新 的 物 理 理 论 中 发 挥 重 大 的 作 用 正 是 由 于 这 些 数 学 在 建 立 之 时 首 先 是 受 到 物 理 的 启 发 的 虽 然 我 们 并 不 知 道 圆 锥 曲 线 早 期 的 历 史, 最 有 根 据 的 说 法 是 人 们 研 究 圆 锥 曲 线 是 为 了 制 造 日 晷 此 外, 人 们 早 在 阿 波 罗 尼 乌 斯 写 出 圆 锥 曲 线 的 经 典 著 作 之 前 就 已 经 知 道 用 圆 锥 曲 线 来 聚 焦 光 线 非 欧 几 何 的 创 立 首 先 是 来 源 于 欧 氏 几 何 在 物 理 上 的 问 题, 比 如 球 面 上 欧 氏 几 何 不 成 立 黎 曼 之 所 以 创 立 黎 曼 几 何 是 因 为 他 研 究 了 最 基 本 的 物 理 问 题 即 物 理 空 间 的 本 性 张 量 分 析 首 先 是 由 贝 尔 特 拉 米 李 普 希 兹 和 克 里 斯 多 弗 尔 继 承 黎 曼 的 工 作 创 立 的 贝 尔 特 拉 米 和 李 普 希 兹 在 理 论 力 学 的 框 架 下 继 续 研 究 它, 然 后 里 奇 和 列 维 奇 维 塔 改 造 和 推 广 了 这 三 个 人 的 工 作 所 以, 张 量 分 析 也 是 受 到 了 物 理 学 的 启 发 而 出 现 的 爱 因 斯 坦 利 用 了 黎 曼 几 何 和 张 量 分 析 才 建 立 了 广 义 相 对 论, 但 另 一 方 面, 现 代 微 分 几 何 的 许 多 新 课 题 最 初 都 是 受 广 义 相 对 论 的 刺 激 而 产 生 的 物 理 学 家 瑞 利 勋 爵 在 利 用 代 数 理 论 研 究 刚 体 和 电 学 系 统 时, 大 胆 地 将 二 次 型 的 项 数 趋 向 无 穷 大, 而 不 作 数 学 上 的 论 证, 这 样 就 把 所 用 到 的 数 学 推 广 和 抽 象 化 了 一 大 步 后 来 伟 大 的 数 学 家 希 尔 伯 特 开 创 了 希 尔 伯 特 空 间 理 论 陈 省 身 曾 经 说 过 纤 维 丛 理 论 的 诸 多 概 念 并 不 是 凭 空 想 象 出 来 的, 而 是 自 然 和 实 在 的, 是 建 立 在 物 理 的 基 础 上 的 可 见, 数 学 在 物 理 学 上 的 没 有 料 到 的 用 处 正 是 由 于 研 究 它 们 在 物 理 上 是 有 依 据 的, 物 理 学 为 数 学 提 供 了 源 源 不 断 地 灵 感 正 如 傅 里 叶 曾 经 说 过 的, 对 自 然 界 的 深 入 研 究 是 数 学 发 现 的 最 富 饶 的 源 泉 4. 总 结 : 为 什 么 会 这 样? 在 前 面 的 标 题 3 中 我 们 讨 论 了 数 学 与 物 理 学 共 同 进 化 的 历 史 证 据, 读 者 应 该 会 发 现 这 两 个 标 题 中 有 不 少 重 复 的 部 分 仿 佛 是 一 碗 豆 腐, 豆 腐 一 碗 一 般 的 叙 述 事 实 上, 这 恰 恰 说 明 了 数 学 的 进 化 与 物 理 学 的 进 化 紧 密 结 合 在 一 起 的, 二 者 中 无 论 哪 一 个 的 发 展 都 将 对 另 一 个 起 到 促 进 的 作 用 物 理 学 为 数 学 提 供 了 灵 感, 美 国 著 名 数 学 史 学 家 克 莱 因 认 为, 欧 洲 中 世 纪 数 学 水 平 之 所 以 低, 主 要 原 因 是 对 物 理 世 界 缺 乏 兴 趣 同 样 地, 数 学 也 为 物 理 学 提 供 了 灵 感, 数 学 的 想 象 力 是 物 理 学 的 进 化 中 始 终 未 变 的 重 要 因 素 数 学 之 于 物 理 学 家 不 仅 是 计 算 现 象 的 工 具, 更 是 创 造 新 理 论 的 主 要 源 泉 但 是 为 什 么 会 这 样? 显 然 二 者 发 展 的 方 向 是 不 同 的, 数 学 的 抽 象 高 度 要 高 于 物 理, 它 是 研 究 事 物 纯 粹 的 本 质 的 数 与 形 结 构 与 关 系 的 学 科 而 物 理 学 则 是 通 过 实 验 观 测 到 的 结 果 对 这 个 世 界 做 出 解 释, 再 由 实 验 所 证 实, 它 所 关 注 的 内 容 比 数 学 要 具 体 一 些 有 时 数 学 的 发 现 来 自 于 纯 粹 的 想 象 和 逻 辑 证 明, 而 物 理 却 必 须 要 求 实 证 虽 然 二 者 的 发 展 方 向 不 同, 但 二 者 仍 能 够 共 同 进 化

23 0 年 月总第 7 期 如同生态学中黑脉金斑蝶和马利筋 巨刺金合欢和蚂蚁 生物与地球环境的共同进化 而更加内在的原因是数学与物理学有着相同的来源 相同的出发点 在标题 中我们 看到 数学和物理学都是来自古希腊自然哲学家们对自然理性的思考 他们都有着相同的出 发点和目的 即了解自然的真相 感受自然的美并利用其中的规律改进人的生活 有人曾把 数学的发展比作侦察机的飞行 它从具体的基地起飞 在抽象的高空中进行勘测 而后又降 落到现实平原的特定目的地 而这些起飞和降落的过程正是与物理学共同进化的过程 简洁而优美的数学形式能反映宇宙的物理确实是令人惊奇而兴奋的 开普勒曾经用神 学的词句表达了自己的惊异 上帝实是宅心仁厚 他悠游自在 不事雕琢 始作符号游戏 将它的爱好锲刻于世界之中 故我时而想到 整个大自然与深恩的苍天都以几何学的艺术为 表征 赫兹也曾经写到 人们无法避免这样一种感觉 这些数学公式自由独立的存在 并 有自己的智慧 它们比我们聪明 甚至比它们的发现者聪明 因为我们由它们得到的 多于 我们赋予他们的 费曼也曾经惊讶地发出这样的疑问 当我们判定某个声音好听时 我们 的耳朵是在与谐波匹配还是在做算术 爱因斯坦也曾经发出这样的感慨 这世上最难理 解的事情是 我们作为宇宙的产物 竟然能够理解宇宙 陈省身在 987 年写的一篇文章中提到 很奇怪的 杨 米尔斯场论发表于 954 年 我的示形类论文发表于 946 年 而我于 949 年初在普林斯顿讲了一学期的连络论 后来印 成笔记 我们竟不知到我们的工作有如此密切的关系 0 年后两者的重要性渐为人所了解 我才恍然 我们所碰到的是同一大象的两个不同部分 也许自然的真相正蕴含在优美的数学之中 在数学充满想象力和物理学充满实证的进 化过程中 二者不约而同地发现了大自然的数学设计 所以它们才会有如此深刻而紧密的联 系 但如果进一步问一句为什么大自然是这样设计的 可能会用到人则原理等形而上学的东 西 这个问题的困难性如同质问自然中的常数为什么是那些值一样 而后者正是当今物理学 的究极问题之一 数学与物理学的共同进化正是来自大自然的这种数学设计 它们只是以不同的方式去 理解这种设计 这也是我们学习数学和物理学的意义所在 参考文献 [].克莱因.现代世界中的数学.齐民友 等译.上海教育出版社.007. [].凯文 凯利.失控.东西文库 译.新星出版社.00. [3].刘超.从历史的角度看数学与物理的联系.乐山师范学院学报 Vol.4,No.5 May.009. [4].高策.二叶理论 杨振宁论数学与物理学的关系.科学学研究 Vol.9,No.(99). [5].孙守增,郭庆健,周连秋,数学与物理学的三次历史综合.西安公路学院学报 Vol.4 No. Jun.994 [6].黄翔,陈国琪.数学与物理学历史渊源的一点思考.工科数学 Vol.8.No.4 Aug.00 [7].里昂纳德 曼罗迪诺.费曼的彩虹.陈雅云 译.陕西师范大学出版社.007 3

24 0 年 月总第 7 期 用数学方法解决棋子的临界问题 史骏 数学科学学院 数学与应用数学专业 摘 要 如何用两个玻璃棋子 在 00 层的高楼中用最小的投掷次数测出棋子破碎的 临界层高 这个问题也许不少人都曾听说 也知道正确答案 但从未见过严谨的讨论与证明 本文旨在通过数学的证明与推导解决问题 表现数学的严谨美 逻辑美 关键词 玻璃棋子 临界层高 最优方案 数学方法 问题 现在有一栋 00 层高的大楼 给你两个完全相同的玻璃棋子 假设从某一层开始投 掷下玻璃棋子 棋子就会破碎 那么怎么利用手中的两枚棋子 用一种什么样的最优策略 一定能测出这个临界层高 注 假设临界层高为 n, n 00 关键条件分析 一般的时候 我们看到这样的的问题时会急于尝试 但要想完全的解决问题 首先我们 应该弄清题目中的一些关键的条件. 临界层高 本问题最基本的问题便是找出临界层高 首先 什么是临界层高呢 根据题目中的表述 我们可以做如下解释 该种棋子的临界层高为 n 即是对于这种规格的玻璃棋子 当将其从 第 n 层楼投掷下去时 该棋子不碎 而从第 n 层楼投掷下去时 该棋子破碎. 什么是 一定能找出临界层高 首先 该问题在实际操作时是有一定的偶然性的 但是 我们在设计策略时不能将偶然 性考虑进去 若是在某种情况下两个玻璃棋子都破碎后仍然不知道临界层高的确切数值 那 么策略便算是失败 因此 这决定了我们在投掷过程中自下而上的过程 因为若是临界层高 较小 自上而下投掷便会很容易导致两个玻璃棋子都破碎 使策略失败.3 何为最优策略 首先 对于一种策略来说 对于任意的临界层高 都有一定的投掷次数 则其中必然有 一个最大值 即在这个次数之内 一定可以找到临界层高 我们将其定义为解决次数 一种 策略的解决次数为 t 便是对于这种策略 无论临界层高是多少 都可以在小于或是等于 t 的 投掷次数内找出临界层高 最优策略便是解决次数最小的策略 简例分析 弄清了关键条件 下面我们通过几个简例 了解一下两个玻璃棋子的各自作用 例 假设只有一枚棋子 那么问题很简单 只要注意题目的要求便可以轻易地得出结 论 只有一种策略 便是将棋子从第一层开始 逐层掷下 若在某一层将棋子掷下时 棋子 破碎了 则这一层便是棋子的临界层高 这种方法的解决次数为 99 当投到 99 层时 棋子 还没有碎 则显然棋子的临界层高是 00. 例 我们来看一种极为常见的方法 折中法 即将第一枚棋子从第 49 层掷下 若棋子 不碎 则将棋子从第 74 层掷下 若是仍然不碎 则继续折中取 依次类推 而当使用这种 策略 若是临界层高较高的话 该策略是有一定的优势的 但若是临界层高在第 49 层左右 更确切的说 若是临界层高小于 49 层一点的话 该策略便没有优势可言了 若是临界楼层 4

25 0 年 月总第 7 期 是 48 层时 此种策略所需要的投掷棋子的次数最多 此策略的解决次数为 第一枚棋子 在第 49 层投掷 碎了 +48 第二枚棋子从第一层开始 向上依次投掷 一直到第 48 层 =49 次 例 3 这次我们采用每隔 0 层投掷一次的方法 即将第一个棋子第一次在 层投掷 若不碎 则第二次在 层投掷 若是碎了 则第二枚棋子从 层开始向上依次投掷 若还 是不碎 则第三次在 3 层投掷 依次类推第九次则在 9 层投掷 这种方法的优势在于无论 临界层高是多少 所需要的投掷次数都相差不多 经分析可知 当临界层高为 90 层时 此 种策略所需要的投掷棋子的次数最多 此策略的解决次数为 9 第一枚棋子直到在 9 层投 掷下去时 碎了 +9 第二枚棋子从第 8 层开始 依次向上投掷 直到第 90 层 =8 次 小结 单就结果而言 以上三个方案逐步实现了优化 但是 8 次是否就是所有策略中最小 的解决次数呢 这值得思考 从以上的例子我们发现 相较于第二枚棋子的投掷 第一枚棋 子的投掷显然有更多的选择 而第一枚棋子的作用也逐渐显现出来 那便是将 00 层的楼进 行适当的划分 通过合理的分段减少第二枚棋子的投掷次数 因为第二枚棋子主要用于确定 临界层高 而且只能由某一层开始 逐层向上投掷 则在计算解决次数时占有了相当大的比 重 最终我们可以得出结论对于一种方案 其是否最优的关键便是第一枚棋子的分段方式 故以后的讨论我们只讨论第一枚棋子的投掷方法 第二枚棋子只用于计算 3 用数学归纳解决问题 现在我们明白了第一枚棋子的分段作用 下面我们假设第一枚棋子自下而上一次从第 a k a, a, a3 ak 层 投 掷 下 去 其 中 ak 99 接 下 来 设 bk 则 ak ak k b b b3 bk 接下来定义 第 n 分段:对于上面的情况 我们可以知道一共有 k 个分段 而自下而上的第 n 个分 段便称为第 n 分段 显然对于第 n 个分段总有一个 bn 与其一一对应 而且易知若是临界楼 层落在第 n 分段中 则需要的最多的投掷次数便是 bn n 而对于一个策略 其解决次 数便等于 bn n 的最大值 在第 n 分段取得解决次数 由例子可知 对于一个策略 当临界层高达到某个数值时 需要 投掷的次数最多 我们便称其是在该层达到解决次数 类似的 如果该层恰好在第 n 分段上 时 我们称其在第 n 分段取得解决次数 比如在例 中便是在第一分段取得解决次数 对于 例 3 便是在第九分段取得解决次数 顺序策略 对于整数 n n,,3 k 若对于所有的 m n 都有 bm bn 则我们称这种 策略是顺序策略 否则我们就称其为乱序策略 3. 证明 对于任意一个策略 若将其相邻两个分段 bn, bn 互换 如果 bn bn 则这个策 略不会变优 如果 bn bn 则这个策略不会变劣 5

26 0 年 月总第 7 期 证明 如果是在其他的分段取得解决次数 则互换这两个分段对策略的优劣并没有影响 如果是在这两个分段取得解决次数,以下分两种情况 如果 bn bn 则 bn n bn n 故是在第 n 分段取得解决次数 且解 决次数为 bn n 如果将两个分段互换 设互换后两个分段分别对应 cn, cn 则 cn bn cn bn 显然 cn n cn n 即对于交换后的策略 是在第 n 分段取得 解决次数 而且解决次数为 cn n 而且 bn n cn n 因此我们 说在交换之后策略变得更劣了 如果 bn bn 则 bn n bn n 故是在第 n 分段取得解决次数 且 解决次数为 bn n 同样 如果将两个分段互换 设互换后两个分段分别对应 cn, cn 则 cn bn cn bn 易知 cn n bn n cn n bn n 即无论交换之后在哪个分段取得解决次数 所得的解决次数都不会大于没 交换时的解决次数 因此我们说在交换之后策略变得更优了 完成了这个证明 我们可以得出以下推论 任意的乱序策略都不会优于其相应的顺序策 略 证明只是需要通过相邻两个分段的交换 若是较大的分段便移到前面即可 因此 可 以说 最优策略是在顺序策略中的 我们不需要再讨论乱序策略 3.3 我们证明 对于一个不在第一分段取得解决次数的顺序策略 我们都可以找到另一个顺 序策略 使其在第一分段取得解决次数 而且解决次数与原来的策略相等 证明 对于一个策略 假设一共有 n 个分段 其在第 p 分段最后一次取得解决次数 且解决次数为 m 因为 第 p 分段是最后一个取得解决次数的分段 所以 bp bp 的 而且由于是顺序策略 所以 m b p 因此 我们只需要构造一个策略 使其一共有 n 个分段 对于第一个分段只需要将其大小取为 m 之后的 p 个分段为原来的前 p 个 分段的顺次后延 且相应的长度减小 如果个数加起来少于 99 可向第二分段补充 但注 意保持此策略为顺序策略 第 p 个分段以后的分段不需要改变 比如例 对于原来的策略 是 b b b3 b9 0 b0 8 原来是在第 9 分段取得解决次数 那么我们只 需要构造一个新的策略 对于新的策略 c 8 b 0 b3 b4 b9 9 b0 8 即 可 3.4 现在 我们进一步将最有解的范围缩小到了在第一分段取得解决次数的顺序策略中 最 后我们只需求出这个值 解 设一个第一分段取得解决次数的策略为 b, b bk 共 k 个分段 则显然解决次数 6

27 0 年 月总第 7 期 便为 b 我们所需要做的便是求出它的最小值 依据已知条件有 b b b3 bk 99 b b bk b b bk k 通过求和与基本不等式 可得 b 最小值为 4 此时对应的策略为 第一次在 4 层掷 第二次在 7 层掷 第三次在 39 层掷 以此类 推 4 总结与扩展 现在我们完全地解决了这个问题 我们在这个问题中主要运用的思想便是统一化 在许 多实际问题中 往往可能有非常多的情况发生 这时便需要我们将情况适当分类寻找思路 之后找出联系 尽量将问题都转化为一种较为简单的 或是已经解决过的情况 最后处理便 可很好的解决问题 有人可能觉得这样的讨论推导太过麻烦 根本不实用 但实际上 这样 的数学思想在我们解决实际问题中十分有效 而且可以节省大量的人力物力 对于以上的问 题还可以适当拓展 读者若是有兴趣 可以考虑如果是三个棋子应该如何安排策略 如果是 足够多的棋子呢 参考文献 焦萌 解答 Google 的一道面试题 Jiaomeng 的博客 一场难圆的政治梦想 从数学视角看选举理论 朱良松 经济学院 国际经济与贸易 0966 摘 要 近几十年来 数学已经悄悄地成为一种基本工具被广泛应用于研究政治经济 学 这犹如一场波澜壮阔的革命 革新着人类的思维 数学的引入把政治经济学一步一步带 入了新境界 从繁复走向了清晰 但是数学家的结论却是一个极其深刻而又令人不安的结 果 更是使得理想主义政治哲学家的梦想走向了破灭 本文从选举理论入手 试图以数学的 视角来阐述这一理论 关键词 政治经济学 数学 选举理论 阿罗不可能性定理 政治梦想 引言 探寻这场革命兴起的原因 政治经济学也被称为公共学科 被公认为是最不容易给出定义的学科之一 可见其复 杂性 但是 不安分 的数学家已经在思考着如何介入政治经济学 随着各门科学和数学 本身的进步 公共社会的各因素将逐渐为数学语言所阐明 其数学化亦是必然 其中的主 要原因可以归结为下面五个方面 第一 政府公共管理需要精确化的定量依据 这是促使其数学化最根本的因素 第二 公共学科的各分支逐步走向成熟 其理论体系的发展也需要精确化 第三 随着数学的进一步发展 出现了一些适合研究政治经济学的新的数学分支 如 7

28 0 年 月总第 7 期 概率论 离散数学 模糊数学 数理逻辑 系统论等 都为其数学化提供了有力的武器 第四 电子计算机的发展与应用 使非常复杂的公共社会现象经过量化后可以进行数 值处理 第五 数学家得天独厚的优势 即独特的度量方法和严格的演绎思想 前者使他们从 繁复的数字堆中发现规律 后者使他们有能力提供准确 安全的预报 正基于此 数学 家很快发现政治经济学有点像社会医学 即诊断或判断应是研究这门学科的重要环节 数学家们看好了选举理论这个分支 他们旨在从这里为个体和群体的决策提供更好的 服务 任何一个社会无论民主还是集权 在众多政策之中进行遴选和抉择时总是会面临众 口难调的问题 因为每一个公民个体对政策都有各自的偏好和意向 因此选举理论的研究 任务就是 怎样基于公平给诸多政策一个合理排序 而数学家的主要工作便可以从提供一 个良好的排序方法入手 对于熟悉数学基础中的公理和方法的数学家来说 这里对于他们 可谓是一个新的舞台 人人都可以是赢家 不同的选举方法 选举的突出意义在于 基于公平将公民个体对各项政策的偏好和意向给出一个最好的 排序 任何选举要体现其公平性 无论采取什么选举方法 选举结果都必须至少代表相对 多数人的意志 但是我们又要问 多数是怎么个多数法 存不存在一个全社会都满意的选 举方法 其实不同选举方法下所体现的 多数人 的内涵是完全不一样的 这就使选举理 论变得异常复杂 下面我们介绍最常用的几种选举方法 一 多数法则 以获得最多票的议案作为表决结果 二 大多数法则 以简单多数票的议案作为表决结果 三 逐轮表决 在大多数原则下 能在捉对表决中每次都胜出的议案作为表决结果 四 波达记分法 以递降方式给诸议案打分并累计总分 以获最高分的议案作为表 决结果 其实 仔细研究可知上述每一种选举方法都有其不可规避的缺陷 方法一主要表现在 民意不浓 眼下大都摒弃不用 而后面的几种 易导致人人都成为赢家 或几个议案同时 胜出 或选举悖论等等 详见下文的分析 下面我们来看看一个 人人都是大赢家 的实例 例如 在某乡镇的党代会上 55 个党员要在五个候选人中确认一位接任乡长 现在要 求每位党员均须按他们的偏爱对五个候选人进行一个排序 我们先假定 55 位党员的偏好 次序如下表 所示 党员人数 排序 第一选择 A B C D E E 第二选择 D E B C B C 第三选择 E D E E D D 第四选择 C C D B C B 第五选择 B A A A A A 表 人人都是赢家 党员意向表 我们假定他们都真诚选举 现简单分析如下 盛立人等.社会科学中的数学.北京 科学出版社 006.p.. 8

29 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 a) 多 数 原 则 : 显 然 A 以 首 席 最 高 票 8 票 当 选, 但 尽 得 票 数 不 足 与 会 人 数 /3, 显 然 民 意 不 浓 ; b) 逐 轮 选 举 法 之 一 : 逐 轮 高 票 者 晋 级 法, 第 一 轮 A 和 B 票 数 领 先 晋 级 第 二 轮 争 夺 ; 而 第 二 轮 A B 两 者 中, 有 37 人 偏 爱 B B 胜 出 ; c) 逐 轮 选 举 法 之 二 : 逐 轮 淘 汰 最 少 票 数 法, 必 须 注 意 的 是 先 被 淘 汰 者 的 票 数 将 在 后 续 环 节 被 转 入 胜 出 者 名 下, 比 如 第 一 轮 E 只 得 6 票 率 先 被 淘 汰, 在 第 二 轮 中 这 6 票 将 分 别 记 4 票 给 B 以 及 记 票 给 C 此 方 法 下 E D B A 将 依 次 被 淘 汰, 简 单 推 理 可 知 C 以 37: 8 淘 汰 A 当 选 ; d) 逐 轮 选 举 法 之 三 : 捉 对 表 决 法 ( 即 两 两 PK 法 ), 可 知 共 需 C 0 次 表 决, 每 位 候 选 人 5 须 各 参 加 4 次 最 后 E 分 别 以 37:8 战 胜 A,33: 战 胜 B,36:9 战 胜 C,8:7 战 胜 D, 这 回 E 胜 出 ; e) 记 分 法 : 以 5 分 4 分 3 分 分 别 记 首 席 次 席 三 席, 得 分 如 下 : A: ( 9) 8 56 B: C: 50 4( 9 ) ( 8 4) 6 D: E: 5( 4 ) 4 3( 8 0 9) 89 显 然 最 终 D 胜 出 由 此 例 可 知, 数 学 告 诉 了 我 们 不 同 的 选 举 方 法 会 使 人 人 都 是 赢 家 3 康 多 塞 悖 论 : 不 同 的 投 票 顺 序 选 举 理 论 有 其 深 刻 的 复 杂 性, 所 谓 的 民 主 选 举 其 实 很 苍 白, 这 些 冠 以 民 主 的 选 举 方 法 甚 至 还 会 出 现 选 举 悖 论 早 在 十 八 世 纪 康 多 塞 就 提 出 了 著 名 的 投 票 悖 论, 史 称 康 多 塞 悖 论 我 们 假 定 A B 和 C 是 争 取 市 议 会 中 一 个 席 位 的 三 名 候 选 人, 且 有 三 种 类 型 的 选 民, 每 种 类 型 的 选 民 对 候 选 人 都 有 自 己 的 排 序, 如 下 表 所 示 : 选 民 类 型 类 型 类 型 类 型 3 选 民 百 分 比 (%) 35% 45% 0% 第 一 选 择 A B C 第 二 选 择 B C A 第 三 选 择 C A B 表 康 多 塞 悖 论 这 里 统 一 采 用 两 两 投 票 的 选 举 方 法, 假 设 我 们 首 先 在 B C 中 投 票, 根 据 分 析 首 先 可 得 出 B 击 败 C, 后 又 A 击 败 B 最 终 胜 出 由 此 我 们 继 续 往 下 演 绎 推 理, A B 且 B C, 那 么 根 据 偏 好 的 传 递 性 可 得 出 A C, 事 实 的 确 如 此 么? 但 很 奇 怪 的 是 我 们 会 发 现 若 在 康 多 塞 (Condorcet,Marie-Jean-Antoine-Nicolas-Caritat,Marquis de, ), 是 8 世 纪 法 国 最 后 一 位 哲 学 家, 同 时 也 是 一 位 数 学 家, 启 蒙 运 动 最 杰 出 代 表 人 物, 有 法 国 大 革 命 擎 炬 人 之 誉 9

30 0 年 月总第 7 期 A C 中投票 却是 C 击败 A 这就导出了康多塞悖论 即多数原则并没有产生可传递的 社会偏好 传递性是对偏好排序的一个基本要求 其实再细究下去 如果我们先在 A B 中投票会发现最后 C 胜出 再若我们先在 A C 中投票会发现最后 B 胜出 最优解竟是 如此的不唯一 所以由此我们得出两个结论 狭义的结论是 当有两种以上选择时 如 何确定投票顺序会对民主选举结果有重大影响 广义的结论是 多数投票通过并没有告 诉我们社会真正想要什么 如上 法国哲学家康多塞又凭借其数学家的天赋 将数学思想深入到其长期研究的 民主领域 继而颇有斩获 这里 数学家再次以其独特的逻辑推理告诉我们选举还会产 生悖论 3 4 阿罗 不可能性定理 政治梦想的破裂 在众多有关选举理论的著作和理论成果中 皇冠当属 97 年诺贝尔经济奖得主阿罗的 阿罗不可能性定理 这条理论刚好回答了我们上面提出的质疑 纵然结论不是我们所期 望的 它是如此的令人烦恼不安 如此的轰动整个世界 阿罗不可能性定理 绝对公平的选举系统是不存在的 此定理需要用及数论基础中的半序理论 其逻辑证明过程相当复杂 笔者只看懂了少部 分 在这里我们略过 但其思路是非常明确的 其思想是极其伟大的 阿罗先是列出了选举 的几个合意特征 而这几个都是任何一个理性的选举系统所必需具备的 4..确定性 如果每个人对 A 的偏好都大于 B 那么 A 就应该击败 B (数学表述 公理 对任意两个备选对象 x 和 y 若对任意 i 都满足 xri y 那么有 xry 其中 Ri, R 表示不次于 符号表示为 ) 4..完备性 任意两种选择都是可以比较的 必有 x 弱偏好于 y 或 y 弱偏好于 x (数学表述 公理 对任意两个备选对象 x 和 y 必有 xry 或 yrx ) 4.3.传递性 如果 A 击败 B B 击败 C 那么 A 就应该击败 C 数学表述 公理 3 对任意三个备选对象 x, y, z 若 xry 且 yrz 那么有 xrz 4.4.其他不相关选择的独立性 任何两个结果之间的排序不应取决于是否还可以得到某个第三种结果 数学表述 公理 4 设 f ( R,, Rn ) R, f ( R,, R n ) R S 是方案集 X 的任一子集 ' ' ' ' ' 其中 f 是 Arrow 社会福利函数 若对一切 i Ri 和 R i 在 S 上一致 那么 R 和 R 在 S 上也 一致 4.5.没有独裁者 3 肯尼斯 阿罗 Kenneth J. Arrow, 9- 是美国著名数理经济学家 因在一般均衡理论方面的突 出贡献与约翰 R 希克斯共同荣获 97 年诺贝尔经济学奖 除了在一般均衡领域的成就之外 阿罗还 在风险决策 组织经济学 信息经济学 福利经济学和政治民主理论方面进行了创造性的工作 30

31 0 年 月总第 7 期 无论其他每个人的偏好如何 没有一个人总能获胜 数学表述 公理 5 不存在这样的 i 使得对于一切 x, y S,若 xri y 那么 xry 然而阿罗却证明 在任何一种情况下 都无法找到一个选举系统能同时满足这些性质 即随便给出一个选举系统 阿罗便可以列出个体意向次序的一个集合 使它与选举系统的某 一原则发生矛盾 阿罗的结论是如此令人不安 难以置信 以致饱受各方争议 但它却经受住了长久的考 验 现在我们不妨重新回到表 在这个例子中我们也可以窥探一二 不妨选取其中 A B D 作为观察对象 并且假定事先规定选举规则 最高票者当选 我们很容易可以发现 选举 结果满足 3 5 条性质 对于第四条性质 验证如下 当 S A, B, D 时,明显有 B A D 但当 S B, D 时,明显有 D B 由此可以发现 A 的消失改变了在 B D 间的表决结果 因此 这与第四条性质 不相关选择的独立性相违背 当然单个例子不足 以验证 笔者在此只是举个例子佐证一下 便于读者理解阿罗不可能性定理 阿罗不可能性定理的意义其实远远超过了选举理论的范围 不少理论家认为 在数学上 这个定理比之于早期的著名定理 的平方根不可能是有理数 和近代量子力学中的 测不 准关系 具有同等的重要性 而且 阿罗在证明过程中用逻辑的公理与定义描述公共学科的 许多基本概念 比起这个定理本身更有意义 因为他从此为数学家找到了开启数学应用于政 治 经济 社会学的新路径 5 结语 正是阿罗不可能性定理 使得西方理想主义政治哲学家的政治梦想宣告破裂 正是数学 这个神奇的工具 把人们在公共学科领域的疑问给巧妙解决了 但结论却是如此的出人意料 和令人不安 正是数学学科的渗入 使更多其它学科备显清晰明朗 数学总是在历史文明中 充当着神奇的角色 在很多领域的历史关键时刻 它都会勇敢地站出来 以数学独特的视角 为人们做出分析和阐述 令人们眼前一亮 令世界为之一惊 参考文献 顾沛.数学文化.高等教育出版社.北京 高等教育出版社 008. 美 曼昆.经济学原理 第五版.梁小民等译.北京 北京大学出版社 盛立人等.社会科学中的数学.北京 科学出版社 美 W.F.Lucas.政治及有关模型.王国秋等译.长沙 国防科技大学出版社

32 0 年 月总第 7 期 数学也是 形象 的 王旭隆 外国语学院 俄语专业 045 摘 要 数学虽然往往是抽象的 但是其背景却常常是形象的 本文浅析了数学 形 象 的特质 以及其在背景和应用的生活化 形象化的过程中所体现的美 关键词 形象;生活;魅力 有 3 个人去投宿 一晚 30 元 三个人每人掏了 0 元凑够 30 元交给了老板 后来老板 说今天优惠只要 5 元就够了 拿出 5 元命令服务生退还给他们 服务生偷偷藏起了 元 然后把剩下的 3 元钱分给了那三个人 每人分到 元 这样一开始每人拿了 0 元现在又退 回 元 也就是 0-=9 每人只花了 9 元钱 3 个人每人 9 元 3 X 9 = 7 元 + 服务生藏起 的 元=9 元 还有一元钱去了哪里 这是一道面试题 曾在新西兰引起很大反响 不过经过稍稍分析后我们不难发现 事实 上是题目在误导我们的思维 尽管三个旅客的确是每个人消费了 9 元钱 但旅店在这次交易 中事实上是获得了 5 元的收益 因此旅客的花销与旅店的收益有 元的差距 这 元正是 被服务生扣下的部分 按老板的要求 实际上每位旅客应当消费 5/3 元而非 9 元 简言之 服务生占了旅客的便宜 旅客挨宰了 因此 7 与 之间应该是相减的关系 即 7 旅客总花销 - 服务生所扣 +5 旅店优惠 =30 而非 3 9+=9 我们常说数学好比是一个工具 是从各门学科中提炼出来的一门抽象的学问 没错 但 同时数学也是形象的 当它与具体相结合时 数学就形象化了 因为像能够领略超越数 黄 金比之类的抽象美感的饱学之士的人并不多见 故而对于大多数普通人而言 数学的魅力也 正是在形象的时候才体现得最为突出 所以更多人看到的神奇的数学是它形象时的状态 与 生活的各个领域相结合时候的状态.哈里发的刁难 传说古波斯默罕默德的继承人哈里发为了给自己才貌双全的女儿挑选如意郎君 曾给众 多求婚者出了一道题 用线将图 中写有相同数字的小圆圈连接起来 但所连的线不许相交 图 这个问题看似很简单 但当所有求婚者都乘兴而来败兴而归之后 哈里发方才发 现自己所提的问题是不可能实现的 如图 我们很容易将①-① ②-②连起来 而 后我们便发现 得到了一条简单的闭合曲线 这条曲线把整个平面分成了内部 阴影 部分 和外部两个区域 其中一个③在内部区域 而另一个③在外部区域 因此想要 从闭合曲线内部的③画一条线与外部的③相连 又不与闭合曲线相交是不可能的 这 正是哈里发的悲哀所在 3

33 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 图 然 而, 如 果 在 众 多 的 求 婚 者 当 中, 有 人 懂 得 数 学 之 中 的 一 门 重 要 分 支 拓 扑 学 的 话, 也 许 结 局 就 是 皆 大 欢 喜 了 可 惜 这 门 学 问 直 到 9 世 纪 中 期 才 被 科 学 家 引 入 858 年, 德 国 数 学 家 莫 比 乌 斯 (Augustus Ferdinand Mobius) 发 现 : 把 一 个 扭 转 80 后 再 两 头 粘 接 起 来 的 纸 条, 具 有 魔 术 般 的 性 质 因 为, 普 通 纸 带 具 有 两 个 面 ( 即 双 侧 曲 面 ), 一 个 正 面, 一 个 反 面, 两 个 面 可 以 涂 成 不 同 的 颜 色 ; 而 这 样 的 纸 带 只 有 一 个 面 ( 即 单 侧 曲 面 ), 一 只 小 虫 可 以 爬 遍 整 个 曲 面 而 不 必 跨 过 它 的 边 缘 后 来 这 种 神 奇 的 单 面 纸 带 被 称 为 莫 比 乌 斯 带 现 在 我 们 将 哈 里 发 的 问 题 搬 到 莫 比 乌 斯 带 上 来, 答 案 就 显 而 易 见 了 ( 如 图 3) 图 3 当 然, 由 莫 比 乌 斯 带 表 现 出 来 的 数 学 的 玄 奥 绝 不 仅 出 现 在 故 事 中, 在 现 实 生 活 中 形 象 的 莫 比 乌 斯 带 已 经 带 来 了 诸 多 效 益 例 如, 用 皮 带 传 送 的 动 力 机 械 的 皮 带 就 可 以 做 成 莫 比 乌 斯 带 状, 这 样 皮 带 就 不 会 因 只 磨 损 一 面 而 提 前 报 废 如 果 把 录 音 机 的 磁 带 做 成 莫 比 乌 斯 带 状, 就 不 存 在 正 反 两 面 的 问 题 了, 磁 带 就 只 有 一 个 面 了 事 实 上, 我 们 每 一 个 人 在 生 产 生 活 中 都 不 知 不 觉 地 享 受 着 数 学 的 形 象 化 所 带 来 的 效 益. 动 了? 没 动? 哲 学 是 美 好 生 活 的 指 引, 数 学 与 哲 学 也 密 不 可 分 哲 学 中 的 辩 证 理 论 往 往 与 形 象 化 的 数 学 所 对 应 的 现 实 问 题 相 关 联 这 里 我 们 不 妨 以 熟 知 的 芝 诺 悖 论 与 相 关 的 数 学 思 考 为 例 : 两 分 法 : 向 着 一 个 目 的 地 运 动 的 物 体, 首 先 必 须 经 过 路 程 的 中 点 ; 然 而 要 经 过 这 点, 又 必 须 先 经 过 路 程 的 四 分 之 一 点 ; 要 过 四 分 之 一 点 又 必 须 首 先 通 过 八 分 之 一 点 等 等, 如 此 类 推, 以 至 无 穷 结 论 是 : 无 穷 是 不 可 穷 尽 的 过 程, 运 动 永 远 不 可 能 开 始 的 阿 基 里 斯 追 不 上 乌 龟 : 阿 基 里 斯 是 荷 马 史 诗 中 的 善 跑 英 雄 奔 跑 中 的 阿 基 里 斯 永 远 也 无 法 超 过 在 他 前 面 慢 慢 爬 行 的 乌 龟 因 为 他 必 须 首 先 到 达 乌 龟 的 出 发 点, 而 当 他 到 达 那 一 点 时, 乌 龟 又 向 前 爬 了 因 而 乌 龟 必 定 总 是 跑 在 前 头 这 个 悖 论 与 两 分 法 悖 论 有 异 曲 同 工 之 处 飞 矢 不 动 : 箭 在 运 动 过 程 中 的 任 一 瞬 间 时 必 在 一 个 确 定 位 置 上, 即 是 静 止 的, 而 时 间 是 由 无 限 多 个 瞬 时 组 成 的, 因 此 箭 就 动 不 起 来 了 33

34 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 芝 诺 悖 论 涉 及 如 何 解 释 间 断 性 和 连 续 性 之 间 的 矛 盾 一 方 面 是 无 穷 可 分 割 的 间 断, 另 一 方 面 阿 基 里 斯 要 跨 越 层 层 阻 隔, 从 此 岸 达 到 彼 岸 无 论 怎 么 解 释, 这 个 矛 盾 不 会 在 概 念 中 消 失 然 而 在 现 实 中, 这 个 矛 盾 事 实 上 是 得 到 解 决 的 辩 证 法 的 思 路 是, 与 其 设 法 在 概 念 中 消 除 无 法 消 除 的 矛 盾, 不 如 把 矛 盾 看 作 事 物 的 本 质 现 实 运 动 是 矛 盾 的 结 果, 人 们 可 以 以 不 同 层 次 的 概 念 表 述 这 个 矛 盾, 比 如 间 断 性 和 连 续 性, 一 与 多, 有 限 与 无 限, 等 等 一 与 多, 有 限 与 无 限, 是 说 阿 基 里 斯 与 乌 龟 的 距 离 作 为 一 个 整 体, 一 定 距 离 的 量, 是 一 或 有 限 ; 同 时 这 个 一 的 整 体 又 是 由 无 数 小 的 线 段 部 分 组 成, 是 多 和 无 限 在 概 念 上 永 远 无 法 调 和 一 与 多, 有 限 与 无 限 的 矛 盾, 但 是 现 实 运 动 作 为 双 方 对 立 的 统 一 把 矛 盾 解 决 了, 因 为 在 阿 基 里 斯 追 上 乌 龟 的 瞬 间, 多 转 化 成 一, 无 限 转 化 成 有 限 这 是 辩 证 法 的 思 路 当 然 辩 证 法 并 没 有 解 释, 多 和 无 限 究 竟 是 怎 样 转 化 成 一 和 有 限 的 作 为 一 种 哲 学 思 辨, 它 的 任 务 到 此 为 止 这 种 思 辨 及 其 意 义 对 应 于 科 学 发 展 史 上, 数 学 家 对 数 的 本 质 及 数 学 基 础 的 思 考 芝 诺 的 悖 论 促 进 了 希 腊 人 对 数 学 严 密 思 维 的 追 求, 为 了 做 到 这 一 点, 他 们 宁 愿 放 弃 一 时 难 以 严 密 的 代 数, 而 把 全 部 精 力 投 注 于 建 立 几 何 学 严 密 体 系 的 努 力 中, 其 结 果 是 欧 几 里 得 几 何 原 本 的 刻 意 追 求 严 格 性 又 如, 平 行 公 理 形 似 定 理 又 不 是 定 理, 在 解 决 此 悖 论 的 过 程 中 导 致 非 欧 几 何 的 产 生 正 方 形 对 角 线 与 边 长 之 比 应 该 是 一 个 数, 但 又 不 是 一 个 ( 人 们 当 时 所 理 解 的 ) 数, 从 而 引 出 了 无 理 数 由 此, 生 活 现 象 中 的 哲 学 问 题 引 发 了 数 学 从 抽 象 至 形 象 再 至 抽 象 的 变 化 而 在 这 个 过 程 中 数 学 体 现 了 其 在 解 决 生 活 现 象 中 的 哲 学 问 题 方 面 的 独 到 之 处 3. 用 数 学 说 话! 语 言 学 和 数 学 都 是 有 相 当 长 历 史 的 古 老 学 科 语 言 学 历 来 被 看 做 典 型 的 人 文 科 学, 数 学 则 被 许 多 人 看 成 是 最 重 要 的 自 然 科 学 在 学 校 的 教 育 中 它 们 似 乎 成 了 两 个 极 点 : 一 个 极 点 是 作 为 文 科 代 表 者 的 语 文, 一 个 极 点 是 作 为 理 科 代 表 者 的 数 学, 所 以, 在 一 般 人 看 来, 语 文 和 数 学 确 实 是 两 个 毫 不 相 干 的 学 科 但 是, 一 些 有 远 见 卓 识 的 学 者 却 慧 眼 独 具, 敏 锐 地 看 出 了 语 言 和 数 学 之 间 的 联 系 早 在 9 世 纪 中 叶, 就 有 人 提 出 过 用 数 学 来 研 究 语 言 现 象 的 想 法 例 如,847 年, 俄 国 数 学 家 布 里 亚 柯 夫 斯 基 (В.Я.В у л я к о в с к и й ) 认 为 可 以 用 概 率 论 来 进 行 语 法 词 源 及 语 言 历 史 比 较 的 研 究 904 年, 波 兰 语 言 学 家 Baudouin de Courtenay 博 杜 恩 德 古 尔 特 内 (Baudouin de Courtenay) 认 为, 语 言 学 将 日 益 接 近 精 密 科 学, 语 言 学 将 根 据 数 学 的 模 式, 一 方 面 更 多 地 扩 展 量 的 概 念, 一 方 面 将 发 展 新 的 演 绎 思 想 的 方 法 933 年, 美 国 语 言 学 家 布 龙 菲 尔 德 (L.Bloomfield) 提 出 了 一 个 著 名 的 论 点 : 数 学 不 过 是 语 言 所 能 达 到 的 最 高 境 界 数 学 与 语 言 学 的 结 合 过 程 中, 艾 伦 图 灵 (Alan Mathison Turing) 可 谓 功 不 可 没, 作 为 一 名 数 学 家, 他 于 936 年 提 出 的 算 法 计 算 模 型 被 认 为 是 现 代 计 算 机 科 学 的 基 础, 而 这 些 研 究 直 接 推 动 了 科 学 界 有 关 有 限 自 动 机 和 正 则 表 达 式 的 研 究, 这 些 研 究 都 与 语 言 的 形 式 化 描 述 有 着 密 切 关 系, 此 后 不 久, 数 学 与 计 算 机 科 学 相 结 合 被 大 量 地 应 用 于 语 言 学 研 究 除 此 之 外, 我 国 学 者 提 出 的 语 言 演 变 有 阶 无 界 理 论, 方 言 相 似 度 计 量 研 究 也 是 数 学 方 法 在 历 史 语 言 学 方 言 学 等 很 多 领 域 中 的 应 用 总 而 言 之, 自 然 语 言 处 理 要 求 建 立 形 式 化 算 法 化 程 序 化 实 用 化 的 语 言 模 型, 这 些 都 离 不 开 数 学, 都 必 须 使 用 数 学 方 法 来 分 析 和 描 述 语 言, 而 这 一 过 程 所 产 生 的 反 作 用 就 是, 数 学 也 被 形 象 化 生 活 中 语 言 无 处 不 在, 作 为 交 流 方 式, 我 们 对 语 言 形 象 化 的 要 求 不 言 而 喻 而 如 上 所 述 数 学 在 它 形 象 化 的 过 程 中 为 语 言 的 发 展 与 研 究 做 出 了 巨 大 贡 献 4. 结 语 数 学 本 身 是 抽 象 的, 但 它 本 身 的 存 在 需 要 现 实 世 界 作 为 依 托 而 正 是 由 于 这 种 依 托, 数 34

35 0 年 月总第 7 期 学也是 形象 的 没有数学 对于世界的认识将是混沌和无序的 数学的魅力不仅仅在于 运算过程中的奇思妙想与运算结果的巧合与神奇 更在于形象的数学在生活中为无数人带来 的或快捷 或整齐 或明知其然却对其所以然百思不得其解的奇妙体验 众所周知 数学是一门抽象的科学 但我更想说 数学同时也是一门形象的艺术 参考文献 [] 抽象中的形象 张远南 [] 从芝诺悖论看哲学思辨与辩证法的意义 田野 有关芝诺悖论的哲学思辩 [3] 语言学中的数学方法 冯志伟 关于数字黑洞问题的探索和推广 李盈 (数学科学学院 数学专业 伯苓班 00099) 摘 要:数字黑洞指的是某种运算 这种运算一般限定从某些整数出发 反复迭代后 结果必然落入一个点或若干点 本文列举了数字黑洞 并对数字黑洞 495 和 674 进行了严谨的证明 之后对这样的数字黑洞问题进行了推广的思考 并从中总结出 了一些数学思想,体现了数字的神奇及 关键词:数字黑洞;证明;推广;数学思想 数字黑洞的定义 黑洞原是天文学中的概念 表示这样一种天体 它的引力场是如此之强 就连光也不能 逃脱出来 数学中借用这个词 指的是某种运算 这种运算一般限定从某些整数出发 反复 迭代后结果必然落入一个点或若干点 列举几种不同的数字黑洞. 数字黑洞 3 任取一个正整数 将这个数中偶数的个数放在新的数的第一位 首位 将这个数中奇 数的个数放在新的数的第二位 将这个数中奇数的个数和偶数的个数的和放在新的数的第三 位 末位 对由 3 4 步构成的新的数依次循环进行操作 3 4 步 如此进行 最后结果必然停留在数 3 例 所给数字 第一次计算结果 448 第二次计算结果 303 第三次计算结果 3. 数字黑洞 495 请随机找一个三位数 要求个 十 百位数字不相同 且每一位都不能为 0 如 不允 许选 等 那么你把这三个数字递减排列 得出最大数 把这三个数字 递增排列 得出最小数 再用最大数减最小数 得到一个新数 再依次重复 3 4 步 最 后结果总会得到 495 这个数字 举例 35

36 0 年 月总第 7 期 输入 35 排列得 53 和 35 相减得 97 再排列得 97 和 79 相减得 693 排列得 963 和 369 相减得 594 再排列得 954 和 459 相减得 四位数的数字黑洞 674 把一个四位数的四个数字由小至大排列 组成一个新数 又由大至小排列 组成一个新 数 这两个数相减 之后重复这个步骤 只要四位数的四个数字不重复 数字最终便会变成 674 例如 = = = 674 而 674 这个数也会变成 = 数字黑洞 53 任意找一个 3 的倍数的数 先把这个数的每一个数位上的数字都立方 再相加,得到一 个新数 然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方 求和 得到一个新数 重复运算下 去 就能得到一个固定的数 53 称它为 数字黑洞 举例 63 是 3 的倍数 按上面的规律运算如下 =6+7=43, =8+64+7=99, 9 +9 =79+79=458, = = =35, =53, =53, 现在继续运算下去,结果都为 53,如果换另一个 3 的倍数,试一试,仍然可以得到同样的 结论,因此 53 被称为一个数字"黑洞". 3 严谨的证明 3. 数字黑洞 495 的证明 请随机找一个三位数 要求个 十 百位数字不相同 且每一位都不能为 0 如不允许选 等 那么你把这三个数字递减排列 得出最大数 把这三个数字递增 排列 得出最小数 再用最大数减最小数 得到一个新数 再依次重复 3 4 步 最后结 果总会得到 495 这个数字 证明 三位数 各位不为 0 总共有 79 个 其中除去三个数字全相同的 余下 79-9=70 个 数字不全相同 我们首先证明 用第 3 4 步进行第一次变换把这 70 个数只变换成 8 个不同的三位 数 设 a b c 是三位数 M 的数字 并且 a b c 因为它们不全相等 上式中的等号不能 同时成立 记 M (大)为各种排列中最大数 M (小)为各种排列中最小数 我们计算 M(大)=00a+0b+c M(小)=00c+0b+a 第一次变换后 M(大)-M(小)=00(a-c)+(c-a)=99(a-c) 我们注意第一次变换后的数仅依赖于 a c 的值 因为数字 a b c 不全相等 因此 由 a b c 可推出 a c ０ 这就意味着 a c 可以取,,,8 八个值 即对于第一次变换之后的数 99(a-c)只有 8 种情况 a-c 为 至 8 时为这八种情况 因而第一 次变换后的数分别为 对于 099 的情况变换一 次得 89 即转化为 98 的情况) 对于以上八种情况分别进行题中运算 最终结果均为 数字黑洞 674 的证明 任取一个四位数 只要四个数字不全相同 按数字递减顺序排列 构成最大数作为被减 36

37 0 年 月总第 7 期 数 按数字递增顺序排列 构成最小数作为减数 其差就会得 674 如不是 674 则按上 述方法再作减法 证明 设 M 是一个四位数而且四个数字不全相同 把 M 的数字按递减的次序排列 记作 M(减) 然后再把 M 中的数字按递增次序排列 记作 M(增),记差 M(减)-M(增)=D 从 M 到 D 是经过 上述步骤得来的 我们把它看作一种变换 从 M 变换到 D 记作 T(M)= D 把 D 视作 M 一 样 按上述法则做减法得到 D 也可看作是一种变换 把 D 变换成 D 记作 T(D)= D 同样 D 可以变换为 D3 D3 变换为 D4 既 T(D)= D3, T(D3)= D4 4 4 四位数总共有 0 =0000 个 其中除去四个数字全相同的 余下 0-0=9990 个数字不 全相同 我们首先证明 变换 T 把这 9990 个数只变换成 54 个不同的四位数 设 a b c d 是 M 的数字 并 a b c d 因为它们不全相等 上式中的等号不能同时成立 我们计算 T(M) M(减)=000a+00b+0c+d M(增)=000d+00c+0b+a T(M)=D=M(减)-M(增)=000(a-d)+00(b-c)+0(c-b)+d-a =999(a-d)+90(b-c) 我们注意到 T(M)仅依赖于 a-d 与 b c 因为数字 a b c d 不全相等 因此由 a b c d 可推出 a-d ０而 b-c ０ 此外 b c 在 a 与 d 之间 所以 a-d b-c 这就意味着 a-d 可以取,,,9 九个值 并且如果它取这个集合的某个值 n b-c 只能取小于 n 的值 至多取 n 例如 若 a-d= 则 b-c 只能在０与１中选到 在这种情况下 T(M)只能取值 = =089 类似地,若 a-d=, T(M)只能取对应于 b-c=0,, 的三个值 把 a-d=,a-d=, a-d=9 的情况下 b-c 所可能取值的个数加起来 我们就得到２ ３ ４ 0 54 这就是 T(M)所可能取的值的个数 在 54 个可能值中 又有一部分是数码相同仅仅是数 位不同的值 这些数值再变换 T(M)中都对应相同的值 数学上称这两个数等价 而在 T(M) 的 54 个可能值中 只有 30 个是不等价的,它们是 9990,998,997,9963,9954,980,97,96,953,944,880,8730,87,8640,86, 8550,853,844,773,764,763,755,7533,7443,664,655,6543,5553,5544 对于这 30 个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,最后出现 674 这个数 证 毕 4 延伸思考 4. 思考 此游戏规则对于五位数或 n 位数的情况有什么类似的结论吗 对于五位数或 n 位数的情况的结论应该怎样证明呢 有类似方法的证明吗 4. 延伸问题的探索 对于五位数 任取一个五位数 只要五个数字不全相同 按数字递减顺序排列 构成最 大数作为被减数 按数字递增顺序排列 构成最小数作为减数 不断地按照上述方式运算 反复迭代结果落入若干个数循环的情况 证明 37

38 0 年 月总第 7 期 5 5 四位数总共有 0 =0000 个 其中除去五个数字全相同的 余下 0-0=99990 个数字不 全相同 我们首先证明 变换 T 把这 个数只变换成 54 个不同的四位数 设 a b c d e 是 M 的数字 并 a b c d e 因为它们不全相等 上式中的等号不能同时成立 我们计算 T(M) M(减)=0000a+000b+00c+0d+e M(增)=0000e+000d+00c+0b+a T(M)=D=M(减)-M(增)=0000(a-e)+000(b-d)+0(d-b)+e-a=9999(a-e)+990(b-d) 我们注意到 T(M)仅依赖于 a-e 与 b d 因为数字 a b c d,e 不全相等 因此 由 a b c d e 可推出 a-e ０而 b-d ０ 此外 b d 在 a 与 e 之间 所以 a-e b-d 这就意味着 a-e 可以取,,,9 九个值 并且如果它取这个集合的某个值 n b-c 只能取小于 n 的值 至多取 n 所可能取值的个数 加起来 我们就得到 54 在 54 个可能值中 又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值 这些数值再变换 T(M) 中都对应相同的值 数学上称这两个数等价 在 54 个可能值中 只有 30 个是不等价的, 它们是 即任一个五位数经过一次变化可化为以上 30 种情形 分别继续进行 结果进入循环 循环有三种 因此 五位数的情况即为数字黑洞中反复迭代结果落入若干个数循环的情况 4.3 猜想推测 多位数的情况会变得复杂 结果可能出现反复迭代某种运算 结果落入若干个数 循环的数字黑洞的情形 证明的方法运用字母代替数和枚举的数学思想 5 数学思想及方法总结 关于数字黑洞问题的探索过程中体现的数学思想 随机值尝试 当一个问题无从下手时 我们可随机选取符合条件的数进行尝试 观察分析能得出什么 结论 如在寻找数字黑洞问题中四位数的规律时 先随机尝试几个四位数 快速地算出结果 发现都是 674 这个结果 这样有助于确立证明的方向和思路 由浅入深的思想 从三位数的数字黑洞 495 和四位数的数字黑洞 674 到延伸思考中五位数和 n 位数的 思考 是由简单到复杂 由浅入深 一步步的探索 其中三位数和四位数的情况迭代结果都 落到一个点 进而对五位数的探索和尝试中发现 五位数迭代的结果是落入某个循环 与数 字黑洞定义中落入若干个点的情况相符 更加完善了对数字黑洞问题的思考 3 字母代替数 证明时需要严谨 不能简单由于一些特殊的数字符合结论而确定这个结论对任何数都成 立 因此在证明中用字母代替数可以使证明具有说服力和准确性 通过字母代替数的方法可 以有效地分类 减少计算量 并便于对各种情况进行分析 6 对数学文化的认识 数学是思维的工具 数学是任何人分析问题和解决问题的思想工具 这是因为 首先 38

39 0 年 月总第 7 期 数学具有运用抽象思维去把握实在的能力 数学概念是以极度抽象的形式出现的 在现代数 学中 集合 结构等概念 作为数学的研究对象 它们本身确是一种思想的创造物 与此同 时 数学的研究方法也是抽象的 这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上 而必须 依赖于演绎证明 数学家像是生活在一个抽象的数学王国中 然而他们在数学王国的种种发 现 即数学结构内部和各种结构之间的规律性的东西 最终还是现实的摹写 而数学应用于 实际问题的研究 其关键还在于能建立一个较好的数学模型 建立数学模型的过程 是一个 科学抽象的过程 即善于把问题中的次要因素 次要关系 次要过程先撇在一边 抽出主要 因素 主要关系 主要过程 经过一个合理的简化步骤 找出所要研究的问题与某种数学结 构的对应关系 使这个实际问题转化为数学问题 在一个较好的数学模型上展开数学的推导 和计算 以形成对问题的认识 判断和预测 这就是运用抽象思维去把握现实的力量所在 数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性 是使认识从感性阶段发展到理性阶 段 并使理性认识进一步深化的重要手段 在数学中 每一个公式 定理都要严格地从逻辑 上加以证明以后才能够确立 数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑法则 以保证从前提到结 论的推导过程中 每一个步骤都在逻辑上准确无误 所以运用数学方法从已知的关系推求未 知的关系时 所得结论有逻辑上的确定性和可靠性 数学的逻辑严密性还表现在它的公理化 方法上 以理性认识的初级水平发展到更高级的水平 表现在一个理论系统还需要发展到抽 象程度更高的公理化系统 通过数学公理化方法 找出最基本的概念 命题 作为逻辑的出 发点 运用演绎理论论证各种派生的命题 牛顿所建立的力学系统则可看成自然科学中成功 应用公理化方法的典型例子 总之 数学是一种文化 一种理性的文化 随着科学的进步 社会生活的丰富 数学文 化的魅力将越来越强烈 其永恒的 真理性的价值功能将更加的明显 参考文献 [] 好玩的数学 作者 谈祥柏 出版社 科学出版社 [] 无处不在的科学丛书 编委会编著 上海世界图书出版公司 [3] 数学哲学与数学文化 陕西师范大学出版社 黄秦安 39

40 0 年 月总第 7 期 随机现象中的秩序 数理统计的发展 彭伟瑶 经济学院 国际经济与贸易系 摘 要 随着社会 经济和科学技术的发展 统计在现代化国家管理和企业管理中的 地位 在社会生活中的地位越来越重要了 人们的日常生活和一切社会生活都离不开统计 然而统计学能成就如今的局面 关键在于数学的引入 这样统计学才上升为对一般规律的认 识 进而对现实生活有了指导意义 本文从数理统计的发展历史入手 层层分析统计学是如 何依靠其中引入的数学 逐步发展成为现在这样一门对现实生活有重大指导意义的学科的 关键词 大数定律 正态分布 中心极限定理 小样本 天地万物的运行都有其各自的规律 我们人类的发展历程就是对世间万物运行规律的认 知不断加深的过程 在认知事物的过程中 有的规律我们能很明显的观察到 如太阳总是东 升西落 但还有一些事物 它们的发生似乎是飘忽不定的 如掷一枚硬币 结果是正面朝上 还是反面朝上 我们无法判断 在过去的很长一段时间里 对于这些问题背后规律的认知 人们基本上是无能为力的 只能把这些问题归结到运气上 然而随着数学的不断发展 新的 工具不断涌现 为这些问题的研究带来了一丝曙光 并最终创造出了一门具有跨时代意义的 学科 数理统计学 严格说来数理统计学只是统计学的一门分支 而统计学在很早以前就已经存在了 早在 古希腊时期 大学者亚里士多德在他撰写的 城邦纪要 中对古希腊各个城邦的历史 行政 科学 艺术 人口 资源和财富等社会和经济情况的比较 分析 这已有了统计学的影子 统计学的真正建立是在 7 世纪 在这个时期欧洲的君主和皇帝们为了自己的江山巩固 常 常需要对其统治地区的领土 人口和资源财富等进行统计 统计学就这样发展起来了 但此 时的统计学仅仅是一种数据的收集和简单处理 以此来描述事物的某些特征 它还远未达到 对事物背后规律的认识的高度 更不用说运用这些规律去进行科学地推断 预测了 它还只 是一种说明手段 没能成为一种可以用来解决问题的方法 像研究抛硬币这样的问题 光凭 描述式的统计学根本无能为力 真正使统计学成为一种研究方法 一门科学是在数理统计产 生之后 马克思曾说过一种科学只有在成功地运用数学时 才算达到完善的地步 数理统计 之所以在统计学中如此重要 正是因为它将数学引入了统计学 数理统计的数学基础是概率 论 概率论中许多结论是数理统计得以建立的基石 只有在概率论发展完善之后数理统计才 有可能出现 要想了解数理统计就必须对概率论的发展历史有一个清楚的认识 概率论起源于赌博 在 5 世纪的意大利和法国 赌博盛行 其中最为流行的方式是掷 骰子赌点数 一些职业赌徒 为求增加获胜的机会 迫切需要计算取胜的思路 645 年 一位法国的赌徒德梅尔向当时法国著名数学家帕斯卡提出了一个在赌博中遇到的有关掷骰 子 的 问 题 将 两 颗 骰 子 掷 4 次 至 少 掷 出 一 个 双 6 的 机 遇 小 于 0.5 其 值 为 的 但从另一方面看 掷两个骰子只有 36 种等可能的结果而 4 占了 36 这似乎有矛盾 如何解释 帕斯卡对这个问题很感兴趣 为此他写信给他的好朋友 3 费马一起来讨论这个问题 经过多次通信研究 他们对此类问题获得一般的解法 在对此问 题的研究中帕斯卡和费马大量运用了组合工具和递推公式 初等概率的一些基本规律如概率 加法和乘法定理也都被用上了 组合分析就是在此时奠定的基础 原来被视为纯粹看运气的 40

41 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 赌 博 活 动 开 始 变 得 有 规 律 可 循, 数 学 原 来 可 以 这 样 被 运 用 到 实 际 中 去, 这 极 大 地 激 发 了 数 学 家 们 研 究 此 类 问 题 的 兴 趣, 欧 洲 不 少 大 数 学 家 开 始 探 讨 此 类 问 题, 相 关 的 研 究 结 果 不 断 涌 现, 概 率 论 作 为 一 门 学 科 逐 渐 成 型 73 年, 著 名 数 学 家 伯 努 利 出 版 了 一 部 具 有 划 时 代 意 义 的 著 作 推 测 术, 将 前 人 对 概 率 论 的 研 究 进 行 了 总 结, 并 把 其 从 仅 限 于 赌 博 机 遇 的 讨 论, 拓 展 到 更 广 阔 领 域 的 应 用 上 去 伯 努 利 在 这 本 著 作 的 前 三 章 对 以 前 研 究 关 于 赌 博 机 遇 问 题 的 成 果 作 了 系 统 化 和 深 化, 他 明 确 地 指 出 了 有 重 复 操 作 的 博 弈, 每 次 重 复 的 事 件 应 该 是 独 立 且 概 率 不 变 的, 如 今 符 合 这 样 条 件 的 模 型 就 被 称 作 伯 努 利 概 型 他 严 格 证 明 出 了 二 项 分 布 概 率 公 式 P m m m nm Cn p q, 开 创 了 通 过 无 穷 级 数 求 和 去 计 算 概 率 的 方 法 他 首 次 引 入 了 排 列 的 概 念, 在 组 合 方 面 他 较 系 统 的 研 究 了 组 合 系 数 就 此 概 率 论 不 再 只 是 一 种 对 于 赌 博 取 胜 概 率 的 计 算 了, 它 已 经 成 为 了 反 应 各 种 符 合 伯 努 利 概 型 的 事 件 的 一 般 规 律 了 更 为 重 要 的 是, 在 推 测 术 的 第 四 章, 伯 努 利 证 明 了 如 今 被 我 们 称 为 大 数 定 律 的 结 论, 即 随 着 样 本 容 量 的 增 加 样 本 频 率 将 收 敛 于 总 体 概 率 大 数 定 律 这 个 命 题 无 论 从 理 论 和 应 用 角 度 看 都 有 着 根 本 上 的 重 要 性, 可 以 说 其 影 响 一 直 达 到 今 日 都 不 衰 退 其 对 数 理 统 计 学 的 发 展 有 不 可 估 量 的 影 响, 许 多 统 计 方 法 和 理 论 都 是 建 立 在 大 数 定 律 的 基 础 上, 它 可 以 说 是 整 个 数 理 统 计 的 基 础 推 测 术 的 出 版, 标 志 着 概 率 论 漫 长 形 成 过 程 的 终 结 和 数 学 概 率 论 的 开 端 伯 努 利 曾 指 出 : 无 限 地 连 续 进 行 试 验, 我 们 终 能 正 确 地 计 算 任 何 事 物 的 概 率, 并 从 偶 然 现 象 之 中 看 到 事 物 的 秩 序 但 是, 直 到 去 世 他 也 未 能 表 述 出 这 种 偶 然 现 象 中 的 秩 序, 最 终 这 一 工 作 是 由 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 完 成 的 同 样 是 受 到 一 个 赌 徒 的 请 教, 棣 莫 弗 被 吸 引 进 二 项 概 率 的 研 究, 当 时 他 的 研 究 方 向 是 去 寻 找 一 个 便 于 计 算 的 二 项 分 布 概 率 的 近 似 公 式, 在 研 究 的 过 程 中 他 受 到 当 时 另 一 位 著 名 数 学 家 斯 特 灵 的 启 发 发 现 了 如 下 结 论 : 当 样 本 容 量 n 足 够 大 时, 二 项 分 布 的 概 率 P N d e d d N x dx, 即 我 们 今 天 所 说 的 棣 莫 弗 中 心 极 限 定 理 自 棣 莫 弗 的 发 现 起, 正 态 分 布 开 始 被 引 入 数 学 界, 对 于 中 心 极 限 定 理 的 一 般 研 究 就 此 展 开, 人 们 惊 奇 的 发 现 越 来 越 多 自 然 界 和 人 类 社 会 中 的 现 象 都 可 以 用 正 态 分 布 来 描 述 竞 有 那 么 多 来 源 和 性 质 都 不 同 的 数 据 符 合 这 个 分 布, 伯 努 利 所 说 的 偶 然 现 象 中 事 物 的 秩 序 真 的 成 为 了 现 实 到 0 世 纪 30 年 代, 中 心 极 限 定 理 的 最 一 般 形 式 最 终 完 成, 正 态 分 布 被 逐 渐 引 入 到 统 计 学 领 域, 统 计 学 家 发 现, 一 系 列 的 重 要 统 计 量, 在 样 本 容 量 n 趋 于 无 穷 时, 其 极 限 分 布 都 有 正 态 的 形 式, 这 构 成 了 数 理 统 计 学 中 大 样 本 方 法 的 基 础 如 今 人 们 谈 到 正 态 分 布, 绝 大 部 分 人 都 自 然 而 然 地 把 它 定 位 在 一 种 概 率 分 布 一 个 统 计 模 型 上, 但 事 实 上 在 棣 莫 弗 发 现 正 态 密 度 函 数 之 时, 它 仅 被 当 做 一 个 可 以 用 来 近 似 二 项 分 布 概 率 的 数 学 表 达 式, 甚 至 到 780 年 拉 普 拉 斯 得 到 一 般 中 心 极 限 定 理 的 形 式 时, 也 还 是 这 个 情 况 直 到 高 斯 在 809 年 提 出 正 态 误 差 的 理 论 后, 它 才 取 得 概 率 分 布 的 身 分 并 因 此 而 引 起 人 们 的 重 视, 并 随 着 后 人 在 社 会 经 济 和 遗 传 学 等 领 域 的 工 作, 其 应 用 范 围 从 测 量 误 差 被 进 一 步 拓 展 到 了 更 为 广 大 的 领 域 关 于 误 差 分 析 的 研 究 起 源 于 天 文 学, 天 文 学 家 们 通 过 观 测 获 得 的 数 据 无 可 避 免 总 是 包 含 有 一 定 的 误 差 的, 而 他 们 希 望 能 得 到 误 差 尽 量 小 的 数 据 来 进 行 他 们 对 天 体 的 研 究, 因 此 他 们 在 这 方 面 花 了 很 多 心 思 尽 管 名 面 上 是 误 差 分 析, 实 际 上 这 种 研 究 最 终 还 是 落 脚 于 概 率 分 布 的 问 题 上 : 随 机 误 差 总 是 无 法 避 免 的, 人 们 得 到 的 只 能 是 它 的 概 率 分 布 809 年 高 斯 发 表 了 其 数 学 和 天 体 力 学 的 名 著 绕 日 天 体 运 动 的 理 论, 在 此 时 末 尾, 他 写 了 一 节 有 关 数 据 结 合 的 问 题, 这 就 是 他 对 确 定 误 差 分 析 的 研 究 他 开 创 性 地 使 用 了 极 大 似 然 估 计 的 方 法, 在 承 认 样 本 均 值 为 真 实 值 得 估 计 值 的 前 提 下, 去 寻 找 误 4

42 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 差 密 度 函 数 f, 使 得 最 大 似 然 估 计 得 出 的 值 就 是 样 本 均 值 这 样 得 出 来 的 误 差 分 布 的 概 率 密 度 函 数 正 好 就 是 正 态 密 度 函 数 运 用 这 个 误 差 分 布, 很 容 易 解 释 为 什 么 算 术 均 值 是 关 于 某 个 样 本 对 真 实 值 误 差 最 小 的 估 计, 即 最 小 二 乘 法 高 斯 的 这 项 工 作 对 后 世 的 影 响 是 如 此 之 大, 以 致 人 们 都 把 正 态 分 布 称 作 高 斯 分 布 以 表 彰 他 的 贡 献 至 此, 数 理 统 计 学 所 需 的 概 率 论 基 础 已 经 基 本 成 型, 数 理 统 计 学 形 成 的 条 件 已 经 基 本 成 熟, 但 在 此 时 概 率 论 理 论 所 发 展 起 来 的 误 差 分 析 和 统 计 学 尚 属 于 两 个 完 全 不 相 干 的 领 域, 还 缺 乏 一 个 契 机 将 二 者 沟 通 起 来 而 这 个 机 会 在 9 世 纪 末 到 来 了,870 年 代 高 尔 登 用 统 计 学 的 方 法 研 究 遗 传 学, 导 致 了 统 计 学 上 的 突 破 性 进 展 回 归 和 相 关 的 发 现 和 发 展 它 不 仅 使 统 计 学 在 社 会 问 题 中 的 应 用 得 到 极 大 扩 展, 从 此 人 们 对 事 物 的 认 识 不 再 局 限 于 简 单 的 可 见 的 直 接 因 果 联 系, 任 何 具 有 相 关 性 变 化 规 律 一 致 都 可 以 被 认 知 了 ; 更 重 要 的 是 诸 如 方 差 分 析 等 问 题 中 对 于 误 差 分 析 的 需 要 将 概 率 论 顺 利 引 入 了 统 计 学 这 项 发 展 标 志 了 统 计 学 描 述 时 期 的 结 束 和 推 断 时 期 的 开 始, 统 计 学 开 始 进 入 以 数 理 统 计 为 代 表 的 现 代 阶 段 高 尔 登 在 他 的 遗 传 学 研 究 中 初 步 用 到 相 关 回 归 分 析 后, 并 未 对 其 进 行 深 入 的 研 究, 毕 竟 他 的 主 要 研 究 方 向 是 遗 传 学 但 之 后 埃 奇 沃 思 和 卡 尔 皮 尔 森 等 一 批 对 他 的 思 想 有 所 了 解 的 知 名 学 者 纷 纷 加 入 到 对 相 关 回 归 问 题 的 研 究 中, 他 们 发 展 了 高 尔 登 的 理 论 和 方 法, 使 之 达 到 一 个 相 对 完 美 的 境 地 埃 奇 沃 思 给 了 回 归 一 个 数 学 式 的 与 遗 传 无 关 的 意 义, 此 外 他 还 给 出 了 样 本 相 关 系 数 的 公 式 而 卡 尔 皮 尔 森 则 对 当 时 已 有 的 但 表 述 不 清 的 回 归 分 析 的 结 果 作 了 一 个 系 统 的 综 合 和 整 理, 并 且 他 用 极 大 似 然 法 对 相 关 系 数 做 出 了 一 种 新 的 估 计, 从 而 发 明 了 矩 估 计 法 数 理 统 计 在 诞 生 之 初, 主 要 的 研 究 方 向 在 于 大 样 本 直 到 908 年 以 前, 统 计 学 主 要 研 究 的, 先 是 社 会 统 计 问 题, 后 来 又 加 入 了 生 物 统 计 问 题 在 这 些 问 题 中 的 数 据 一 般 都 是 大 量 的 自 然 采 集 的, 所 用 的 方 法, 以 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 为 依 据, 总 是 归 结 到 正 态 有 大 必 有 小, 到 0 世 纪, 受 人 工 控 制 的 实 验 条 件 下 的 所 得 的 统 计 数 据 的 分 析 问 题, 日 渐 引 起 人 们 的 关 注, 小 样 本 问 题 开 始 逐 步 走 到 统 计 学 舞 台 的 中 心 对 于 现 代 统 计 学 来 说, 整 个 学 科 面 貌 内 容 的 确 定 就 是 在 小 样 本 问 题 得 到 解 决 后, 在 小 样 本 问 题 研 究 过 程 中 得 出 的 分 布 t 分 布 和 F 分 布 及 其 在 统 计 方 法 中 的 应 用 标 志 着 现 代 统 计 学 的 成 型 分 布 最 早 是 由 物 理 学 家 麦 克 斯 威 尔 引 入 的, 他 先 导 出 气 体 分 子 运 动 速 度 在 一 个 轴 上 的 投 影 服 从 正 态 分 布 ( 均 值 0), 然 后 在 3 个 ( 正 交 ) 轴 上 速 度 投 影 独 立 的 前 提 下, 证 明 了 速 度 v 的 模 的 平 方 v 服 从 自 由 度 3 的 分 布 但 是 分 布 在 统 计 数 据 分 析 中 最 初 的 重 要 应 用, 是 卡 尔 皮 尔 森 900 年 提 出 拟 合 优 度 检 验 后 但 此 时 统 计 学 界 中 对 于 小 样 本 问 题 的 研 究 根 本 不 屑 一 顾, 这 时 的 主 流 思 想 仍 是 威 尔 森 学 派 强 调 的 由 自 然 观 察 得 来 的 大 量 数 据 的 统 计 处 理 一 直 到 了 908 年, 英 国 著 名 统 计 学 家 哥 斯 特 以 笔 名 student 在 杂 志 生 物 计 量 上 发 表 了 一 篇 具 有 划 时 代 意 义 的 文 章 均 值 的 或 然 误 差, 第 一 次 提 出 了 t 分 布, 创 立 了 小 样 本 代 替 大 样 本 的 检 验 方 法, 小 样 本 问 题 才 第 一 次 被 提 上 了 统 计 学 家 们 的 研 究 日 程 随 后 英 国 统 计 学 家 费 歇 尔 对 哥 斯 特 的 结 果 给 出 了 严 格 的 证 明, 并 推 广 了 t 检 验 法, 用 n 维 几 何 处 理 抽 样 分 布 随 着 小 样 本 理 论 的 进 度, 其 重 要 意 义 日 益 为 统 计 界 所 理 解, 特 别 是 t 分 布 的 意 义, 因 为 这 个 分 布 以 后 多 次 出 现 在 一 些 重 要 统 计 量 4

43 0 年 月总第 7 期 分布的结果中 于是后来统计界将哥斯特尊为小样本理论的开创者和鼻祖 而费歇尔 所作出的贡献远不只限于完善了 t 分布 作为 0 世纪成就最大的统计学家 费歇尔是 现 代 统 计 学 由 卡 尔 皮 尔 森 所 代 表 的 旧 时 代 转 向 由 他 自 己 代 表 的 新 时 期 中 的 关 键 人 物 他对统计学的贡献是多方面的 在他罗森斯得农业实验站工作期间 为农业试验 上的需要发展了一整容试验设计的思想 包括随机化 区组 重复 混杂和多因素试 验等 奠定了数理统计学中有极大实用价值的分支 试验设计 并从理论上奠定了 分析这种实验数据的方法 方差分析法的基础 费歇尔的另一个重要贡献就是 F 分 布的推导 从而奠定了统计学中方差分析思想的基础 至此作为统计学基础的几大重要概率分布模型已成型 接下来比较重要的就是作 为研究方法的两大基础分支的参数估计和假设检验了 参数估计对于数理统计可以说 是 与生俱来 的 人们辛苦对数据进行这么多的处理 为的不就是估计点什么吗 但在早期 人们对于参数和统计量的混淆 使得人们做着参数估计的事却又完全不自 知 如赌博问题中去用频率估计概率 样本均值估计总体均值 但有两件大事的发生 使得参数估计明确的成为统计学中独立的一支 一件就是自 894 年起卡尔 皮尔逊 提出他的分布族 及为确定族中参数值而提出的矩估计法 另一件是 9 年费歇尔 在 关于拟合频率曲线的一个绝对准则 一文中提出了极大似然估计法 它们使参数 估计脱胎于对特定问题研究的方法 成为一个一般性的框架 假设检验的理论体系建 立虽是在现代统计学出现之后 但同样源自于卡尔 皮尔逊和费歇尔两位大师之手 从某种意义上来说 成型的时间并不晚于参数估计真正成型的时间 在假设检验的研 究中 卡尔 皮尔森在讨论 分布时所用到的拟合优度这个指标 就是一个用来反应 数据和假设之差异的量 而他的关于讨论拟合优度问题的文章也被视为假设检验的开 山之作 而费歇尔在讨论 t 分布和 F 分布时 同样也涉及到了不少关于假设检验的问 题 他的关于假设检验的主要著作包括 3 篇论文 回归公式的拟合优度及回归系数 的分布 (9 年) 关于一 个引 出若干 周知 统计量 的误 差函数 的分 布 (94)及 Student 分布的应用 (95) 另外还有两本著作 发表于 95 年的 研究工作 者用的统计方法 其中有好几章的内容与假设检验有关 包括拟合优度检验 均值 和回归系数的显著性检验 方差分析及其应用等 主要通过数字实例来演示统计方法 的使用 另一本是发表于 936 年的 试验设计 其中发挥了他的显著性检验的思想 到此为止数理统计学的基本面貌也就大概确定下来了 我们今天所学习的数理统 计的内容差不多在这个时期就都已经出现了 整个理论的框架外壳已经搭好 只是剩 下一些边边角角需要去填补了 并且后来计算机的发明使得人类的计算能力有了一个 极大的飞跃 而以数据处理为中心的统计学自然也得到了飞速的发展 统计学理论在 实际生活中的运用得到极大的推广 统计学的数学气氛也越来越浓 其主要研究方向 日益集中到数学理论研究上 像早期统计学的领军人物那样主要研究领域在别的学科 而不是 专职 于数理统计的现象基本没再出现过了 数理统计学家成了一个专门的 职业 专心于纯数学的研究让统计学的发展越来越快 研究的内容也越来越深入到物 质运动的本质性的规律中去了 随着经济社会的发展 各学科相互融合趋势的发展和计算 机技术的迅速发展 统计学的应用领域 统计理论与分析方法也必将不断发展 在所有领域 展现出它强大的生命力和重要的作用 参考文献 [] 陈希孺. 数理统计学简史. 湖南教育出版社 43

44 0 年 月总第 7 期 从 说起 刘威 经济学院 经济学 058 要:就 ,本文由浅入深地给出一系列证明,并由论证该等式成立的相对 性延伸到实数理论有关的数学基础问题,对 0 与无穷小的关系作出简单探讨. 关键词: 数系;阿基米德公理;无穷小;第二次数学危机;实无穷 摘 由早期的芝诺悖论到现今 sci.math 上的讨论, 是否等于 向来是数学界争论不休 的问题.目前该等式已有各式各样的证明, 也已被广泛接受.下面试给出一些证 法. 代数方法. 分数证明 一个常见的证明如下: , , 类似地,还存在 以及 等证法. 另有利用长除法,通过对一个数除以其自身,商得 来证明,在此不一一赘 述. 这类证明乍看简明有理,但就逻辑而言根本站不住脚.998 年,弗雷德 里奇曼 Fred Richman 在 数学杂志 Mathematics Magazine 上的文章 等于 吗? 中 说到: 这个证明之所以如此具有说服力,要得益于人们想当然地认为第一步是对的,因为第 等于 与 等于 其实别无 3 二致.正如很多人会认为 只能越来越接近 而并不能精确地等于 一样, 无 限接近但并不等于 的争议依旧存在.问题并没有解决. 3 一步的等式从小就是这么教的. 的确,. 位数证明 大卫 福斯特 华莱士 David Foster Wallace 在他的 Everything and More 一书中 介绍了另一个著名的证明: x , 令 0 x 那么 9x 9, 两式相减 得 x, 44

45 0 年 月总第 7 期 故 威廉 拜尔斯 William Byers 在 How Mathematicians Think 中评价这个证明: 既可以代表把无限个分数加起来的过程,也可以代表这个过程的结果.许多学生 仅仅把 看作一个过程,但是 是一个数,过程怎么会等于一个数呢?这就是数学中的 二义性 他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数.看了上面这个证明而相 信等式成立的学生,可能还没有真正懂得无限小数的含义,更不用说理解这个等式的意义 了..3 竖式证明 , 9 n , 8 n n, 9 n, 设 从而 解得 即 笔者认为,以上几种证明共有的弱点在于缺乏扎实的数学根据;究其根本而言,无限小数 的运算未经定义即被用作证明: 如何与 3 相乘?它与 又如何相加?从哪一位 算起?进位作何处理?华莱士证法中两式相减在无穷远点中作何处理?乘 0 后的 0 作为末位 是否可以忽略?等等.以上证法虽有一定的说服力,其结论的严谨性并不能得到保证. 数学分析方法. 等比级数 先看这样一种解法: 如果我们把 视为无穷项等比数列的和,不难想象, a ( q n ) a 等比数列的求和公式为 Sn (n N ).当 q, n 时,该式极限为. q q 由此可知 如果作进一步思考,一个数的展开式可以看作是级数求和的结果.在此例中, 运用等比级数 的收敛定理:若 r,则 ar ar ar... 3 ar, 可知, r 这个证明最早出现在 770 年数学家欧拉 Leonhard Euler 的 代数的要素 (Elements of Algebra 中,不过当时他证明的是 需要指出的是,该证明有赖于级数的和定 义,即一个级数的和为数列的部分和的极限,因而后来又出现更简洁,也是一定程度上公认正 确的证法: 45

46 0 年 月总第 7 期 9 lim 0 n lim0 n, k n n n 0 k n lim lim n 其中 n 为小数点后 9 的位数.. 区间套 区间套定理保证,只要给出了一个长度趋近于零的闭区间套序列,那么这些区间套的交 集就正好是一个实数. 98 年,巴图 Robert G. Bartle 和谢波特 D. R. Sherbert 在 实分析引论 (Introduction to Real Analysis 中给出了一个区间套的证明: 给定一组区间套,则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中; 对应于区间套 0,, 0.9,, 0.99,, 0.999,..., 而所有这些区间的唯一交点就是,所以 戴德金分割 考虑全体有理数集,将它分拆为两个非空集合 A, A,也就是说,满足: ⑴任一有理数,必在且仅在 A 及 A 之一中出现; ⑵集 A 内的任一有理数 a,必小于集 A 内的任一有理数 a.记为 A A,称为戴德金分割,其 中 A 称为分划的下组, A 为分划的上组. 根据定义,一个实数 x 就是一个分割 A A 用其下组 A 来定义.实际上,在戴德金分割 的方法中,每一个实数 x 定义为所有小于 x 的有理数所组成的无穷集合. 在此例中, 实数 是有理数 r 的集合 使得 r 0 或 r 0.9 或 r 0.99 n 或 r 0 其它具有形式的数 的每一个元素都小于,因此它是实数 的一个元 素; 与此同时 中的一个元素为有理数 a 且 b a, b 也就意味着 a 0 b. b 和 包含相同的有理数,因此它们是相同的集合,从而 这一证法思想可以简单归纳为:所有比 小的有理数都比 小,而可以证明所有 小于 的有理数总会在小数点后某处异于 因而小于 ,这说明 和 的戴德金分割是一模一样的集合,从而 柯西序列 定义实数为具有柯西序列性质的有理数序列,那么每一个实数都是一个柯西收敛的数列 x, x, x3,. 设 xn 和 yn 是两个柯西数列,如果数列 xn yn 有极限 0,这两个数列 便定义为等价的. 实际上,由于 46

47 0 年 月总第 7 期 lim0 n 0, n 所 以 有 理 序 列 0, 0.9, 0.99, 即,0.,0.0, 的 极 限 为 0, 从 而 两 序 列 等 价, 其他证法 5. 反证法 显然 ,假设 ,那么 0.999,则必有正数 P 使得 P. 但对任意正数 P,必有 P,所以假设不成立, 中值与连续性 给定两数 x, z,若 x z 设 x z,必然存在 y,使得 x y z,特别地, y 的一个取值 为 x z. 推论:给定实数 m, n 设 A m n,若 m A,则 m n. m , n, 取 则 即 A m, m n, 简单归纳 减法证明 若 a b 0,则 a b , 此处 为每一位均为 0 的无限循环小数,在数值上等于 0. 人们往往容易误解此等式,认为其结果为 ,即在小数点后无限位存在一个.此 说法的另一种形式是: 无限接近 但是永远不能达到,因为无论 走到多远, 总能在其后面加上一个 9,使其更接近,因此 与 总是 差那么一点儿. 这种说法 的谬误 正如拜尔斯所说 在于没有正确地理解无限循环小数的真正含义: 是一个 结果而非过程;是一个定值而非不定值.在这个意义上, 后始终没有一位能填上 ;更 47

48 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 无 所 谓 在 后 面 加 上 9, 因 为 这 个 9 本 身 就 存 在 是 否 等 于, 问 题 的 核 心 是 0 与 无 穷 小 的 关 系. 康 托 尔 曾 经 证 明 过 承 认 无 穷 小 的 数 的 概 念 与 实 数 中 的 阿 基 米 德 公 理 是 相 互 矛 盾 的 ( 由 阿 基 米 德 公 理 可 得 的 一 个 推 论 是, 如 果 一 个 非 负 数 比 任 何 正 数 都 小, 这 个 数 即 为 0 ). 以 上 证 明 从 根 本 上 就 依 赖 于 标 准 实 数 的 阿 基 米 德 公 理. 阿 基 米 德 公 理 不 承 认 非 零 的 无 穷 小, 然 而 数 学 中 确 然 存 在 的 非 阿 基 米 德 的 有 序 代 数 结 构 无 疑 为 提 供 了 可 能 性, 超 实 数 便 是 一 例. 在 非 标 准 分 析 中, 无 穷 小 量 和 实 数 一 样 被 视 为 具 体 的 数, 这 些 数 比 0 大, 但 比 任 何 实 数 都 小. 再 谈 到 无 穷 小 与 0 的 关 系, 值 得 一 提 的 是 著 名 的 贝 克 莱 悖 论. 笼 统 地 说, 贝 克 莱 悖 论 可 以 表 述 为 无 穷 小 量 究 竟 是 否 为 0 的 问 题 : 就 无 穷 小 量 实 际 应 用 ( 主 要 是 微 积 分 ) 而 言, 它 必 须 既 是 0, 又 不 是 0. 但 从 形 式 逻 辑 而 言, 这 无 疑 是 一 个 矛 盾. 这 一 问 题 的 提 出 在 当 时 的 数 学 界 引 起 了 混 乱, 进 而 导 致 了 第 二 次 数 学 危 机 的 产 生. 直 到 十 九 世 纪 七 十 年 代 初, 外 尔 斯 特 拉 斯 戴 德 金 康 托 尔 等 人 独 立 地 建 立 了 实 数 理 论, 而 且 在 实 数 理 论 的 基 础 上 建 立 起 极 限 论 的 基 本 定 理, 才 使 数 学 分 析 得 以 建 立 在 实 数 理 论 的 严 格 基 础 之 上. 上 文 提 及 的 戴 德 金 分 割 与 柯 西 序 列 即 为 从 构 建 实 数 的 角 度 给 出 的 证 明 究 竟 等 不 等 于, 这 个 问 题 仍 然 是 第 二 次 数 学 危 机 的 延 续. 除 了 涉 及 到 无 穷 小 是 否 为 0 外, 还 可 以 引 申 到 实 无 穷 和 潜 无 穷 的 争 论 以 及 数 学 分 析 的 基 础 实 数 理 论 的 问 题. 前 者 成 为 破 解 芝 诺 悖 论 的 基 石, 事 实 上, 实 数 理 论 体 系 承 认 实 无 穷, 的 成 立 便 有 赖 于 这 一 框 架 ; 而 对 后 者 的 研 究 不 仅 导 致 集 合 论 的 诞 生, 并 且 由 此 将 数 学 分 析 的 无 矛 盾 性 问 题 归 结 为 实 数 理 论 的 无 矛 盾 性 问 题, 而 这 正 是 二 十 世 纪 数 学 基 础 中 的 首 要 问 题. 从 在 完 备 实 数 系 的 成 立 到 非 标 准 分 析 与 超 实 数 概 念 的 提 出, 从 微 积 分 学 基 础 重 建 第 二 次 数 学 危 机 的 基 本 解 决, 到 各 大 BBS 上 网 友 对 这 一 等 式 的 激 烈 讨 论, 数 学 以 其 难 以 媲 美 的 深 度 与 广 度 精 妙 的 逻 辑 与 联 系 为 我 们 提 供 了 无 限 的 可 能 性 它 既 是 欧 几 里 得 式 的 严 谨 的 科 学, 同 时 也 对 数 学 家 的 想 象 力 提 出 极 高 的 要 求. 看 似 简 单 的 等 式 证 明 牵 动 了 实 数 系 统 的 根 基, 而 对 条 件 加 以 微 调 往 往 能 颠 覆 即 便 是 长 期 的 刻 板 认 识, 这, 也 许 正 是 数 学 学 科 的 魅 力 所 在. 参 考 文 献 : [] Euler, Leonhard. Elements of Algebra. 3rd English edition. Orme Longman. 8 [] Tall, David. Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology. Mathematics Education Research Journal [3] Wallace, David Foster. Everything and more: a compact history of infinity. Norton. 003 [4] Richman, Fred. Is =?. Mathematics Magazine. December 999 [5] Byers, William. How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics, st edition. Princeton University Press. 007 [6] Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. Introduction to Real Analysis, 3rd Edition. Wiley

49 0 年 月总第 7 期 函数一致连续性的判定及其应用 孙婳 经济学院 经济学系 0504 摘 要 本文从函数连续与一致连续的基本概念和关系出发 主要对一元函数在不同 类型区间上一致连续的判定方法进行了讨论 总结和应用 并且推广到二元函数在有界闭区 域一致连续性的判定 使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和掌握 关键词 函数 连续 一致连续 函数一致连续性的理论是数学分析课程的重要理论 弄清函数的一致连续性的概念和熟 练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键 一般的经济类数学分析教材中只给 出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的康托尔定理 内容篇幅较少 不够全面 和深入 因此 本文在经济类数学分析教材中这一部分内容的基础上 结合一部分其他资料 对一致连续性的概念和判定方法作一个比较系统和全面的总结. 函数连续与一致连续的关系. 函数连续与一致连续的区别.. 函数连续的局部性 定义 函数 f ( x) 在 x0 的某邻域 U x0 内有定义 则函数 f ( x) 在点 x0 连续是指 0 0 使得当 x x0 时 有 f ( x) f ( x0 ). 那么 函数 f ( x) 在点 x0 处连续 是否意味着 f ( x) 在 x0 的邻域内连续呢 或者说其图像在 此邻域上连绵不断呢 回答是否定的 如函数 y xd( x) 只在 x 0 一点处连续 函数 y ( x )(x )D (x )仅在 x x 两点连续 这表明 连续 仅仅是一个局部概念 函数在点 x0 处连续的定义不能完全反映 连续 二字的本意 不能仅从字面去理解 f ( x) 在 x0 连续 函数的连续性是一种按点而言的连续性 它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质 当且仅当 f ( x) 在 x0 的邻域 U ( x0, ) 内每 一点都连续 才能说 f ( x) 在 x0 的邻域内连续.. 函数一致连续的整体性 连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象 在连续函数中 一致连续的函数是一类重要的函数 因此 判定一个函数在其定义域内是否一致连续 是数 学分析的一个重要内容之一 定义 设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义 若对 0 ( ) 0 x, x I 49

50 0 年 月总第 7 期 只要 x x 就有 f ( x ) f ( x ) 则称函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续 如果 的大小只与给定的 有关 而与点 x0 在 I 上的位置无关 那么这时 f ( x) 就在 I 上一致连续 可见 一致 指的就是存在适合于 I 上所有点 x 的公共 即 ( ) 直 观地说 f ( x) 在 I 上一致连续意味着 不论两点 x 与 x 在 I 中处于什么位置 只要它们的 距离小于 就可以使 f ( x ) f ( x ) 所以 f ( x) 在区间 I 上一致连续 反映出 f ( x) 在 I 上各点 连续 程度是否步调 一致 这样一个整体性质. 函数连续性与一致连续性的联系 函数 f ( x) 在区间 I 上连续与一致连续是两个不同的概念 但它们之间也有联系 有如 下结论 函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续 则 f ( x) 在 I 上连续 这个命题的证明是显然的 我们只须将其中的一个点 x 或 x 固定即可 但这个命 题的逆命题却不一定成立 例 证明函数 y 在 (0,) 内不一致连续 尽管它在 (0,) 内每一点都连续 x 证: 取 0 对 0 不妨设 取 x, x 则有 x x 但 x x 所以函数 y 在 (0,) 内不一致连续 x 那么应具备什么条件 在 I 上连续的函数 f ( x) 才在 I 上才一致连续呢 在闭区间 a, b 上连续的函数 f ( x) 在 a, b 上一致连续 这是著名的康托尔定理 闭区间上连续函数的这一性质对研究函数的一致连续性十分重 要 由它我们可以推出许多重要的结论 注. 对函数的一致连续性概念的掌握 应注意以下三个方面 函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系 函数一致连续的实质 是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对 50

51 0 年 月总第 7 期 值可以任意小 即对 x, x I 当 x x 时 就有 f ( x ) f ( x ) 3 函数一致连续的否定叙述 设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义 若 0 0 使 0 总 x, x I 虽然有 x x 但是 f ( x ) f ( x ) 0 则称函数 f ( x) 在区间 I 上非一致连续 有了以上理论 便可以解答如下问题 例如 证明函数 f ( x) = 在 [a,] ( 0 a )一 x 致连续 而在(0,)非一致连续 总的来说 我们可以在一点处讨论函数的连续性 却不能在一点处讨论函数的一致连续 性 函数的连续性反映的是函数的局部性质 而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上 的整体性质. 一元函数一致连续性的判定及其应用. 一元函数在有限区间上的一致连续性 由于用函数一致连续的定义判定函数 f ( x) 是否一致连续 往往比较困难 于是 产生 了一些以康托尔定理为基础的较简单的判别法 定理 康托尔(Cantor)定理 若函数 f ( x) 在 a, b 上连续 则 f ( x) 在 a, b 上一致连续[] 注. 定理对开区间不成立 例如函数 f ( x) 在 0, 内每一个点都连续 但在该区间并 x 不一致连续 康托尔定理告诉我们 函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上一致连续的充要条件是 f ( x) 在 a, b 上连续 所以在闭区间 a, b 上连续的函数必定一致连续 然而对于有限开区间和无 限区间 则结论不一定成立 阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况 对于有限开区间 这时端点可能成为破坏一致连续性的点 对于无限区间 这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性 虽然如此 我们对于破坏一致连续性的有限开区间的端点或无穷远点附加一定的限制条 件 就可以推广到有限开区间和无限区间 定理 函数 f ( x) 在 a, b 内一致连续 f ( x) 在 a, b 连续 且 lim f ( x) 与 x a lim f ( x) 都存在 x b 5

52 0 年 月总第 7 期 例 判定函数 f ( x) sin 解 易见 f ( x) sin, x (0,) 在指定区间上是否一致连续 x 在 0, 内连续 但 lim f ( x) 不存在 从而 f ( x) 在 0, 内 x x 0 非一致连续 注3. 由例可见 上述判别法在判定某些函数 f ( x) 非一致连续时十分简便 根据定理容易得以下推论 推论 函数 f ( x) 在 a, b 内一致连续 f ( x) 在 a, b 连续且 lim f ( x) 存在 x a 推论 函数 f ( x) 在 a, b 内一致连续 f ( x) 在 a, b 连续且 lim f ( x) 存在 x b. 一元函数在无限区间上的一致连续性 定理3 f ( x) 在, 内一致连续的充分条件是 f ( x) 在, 内连续 且 lim f ( x)和 lim f ( x) 都存在 x x 注4 当 a, b 是无限区间时 条件是充分不必要的 例如 f ( x) x g ( x) sin x 在 f ( x) lim g ( x) 不存在, 上一致连续 但是 xlim x 定理4 设 f ( x) 是定义在, 上的以 T T 0 为周期的周期函数 则 f ( x) 在, 上一致连续的充要条件是 f ( x) 在 T, T 上连续[] 注5. 运用定理4 易得三角函数 sin x 等周期函数在, 上一致连续 较之用函数 一致连续的定义来证明简单.3 一元函数在任意区间上的一致连续性 对于一元函数在任意区间上一致连续与非一致连续 有以下结论 定理5 函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续 xn, y n I (n,,...) 只要 lim xn yn 0, n 就有 lim f ( xn ) f ( yn ) 0 n 注6. 此定理主要用来判定函数非一致连续 例3 判定函数 f ( x) x, x (, ) 在指定区间上是否一致连续 解 显然 x 是 (, ) 上的连续函数 对于 0 取 xn n 5, yn n. 因 n n

53 0 年 月总第 7 期 为 xn yn n n 0, 但是 n n n xn yn n n 4 0, n n 所以 f ( x) 在 (, ) 上不一致连续 综上所述 一元函数 f ( x) 一致连续的判定 是由函数 f ( x) 所满足的条件或所定义的 范围所决定的 上述定理给出几种情况下函数一致连续的判定但不全面 我们还可以进行更 加深入的讨论和研究 比如说学习了微分学之后 通过导数有界可以推出函数满足李普希茨 条件 进而再进一步推出函数的一致连续性 例4 证明函数 f ( x) x arctan x, x (, ) 在 (, ) 上一致连续. 证 我们有 f ( x) arctan x x x, 于是 f x arctan x. 由微 x x 分中值定理 对任意实数 x 和 y x y 存在介于 x 和 y 之间的 使得 f ( x) f ( y) f ( )( x y). 因此对任意实数 x 和 y, 都有 f ( x) f ( y ) x y 即函数 f ( x) 在 (, ) 上满足李普希茨条件 由一致连续的定义易见 满足李普希 茨条件的函数一定是一致连续函数 4. 二元函数在有界闭区域上的一致连续性 定理 6 一致连续性定理 若函数 f 在有界闭区域 D R 上连续 则 f 在 D 上一 致连续 注 7 定理中的有界闭区域 D 可改为有界闭集 证明过程无原则性变化 以上仅为一元函数一致连续性的判定方法在二元函数有界闭区域推广 而且用与例 4 类似方法从二元函数偏导数有界也可以推导出凸区域上二元函数的一致连续性 事实上 一 元函数一致连续性的判定方法大多可以推广到二元函数甚至 n 元函数 只不过需要注意它们 在形式上有所区别 参考文献 [] 李锋杰 刘丙辰等.关于函数的一致连续问题.烟台师范学院学报 [] 周家云 刘一鸣 解际太. 数学分析的方法[M]. 济南 山东教育出版社

54 0 年 月总第 7 期 浅谈化归与转化思想和唯物辩证法的关系 法学院 摘 李爽 法学 要 借着讨论化归与转化思想与唯物辩证法的联系来让读者了解化归思想 的具体使用方法和真正实质 并把这种思想运用于实际生活 关键词 化归思想 转化与归结 唯物辩证法 创新精神 大约在一千五百年前 我国一本著名的数学著作 孙子算经 记录了一个很有趣的数学 问题 原文叙述为 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问雉兔各几何 这 四句话的意思是 有若干只鸡兔同在一个笼子里 从上面数 有 35 个头 从下面数 有 94 只脚 求笼中各有几只鸡和兔 这个数学趣题相信很多人都有所了解 一般的分析方法是 对于鸡和兔有多少只 这是一个未知问题 也是我们需要解决的问题 但是我们要通过已知信息去研究未知情况 对于已知的信息 我们已经掌握了 那么我们就可以利用这些已知的信息去把握未知的情况 这个题目中 已知的信息是 每只鸡有 只脚 每只兔有 4 只脚 但鸡和兔都是只有一个头 现在我们对已知信息进行分析和简化 鸡和兔的数量之和等于头的数目 35 现在我们假 设每只兔子只有两只脚 那么鸡和兔总共脚的数目是 35 =70 但实际上有 94 只脚 因为 开始我们假设每只兔子只有两只脚 每只兔子都减少了两只脚 所以多出的 4 只 94-70=4 脚就应该是属于兔子的了 所以兔子有 只 4 = 而鸡有 3 只 35-=3 这个题目就是通过已知信息去研究未知情况 通过简单去研究复杂 利用了一种转化和 归结的思想来解决问题 这种思想在数学中称为化归思想 所谓化归 就是将有待解决或未 解决的的问题 通过转化过程 归结为一类已经解决或较易解决的问题中去 以求得解决 化归 具体而言就是转化和归结 转化就是发现和利用新问题与旧问题 已知问题与 未知问题 复杂问题与简单问题之间的联系 转化的过程即是承认和利用事物之间的 普遍联系的过程 而归结 就是把眼前问题归纳到我们已掌握的一类数学模型中 用 已知的方法解决 数学思想方法是学习数学的点金术.其中 化归思想又是解决数学问题 的最根本的思想 引自中国校外教育 理论 第 9 期 作者 邵贵明 张清芳 同 时化归与转化思想也贯穿着我们数学学习生涯的始终 其重要性自然不言而喻 而这 种思想的学习与马克思主义唯物辩证法有着紧密的联系 现在就让我们来共同探讨一 下 首先 化归 的总体指导思想就蕴藏着 联系的普遍性 和 现象与本质的关 系 这两个重要的唯物辩证法原理 世界数学大师波利亚强调 不断地变换你的问题 我们必须一再变化它 重新叙述它 变换它 直到最后成功地找到某些有用的东西为止 厉红信 数学化归的途径和教学方法 中学教研(数学) 008 年 04 期 发现的那些 有用的东西 即问题的本质 正如列宁的比喻 把流水中的泡沫拂去 发现下面的 深流 列宁全集 第 38 卷 第 34 页 而在具体的方法和运用上 化归与转化思想又深刻的体现了 对立统一 整体 与局部联系 和 联系的可创造性 等原理 正难则反易 即正与反的转化 是在化归与转化中经常使用到的方法 例 有 8 瓶牛奶分放在 4 6=4 个方格内 见图 每格只能放一瓶 在数牛奶 瓶时要求横数的瓶数为偶数 竖数的瓶数也为偶数 这件事能办到吗 54

55 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 图 [ 注 ] 这 个 问 题 是 984 年 国 际 数 学 教 育 与 计 算 机 教 育 会 议 上, 一 位 英 国 朋 友 在 小 组 讨 论 时 提 出 的 当 时 有 两 个 不 相 容 的 答 案 : 这 件 事 能 办 到 与 这 件 事 不 能 办 到 分 析 : 不 妨 试 放 一 下 ( 请 用 铅 笔 在 小 方 格 内 打 上 试 放 符 号, 并 给 出 你 的 答 案 ) 可 能 屡 试 不 成 瓶 太 多 了, 很 难 照 顾 全 面 因 此, 能 否 用 化 归 与 转 化 思 想 变 更 题 目 的 任 务 : 在 4 6=4 个 方 格 内 打 上 4-8=6 个 不 放 牛 奶 瓶 的 符 号 ( 用 表 示 ) 余 下 工 作 请 读 者 自 己 完 成, 这 时 你 的 结 论 一 定 是 : 这 件 事 不 仅 一 定 能 办 到, 而 且 放 置 奶 瓶 的 方 法 有 多 种 ( 摘 自 武 汉 教 育 信 息 网 ) 这 就 是 化 归 与 转 化 思 想 的 威 力! 而 正 反 转 化 方 法 的 使 用 正 是 印 证 了 对 立 统 一 原 理 : 对 立 与 统 一 蕴 含 在 事 物 发 展 的 过 程 中 整 体 与 局 部 的 转 化 也 是 化 归 与 转 化 思 想 的 另 一 重 要 方 法 : 例 在 数 列 { a n } 中, S n 为 其 前 n 项 之 和, 若 a, a 且 S 3S S 0( n ), n n n 试 判 断 { an } * ( n N ) 是 不 是 等 比 数 列, 为 什 么? 思 路 : 透 过 局 部, 重 新 组 合, 整 体 代 换 解 : 将 已 知 等 式 重 新 组 合, 得 ( Sn Sn) ( Sn Sn ) 0. 又 因 为 an Sn Sn, a ( ) n Sn Sn n, 所 以 a n a n 0, 即 a n ( a n )( n ). (*) * 当 n 时, a ( a ), 因 此 (*) 式 对 n N 成 立 故 { an } * ( n N ) 是 等 比 数 列 评 注 : 这 里, 如 果 将 Sn S n 与 Sn 均 用 求 和 公 式 代 入, 将 会 十 分 繁 难, 而 从 S 3S S 0 整 体 着 眼, 实 施 整 体 代 换, 解 题 过 程 十 分 简 捷 明 快. 整 体 代 换 n n n 在 解 题 中 往 往 能 起 到 化 难 为 易 化 繁 为 简 的 作 用 在 解 决 此 问 题 中 体 现 的 整 体 与 局 部 的 紧 密 联 系 不 用 我 多 说, 相 信 大 家 都 已 明 白 了 像 这 种 说 明 化 归 与 转 化 思 想 方 法 的 运 用 和 唯 物 辩 证 法 之 间 紧 密 联 系 的 例 子 有 很 多, 一 一 列 举 自 然 很 繁 琐, 其 余 的 希 望 读 者 多 多 思 考 最 后, 要 重 点 说 明 的 是 化 归 与 转 化 思 想 实 质 与 唯 物 辩 证 法 的 联 系 化 归 与 转 化 是 人 们 在 认 识 事 物 的 过 程 中, 根 据 事 物 之 间 的 某 种 联 系, 由 一 事 物 联 想 到 另 一 相 关 事 物 的 心 理 过 程, 它 是 解 决 数 学 问 题 的 一 种 基 本 思 考 方 法, 它 既 是 思 维 的 迁 移, 又 可 以 促 进 思 维 进 行 创 新 它 不 是 墨 守 成 规, 不 是 固 步 自 封 匈 牙 利 著 名 数 学 家 P 罗 莎 曾 用 以 下 比 喻 十 分 生 动 地 说 明 了 55

56 0 年 月总第 7 期 化归与转化思想的实质 她写道 假设在你面前有煤气灶 水龙头 水壶和火柴 现在的 任务是要烧水 你应当怎样去做 正确的回答是 在水壶中放上水 点燃煤气 再把水 壶放到煤气灶上 接着 罗莎又提出第二个问题 假设所有的条件都不变 只是水壶中 已有了足够的水 这时你应该怎样去做 对此 人们往往回答说 点燃煤气 再把壶放 到煤气灶上 但罗莎却认为这并不是最好的回答 因为 只有物理学家才会这样做 而 数学家则会倒去壶中的水 并且声称我已经把后一问题化归转化成先前的问题了 而先前的 问题我已回答 化归与转化思想的实质是激发学习者的创新精神 在已知的基础上快速扩展 更高效率 地认识和掌握未知 所以 创新 就是化归与转化思想意义和实质的关键词 而唯物辩证 法中的 创新 原理对马克思主义学习者的要求与化归转化思想的实质有着巧妙的契合 把数学思想与我们所学的哲学相结合 可以让我们更加深刻的理解和掌握这种数 学思想 更重要的是把这种数学思想从数学中升华出来 成为我们日常生活中的方法 论 指导我们更好地改造客观世界 数学知识本身是非常重要的 这我们无法否认 但它并不是我们学习数学的唯一目的 真正对我们以后的学习 生活和工作起长期作 用 并使我们 受益终生 的是数学思想 带给我们 的一种思维方 法和解决 实际问题的理 论 因此 借着讨论化归思想与唯物辩证法的联系来让读者了解化归思想的具体使用 方法和真正实质 并把这种思想运用于实际生活 这就是我写这篇论文的最终目的 参考文献 [] 列宁. 列宁全集[J] 第 38 卷 第 34 页.959 年 9 月第一版. [] 邵贵明, 张清芳. 例析数学思想中的化归思想及其原则[J]. 中国校外教育 理论, 第 9 期. [3] 厉红信. 数学化归的途径和教学方法. 中学教研(数学).008 年 04 期 56

57 0 年 月总第 7 期 感想与思考 编辑点评 该文谈美国小学数学教学 选题独特 却又紧扣数学文化 文章从美国的一 本小学数学教材展开 有理有据地阐述了美国小学数学教学的五个特征 相当准 确 相当到位 相当深刻 这也反映了作者自己较高的数学素养 同时 文章中 始终贯穿着 文化 的主线 并且提及美 俄 中文化的差异 既有自己的感悟 又给读者进一步想象的空间 该文在写作上也很见功力 某篇布局详略适当 脉络清楚 结构恰当 观点 明确 重点突出 遣词造句流畅自然 对于本科生而言 这是一篇优秀的数学文化论文 浅析美国小学数学教学及其中体现的数学文化 由 加州小学数学课本 看美国小学数学 贾云萌 外国语学院 俄语专业 0453 摘 要 数学对于人类文化发展具有重要意义 而教育作为人类文化传承的重要工具 影响 制约着科学与思维的延续 当数学与教育相互交融时 数学文化便应运而生 本文以 美国小学数学教学为切入点 窥探美国数学文化之特征 分析其意义与影响 并针对中美数 学教育之差异 表达一点反思与感悟 关键词 数学 教育 小学 美国 中国 序言 数学 作为一切科学与理性思维之基础 对于人类文化发展具有重要意义 而教育 作 为人类文化传承的重要工具 影响 制约着科 学与思维的延续 当数学与教育结合时 奇妙 的数学文化便应运而生 世界各国的文化各具 特色 相应地 其数学文化也各不相同 本文 以美国小学数学教学为切入点 窥探美国数学 文化之特征 分析这种特征的意义与影响 且 针对中美数学教育之差异 表达作者的一点反 思与感悟 作为当今世界第一的经济 军事 科技强 国 美国的数学教育一向备受瞩目 其紧跟时 代 实用性强等特点 值得我们借鉴 身为一名俄语专业的学生,本人在领略俄 国文化的同时,亦对与之形成鲜明对照的美国 文化萌生了浓厚兴趣 两国在历史上存在着长 期合作与竞争关系 其文化自然也相应地交汇 图 加州小学数学课本 第一册 碰撞 对此二者中任何一国的文化研究 都不可将其从这种千丝万缕的联系中割裂开来 因 此 比对俄美文化 涉猎美国文化也在某种程度上成为俄语学生的必由之路 57

58 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 借 助 在 美 生 活 学 习 的 亲 友, 本 人 得 以 对 美 国 数 学 文 化 有 了 一 定 了 解, 而 媒 介 则 是 一 本 教 材 加 州 小 学 数 学 课 本 下 面 仅 以 此 书 三 册 之 一 的 第 一 册 ( 以 下 简 称 美 本 ) 目 录 为 线 索, 阐 释 美 国 小 学 数 学 的 基 本 内 容 : 序 : 开 始 变 聪 明 第 章 数 感 与 模 型 第 章 理 解 加 法 第 3 章 理 解 减 法 第 4 章 数 据 和 图 表 第 5 章 以 内 的 加 法 第 6 章 以 内 的 减 法 第 7 章 时 间 第 8 章 00 以 内 的 数 字 第 9 章 测 量 第 0 章 0 以 内 的 加 减 法 第 章 钱 第 章 几 何 第 3 章 地 价 第 4 章 两 位 数 加 减 法 粗 略 浏 览 后, 想 必 国 人 定 会 惊 讶 于 美 国 小 学 课 程 的 容 易 : 如 果 上 述 内 容 被 转 移 到 中 国 的 数 学 课 本 上, 只 能 与 一 年 级 甚 至 是 学 前 班 的 水 平 相 当 然 而, 假 如 您 亲 自 触 碰 这 套 每 本 动 辄 数 百 页 的 厚 重 教 材, 详 细 研 读 其 中 的 内 容, 自 会 发 现 : 它 们 远 不 止 我 们 所 想 的 那 般 简 单 美 国 小 学 数 学 历 经 989 年 000 年 两 次 重 大 改 革, 确 立 了 以 注 重 机 会 均 等 整 合 课 堂 实 际 教 学 与 基 本 教 学 大 纲 科 技 在 数 学 教 育 中 的 作 用 为 基 本 原 理 的 课 程 标 准 其 主 要 特 征 有 : 特 征 一 : 强 调 对 基 础 知 识 及 概 念 的 理 解 与 运 用 高 质 量 的 数 学 教 育, 与 牢 固 的 基 础 密 不 可 分 美 国 国 家 委 员 会 充 分 意 识 到 儿 童 对 于 数 学 的 抽 象 思 维 ( 如 概 念 定 义 公 式 等 ) 存 在 理 解 困 难, 又 结 合 了 美 国 学 生 普 遍 对 基 础 掌 握 偏 弱 的 现 象, 对 教 学 的 进 度 予 以 适 当 放 缓, 循 序 渐 进 同 时, 充 实 了 对 所 学 知 识 训 练 与 实 践 的 环 节 : 在 美 本 中, 对 数 字 的 认 识 占 据 了 /7 的 章 节, 更 用 近 一 半 的 篇 幅 对 加 减 法 进 行 了 极 为 透 彻 的 解 析, 图 文 并 茂 生 动 形 象, 大 大 激 发 了 小 学 生 的 兴 趣 与 好 奇 心 这 就 保 证 了 绝 大 部 分 学 生 的 熟 练 掌 握, 而 不 至 于 因 为 不 完 全 理 解 数 字 或 算 不 准 加 减 法 造 成 此 后 的 乘 除 法 混 合 运 算 甚 至 是 中 学 大 学 的 学 习 障 碍, 也 使 得 学 生 具 备 社 会 生 存 所 必 需 的 基 本 数 学 技 能 不 过 以 美 本 为 典 范 的 美 式 数 学 教 学 还 不 仅 局 限 于 此 在 充 分 理 解 基 础 知 识 概 念 的 前 提 下, 它 还 引 导 学 生 探 讨 应 用 交 流, 对 基 础 性 的 知 识 予 以 启 发 升 华, 使 之 成 为 能 够 探 索 规 律 迁 移 类 推 的 智 慧 比 如 : 在 学 习 乘 法 运 算 时, 老 师 并 不 强 求 学 生 用 唯 一 的 竖 式 笔 算, 而 是 任 由 学 生 自 由 发 挥 : 用 连 加 竖 式 方 法 计 算 也 可, 用 计 算 器 也 可, 甚 至 扳 手 指 计 算 也 可 直 到 最 后, 老 师 才 对 各 种 方 法 的 可 行 性, 简 便 性 进 行 评 估, 让 学 生 自 己 主 动 以 竖 式 法 为 最 佳, 而 非 硬 性 指 定, 要 求 学 生 死 记 硬 背 生 搬 硬 套 3 特 征 二 : 高 度 结 合 生 活 实 际 数 学 是 一 门 应 用 性 很 强 的 学 科, 是 旨 在 服 务 于 人, 解 决 生 活 实 际 问 题 之 科 学 如 若 脱 离 了 实 际, 便 沦 为 无 用 之 学, 无 稽 之 谈 在 美 本 中, 除 了 数 据 和 图 表 时 间 测 量 钱 地 价 外, 其 他 章 节 也 都 紧 扣 日 常 生 活, 设 置 应 用 题 式 的 数 学 情 境 以 供 学 生 思 考 与 我 国 应 用 题 的 固 58

59 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 定 应 试 题 型, 考 验 计 算 技 术 相 比, 这 些 情 境, 更 多 的 是 锻 炼 学 生 用 数 学 的 视 角 看 待 生 活, 从 日 常 琐 碎 中 提 炼 通 用 数 学 模 型, 实 际 操 作 数 学 模 型, 进 行 结 果 核 对 与 解 析, 并 最 终 体 味 到 数 学 的 价 值, 对 数 学 文 化 产 生 认 同 的 过 程 这 些 正 是 对 数 学 素 养 的 真 正 培 养, 也 是 成 为 一 名 数 学 人 才 数 学 大 家, 而 非 循 规 蹈 矩 的 数 学 机 器 的 先 决 条 件 4 特 征 三 : 以 实 践 验 证 理 论 应 用 应 用, 应 当 实 用 美 式 的 教 学 模 式 中, 得 出 正 确 无 误 的 答 案 并 不 应 是 一 个 应 用 情 境 的 终 了, 实 践 的 验 证 是 不 能 忽 视 的 比 如 : 我 经 过 推 理 计 算 论 证, 得 出 A B C 三 种 购 物 方 案 中, 方 案 B 是 最 适 合 的, 那 就 一 定 要 到 超 市, 用 A B C 三 种 方 法 来 实 地 检 验, 看 看 究 竟 用 相 同 的 价 钱, 方 案 B 能 多 买 多 少 东 西 ; 买 相 同 的 东 西,B 方 案 究 竟 能 省 多 少 钱 让 学 生 在 亲 自 参 与 中, 实 在 体 会 到 一 种 数 学 思 维 下 的 经 济 头 脑 这 种 头 脑, 其 实 就 是 一 种 学 科 间 综 合 思 想 的 源 流, 会 促 使 学 生 主 动 地 尝 试 构 建 数 学 和 其 他 科 学 之 间 的 联 系 : 数 学 与 理 化 科 技, 数 学 与 工 程 材 料, 甚 至 是 数 学 与 人 文 社 会 这 种 异 想 天 开 很 可 能 是 下 一 个 伟 大 科 学 创 想 的 灵 感 发 端 毕 竟, 只 有 能 被 数 学 所 解 释 的 科 学, 才 是 真 的 科 学 5 特 征 四 : 以 交 流 丰 富 思 想 一 种 理 论, 唯 有 经 历 大 众 的 认 可 与 证 明, 方 能 成 为 共 识 而 具 有 意 义 所 以, 交 流 探 讨 是 学 术 进 步 的 必 经 之 路 大 到 峰 会 论 坛, 小 至 二 人 相 谈, 都 不 失 为 交 流 的 形 式 美 式 教 学 所 营 造 的 宽 松 环 境 与 活 跃 气 氛, 为 学 生 交 流 提 供 了 绝 佳 的 机 会 在 交 流 中, 学 生 努 力 去 用 数 学 语 言 进 行 描 述 辩 论, 并 凭 借 倾 听 领 会 他 人 的 数 学 语 言 的 含 义 这 是 一 种 交 际 能 力 与 逻 辑 思 维 的 提 高, 更 是 一 种 学 术 研 究 的 雏 形 学 术 界 诸 多 仅 凭 一 己 之 力 难 以 解 答 的 数 学 课 题, 都 是 在 这 种 时 而 针 锋 相 对, 时 而 携 手 共 勉 的 气 氛 下, 得 以 趋 于 圆 满 的 当 然, 交 流 也 不 仅 局 限 于 口 头 美 式 教 学 还 鼓 励 学 生 每 天 记 录 心 得 体 会, 把 探 讨 和 研 究 的 成 果 用 书 面 的 形 式 表 达 这 既 有 利 于 老 师 及 时 了 解 学 生 的 学 习 情 况, 更 让 我 们 从 中 瞥 见 了 些 许 学 术 论 文 的 影 子 6 特 征 五 : 兴 趣 是 最 好 的 老 师 正 所 谓 知 之 者 不 如 好 之 者, 好 之 者 不 如 乐 之 者 学 生 如 果 不 能 由 衷 地 对 数 学 产 生 兴 趣, 老 师 即 使 费 劲 苦 心 也 必 将 徒 劳 无 功 美 式 教 育 为 了 从 幼 年 时 期 培 育 学 生 的 数 学 兴 趣, 采 取 了 多 管 齐 下 的 方 法 : 首 先, 是 课 程 的 安 排 正 如 笔 者 前 文 所 提, 美 式 教 学 的 课 程 内 容 与 其 他 教 育 体 制 相 比, 还 是 相 对 轻 松 的 尤 其 是 在 一 二 年 级, 吸 取 了 英 式 学 前 教 育 过 早 渗 透 理 论 与 抽 象 思 维, 造 成 儿 童 难 以 理 解, 感 到 压 力 而 最 终 厌 恶 数 学 的 教 训, 基 本 是 在 一 种 近 乎 于 玩 的 状 态 中 度 过 的 不 过 这 种 玩 也 蕴 含 了 一 些 最 基 本 最 易 接 受 的 知 识, 如 数 字, 十 以 内 的 加 法 等 在 老 师 的 循 循 善 诱 下, 儿 童 会 逐 渐 形 成 一 串 潜 意 识 的 链 条 : 数 学 很 好 玩 我 爱 玩 数 学 我 喜 欢 数 学 我 想 学 数 学, 主 动 地 对 数 学 学 习 产 生 一 种 最 懵 懂 的 热 爱 其 次, 是 环 境 的 布 置 与 气 氛 的 塑 造 美 国 的 小 学 数 学 课 有 专 门 的 教 室, 各 种 与 数 学 有 关 的 装 饰 可 以 潜 移 默 化 地 影 响 孩 子 存 放 衣 物 的 柜 子, 充 当 教 具 的 毛 绒 熊, 作 为 奖 品 的 糖 果 等, 又 可 以 让 学 生 精 神 放 松, 消 减 紧 张 情 绪 老 师 的 口 吻 平 和, 了 无 威 慑 感 等 级 感, 学 生 随 意 围 坐 在 柔 软 的 沙 发, 戒 备 心 与 怯 懦 心 降 至 最 低, 自 然 畅 所 欲 言, 全 情 投 入 7 结 语 美 国 小 学 数 学 教 学 在 此 只 能 管 窥 蠡 测, 难 以 说 尽 它 的 特 色, 实 在 值 得 我 们 悉 心 研 究, 诚 心 借 鉴 这 里 的 借 鉴, 是 一 种 从 实 际 出 发 的 参 考, 而 非 盲 目 地 照 搬 照 抄 毕 竟, 中 美 的 文 59

60 0 年 月总第 7 期 化 国情差异很大 教育模式自然也不能统一口径 更何况 美式教育也有其不足 中式教 育也有很多独到之处 末了 祝愿中国的数学教学得以蓬勃发展 中国的青年一代中能涌现 更多富于数学素养的人才 参考文献 [] Mary Behr Altieri, Don S. Balka, Roger Day, Ph.D. et al. California Mathematics. New York: MacGraw-Hill Companies, 009. [] 向玉琴 刘英健. 美国小学数学的基本特征[J]. 山东教育, 998(3). [3] 建邺王晶. 美国小学数学教育众生相. < 编辑点评 日常生活和工作中 先发制人 与 后发制人 的智慧是众所周知的 而 该文从数学思维的角度 通过不同数学模型和实例的分析 阐明 做 先行者 还是 后发者 选择的关键是具体条件和情形的差异 这就有了新意 该文作 者能自己去寻找问题 发现问题 并且通过数学的思维来分析问题 这是十分难 能可贵的 数学素养使人终身受益 有意识地用数学的方式来看问题和思考问题的做 法是值得赞扬和提倡的 用数学的思维看 先行者 与 后发者 修孟源 经济学院保险专业 0890 摘 要 通过分析线性和非线性条件下的古诺模型和斯塔克伯格模型 序贯博弈和数 字游戏 体现在生产 生活中不同条件下我们会做出关于做先行者还是后行者的选择 并解 释其中的数学道理 关键词 先后决策;线性需求;古诺模型;斯塔克伯格模型;序列博弈;数学游戏 引言 中国有句古语 叫先下手为强 在生活中我们时刻能感受到它的参考价值 例如 市场 经济下商机稍瞬即逝 生产者需要尽一切努力在竞争者之前推出某种商品抢占先机 冷兵器 时代 先查敌情 先做部署 先扎寨营 先设埋伏的一方总是更有可能获取胜利 而现代战 争信息化对于时间上的争先有着更强烈的依赖 甚至我们生活之中的某些棋牌游戏 如果能 当先手 也会因此占有一定优势 同时另有一句警示 欲速则不达 倡导静观其变 后发制人的智慧 以后手成功的例子 亦有很多 比如历史上著名的夷陵之战 陆逊以逸待劳 击溃蜀军 战略与国际管理专家马 基迪斯提出的后发企业的规模化生产能力能帮助他们击败开拓者 从而主宰市场等 这便给我们出了一个难题 在需要做出决策的时候 我们是先下手为强 做先行者占一 丝先机 还是警惕欲速则不达 以后发者的姿态从容取胜呢 放弃单凭经验和直觉做出的判断 让我们以更科学和理性的思维加以思考,这对看似矛 盾的谚语其实各有各的智慧之处 关键在于具体条件和情形的差异 那么何时争先 何时静 观 又能否找到一定的科学依据和理论支持呢 我应用简单的数学和经济学知识 对此做出 了一点探究 60

61 0 年 月总第 7 期 生产者决策与先行者利益的条件 首先,我们考虑生产者决策问题中的先后对于竞争结果的影响 引入微观经济学中的古 诺模型与斯塔克伯格模型为例. 线性需求假设下的古诺模型 垄断市场上 垄断者决定产量 再由产量和价格的需求曲线形成垄断商品的价格 由于 垄断产品是其他生产者不能生产的 垄断企业提供的产量即市场供应总量 所以实际上是垄 断者通过选择产量来选择价格 以求自己的利润最大化 那么在寡头垄断情况下 两个寡头相互竞争 他们都要对自己的产量做出决策 双方的 产量之和共同构成了市场供应量 共同决定了商品价格 在双方共同作用于市场的情况下 怎样才能击败提供相同产品的对手 得到更多的利润呢 我们不妨猜测 先做出决策的一方 有利 在分析这个猜想是否正确之前 我们先考虑更为简单的 双方同时决策的情况 首先考虑需求曲线为线性的情况 假设 两个厂商生产相同产品 市场需求都为线性函数且已知 两者边际成本都为零 因为垄断行业许多厂商都是初始投资巨大 而后每多生产一单位商品成本极小的 比如自来 水供应 个人电脑操作系统和软件开发等 在这种情况下我们对于边际成本的假设是能够成 立的 当两个寡头同时做出决策时 他们需要考虑到另一方的产量 即消极接受对方选择的产 量 设需求曲线为 q a bp q 为产量 p 为价格 a, b 为系数 mc, mr, r 分别为边际 成本 边际收益 总收益. 相应的反需求函数为 p (a q). b q q q, mc mc 0. 当厂商 把对手的产量视为既定时 即 q 为既定的 则 r p q a q q q q aq qq, b b r mr q a q. q b 为了利润最大化 生产者会选择边际成本等于边际收益的那一点 即对于厂商 有 mr mc 0, ( q a q ) 0, b q (a q ). 同理 对于厂商 有 q (a q ). 6

62 0 年 月总第 7 期 两家同时决策时 两个等式同时成立 则 q q a, 3 q q q a, 3 a 3 a. b 3b a p 此时两者的收益和产量都相同. 线性需求假设下的斯塔克伯格模型 我们再来考虑厂商 先做决策的情况 厂商 后决策 会把厂商 已经决定的产量视为 既定 所以上述式子中 q a q 依然成立 厂商 可以预计到他的竞争对手会选择的 产量如上 则 a q r pq (a q )q (a q q )q a q a q q q, b b b b r a q mr, q b b mr mc 0, q a a a, q. 4 由此可知 先做出决策的厂商 能够生产更多 在厂商 产量既定时 厂商 为了不使 市场价格因产量大幅增加而价格下降减少己方收益只能选择较少的产量 这使厂商 因为先 做决策取得更多的收益 经济学中称之为先行者利益 看起来问题已经得到了解决 先下手为强 的理论占了上风 但是我们的假设是有条 件的 即需求曲线为线性函数 如果需求曲线已知 且为非线性函数 这个结论是否依然成 立呢.3 非线性需求下的古诺模型 假设需求的价格弹性为常数 具有不变弹性 的需求函数的一般公式为 q Ap, A 0, 0.可设具有不变弹性的反需求函数为 p(q) q k 为需求的价格弹性, 则企业的利润函数为 =q ( q k q k ( k )q q k c 0, k q ( k )q q k c 0, q q q. 6 k 为任意正系数 c ), q ( q 利润 c 为成本. 企业追求利润最大化的一阶条件为 可解得 k c ) 为

63 0 年 月总第 7 期 k k c k k q* q* [ ], [ ] kc (k ) kc. 由此可见 非线性需求函数条件下的古诺模型 同时决策的厂商选择的产量和得到的利 润都相同.4 非线性需求下的斯塔克伯格模型 假设厂商一先做决策 会根据其对厂商二的反应的预计决定产量 若设厂商一产量为 q 给定 对于厂商二其利润函数为 (q, q ) q ( p(q) c) q ( q k c). 设厂商二的反应函数 q f ( q ), 可写出厂商一的利润函数为 (q, f (q )) q ( p c) q ( q k c), q q q q f (q ). * 根据隐函数存在定理和隐函数求偏导法则 得 q k 5k 4k * q. k 由此可知 q 与q 的大小关系由弹性 k 决定 * * 若k 则q* q*, 4c 若k 则q* q*, 4 若 k 则q* q*. 5 由此可见 我们对于先行者具有优势的假设 在非线性需求的情况下未必成立 若是商 品的需求价格弹性小于 选择成为后发者反而具有优势 能够占取更多的市场份额 3 序列博弈 再举序列博弈为例 依旧假设某类商品的市场上只有两家厂商 都具备生产 A,B 两种产 品的能力且产品没有质量差别 由于都生产 A 或都生产 B 会因为争夺市场份额而收益受损 所以收益为负 一家生产 A 另一家生产 B 会避免恶性竞争 因而都能取得正的收益 现列表如下 表 厂商的决策与收益 决策 收益 厂商 厂商 厂商 厂商 生产 A 生产 A -3-3 生产 A 生产 B 8 0 生产 B 生产 A 0 8 生产 B 生产 B -3-3 使用决策树的模型 63

64 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 图 厂 商 生 产 决 策 树 分 析 这 种 博 弈, 我 们 采 用 从 后 向 前 推 算 的 办 法 假 设 厂 商 已 经 做 出 了 选 择, 我 们 处 在 博 弈 树 的 一 个 分 支 上 如 果 厂 商 的 选 择 是 A, 那 么 厂 商 会 选 择 B; 但 更 明 智 的 是 厂 商 会 选 择 获 利 更 多 的 B, 这 时 厂 商 也 只 能 选 择 A, 得 到 收 益 8 这 个 博 弈 的 最 终 均 衡 是 (0,8) 从 厂 商 的 角 度 看, 这 是 对 自 己 不 利 的, 因 为 最 终 厂 商 只 能 得 到 收 益 8 而 不 是 收 益 0 假 如 厂 商 威 胁 厂 商, 如 果 厂 商 选 择 B 他 也 会 选 择 B, 那 么 显 然 厂 商 选 择 A 就 是 明 智 的, 他 可 以 得 到 8 的 收 益 而 不 是 -3 但 是 这 种 威 胁 是 很 不 实 际 的 毕 竟 一 旦 厂 商 做 出 了 选 择, 就 大 局 已 定 了 厂 商 能 够 得 到 收 益 8, 没 有 理 由 牺 牲 自 己 的 利 益 使 双 方 都 亏 损 这 样, 厂 商 只 能 接 受 较 低 的 收 益, 如 图 我 们 常 说 在 序 列 博 弈 中, 先 行 者 有 更 好 的 选 择 但 这 不 是 一 条 绝 对 定 律, 在 某 些 较 为 特 殊 的 情 况 下, 后 发 出 手 才 是 更 好 的 策 略 位 置 让 我 们 再 来 看 这 样 一 个 有 趣 的 案 例 : 一 个 小 赌 场 有 两 个 赌 徒, 他 们 赌 骰 子 的 大 小 ( 点 点 3 点 为 小,4 点 5 点 6 点 为 大 ), 赔 率 是 一 赔 一 甲 乙 起 始 赌 本 一 样, 若 干 轮 过 后, 甲 赢 了 5 两 银 子, 乙 赢 了 3 两 银 子 现 在 是 赌 局 的 最 后 一 轮 甲 乙 要 选 择 大 或 小 下 注, 每 轮 赌 注 为 3 两 银 子 假 如 乙 先 下 注, 那 么 甲 只 要 选 择 正 确 的 策 略 就 赢 定 了 乙 若 是 赌 小, 甲 也 赌 小 ; 如 果 乙 赌 大, 甲 也 赌 大 无 论 结 果 如 何, 甲 都 可 以 保 持 其 相 对 优 势, 赢 得 整 局 决 策 树 模 型 如 图. 图 乙 先 下 注 的 赌 局 决 策 树 64

65 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 乙 唯 一 的 希 望 在 于 甲 先 下 注 当 甲 赌 大 时, 乙 赌 小 当 乙 赌 小 时, 甲 赌 大 这 样 乙 有 一 半 的 机 会 取 胜 决 策 树 模 型 如 图 3. 若 是 乙 先 下 注, 则 没 有 任 何 翻 盘 的 机 会 了 此 例 是 个 很 好 的 说 明 : 在 博 弈 游 戏 里, 抢 占 先 机 率 先 出 手 并 不 总 是 好 事 因 为 这 么 做 会 暴 露 你 的 行 动, 其 他 参 与 者 可 以 利 用 这 一 点 占 你 的 便 宜 第 二 个 出 手 可 能 使 你 处 于 更 有 利 的 策 略 地 位 图 3 甲 先 下 注 的 赌 局 决 策 树 4 生 活 中 的 数 学 游 戏 再 来 举 一 个 生 活 中 的 例 子, 说 明 先 后 问 题 影 响 游 戏 胜 负 的 数 学 依 据 有 一 个 游 戏, 共 有 30 枚 棋 子, 两 人 轮 流 抓 每 人 每 次 可 以 抓 取 个, 个 或 者 3 个 抓 到 第 三 十 个 棋 子 的 人 输 另 一 个 游 戏, 共 有 0 枚 棋 子, 两 人 抓 取 的 规 则 不 变, 拿 到 第 二 十 个 棋 子 的 人 胜 两 个 相 似 的 游 戏, 有 着 不 同 的 必 胜 策 略 只 要 有 一 点 数 学 头 脑, 认 真 分 析 一 下, 就 能 找 到 取 胜 的 诀 窍 对 于 游 戏 一, 为 了 使 对 方 拿 到 第 30 枚 棋 子, 那 么 我 方 必 须 拿 到 第 9 枚 由 于 每 人 每 次 抓 取 的 个 数 是 有 限 定 的, 那 么 我 们 可 以 保 证 每 一 回 合 两 人 抓 取 数 量 之 和 为 定 值 4 那 么, 从 9 向 前 递 推, 我 方 要 抓 到 第 5,,, 枚 棋 子 胜 只 要 先 抓 取 棋 子, 对 方 抓 取 n 个 ( n 3, n z ), 我 方 抓 取 (4 n) 65 个, 即 可 保 证 取 对 于 游 戏 二, 秘 诀 则 相 反 让 对 方 先 抓 取, 我 方 后 抓 取 只 要 保 证 每 轮 两 人 抓 取 的 棋 子 总 数 为 4, 即 对 方 抓 取 n 个 ( n 3, n z ), 我 方 抓 取 (4 n) 必 然 拿 到 第 0 个 棋 子 个, 则 五 轮 过 后, 我 方 与 之 原 理 相 似 的 还 有 报 数 游 戏 再 举 一 例 : 两 人 轮 流 报 数, 只 能 报 或, 把 两 人 报 的 数 加 起 来, 最 后 谁 先 报 的 数 和 是 0, 谁 就 获 胜

66 0 年 月总第 7 期 取胜的方法是 先报 对手报 n( n ) 则报出 3 n 使两人报数之和为 4.同样 使两人报数之和为 7 为 0. 如果规则改为 两人轮流报数 每次只能报 或 两人把报的所有数加起来 谁报数 后和是 8 谁就获胜 看似完全不同的规则 仔细一想便知 按对方报 n( n ) 我方则报 3 n 的方法 报 到第六次的时候 和是 8 所以要想取胜,则要后报数并保证每轮两人所报出的数和为 3 以上例子都是利用除法 包括余数 的简单运算 只要以数学思维简单思考 建立基本 模型 那么此类问题都可以找到解答 我们发现 在不同的情境中 会做出先发与后发的不 同选择以制定必胜策略 游戏规则不同 取胜之道不可一概而论 5 结束语 一组意思相反的寻常谚语 就可以举出不少数学例证 引发我们的深入思考 数学作为 科学之科学 在我们的生活中无处不在 并不起眼的一件小事 也许就蕴含着数学原理 我 们认为它司空见惯而忽视之 便错过了探索和思考 也便错过了对知识和真理的严肃认真的 追求 高新技术的基础是应用科学 而应用科学的重要基础之一是数学 数学在人类文明进步 过程中 曾经和正在起到不可替代的作用 它以一种量化的科学计量反映事物的内在规律 更以一种严谨的逻辑推理影响人类的思维方式和发展模式 数学素养 是对我们自身思考能 力的锻炼 经济学专业的基础 也是新时代人才应有的要求 发现 也正是兴趣和动力的起点 参考文献: [] 哈尔范里安. 微观经济学 现代观点[M]. 上海 上海人民出版社 00:40 [] 全贤唐 张健. 经济博弈分析[M]. 北京 机械工业出版社 [3] 李仁军. 微观经济学[M]. 北京 清华大学出版社 007:64 [4] 赵新顺 非线性古诺模型和斯塔克伯格模型的性质[J]. 吉首大学学报 自然科学版, 00,(3):5-8 [5] 迪克西特 奈尔伯夫. 妙趣横生博弈论[M]. 北京:机械工业出版社, 009:350 66

67 0 年 月总第 7 期 编辑点评 该文选题角度新颖 结合上海世博会的场馆 探讨了场馆的形体所表现的数 学图形 文章层次清楚 结构合理 语言通顺 有一定的个人见解 论文通过上海世博会的几个场馆的结构 根据数学中空间图形的特征 揭示 了数学图形的作用和魅力 展现出 世博会中的数学元素 刘博心 学院 周恩来政府管理学院 专业 社会学 学号 0767 摘 要:上海世博会已经落下帷幕,从世博园区的建设 到中国馆 委内瑞拉馆 匈牙 利馆等场馆的建设 无不体现着深刻的数学思想 都体现着数学独特的美 本文将简单的介 绍上海世博会中数学的应用和重要作用 从而看到其中体现出的 关键词 数学 世博会 建筑 作用.导言 00 年 4 月 30 日晚 8 点 0 分 由国家主席胡锦涛宣布 举世瞩目的上海世博会正式 开幕 其实 世博会上的数学展示历来是一大重头戏 900 年的巴黎世博会上 数学天才 黎曼曾提出著名的 黎曼猜想 用数学开启了一个世纪的空间革命 建筑 只有数与形结 合 才更具有神韵 数学 赋予了建筑活力 同时数学美也被建筑展现得淋漓尽致.世博园区 图.世博园区俯瞰图 世博会中的数学 真是无处不在 预计超过 7000 万人的参观数量 超过 40 个国家和 国际组织的报名数量 这个数据是怎么得出的 可以肯定的是 这不是一个精确数 不会是 简单的将各参展方的协议中所提供的数字累加而来 更不是凭空猜想出来的 其实 超过 一词已经提示了我们 这个数据是通过数学方法 估算 出来的 像我们在进行数学运算 时 将运算结果进行四舍五入 就是估算最常见的应用 世博会的场馆大多宏伟壮观 他们诞生在才华横溢的建筑设计师们的设计板上 而这需 要精确计算建筑的高度 宽度 长度 这样的庞然大物能否站稳 也要计算它的角度 要用 67

68 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 到 几 何 等 数 学 知 识 来 进 行 运 算, 从 而 进 一 步 进 行 施 工 而 场 馆 里 的 那 些 先 进 科 学 产 品, 要 制 造 研 发 出 来 就 更 加 需 要 数 学 也 许 某 些 被 称 作 化 学 公 式 物 理 公 式 的 东 西 听 上 去 和 数 学 没 什 么 关 系 但 运 用 公 式 的 方 法, 也 是 数 学 的 一 种 死 的 公 式, 如 果 没 有 进 行 数 学 的 运 算, 又 怎 会 有 新 的 变 化, 从 而 产 生 新 的 发 现 和 发 明 呢? 目 前, 上 海 世 博 会 已 有 0 项 纪 录 入 选 中 国 世 界 纪 录 协 会 世 界 之 最 :. 参 加 国 家 和 组 织 最 多 ;. 志 愿 者 人 数 ;3. 自 建 场 馆 数 量 最 多 ;4. 首 次 同 步 推 出 网 上 世 博 会 ;5. 有 世 界 最 大 单 体 面 积 太 阳 能 屋 面 ;6. 有 面 积 最 大 的 生 态 绿 墙 ;7. 有 世 界 上 单 体 量 最 大 的 公 厕 ;8. 保 留 园 区 内 老 建 筑 物 9. 世 博 会 园 区 面 积 最 大 ;0. 有 世 界 上 最 大 的 水 晶 矩 阵 这 些 数 据 的 统 计 和 考 量, 当 然 也 要 经 过 数 学 方 法 来 进 行 统 计 计 算 和 比 较 3. 中 国 馆 图. 中 国 馆 东 方 之 冠 首 先 看 看 我 们 的 中 国 馆 这 次 的 中 国 馆, 以 艳 丽 的 中 国 红 色 为 外 观 色, 运 用 了 在 中 国 传 统 建 筑 中 常 用 的 数 学 知 识 对 称 的 原 理 对 称, 是 指 物 体 或 图 形 在 某 种 变 换 条 件 ( 例 如 绕 直 线 的 旋 转 对 于 平 面 的 反 映, 等 等 ) 下, 其 相 同 部 分 间 有 规 律 重 复 的 现 象, 亦 即 在 一 定 变 换 条 件 下 的 不 变 现 象, 指 图 形 或 物 体 两 对 的 两 边 的 各 部 分, 在 大 小 形 状 和 排 列 上 具 有 一 一 对 应 的 关 系 4 东 方 之 冠 运 用 了 轴 对 称 这 一 数 学 原 理, 使 建 筑 显 得 庄 重 大 方 对 称 在 生 活 中 还 有 许 多 的 应 用, 比 如, 用 辐 射 对 称 动 物 来 作 为 左 右 对 称 动 物 的 对 应 词 该 馆 在 34 米 以 下 仅 存 在 6 根 劲 性 钢 柱, 即 每 个 核 心 筒 的 四 个 角 部 设 置 截 面 为 箱 形 的 劲 性 钢 拄, 从 底 板 起 始 达 60 米, 与 屋 顶 桁 架 顶 高 度 相 同 从 米 起, 采 用 0 根 巨 型 钢 斜 撑 支 撑 起 整 个 大 悬 挑 的 钢 屋 盖 巨 型 钢 斜 撑 底 部 与 核 心 筒 内 的 劲 性 柱 连 接, 中 间 通 过 层 层 楼 层 钢 梁 与 核 心 筒 连 接, 顶 部 通 过 钢 桁 架 与 核 心 筒 连 接, 锚 固 于 劲 性 钢 柱 上 为 提 供 巨 型 钢 斜 撑 底 部 的 结 构 水 平 刚 度, 在 33.5 米 处 设 置 了 内 含 钢 梁 的 劲 性 楼 层 33 米 劲 性 楼 层,0 道 巨 型 钢 斜 撑 及 楼 层 与 屋 顶 桁 架 层 共 同 构 成 了 整 个 钢 屋 盖 的 主 要 受 力 体 系, 提 供 了 各 楼 层 的 承 载 支 撑 东 方 之 冠 的 设 计, 高 63 米, 架 空 层 高 33 米, 架 空 平 台 高 9 米, 上 部 最 大 边 长 为 38 米 乘 38 米, 下 部 四 个 立 柱 外 边 距 离 70. 米, 再 加 上 轨 道 8 号 线 在 基 地 西 南 角 地 下 穿 过 兼 顾 到 美 观 与 安 全, 每 一 步 的 设 计 每 一 根 横 梁 的 位 置, 都 是 在 深 思 熟 虑 之 后, 通 过 严 谨 而 繁 琐 的 数 学 计 算 才 跳 出 图 纸 的 4 百 度 百 科 68

69 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 4. 委 内 瑞 拉 馆 图 3. 委 内 瑞 拉 馆 委 内 瑞 拉 馆 是 一 个 别 具 匠 心 的 展 馆, 是 一 幢 没 有 边 界 的 建 筑 寓 意 为 城 市 如 同 一 条 不 间 断 的 道 路, 前 方 永 无 止 境 在 这 样 的 理 念 下, 委 内 瑞 拉 展 馆 引 入 了 数 学 上 几 何 图 形 克 莱 因 瓶 的 立 体 结 构 在 阳 光 照 射 的 下, 委 内 瑞 拉 馆 的 外 面 与 内 面 相 融 会, 以 循 环 线 结 构 模 糊 淡 化 了 层 次 的 界 限, 近 似 为 数 字 8 委 内 瑞 拉 馆 运 用 莫 比 斯 环 的 表 现 形 式, 它 的 三 维 立 体 结 构 被 称 为 克 莱 因 瓶, 克 莱 因 瓶 的 结 构 就 是 一 个 没 有 边 界 的 连 续 的 闭 合 曲 面, 外 面 与 内 面 相 融 会 克 莱 因 瓶 最 初 的 概 念 提 出 是 由 德 国 数 学 家 菲 利 克 斯 克 莱 因 提 出 的 克 莱 因 瓶 和 莫 比 乌 斯 带 非 常 相 像 克 莱 因 瓶 的 结 构 非 常 简 单, 一 个 瓶 子 底 部 有 一 个 洞, 现 在 延 长 瓶 子 的 颈 部, 并 且 扭 曲 地 进 入 瓶 子 内 部, 然 后 和 底 部 的 洞 相 连 接 和 我 们 平 时 用 来 喝 水 的 杯 子 不 一 样, 这 个 物 体 没 有 边, 它 的 表 面 不 会 终 结 它 也 与 气 球 不 同, 一 只 苍 蝇 可 以 从 瓶 子 的 内 部 直 接 飞 到 外 部 而 不 用 穿 过 表 面 5 一 个 利 用 参 数 方 程 式 创 造 出 立 体 麦 比 乌 斯 带 的 方 法 是 : x(u,v)= ( + v cos u ) cos u y(u,v)= ( + v cos u ) sin u v u z(u,v)= sin 其 中, 0u<π 且 - v 这 个 方 程 组 可 以 创 造 一 个 边 长 为 半 径 为 的 麦 比 乌 斯 带, 所 处 位 置 为 x-y 面, 中 心 为 (0,0,0) 参 数 u 在 v 从 一 个 边 移 动 到 另 一 边 的 时 候 环 绕 整 个 带 子 数 学 中 有 一 个 重 要 分 支 叫 拓 扑 学, 主 要 是 研 究 几 何 图 形 连 续 改 变 形 状 时 的 一 些 特 征 和 规 律, 克 莱 因 瓶 和 麦 比 乌 斯 带 变 成 了 拓 扑 学 中 最 有 趣 的 问 题 之 一 麦 比 乌 斯 带 的 概 念 被 广 泛 地 应 用 到 了 建 筑, 艺 术, 工 业 生 产 中 委 内 瑞 拉 馆 这 一 设 计 象 征 着 想 要 消 弭 城 市 化 过 程 中 出 现 的 鸿 沟, 也 表 示 委 内 瑞 拉 各 种 社 会 因 素 和 文 化 的 相 融 合, 没 有 界 限, 具 有 无 限 的 延 展 性 展 馆 在 平 面 结 构 上, 以 循 环 线 结 构 模 糊 淡 化 了 层 次 的 界 限, 加 强 了 空 间 的 整 体 感 5 百 度 百 科 69

70 数 学 之 美 0 年 月 总 第 7 期 图 4. 克 莱 因 瓶 图 5. 麦 比 乌 斯 圈 5. 数 学 奇 迹 匈 牙 利 馆 Gomboc 图 7. 匈 牙 利 馆 匈 牙 利 馆 占 地 000 平 方 米, 展 馆 设 计 为 木 质 结 构 和 音 响 系 统 充 分 结 合, 近 千 根 从 天 而 降 的 木 套 营 造 出 一 个 森 林, 木 套 筒 不 但 可 以 反 光, 还 可 以 随 着 音 乐 的 旋 律 上 下 起 伏, 给 观 众 带 来 奇 妙 的 音 效 和 视 觉 冲 击 通 过 独 特 运 动 轨 迹 创 造 出 一 个 如 波 浪 般 的 声 场, 表 现 城 市 的 发 展 变 化 以 及 如 脉 搏 跳 动 般 的 生 命 力 作 为 匈 牙 利 馆 的 镇 馆 之 宝,Gomboc 最 大 的 特 点 是 无 论 以 何 种 角 度 放 置 在 水 平 面 上, 它 都 可 以 自 行 回 到 其 稳 定 点, 是 匈 牙 利 两 位 天 才 数 学 家 花 了 十 几 年 才 完 成 的 最 新 发 现 不 倒 翁 是 人 们 非 常 熟 悉 的 一 种 物 理 力 学 现 象, 其 原 理 是 上 轻 下 重 的 物 体 比 较 稳 定, 也 就 是 说 重 心 越 低 越 稳 定 当 不 倒 翁 在 竖 立 状 态 处 于 平 衡 时, 重 心 和 接 触 点 的 距 离 最 小, 即 重 心 最 低 偏 离 平 衡 位 置 后, 重 心 总 会 升 高 因 此, 不 倒 翁 的 这 种 平 衡 状 态 是 稳 定 平 衡, 无 论 如 何 摇 摆, 它 总 是 不 倒 即 使 外 力 改 变 其 平 衡, 一 旦 外 力 消 失, 它 还 会 迅 速 恢 复 不 倒 翁 只 有 一 个 平 衡 6 点 和 一 个 非 平 衡 点, 但 不 倒 翁 内 部 是 不 均 匀 的, 下 部 重 或 者 在 底 部 安 装 有 配 重 物 体, 而 Gomboc 却 是 完 全 均 质 的 Gomboc 只 有 一 个 稳 定 的 平 衡 点 和 一 个 不 稳 定 的 平 衡 点, 受 到 外 力 作 用 倾 斜 或 翻 倒 后, 它 会 自 动 恢 复 到 原 平 衡 点 6 注 : 平 衡 点 : 存 在 系 统 演 化 中, 系 统 状 态 保 持 不 变 的 状 态 点 当 系 统 受 到 干 扰 时 状 态 可 自 行 恢 复 到 平 衡 点 时, 也 被 特 别 地 称 为 稳 定 平 衡 点, 不 然 是 不 稳 定 的 70

71 0 年 月总第 7 期 图 7.Gomboc 冈比茨 研究人员通过数学计算发现 任何平面形体至少有 个平衡点和 个非平衡点 随后 研究人员在三维形体上进行试验 并通过数学计算模型 用实物制成了独一无二的形状 它 的表面是非常复杂的修圆形状 在自然界中 印度的星龟具有类似的形状 它是继魔方之后 匈牙利人的又一项世界级发明创造 它集科学性与趣味性于一体 在上海世博会上一个重达 一吨的 Gomboc 被布置在展馆的中央 Gomboc 象征平衡与和谐 既是匈牙利馆主题 和谐 的体现 也象征中方文化中的 阴阳 中庸理论 融入了阴阳太极的理念 胡思蒂把 Gomboc 的特性与匈牙利这个国家紧 密的联系在一起 同 Gomboc 一样 匈牙利总是能够从挫折中 重新站立起来 这也是 匈牙利人民在城市化发展道路上一直以来所遵循的理念 谜一般的 Gomcoc 是一个神秘奇妙的数学公式 也许还是未来生活的一把钥匙 6.总结与感悟 上述例子只是世博会中应用数学知识和原理的一些代表 还有许许多多的数学知识应用 于世博会中 其实 不仅仅是世博会 生活中到处都离不开数学 建筑在数学思维的启发下 才能不断发展 才能为世界创造和谐美 是一种客观存在 是自然美在数学中的反 映 千百年来 数学已成为设计和构图的无价工具 它既是建筑设计的智力资源 也是减少 差错和失误的重要手段 数学是科学的皇后 它是一把打开生活智慧大门的钥匙 我们要 运用好这把钥匙 探索未知的领域 感受科学的美妙 应用于生活 造福我们自己 造福于 社会 参考文献 [] <An Overview of the World Exposition Shanghai China 00>, China Publishing Group, China Translation and Publishing Corporation 009 年 4 月第一版 [] <The WORLD EXPO 00 SHANGHAI China s 59-year endeavor> 兰佩瑾 杨靓编 外文出版社 00 年 3 月第一版 [3] 00 年上海世博会建筑 中国建筑工业出版社 00 年 5 月 [4] 建筑世博会 郑时龄 陈易 上海大学出版社有限公司 00 年 月 [5] 浅谈的形式在建筑中的体现 何浪 中国论文联盟 009 年 月 [6] 世博与建筑 郑时龄 东方出版中心 009 年 4 月 [7] 中国 00 年上海世博会官方导览手册 上海世纪出版股份有限公司 00 年 4 月 7

72 0 年 月总第 7 期 编辑点评 该文作者选修了 数学文化 课程 在撰写读书报告和上讲台演讲过程中再 一次回顾了自己所学过的会计学 有了许多感悟 遂形成此文 读者从文章中可 以清楚地看到 数学的公理化思想及其方法 数学化繁为简的思想 数学建模思 想及其方法等在会计学中得到了充分的应用 我们甚至可以想像 没有这些应用 现代会计学恐怕很难建立起来 此文让读者体会到 大学生们 甚至包括硕士 博士研究生们 应当从自己 的某些专业课程中汲取蕴含其中的数学文化 以提升自身的数学素质 并进而能 够自如地运用数学思想 数学思维 数学精神和数学方法于自己的专业之中 会计学中数学思想和数学方法浅谈 缪文蓓 南开大学 商学院 国际会计 097 摘 要 5 世纪 一位意大利数学家的一本著作确定了现代会计体系 就此决定了 会计与数学千丝万缕的联系 数学的抽象性决定了其在实务性的会计中的应用性 同时两者 都是追求准确严谨的学科 回顾所学的不多的浅显会计知识会发现有不少数学方法和数学思 想蕴含其中 关键词 数学思想 数学方法 会计学 公元前 3000 年 美索不达米亚人用毛坯记录税务单据 从那时起 会计就在不断地满 足用户信息需要的过程中逐步发展 但是 由于生产力发展水平的低下 早期的会计发展是 十分缓慢的 作为现代意义上的 会计 一般认为始于 4 世纪 其标志是 340 年左右形 成的 热那亚会计体系 494 年 意大利传教士 数学家卢卡 帕乔利 Luca Pacioli (445-57)所著的 算术 几何与比例概要 一书 专门阐述了现代会计的基础 复式 簿记 Double-entry Bookkeeping 原理和方法 现代簿记体系就是从这一体系演变而来 算 术 几何与比例概要 由五部分组成 ①算术和代数 ②商业算术的应用 ③簿记 ④货币 和兑换 ⑤纯粹数学和应用几何 这本书一般被认为是现代会计的开端 一本数学家所著的关于数学与记账的书是近代会计的里程碑 似乎从一开始就决定了 会计与数学千丝万缕的联系 曾有人总结说 哲学从一门学科的退出 意味着这门学科的建 立 而数学进入一门学科 就意味着这门学科的成熟 作为一门与本身就是研究有经济意 义数字的学科 会计的发展一直与数学如影相随 并且将越来越紧密 作为两门有着千丝万缕联系的学科 比较数学和会计两个学科的异同是有意义的 从抽象性来看 数学研究对象的抽象性使其具有超越科学和普遍适用的特征 具有公共 基础的地位 而会计又是相对具体实用的学科 它是人类的生产经济活动的工具 可以说数 学的高度抽象性带来了其应用的极其广泛性 这又决定了数学在会计中的应用 从精确性来看 数学的精确性 表现在数学推理的严谨和数学结论的确定两个方面 会 计也是以精确严谨为目标的学科 作为给经济活动提供数字依据的工具 准确是会计的存在 意义 从发展动力来看 数学与会计一样 来源于实践 但是数学学科形成后就具有相对的稳 定性 数学学科的发展动力 不仅来源于数学以外的实践 也来源于数学的内部 特别是基 础数学 或称核心数学 数学内部提出的问题 往往成为其发展的主要动力 如希尔伯特 9 世纪提出的 3 个问题 因为其对于数学研究的成果和发展趋势的洞察而成为数学史上的 一个重要里程碑 然而 从会计的重心开始转向企业的经济活动开始 现代会计的整个框架 都是在适应股份公司不断发展的基础上演变完善而成熟的 可以说会计的发展动力主要是来 7

73 0 年 月总第 7 期 自于经济的发展和企业组织的发展 下面就从会计学中数学的一些应用实例来感受蕴含在会计学中的一些数学思想和数学 方法 数学在各个学科中的应用往往分为使用广泛的数学方法和严谨独特的数学思想两个方 面 由于笔者专业课中只学了初级的财务会计和管理会计等一些很浅显的课程 所以对于数 学方法在会计学中应用的体会有限 故仅以混合成本的分解作为例子 重点分析数学思想和 数学方法在会计学中的应用 数学方法的应用 混合成本 Mixed Cost 是指在相关范围内随着产量的增减变动而不成比例变动的成本 为了便于判断成本与业务量之间的确切关系 会计人员通常将混合成本人为地分解为固定成 本 Fixed Cost 和变动成本 Variable Cost 指总额随着产量的增减变动而成正比例变动的 成本 两部分 常用的混合成本分解法包括以下四种. 账户分析法 指直接根据会计科目的性质 内容和有关会计核算制度及费用开支的规定 将成本直接 划分 但本方法存在很大的主观估计成分 不够客观 准确. 高低点法 在相关范围内 以最高和最低两个作业量水平下的成本额为基础 推算出混合成本中固 定总额和单位变动成本的一种方法 单位产品的变动成本 V Y X 其中 Y, X 分别为 高低点固定成本之差 和 高低点业务量之差 F 高点总成本- V 高点业务量 或 F 低点总成本- V 低点业务量 此方法类似于数学中已知两点的坐标值求过该两点的直线方程 即为混合成本中自变量 为产量和函数值为成本的函数关系.3 散布图法 通过历史成本数据描绘在坐标图上 绘出各期成本点的散布图 然后利用目测的方法画 出一条拟合直线 使该拟合直线尽可能地代表所有的成本点 这条拟合直线在纵轴上的截距 即为固定成本 斜率为单位产品的变动成本 成本 产量 图 散布图法 73

74 0 年 月总第 7 期.4 回归直线法 又称回归分析法 是借助统计学中的一元线性回归分析 利用历史成本数据回归出一条 拟合直线 该拟合直线可以保证误差平方和最小 其截距和斜率即分别为固定成本总额和单 位变动法 一元线性回归方法在这里不再赘述 笔者在学习这四种混合成本分解方法时 联想到数学教科书在介绍线性回归方法之前的 引言 在那个引言中 也是先介绍了几种简单直观的方法 然后引出线性回归概念和方法 从上面介绍的混合成本分解的四种方法中 可以看出这四种方法中会计的成分越来越少 数 学的味道则越来越浓 因主观而可能引起的误差越来越小 结果的客观性准确性则越来越高 而这正是会计学中最为重视的原则之一 虽然这只是初级会计处理中很简单的数学应用 但 数学思想及其方法在会计中的应用及重要性在此已见一斑 在更加专业的理财 管理会计研究领域中 现代理财论总的说来是围绕估价问题而展开 的 如探讨投资风险和投资报酬的投资组合理论 Portfolio Theory 后来该理论又发展为 资本资产定价模型 CAPM 套利定价理论 Arbitrage Pricing Theory 探讨资本结构与企 业总价值关系的资本结构理论 Capital Structure Theory MM Modigliani Miller 理论 米勒模型 Miler Model 等 其中广泛应用了微积分 线性代数及概率论与数理统计 针 对创新金融工具的估价模式 期权定价模型则广泛地应用了偏微分方程 随机微分方程及 倒向随机微分方程等较为先进 复杂的数学理论与方法 数学思想的应用 在 数学文化 课程的学习过程中 笔者再次回味所学过的会计学 体会了蕴含其中一 些数学思想 主要有公理化方法 分情况讨论 建模 化繁为简等. 公理化方法 公理化方法是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题 即公理 公设 出发 按照逻辑规则推导出其他命题 建立起一个演绎系统的方法 可以说是构建一个学科的基础 会计是表达经济活动的一种商业语言 而由于作为会计核算对象的企业经营活动和会计 核算所面临的环境具有不确定性 因此需要对会计核算对象及其环境做出必要的约束性规 定 即建立会计假设 从而保证商业语言的真实 公允 与当初亚里士多德的 三段论 和欧几里得的 几何原本 一样 会计假设也是致力于 构建一个会计的公理系统 会计主体假设 确定了会计主体的范围是一个特定企业的经营 范围而不是企业所有者本人 更不是其他企业的经营活动 这限定了核算的空间范围 持 续经营假设 确定了在可以预见的将来 企业不会面临破产清算 这限定了核算的计价基础 会计分期假设 确定了会计核算应当划分会计期间 分期结算账目和编制财务会计报告 这限定了核算的时间范围 货币计量假设 则确定了会计核算以人民币为记账本位币 这 限定了会计核算的计量单位 会计假设为开展会计核算奠定了必要的基础 它们为了会计核算的整个体系奠定了一个 框架准则 如果没有这些假设 可以想象会计语言将多种多样 不同的空间范围 计价基础 时间范围和计量基础将使会计信息失去可比性 甚至失去真实性 那么所有的会计理论和会 计方法都有可能失去其合理性 例如 缺乏 持续经营假设 会计核算的许多原则如权责发生制 划分收益性支出与 资本性支出等将不能够应用 另外 会计处理也将不同 对于购置的固定资产 一种方法是 假设企业将正常经营 固定资产会正常使用 应对资产进行实际成本法 并进行折旧摊销处 理 另一种方法是假设企业将面临破产清算 购买固定资产则是为了转让和销售 应该按公 允价值计量 同时作为存货计入固定资产 然而由于企业是为了盈利和发展而存在的 尽管 存在破产和清算的风险 但从企业经营实践来看 绝大数企业确实都能经营下去 破产清算 74

75 0 年 月总第 7 期 的毕竟是少数 除非存在明显的反证 一般都应该按照持续经营来处理 如果缺乏这一假设 会计原则将不能应用 并且会因会计方法的不同而给信息使用者表达完全不同的信息 带来 不必要的误解. 分情况讨论思想 分情况讨论是数学严谨性精神和区别对待思想的表现 在会计中也属常见 首先是对于经营不同业务的企业有不同的会计制度 销售性企业会比服务性企业多出销 售成本 毛利 营业费用等分录 对于存货要求不同的企业 又会有不同的存货盘存制度 如定期盘存制和永续盘存制 定期盘存制又叫实地盘存制 是通过期末的实地盘点来确定存货的期末结存数量和金额的一 种盘存制度 这种方法工作量少 但是不利于控制存货和存货记账 适用于存货品种规格繁 多 单位价值较低的企业 永续盘存制又称账面盘存制 是指通过对各项存货设置明细账 并在明细账上序时等级各种存货的收入 发出数量 随时计算出存货的结存数量的一种盘存 制度 这种方法对存货进行实时控制 可以随时结账 但工作量大 对于不同的企业要求选 择不同的存货盘存制度 同时 不同存货制度的会计处理不一样 财务分析结果也会有所不 同 发出存货成本的计价方法也因为存货的不同而有所不同 主要有个别计价法 平均成本 法和先进先出法 个别计价法是指以每一批存货购入或生产时的时间单位成本 作为该存货 发出时的单位成本 期末按每批存货购入或生产时的单位成本确定期末存货的成本 平均成 本法又分为一次加权平均法和移动加权平均法 主要思想即以加权平均成本来计算存货发出 时的单位成本及期末的存货 先进先出法是假设先购入的存货先发出 即企业发出的存货时 按照购入存货的先后次序进行 先购入的存货先发出 并按购入存货的单位成本作为发出存 货的单位成本 进而确定发出存货和期末存货成本的一种方法 关于此类的例子还有很多 根据不同的情况进行不同的会计处理是会计的一大特色 正 是由于针对不同情况的多种处理方式 使会计学一步步发展为完整 结构严谨的学科和工具 而分情况讨论 即具体情况具体分析 也是数学的一个重要思想 体现的是思维逐步深入 细化的过程.3 建模思想 将实际问题用数学语言描述出来 即成为数学模型 可以认为建模就是把具体事物加以 最终能反映事物本质的过程 下面以固定资产折旧为例 谈谈其中的数学建模思想 折旧 Depreciation 是将长期资产的价值系统地分配到各个会计期间的做法 主要的 折旧方法有三种 直线法 工作量法和加速折旧法 直线法又称年限平均法 是指将固定资产的应计折旧总额平均地分摊到估计使用年限 内的方法 计算公式如下 固定资产原值 预计净资产 预计使用年限 年折旧率 0 0% 预计使用年限 工作量法是指按照固定资产所完成的工作量来计算折旧额的方法 计算公式如下 固定资产原值 预计净资产 单 位 工 作 量 折 旧 额 预计工作量 年 折 旧 额 各期折旧额 单 位 工 作 量 折 旧 额 各期实际折旧额 75

76 0 年 月总第 7 期 工作法实际上是直线法的一种变形 它考虑到了固定资产对公司收益的实际贡献 对 于价值量较高 折耗取决于使用程度的资产来说 该方法是比直线法更精确一些的方法 加速折旧法又称递减折旧法 是指固定资产使用初期多计折旧 在使用后期少计折旧 从而使得折旧速度相对加快的一种方法 这种方法的出现主要是考虑到一般情况下 固定资 产在使用初期的工作效率较高 所带来的经济效益也相对较大 而服务的损耗较大 因此固 定资产初期的折旧费用也相应较大 常见的加速折旧法有年数总和法和双倍余额递减法 年数总和法的具体计算公式如下 年初尚可使用年限 年折旧率 0 0% 年数总和 折旧年限 已使用年限 00% 折旧年限 折旧年限 / 年折旧额 固定资产原值 预计净值 年折旧率 双倍余额递减法的具体计算公式如下 双 倍 直 线 折 旧 率 0 0% 预计使用年限 年折旧额 固 定 资 产 账 面 价 值 双 倍 直 线 折 旧 率 通过以上三种思想 四种方法的比较我们会发现 直线法将折旧看做是时间的函数 工 作量法将折旧看做是产量的函数 加速折旧法则是建立了两种特殊的折旧模型 使早期的折 旧费用比后期的多 从而平滑各年的利润 这三种方法体现了使模型逐渐完善 逐渐接近于 实际情况 直线法没有考虑固定资产的实际使用情况 而工作量法考虑到了 进而加速折旧 法则更进一步考虑了有形损耗和无形损耗的影响 事实上 建模也广泛应用于财务会计研究领域 早期的实证会计研究主要是从有效市场 假设 EMH 和资本资产定价模型 CAPM 出发 检验财务会计数据与其他经济指标 特 别是股价 的关系 建模不仅是一种数学思想 实现的过程中也要应用到许多的数学知识.4 化繁为简思想 数学的另一个重要思想是化繁为简 这种思想在会计学中也被广为应用 比如前面提 到的混合成本分解问题就充分体现了这一思想 实际上 很多时候这些成本是难以分开成固 定成本和变动成本的 因为固定成本和可变成本本身就不存在严格的界限 但是在会计学中 我们忽略了那些次要因素 抓住主要因素 使原本纠缠不清的纷繁复杂的混合成本变得简单 且条理比较清晰 从而使得对混合成本的分割变得简单易行 具有较好的可操作性 尽管这 种分割一般说来会产生一定的误差 但是由于我们抓住了主要因素 确保在化繁为简时抓住 的是 西瓜 忽略的是 芝麻 因而所产生的误差可以控制在容许范围之内 此外 在固 定资产折旧的各种方法中 也蕴含这 化繁为简 的数学思想 其实 固定资产的折旧是一 件很复杂很困难的事情 资产千差万别 它们的使用方法也往往各不相同 如果再考虑到某 些意外损耗 将使折旧无法实现 而从前面介绍的方法中 可以显见很多次要因素被忽略不 计了 方法中考虑的只是少量的几个主要因素 用数学语言来讲 比如原本固定资产的折旧 率可能是一个时间的非线性函数 但在我们的计算公式中 则假定折旧率是时间的线性函数 这个假设对大多数固定资产来说 是可以接受的 而恰好由于有了这个假设 使得折旧问题 得以极大简化 折旧计算也简便易行 资本资产定价模型中股票组合的预期回报率 re 的公式如下 76

77 0 年 月总第 7 期 re rf (rm rf ) 其中 r f 是无风险回报率 即把资金投资于一个没有任何风险的投资对象多能得到的收益 率 是指证券的 Beta 系数 是反映某一投资对象相对于大盘的表现情况的统计学概念 rm 是市场期望回报率 rm rf 是指股票市场溢价 即投资者为获得超过无风险投资的收益 而需要承受的额外的风险所带来的回报率 可以说 资本资产定价模型的出现为股票估价带来了极大的方便 它简单明确的把任何 一种风险证券的价格都划分为三个因素 无风险收益率 风险的价格和风险的计算单位 具 有很大的实用性 大大起到了化繁为简的作用 当然正如数学中化繁为简会带来与实际值的 误差一样 会计中的化繁为简也往往建立在一系列假设之下 限于专业知识还比较少 笔者现在还只能做些简单的分析 但是仅此这些已经可以看到 数学思想 数学方法对于使会计学成为一门严谨的并能付诸实际应用的学科来讲是至关重要 的因素 参考文献 []顾沛.数学文化.高等教育出版社,008:0-3. []陆正飞,黄慧馨,李琦.会计学.北京大学出版社, [3]石本仁,谭小平.会计学原理.中国人民大学出版社, [4]吕长江.管理会计.复旦大学出版社, [5] 数学方法在会计研究中的应用 77

78 0 年 月总第 7 期 编辑点评 作者从四色问题谈到自己对数学猜想的认识和体会 又用生动的案例说明了 数学猜想对数学以及其他学科发展 对学生培养创新思维的重要意义 并进一步 提出将猜想融入数学教育的建议 本文立意新颖 论据翔实 主线清晰 行文流畅 是一篇质量较高的论文 相信该文能引起许多读者的共鸣及对数学教育更广泛的思考 让猜想融入数学课堂 从四色问题谈数学猜想 经济学院 摘 景哲茹 金融学 0795 要 本文由四色问题引出数学猜想 通过举例分析数学猜想在不同方面的重要意 义 说明数学猜想对于培养学生创新思维的重要作用以及其在数学教育中的重要性 由此得 出让猜想融入数学课堂的主题 最后提出一些将猜想融入数学课堂的方法建议 关键词 四色问题 数学猜想 数学教育 创新能力 引言 伏尔泰 Voltaire 曾说 数学中也有惊人的想象 阿基米德脑海中的想象远比古希 腊大诗人荷马头脑中的想象丰富 数学猜想是发现数学真理的常用方法,翻开数学史可以看 到,许多数学规律都是通过猜想发现的 如欧拉把代数方程与三角方程进行类比猜想,发现了 自然数倒数的平方和公式;阿基米德则通过 称,巧妙猜出了球的体积公式 数学猜想一 旦被证实 就将转化为定理 汇入数学理论体系之中 从而丰富了数学理论 可见 数 学猜想在数学研究中起到了巨大的作用 学生的创新能力已成为二十一世纪的热门话题 现代教育要注重培养学生的创新思维和 创新能力 数学猜想,实际上就是一种创造性想象,是点燃创新思维的火花 然而在众多培养 创新思维的方式 方法中却很少见到猜想能力的培养 本文将从 世界最迷人数学难题 之 一 四色问题 开始探讨数学猜想在数学教育及学生培养中的重要性 以及如何将猜想融入 数学课堂的一些方法 四色问题. 四色问题的提出 85 年 英国大学生弗兰西斯 格思里 (Francis Guthrie)向其兄弗利德克 Frederick 提出猜想 世界上任意的地图都可以用四种颜色着色 使得有共同边界的地区着不同的颜 色 并非 国家越多 地图越复杂所需要的颜色就越多 弗利德克又向他的老师 著名 数学家德 摩根(Augustus De Morgan)请教 德 摩根又写信向自己的好友 著名数学家哈 密顿 W R Hamilton 请教 他们均不能解答 这就是后来为人所知的四色问题 用数 学语言表示 即 将平面任意地细分为不相重叠的区域 每一个区域总可以用 A B C D 这四个字母之一来标记 而不会使相邻的两个区域得到相同的字母(见图 图 ) 近代学术界和公众常常把它和哥德巴赫猜想 费马猜想并称为三大数学猜想 78

79 0 年 月总第 7 期 图 一个最简单的需要着四色的地图 图 一个比较复杂的需要着四色的地图. 对四色问题证明的探索历程 四色问题的提出至今已经有一个半世纪了 最初的二十多年是沉寂期 随着凯利 Cayley 正式把这个问题在 87 年伦敦数学学会上提出 四色问题开始广泛流传并进入 一个高潮 产生了两个著名证明 十余年后第一个证明被发现有误 60 多年后 另一个证 明也被发现有误 人们逐渐认识到看似简单的四色问题实际上有其特别的复杂和艰难 计算 机诞生后 人们开始了用计算机求解四色问题的具体努力 976 年美国科学家阿普尔等人 宣布用计算机证明了四色问题 不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就 他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法 直到现在 仍有不少数学家和数学爱好者在 寻找更简洁的证明方法.3 从四色问题谈猜想 著名难题往往是困难性和简单性的某种结合 地图着色是人人都容易明白的平常 事物 但我们无法回答为什么这样 也就是数学上给不出严格 明确 能令人理解的 证明 这 非常简单 和 极度困难 的鲜明对立 是四色问题的迷人之处 非常 简单 往往吸引那些有好奇心 有自信心的人去试一试 极度困难 会使他们无能 为力 困惑不解 尴尬狼狈 一方面的吸引诱惑 一方面的顽固艰难 使 很多人体会 到探索的喜悦或失败的痛苦 它的证明现在仍然吸引着众多爱好者为它奋斗 四色问题的提出对数学研究的发展具有重大作用 四色问题是格思里大胆猜想的结 果 虽然格思里仅仅是提出四色猜想 没有见到他对此有什么其他贡献 但提出问题 特别 是提出一个好问题 也是巨大贡献 牛顿讲过 没有大胆的猜想 就做不出伟大的发现 先猜想 再证明 是科学发现的规律 伟大的发现源于大胆的猜想 3 数学猜想 3. 什么是数学猜想 数学猜想实际上是一种数学想象,是人的思维在探索数学规律 本质时的一种策略,它是 79