[*]一階線性D

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牡韦
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1 微分方程式 (Differetial Equatio:D.E.) D.E.: 凡是含有微分的方程式分類 : S Oriar D. E.( O. D. E.) : 常微分方程式 ( 僅含有一自變數的 D.E.) D.E. : Partial D. E.( P. D. E.) : 偏微分方程式 ( 具有一個以上自變數的 D.E.) T Total D. E.( T. D. E.) : 全微分方程式 ( 化成全微分形式的 D.E.) Eamples : S T ODE...: si PDE...: u + u TDE...: e cos+ si+ ( * P.D.E. 中, 必存在偏微分算符 : ) 與 D.E. 相關的定義 : () 階 (orer):d.e. 中, 因變數的最高微分階數 4 e ( ) + ( ) + () 次 (eree): 將 D.E. 化成有理整式後, 最高階導函數的次方 e. 其中有理整式 : 因變數及其導函數的次方均為正整數 (3) 線性 (liear):d.e. 各項中, 因變數及其導函數的次方和不大於 ( ); e. 或 D.E. 各項中, 因變數或其導函數至多出現一次 ( 可以沒有 ) + si + + si u + u e si c c (4) 齊次 (omoeeous):d.e. 各項中, 均含有因變數或其導函數 ; e. U V W a lie : ot a lie 或沒有不含因變數的項 ( a trivial solutio : ) + 3 e + 4 cos ( ) + cos D.E. 的解 ( 以 O.D.E. 為例 ) 若將函數 () 代入 D.E. 中, 且能滿足該 D.E., 則稱 () 為此 D.E. 的解 ( 由此定義可得到解的驗證法 : 將函數直接代入 D.E. 中 ) T If DE..: ' +, te ce is te solutio, were cis a aritrar costat. ce ce, a ca sustitute for D. E., e. S Q + ( ce ) + ( ce ) ce is te solutio of D. E.: +. ( 一般而言, 階 D.E. 其通解中, 會含有個任意常數 ) 9 EM( )

2 微分方程式的解 : () 形式上 : 顯解 (eplicit solutio) > f(), uu(,). ( 因變數與自變數的關係可以明確分開表示 ) 隱解 (implicit solutio) > G(,), (, 的關係隱含在方程式中 ) e. eplicit sol.: c + c ; implicit sol.: si( + ) + e () 種類 : 通解 ( eeral sol.): 階 D.E. 的解中, 含有個任意的獨立常數者, 稱之為通解或原函數特解 ( particular sol.): 經由指定通解中任意常數的值而獲得的解奇解 ( siular sol.): 仍是 D.E. 的解, 但不能經由指定通解中任意常數的值而得到者 e. ( ) + : 通解 : c +c ( 只有一個常數 c) 特解 : + (set c) 奇解 : - /4 ( 令 p, 並將上述 D.E. 對微分化簡 ) [*] 直接積分求解 D.E. () ) 求解因變數與自變數的關係, 即得出, 的關係 a) f ( ) f ( ) f ( ) + C ) 使用的積分關係 : ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e ( ) si 4 e 3 ( ) cos4 () 5 L NM O () 3 QP ( 6 ) [*] 變數可分離型 ) 設 u u(,) 為, 的函數, 且可寫成 u f() (), 則稱 u(,) 為變數可分離函數 9 EM( )

3 ) u ) u + 3) u e + 4) u l( ) 5) u si( ) 6) u + ) 變數可分離型 D.E. 求解原則 : 將, 先分開, 再分別積分 () + ( 7) ( )( 3 ) + ( ) ()( 8 + ) + ( + ) ()( 3 + ) + ( + ) ( 9) ( + ) + ( + ) ( 4) si( + ) ( ) + e ; ( ) e + () 5 + () 3, fi (). ( ) ( ), fi ( ). ( 6) ( ), [ Hit: set u ] ( ) e, [ Hit : set u ] [*] 活用微分公式 ) 基本微分公式 : *) C, C is a costat. *) ( u + u ) u + u *3) f f + f *4) u + u + + u u ( + u + + u ) u u u + u + + u C, te solutio. *5) f ( ) f ( ) ( eas ut importat ) *6) m c m u m + m m + m m m c m ) 利用微分公式解 D.E. 原則 : 先乘開再觀察合併 9 EM( 3 )

4 Eamples : () + ( ) + ()( cos ) + (si 4 3 ) ( 4) ( e + e ) + ( e + e ) () ( 6) ( ta ) + sec ( 7) ( 3 + ) + ( 3 + ) () 8 ( + ) + ( + ) ( 9) iterati factor F I HG K J * * F H G I KJ 9 EM( 4 )

5 [*] 一階線性 D.E. DE..: + P ( ) Q ( ) L[ A] P( ), Q( ) are ot te fuctios of. we S T 公式推導 : Q( ) [ A] is omoeeous Q( ) [ A] is oomoeeous DE..: + P ( ) Q ( ) + P ( ) Q ( ) + P Q( ) if it eists a iterati factor I I( ), a te multiplies aove D.E., I + I P I Q E we ope I + I I Q ( I ) I Q I I Q + C I Q + C I Does fuctio I() reall eist? I P I epecte, ot sies ivie, we ave I I l I P P ( ) P e e I e ep P( ) I( ) 解題步驟 :) 化成標準式 : + P ( ) Q( ) 的係數為 P ) 令 I e ( ) ep P( ) 3) I Q + C I Eamples : () - () + (7) + si 3 () + ta si a ( ) (8) + t (3) t cos t (9) + cot cos (4) + ( + ) e () + * (5) ce + * (6) D.E. : + ( ), ( ) S T ( ) is a cotiuous fuctio, fi ( ). * () e t si, * () D.E. : + ( ), < S T,, < ( ) is a cotiuous fuctio, fi ( ). 9 EM( 5 )

6 [*] 電路上的應用 [*] 運算子算符 (Operator) 設 O O O 3 均為線性運算子 () 運算子的作用順序 ( 靠近的先作用 ) (O O O 3 ) (O O )(O 3 ) O [O (O 3 )] e. assume D ) ) D D D D + () ( O + O ) O + O e. ( + D) ( ) + ( D) + (3) liear operator L S L L T L+ L + L (4) 一般而言, 運算子不具交換性 is a aritrar costat. ( O O ) ( O O ) 但 a 為常數時, 則有 :(D a)(a D) & (DD)(DD) D (5) 運算子的相等若 L [] L [], 則稱 L L 或說 : 對函數而言,L L, 即 L,L 具相同的作用 (* 雖然 L L, 但未必具有相同的形式 ) e. si si cd S c T V cosw ST U cos VW for si, cos : D c U c λ λ D e λ e, D λ λ λ D e λ e, D λ (6) if D, D ( a) D + D D + D s r r s ( ) D D D D D r s s r r+ s r s t r s r c D D + D DD + DD () c t 9 EM( 6 )

7 *D.E. 的運算子表示法 D.E. : + p( ) + q( ) r( ) D+ p ( ) D+ q ( ) r ( ) D + p( ) D+ q( ) r( ) L(, D) LD (, ) r ( ), LD (, ) D + p ( ) D+ q ( ). [*] 線性相依與線性獨立線性組合 : 若有個已知函數 :u( ), u( ), L, u ( ), 個任意常數 :c, c, L, c, 則 cu ( ) + cu ( ) + L + cu ( ) ( 注意沒有等號 ) 稱為 u, u, L, u 的線性組合線性相依 : 對於方程式 :c + c + L + c ( A) 其中 c, c, L, c 為個待求常數,,,..., 為個任意已知函數顯然 c c L c 為其一解, 若除了上述情形外, 至少存在一 c 不為零, 使得 (A) 式仍成立, 於是有 c + c + L+ c + c+ + + L + c c 則稱,, L, 彼此為線性相依或者說 :,, L, 函數中的某一個, 能夠以其餘函數的線性組合來表示 (* 但不必每一個函數都用到 ) 線性獨立 : 但如果 (A) 式僅存在 c c... c 的解, 則稱,,..., 彼此為線性獨立或者說 : 函數,,..., 中的任一個, 都不能夠以其餘函數的線性組合表示 * 判斷下列函數為線性相依或獨立 () u, u 4 ( ) cos, cos, si () 3 u, u ( 4) 4,, EM( 7 )

8 [*] Wros 行列式 ) 設 u ( ), u ( ), LL, u ( ) 為個已知函數, 則稱 W u ( ), u ( ), LL, u ( ) u u u L u 3 u u u L u 3 M M M O M ( ) ( ) ( ) ( ) u u u3 L u 為 u( ), u( ), LL, u ( ) 的 Wros 行列式 ) 若 W u ( ), u, LL, u, 則 u ( ), u, LL, u 為線性相依 ; 若 W u ( ), u, LL, u, 則 u ( ), u, LL, u 為線性獨立 Eamples:( 3) () u, u 4 ( ) u, u λ u e, u e ( 4) 4,, 3 ( 5) cos, cos, si λ 3 使用 Wros 行列式判斷 (*) 結論 : 若是線性相依 :, W (, ) ; 或是若 [*] 二階常係數齊次 D.E. : 常數, 則 (, ) 為線性相依 D. E.: + A + B, A, B are ot costats. 我們假設解具 D + AD+ B e λ 的形式, 代入原 D.E., 可得特性方程式 :(caracteristic or auiliar equatio) λ + Aλ+ B 一元二次方程式 4 其中 λ, A± A B 上述方程式的根有下述三種可能的組合 : () 相異實根 : λ λ λ λ ce + ce () 相等實根 : λ λ λ λ e ( c + c) (3) 共軛虛根 : λ p+ jq, λ p jq e p ( a cosq+ si q) 9 EM( 8 )

9 Eamples : ( ) , I. C.: ( ) 6., ( ). ( ) 4 + 4, I. C.: ( ), ( ) 4. () 3 +, I. C.: () 4, (). ( 4) () ( 6) ( 7) () [*] 高階常係數齊次 D.E. ( ) ( ) DE..: a + a + LL + a + a ad + a D + LL + ad + a L( D) LD ( ) L( λ) : cracteristic equatio or auiliar equatio. 若 L ( λ ) 為特性方程式 : () L( λ) λ λ λ λ L λ λ λ λ, λ, L, λ 為互不相等的單根 λ λ λ ce + c e + LL + c e () L( λ) λ λ λ λ 為次重根 c e c + c + c + LL + c λ 9 EM( 9 )

10 (3) L( λ) λ p+ jq λ p jq λ p+ jq, p jq 的次重根 p e A cosq + B siq Eamples: p + e A cosq + B si q p + e A cosq + B si q M p + e A cosq + B si q c () D + D + 5 D + 6 ( ) D D 4 D + 3 c 3 () 3 D D + 3 c i ( 4) D + 4 D + 8 D + 7 D + 3 c () 5 D + D + 9 EM( )

11 [*] 二階常係數線性非齊次 D.E. DE..: + a + r( ) [ A ] 其中 a, 均為常數 () : + a + : 含兩個任意常數 ( ) : + a + r( ) : 不含任意常數 p p p p p 則 + p 齊次解非齊次解零輸入響應零態響應自然響應受激 ( 激勵 ) 響應主要的暫態部分穩態部分求解二階常係數線性非齊次 D.E. [A] 式的步驟 : ) 先求齊次解 : ) 設法找到非齊次解 : p 3) 最後得到全解 : + p 未定係數法 :( 求解常係數 D.E. 的非齊次解 p ) (*) 未定係數法的適用情形 : () 常係數 D.E. () 若 r() 經任意次微分後, 僅出現有限的可能項 a e.: e,, cos, ta, l (*) 如何假設 p ( 與 r() 有關 ) assume liear comiatio 規則 : p cu ( ) + cu( ) + + cu( ) ) r() 經任意次微分後, 所出現的有限可能項為 were c, c,, c are waiti to e etermiate u (), u (), u 3 (),, u () ( ow ) 則設 : p 為 (u (), u (), u 3 (),, u ()) 的線性組合, 即 p c u () + c u () + c 3 u 3 () + + c u () 其中 (c, c, c 3,., c ) 為等待決定的係數, 故稱之為未定係數法 ) 接著將 p 代入原 D.E., 比較係數以決定 (c, c, c 3,., c ) 的值 D r( ) u ( ), u ( ),, u ( ) E. (*) r() p 應假設的形式 K p A e a a p A e p A+ A + A + + A cosq p A q B q si q cos + si λ 給定的 e 形式對應的 λ 值 e a a p e cosq p e si q p± jq cosq si q ± jq a e a 的 (+) 次重根 c 9 EM( )

12 (*) 假設 p 時的修正原則 : ( 與 r(), 的特性根有關 ) ) 若 r() r () + r (), r (): p r (): p, 則 p p + p ) 若 r() r () r (), r (): p r (): p, 則 p p p 3) 若 r ( ) e a, 且 λ a 亦為的次重根, a 即 e c + c + c + + c, c a 則須設 : e 例如 :( 合併同類項或係數 ) a r( ) e Ae a p r ( ) + p p a if r( ) r ( ) + r ( ) + A e + + p p p if r( ) r ( ) r ( ) a a ( Ae )( + ) e ( c + c ) p p p were c A, c A if r( ) + r( ) a p r ( ) + p + a + + A + A, were A a + ; A p p p. if e ( c + c ) + ( a cos3 + si 3) λ,, ± j3 r ( ) e + si3 r( ) e ( λ ) c e p p r ( ) si 3 λ ± j3 A cos3+ B si 3 + c e + A cos3+ B si 3 p p p c c Eamples : () + si ( ) e () 3, I. C.: () / 9 EM( )

13 Eamples : () e + 5 ( ) + e () e ( 4) D D 3+ e () cos ( 6) + 9 si3 [*] 聯立方程式 + t () S fi (), t (). t t T S T + t t ( ) fi ( t), ( t). t e t t 9 EM( 3 )

14 () + 3, I.C.: ( ), () e e 3 3 ( ) 6 + 9, I.C.: ( ), ( ) 5 e e ( ) () , I.C.: (), () e cos+ si c D.E. 類題演算 DIY, please! 3 ic 3 () 8 D.E.: D+ 3 D 4D+ 7 c ( 9) D.E.: D + 4D+ 3 c 3 e c + c + c + e acos 3+ si 3 e a cos3+ si 3 i + e a cos3 + si 3 c ce + ce + c3e () D.E.: D+ D 4D+ 3 ic 3 ( ) D.E.: D D + 4D + 5 ce + c e + c e ( ) ( 5) 3 ce c e () 8 6e + Ae 5e p c ce + c e 3 + c e () 3 D.E.: D+ 3D + 5D ( 4) D.E.: D+ 3 D + D c ce 5 + e + 4 ce c 4 e c c e c + + c + c + + e a cos + si 3 + e acos + () 5 D.E.: D+ 4 D + 8D+ ( 6) D.E.: D 4 D 6 ( 7) D.E.: D D D 6D e a cos+ si si () si (3) (4) + 4 si 3 (5) 3 + e e c (6) D 8D+ 6 3e 4 ce + c e 3 p 8 cos 3 + si e c + c p A 3 4 a cos+ si A + B cos3 si 3 si 3 p ce + c e Ae + Be e e p 6 4 e c + c 4 3 Ae e p 4 5

15 常用數學公式 a) t l t ( > ) special cases : l( ), l( ), l( ) + ) l( ) l + l l( ) l l r l( ) r l a) e , e, jθ e cosθ + jsiθ ) e ep( ) c) l e ep(l ) le l(ep( )) si( A+ B) si A cos B+ cos A si B si( A B) si A cos B cos A si B cos( A+ B) cos A cos B si A si B cos( A B) cos A cos B+ si A si B si A cos B si( A+ B) + si( A B) cos A si B si( A+ B) si( A B) cos A cos B cos( A+ B) + cos( A B) si A si B cos( A+ B) cos( A B) A+ B ( )/ assume A B te A + S S B ( + )/ T + si + si si cos + si si cos si + cos + cos cos cos + cos cos si si si θ siθ cosθ cosθ cos θ si θ cos θ si cos cosθ cosθ θ +, si θ T θ 常用數學公式

16 微積分定理與公式 f f ( ) ± ( ) ( ) ± ( ) f f f + f f + f L NM f O QP f f ( ) cai rule : if ( u) a u u( ) te u F( ) f ( ) f ( ) F( ) + C f () t t f ( ), a : costat. a f ( ) f ( ) > f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) S T f( ) f ( ) + C > f ( ) f ( ) + C ( C: iteral costat ) ( ) u u(, ) u u u + uv uv vu u ( iteral parts ) p ( ) ( ) f t t f f p + p( ) p( ) C (, ), ( ), ( ) f (, t ) t a e cai rule e e ae a la a si cai rule si cos cos cos cai rule cos si si ta cai rule ta sec sec cot cai rule cot csc csc sec cai rule sec sec ta sec ta csc cai rule csc csc cot csc cot a 微積分定理與公式 ()

17 si cos 微積分定理與公式 cai rule si ( ) cai rule cos ( ) ta cai rule ta + + ( ) cot cai rule cot + + ( ) sec cai rule sec csc * Talor s series epasio : ( ) f ( a) f ( ) ( a)! ( ) cai rule csc ( ) ( ) f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) + ( a) ( a) + ( a) + LL!! 3! f() is a ifiitel ifferetiale fuctio. some importat epasios : e !!! 3! si ( ) + + ( + )! 3! 5! 7! ( cos 4 6 ) + + ( )!! 4! 6! p pp pp p p+ + + LL! 3! Biomial formula : + C C Leii' s formula : were C f f C f F H G I K J ( ) ( ) ( )!!! 微積分定理與公式 ()

18 + + C ( ) + l + C a e a e a + C a a a + l C 微積分定理與公式 + + si C cos C ta C + cot C sec + C csc + C e e a a a e cos a + a cos + si + C a e si a + a si cos + C si cos + C cos si + C ta l sec + C sec ta + C cot l si + C csc cot + C sec l sec + ta + C sec ta + C csc l csc + cot + C csc cot + C si cos + C cos si + C ta l sec + C cot l si + C sec l sec + ta + C csc l csc+ cot + C 微積分定理與公式 (3)

19 常用微分公式 ( f ) f + f u + u ( u + u ) C C ( C : costat) ( + C) ( + C) F HG I K J F H G I K J si cos si cos cos si cos si ta sec ta sec cot csc cot csc sec sec ta sec sec ta csc csc cot csc csc cot e e e e l u u l u ( ) + m m m m + m ( ) m + m c F I HG K J F I HG KJ si si ta ta + + sec sec cos cos cot cot + + csc csc 常用微分公式

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untitled ODE PDE Wat is te differece ordiar differetial eqatio partial differetial eqatio? 94. order 4. degree 7 d d d d d d 4 e e d d 4 cos 5. liear a a L a r 立數 c~6 - 7 d d d d d d 4 e e d d 4 cos 6. soltio