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1 15º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø 本章集結了基礎統計裡的其他重要課題 包括統計決策理論 ØØ ØÐ ÓÒ Ø¹ ÓÖݵ 古典時間序列分析 ØÑ Ö ÒÐÝ µ 與統計指數 Ò µ 的編製等三個課題 ï ½º½ 統計決策理論 統計決策理論 ØØ ØÐ ÓÒ ØÓÖÝ 或稱決策分析 ÓÒ ÒÐÝ µ 的主要內容 在於分析決策者 ÓÒ ÑÖµ 面對許多個不同策略 ØÖØ µ 或行動 Ø µ 可供選擇時 依據適當的決策準則 ÓÒ ÖØÖµ 進行決策制定 ÓÒ¹ ÑÒµ 選定 最佳策略 Ø Ø ØÖØ µ 以最適化自身的決策利益目標 依據決策制定的情境不同 可分下列幾種 確定狀況下的決策制定 ÓÒ¹ÑÒ ÙÒÖ ÖØÒØݵ 每一個策略被選定並執行後 未來可得的收益 ÔÝÓ 或稱償付 µ 決策者能夠完全確知並掌握 要知道確定狀況下的決策制定不見得容易 若可供選擇的策略多而龐大時 要一一評估每一策略未來的收益 亦可能要花費龐大的計算成本 但可以確知的是 必存在一個唯一的最佳策略 不確定 存在風險 µ 狀況下的決策制定 ÓÒ¹ÑÒ ÙÒÖ ÍÒÖØÒØÝ ÓÖ Ê µ 每一個策略被選定並執行後 收益 ÔÝÓµ 不確定的自然狀態 ØØ Ó ÒØÙÖµ 所影響 每一個策略在不同自然狀態下 會有不同的收益 因為決策者無法完全確知哪一個自然狀態會發生 故無從尋找一個永遠為最佳的單一策略 但決策者仍需在此一對未來不確定的狀況下 選擇一適當策略 以滿足其策略目標 ½ ½ 知名經濟學家奈特 ÖÒ Àº ÃÒص 在 ½¾½ 年寫了一本書 名為 風險 不確定性與利潤 Ê ÍÒÖ¹ ØÒØÝ Ò ÈÖÓص 他在書中界定了 風險 與 不確定性 的不同 奈特定義 風險 狀況為 決策者對於未來的每一自然狀態 知悉其各自發生的機率 ÖÒÓÑÒ ÛØ ÒÓÛÐ ÔÖÓÐØ µ 定義 不確定性 狀況為 決策者對於未來的每一自然狀態 連各自發生的可能性都一無所悉 ÖÒÓÑÒ ÛØÓÙØ ÒÓÛÐ ÔÖÓ¹

2 ¹ ¼ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ 衝突狀況下的決策制定 ÓÒ¹ÑÒ ÙÒÖ ÓÒص 當決策者面對一個或多個有利益衝突的競爭對手時 決策者未來可得的收益 ÔÝÓµ 由所有的競爭對手各自選定的策略共同決定 故決策者的最適決策制定 不但要考慮未來可能的自然狀態 還應考慮競爭對手的策略反應與互動 此為經濟學一個有名的分枝 賽局論 Ñ ØÓÖݵ 的研究範疇 ï ½º½º½ 不確定狀況下的決策制定 不確定狀況下的決策制定 ÓÒ¹ÑÒ ÙÒÖ ÍÒÖØÒØÝ ÓÖ Ê µ 有下面幾個重要的組成元素 決策者 ÓÒ ÑÖµ 可以是個人或是法人 機關團體 策略 ØÖØ µ 可供決策者選擇之不同行動 Ø ÓÖ ØÓÒ µ 為決策者可控制的變因 自然狀態 ØØ Ó ÒØÙÖµ Ë 自然發生之事件狀態 為決策者不可控制的變因 ¾ 收益 ÔÝÓ µ Ç 決策者選定第 的決策 且發生第 個自然狀態 Ë 時 決策者所能得到的報償 我們常把一個不確定狀況下的決策制定問題 製作出其收益表 ÔÝÓ ØÐ 或稱償付表 µ 自然狀態 Ë ½ Ë ¾ Ë Ñ ÑÜ ÑÒ 決策選擇 ½ Ç ½½ Ç ½¾ Ç ½Ñ ÑÜ Ç ½ ÑÒ Ç ½ ¾ Ç ¾½ Ç ¾¾ Ç ¾Ñ ÑÜ Ç ¾ ÑÒ Ç ¾ º º º º ºº º º º Ò Ç Ò½ Ç Ò¾ Ç ÒÑ ÑÜ ÑÜ ÑÜ Ç ½ ÑÜ Ç ¾ ÑÜ Ç Ñ Ç Ò ÑÒ Ç Ò ÐØ µ 然而 晚近經濟學家對此分類亦多有辯論 反對者認為 對未來不同自然狀態發生的機率評估 僅是決策者的主觀機率 ÙØÚ ÔÖÓÐØݵ 也就是相信的程度 ֹӹе 故對於機率的評估 並非 能不能 的問題 而是 願不願 在此資訊有限的狀況下做出機率的評估 在本書中 我們往後不加以區分二者的差異 ¾ 所有自然狀態 Ë ½ Ë ¾ ËÑ 應滿足 兩兩互斥 與 集體包含 也就是組成一組 分割 有時決策者有能力對於各自然狀態發生的機率進行評估 我們記為 Ô ½ È Ë ½µ Ô ¾ È Ë ¾µ ÔÑ È Ëѵ

3 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ½ ¹ 我們也可以把一個不確定狀況下的決策制定問題 繪製出決策樹 ÓÒ ØÖµ 繪製時決策節點 ÓÒ ÒÓµ 要繪方形 µ 而自然狀態節點 ØعӹÒØÙÖ ÒÓµ 要繪圓形 µ 為比較諸多行動與策略之間的優劣 良窳 我們先定義何謂 優勢於 定義 ½º½ 優勢於 ÓÑÒØÒµº 我們比較兩個策略 ½ 與 ¾ 若在每一個自然狀態 Ë ½ ¾ Ñ 當中 都有 Ç ½ Ç ¾ 且至少存在一個自然狀態 Ë 中 有 Ç ½ Ç ¾ 我們稱策略 ½ 優勢於策略 ¾ ØÖØÝ ½ ÓÑÒØ ØÖØÝ ¾ µ 或稱策略 ¾ 劣勢於策略 ½ ØÖØÝ ¾ ÓÑÒØ Ý ØÖØÝ ½ µ 我們再定義下列幾種策略 優勢策略 ÓÑÒØÒ ØÖØÝ ÓÖ ÓÑÒÒØ ØÖØݵ 在一個決策制定問題中 若存在一個策略優勢於所有其他可選擇的策略 我們稱之為優勢策略 可容許策略 Ñ Ð ØÖØݵ 在一個決策制定問題中 若存在一個策略 並未劣勢於其他任何策略 ÒÓØ ÓÑÒØ Ý ÒÝ ÓØÖ ÚÐÐ ØÖØ µ 我們稱之為可容許策略 不可容許策略 ÒÑ Ð ØÖØݵ 在一個決策制定問題中 若存在一個策略 劣勢於任一其他策略 ÓÑÒØ Ý ÒÓØÖ ØÖØݵ 稱之為不可容許策略 一個不確定狀況下的決策制定問題中 多半不存在優勢策略 故各個策略可說是各擅勝場 各有優缺 在不同的選擇準則之下 可能會選出不同的最適策略 我們首先考慮 在無機率設定下的決策制定 ÓÒ¹ÑÒ ÛØÓÙØ ÔÖÓÐØ µ 常用的有下列幾種準則 大中取大準則 ÑÜÑÜ ÖØÖÓÒ 或稱樂觀準則 ÓÔØÑ Ø ÖØÖÓÒµ 首先樂觀地假定 每一策略都會得到其最大可能收益 亦即假設會發生有最大收益的自然狀態 µ 再從中間選擇具有最大 最大可能收益 的策略 ÑÜ ÑÜ Ç µ 小中取大準則 ÑÜÑÒ ÖØÖÓÒ 或稱悲觀準則 Ô Ñ Ø ÖØÖÓÒ 保守準則 ÓÒ ÖÚØÚ ÖØÖÓÒµ 首先保守地假定 每一策略都會得到其最小可能收益 亦即假設會發生有最小收益的自然狀態 µ 再從中間選擇具有最大 最小可能收益 的策略 ÑÜ ÑÒ Ç µ 優勢策略不一定存在 若存在 必為決策者之最適決策 優勢策略必為一可容許策略 但可容許策略不見得為優勢策略 其理由讀者可自己想想 然而 決策者的最適策 略應由可容許策略當中挑選 不可容許策略必然不會成為決策者的最適策略

4 ¹ ¾ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ 赫維茲準則 ÀÙÖÛÞ ÖØÖÓÒµ 為修正樂觀準則與悲觀準則過於極端的假定 故先選定一樂觀係數 ÓÒØ Ó ÓÔØÑ Ñµ «我們要求 ¼ «½ 代表對於樂觀結果的權重 計算出樂觀結果與 悲觀結果的加權平均收益 再從中間選擇具有最大 加權平均收益 的策略 ÑÜ «ÑÜ Ç ½ «µ ÑÒ Ç 機會損失大中取小準則 ÑÒÑÜ ÖÖØ ÖØÖÓÒµ 首先定義每一可選擇策略在每一個不同自然狀態下的悔惜 ÖÖØ 或稱機會損失 ÓÔÔÓÖØÙÒØÝ ÐÓ µ 為 Ê ÑÜ Ç Ç 依此方法 我們可以把收益表轉換為悔惜表 ÖÖØ ØÐ 或稱機會損失表 ÓÔÔÓÖ¹ ØÙÒØÝ ÐÓ Øе 如下 自然狀態 決策選擇 Ë ½ Ë ¾ Ë Ñ ÑÜ ½ Ê ½½ Ê ½¾ Ê ½Ñ ÑÜ Ê ½ ¾ Ê ¾½ Ê ¾¾ Ê ¾Ñ ÑÜ Ê ¾ º º º º ºº º º Ò Ê Ò½ Ê Ò¾ Ê ÒÑ ÑÜ Ê Ò 接著找出每一策略所能得到的最大可能機會損失 亦即假設會發生有最大機會損失的自然狀態 µ 再從中間選擇具有最小 最大可能機會損失 的策略 ÑÒ ÑÜ Ê µ 拉普拉斯準則 ÄÔÐ Ò ÙÒØ Ö ÓÒ ÖØÖÓÒµ 十八世紀大數學家拉普拉斯 ÈÖÖ¹ËÑÓÒ ÄÔе 首先引入 機率 的概念於不確定狀況下的決策制定問題中 並引入 期望值 概念 亦即計算 期望收益 ÜÔØ ÔÝÓµ 他依據另一大數學家雅各 伯努力 ÂÓ ÖÒÓÙÐе 所提出的 不充足理由原理 ÔÖÒÔÐ Ó Ò ÙÒØ Ö ÓÒµ 指出我們對於未來可能發生之自然狀態 其各自發生之機率均無任可事前資訊可供評估時 即應假設各個自然狀態發生的機率為均等 此即 赫維茲 ÄÓÒ ÀÙÖÛÞµ 為 ¾¼¼ 年諾貝爾經濟學獎得主 他在經濟學的主要貢獻為 機制設計理論 ѹ Ò Ñ Ò ØÓÖݵ 此乃基於市場資訊不對稱 ÒÓÖÑØÓÒ ÝÑÑØÖݵ 情境下 制定一套改正市場經濟缺失的規則與機制 屬於公共決策理論範疇 機會損失大中取小準則由著名統計學家沙維奇 ÄÓÒÖ ÂÑÑ ËÚµ 在 ½½ 年的一篇論文中所提出 ËÚ ÄºÂº ½½µ Ì ØÓÖÝ Ó ØØ ØÐ ÓÒ ÂÓÙÖÒÐ Ó Ø ÑÖÒ ËØØ ØÐ Ó¹ ØÓÒ ÔÔº º

5 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ¹ È Ë ½ µ È Ë ¾ µ È Ë Ñ µ ½ Ñ 再依此均等機率分配 計算各策略之期望收益 ÜÔØ ÔÝÓ Èµ È µ Ñ ½ Ç È Ë µ ½ Ñ Ç ½ ½ Ñ Ç ¾ ½ Ñ Ç Ñ 最後選取具有 最大期望收益 之策略 ÑÜ È µ 接著我們考慮 在有機率設定下的決策制定 ÓÒ¹ÑÒ ÛØ ÔÖÓÐØ µ 易言之 假設決策者在事前 能得到一些有用的資訊 對於各個自然狀態發生的可能性 作成一有效的事前機率 ÔÖÓÖ ÔÖÓÐØ µ 評估 Ô ½ È Ë ½ µ Ô ¾ È Ë ¾ µ Ô Ñ È Ë Ñ µ 此時 我們有下列兩種準則 期望貨幣價值準則 ÜÔØ ÑÓÒØÖÝ ÚÐÙ ÖØÖÓÒ 或稱期望收益準則 ÜÔØ ÔÝÓ ÖØÖÓÒµ 首先基於決策者事前對各自然狀態發生之機率評估 計算出各個策略的期望貨幣價值 ÜÔØ ÑÓÒØÖÝ ÚÐÙ ÅÎ 或稱期望收益 ÜÔØ ÔÝÓ Èµ ÅÎ µ Ñ ½ Ç È Ë µ Ñ ½ Ç Ô 最後選取具有 最大期望貨幣價值 之策略 ÑÜ ÅÎ µ ÅÎ µ 期望效用準則 ÜÔØ ÙØÐØÝ ÖØÖÓÒµ 自從大數學家丹尼爾 伯努力 ÒÐ ÖÒÓÙÐе 於 ½ 年提出 聖彼得堡詭論 Ëغ ÈØÖ ÙÖ ÔÖÓܵ 以後 貨幣價值邊際效用遞減 成為經濟學家的主流共識 易言之 經濟學家假設任一理性經濟人均為 風險嫌惡者 Ö ÚÖ Öµ 故對於貨幣價值本身應有一凹向下 ÓÒÚµ 之貨幣效用函數 ÙØÐØÝ ÙÒØÓÒ ÓÖ ÑÓÒݵ Ù µ 故決策者在面對不確定狀況下的決策制定問題時 應考慮貨幣價值所帶來的效用 而非貨幣價值本身 故首先應基於決策者事前對各自然狀態發生之機率評估 計算出各個策略的貨幣期望效用 ÜÔØ ÙØÐØÝ Íµ Í µ Ñ ½ Ù Ç µè Ë µ Ñ ½ 最後選取具有 最大期望效用 之策略 ÑÜ Í µ Ù Ç µô

6 ¹ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ ï ½º½º¾ 資訊價值 在一個不確定狀況下的決策制定問題中 若決策者能得到一些有用的 資訊 ÒÓÖѹ ØÓÒµ 對決策的制定必大有助益 故資訊的本身應具有價值 ÚÐÙµ 在這裡 我們學習如何對資訊的價值進行評估 首先考慮完美訊息 ÔÖØ ÒÓÖÑØÓÒ 或譯完全訊息 µ 亦即 決策者擁有完美預知何種自然狀態將會發生之訊息 完美訊息下之期望收益 ÜÔØ ÔÝÓ ÛØ ÔÖØ ÒÓÖÑØÓÒ ÈÈÁµ 若決策者擁有完美訊息 ÔÖØ ÒÓÖÑØÓÒµ 他總是能事先知悉未來將會發生哪一個自然狀態 於是總能做出最佳決策 永遠可取得最大收益 ÈÈÁ Ñ ½ ÑÜ Ç È Ë µ Ñ ½ ÑÜ Ç Ô 完美訊息之期望價值 ÜÔØ ÚÐÙ Ó ÔÖØ ÒÓÖÑØÓÒ ÎÈÁµ 至此 我們已經可以計算 完美訊息 本身所具有的訊息價值 我們以它所能帶給我們決策收益價值的提升為衡量標準 ÎÈÁ ÈÈÁ ÅÎ µ 其中 表無任何訊息時 期望貨幣價值準則下的最適策略 若我們擁有樣本訊息 ÑÔÐ ÒÓÖÑØÓÒµ Á ½ Á ¾ Á 雖不若完全訊息有用 但或多或少能幫助我們做出更優良的選擇 我們可透過這些樣本訊息 把每一個自然狀態發生之事前機率 ÔÖÓÖ ÔÖÓÐØ µ È Ë ½ µ È Ë ¾ µ È Ë Ñ µ 輔以各自然狀態發生的條件下 不同樣本訊息 Á 會跳出的機率 È Á ½ Ë µ È Á ¾ Ë µ È Á Ë µ ½ ¾ Ñ 運用貝氏定理 Ý ³ ÖÙе 轉換為事後機率 ÔÓ ØÖÓÖ ÔÖÓÐØ µ È Ë ½ Á µ È Ë ¾ Á µ È Ë Ñ Á µ ½ ¾ 自然狀態 事前機率 Ë ½ Ë ¾ Ë Ñ È Ë ½ µ È Ë ¾ µ È Ë Ñ µ 自然狀態 Ë ½ Ë ¾ Ë Ñ Á ½ È Á ½ Ë ½ µ È Á ½ Ë ¾ µ È Á ½ Ë Ñ µ 訊 Á ¾ È Á ¾ Ë ½ µ È Á ¾ Ë ¾ µ È Á ¾ Ë Ñ µ 息 º º º º ºº º Á È Á Ë ½ µ È Á Ë ¾ µ È Á Ë Ñ µ 貝氏定理 自然狀態 事後機率 Ë ½ Ë ¾ Ë Ñ Á ½ È Ë ½ Á ½ µ È Ë ¾ Á ½ µ È Ë Ñ Á ½ µ 訊 Á ¾ È Ë ½ Á ¾ µ È Ë ¾ Á ¾ µ È Ë Ñ Á ¾ µ º 息 º º º ºº º Á È Ë ½ Á µ È Ë ¾ Á µ È Ë Ñ Á µ 這所有的樣本訊息 Á ½ Á ¾ Á 的發生 也應滿足 兩兩互斥 與 集體包含 也就是組成一組 分割 易言之 我們所獲取的樣本訊息 Á ½ Á ¾ Á 只會跳出其中之一 透過知

7 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ¹ 道 Á ½ Á ¾ Á 中哪一個實際發生之後 重估自然狀態 Ë ½ Ë ¾ Ë Ñ 發生的事後機率 當然 不同的樣本訊息 Á 發生之下 自然狀態 Ë ½ Ë ¾ Ë Ñ 的事後機率均有不同 樣本訊息下之期望收益 ÜÔØ ÔÝÓ ÛØ ÑÔÐ ÒÓÖÑØÓÒ ÈËÁ 又稱不完美訊息下之期望收益 ÜÔØ ÔÝÓ ÛØ ÑÔÖØ ÒÓÖÑØÓÒ ÈÁÁµ 我們依據得到的各個不同樣本資訊 Á 分別以事後機率評估出各個不同樣本資訊 Á 下的最適策略 並計算其期望收益 當得到訊息 Á ½ 下 ÑÜ 當得到訊息 Á ¾ 下 ÑÜ 當得到訊息 Á 下 ÑÜ Ñ ½ Ñ ½ Ñ ½ Ç ½ È Ë Á ½ µ ÑÜ Á ½ µ Á ½ µ Ç ¾ È Ë Á ¾ µ ÑÜ Á ¾ µ Á ¾ µ º Ç È Ë Á ¾ µ ÑÜ Á µ Á µ 再將這些最適策略之 ÅÎ Á µ ½ ¾ 對各樣本資訊發生的機率 È Á µ 進行加權平均 即得 ÈËÁ ÈËÁ ½ ÑÜ Ñ ½ Ç È Ë Á µ È Á µ ½ º ÅÎ Á µè Á µ 樣本訊息之期望價值 ÜÔØ ÚÐÙ Ó ÑÔÐ ÒÓÖÑØÓÒ ÎËÁ 又稱不完美訊息之期望價值 ÜÔØ ÚÐÙ Ó ÑÔÖØ ÒÓÖÑØÓÒ ÎÁÁµ 至此 我們已經可以計算 樣本訊息 本身所具有的訊息價值 我們以它所能帶給我們決策收益價值的提升為衡量標準 ÎËÁ ÈËÁ ÅÎ µ 其中 表無任何訊息時 期望貨幣價值準則下的最適策略 樣本訊息效率 ÒÝ Ó ÑÔÐ ÒÓÖÑØÓÒµ 而 樣本訊息 的訊息效率 可由其相對於 完美訊息 所提升的價值提升比率來衡量 我們定義如下 ÎËÁ ÎÈÁ ½¼¼± º

8 ¹ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ 範例 ½º½ 在某大學的一個學生團體通常以從事小型的專案來取得贊助 此團體的下一個專案需要決定在學校校慶時所需印製小冊子的數量 但是印製量所次只能是 ¼¼ 的倍數 而校慶參與的人數會因天氣的狀況而可能有增減 其償付表如下 表中數字為淨利 µ 請回答下列問題 ½ ¾ 參與人數 ½¼¼¼ ½¼¼ ¾¼¼¼ ¾¼¼ ¼¼¼ Ë ½ 比歷年平均多 ¾¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼ Ë ¾ 與歷年平均多相同 ¾¼¼ ¼¼ ¾¼ ¾¼¼ ½¼ Ë 比歷年平均少 ¾¼¼ ½¼ ½¼¼ ¼ ¼ ½µ 是否存在 ÓÑÒÒØ ØÖØÝ 哪些策略為 Ñ Ð 哪些為 ÒÑ Ð ¾µ 在 ÑÜÑÜ 準則下 最佳方案為何 µ 在 ÑÜÑÒ 準則下 最佳方案為何 µ 在 ÑÒÑÜ ÖÖØ 準則下 最佳方案為何 若假設 È Ë ½ µ ¼¾ È Ë ¾ µ ¼ È Ë µ ¼ 試求解 µ 在 ÜÔØ ÔÝÓ 準則下 最佳方案為何 µ 如果具有完全的訊息 平均償付為何 µ 完全訊息的期望價值 ÜÔØ ÚÐÙ Ó ÔÖØ ÒÓÖÑØÓÒµ 為何 台大商研 範例 ½º¾ ÅÖº Ä ÚÐÙØÒ ÒÚ ØÑÒØ ÐØÖÒØÚ ÓÖ Ø ½¼¼ ¼¼¼ Û ÛÒ ÖÓÑ ÐÓØØÖݺ À ÒÚ ØÑÒØ Ú ÓÖ ÒØ ØÛÓ ÐØÖÒØÚ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ø ÓÐÐÓÛÒ ØÐ Û ÓÛ ÜÔØ ÔÖÓØ Ò ½¼ ¼¼¼³ µ ÓÖ ÚÖÓÙ ÑÖØ ÓÒ¹ ØÓÒ Ò ØÖ ÔÖÓÐØ Ò Ø Ú ÓÖ³ ØÖ ÖÓÖ ÓÒ ÔÖØÒ ÙÐÐ Ò Ö ÑÖØ º ÅÖØ ÓÒØÓÒ ÁÒÚ ØÑÒØ ÙÐÐ ¼ºµ Ö ¼º¾µ ÅÎ ÓÒ ½ µ ½¾ ËØÓ ¾ µ ¾ ¼ ½ ØÙÐ ÅÖØ ÓÒØÓÒ Ú Ö³ ÙÐÐ Ö ÈÖØÓÒ Ë ½ µ Ë ¾ µ ÙÐÐ ½ µ ¼º ¼º Ö ¾ µ ¼º½ ¼º ½µ Á Ø Ú ÓÖ ÔÖØ ÙÐÐ ÑÖØ Ø ÖÚ ÔÖÓÐØÝ Ó Ö ÑÖØ È Ë ¾ ½ µ

9 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ¹ ¾µ Á Ø Ú ÓÖ ÔÖØ ÙÐÐ ÑÖØ Ø ÅÎ Ó Ø ËØÓ ÐØÖÒØÚ Ù Ò ÖÚ ÔÖÓÐØ µ Ì ÅÎ Ó Ø ÓÔÔÓÖØÙÒØÝ ÛØ Ø Ú ÓÖ³ ÔÖØÓÒ µ ÏØ Ø ÚÐÙ Ó Ø Ú ÓÖ³ ÔÖØÓÒ 中山財管

10 ¹ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ ï ½º¾ ï ½º¾º½ 時間序列分析 時間序列分析概論 追蹤觀察單一個體 ÒÚÙе 之單一 或多個 µ 變數 ÚÖе 隨時間演變之情形 我們稱之為時間序列資料 ØÑ Ö Øµ ½ ¾ Ì 時間序列資料之異於橫斷面資料 主要在於資料的排列順序 具有時間遞移之重要資訊 分析時間數列資料的重要目的在於 了解該變數變化的組成成份 ÓÑÔÓÒÒØ µ 並對於該變數之未來可能數值進行預測 ÓÖ ØÒµ 變數的時間序列變化 其組成成份 可分為下列幾種 ½ 長期趨勢 ÐÓÒ¹ØÖÑ ØÖÒ ÓÑÔÓÒÒØ Ì Ø µ 變數隨著時間演進 雖存在或大或小的波動 但我們依舊可以看出變數移動的 大方向 這稱之為 長期趨勢 在時間序列分析的方法中 可運用一些平滑技術 ÑÓÓØÒ ØÒÕÙ µ 將其他的波動因素消除 得到一條趨勢線 ØÖÒ ÙÖÚµ 以刻劃此一長期趨勢 以總體經濟變數而論 長期趨勢的來源 乃肇因於經濟成長 技術進步 人口變化 社會文化與習慣改變 政治制度與結構變遷等 ¾ 循環變動 ÝÐÐ ÓÑÔÓÒÒØ Ø µ 變數隨著時間演進 通常會在趨勢線的上方與下方波動 呈現較長的週期性規律循環變化 一年以上的週期 µ 我們稱此規律為 循環變動 以總體經濟變數而論 經濟景氣循環 Ù Ò Ýе 為一循環變動典型的成因 季節變動 ÓÒÐ ÓÑÔÓÒÒØ Ë Ø µ 變數隨著時間演進 因著季節或月份因素 通常會在趨勢線的上方與下方波動 呈現季節性 或月份性或更小週期性 µ 的規律循環變化 週期在一年以內 µ 我們稱此規律為 季節變動 在時間序列分析的方法中 可運用季節指數 ÓÒÐ ÒÜ µ 的編製 以刻劃此一季節變動效果 以總體經濟變數而論 各產業之淡旺季 一年中幾個固定的長假期皆為季節變動典型的成因 不規則變動 ÖÖÙÐÖ ÓÑÔÓÒÒØ Á Ø µ 變數隨著時間演進 除了循環變動與季節變動以外 必然仍存在一些其他隨機因素 不確定因素所造成的波動 我們稱之為 不規則變動 在時間序列分析的方法中 此些不規則變動成為分析與預測時間序列的最大困難與障礙 因其通常源自於不可預測的隨機事件 以總體經濟變數而論 一些突發而不能預期的天然災害 戰爭 政治事件等 都是不規則變動的成因 分析時間序列常用下列兩種模型 ½ 相加時間序列模型 ØÚ ØÑ Ö ÑÓе Ø Ì Ø Ø Ë Ø Á Ø ¾ 相乘時間序列模型 ÑÙÐØÔÐØÚ ØÑ Ö ÑÓе Ø Ì Ø Ø Ë Ø Á Ø 往後的分析多以相相乘時間序列模型為主 季節變動一般泛指週期在一年內 各種較短週期的規律循環變化 不一定是指涉 四季變化因素

11 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ¹ ï ½º¾º¾ 平滑技術與趨勢預測 平滑技術 ÑÓÓØÒ ØÒÕÙ µ 的主要目的在於 消除所有波動成份 僅留下長期趨勢 讓研究者可以專注於趨勢分析 並提出未來趨勢的預測 在古典時間序分析中 常用的趨勢預測方法 ØÖÒ ÓÖ ØÒµ 有下列幾種 ½ ¾ 移動平均法 ÑÓÚÒ ÚÖ Åµ 欲預測時間 Ø 之趨勢 直接採用過去最近的 期的移動平均來預期 也就是以 Ø Ø ½ Ø ½ 求算其算術平均數以預測 Ø ½ Å Ø ½ ½ ½ ¼ Ø ½ Ø Ø ½ Ø ½ µ 預測 Ø ½ 也可以依需要 給較近期數的數值有較大的權數 形成加權移動平均法 ÛØ ÑÓÚÒ ÚÖ Ïŵ 然而期數與權數的選擇 一般依經驗主觀選取 指數平滑法 ÜÔÓÒÒØÐ ÑÓÓØÒ ÑØÓ µ Ë Ø ½ Ë Ø «Ø ½ 或記為 Ø ½ «Ø ½ «µë Ø ½ «µ Ø 預測 Ø ½ 其中 ¼ «½ 稱為平滑常數 ÑÓÓØÒ ÓÒ ØÒص 而第 Ø ½ 期時 我們設 Ë ½ ½ 即可 平滑常數的選擇 一般依經驗主觀選取 一個事實是 平滑常數越小 平滑效果越大 因為我們可以證明 Ø ½ Ø «Ø Ø µ Ø ½ Ë Ø «Ø «½ «µ Ø ½ «½ «µ ¾ Ø ¾ ½ «µ Ø ½ ½ 線性趨勢法 ÐÒÖ ØÖÒ ÑØÓ 或稱迴歸分析法 µ Ø ¼ ½ Ø Ø Ø ½ Ø ½ 預測 Ø ½ µ Ø ¼ ½ Ø 預測誤差的衡量標準 前述之移動平均法與指數平滑法 都遇到了一些需要主觀依經驗選擇的參數 如移動平均法需主觀選取期數 而指數平滑法需主觀選取平滑常數 «故統計學家仍尋求一個客觀衡量預測準確度的標準 以決定這些參數 最佳化預測效果 兩個常用的指標為 ½ ¾ 根號平均平方誤差 ÖÓÓØ ÑÒ ÕÙÖ ÖÖÓÖ ÊÅ˵ ÊÅË ½ Ì ÌÈ Ø½ Ø Ø µ ¾ 平均絕對離差 ÑÒ ÓÐÙØ ÚØÓÒ Åµ Å ½ Ì Ì Ø½ Ø Ø

12 ¹ ¼ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ 範例 ½º ÌÖ Ö ÒÒ Ô Ø Ð Ø ÓÖ Ò ÓÒÐÒ ØÓÖ ÓÐÐÓÛ Ö ½ ¾ ËÐ ½¼ ¾¾¼ ¾¼ ¾¼ ¾¼ ¼¼ ¾¼ ¼ ¼ ½µ ÏØ Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÙÐÖ ØÖÒ ØÖØÒ Ø Ø ÝÖ ÓÖÒµ ¾µ Á Ø ÓÖÒ Ò ÒØÓ Ø Ö Ø ÝÖ ÛØ Ø ÒÛ ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÙÐÖ ØÖÒ 中正企研 解 ½µ 以第 年為 Ø ¼ 可得線性趨勢方程式為 Ø ¾ ¾½Ø ¾µ 以第 ½ 年為 Ø ¼ 可得線性趨勢方程式為 Ø ½¾¾¾ ¾½Ø

13 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ½ ¹ ï ½º¾º 編製季節指數 編製季節指數 ÓÒÐ ÒÜ µ 的主要目的在於 試圖由歷史的時間序列資料中 掌握季節因素的波動 由此 可分析出時間序列季節性規律循環變動的法則 進一步 在進行預測時 可把趨勢預測的結果 再予以季節指數的調整 可大大地增加預測的準確度 因為我們同時考慮到長期趨勢 Ì Ø µ 與季節變動 Ë Ø µ 兩個成份 此處的分析 我們採用乘法模型 ÑÙÐØÔÐØÚ ÑÓе 且假設時間序列的組成成份為 Ì Ø Ë Ø 與 Á Ø 三個部份 Ø Ì Ø Ë Ø Á Ø 編製季節指數並進行時間序列預測的流程 需依步驟一一計算出下列數字 ½ ¾ 四季移動平均 ÓÙÖ¹ÕÙÖØÖ ÑÓÚÒ ÚÖµ 中央移動平均 ÒØÖ ÑÓÚÒ ÚÖµ Ì Ø 季節不規則成份 ÓÒйÖÖÙÐÖ ÓÑÔÓÒÒص 季節指數 ÓÒÐ ÒÜ µ 需調整使其總合為 Ø Ì Ø Ë Ø Á Ø 去季節化時間序列 ÓÒÐÞ ØÑ Ö µ Ø 去季節化線性趨勢 ÓÒÐÞ ÐÒÖ ØÖÒµ Ø Ø Ë Ø Ì Ø Á Ø ¼ ½ Ø 含季節指數之預測 Ø ½ Ø ½ Ë Ø ½ ¼ ½ Ø ½µ Ë Ø ½ 預測 Ø ½

14 ¹ ¾ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ 範例 ½º ÁÒØÖÒØÓÒÐ ÆÃÍËÌ ÁÒº ÖÑ ÛÓ Ù Ò ÐÝ ÓÒÐ ÖÔÓÖØ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÕÙÖØÖÐÝ ÒØ ÒÓÑ ÙÖ ÓÖ ¾¼¼ ØÖÓÙ ¾¼¼º ÆØ ÁÒÓÑ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ ¾¼¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¾¼¼ ¾½ ¾ ¾ ¾¼¼ ¾ ½ ¼ ½µ ÓÑÔÙØ ÓÒйÖÖÙÐÖ ÓÑÔÓÒÒغ ¾µ ÓÑÔÙØ ÓÒÐ ÒÜ º µ ÓÑÔÙØ ÓÒÐÞ Øº µ Í Ø ÓÒÐÞ ØÑ Ö ØÓ Ø ÐÒÖ ØÖÒ ÕÙØÓÒº µ ÓÒ ØÓ ØÓÖÐ Ø ÓÖ Ø Ø ÒØ ÒÓÑ Ò Ø ¾Ò ÕÙÖØÖ Ó ¾¼¼º 高第一理財

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16 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ¹ ï ½º 指數 為衡量某一地區 某一時點上 經濟與商業活動的總體行為與表現 我們需要一些綜合性的統計數字 作為分析與衡量的指標 這些編製出的指標 統計上稱為指數 ÒÜ ÒÙѹ Öµ 常用的指數有物價指數 物量指數與價值指數三種 我們分述如下 ï ½º º½ 物價指數 編製綜合物價指數 ÓÑÔÓ Ø ÔÖ ÒÜ µ 的主要目的在於 了解多種商品在經濟與商業活動的過程中 其 交易價格 在基期 ÔÖÓµ 與計算期 ÙÖÖÒØ ÔÖÓ 或稱當期 µ 之間 發生了怎樣的改變 常見的綜合物價指數有 消費者物價指數 ÓÒ ÙÑÖ ÔÖ ÒÜ ÈÁµ 躉售物價指數 ÛÓÐ Ð ÔÖ ÒÜ ÏÈÁµ 國民生產毛額平減指數 ÆÈ ØÓÖµ 加權股價指數 ÛØ ØÓ Òܵ 等 綜合物價指數既然包含了多種的不同商品 我們就要考慮如何給予各樣不同的商品適當的加權平均權數 一個自然的想法 是以該樣商品 第 個商品 µ 在市場上實際交易的總購買值 Ø ÚÐÙ Ó Ø Ø ÓÑÑÓØÝ ÔÙÖ Î È É µ 作為權數 而加權平均綜合物價指數 ÛØ ÚÖ ÓÑÔÓ Ø ÔÖ ÒÜ µ 常用的有下列三種 ½ 拉氏物價指數 Ä ÔÝÖ ÔÖ ÒÜ ÄÈÁµ 拉氏物價指數乃是以 基期 第 ¼ 期 µ 的商品交易總購買值 Î ¼ È ¼ É ¼ µ 作為權數 計算物價之加權平均 拉氏物價指數的好處在於 因基期固定 利於跨年度比較物價的變化 且不同年年重新調查市場實際交易量 只要調查交易物價即可 µ 計算上較簡便 然而 缺點是 當物價上漲時 會有 高估 物價膨脹率的問題 因我們採用 基期 的交易量為基準 考慮到一個經濟學上的基本原理 即物價上漲會使交易量下降 沿用 基期 的交易量作為加權平均的權數基準 自然有高估物價膨脹率的嫌疑 計算期 第 Ø 期 µ 相對於 基期 第 ¼ 期 µ 之拉氏物價指數其計算公式如下 設綜合納入 Ò 件商品 µ ÄÈÁ Ø ¾ Ò ½ ÈØ Î ¼ È ¼ Ò ½ Î ¼ ½¼¼ Ò ½ ÈØ È ¼ É ¼ È ¼ Ò ½ È ¼ É ¼ ½¼¼ Ò Ò ½ ½ È Ø É ¼ È ¼ É ¼ ½¼¼ 畢氏物價指數 È ÔÖ ÒÜ ÈÈÁµ 畢氏物價指數乃是以 基期 第 ¼ 期 µ 的商品價格 È ¼ µ 去計算 計算期 第 Ø 期 µ 的商品交易總購買值 È ¼ É Ø µ 作為權數 計算物價之加權平均 因畢氏物價指數採用 計算期 的交易量為基準 因 注意 並非以 計算期 第 Ø 期 µ 的商品交易總購買值 ÎØ ÈØ Éص 作為權數 而是以 基期 第 ¼ 期 µ 的交易價 È ¼ µ 乘以 計算期 第 Ø 期 µ 的交易量 Éص 作為權數 此即以 基期價格計算之計算期交易總值

17 ¹ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ 物價上漲會使交易量下降 故對於物價上漲較多的商品 因計算期的交易量縮小 導致計算權數的縮小 所以有低估物價膨脹率的問題 再者 計算畢氏物價指數需調查出計算期的實計交易價格與交易量 故計算上較為麻煩 又因以 計算期 的交易量為基準 故不利於跨期比較物價的變化 計算期 第 Ø 期 µ 相對於 基期 第 ¼ 期 µ 之畢氏物價指數其計算公式如下 設綜合納入 Ò 件商品 µ ÈÈÁ Ø Ò ½ ÈØ È ¼ É Ø È ¼ Ò ½ È ¼ É Ø ½¼¼ Ò Ò ½ ½ È Ø É Ø È ¼ É Ø ½¼¼ 費氏理想物價指數 Ö Ð ÔÖ ÒÜ ÈÁµ 為修正 拉高畢低 的問題 美國經濟學家費雪 ÁÖÚÒ Öµ 建議求取拉氏物價指數與畢氏物價指數之幾何平均數 而得費氏理想物價指數 ÈÁ Ø Ô ÄÈÁØ ÈÈÁ Ø ï ½º º¾ 物量指數 編製綜合物量指數 ÓÑÔÓ Ø ÕÙÒØØÝ ÒÜ µ 的主要目的在於 了解多種商品在經濟與商業活動的過程中 其 交易量 在基期 ÔÖÓµ 與計算期 ÙÖÖÒØ ÔÖÓ 或稱當期 µ 之間 發生了怎樣的改變 綜合物價指數關注 價 的變化 而綜合物量指數關注 量 的變化 常見的物量指數有 工業生產指數 ÒÜ Ó ÒÙ ØÖÐ ÔÖÓÙØÓÒ ÁÁȵ 農業生產指數 ÒÜ Ó ÖÙй ØÙÖÐ ÔÖÓÙØÓÒ Áȵ 進出口貿易數量指數 ÒÔÙØ Ò ÓÙØÔÙØ ÕÙÒØØÝ ÒÜ µ 等 綜合物量指數既然包含了多種的不同商品 我們就要考慮如何給予各樣不同的商品適當的加權平均權數 一個自然的想法 是以該樣商品 第 個商品 µ 在市場上實際交易的總購買值 Ø ÚÐÙ Ó Ø Ø ÓÑÑÓØÝ ÔÙÖ Î È É µ 作為權數 而加權平均綜合物量指數 ÛØ ÚÖ ÓÑÔÓ Ø ÕÙÒØØÝ ÒÜ µ 常用的有下列三種 ½ 拉氏物量指數 Ä ÔÝÖ ÕÙÒØØÝ ÒÜ ÄÉÁµ 拉氏物量指數乃是以 基期 第 ¼ 期 µ 的商品交易總購買值 Î ¼ È ¼ É ¼ µ 作為權數 計算物量之加權平均 計算期 第 Ø 期 µ 相對於 基期 第 ¼ 期 µ 之拉氏物量指數其計算公式如下 設綜合納入 Ò 件商品 µ ÄÉÁ Ø Ò ½ ÉØ Î ¼ É ¼ Ò ½ Î ¼ ½¼¼ Ò ½ ÉØ É ¼ È ¼ É ¼ Ò ½ É ¼ È ¼ ½¼¼ Ò Ò ½ ½ É Ø È ¼ É ¼ È ¼ ½¼¼

18 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ¹ ¾ 畢氏物量指數 È ÕÙÒØØÝ ÒÜ ÈÉÁµ 畢氏物量指數乃是以 計算期 第 Ø 期 µ 的商品價格 È Ø µ 去計算 基期 第 ¼ 期 的商品交易總購買值 È Ø É ¼ µ 作為權數 計算物價之加權平均 計算期 第 Ø 期 µ 相對於 基期 第 ¼ 期 µ 之畢氏物量指數其計算公式如下 設綜合納入 Ò 件商品 µ ÈÉÁ Ø Ò ½ ÉØ É ¼ È Ø É ¼ Ò ½ É ¼ È Ø ½¼¼ Ò Ò ½ ½ É Ø È Ø É ¼ È Ø ½¼¼ 費氏理想物量指數 Ö Ð ÕÙÒØØÝ ÒÜ ÉÁµ ÉÁ Ø Ô ÄÉÁØ ÈÉÁ Ø ï ½º º 價值指數 綜合價值指數 ÓÑÔÓ Ø ÚÐÙ Òܵ 表現了總價值的變化 同時含涵蓋 價格 與 數量 的變化 常見的價值指數有 進出口貿易總值指數 ÒÔÙØ Ò ÓÙØÔÙØ ÚÐÙ ÒÜ µ 等 價值指數 ÚÐÙ Òܵ 公式如下 ÎÁ Ø Ò Ò ½ ½ É Ø È Ø É ¼ È ¼ ½¼¼

19 ¹ ¹ 提綱挈領學統計 四版 ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ËØØ Ø Ø ØÓÒ 範例 ½º Í Ø ÓÐÐÓÛÒ Ø ØÓ Ò ÛÖ Ø ÕÙ ØÓÒº ÙÑ ØØ ½¼ Ø ÝÖº ½¼ ½ ÁÌÅ ÈÖ ÉÙÒØØÝ ÈÖ ÉÙÒØØÝ ½ ½º¾ ½ ½º ½¼ ¾ º¼ ¾ º ¾¼ ¾º¾ ¼ ¾º½ º½ ¼ º¾ ½¼¾ ½µ ØÖÑÒ Ø Ä ÔÝÖ ÔÖ ÒÜ Ò ÕÙÒØØÝ ÒÜ ÓÖ ½º ¾µ ØÖÑÒ Ø È ÔÖ ÒÜ Ò ÕÙÒØØÝ ÒÜ ÓÖ ½º µ ØÖÑÒ Ø Ö ÔÖ ÒÜ Ò ÕÙÒØØÝ ÒÜ ÓÖ ½º µ ØÖÑÒ Ø ÚÐÙ ÒÜ ÓÖ ½º 政大財管 解 ½µ ÄÈÁ ½ ÄÉÁ ½ ½ ½ È ½ É ½¼ È ½¼ É ½¼ ½¼¼ ½ ½ ¼ ¾ ¾½ ¼ ¼¾ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ½¾ ½ ¼¼ ¾ ¾¾ ¼ ¼½ ¼ ½ ½ É ½ È ½¼ É ½¼ È ½¼ ½¼¼ ½¼ ½¾ ¾¼ ¼¼ ¾¾ ½¼¾ ¼½ ½¼¼ ½ ½¾ ¾ ¼¼ ¼ ¾¾ ¼ ¼½

20 ½º 統計決策理論 時間序列與指數 ÇØÖ ÁÑÔÓÖØÒØ ÌÓÔ Ò ËØØ Ø ¹ ¹ ½ È ½ É ½ ¾µ ÈÈÁ ½ ½¼¼ È ½¼ É ½ ½ ½ ½¼ ¼ ¾¼ ¾½ ¼¾ ½¼¾ ½¼¼ ½ ¼ ½¾ ½¼ ¼ ¾¼ ¾¾ ¼½ ½¼¾ É ½ È ½ ½ ÈÉÁ ½ ½¼¼ É ½¼ È ½ ½ ½¼ ½ ¾¼ ¼ ¾½ ½¼¾ ¼¾ ½¼¼ ½ ½ ¾ ¼ ¼ ¾½ ¼ ¼¾ Ô µ ÈÁ ½ ÄÈÁ½ ÈÈÁ Ô ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼½ Ô ÉÁ ½ ÄÉÁ½ ÈÉÁ Ô ½ ½ É ½ È ½ µ ÎÁ ½ ½¼¼ É ½¼ È ½¼ ½ ½¼ ½ ¾¼ ¼ ¾½ ½¼¾ ¼¾ ½ ½¾ ¾ ¼¼ ¼ ¾¾ ¼ ¼½ ½¼¼ ½¾