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1 投稿類別 : 數學類 篇名 : 電腦程式 賭徒破產問題 中隱藏的數學原理 作者 : 林冠璋 北大高中 二年六班 指導老師 : 黃冠閔老師 沈昌懋老師

2 壹 前言一 摘要我們通常仰賴電腦來模擬一些現象與事物, 進而找到一些規律, 達到預測或找到解決問題的方法 本研究藉助電腦程式的運算來模擬一道有名的機率數學題 賭徒破產問題 (gabler's run roble), 我在這些實驗的數據中, 探究其背後的數學原理, 試圖利用高一數學所學的遞迴關係與級數來找尋機率之通式, 並推廣至一般的情況 二 研究動機在高一的電腦課中, 我們的資訊老師提出了一道有趣的程式題目 賭徒破產問題 ; 在這個程式碼中, 主要是以條件判斷式呈現, 我代入了不同的初始值與實驗數據, 得到對應的結果都會有一個規律, 即題目中的兩個賭徒, 在一個不公平的賭博遊戲下, 雖持有較多籌碼但每回合得勝之機率低的一方, 遊戲結束時 ( 即其中有一玩家籌碼歸零 ), 玩家贏之機率偏低, 我原本的認知是玩家的籌碼越多, 儘管得勝的機率低, 贏對方的機率應該會持平, 對於這個偏低的機率感到好奇, 進而開始研究與觀察其問題中隱含的數學原理與規律, 找出其原因與機率之通式 三 研究目的 ( 一 ) 探究兩位玩家籌碼共有 n 元且每回合得勝之機率分別為與之情況下, 利 3 3 用遞迴關係與級數, 找出兩位玩家之個別贏的機率與贏的機率比之數學通式 ( 二 ) 探究兩位玩家籌碼共有 n 元且每回合得勝之機率分別為 與 q 之情況下, 其中 q, ( 即不公平 ), 利用遞迴關係與級數, 找出兩位玩家之個別 贏的機率與贏的機率比之數學通式

3 四 研究設備與器材 紙 筆 電腦 電腦程式語言 C Excel 五 研究架構圖 貳 正文 一 名詞定義 ( 一 ) 破產 : 玩家的籌碼歸零 ( 二 ) : 玩家 在有 元的情況下, 玩家 贏的機率 ( 即玩家 B 破產 ) ( 三 ) B : 玩家 B 在有 元的情況下, 玩家 B 贏的機率 ( 即玩家 破產 ) 二 研究過程 ( 一 ) 賭徒破產問題 (gablers run roble) 率為 兩玩家 與 B 輪擲一不公正銅板, 此銅板出現正面之機率為 3, 出現反面的機 3, 每回合皆以擲硬幣的方式來決定勝利與失敗 若為正面, 則玩家 獲勝 ; 若為反面, 則玩家 B 獲勝, 每回合中失敗的一方必須給獲勝的一方一塊錢, 遊戲將 不斷重複進行直到有一方破產 今玩家 有 元, 玩家 B 有 n 元, 則玩家 贏 ( 即 玩家 B 破產 ) 之機率為何?

4 ( 二 ) 運用電腦程式語言 C 呈現賭徒破產問題 我們利用程式語言 C 撰寫賭徒破產問題, 以下為程式流程圖 ( 圖一 ): 圖一 : 賭徒破產問題之程式流程圖 在程式碼中, 一開始讓使用者可以輸入三種數據分別為玩家 的籌碼 玩家 B 的籌碼與模擬的局數等 ( 如圖二 ) 圖二: 使用者可以輸入數據的程式碼 程式運行中, 模擬的局數 ( 即宣告的變數 n) 尚未達到最大值時, 我們主要是使用已經宣告好的變數 a ( 即玩家 的籌碼 ) 與變數 b( 即玩家 B 的籌碼 ) 來當是否繼續執行程式的依據, 其中 rand( )%3 的值可能為 0 與, 若值為 時, 則玩家 獲得 3

5 元, 玩家 B 失去 元 ; 若值為 0 或 時, 則玩家 失去 元, 玩家 B 獲得 元, 其 實就是在模擬機率分別為與之情況 ( 如圖三 ) 在遊戲的過程中, 當其中有一玩家 3 3 的籌碼歸零時, 則我們會分別去記錄玩家 贏的局數與玩家 B 贏的局數, 計算出兩 玩家贏之機率 ( 如圖四 ) 圖三 : 判別兩玩家的籌碼之程式碼 圖四 : 紀錄兩玩家贏的局數之程式碼 最後我們將玩家 贏的機率 玩家 B 贏的機率與兩玩家的贏機率之比值顯示出 來 ( 如圖五 ); 這裡我們舉一個例子, 分別設定玩家 的籌碼為 00 元 玩家 B 的籌 碼為 0 元與模擬的局數為 局, 利用電腦跑出結果 ( 如圖六 ) 圖五 : 印出結果之程式碼 圖六: 設定參數跑出的結果之示意圖 為了觀察兩玩家贏的機率與機率比值, 我們嘗試了代入了多組的數據, 發現玩 家 贏的機率皆是偏低的, 並整理與紀錄結果, 製成表格如下 : 玩家 的籌碼 玩家 B 的籌碼 模擬的局數 玩家 贏的機率 玩家 B 贏的機率 贏機率之比值

6 玩家 的籌碼 7 7 玩家 B 的籌碼 模擬的局數 玩家 贏的機率 玩家 B 贏的機率 贏機率之比值 ( 三 ) 每回合得勝之機率分別為與之情況, 探究贏的機率通式與機率比之通式 3 3 n 我們將此程式碼的敘述轉成機率問題, 在此遊戲中, 假設兩位玩家籌碼共有 元, 兩人每回合輪擲一不公正銅板, 出現正面之機率為 3, 反面之機率為 3, 輸的一方必須給獲勝的一方一塊錢, 直到其中有一方破產為止 若玩家 有 0 元, 則贏的機率為 0, 即 0 0; 反之若玩家 有 n 元, 則贏的機率為, 即 ; 為了要找尋一般的通式, 其中 為正整數且 n, 在此令玩家 的身上 一開始有 元, 玩家 B 的身上有 + n 元, 以下為建立 的遞迴關係式 因為玩家 在進行一回合後有 元的機率為 3, 有 元的機率為 3,, 分 別對應玩家 贏的機率為 及, 我們可以建立遞迴關係式為 n, 其中 為正整數且 n 3 經化簡得 3 上式經過疊代與整理可得 0 式 將式 的等號兩邊同時作級數, 的範圍取 至 n 化簡得 5

7 n n 0 n... n 0 0 0, 0 代入上式後可以解出 將 n 0... n n n 同理, 再次使用將式 的等號兩邊作級數, 的範圍取 至 化簡得 將 之值代入並化簡得 0... n 式 由式 知, 我們可以瞭解在玩家 有 元 玩家 B 有 n 元的情況下 玩家 贏的機率的通式為 n, 玩家 B 贏的機率的通式為 n n, 兩玩家贏的機率比為 n : B : n n n : 式 3 從式 3 會發現不管玩家 帶了多少錢, 只要玩家 B 的錢大於 ( 即 n ), 玩家 B 贏的機率 B n 就會必大於 ; 因此透過此機率比的通式, 我們清楚地知道機率偏低 的原因 6

8 ( 四 ) 推廣 : 每回合得勝之機率分別為 與 q, 其中 q 且, 探究贏的機率 通式與機率比之通式 我們將賭徒破產問題中的每回合得勝之機率推廣為, 其中 ; 其他的假設 按照原題意, 在此令玩家 的身上一開始有 元, 玩家 B 的身上有 + n 元, 以 下為建立 的遞迴關係式 因為玩家 在進行一回合後有 元的機率為, 有 元的機率為 q, 其中 q, 分別對應玩家 贏的機率為 及, 我們一樣可以建立遞迴關係式為 q, 其中 為正整數且 n 利用 q, 經化簡得 q q ( ) q( ) q ( ) 上式經過疊代與整理可得 q 0 式 4 將式 4 的等號兩邊同時作級數, 的範圍取 至 n 化簡得 q n n 0 n n q q q 0..., 0 代入上式後可以解出 將 n 0 7

9 q q q... n q q q n q n 同理, 再次使用將式 4 的等號兩邊作級數, 的範圍取 至 化簡得 q 將 之值代入並化簡得 0 q q q 0... q q n q q 式 5 由式 5 知, 我們可以瞭解在玩家 有 元 玩家 B 有 n 元的情況下 玩家 贏的機率的通式為 q q n n q q, 玩家 B 贏的機率的通式為 n q, 兩玩家贏的機率比為 8

10 n q q q : Bn : q : q n 式 6 因為 且 q, 推得 q q q 與, 從式 6 會發現不管玩家 帶了多少錢, 只要玩家 B 的錢大於 ( 即 n ), 玩家 B 贏的機率 B 就會必大於玩 n 家 贏的機率 ; 透過推廣此機率比的通式, 我們清楚地知道雖握有較多籌碼但每 回合得勝之機率偏低的一方, 遊戲結束時, 贏之機率不會大於另一方, 也就是機率 偏低的原因 參 結論 ( 一 ) 兩位玩家籌碼共有 n 元且每回合得勝之機率分別為與之情況下, 兩位玩 3 3 n 家之個別贏的機率為 n 與 n, 兩玩家贏的機率比之數學通式 n : Bn : ( 二 ) 兩位玩家籌碼共有 n 元且每回合得勝之機率分別為 與 q 之情況下, 其中 q, ( 即不公平 ), 兩位玩家之個別贏的機率為 q q n 與 n q q q n q, 兩玩家贏的機率比之數學通式 : Bn : q n 9

11 ( 三 ) 在生活中, 我們常利用電腦程式來解決問題, 電腦往往可以給予我們答案 ; 透 過觀察數據的結果, 我們可以利用所學的數學觀念, 來解釋或驗證其背後隱藏 的數學知識與原理, 達到學以致用的目標 肆 引注資料 ( 一 ) 許志農 黃森山教授 高中數學課本第二冊 龍騰出版 ( 二 ) 劉洲溶 蘇淵源 翟家甫 高中資訊科技概論課本 全華出版 ( 三 ) 洪維 C 語言教學手冊 ( 四版 ) 旗標出版 0

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MergedFile 電腦程式 賭徒破產問題 之平均回合數探討 投稿類別 : 數學類 篇名 : 電腦程式 賭徒破產問題 之平均回合數探討 作者 : 林冠璋 北大高中 二年六班 指導老師 : 黃冠閔老師 沈昌懋老師 壹 前言一 研究動機延續我之前小論文 電腦程式 賭徒破產問題 中隱藏的數學原理 中玩家贏的機率之研究, 兩玩家輪擲一不公正銅板, 每回合皆以擲出正反面來決定勝負, 再次令我感興趣的是平均要幾回合賭局才會結束呢?

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