第一章 晶体的结构及其对称性
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1 第一章 晶体的结构及其对称性
2 绪论 凝聚态物质 : 液体 固体以及介于其间的软物质 ( 如液晶 凝胶等 ), 是原子 离子 分子的聚集体 固体 : 在压强和温度一定, 且无外力作用时, 形状不变 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性可分为晶体 准晶体和非晶体 晶体 : 组成粒子在空间周期性排列, 长程有序 ; 无任意的平移和旋转对称性, 对称性破缺 非晶体 : 组成粒子在空间的分布是完全无序或仅仅具有短程有序 ; 高度对称性, 物理性质各向同性 准晶体 : 介于晶体与非晶体之间, 组成粒子分布完全有序, 但不具有周期性, 仅仅具有长程取向序 ; 可具有晶体不允许的旋转对称性
3 . 晶格及其平移对称性 一 晶体结构及基元. 晶体结构 晶格 (Lttice): 晶体中原子的规则排列 晶体结构 (Crystl Structure): 晶体中原子的具体排列形式 关于常见晶体结构的一些定义 : 配位数 : 每个原子周围的最近邻原子数 堆积密度 : 原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
4 () 简单立方 (sc) 晶体结构 配位数 :6 原子半径 : r V tom 4 原子数 : 堆积密度 : V sc 8 8 f V V tom sc 6 Simple cubic lttice
5 () 体心立方 (bcc) 晶体结构 配位数 : 原子半径 : Body centered cubic lttice 原子数 : 堆积密度 : 具有此结构的金属原子 : 碱金属 Li N K Rb Cs; 难熔金属 W Mo Nb T 等
6 () 体心立方 (bcc) 晶体结构 配位数 :8 原子半径 : V tom 原子数 : 4 堆积密度 : 4 r f V tom V V bcc bcc 8 Body centered cubic lttice 具有此结构的金属原子 : 碱金属 Li N K Rb Cs; 难熔金属 W Mo Nb T 等
7 () 密堆晶体结构 面心 (fcc) 立方晶体结构 ( ABCABC 堆积 ) 密排六方 (hcp) 晶体结构 ( ABABAB 堆积 )
8 面心立方 (fcc) 晶体结构 配位数 : 原子半径 : 原子数 : Fce centered cubic lttice 堆积密度 : 具有此结构的金属原子 :Cu Ag Au Al Ni 等
9 面心立方 (fcc) 晶体结构 配位数 : 原子半径 : V tom 4 原子数 : 堆积密度 : r f V V fcc tom V fcc Fce centered cubic lttice 具有此结构的金属原子 :Cu Ag Au Al Ni 等
10 六角密堆 (hcp) 晶体结构 配位数 : 原子半径 : V tom 原子数 : 堆积密度 : r 具有此类结构的原子 :Be Mg Zn Cd Ti 等 请列出推导过程 6 4 V 6 hcp f V tom V hcp 6 6 Hexgonl close-pcked lttice
11 (4) 金刚石结构 配位数 :4 作业 : 请求出金刚石结构的堆积密度 上述几种属于同一种原子组成的晶体, 即元素晶体
12 (5)NCl 结构将钠离子和氯离子交替排放在一个简单立方晶格上配位数 :6 例 :LiF KCl LiI (6) 氯化铯 (CsCl) 晶体结构配位数 :8 例 :TlBr TlI NH 4 Cl,,, : Cl,,, : N
13 (7) 闪锌矿结构每种离子位于异类离子构成的正四面体中心配位数 :4 例 : ZnS CuF CuCl AgI ZnSe (8) 钙钛矿 (ABO ) 结构立方体结构中, 顶角位置 :A, 体心位置 :B, 面心位置 :O 例 : 铁电晶体 BTiO LiNbO PbZrO, 高温超导体的稀土铜氧化物等 上述几种为化合物晶体
14 简单晶格和复式晶格 () 简单晶格( 布拉维格子 ) 在这一类晶体结构中, 所有原子是完全等价的 作为一个原子到另一个任意原子的平移, 晶格完全复原 例 :sc bcc 和 fcc 结构形成的晶格 () 复式晶格 从一个原子或离子到任意一个不等价的原子或离子作平移, 晶格不能复原 一个复式晶格可以看作两个或两个以上布拉维格子套构而成 例 : 金刚石结构, 可看成沿体对角线相互错开 /4 长度的两个面心立方布拉维格子套构而成 ;NCl 晶格由两个面心立方布拉维格子套构而成 ; CsCl 由两个 sc 套构而成 ;ABO 由五个 sc 套构而成
15 基元 在理想情况下, 晶体是由全同最小原子团在空间无限重复排列而构成, 这样的原子团称为基元, 而这些点的集合称为晶格 基元可以是一个原子 ( 简单晶格 ), 也可以是一个原子群 ( 复式晶格 ) 原子群的原子可以相同, 也可以不同 二 结点和点阵 忽略内部分布, 用一个几何点代表一个基元, 称为结点 晶格被抽象成这些结点的几何结构, 称为点阵 点阵完全反映了晶格的平移对称性 基元按点阵排布得到晶体结构 : < 点阵 >+< 基元 >=< 晶体结构 >
16 三 基矢和元胞 对于一个给定的点阵, 总可以选择三个不共面的基本平移矢量 ( 称为点阵的基矢 ), 使任意一个结点 空间密度函数 : 那么如果平移 r 应是 R l R l =l +l +l = 的周期函数 i= r r R i R l Rl r R r l l i i (l i : 取正负整数包括零 ) 注意 : 对一个给定的点阵, 基矢的选择非唯一, 但是每种选择必须满足 所构成的平行六面体体积相等, 其中只包含一个结点
17 元胞对于一个点阵, 通常定义三种元胞 : 初基元胞 单胞和维格纳 - 塞茨 (Wigner- Seitz) 元胞 () 初基元胞 最小空间体积元, 只包含一个结点 NΩ=,N 为单位体积结点数目, Ω 为初基元胞的体积 初基元胞与基矢的选择有关, 基矢非唯一, 初基元胞也不唯一 对于每一种点阵, 通常约定一种公认的基矢和元胞的选择方式
18 简单立方点阵 为立方胞边长, 为直角坐标系中的单位矢量初基元胞的体积为 体心立方点阵 i j k k j i,, k j i A k j i A A k j i k j i k j i A A
19 面心立方点阵初基元胞的体积为 基矢 往往不构成正交系 初基元胞不能直观反映点阵的宏观对称性, 但完全反映点阵的平移对称性 k j i k j i A 4 A
20 () 单胞为了能直观地反映点阵的宏观对称性, 往往选择一个非初基的元胞, 称为单胞 单胞的三条棱, 记为 b c, 称为晶轴, 通常选择 c 为主要对称轴方向 单胞是一个扩大了的元胞, 只能通过点阵平移矢量的一个子集做平移, 不能完全反映点阵的平移对称性 单胞可包含多个结点 : sc 点阵 个结点, 初基元胞和单胞一致 bcc 点阵 个结点, 单胞体积为初基元胞体积的两倍, 是非初基的 fcc 点阵 4 个结点, 单胞体积为初基元胞体积的四倍, 是非初基的 单胞虽然不是初基的, 但可以充分反映点阵的宏观对称性, 在结晶学中常常采用
21 () 维格纳 - 塞茨 (W-S) 元胞 既反映点阵平移对称性, 又反映点阵宏观对称性的点阵结构单元 W-S 元胞点阵的结点处于元胞的中心, 一个 W-S 元胞只包含一个结点, 它是初基的 适用 : 固体物理学的理论研究
22 . 晶列和晶面 一 晶列及其晶向标志 晶列 : 点阵的结点可以看成分布在一系列相互平行的直线上, 称这些直线为一族晶列 ( 一族晶列应包含点阵中所有结点 ) 点阵中应有无穷多族晶列 晶向 : 每一族晶列定义了一个方向, 称为晶向 从一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的最短平移矢量为 R l =l +l +l 那么 l l l 就是晶向指数 l l l 为互质的整数, 可以是正或负整数, 负指数用头顶上加一横表示 用 l l l 表示点阵中一组对称的晶向
23 在 sc 点阵中, 表示,,,,,,, 二 晶面及有理指数定律 点阵的结点也可以看成分布在一系列平行且等间距的平面上, 这些平面称为一族晶面 ( 包括所有结点 ) 同一点阵有无限多方向不同的晶面族 如何建立一个平面的方位 : 该平面的法线的方向余弦 该平面在三个坐标轴上的截距
24 晶面上任意一点的位矢为 晶面方程为 X X e n d, 从原点算起第 μ 个晶面到原点的距离为 μd, 设该晶面与三个坐标轴交点的截距为 r μ,s μ,t μ, 取天然长度单位, 则有 可以得到 r s t cos cos cos cos e n d e n d e d n e :cos e :cos e n n n 可见, 三个方向余弦和三个截距倒数等价 r : s : t 通常用三个截距的倒数 r, s, t 来标志该晶面
25 证明 :r μ s μ t μ 必为有理数 因为在该族晶面中必有三个或小于三个晶面过 的端点所对应的结 点, 那么对应为第 h h h 个晶面, 取天然长度单位, 则第 μ 个晶面的截 距为 r,s h,t h h 又 μ i h i 均为整数, 故整数之比为有理数 晶面有理指数定律 : 晶体中任一晶面, 在基矢天然坐标系中的截距为有理 数 它是点阵周期性的必然结果 从原点算起的第一个晶面的截距 标志这一族晶面, 记为 h h h r h,s h, 称为该族晶面的晶面指数,t h 的倒数去
26 证明 :h h h 必为互质的整数 在 X e n d 中取 μ=, 得到第一晶面满足的方程组 : h h h cos cos cos e e e n n n d d d 在该晶面上的某结点位矢为 l cos R l =l +l +l,l l l 为整数 则有 e l cos e l cos e d n n n 消去方向余弦, 得 lh lh lh..7 如果 h h h 不互质, 有公因子 m,m 为大于 的整数, 可令 h =mh, h =mh,h =mh,h h h 为互质整数 代入..7 得 m (lh ' lh ' lh ') 因括号中整数求和为非零整数, 则上式不成立 所以 h h h 必为互质的整数
27 一组方位不同的对称晶面用花括号表示为 {h h h }. 以下为简单立方点阵中的主要晶面 :
28 三 晶面指数和密勒指数 晶面指数 : 以 基矢为坐标系决定的指数, 记为 (h h h ) 密勒指数 : 以单胞的三条棱为坐标系决定的指数, 记为 (h k l) 如右图,fcc 点阵中同一族晶面 ( 阴影所示 ) 的 晶面指数为 ( ), 而密勒指数为 ( )
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