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1 CNIC-0585 CAEP-008 流体力学不稳定性研究 球壳结构馈通增长的瑞利 - 泰勒不稳定性 THE STUDY ON HYDRODYNAMIC INSTABILITY Raylegh-Taylo lnstablty of Feedthough Gowth n a Sphecal Shell Geoety (In Chnese) 中国核情报中心 Chna Nuclea Infoaton Cente
2 CNIC-0585 CAEP-008 流体力学不稳定性研究 球壳结构馈通增长的瑞利 - 泰勒不稳定性 林其文 ( 中国工程物理研究院流体物理研究所, 绵阳,6900) 摘 要 利用小扰动分析法, 导出球壳结构的馈通增长方程 数值模拟了高压气体驱动外表面有初始扰动的明胶球壳的 RT 不稳定性模型 计算结果表明 : 对于低波数扰动, 外界面比较稳定, 内表面的馈通增长较快, 具有比较明显的三个演化阶段和波形反转现象 高波数扰动的增长恰好与上述特征相反 球壳会聚结构与柱壳会聚结构比较, 界面稳定性要好些 关键词 : 球壳, 会聚结构, 瑞利 - 泰勒不稳定性, 馈通增长, 扰动
3 The Study on Hydodynac Instablty Raylegh Taylo Instablty of Feedthough Gowth n a Sphecal Shell Geoety (In Chnese) LIN Qwen ( Insttute of Flud Physcs, CAEP, Manyang, 6900 ) ABSTRACT Feedthough petubaton gowth equatons n an ncopessble sphecal shell geoety ae deved by sall-apltude petubaton analyss. RT nstablty odes on tanspaent gelatn sphecal shell wth ntal petubaton on the oute suface s nuecally calculated. Ths shell s ploded wth hgh-pessue gases. The calculatons show that n the low wave nube band, the oute suface s stable, whle the feedthough gowth on the nne suface s apd, esultng n the obseved phase nveson. The petubaton gowth behavo n the hgh wave nube band s opposte to that n the low wave nube band. The nteface stablty of the sphecal shell geoety s bette than that of the cylnde. Keywods: Sphecal shell, Convegent geoety, Raylegh-Taylo nstablty, Feedthough gowth, Petubaton
4 引言 会聚结构中的流体动力学不稳定性在激光惯性约束聚变 (ICF), 超新星爆发等一些过程中起重要作用而受到广泛重视, 它也是 ICF, 内爆动力学等需解决的关键技术问题之一 会聚结构中的不稳定性问题有三个因素必须考虑 : 首先, 较轻的流体加速较重的流体, 即可形成瑞利 - 泰勒 (RT) 不稳定性 其次, 薄壁 效应, 它通过外部 RT 不稳定性表面扰动的馈通, 使扰动出现在聚爆球壳的内表面 这些内表面扰动是极不希望出现的, 因为它们影响球壳的压缩性能 最后, 会聚作用, 随着球壳聚爆, 扰动幅度和球壳厚度都在变化, 从而使外部扰动对内表面扰动的耦合和影响发生变化 本文拟研究球壳在高压气体驱动会聚下馈通增长的 RT 不稳定性 下面我们将分别讨论扰动增长的耦合方程 弹性球壳运动方程及数值计算等问题 扰动增长的耦合方程 采用与 Plesset [],Mkaelan [] 相似的小幅度分析法来推导球形结构的扰动增长方程 考虑 N 层流体组成的球形结构 从里向外的流体密度依次为 ρ, ρ, L, ρ N, 界面平均半径为 R, R, L, R N ( 密度 ρ N 的最外层流体半径 R N ) R 是密度 ρ 和 ρ 的两层流体的界面平均半径 因界面有扰动, 其半径与角度有关 假定, 具有扰动幅度 η 和波数 n 的实际界面半径 可表示为 : η ( θ, ϕ) () R Y n, 其中, Y 为球谐函数, 对于线性分析, 假定 : n, η << R () 在密度 ρ 的区域 内, 引进速度势 ϕ, 因此该区域的流体速度 u φ / 对不可压流体, ϕ 0 球形区域各层流体的速度势, 包括零级量和扰动量两部分, 其解为 : ϕ & (3) n R R / B Yn, C Yn, /, 其中, B, C 与 无关, 是 n, R, R 等的函数, 由界面上径向速度连续条件确定 在界面 上, u ( ) & ϕ ( ) /, 代入公式 () 和 (3) 得到, & / & η& n R R nb Yn, ( n ) CYn, / R Yn, 无扰动时,(3) 式中的 B, C 都为零, 因此它们至少应与扰动量大小同量级 将 () 式代入上式时, 仅保留到 η 的一次项 对第一项, ( R ηyn, ) R ( η Yn, ) 对第二 三两项, 因 B, C 与 η 同量级, 所 3
5 以 n 和 仅保留零级项 R n 和 R 则得到: nb ( n ) C R R S& (4a) n n 其中 S η R 同样, 可得区域量 B, C 在界面 - 上的类似关系 : nb ( n ) C R R S& (4b) n n 方程 (4a) 与 (4b) 联立, 解出 B, C 分别为 B R n n S & n( ψ ) R S& n( ψ ) (5a) n,, 其中, ψ R / R ψ ψ C B ( n n ) (5b),,,, 为了得到理想界面半径 R 和扰动量 S 流体压力在界面半径 处是连续的条件, 即 η 的运动方程, 应用区域 和 的两层 R P ( t) ρ [ ϕ / t ( ϕ) / ] P ( t) ρ [ ϕ / t ( ϕ ) / ], 对于 (6) 其中,P,P 是伯努利积分常数 将 (3) 式代入上式, 且在展开式中仅保留到 η 的一 次幂 并考虑到流体层的不可压关系 R R& R R&, 最后可得到零级量 R 及扰动量 S 的 运动方程 : P P ( ρ )( R R& 3R& / ),,, L, N (7) ρ n ( ) d( R & ρ ρ S ) dt R ( ρ B & ρ B& ) R ρ C& ρ C& ),,, L, N (8) ( 界面平均半径 R 的运动方程 (7) 在下节还要详细讨论 从方程 (8) 可见, 界面 的扰动幅度 η 与相邻界面 ± 的 η ± 相关, 所以 N 层球壳结构的 N- 个界面的扰动方程需要联立求解 注意到, 0 或 时, 速度势 ϕ 取有限值, 所以要求,C B N 0 同时,(8) 式中的 B &, C & 分别为 4
6 B & n { R n R& n A S&& ( ) ( ) ψ,, S& n n( ψ ) R ψ,, ( ) n ( n ) R& n A, ψ, S & S& (9a) R ψ, } 其中, A R& R R& / R, /, A, A, C& B& ( n n ) (9b) 至此, 如果给出 N 层介质的 N- 个界面的平均半径 R 的运动状态, 原则上由方程 (8) 可解出各界面扰动幅度的发展情况 本文感兴趣的是高压气体驱动明胶球壳的不稳定性问题, 所以 N3, 扰动方程只有两个平均界面半径 R 和 R, 又因球壳外层和内层空间的气体密度远比明胶密度低, 可近似取 ρ ρ 0 这样方程(8) 可简化为 3 R B& R C& d( R S ) & dt,, (0) 借助 (9a) 和 (9b) 的关系, 将 B & ( S, S ), C & ( S, S ) 代入上式, 联立解出 S & 和 S & 经过化简, 可得到 S 和 S 的二阶微分方程组 : 其中 S S G R& R S&& GS& GS G3S& G4S S & G S& G S G S& G () 3 4S G (( n ) nψ ) R& ( ψ ) R,,, G3 (n ) ψ A ( ψ ), G 4 (n ) ψ R& ( ψ ) R,, () A A R& / R R& / R, ψ ψ R / R 式 () 就是描述球壳内外界面扰动增长的线性 共轭二阶微分方程, 其中, η 对于研究外界面扰动对内界面的馈通增长不稳定性, 其初始条件取为, S& S& 0, S R0η0 R 0 和 η 0 分别为球壳外表面的初始平均半径和扰动幅度 R 界面平均半径的运动方程 (7) 有两个不足之处, 一是伯努利积分常数 P P 不好确定, 其次未考虑弹性 下节将用另外的方法讨论这个问题 弹性球壳界面的径向运动 设内半径 R, 外半径 R 的弹性球壳受到内外压力的作用, 发生会聚运动, 其径向应力边界条件为 : σ ( R) p σ ( R p (3) ) 5
7 由弹性球壳的不可压条件 ( u) 0, 可得积分常数 D( t) u (4) 再将 (4) 式代入球壳的运动方程 ρu& σ ( σ σ θ ), 得到 D & 5 D σ ρ ( σ σ ) θ ρ (5) 球坐标中, 应力 偏应力及偏应变等有关系 σ & σ& S & S& G( & ε & ε ) G( u u ),G 为剪切模量 再由不可压条件, u u, 得 θ θ β σ & σ& 6Gu θ 所以 σ 6G udt 6G D( t)dt G( R R ), 并代入 (5) 式, 得到, σ θ 0 & σ ρ D 4G( R R0 ) ρ, 再将它对 积分, 并应用应力边界条件 (3), D 最后得到 D 的一阶微分方程 : D & [( p p ) ρ D ( R R ) 4G( R R )( R R ) 3ρ] ( R R ) (6) 0 上式就是弹性球壳界面的运动方程, 将它与界面速度 R & D R 联立积分, 即可得到 3 界面的运动状态 加速度为 R & ( D & D R ) R (6) 式中, 等式右端第三项为弹性恢复项 压力 p p 与模型结构具体尺寸 气体状态方程及初始条件等有关 3 算例与讨论 计算模型为高压气体驱动明胶球壳, 其结构为 0( 空气 )R ( 明胶 )R ( 爆炸气体 ) R 3 ( 固定金属壳 ) 明胶球壳内外表面的初始半径 R 0 4 c, R c, 密度 ρ.0 g/c 3, 3 剪切模量 G 7 0 Pa, 空气初始压力 p Pa, 固定金属壳内半径 R 3 c 明胶球壳与固定金属壳之间的空腔充入摩尔质量相同的氧气 - 乙炔混合气体 ( 压力为 0 5 Pa), 该气体爆炸后在空腔中产生的平均压力 p 0 约为 Pa 本模型的数据参考了 We [3] 等人的爆炸气体驱动明胶圆筒实验的数据 在明胶球壳会聚过程中, 设内外空腔中的气体压缩或膨胀, 都满足多方指数规律, 且空气的绝热指数为.4, 爆炸气体的绝热指数为.97 设明胶球壳外表面具有初始扰动, 且假定扰动波与方位角无关 (0), 即 R η P n (cos( θ )), P n 为 n 阶勒让德多项式 取初始扰动幅度 η 0. 0 c, 波数 n6 球壳界面的运动方程 (6) 和扰动增长馈通方程 () 采用龙格 - 库塔法积分 下面介绍主要的计算结果 图 (a)~(c) 分别为明胶球壳内外表面的平均半径 R 6
8 速度 u 加速度 g 的时间变化曲线, 图 (d) 为 n6 时扰动幅度 η 的时间变化线 图 (e)~(h) 为不同时刻的 6 型球壳过极轴的截面图 图中, 曲线 和曲线 分别表示内表面和外表面上的各种物理量 R/c u/(/s) t / s t / s g/(0 6 /s ) η/() n 6 t / s t / s n 6 n 6 t 0.38 s t 0.56 s X / c X / c 7
9 n 6 t 0.6 s n 6 t 0.6 s X / c X / c 图 球壳半径 R, 速度 u, 加速度 g 和扰动幅度 η 随时间的变化及球壳轴截面的变形过程 X / c n 0 n 0 t 0.56 s η/() t / s n 0 n 0 t 0.6 s t 0.6 s X / c X / c 图 球壳在 n0 的扰动幅度 η 随时间的变化及球壳轴截面的变形过程 从图 (c) 可见, 在 0.4 s 前, 外表面和内表面都向内加速, 因此外表面是 RT 不稳定的, 内表面是稳定的 从 0.4~0.58 s, 外表面向外加速, 内表面仍向内加速, 两个界面 8
10 都是稳定的 在 0.58~0.6 s, 内外表面都向外加速, 内表面变为不稳定的了 对球壳界面馈通增长方程组 () 的系数 G j (), 在不同的时间进行数值分析, 有助于深入理解扰动幅度的演变特点 这种演变可粗略分为三个阶段 () 强耦合段 (t<0.4 s) 在这阶段, 球壳较薄,ψ 较大, 内外扰动之间有显著的耦合作用 ( 即 G 4 和 G 4 相当大 ), 并且外部扰动的 RT 发展强有力地激励内部馈通扰动的增长 此阶段, η η exp( n( R R ) / R ), 参见图 (c),(e) () 退耦段 (0.4 s<t<0.58 s) 在这阶段, 随着球壳的会聚,ψ 变得很小, 内外扰动的交叉耦合系数 G 4 和 G 4 大大减小, 而系数 G 和 G 至少比其它系数大一个量级以上, 因此馈通增长方程组近似地描述两个几乎独立的简谐振子 此时, 外表面加速度为正, 其扰动变成 RT 稳定的, 幅度增长变缓 内部扰动开始变为近似于自由振荡, 并且幅度减小 (G <0), 参见图 (c),(f) (3) 减速段 (0.58 s<t<0.6 s) 在这阶段, 内表面的加速度也为正, 开始减速会聚, 然后反弹, 变成 RT 不稳定的, 从而使内表面扰动幅度快速指数增长, 并呈现明显的相位翻转, 并随着时间的发展, 有可能导致湍流混合 参见图 (g),(h) 取波数 n0 进行了计算 我们发现, 对高波数扰动, 直到球壳聚焦后的较长一段时间内, 内外界面的扰动波形是同相位的, 并且内界面稳定性很好, 而外界面稳定性较差, 参见图 (a)~(d) 这个现象, 可从扰动方程的系数得到解释 当 n 较大时, 交叉耦合系数 G 4 很小, 自身振动系数 G 很大, 因此低波数馈通增长的三个演化阶段现在就不明显了, 而外扰动对内表面的馈通, 仅起诱导作用, 内外扰动的增长几乎按自身的振荡规律演化, 所以具有初始扰动幅度的外界面稳定性就较差, 而内界面 ( 无初始扰动 ) 就比较稳定 [4] 球壳结构与相似的柱壳结构模型的馈通增长比较, 球壳的聚焦时间 0.6 s 较小, 聚焦半径 7.7 较大, 馈通增长比柱壳的发展慢些, 直到球壳聚焦时, 内界面稳定性较好, 基本保持球对称 4 结束语 本文建立的球壳结构的馈通增长方程及弹性球壳界面的运动方程, 能较好地模拟球壳馈通增长的 RT 不稳定性问题 计算结果表明 : 低波数扰动的特点是, 外界面较稳定, 内界面的馈通扰动稳定性较差, 扰动增长有较明显的三个阶段以及波形反转现象 而高波数扰动的特点恰好与上述的相反 球壳与柱壳比较, 界面的稳定性要好些 参考文献 Plesset M S. On the stablty of flud flows wth sphecal syety. J Appl Phys, 954, 5(): 96~98 Mkaelan K O. Raylegh-Taylo and Rchtye-Meshkov nstabltes and xng n statfed sphecal shells. Phys Rev, 990, A4(6): 3400~340 3 We S T, Chandle E A, and Goodwn B T. Raylegh-Taylo nstablty expeents exanng feedthough gowth n an ncopessble, convegent geoety. Phys Rev Lett, 998, 80(7): 3763~ 林其文. 不可压会聚结构耦合增长的瑞利 - 泰勒不稳定性研究 :[ 科技报告 HJ06]. 绵阳 : 中国工程物理研究院流体物理研究所,999 9
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吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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幻灯片 1
第二章原子的激发态结构. 单电子 (H) 原子 ( 类 ) 氢原子的薛定谔方程 -e 3D 不含时的定态薛定谔方程 其中库仑势 m + ( ) V ( ) V ψ Ze 4πε Eψ + +Ze 电子束缚在原子核的中心力场中 只与电子和原子核之间的径向距离有关 Fom www.hpephsics.ph-ast.gsu.edu . 单电子 (H) 原子氢原子的薛定谔方程 Catesian coodinates
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中 華 傳 道 會 安 柱 中 學 葵 涌 青 衣 荃 灣 及 深 水 埗 區 小 學 家 長 晚 會 (13-12-2013) 家 長 提 問 的 回 應 本 校 在 現 時 的 中 三 中 四 中 五 及 中 六 級 均 額 外 增 加 一 班, 推 行 中 班 教 學 本 校 深 受 區 內 小 學 家 長 及 學 生 的 歡 迎, 絕 對 沒 有 縮 班 的 危 機 但 為 了 保 全 全
中華傳遁會安柱中學
中 華 傳 道 會 安 柱 中 學 葵 涌 青 衣 荃 灣 及 深 水 埗 區 小 學 家 長 晚 會 (18-12-2015) 家 長 提 問 的 回 應 本 校 在 現 時 的 中 四 中 五 及 中 六 級 均 額 外 增 加 一 班, 推 行 中 班 教 學 本 校 將 今 年 的 中 四 及 中 五 級 由 編 制 的 四 班 增 加 至 五 班, 中 六 級 則 由 編 制 的 五 班
任春平 邹志利 在坡度为 的平面斜坡上进行了单向不规则波的沿岸流不稳定运动实验 观测到了沿 岸流的周期性波动 波动周期约为 利用最大熵方法和三角函数回归法求得这种波动的主 频率以及幅值 分析了波动幅值在垂直岸线方向的变化 结果表明该变化与沿岸流变化类似 即在 沿岸流最大值附近这种波动强度最大 为了分析波动的机理 利用线性沿岸流不稳定模型对模型实验结果进行了分析 求得了不稳定运动增长模式和波动周期 并与对应实测结果进行了比较
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非线性系统控制理论
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