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逻宥印
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1 或第一章概率与统计知识网络一随机变量教学指导一基础知识梳理与重点难点和疑点 ( 一 ) 基础知识. 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示, 那么这样的变量叫做随机变量, 随机变量常用希腊字母 ξ η 等表示.. 离散型随机变量对于随机变量可能取的值, 可以按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做离散型随机变量.. 离散型随机变量的分布列 () 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x, x, x i,,ξ 取每一个值 x i 的概率 P(ξ= x i )= p i, 则称表 ξ x x x i P p p p i 为随机变量 ξ 的分布列. () 离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质 :p i 0;p + p + + p i + =(i=,,, ).. 常见的离散型随机变量的分布 ()0~ 分布分布列为 ξ 0 P P -p (0<p<). () 二项分布在 n 次独立重复试验中, 事件 A 发生的次数 ξ 是一个随机变量, 其所有可能取的值为 0,,,,,n, 并且 P(ξ=)= n p q n- ( 其中 =0,,,,n,q=-p), 显然 P(ξ=) 0(=0,,,,n), n 0 n p q n- =(p+q) n =. 称这样的随机变量 ξ 服从参数 n 和 p 的二项分布, 记为 ξ~b(n,p). () 几何分布在独立重复试验中, 某事件第一次发生时所做试验的次数 ξ 也是一个取值为正整数的离散型随机变量. ξ= 表示在第次独立重复试验时事件第一次发生. 如果把第次试验时

. 离散型随机变量的分布列 () 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x, x, x i,,ξ 取每一个值 x i 的概率 P(ξ= x i )= p i, 则称表 ξ x x x i P p p p i 为随机变量 ξ 的分布列.

2 事件 A 发生记为 A, 事件 A 不发生记为 P(ξ=)=P( A A A A A ), 根据相互独立事件的概率乘法公式, P(ξ=)=P( A ) P( A ) P( A ) P( A 称这样的随机变量 ξ 随从几何分布, 记为 g(,p)=q - p, 其中 q=-p,=,,,.. 期望一般地, 若离散型随机变量的概率分布列为或 A,P(A )=p,p( A )=q, 那么 ) P(A )=q - p(=,,, ), ξ x x x i P p p P i 则称 x p +x p + +x n p n + 为随机变量 ξ 的数学期望, 简称为期望, 记作 Eξ. 即 Eξ=x p +x p + + x n p n +. 注意 :() 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. () 若 ξ 为随机变量,η=aξ+b(a,b 为常数 ) 也是随机变量, 且 Eη=aEξ+b. () 对于二项分布 ξ~b (n,p) 有 Eξ=np. () 对于几何分布 ξ~g (,p) 有 Eξ= p. 6. 方差如果离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ x x x n P p p p n 则 (x -Eξ) p +(x -Eξ) p + +(x n -Eξ) p n + 叫做随机变量 ξ 的均方差, 简称方差, 记作 Dξ. 即 Dξ=(x -Eξ) p +(x -Eξ) p + +(x n -Eξ) p n +. 注意 :() 方差反映了随机变量取值的稳定与波动集中与离散的程度. () 方差 Dξ 的算术平方根 D 叫做随机变量 ξ 的标准差. 记作 σξ, 即 ( x E ) p ( x E ) p ( x E p, n ) 标准差与随机变量 ξ 有相同的单位, 较之方差使用起来更为方便. ()D(aξ+b)=a Dξ,Dξ=Eξ -(Eξ). () 对于二项分布 ξ~b(n,p) 有 Dξ=np(-p). p () 对于几何分布 ξ~g(,p) 有 Dξ=. p 7. 期望值的性质 ()E=( 为常数 ). ()E(aξ+b)=aEξ+b. ()E(ξ +ξ )=Eξ +Eξ. () 如果 ξ ξ 相互独立, 那么 E(ξ ξ )=(Eξ ) (Eξ ). n

即 Eξ=x p +x p + + x n p n +. 注意 :() 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. () 若 ξ 为随机变量,η=aξ+b(a,b 为常数 ) 也是随机变量, 且 Eη=aEξ+b. () 对于二项分布 ξ~b (n,p) 有 Eξ=np.

3 或 ( 二 ) 内容分析离散型随机变量是本章的基础内容, 期望值方差标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征, 它们分别反映了随机变量取值的平均水平稳定程度集中与离散的程度. 这些内容是近几年来新增的考点之一, 要会求离散型随机变量的分布列期望值方差标准差, 并能应用它们解决一些实际问题.. 离散型随机变量的分布列期望方差标准差的意义与应用是本章内容的重点, 要求学生切实理解掌握.. 随机变量离散型随机变量概念的建立及其数字特征与意义是本单元的难点, 要结合实例, 让学生体会.. 离散型随机变量的取值二项分布几何分布的意义是本单元的疑点, 要通过具体实例的分析使学生掌握. 二解题规律总结. 随机变量与函数的关系函数 f(x) 是研究确定性现象的, 它定义在实数轴上, 有确定的因果关系. 概率中的随机变量是研究随机现象的, 它定义在由全部试验结果所组成的集合上, 它的取值是不能预知的, 但它取值有一定的概率. 我们研究随机变量时, 关心的是, 随机变量能取哪些值, 即都包含哪些试验结果 ( 基本事件 ), 以及注意研究它的统计规律, 也就是事件概率的大小.. 本单元的内容与高中数学中的排列组合和概率 ( 等可能事件的概率, 互斥事件和的概率, 相互独立事件积的概率, 独立重复试验 ) 的内容有着密切的联系, 在学习中要注意分析这些相关内容适用的条件, 能正确运用有关概率公式求得所求事件的概率大小.. 事件的概率着眼于随机现象的局部问题, 与此不同, 随机变量的概率分布及其期望与方差则着眼于随机现象的整体和全局问题. 教学中, 要注意讲解各种模型的概率分布列及其期望与方差.. 解题时要认真审题读题, 弄清随机变量及其取值. 计算要准确, 正确应用期望值方差标准差等知识解决实际问题. 范题精讲例一袋中装有个白球和个黑球, 每次从袋中任取个球, 直到取到白球为止, 若 () 每次取出黑球不再放回去,() 每次取出黑球仍放回, 分别求取球次数的概率分布. 分析取出黑球不再放回去要影响下面取法的概率, 而每次取出黑球仍放回却不影响. 解由题意得取球次数 ξ 是一随机变量. () 因为每次取出黑球不再放回, 所以 ξ 的可能取值为,ξ= 表示从袋中取个球, 就取到了白球, 则 P(ξ=)= A = ;ξ= 表示从袋中取个球, 第一次取到黑球, 第二次取 A A 到白球, 则 P(ξ=)= =, A 同理 P(ξ=)= A =,P(ξ=)= A A =,P(ξ=)= A =. A 若每次取出黑球不再放回去, 取球次数 ξ 的分布列为 ξ P () 由题意, 若取出黑球仍放回, 随机变量 ξ 的取值可为一切正整数,,,,,ξ= 表示每次

. 随机变量离散型随机变量概念的建立及其数字特征与意义是本单元的难点, 要结合实例, 让学生体会.. 离散型随机变量的取值二项分布几何分布的意义是本单元的疑点, 要通过具体实例的分析使学生掌握. 二解题规律总结.

4 或从袋中取一个球, 前 - 次取到的都是黑球, 且每次都放回, 第次才取到白球, 则 P(ξ=)=( ) - (=,, ), 若每次取出黑球再放回, 取球次数 ξ 的分布列为 ξ K P 6 ( ) - 点评 : 在总体中取个体, 常有两种不同取法, 一是取出后不放回, 二是取出后放回, 注意区别二者在解题中的不同. 本题 () 中, 取球次数 ξ 服从几何分布. 例 (00 年全国高考, 理 ) 粒种子分种在个坑内, 每坑粒, 每粒种子发芽的概率为 0.. 若一个坑内至少有粒种子发芽, 则这个坑不需要补种 ; 若一个坑内的种子都没发芽, 则这个坑需要补种. 假定每个坑至多补种一次, 每补种个坑需 0 元, 用 ξ 表示补种费用, 写出 ξ 的分布列并求 ξ 的数学期望.( 精确到 0.0) 分析本题考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法, 考查随机变量数学期望等知识, 考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解因为单个坑内的粒种子都不发芽的概率为 (-0.) = 8, 所以单个坑不需要补种的概率为 - 8 = 8 7, 个坑都不需要补种的概率为 ( 8 7 ) 0.670, 7 恰有个坑需要补种的概率为 ( ) 0.87; 恰有个坑需要补种的概率为 ([]8) 0.0; 8 7 个坑都需要补种的概率为 ( ) ( ) 补种费用 ξ 的分布列为 ξ P ξ 的数学期望为 Eξ= =.7. 点评 : 离散型随机变量的分布列是概率与统计中的重点和难点, 它直接影响着期望与方差的计算. 求分布列时常出现以下错误 : () 没有弄清题意 ;() 随机变量的取值不准确 ;() 忽视二项分布的前提条件 ;() 遗漏二项分布 P(ξ=)= p q n- 中的系数 ;() 概率计算不准确. n n 例根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为 0., 有大洪水的概率为 0.0. 该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失元, 遇到小洪水时要损失元. 为保护设备, 有以下种方案 : 方案一 : 运走设备, 搬运费为 800 元. 方案二 : 建保护围墙, 建设费为 000 元. 但围墙只能防小洪水. 方案三 : 不采取措施, 希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好?

cn 从袋中取一个球, 前 - 次取到的都是黑球, 且每次都放回, 第次才取到白球, 则 P(ξ=)=( ) - (=,, ), 若每次取出黑球再放回, 取球次数 ξ 的分布列为 ξ K P 6 ( ) - 点评 : 在总体中取个体, 常有两种不同取法, 一是取出后不放回,

5 或分析本题考查离散型随机变量的分布列, 准确把握随机变量的取值是解题的关键. 解用 x x 和 x 分别表示三种方案的损失. 采用第一种方案, 无论有无洪水, 都损失 800 元, 即 x = 800. 采用第二种方案, 遇到大洪水时, 损失 =6 000 元 ; 没有大洪水时, 损失 000 元, 即 6000, 有大洪水, x = 000, 无大洪水. 同样, 采用第三种方案, 有 60000, 有大洪水, x = 0000, 有小洪水, 0, 无洪水. 于是, Ex = 800, Ex =6 000 P(x =6 000)+ 000 P(x = 000)= (-0.0)= 600, Ex = P(x =60 000) P(x =0 000)+0 P(x =0)= = 00. 采用方案二的平均损失最小, 所以可以选择方案二. 点评 : 值得注意的是, 上述结论是通过比较平均损失而得出的. 一般地, 我们可以这样来理解平均损失 : 假设问题中的气象情况多次发生, 那么采用方案二将会使损失减到最小. 由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的, 所以对于个别的一次决策, 采用方案二也不一定是最好的. 例 A B 两个代表队进行乒乓球对抗赛, 每队三名队员,A 队队员是 A A A,B 队队员是 B B B, 按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下 : 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A 对 B A 对 B A 对 B 现按表中对阵方式出场, 每场胜队得分, 负队得 0 分. 设 A 队 B 队最后所得总分分别为 ξ η. () 求 ξ η 的概率分布 ; () 求 Eξ Eη. 分析 : 本题考查如何构筑离散型随机变量的分布列及其期望的求法. 问题的关键是搞清随机试验的结果能否用一个变量来表示, 它可能取的值是什么, 以及取每个值的概率是什么. 解 :()ξ η 的可能取值分别为,,,0. P(ξ=)= P(ξ=)= P(ξ=)= 8 =, =, =,

同样, 采用第三种方案, 有 60000, 有大洪水, x = 0000, 有小洪水, 0, 无洪水. 于是, Ex = 800, Ex =6 000 P(x =6 000)+ 000 P(x = 000)=6 000 0.0+ 000 (-0.

6 或 P(ξ=0)= = ; 根据题意, 知 ξ+η=, 所以 8 P(η=0)=P(ξ=)=, 7 8 P(η=)=P(ξ=)=, 7 P(η=)=P(ξ=)=, P(η=)=P(ξ=0)=. 8 8 ()Eξ= =. 7 因为 ξ+η=, 所以 Eη=-Eξ=. 点评 :. 求离散型随机变量 ξ 的期望的步骤 : () 理解 ξ 的意义, 写出 ξ 可能取的全部值 ; () 求 ξ 取每个值的概率 ; () 写出 ξ 的分布列 ; () 由分布列和期望的定义求出 Eξ.. 若 ξ~b(n,p), 则可直接利用公式求 Eξ=np. 高三数学同步检测 ( 一 ) 随机变量说明 : 本试卷分为第 Ⅰ Ⅱ 卷两部分, 请将第 Ⅰ 卷选择题的答案填入题后括号内, 第 Ⅱ 卷可在各题后直接作答. 共 00 分, 考试时间 0 分钟. 第 Ⅰ 卷 ( 选择题共 0 分 ) 一选择题 ( 本大题共 0 小题, 每小题分, 共 0 分 ). 一个袋中有个白球和个红球, 从中任取个, 则随机变量为 ( ) A. 所取球的个数 B. 其中所含白球的个数. 所取白球和红球的总数 D. 袋中球的总数解析 : 根据离散型随机变量的定义, 可知 B 中的试验结果 ξ 可能取得的值是一个变量, 并可以按一定次序一一列出. 而 A D 中的试验结果是一常量, 不符合随机变量的定义. 答案 :B. 下面表可以作为离散型随机变量的分布列. ( ) A. B. ξ - 0 P ξ 0 - P. ξ 0 D. P ξ P

高三数学同步检测 ( 一 ) 随机变量说明 : 本试卷分为第 Ⅰ Ⅱ 卷两部分, 请将第 Ⅰ 卷选择题的答案填入题后括号内, 第 Ⅱ 卷可在各题后直接作答. 共 00 分, 考试时间 0 分钟.

7 或分析 : 本题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质 : ()P i 0,i=,,, ; ()P +P + =. 解 : 对于 B, 由于 P(0)=- <0, 不符合离散型随机变量概率分布的性质 (); 对于, 由于 P(0)+ P()+P()= + + = 6 >, 不符合离散型随机变量的性质 (); 对于 D, 随机变量 ξ 的取值 x =x =, 不符合随机变量的意义 ; 只有 A 完全符合离散型随机变量的要求. 答案 :A. 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下 : ξ P 如果命中 8~0 环为优秀, 那么他射击一次为优秀的概率是 ( ) A.0. B D.0. 分析 : 一般地, 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 解 : 根据射手射击所得环数的分布列, 有 P(ξ=8)=0.8,P(ξ=)=0.,P(ξ=0)=0., 所求概率为 P(ξ 8)= =0.7. 答案 :. 已知 ξ 的分布列为且设 η=ξ+, 则 η 的数学期望 Eη 的值是 ( ) A. B.. D. 6 6 分析 : 本题考查期望的计算公式,E(aξ+b)=aEξ+b. 解 : 因为 Eξ= =, 6 6 所以 Eη=E(ξ+)=Eξ+= ( )+=. 6 答案 :B. 设某批电子管正品率为, 次品率为, 现对这批电子管进行测试, 设第 ξ 次首次测到正品, 则 P(ξ=) 等于 ( ) A. ( ) ξ - 0 P 6 B.( ). ( ) D.( ) 分析 : 本题考查离散型随机变量的几何分布. 解 : 根据相互独立事件的概率计算公式, 有 P(ξ=)= 答案 :B =( ).

型随机变量的要求. 答案 :A. 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下 : ξ 6 7 8 0 P 0.0 0.0 0.06 0.0 0.8 0. 0. 如果命中 8~0 环为优秀, 那么他射击一次为优秀的概率是 ( ) A.0. B.0.7.0.7 D.0. 分析 : 一般地, 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

8 或 6. 箱子里有个黑球, 个白球, 每次随机取出一个球, 若取出黑球, 则放回箱中, 重新取球 ; 若取出白球, 则停止取球, 那么在第次取球之后停止的概率为 ( ) A. B.( ). D. ( ) 分析 : 本题中, 每次随机取出一个球是等可能性事件, 取出的是黑球或白球应用的是等可能性事件的概率公式. 由于放回取球使得各次取球之间取得黑球或白球的概率互不影响, 因而各次取球才构成相互独立事件, 才可以利用相互独立事件同时发生的概率计算公式. 解 : 由题意, 第次取球后停止的事件应是前次取出的均是黑球, 第次取出的是白球. 因为取出黑球后要放回箱中重新取球, 故前次每次取出黑球的概率都是 =. 第次取出白球的概率是 =, 次取球是相互独立事件, 彼此概率不受影响, 利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得在第次取球之后停止的概率为答案 :B 7. 若 ξ~b(,0.), 那么 P(ξ ) 等于 ( ) A.0.07 B D.0. =( ) ( ). 分析 : 本题考查二项分布中互斥事件和的概率. 一般地, 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 解 :P(ξ )=P(ξ=0)+P(ξ=)+P(ξ=) = 0 - (0.) (0.) =(0.) + (0.) (0.) + (0.) (0.) = =0.. 答案 :D a 8. 随机变量 ξ 的分布规律为 P(ξ=n)= (n=,,,), 其中 a 是常数, 则 P( <ξ< ) n( n ) 的值为 ( ) A. B.. D. 6 分析 : 本题考查离散型随机变量分布列的性质及互斥事件和的概率计算. 解 : 由题意可知 a a a a, 可得 a=.

由于放回取球使得各次取球之间取得黑球或白球的概率互不影响, 因而各次取球才构成相互独立事件, 才可以利用相互独立事件同时发生的概率计算公式.

9 或 a a P( <ξ< )=P(ξ=)+P(ξ=)= = a = =. 6 6 答案 :D. 设 ξ~b(n,p) 且 Eξ=,Dξ=, 则 n p 的值分别是 ( ) A.0, B.60,.0, D.60, 分析 : 本题考查二项分布的期望与方差. np, 解 : 由题意, 得 np( p). n 60, 解得 p. 答案 :B 0. 一射手对靶射击, 直到第一次击中为止, 每次命中的概率为 0.6, 现有颗子弹, 命中后尚余子弹数目 ξ 的数学期望为 ( ) A.. B D.. 分析 : 本题主要考查离散型随机变量分布列以及数学期望的求法. 解答本题要注意不要忽略 ξ=0 的情况. ξ=0 的含义说明前次一定没有命中, 但第次有可能命中, 也有可能没有命中. 解 : ξ 0 P Eξ= =.76. 答案 : 第 Ⅱ 卷 ( 非选择题共 60 分 ) 二填空题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共 6 分. 把答案填在题中横线上 ). 若离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 P c -c -8c 则常数 c 的值为. 分析 : 考查离散型随机变量分布列的两个性质. 由 0 P(ξ=0),0 P(ξ=) 及 P(ξ=0)+P(ξ=)=, 即可求出 c 的值. 解 : 由离散型随机变量分布列的性质, 知 c -c+-8c= 且 0 c -c,0-8c, 解得常数 c=. 答案 :. 从装有个红球个白球的袋中随机取出个球, 设其中有 ξ 个红球, 则随机变量 ξ 的概率分布为 : ξ 0 分析 : 本题考查离散型随机变量的分布列及等可能事件的概率计算问题. 解 : 由等可能事件的概率计算公式可知 :

. 分析 : 本题主要考查离散型随机变量分布列以及数学期望的求法. 解答本题要注意不要忽略 ξ=0 的情况. ξ=0 的含义说明前次一定没有命中, 但第次有可能命中, 也有可能没有命中. 解 : ξ 0 P 0. 0. 0.6 0. 0.6 0.6 Eξ=0 0. + 0.

10 或 P(ξ=0)= =0, P(ξ=)= =, P(ξ=)= =0. 答案 : ξ 0 P 0. 某射手射击次, 击中目标的概率是 0.. 他连续射击次, 且各次射击是否击中目标相互之间没有影响. 有下列结论 : 他第次击中目标的概率是 0.; 他恰好击中目标次的概率是 0. 0.; 他至少击中目标次的概率是 -0.. 其中正确结论的序号是 ( 写出所有正确结论的序号 ). 分析 : 本题主要考查相互独立事件的概率等基础知识. 解题的关键是正确使用相互独立事件的概率公式. 解 : 因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响, 所以第次击中目标的概率是 0.. 正确. 恰好次击中目标的概率应为次射击都未击中目标的概率为 0., 所以至少击中次目标的概率为 -0.. 答案 :. 设 ξ 是离散型随机变量,P(ξ=x )=,P(ξ=x )=, 且 x <x, 又已知 Eξ=,Dξ=, 则 0 x +x 的值为. 解析 : 由题意可知 x ( x ) x, ( x ), x 解得 x,. x +x =+=. 答案 : 三解答题 ( 本大题共小题, 共分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ).( 本小题满分 8 分 ) 有甲乙两个单位都愿意聘用你, 而你能获得如下信息 : 甲单位不同职位月工资 x / 元获得相应职位的概率 P

解题的关键是正确使用相互独立事件的概率公式. 解 : 因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响, 所以第次击中目标的概率是 0.. 正确. 恰好次击中目标的概率应为 0. 0.. 次射击都未击中目标的概率为 0.

11 或乙单位不同职位月工资 x / 元获得相应职位的概率 P 根据工资待遇的差异情况, 你愿意选择哪家单位? 解 : 根据月工资的分布列, 计算得 Ex = = 00, Dx =( 00-00) 0.+( 00-00) 0.+( ) 0.+( ) 0.=0 000; 分 Ex = = 00, Dx =( ) 0.+( 00-00) 0.+( ) 0.+( 00-00) 0.= 分因为 Ex =Ex,Dx <Dx, 所以两家单位的工资均值相等, 但甲单位不同职位的工资相对集中, 乙单位不同职位的工资相对分散. 这样, 如果你希望不同职位的工资差距小一些, 就选择甲单位 ; 如果你希望不同职位的工资差距大一些, 就选择乙单位. 8 分 6.( 本小题满分 8 分 ) 某同学参加科普知识竞赛, 需回答三个问题, 竞赛规则规定 : 每题回答正确得 00 分, 回答不正确得 -00 分. 假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8, 且各题回答正确与否相互之间没有影响. () 求这名同学回答这三个问题的总得分 ξ 的概率分布和数学期望 ; () 求这名同学总得分不为负分 ( 即 ξ 0) 的概率. 分析 : 本题主要考查离散型随机变量的分布列数学期望等概念, 以及运用统计知识解决实际问题的能力. 求解的关键是搞清随机变量 ξ 的可能取值, 即所得分数. 其中, 答对 0 道题得 -00 分, 答对道题得 00-00=-00 分, 答对道题得 00-00=00 分, 答对道题得 00 分. 总分不为负共包括 : 总分为 00 分, 总分为 00 分两种情况. 解 :()ξ 的可能取值为 -00,-00,00,00. 分 P(ξ=-00)=0. =0.008, P(ξ=-00)= =0.06, P(ξ=00)= =0.8, P(ξ=00)=0.8 =0.. 所以 ξ 的概率分布为 ξ P 分 Eξ=(-00) (-00) =80. 7 分 () 这名同学总得分不为负分的概率为 P(ξ 0)=0.8+0.= 分 7. ( 本小题满分 8 分 ) 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖, 飞镖落在靶外的概率为 0., 飞镖落在靶内的各个点是随机的. 已知圆形靶中三个圆为同心圆, 半径分别为 0 cm,0 cm,0 cm, 飞镖落在不同区域的环数如图中标示. 设这位同学投掷一次得到的环数这个随机变量为 x, 求 x 的分布列. 解 : 由题意可知, 飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比, 而与它们的位置和形状无关. 分

0.+ 00 0.+ 800 0.+ 00 0.= 00, Dx =( 000-00) 0.+( 00-00) 0.+( 800-00) 0.+( 00-00) 0.= 000. 6 分因为 Ex =Ex,Dx <Dx, 所以两家单位的工资均值相等, 但甲单位不同职位的工资相对集中, 乙单位不同职位的工资相对分散.

12 或由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为, 面积比为, 所以 8 环区域, 环区域,0 环区域的面积比为, 则掷得 8 环, 环,0 环的概率可分别设为,,, 根据离散型随机变量分布列的性质 () 有 0.+++=, 6 分解得 =0.. 得到离散型随机变量 x 的分布列为 X P 分 8.( 本小题满分 0 分 ) 某厂生产电子元件, 其产品的次品率为 %, 现从一批产品中任意地连续取出件. () 写出其中次品数 ξ 的分布列 ; () 求 P(ξ ). 分析 : 本题考查二项分布的概率分布公式和某些简单的离散型随机变量的分布列以及由分布列求出一些事件的概率. 这是 n 次独立重复试验, 出现次品数 ξ 服从二项分布, 由概率公式 P(ξ=)= p q n- (0<p<,p+q= 且 =0,,,,n) 就可求出 ξ 的分布列, 从而求出 P(ξ ). n 解 : 依题意, 随机变量 ξ~b(,%). P(ξ=0)= 0 (%) =0.0, 分分 P(ξ=)= (%)(%)=0.0, 分 P(ξ=)= (%) = 分因此, () 次品数 ξ 的分布列是 ξ 0 P 分 ()P(ξ )=P(ξ=)+P(ξ=)= = 分. ( 本小题满分 0 分 ) 西安市一中高二年级研究性学习组在网上查到某种子在一定条件下发芽成功的概率为, 该研究性学习组分成三个小组开展了验证性试验 ( 每次均种下一粒种子 ). () 求第一小组种下的前粒种子未发芽, 第粒种子发芽的概率 ; () 第二小组做了若干次发芽试验, 如果在试验中种子发芽成功就终止试验, 否则就将继续进行试验, 直到种子发芽成功为止, 但试验的次数最多不超过次, 求试验次数 ξ 的分布列和期望. 分析 : 本题考查相互独立事件同时发生的概率, 离散型随机变量的分布列, 数学期望等概念, 以及运用概率统计知识解决实际问题的能力. 解 :() 前粒未发芽, 第粒才发芽, P=(- ) (- ) = 7. 分 () 发芽试验次数 ξ 取 ~ 的整数, 种子发芽成功的概率为, 不成功的概率为, 则前 - 次发芽不成功而第次发芽成功的概率为

() 写出其中次品数 ξ 的分布列 ; () 求 P(ξ ). 分析 : 本题考查二项分布的概率分布公式和某些简单的离散型随机变量的分布列以及由分布列求出一些事件的概率.

13 P(ξ=)=( ) - (=,,,). 分进行第次发芽试验前次不成功的概率为或 P(ξ=)=( ). 7 分由此可得 ξ 的概率分布为 ξ P 8 6 Eξ= =. 0 分

http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn P(ξ=)=( ).

说明为了反映教运行的基本状态, 为校和院制定相关政策和进行教建设与改革提供据依据, 校从程资源 ( 开类别开量规模 ) 教师结构程考核等维度, 对 2015 年春季期教运行基

说明为了反映教运行的基本状态, 为校和院制定相关政策和进行教建设与改革提供据依据, 校从程资源 ( 开类别开量规模 ) 教师结构程考核等维度, 对 2015 年春季期教运行基内部资料东北师范大教运行基本状态据报告 2015 年春季期教务处 2015 年 10 月 27 日说明为了反映教运行的基本状态, 为校和院制定相关政策和进行教建设与改革提供据依据, 校从程资源 ( 开类别开量规模 ) 教师结构程考核等维度,