成都市年中考B卷第28题汇编

Size: px

Start display at page:

Download "成都市2008-2013年中考B卷第28题汇编"

劳施
7 years ago
Views:

1 优佳成长教育辅导资料严禁盗用上传和复印. 联系电话 : 孙老师赵老师. 真正名师执教, 伴你成长圆梦! 016 年春季班报名中, 月 8 号开课. 四七九名校冲刺, 小班教学, 专门定制. 地址 : 成都市锦绣路 1 号 ( 美国领事馆路东 00 米 ) 保利中心二栋 B 座四楼第 41 号成都市百草东路 14 号 ( 成都外语学校大门对面国际私塾旁 ) 四七九高分冲刺 : 九下数学 (B 卷第 8 题专练 ) 成都市年中考 B 卷压轴题第 8 题 ( 满分 1 分 ) 汇编 B 卷第 8 题考点分析年份 B 卷第 8 题考点年份 B 卷第 8 题考点 008 年 (1) 求二次函数解析式 () 梯形分类, 求点的坐标 01 年 (1) 求二次函数解析式 () 平行四边形分类, 求点的坐标 (3) 求不确定抛物线下含参数三角形面积比 009 年 (1) 求二次函数解析式 () 直角三角形分类, 求点的坐标 (3) 平移抛物线与定直线有公共点, 求平移范围 010 年 (1) 求二次函数解析式 () 面积比为定值时, 求点的坐标 (3) 动圆与两定直线相切时, 求动圆半径 011 年 (1) 求二次函数解析式 () 正方形分类, 求边长 (3) 三角形高定值探究, 求点的坐标三角形周长最小, 线段比定值探究 013 年 (1) 求二次函数解析式 () 等腰直角三角形分类, 求点的坐标线段比最值探究 014 年 (1) 求二次函数解析式 () 相似分类, 求点的坐标 (3) 线段和最小值 015 年 (1) 求二次函数解析式 () 配方, 求面积最大值 (3) 矩形分类, 勾股定理, 求点的坐标 B 卷第 8 题难点分析及答题分析年份 B 卷第 8 题难点及答题分析年份 B 卷第 8 题难点及答题分析 008 年 01 年 009 年 013 年 010 年 014 年 011 年 015 年 1

题 ( 满分 1 分 ) 汇编 B 卷第 8 题考点分析年份 B 卷第 8 题考点年份 B 卷第 8 题考点 008 年 (1) 求二次函数解析式 () 梯形分类, 求点的坐标 01 年 (1) 求二次函数解析式 () 平行四边形分类, 求点的坐标 (3) 求不确定抛物线下含参数

2 1.( 成都市 015 年中考 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, 抛物线 =a -a-3a (a<0) 与轴交于 A B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ), 经过点 A 的直线 l:=k+b 与轴负半轴交于点, 与抛物线的另一个交点为 D, 且 D=4A. (1) 直接写出点 A 的坐标, 并求直线 l 的函数表达式 ( 其中 k b 用含 a 的式子表示 ); () 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点, 若 AE 的面积的最大值为 5 4, 求 a 的值 ; (3) 设 P 是抛物线的对称轴上的一点, 点 Q 在抛物线上, 以点 A D P Q 为顶点的四边形能否成为矩形? 若能, 求出点 P 的坐标 ; 若不能, 请说明理由. A O E B D l A O B D l A O B D l 备用备用

(1) 直接写出点 A 的坐标, 并求直线 l 的函数表达式 ( 其中 k b 用含 a 的式子表示 ); () 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点, 若 AE 的面积

3 .( 成都市 014 年中考 ) 如图, 已知抛物线 = (+)(-4)(k 为常数, 且 k>0) 与轴从左至右依次交于 A,B 两点, 与轴交于点, 经过点 B 的直线 =- +b 与抛物线的另一交点为 D. (1) 若点 D 的横坐标为 -5, 求抛物线的函数表达式 ; () 若在第一象限内的抛物线上有点 P, 使得以 A,B,P 为顶点的三角形与 AB 相似, 求 k 的值 ; (3) 在 (1) 的条件下, 设 F 为线段 BD 上一点 ( 不含端点 ), 连接 AF, 一动点 M 从点 A 出发, 沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F, 再沿线段 FD 以每秒个单位的速度运动到 D 后停止, 当点 F 的坐标是多少时, 点 M 在整个运动过程中用时最少? 3

4 1 3.( 成都市 013 年中考 ) 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 b c ( b, c 为常数 ) 的顶点为 P, 等腰直角三角形 AB 的定点 A 的坐标为 (0, 1), 的坐标为 (4,3), 直角顶点 B 在第四象限. (1) 如图, 若该抛物线过 A, B 两点, 求该抛物线的函数表达式 ; () 平移 (1) 中的抛物线, 使顶点 P 在直线 A 上滑动, 且与 A 交于另一点 Q. i) 若点 M 在直线 A 下方, 且为平移前 (1) 中的抛物线上的点, 当以 M P Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时, 求出所有符合条件的点 M 的坐标 ; ii) 取 B 的中点 N, 连接 NP, BQ. 试探究最大值 ; 若不存在, 请说明理由. PQ 是否存在最大值? 若存在, 求出该 NP BQ 4

(1) 如图, 若该抛物线过 A, B 两点, 求该抛物线的函数表达式 ; () 平移 (1) 中的抛物线, 使顶点 P 在直线 A 上滑动, 且与 A 交于另一点 Q.

5 4.( 成都市 01 中考 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, 一次函数 = 5 4 +m(m 为常数 ) 的图象与轴交于点 A(-3,0), 与轴交于点. 以直线 =1 为对称轴的抛物线 =a +b+c(a,b, c 为常数, 且 a 0) 经过 A, 两点, 并与轴的正半轴交于点 B. (1) 求 m 的值及抛物线的函数表达式 ; () 设 E 是轴右侧抛物线上一点, 过点 E 作直线 A 的平行线交轴于点 F. 是否存在这样的点 E, 使得以 A,,E,F 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在, 求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积 ; 若不存在, 请说明理由 ; (3) 若 P 是抛物线对称轴上使 AP 的周长取得最小值的点, 过点 P 任意作一条与轴不 M1P MP 平行的直线交抛物线于 M 1( 1, 1),M (, ) 两点, 试探究是否为定值, 并写出探究过程. M1M A O B A O B =1 =1 5

(1) 求 m 的值及抛物线的函数表达式 ; () 设 E 是轴右侧抛物线上一点, 过点 E 作直线 A 的平行线交轴于点 F.

6 5.( 成都市 011 年中考 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, AB 的 A B 两个顶点在轴上, 顶点在轴的负半轴上. 已知 OA : OB 1: 5, OB O S 15, 抛物线 a b c( a 0) 经过 A B 三点 AB (1) 求此抛物线的函数表达式 ;, AB 的面积 () 设 E 是轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点, 过点 E 作轴的平行线交抛物线于另一点 F, 过点 F 作 FG 垂直于轴于点 G, 再过点 E 作 EH 垂直于轴于点 H, 得到矩形 EFGH. 则在点 E 的运动过程中, 当矩形 EFGH 为正方形时, 求出该正方形的边长 ; (3) 在抛物线上是否存在异于 B 的点 M, 使 MB 中 B 边上的高为 7? 若存在, 求出点 M 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 6

于点 B 的一个动点, 过点 E 作轴的平行线交抛物线于另一点 F, 过点 F 作 FG 垂直于轴于点 G, 再过点 E 作 EH 垂直于轴于点 H, 得到矩形 EFGH.

7 6.( 成都市 010 年中考 ) 在平面直角坐标系 O 中, 抛物线 a b c 与轴交于 A B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ), 与轴交于点, 点 A 的坐标为 ( 3, 0), 若将经过 A 两点的直线 k b1 沿轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点, 且抛物线的对称轴是直线.(1) 求直线 A 及抛物线的函数表达式 ; () 如果 P 是线段 A 上一点, 设 ABP BP 的面积分别为 S ABP S BP, 且 S ABP : S BP : 3, 求点 P 的坐标 ; (3) 设 Q 的半径为 l, 圆心 Q 在抛物线上运动, 则在运动过程中是否存在 Q 与坐标轴相切的情况? 若存在, 求出圆心 Q 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 并探究 : 若设 Q 的半径为 r, 圆心 Q 在抛物线上运动, 则当 r 取何值时, Q 与两坐轴同时相切 7

(1) 求直线 A 及抛物线的函数表达式 ; () 如果 P 是线段 A 上一点, 设 ABP BP 的面积分别为 S ABP S BP, 且 S ABP : S BP : 3, 求点 P 的坐标 ; (3) 设 Q 的

8 7.( 成都市 009 年中考 ) 在平面直角坐标系 O 中, 已知抛物线 a 1 c (a>0) 与轴交于 A B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ), 与轴交于点, 其顶点为 M, 若直线 M 的函数表达式为 k 3, 与轴的交点为 N, 且 OS BO= (1) 求此抛物线的函数表达式 ; () 在此抛物线上是否存在异于点的点 P, 使以 N P 为顶点的三角形是以 N 为一条直角边的直角三角形? 若存在, 求出点 P 的坐标 : 若不存在, 请说明理由 ; (3) 过点 A 作轴的垂线, 交直线 M 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移, 使抛物线与线段 NQ 总有公共点, 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度? 向下最多可平移多少个单位长度? 8

10 (1) 求此抛物线的函数表达式 ; () 在此抛物线上是否存在异于点的点 P, 使以 N P 为顶点的三角形是以 N 为一条直角边的直角三角形?

9 8.( 成都市 008 年中考 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, OAB 的顶点 A 的坐标为 (10,0), 顶点 B 在第一象限内, 且 AB =3 5,sin OAB= 5 5. (1) 若点是点 B 关于轴的对称点, 求经过 O A 三点的抛物线的函数表达式 ; () 在 (1) 中, 抛物线上是否存在一点 P, 使以 P O A 为顶点的四边形为梯形? 若存在, 求出点 P 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由 ; (3) 若将点 O 点 A 分别变换为点 Q( -k,0) 点 R(5k,0)(k>1 的常数 ), 设过 Q R 两点, 且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与轴的交点为 N, 其顶点为 M, 记 QNM 的面积为 S QMN, QNR 的面积 S QNR, 求 S QMN S QNR 的值. 9

10 成都市年中考 B 卷第 8 题汇编答案 1.( 成都市 015 年中考, 满分 1 分 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, 抛物线 =a -a-3a(a<0) 与轴交于 A B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ), 经过点 A 的直线 l:=k+b 与轴负半轴交于点, 与抛物线的另一个交点为 D, 且 D=4A. (1) 直接写出点 A 的坐标, 并求直线 l 的函数表达式 ( 其中 k b 用含 a 的式子表示 ); () 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点, 若 AE 的面积的最大值为 5 4, 求 a 的值 ; (3) 设 P 是抛物线的对称轴上的一点, 点 Q 在抛物线上, 以点 A D P Q 为顶点的四边形能否成为矩形? 若能, 求出点 P 的坐标 ; 若不能, 请说明理由. A O E B D l A O B D l 备用答案 :(1)A(-1,0),=a+a; ()a=- 5 ; (3)P 的坐标为 (1, ) 或 (1,-4) 解析 :(1)A(-1,0), 直线 l 经过点 A, 0=-k+b,b=k, =k+k, 令 a -a -3a=k+k, 即 a -(a+k)-3a-k=0 D=4A, 点 D 的横坐标为 4, -3- k a =-1 4, k=a, 直线 l 的函数表达式为 =a+a () 过点 E 作 EF 轴, 交直线 l 于点 F, 设 E(,a -a-3a), 则 F(,a+a) EF=a -a-3a-( a+a)=a -3a-4a S AE =S AFE - S FE= 1 (a -3a-4a)(+1)- 1 (a -3a-4a)= 1 (a -3a-4a) = 1 a( - 3 ) a, AE 的面积的最大值为 a AE 的面积的最大值为 5 4, -5 8 a= 5 4, 解得 a=- 5 (3) 令 a -a-3a=a+a, 即 a -3a-4a=0, 解得 1=-1,=4, D(4,5a) =a -a-3a, 抛物线的对称轴为 =1, 设 P(1,m) 1 若 AD 是矩形的一条边, 则 Q(-4,1a),m=1a+5a=6a, 则 P(1,6a) 四边形 ADPQ 为矩形, ADP=90, AD +PD =AP 5 +(5a) +(1-4) +(6a -5a) =( -1-1) +(6a), 即 a = 1 7, 10

(1) 直接写出点 A 的坐标, 并求直线 l 的函数表达式 ( 其中 k b 用含 a 的式子表示 ); () 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点, 若 AE 的面积的最大值为 5 4, 求 a 的值 ; (3) 设 P 是抛物线的对称轴上的一点, 点 Q 在抛物线上, 以点 A

11 a<0, a= , P1(1,- 7 7 ) 若 AD 是矩形的一条对角线, 则线段 AD 的中点坐标为 ( 3,5a ),Q(,-3a),m=5a- ( -3a)=8a, 则 P(1,8a) 四边形 APDQ 为矩形, APD=90, AP +PD =AD, ( -1-1) +(8a) +(1-4) +(8a-5a) =5 +(5a) 即 a = 1 4, a<0, a=- 1, P(1,-4), 综上所述, 以点 A D P Q 为顶点的四边形能成为矩形,P(1, ) 或 (1,-4) A O E F B D l A O Q B D l A O B D l P Q P.( 成都市 014 年中考, 满分 1 分 ) 如图, 已知抛物线 = (+)(-4)(k 为常数, 且 k>0) 与轴从左至右依次交于 A,B 两点, 与轴交于点, 经过点 B 的直线 = - +b 与抛物线的另一交点为 D. (1) 若点 D 的横坐标为 -5, 求抛物线的函数表达式 ; () 若在第一象限内的抛物线上有点 P, 使得以 A,B,P 为顶点的三角形与 AB 相似, 求 k 的值 ; (3) 在 (1) 的条件下, 设 F 为线段 BD 上一点 ( 不含端点 ), 连接 AF, 一动点 M 从点 A 出发, 沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F, 再沿线段 FD 以每秒个单位的速度运动到 D 后停止, 当点 F 的坐标是多少时, 点 M 在整个运动过程中用时最少? 考点 : 二次函数综合题. 分析 :(1) 首先求出点 A B 坐标, 然后求出直线 BD 的解析式, 求得点 D 坐标, 代入抛物线解析式, 求得 k 的值 ; () 因为点 P 在第一象限内的抛物线上, 所以 ABP 为钝角. 因此若两个三角形相似, 只可能是 AB APB 或 AB ABP. 如答图, 按照以上两种情况进行 11

( 成都市 014 年中考, 满分 1 分 ) 如图, 已知抛物线 = (+)(-4)(k 为常数, 且 k>0) 与轴从左至右依次交于 A,B 两点, 与轴交于点, 经过点 B 的直线 = - +b 与抛物线的另一交点为 D.

12 分类讨论, 分别计算 ; (3) 由题意, 动点 M 运动的路径为折线 AF+DF, 运动时间 :t=af+ DF. 如答图 3, 作辅助线, 将 AF+ DF 转化为 AF+FG; 再由垂线段最短, 得到垂线段 AH 与直线 BD 解答的交点, 即为所求的 F 点. 解 :(1) 抛物线 = (+)(-4), 令 =0, 解得 =- 或 =4, A(-,0),B (4,0). 直线 =- +b 经过点 B(4,0), - 4+b=0, 解得 b=, 直线 BD 解析式为 :=- +. 当 =-5 时,=3, D(-5,3 ). 点 D(-5,3 ) 在抛物线 = (+)(-4) 上, (-5+)(-5-4)=3, k=. () 由抛物线解析式, 令 =0, 得 =k, (0,-k),O=k. 因为点 P 在第一象限内的抛物线上, 所以 ABP 为钝角. 因此若两个三角形相似, 只可能是 AB APB 或 AB ABP. 1 若 AB APB, 则有 BA= PAB, 如答图 -1 所示. 设 P(,), 过点 P 作 PN 轴于点 N, 则 ON=,PN=. tan BA=tan PAB, 即 :, = +k. D(, +k), 代入抛物线解析式 = (+)(-4), 得 (+)(-4)= +k, 整理得 : -6-16=0, 解得 :=8 或 =( 与点 A 重合, 舍去 ), P(8,5k). AB APB,, 即, 解得 :k=. 若 AB ABP, 则有 AB= PAB, 如答图 - 所示. 与 1 同理, 可求得 :k=. 综上所述,k= 或 k=. (3) 由 (1) 知 :D(-5,3 ), 如答图 -, 过点 D 作 DN 轴于点 N, 则 DN=3,ON=5,BN=4+5=9, tan DBA= = =, DBA=30. 过点 D 作 DK 轴, 则 KDF= DBA=30. 过点 F 作 FG DK 于点 G, 则 FG= DF. 1

() 由抛物线解析式, 令 =0, 得 =k, (0,-k),O=k. 因为点 P 在第一象限内的抛物线上, 所以 ABP 为钝角. 因此若两个三角形相似, 只可能是 AB APB 或 AB ABP. 1 若 AB APB, 则有 BA= PAB, 如答图 -1 所示.

13 由题意, 动点 M 运动的路径为折线 AF+DF, 运动时间 :t=af+ DF, t=af+fg, 即运动时间等于折线 AF+FG 的长度. 由垂线段最短可知, 折线 AF+FG 的长度的最小值为 DK 与轴之间的垂线段. 过点 A 作 AH DK 于点 H, 则 t 最小 =AH,AH 与直线 BD 的交点, 即为所求之 F 点. A 点横坐标为 -, 直线 BD 解析式为 :=- +, =- (-)+ =, F(-, ). 综上所述, 当点 F 坐标为 (-, ) 时, 点 M 在整个运动过程中用时最少. 点评 : 本题是二次函数压轴题, 难度很大. 第 () 问中需要分类讨论, 避免漏解 ; 在计算过程中, 解析式中含有未知数 k, 增加了计算的难度, 注意解题过程中的技巧 ; 第 (3) 问中, 运用了转化思想使得试题难度大大降低, 需要认真体会. 3.( 成都市 013 年中考, 满分 l 分 ) 1 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 b c ( b, c 为常数 ) 的顶点为 P, 等腰直角三角形 AB 的定点 A 的坐标为 (0, 1), 的坐标为 (4,3), 直角顶点 B 在第四象限. (1) 如图, 若该抛物线过 A, B 两点, 求该抛物线的函数表达式 ; () 平移 (1) 中的抛物线, 使顶点 P 在直线 A 上滑动, 且与 A 交于另一点 Q. i) 若点 M 在直线 A 下方, 且为平移前 (1) 中的抛物线上的点, 当以 M P Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时, 求出所有符合条件的点 M 的坐标 ; ii) 取 B 的中点 N, 连接 NP, BQ. 试探究最大值 ; 若不存在, 请说明理由. PQ 是否存在最大值? 若存在, 求出该 NP BQ 分析 :(1) 先求出点 B 的坐标, 然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式 ; ()i) 首先求出直线 A 的解析式和线段 PQ 的长度, 作为后续计算的基础. 若 MPQ 为等腰直角三角形, 则可分为以下两种情况 : 1 当 PQ 为直角边时 : 点 M 到 PQ 的距离为. 此时, 将直线 A 向右平移 4 个单位后所得直线 (=-5) 与抛物线的交点, 即为所求之 M 点 ; 当 PQ 为斜边时 : 点 M 到 PQ 的距离为. 此时, 将直线 A 向右平移个单位后所得直线 (=-3) 与抛物线的交点, 即为所求之 M 点. ii) 由 (i) 可知,PQ= 为定值, 因此当 NP+BQ 取最小值时, 有最大值. 13

点评 : 本题是二次函数压轴题, 难度很大. 第 () 问中需要分类讨论, 避免漏解 ; 在计算过程中, 解析式中含有未知数 k, 增加了计算的难度, 注意解题过程中的技巧 ; 第 (3) 问中, 运用了转化思想使得试题难度大大降低, 需要认真体会.

14 如答图所示, 作点 B 关于直线 A 的对称点 Bʹ, 由分析可知, 当 Bʹ Q F(AB 中点 ) 三点共线时,NP+BQ 最小, 最小值为线段 BʹF 的长度. 解答 : 解 :(1) 由题意, 得点 B 的坐标为 (4,-1). 抛物线过 A(0,-1),B(4,-1) 两点,, 解得 :b=,c=-1, 抛物线的函数表达式为 := +-1. ()i) A(0,-1),(4,3), 直线 A 的解析式为 :=-1. 设平移前抛物线顶点为 P0, 则由 (1) 可得 P0 的坐标为 (,1), 且 P0 在直线 A 上. 点 P 在直线 A 上滑动, 可设 P 的坐标为 (m,m-1), 则平移后抛物线的函数表达式为 := (-m) +m-1. 解方程组 :, 解得, P(m,m-1),Q(m-,m-3). 过点 P 作 PE 轴, 过点 Q 作 QE 轴, 则 PE=m-(m-)=,QE=(m-1)-(m-3)=. PQ= =AP0. 若 MPQ 为等腰直角三角形, 则可分为以下两种情况 : 1 当 PQ 为直角边时 : 点 M 到 PQ 的距离为 ( 即为 PQ 的长 ). 由 A(0,-1),B(4,-1),P0(,1) 可知, ABP0 为等腰直角三角形, 且 BP0 A,BP0=. 如答图 1, 过点 B 作直线 l1 A, 交抛物线 = +-1 于点 M, 则 M 为符合条件点. 可设直线 l1 的解析式为 :=+b1, B(4,-1), -1=4+b1, 解得 b1=-5, 直线 l1 的解析式为 :=-5. 解方程组, 得 :, M1(4,-1),M(-,-7). 当 PQ 为斜边时 :MP=MQ=, 可求得点 M 到 PQ 的距离为. 如答图 1, 取 AB 的中点 F, 则点 F 的坐标为 (,-1). 由 A(0,-1),F(,-1),P0(,1) 可知 : AFP0 为等腰直角三角形, 且点 F 到直线 A 的距离为. 14

点 P 在直线 A 上滑动, 可设 P 的坐标为 (m,m-1), 则平移后抛物线的函数表达式为 := (-m) +m-1. 解方程组 :, 解得, P(m,m-1),Q(m-,m-3). 过点 P 作 PE 轴, 过点 Q 作 QE 轴, 则 PE=m-(m-)=,QE=(m-1)-(m-3)=. PQ= =AP0.

15 过点 F 作直线 l A, 交抛物线 = +-1 于点 M, 则 M 为符合条件的点. 可设直线 l 的解析式为 :=+b, F(,-1), -1=+b, 解得 b1=-3, 直线 l 的解析式为 :=-3. 解方程组, 得 :, M3(1+,-+ ),M4(1-,-- ). 综上所述, 所有符合条件的点 M 的坐标为 : M1(4,-1),M(-,-7),M3(1+,-+ ),M4(1-,-- ). ii) 存在最大值. 理由如下 : 由 i) 知 PQ= 为定值, 则当 NP+BQ 取最小值时, 有最大值. 如答图, 取点 B 关于 A 的对称点 Bʹ, 易得点 Bʹ 的坐标为 (0,3),BQ=BʹQ. 连接 QF,FN,QBʹ, 易得 FN PQ, 且 FN=PQ, 四边形 PQFN 为平行四边形. NP=FQ. NP+BQ=FQ+BʹP FBʹ= =. 当 Bʹ Q F 三点共线时,NP+BQ 最小, 最小值为. 的最大值为 =. 点评 : 本题为二次函数中考压轴题, 考查了二次函数的图象与性质待定系数法一次函数几何变换 ( 平移, 对称 ) 等腰直角三角形平行四边形轴对称 - 最短路线问题等知识点, 考查了存在型问题和分类讨论数学思想, 试题难度较大. 4.( 成都市 01 中考, 满分 l 分 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, 一次函数 = 5 4 +m(m 为常数 ) 的图象与轴交于点 A(-3,0), 与轴交于点. 以直线 =1 为对称轴的抛物线 =a +b+c(a,b, c 为常数, 且 a 0) 经过 A, 两点, 并与轴的正半轴交于点 B. (1) 求 m 的值及抛物线的函数表达式 ; () 设 E 是轴右侧抛物线上一点, 过点 E 作直线 A 的平行线交轴于点 F. 是否存在这样的点 E, 使得以 A,,E,F 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在, 求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积 ; 若不存在, 请说明理由 ; (3) 若 P 是抛物线对称轴上使 AP 的周长取得最小值的点, 过点 P 任意作一条与轴不 M1P MP 平行的直线交抛物线于 M1(1,1),M(,) 两点, 试探究是否为定值, 并写出探究过程. M1M A O B =1 15

如答图, 取点 B 关于 A 的对称点 Bʹ, 易得点 Bʹ 的坐标为 (0,3),BQ=BʹQ. 连接 QF,FN,QBʹ, 易得 FN PQ, 且 FN=PQ, 四边形 PQFN 为平行四边形. NP=FQ. NP+BQ=FQ+BʹP FBʹ= =. 当 Bʹ Q F 三点共线时,NP+BQ 最小, 最小值为. 的最大值为 =.

16 解法 1:(1) 经过点 (-3,0), 0= +m, 解得 m=, 直线解析式为,(0, ). 抛物线 =a +b+c 对称轴为 =1, 且与轴交于 A(-3,0), 另一交点为 B(5,0), 设抛物线解析式为 =a(+3)(-5), 抛物线经过 (0, ), =a 3(-5), 解得 a=, 抛物线为 = + + ; () 假设存在点 E 使得以 A E F 为顶点的四边形是平行四边形, 则 A EF 且 A=EF. 如答图 1, (i) 当点 E 在点 E 位置时, 过点 E 作 EG 轴于点 G, A EF, AO= EFG, 又, AO EFG, EG=O=, 即 E=, = E + E+, 解得 E=(E=0 与点重合, 舍去 ), E(, ),S AEF= ; (ii) 当点 E 在点 E 位置时, 过点 E 作 E G 轴于点 G, 同理可求得 E ( +1, ),S AE F =. (3) 要使 AP 的周长最小, 只需 AP+P 最小即可. 如答图, 连接 B 交 =1 于 P 点, 因为点 A B 关于 =1 对称, 根据轴对称性质以及两点之间线段最短, 可知此时 AP+P 最小 (AP+P 最小值为线段 B 的长度 ). B(5,0),(0, ), 直线 B 解析式为 = +, P=1, P=3, 即 P(1,3). 令经过点 P(1,3) 的直线为 =k+3-k, =k+3-k,= + +, 联立化简得 : +(4k-)-4k-3=0, 1+=-4k,1=-4k-3. 1=k1+3-k,=k+3-k, 1-=k(1-). 根据两点间距离公式得到 : M1M= = = 16

17 M1M= = =4(1+k ). M1P= = = ; 同理 MP = M1P MP =(1+k ) =(1+k ) =(1+k ) = 4(1+k ). M1P MP=M1M, =1 为定值. 解法 :(1) 一次函数 = 5 4 +m 的图象与轴交于点 A(-3,0) 5 4 ( -3 )+m=0, 解得 m= 15 4 点的坐标是 (0, 15 4 ) 抛物线 =a +b+c 经过 A, 两点, 且对称轴为直线 =1 9a-3b+c=0 a=- 1 4 c= 15 4 解得 b= 1 - b a =1 c= 15 4 抛物线的函数表达式为 = () 假设存在点 E, 使得以 A,,E,F 为顶点的四边形是平行四边形 (ⅰ) 当 E AF 时, 点 E 在轴上方, E= = 15 4 由 = 15 4, 解得 1=0( 舍去 ), = E 15 1(, 4 ), 此时 S AE 1F 1 = 15 4 = 15 (ⅱ) 当 AE F 时, 点 E 在轴下方, E=- = 由 E (1+ 31, ) =- 4 4, 解得 1=1+ 31, =1-31( 舍去 ) A F1 O E1 B H F 过 E 作 EH 轴于 H, 则 EHF OA HF=AO=3,AF=7+ 31 E =1 17

b= 1 - b a =1 c= 15 4 抛物线的函数表达式为 =- 1 4 + 1 + 15 4 () 假设存在点 E, 使得以 A,,E,F 为顶点的四边形是平行四边形 (ⅰ) 当 E AF 时, 点 E 在轴上方, E= = 15 4 由 - 1 4 + 1 + 15 4

18 15(7+ 31) S AF E =S AF =AF O= 4 综上所述, 存在符合条件的点 E (, ),E(1+ 31,- 4 4 ), 使得以 A,,E,F 为顶点的四边形是平行四边形, 相应的面积分别是 15 31),15(7+ 4 (3) 方法一 : A,B 两点关于抛物线的对称轴 =1 对称 AP+P=BP+P B 当 P B 三点在一条直线上时, AP 的周长取得最小值此时点 P 的坐标为 (1,3) 分别过点 M1,M 作直线 =1 的垂线, 垂足为 N1,N 在 Rt M1PN1 中, 由勾股定理得 N M M1P =M1N1 +PN1 =( 1-1) +(1-3) 1 1= =- 1 4 ( 1-1) +4 即 ( 1-1) =4(4-1), 将其代入 1, 得 M1P =(5-1) A M1 O N1 B M1P=5-1(1<5) 同理 MP=5- =1 由 M1N1 MN, 得 M1PN1 MPN M1P MP = N1P NP, 5-1 即 = , 整理得 1=4(1+ )-15 M1P MP M1M = (5-1)(5-) 1-5(1+ )+5 = =1 (5-1)+(5-) 10-(1+ ) 故 M1P MP M1M 是定值, 其值为 1 方法二 : 同方法一得点 P 的坐标为 (1,3), 设过点 P 的直线表达式为 =k+3-k 联立 =k+3-k = =-4k,1=-( 4k+3) 消去, 整理得 +(4k-)-(4k+3)=0 由 1=k1+3-k,=k+3-k, 得 1-=k(1-) M1P MP =[(1-1) +(1-3) ][(-1) +(-3 ) ] =[(1-1) +k ( 1-1) ][(-1 ) +k ( -1 ) ] =(k +1) ( 1-1) (-1) =(k +1) (1-1-+1) =16(k +1) M1M =(1-) +(1-) =(k +1)(1-) =(k +1 )[(1+) -41] =16(k +1) M1P MP =M1M, 即 M1P MP=M1M 故 M1P MP M1M 是定值, 其值为 1 18

1+ 15 4 =- 1 4 ( 1-1) +4 即 ( 1-1) =4(4-1), 将其代入 1, 得 M1P =(5-1) A M1 O N1 B M1P=5-1(1<5) 同理 MP=5- =1 由 M1N1 MN, 得 M1PN1 MPN M1P MP = N1P NP, 5-1 即 = 3-1 5- -3, 整理得 1=4(1+ )-15 M1P MP M1M =

19 5.( 成都市 011 年中考, 满分 1 分 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, AB 的 A B 两个顶点在轴上, 顶点在轴的负半轴上. 已知 OA : OB 1: 5, OB O, AB 的面积 S 15, 抛物线 a b c a ( 0) 经过 A B 三点 (1) 求此抛物线的函数表达式 ; () 设 E 是轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点, 过点 E 作轴的平行线交抛物线于另一点 F, 过点 F 作 FG 垂直于轴于点 G, 再过点 E 作 EH 垂直于轴于点 H, 得到矩形 EFGH. 则在点 E 的运动过程中, 当矩形 EFGH 为正方形时, 求出该正方形的边长 ; (3) 在抛物线上是否存在异于 B 的点 M, 使 MB 中 B 边上的高为 7? 若存在, 求出点 M 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 分析 :(1) 由已知设 OA=m, 则 OB=O=5m,AB=6m, 由 AB AB= AB O=15, 可求 m 的值, 确定 A B 三点坐标, 由 A B 两点坐标设抛物线交点式, 将点坐标代入即可 ; () 设 E 点坐标为 (m,m -4m-5), 抛物线对称轴为 =, 根据 (m-)=eh, 列方程求解 ; (3) 存在. 因为 OB=O=5, OB 为等腰直角三角形, 直线 B 解析式为 =-5, 则直线 =+9 或直线 =-19 与 B 的距离为 7, 将直线解析式与抛物线解析式联立, 求 M 点的坐标即可. 解答 : 解 :(1) OA : OB =1:5, OB = O, 设 OA=m, 则 OB=O=5m,AB=6m, 由 AB= AB O=15, 得 6m 5m=15, 解得 m=1( 舍去负值 ), A(-1,0),B(5,0),(0,-5), 设抛物线解析式为 =a(+1)(-5), 将点坐标代入, 得 a=1, 抛物线解析式为 =(+1)(-5), 即 = -4-5; () 设 E 点坐标为 (m,m -4m-5), 抛物线对称轴为 =, 由 (m-)=eh, 得 (m-)=-(m -4m-5) 或 (m-)=m -4m-5, 解得 m=1± 或 m=3±, m>, m=1+ 或 m=3+, 边长 EF=(m-)= - 或 +; (3) 存在. 由 (1) 可知 OB=O=5, OB 为等腰直角三角形, 直线 B 解析式为 = -5, 依题意, 直线 =+9 或直线 =-19 与 B 的距离为 7, 联立,, 解得或, 19

G, 再过点 E 作 EH 垂直于轴于点 H, 得到矩形 EFGH. 则在点 E 的运动过程中, 当矩形 EFGH 为正方形时, 求出该正方形的边长 ; (3) 在抛物线上是否存在异于 B 的点 M, 使 MB 中 B 边上的高为 7?

20 M 点的坐标为 (-,7),(7,16). 点评 : 本题考查了二次函数的综合运用. 关键是采用形数结合的方法, 准确地用点的坐标表示线段的长, 根据图形的特点, 列方程求解, 注意分类讨论. 6.( 成都市 010 年中考, 满分 1 分 ) 在平面直角坐标系 O 中, 抛物线 a b c 与轴交于 A B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ), 与轴交于点, 点 A 的坐标为 ( 3, 0), 若将经过 A 两点的直线 k b1 沿轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点, 且抛物线的对称轴是直线.(1) 求直线 A 及抛物线的函数表达式 ; () 如果 P 是线段 A 上一点, 设 ABP BP 的面积分别为 S ABP S BP, 且 S ABP : S BP : 3, 求点 P 的坐标 ; (3) 设 Q 的半径为 l, 圆心 Q 在抛物线上运动, 则在运动过程中是否存在 Q 与坐标轴相切的情况? 若存在, 求出圆心 Q 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由. 并探究 : 若设 Q 的半径为 r, 圆心 Q 在抛物线上运动, 则当 r 取何值时, Q 与两坐轴同时相切考点 : 待定系数法求一次函数解析式及二次函数解析式, 相似三角形的判定及性质, 切线与过切点的半径之间的关系, 解答 :(1) k b 沿轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点, b 3, (0, 3) 将 A ( 3, 0) 代入 k 3, 得 3k 3 0, 解得 k 1, 直线 A 的函数表达式为 3, 抛物线的对称轴是直线 9a 3b c 0 a 1 b 解得 b 4 a c 3 c 3, 抛物线为 4 3 解法 : 由题意, 抛物线过点 A(-3,0),B(-1,0), (0, 3) 设抛物线的函数表达式为 a (+3)(+1), 3a=3,a=1 抛物线的函数表达式为 =(+3)(+1)= 4 3 点评 : 解法通过数形结合, 将文字条件转化为图形条件, 抓住了求抛物线解析式所需的关键条件, 即与两轴的交点坐标, 求解析式的方法更为简便 () 如图, 过点 B 作 BD A 于点 D, 过点 P 作 PE 轴于点 E, 设点 P 的横坐标为 S : S : 3 ABP BP, 1 1 PE O, APE AO, PE AP, O A 5 PE ( AP BD ) : ( P BD ) : 3, AP : P : 3 6 O, , 解得 = 9, 点 P 的坐标为 9 6 (,) 点评 : 本题的关键是将等高的三角形的面积比转化为线段比, 把求点的坐标的问题转化为求有关线段的长, 进而构造相似三角形, 利用相似三角形的性质求出有关线段的长 (3)(Ⅰ) 假设 Q 在运动过程中, 存在 Q 与坐标轴相切的情况设点 Q 的坐标为 ( 0, 0) 1 当 Q 与轴相切时, 有 0 1, 即 0 1 当 0 1 时, 得 0 ( 1) 4 ( 1) 3 0, Q 1 ( 1, 0), 当 0 1 时, 得 , Q (1, 8) 当 Q 与轴相切时, 有 0 1, 即 0 1 0

21 当 0 1时, 得 , 即 , 解得 0, Q 3 (, 1) 当 0 1 时, 得 , 即 , 解得 0, Q (, 1) 4, Q (, 1) 5 综上所述, 存在符合条件的 Q, 其圆心 Q 的坐标分别为 Q ( 1, 0) 1, Q (1, 8), Q (, 1) 3, Q (, 1) 4, Q (, 1) 5 (Ⅱ) 设点 Q 的坐标为 ( 0, 0), 当 Q 与两坐标轴同时相切时, 有 0 0. 时, 4 3, 3 3 0, = , 此方程无解, 0 0 时, 得 , 即 5 3 0, 解得 0 0 当 Q 的半径时, Q 与两坐标轴同时相切 r 点评 : 全题共分三小题, 各小题间承接性明显, 全题所呈现的数学思想与方法有 : 图形的变换思想方程的思想类比的思想分类讨论的思想数形结合的思想轴对称思想 ( 点对称 ), 所涉及到的数学知识有 : 二次函数三角形面积点到直线的距离和点到点的距离特殊四边形等腰三角形解方程轴对称等的知识. 7.( 成都市 009 年中考, 满分 1 分 ) 在平面直角坐标系 O 中, 已知抛物线与轴交于 A B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ), 与轴交于点, 其顶点为 M, 若直线 M 的函数表达式为 k 3, 与轴的交点为 N, 且 OS BO= (1) 求此抛物线的函数表达式 ; () 在此抛物线上是否存在异于点的点 P, 使以 N P 为顶点的三角形是以 N 为一条直角边的直角三角形? 若存在, 求出点 P 的坐标 : 若不存在, 请说明理由 ; (3) 过点 A 作轴的垂线, 交直线 M 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移, 使抛物线与线段 NQ 总有公共点, 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度? 向下最多可平移多少个单位长度? 10 1

22 8.( 成都市 008 年中考, 满分 1 分 ) 如图, 在平面直角坐标系 O 中, OAB 的顶点 A 的坐标为 (10,0), 顶点 B 在第一象限内, 且 AB =3 5,sin OAB= 5 5. (1) 若点是点 B 关于轴的对称点, 求经过 O A 三点的抛物线的函数表达式 ; () 在 (1) 中, 抛物线上是否存在一点 P, 使以 P O A 为顶点的四边形为梯形? 若存在, 求出点 P 的坐标 ; 若不存在, 请说明理由 ; (3) 若将点 O 点 A 分别变换为点 Q( -k,0) 点 R(5k,0)(k>1 的常数 ), 设过 Q R 两点, 且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与轴的交点为 N, 其顶点为 M, 记 QNM 的面积为 S QMN, QNR 的面积 S QNR, 求 S QMN S QNR 的值. P B P3 E O D P1 A F 解 :(1) 如图, 过点 B 作 BD OA 于点 D. 在 Rt ABD 中, AB 3 5, 5 sin OAB, 5 BD AB OAB 5 sin 又由勾股定理, 得 (3 5) 3 6. AD AB BD OD OA AD 点 B 在第一象限内, 点 B 的坐标为 (4, 3). 点 B 关于轴对称的点的坐标为 (4, 3). 分设经过 O(0,, 0) (4, 3), A(10, 0) 三点的抛物线的函数表达式为 a b a ( 0). 由 1 a 16a 4b 3, 8 100a 10b 0 5 b 经过 O,, A 三点的抛物线的函数表达式为. 分 () 假设在 (1) 中的抛物线上存在点 P, 使以 P, O,, A 为顶点的四边形为梯形点 (4, 3) 不是抛物线的顶点, 8 4 过点作直线 OA 的平行线与抛物线交于点 P 1. 则直线 P 1 的函数表达式为 3. 对于 1 5, 令 3 4 或 , 6, 而点 (4, 3), P 1 (6, 3). 1 3; 3.

23 在四边形 P1 AO 中, P 1 OA, 显然 P1 OA. 点 P 1 (6, 3) 是符合要求的点.1 分若 AP O. 设直线 O 的函数表达式为 k 将点 (4, 3) 代入, 得 4k1 3. k 1. 直线 O 的函数表达式为. 4 4 于是可设直线 AP 的函数表达式为 3 b1. 4 将点 A (10, 0) 代入, 得 b 0 1. b 1. 直线 AP 表达式为由, 即 ( 10)( 6) 0. 10, 1 1 0; 6, 1; 而点 A (10, 0), P ( 6, 1). 过点 P 作 P E 轴于点 E, 则 P E 1. Rt AP E 中, 由勾股定理, 得在 AP P E AE 而 O OB 5. 在四边形 P OA 中, AP O, 但 AP 3 若 OP3 O. 点 P ( 6, 1) 是符合要求的点. 1 分 A. 设直线 A 的函数表达式为 k b. 1 10k b 0 k, 4k b 3 b 5. 将点 A(10,, 0) (4, 3) 代入, 得 1 直线 A 的函数表达式为 5. 1 直线 OP 3 的函数表达式为. 由 , 即 ( 14) , 0; 14, 7. 而点 O (0, 0), P 3 (14, 7). 过点 P 3 作 P3 F 轴于点 F, 则 P3 F 7. Q O G R N M Rt OP F 中, 由勾股定理, OP3 P3 F OF 在 3 而 A AB 3 5. 在四边形 POA 3 中, OP 3 A, 但 OP3 点 P 3 (14, 7) 是符合要求的点. 1 分 A. 综上可知, 在 (1) 中的抛物线上存在点 P1 (6, 3), P ( 6, 1), P3 (14, 7), 3

24 使以 P, O,, A 为顶点的四边形为梯形. 1 分 (3) 由题知, 抛物线的开口可能向上, 也可能向下. 1 当抛物线开口向上时, 则此抛物线与轴的负半轴交于点 N. 可设抛物线的函数表达式为 a( k)( 5 k)( a 0). 即 a 3ak 10ak 3 49 a k ak. 4 如图, 过点 M 作 MG 轴于点 G. 3 Q( k,, 0) R(5k,, 0) G k, 0, 3 49 N(0, 10 ak ), M k, ak, 3 QO k, QR 7 k, OG k, QG k ON 10 ak MG ak ,,. 3 S QNR QR ON k ak ak S S S S QNM QNO 梯形 ONMG QMG k 10ak 10ak ak k k ak ak QO ON ( ON GM ) OG QG GM 1 : : (35 ) 3: 0. 分 ak. 3 3 S QNM S QNR ak ak 当抛物线开口向下时, 则此抛物线与轴的正半轴交于点 N. 同理, 可得 S QNM : S QNR 3: 0. 综上可知, S QNM : S QNR 的值为 3: 0. 分. 4

第二讲数列

第二讲数列 Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 高考中不等式问题的解决方法通润达久王力前言 : 近年来不等式问题正越来越多的出现在调研题和高考试题中而且大多出现在江苏高考的填空压轴题中是高考考察的重点和难点由于

成都市 年中考B卷第28题汇编

成都市年中考B卷第28题汇编