数量关系一点通-排列组合去重复-数资组-董玉-9月24日(1)

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山摘刁
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3 众所周知, 重复计数是排列组合问题的主要错误之一, 而此类问题具有隐蔽性, 不易被发现本文就排列组合中几种常见的重复性错误加以剖析, 以期来提升大家解决问题的能力排列组合问题中一个最核心的要素是不重不漏, 那如何才能避免重复计数呢, 这就需要我们了解重复产生的原因常见的容易产生重复的情况主要有三类 : 第一, 分步引起重复计算 ; 第二, 平均分组易重复计算 ; 第三, 环形排列易重复计算, 这里我们先介绍前两类 : 一. 分步引起重复计算例从 5 名男生 5 名女生中选出 4 人, 去参加培训, 在选出的 4 人中至少有名男生名女生的情况数有多少种? 错解先在 5 名男生中选择名, 有种, 再在 5 名女生中选择名, 有种, 然后在剩余的 8 人中再选出人, 有种, 根据分步计数原理共有 C 5 C C C = 5! 5! 种剖析 : 假设甲乙为名男生, 丙丁为名女生, 根据上述选法, 其中有一种取法可以是先选甲, 再选丙, 再选乙和丁, 另外一种取法是先选乙, 再选丁, 再选甲和丙显然这两种取法是同一种结果, 但上述解法却将其当成两种情况, 导致重复究其原因是本题使用了分步计数原理, 而分步本身就包含顺序 ( 有先有后 ), 与排列相关但是本题中无论是选择两名男生还是两名女生, 只是一个组合, 跟顺序没有关系, 因此出现了重复计数正解分成三类: 3 () 男 3 女, 有 C! C = 种 () 男女, 有 C 种 5! C 5 = 00 3 (3)3 男女, 有 C! C = 种共 =00 种类似的题目在公考中屡见不鲜, 下面就通过两道题目对比理解 : C 5 C 8 时间是世界上一切成就的土壤 - -

4 例 (06 联考 ) 在九宫格内依次填入数字 9, 现从中任取两个数, 要求取出的两个数既不在同一行也不在同一列, 共有多少种不同取法? A.9 B.8 C.36 D.45 答案 B 解析第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合第二步, 先从 9 个数字中任选个数, 有选第二个数有 C 4 种情况, 去掉一行一列后, 再种情况而本题要求任意取出两个数, 属于随机取数 ( 即取出 CC 9 4 的两个数没有先后顺序 ), 故共有 8 ( 种 ) 不同取法 A = 因此, 选择 B 选项例 (06 河南 ) 在 7 7 的队列中, 先随机给一个队员戴上红绶带, 再给另一个队员戴上蓝绶带, 要求戴两种颜色绶带的这两位队员不在同一行也不在同一列问有多少种戴法? A.048 B.374 C.764 D.858 答案 C 解析第一步, 本题考查排列组合, 属于基础排列组合第二步, 根据 7 7 的队列知, 共有 7 7=49( 人 ), 则选出一人戴红绶带有 C 49 =49( 种 ) 情况 C 9 时间是世界上一切成就的土壤 - 3 -

5 第三步, 要使所选出人不在同一行也不在同一列, 可知戴蓝绶带人选有 6 6 =36( 人 ), 故从中选出一人戴蓝绶带共有 =36( 种 ) 情况总的戴法为 =764( 种 ) 情况因此, 选择 C 选项观察例和例, 我们会发现, 例要求任取两个数, 所以采用分步计算后需要剔除重复 ; 而例要求先给一个队员戴上红绶带, 再给另一个队员戴上蓝绶带有先后顺序, 直接相乘即可通过两道例题, 我们可以总结如下 : 如果按照顺序选取 ( 或有先后顺序 ), 则无重复 ; 如果随机选取 ( 即无顺序 ), M 则有重复, 需要剔除重复, 剔除的方式是如果选取 M 个数, 就除以二. 平均分组易重复计算例将 6 个人平均分成 3 组, 每组人, 有多少种分组方式? 错解分 3 步 : 首先在 6 人中任取人, 作为一组有种 ; 之后在余下 4 人中再取人, 有 C C C!! = 种 C 4 种 ; 最后剩下人作为一组, 据分步计数原理知共有剖析 : 将 6 人分别看为甲乙丙丁戊己, 假设第种取法是先取甲乙, 再取丙丁, 最后取戊己, 分成 3 组, 第种取法是先取丙丁, 再取甲乙, 最后取戊己, 分成 3 组, 可见种取法是同一种分组方式, 出现了重复计数正解首先在 6 人中任取人, 作为一组有种 ; 之后在余下 4 人中再 3 取人, 有种 ; 最后剩下人作为一组, 再除以平均分组的重复次数, 所 C 4 C6! C4! C 以共有 = 5种 3 A 3 下面通过几道公考题目加深理解 : 例 3 (05 四川 ) 将 0 名运动员平均分成两组进行对抗赛, 问有多少种不同的分法? A.0 B.6 时间是世界上一切成就的土壤 C 36 C 6 C 6 A M A 3

6 C.40 D.5 答案 B 解析第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合 5 第二步, 由平均分成两组知, 第一组先选出 5 人有 =5( 种 ) 种分法, 5 剩下 5 人自动成为第二组由于没有先后顺序区别, 所以有 =6( 种 ) A 因此, 选择 B 选项在解决平均分组类问题时, 如果分成 N 组, 需要除以来剔除重复例 4 (08 浙江 ) 某班共有 8 名战士, 现在从中挑出 4 人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核, 问共有多少种不同的方案? A.0 B.40 C.630 D.840 答案 B 解析第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合 4 第二步, 先从 8 名战士中挑出 4 人, 有 C ( 种 ); 再从这 4 名战士中选 8 = 70 择人参加射击考核, 有 C = ( 种 ); 最后剩余的两名战士参加格斗考核, 有 C = ( 种 ); 分步用乘法, 共有 70 6 =40( 种 ) 因此, 选择 B 选项 4 6 究其实质本题有两个过程, 第一, 先分成个人小组, 第二, 分组之后去 C8! C6 参加两个不同的小组, 故需再乘以 A, 即! A A 例 5 (07 江苏 ) 某单位组织志愿者参加公益活动, 有 8 名员工报名, 其中名超过 50 岁现将他们分成 3 组, 人数为 3 3, 要求名超过 50 岁的员工不在同组, 则不同分组的方案共有 : 时间是世界上一切成就的土壤 C 0 N A N

7 A.0 种 B.50 种 C.60 种 D.0 种答案 D 解析第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合第二步, 根据要求名超过 50 岁的员工不在同组, 有以下种情况 : 分别在个三人组, 有 C! C! C = ( 种 ) 情况 ; 分别在个三人组, 个二人组, 有 C! C! C! C = ( 种 ) 情况第三步, 不同分组的方案共有 90+0=0( 种 ) 因此, 选择 D 选项例 5 是平均分组中较难的综合题目, 但你只要明白了平均分组本质及原理, 本题也会迎刃而解要想学习更多的秒杀技巧, 可以关注华图教育时间是世界上一切成就的土壤 - 6 -

4.C ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )

4.C ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程绝对值 02 约 14 分 05 秒处 ) [ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇第 1 章数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程数的性质约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程