ÈÈ ¼Å º É Ð Ò Ü ¹ Êй Ê Ð ÃßÖ Ô«½Á Ï ÊÐ¹Ê Ò Ö ± Ï ßÈ Î Đ ÉÊÐ É È ²Ä Ý ÀÉ Ð ÊÐ¹Ê Ö Ý Ö Ý Ë± Û٠˱ ¹ ØÌ ÃÖ Ö Ý Ë± ½Á Õ ³ß

º Ð 10384 Ù µ º X2007170009 UDC Ï» À ½ Lanczos ± The Refined Biorthogonalization Lanczos Method Ò Æ Õ Ú Þ Ú Î Ü Ð Å 2010 Đ 5 Ð ¾ Å 2010 Đ É ³ Å 2010 Đ ¾ 2010 5

ÈÈ ¼Å º É Ð Ò Ü ¹ Êй Ê Ð ÃßÖ Ô«½Á Ï ÊÐ¹Ê Ò Ö ± Ï ßÈ Î Đ ÉÊÐ É È ²Ä Ý ÀÉ Ð ÊÐ¹Ê Ö Ý Ö Ý Ë± Û٠˱ ¹ ØÌ ÃÖ Ö Ý Ë± ½Á Õ ³ß

ÈÈ ØÞÆ Đ ÉÂÑ Ö ÄÎÉÉ Û Ä È ÞÎ ½É Ð ±Â Æ Đ «Ò ź É Ð ØÓÕ Î Ü ÇÉ Ð Đ É Ç «Ñ Đ É É Ð É² ¹ É Ð Ä Ñ Ä¼ É Ð ÎÐ Í» µ» Ñ«¾ ÏÚ ÔÉ Ð É Ð µ 1. Đ É Í É Ð ³ 2. ³ ³ À ØÌ Å À É Ð Ï Đ É Ë É Ð Đ É É Ð Ò ÃÓÉ Ð ½ Ù³ à ÃÓÉ Ð Ò ³

ÐÆ.... i Æ....ii....1 1.1 ¾Ç³Æ....1 1.2 Đ Æ....2» Lanczos.... 4 2.1 Ì Lanczos ÖÒ....4 2.2 Ì Lanczos Ò....7» Lanczos.... 8 3.1 Ä Ì Lanczos ÖÒ.... 8 3.1 Ä Ì Lanczos Ò.... 11 » Lanczos.... 13 4.1 Ä Ì Lanczos ÖÒ...13 4.2 Ä Ì Lanczos Ò....14 4.3 ÓÙ.... 15 É....16 ÆÌ...17 Î...20

Contents Abstract(in Chinese).... i Abstract(in English)... ii Chapter «Preface.... 1 1.1 Background.... 1 1.2 Mainworks.... 2 Chapter Biorthogonalization Lanczos Method.... 4 2.1 Biorthogonalization lanczos Method...4 2.2 Biorthogonalization Lanczos Algoyithm....7 Chapter Refined Biorthogonalization Lanczos Method.... 8 3.1 Refined Biorthogonalization Lanczos Method...8 3.2 Refined Biorthogonalization Lanczos Algorithm... 11 Chapter Æ Semi-refined Biorthogonalization Lanczos Method..13 4.1 Semi-refined Biorthogonalization Lanczos Method....13 4.2 Semi-refined Biorthogonalization Lanczos Algorithm... 14 4.3 Residue Analysis....15 Chapter V Conclusions....16 References.... 17 Acknowledgements....20

Ì i ÊÄ Ö ÖÒ Å Ì Lanczos ÖÒ  ÔÄ Ì Lanczos ÖÒ É A Ö É T m Ø ¾ É T m ß T m Å T m ËÁ Ô Ò T T m = T m É T m ÒÆÞ A Ò Ã Â A ÂÄ ÓÙ¼Ã É A Â Ó ¹ Û T m Ò ¹ Ï À ¹ ĐÄ Ã Ò ß» ÝÖÒ ¹ ÇÆ Ö µì Lanczos Ö Ò Þ Ë µº Ì Lanczos Ritz Ò Ritz Ó Ä Ó Ä Ì Lanczos Ò

Abstract Abstract ii We propose the refined biorthogonalization Lanczos method for modifying the classical biorthogonalization Lanczos method according to the refined projected method.first,we transform the projected matrix T m of unsymmetric matrix A to obtain another tridiagonal matrix T m with the same eigenvalues,and the eigenvalues of matrix T m, T m and T m have the same eigenvalues,but T m satisfies T T m = T m.and we use the eigenvalues of matrix T m as the approximate eigenvalues of matrix A. At the same time,the left and right refined vectors of matrix A are used as the approximate left and right eigenvectors of matrix A respectively.the eigenvalues of matrix T m are easily computed,and it can be used to compute high precision approximate eigenvalues. The theory shows that the method is superior to the biorthogonalization Lanczos method in computing large unsymmetric eigenproblems. Key words: biorthogonalization Lanczos process, Ritz values, Ritz vectors, refined biorthogonalization Lanczos algorithm.

Ö Æ 1 1.1» Þ É ºÁ ºÔ Å «ÞÉ Aϕ i = λ i ϕ i (1.1) Û A Þ n Ý É (λ i,ϕ i ),i = 1, 2,, n Þ A ( ϕ i = 1) à ¾Çº É Á ¹ ÖÒ Â Þ Á» ÞÔ ĐÄ ³ ¹ Ò Ò ËÒ Æ Ó Í Ó Ã¹ ± Í A Â É ¹ ÖÒÐ ÈÂ Ï Lanczos Ò [4] ¹ à ÒÔ³Æ Ò Ó Ó À Lanczos Ó Ï ÝÖÒ Ë Í A Â É ¹ Ò Â Ã Arnoldi Ò Lanczos Ò Arnoldi ÒÂ Ý Krylov Ö ÖÒ [9] Ë ÌÆ ÓÇ Þ Î Arnoldi(IRA) ÖÒ [21] ÅÅÝ Ô ÔÆ ÓÇ ARPACK[21] ˼ Ì½É A Æ Ç È³ Ç ÆÆ ¼Âº ÆÏÉ Ù ÆÆ Lanczos Ò (ULA) Â Ý Ö ÖÒ [9] ³Ô³ Æ Ó Ì«Ç ± Â É ¹ ÒÄ Đ Þ Ì Ì Lanczos Ò ÔÒÅ Ó Å ß Î ÞÔ ÏĐÄ Ò«Ë Ö È ÂÞ Ì Ò Lanczos Ó ³ ÏĐÄ Ò Ô Ì ² [1] ÃÙ Â Þ Ì ÇÇ ¾ CPU ULA ÆÆ Day[7] Ô Ý ÖÒ Ô Á Ä ÝÖÒ ¹ ĐÄ Ò Ì ÄÞ Û Á Lanczos

Ö Æ 2 Ó µ Æ ÆÆÛ Å ÇÇ ¾ÆÆ ¾¹ Ó Cullum Willoughby[5] Ï Lanczos ÒØ Ö Ý Á Ö ÂÎ ¾ É T m T T m = T m Ý ¹ ¹ ĐÄ Ò ÆÆ Ì T m  ÝÉ ³  ÝÍ Ý Lanczos Ó Å ¾ÆÆÓ CPU Ä Ö Ò [12] Â«É ËÒ Ã Ä Đ ÝËÒÖÒ Þ Ã Ò λ i, E Û ¼ (A λ i I)ũ i = min (A λ i I)u (1.2) u E, u =1 ũ i ( ũ i = 1), ( λ i,ũ i ) ÆÞ A (λ i,ϕ i ) à ũ i Þ A E Å λ i Ä Ó Ó E Ä Ó ũ i Ó ¹ Æ É Æ É ÒÙ (SVD) ¹ ß»¹ Í» Ä Ö ÖÒ Ï Ä² Æ Ó ÆÆ Å Î ¹ É Ö Ä Ö ÖÒµÅ Ö ÖÒ Þ Ë 1.2 ÈÑ Ò Đ Ä Ö ÖÒ Å Ì Lanczos ÖÒÂ Ô Â ÔÄ Ì Lanczos ÖÒ Cullum Willoughby É A Ö É T m ¾ É T m ßÉ T T m = T m É T m Ò ÆÞ A Ò Ã Â A ÂÄ ÓÙ¼Ã É A Â Ó Ä Ó Ó Æ É Ó Æ ÒÙ (SVD) Ï T m  ¾ É ½Ñ ¹ Ò Ï Ã ÒÄ Đ ÃÁ ¾ É T m Ö T m Å T m Ë Á Ô Ò Ø Ö T m T T m = T m ß» ÒÆÞ A

Ö Æ 3 Ò Ã Ä ÓÆÞÉ A Ã Ó Í Ó ³ÆÆ Ö ËÁ Ç Á Đ Ù Ù ¹ ÇÆ É ÖÒ Đ Æ Ð Ì Lanczos ÖÒ³ Ò ¾ Ä Ì Lanczos ÖÒ ³ Ò Ä Ì Lanczos ÖÒ Ò Ô Ä Ã Ä Ã ÓÐ «Đ ß ĐÛ A» n Ý É ½ ºº ÁÕËÍÞ 2 ÕË º *» Ø º» ÝË ÝË I» n Ë ÐÉ I m» m ËÐ e m» I m m Õ Real Imag Ù¼» Ý Ó ÝË K m (A, v 1 )» À ÓÅ v 1, Av 1,, A m 1 v 1 m ß Krylov

Ö Ý Lanczos ÙØ 4 ¼ Lanczos 2.1 Á ¾ Lanczos ² Ì Lanczos ÖÒÂÀ Lanczos à 1950 ßÖÒÈÃ Ö Ö Ò ÜÂÅ ÒÅÌ Ó É A ßľ Ï Æ É T m ¹ T m Ò Â Ó ÆÞÉ A  à ßÖÒ ±  Á Ä Ì ² ÑÏ 1971 Paige[17] ßĐÛ É A Þ Á Ä Ñ Lanczos ÒÂ Ô Ù» ²  À Ô ² ³ Ö Ritz ÒÃÑÃÉ A Ò ÔÐ ³ ³ ÍÉ A ¾ Ñ ½ÞÛ [2] ½ÞÛ Å» ¾ Í «Ã ¹ ÝÎ «Ãº Á ½ÞÛ «ÁÔ Þ Taylor Parlett[18] Ô Lanczos Ò Look-ahead 2 2 ¹ È Â Lanczos Ò Cullum[6] ÈÏ Lanczos ÒØ Ö Ý Á Î ¾ É ÖÒ Ô Freund[8],Gutknecht[10],Parlett[19],Saad[20] Brezin ski[2, 3] Å Ô ¾ÇÔÃÖÒ Bai[1] Ù» Á Ä º Ritz Ò Ñ Ë Á½ÞÛ Ñ Ritz Ò ÃÑ Ì ² ÃÅ Ö ÖÒ ßÙ» Æ Ritz ÒÃÑ Ritz Ó ÃÑ [11] Ë Ì Lanczos ÖÒ Ò m ß L K, Ö ÖÒ ϕ i K, A ϕ i λ i ϕ i L

Ö Ý Lanczos ÙØ 5 ( λ i, ϕ i )( ϕ i = 1), i = 1, 2,, m ÆÞ A Å (λ i, ϕ i ), i = 1, 2,, m Ã Ò K Þ L Þ Í¹ K = K m (A, v 1 ), L = K m (A, w 1 ), V m = (v 1, v 2,, v m ) W m = (w 1, w 2,, w m ) Û v 1, v 2,, v m w 1, w 2,, w m Ù¼ÆÞ K L ÅÌ (WmV m = I m ) Ö ÖÒ ÞÌ Lanczos ÖÒ [16] Ì Lanczos V m = (v 1, v 2,, v m ) W m = (w 1, w 2,, w m )  K m (A, v 1 ) K m (A, w 1 ) [22], Û γ k = ξ kδ k ρ k+1 v k+1 = r k+1 = Av k α k v k γ k v k 1, (2.1) ξk+1w k+1 = s k+1 = A w k αkw k ρ k δ k w k 1, (2.2) δ k 1 δ k 1,δ k = w k v k,α k = w k Av k ±¹ γ 1 = ρ 1 = 0, É º δ k, ρ k ξ k ÞÆÕ Ë Ó v 1, w 1 AV m = V m T m + ρ m+1 v m+1 e m, (2.3) A W m = W m 1 m T m m + ξm+1 w m+1e m, (2.4) Û m = diag(δ 1, δ 2,, δ m ), α k, ρ k γ k ¾ É T m = 1 È ρ m α m m W mav m α 1 γ 2 ρ 2 α 2 γ 3 T m =. ρ 3 α 3... (2.5)...... γm Ï W mv m = I m, δ k = w k v k = 1, Å m = I, α k = w k Av k,  Ì

Lanczos É» Þ Ö Ý Lanczos ÙØ 6 T m AV m = V m T m + ρ m+1 v m+1 e m = V m+1 ρ m+1 e m A W m = W m Tm + γ m+1 w m+1e m = W m+1 Ä 1 Ì Lanczos [22] T m γ m+1 e m, (2.6), (2.7) W m AV m = T m. (2.8) 1. Î ¹ Ò ËÐ Ó v 1, w 1, w 1v 1 = 1, Ø γ 1 = ρ 1 = 0, w 0 = v 0 = 0 r = Av 1, s = A w 1. 2. É for k = 1, 2,, m do : α k = w k r; r = r α k v k ; s = s α k w k; r = r (r w k )v k ; s = s (s v k )w k ; if( r = 0 or s = 0),stop; δ k = r s; if( δ k = 0),stop; ρ k+1 = δ k 1/2 ; γ k+1 = δ k /ρ k+1; v k+1 = r/ρ k+1 ;

Ö Ý Lanczos ÙØ 7 w k+1 = s/γk+1 ; r = Av k+1 γ k+1 v k ; s = A w k+1 ρ k+1 w k. Í δ k 0 Ñ ½ÞÛ Ì Look-ahead ÖÒÁ À 2.8 ½ µ i q i z i Ù¼Þ T m Ò³ Â Ó µ i y i = Wmq i W mq i,x i = Vmz i V mz i Â Ó Ã Ù¼Þ Ritz Ò Â Ritz Ó Ä 2 Ì Lanczos Ò 2.2 Á ¾ Lanczos Å Ù¼ÆÞ A Ò³ 1. Î ¹ ßË m ³ Ë l(l m) ÙÄ tol ËÐ Ó v 1, w 1 ; 2. Ú m Ì Lanczos V m, T m, W m ; 3. ¹ à ¹ T m Á Ò³ Â Ó ³ Ò ¹ Û l µ i (i = 1, 2,, l) ÆÞ Ò Ã y i, x i (i = 1, 2,, l) ÆÞ Â Ó Ã 4. ÃÑ Ù¼ l Âà (µ i, y i ) (µ i, x i )i = 1, 2,, l Ó ½Í à tol Ò± Û ¼ 5. Þ Î y i, x i (i = 1, 2,, l) Ó 2. Þ Ó v 1, w 1 ¹ Ö Þ [23] αv 1 = γw 1 = l (A µ i I)x i (Real(x i ) + Imag(x i )), (2.9) i=1 l yi (A µ i I) (Real(y i ) + Imag(y i )), (2.10) i=1 Û α, γ ÞÆÕ [23] ÛÓ ÝÖÒ Ý Ò ÞÁ

Ö Û Ý Lanczos ÙØ 8 ¼ Lanczos 3.1 ¹Á ¾ Lanczos ² E Ä Ö ÖÒ Stewart[11, 13, 14, 15] A Þ «Ñ ÔÄ Ó ũ i ¹ Ù ÔÄ Ó ÃѲ ÀÃÎ ÔÄ Ó ũ i ÃÑÏ Ó ϕ i ÙÑ ÅÃ Ò λ i à ÑÏ Ò λ i ÙÑ Â Ô Ã Ä Ö ÖÒ Ô Ö Ö Ò Ritz Ó ÃÑ ± Å ß ± à ÒÃÑ Ó ³ÃÑ ÇÇ ÔÄ Ö ÖÒ ² È Ä Ö ÖÒ Å Ì Lanczos ÖÒÂ Â Ä É A Â Ó Ã Ò 2.5 Û T m  ¾ É ÞÔ A Ã Ò Þ¹ ¾ É α 1 (ρ 2 γ 2 ) 1 2 (ρ 2 γ 2 ) 1 2 α 2 (ρ 3 γ 3 ) 1 2 T m = Ω 1 2 Tm Ω 1 2 = (ρ 3 γ 3 ) 1. 2 α 3........ (ρm γ m ) 1 2 (ρ m γ m ) 1 2 α m Û Ω = diag(1, ρ 2w 1 γ 2, ρ 3w 2 γ 3,, ρmw m 1 γ m, (3.1) ), w j Â Ω j È Ã T m Å T m ËÁ Ô Ò T m Å T m ÂÔ Æ É Ì Ã T m T m Ò λ i Þ T m Ò ÆÞ A Ò Ã ÊÄ Ö ÖÒ Ò Ã λ i, ÂÄ Ó Ò Ý min ( λ i I A)x = min ( λ i I A)V m u x K m(a,v 1 ), x =1 u R m, u =1

Ö Û Ý Lanczos ÙØ 9 = min u R m, u =1 λ i V m u V m+1 T m ρ m+1 e m u = min V m+1 u R m, u =1 Þ V m+1 Þ ÃÁ ũ i, Ù ³ ũ i ÞÉ λ i I m T m u. (3.2) ρ m+1 e m λ i I m T m ũ i = min λ i I m T m u ρ m+1 e u R m, u =1 m ρ m+1 e m λ i I m T m ρ m+1 e m É A ÂÄ Ó λ i I m T m = σ min (3.3) ρ m+1 e m x i = V mũ i V m ũ i, (3.4) «Ò Â Ó Ê x i Þ min ( λ i I A )y = min ( λ i I A )W m z y K m(a,w 1 ), y =1 z R m, z =1 = min λ i W m z W m+1 z R m, z =1 T m γ m+1e m z

Degree papers are in the Xiamen University Electronic Theses and Dissertations Database. Full texts are available in the following ways: 1. If your library is a CALIS member libraries, please log on http://etd.calis.edu.cn/ and submit requests online, or consult the interlibrary loan department in your library. 2. For users of non-calis member libraries, please mail to etd@xmu.edu.cn for delivery details.