第十二章波動 00 波的種類 命題焦點. 波的基本概念. 依其傳播時, 需不需要靠 介質 來區分 : 需要介質傳播 - 力學波 ( 機械波 ); 不需要介質傳播 - 電磁波. 依質點 ( 或場 ) 振動方向 與波的 傳播方向 區分 橫波 質點 ( 或場 ) 振動方向與傳播方向垂直 ; 縱波 質點 (

第十二章波動 第十二章 波 動 000 高中物理的光學三大架構 一 幾何光學 / 直線光學 (Geometrical Optics) 以 光在均勻介質中以直線傳播 的觀點描述光的現象光的反射光的折射 二 物理光學 / 波動光學 (Physical Optics) 以 光為波動 ( 電磁波 ) 的觀點描述光的現象單狹縫繞射雙狹縫干涉 三 近代物理之光量子論以 光的能量為量子化 ( 光子 ) 的觀點描述光的現象光電效應康普頓效應

第十二章波動 00 波的種類 命題焦點. 波的基本概念. 依其傳播時, 需不需要靠 介質 來區分 : 需要介質傳播 - 力學波 ( 機械波 ); 不需要介質傳播 - 電磁波. 依質點 ( 或場 ) 振動方向 與波的 傳播方向 區分 橫波 質點 ( 或場 ) 振動方向與傳播方向垂直 ; 縱波 質點 ( 或場 ) 振動方向與傳播方向平行 物理通地理 : 山 河平行 - 谷 ; 山 河垂直 - 谷 重點 : 光波屬於 波 3. 依 時間 來區分 ; 週期波 連續規律的振盪, 如 : 心跳 ; 脈動波 只做一次振盪, 如 : 地震波 4. 依 傳播空間 ( 速度的傳播方向 ) 來區分 : 直線波 : 平面波 ; 空間波 5. 依 波形 來分 : 正弦波 : 三角波 ; 方波 00 波的基本特性. 波 是質點集體的運動形式 / 場的變化, 但 波 是一種能量, 而非物質 [ 達文西 (Leonardo da Vinci,45-59): 麥田中麥浪滾滾, 但麥禾不會前進 ]. 波 是一種能量 ( 及動量 ) 的傳遞, 而非質量 ( 或物質 ) 的傳遞 ; 但, 介質質點可 能在原處附近做小幅度的上下振盪或左右振盪 (SHM) 3. 波 傳遞的速率 ( 只 ) 跟介質的特性有關 ; 但光波 繩波 等不同特性的波, 傳播速率各有不同的因素 ( 如光波在介質中傳播與頻率 介質特性均相關, 但 繩波之波速卻與頻率無關, 只跟介質特性有關 ) 4. 在古典力學中, 波 的能量與振幅的平方成正比;[ 平均功率 P= μvω R ] 如何積分呢? 請參考高中物理進階 00 篇 3

第十二章波動 003 常見的波 水波聲波繩波 電磁波彈性波光波 物質波地震波腦波 超音波微波聲下波 / 次聲波 備註 : 第十二章講的波動理論, 除非特別聲明, 否則適用於所有的波 4

5 第十二章波動

第十二章波動 沒有知識也要有常識 腦波 (Brain Wave) 或稱腦電波, 是腦神經細胞電位變化的波動 腦波有四種形態 : ()α 波 : 每秒鐘 8-3 次, 通常為 0Hz, 是正常成年人腦波的基本節律 ()β 波 : 頻率由 4Hz 至 00Hz 以上, 它代表正常清醒有知覺的狀態, 腦力集中, 興奮, 警覺, 認知時出現 (3)θ 波 : 在 4-8Hz 之間, 它代表睡夢狀態, 也代表增強創造力, 超級學習能力, 整合經驗以及增強記憶力多種情況 (4)δ 波 : 在 4Hz 以下, 它代表熟睡無夢狀態 沒有知識也要有常識 微波爐的加熱原理是利用電磁作用產生微波, 而食物的水分子, 因共振而吸收微波能量, 此共振頻率是每秒 4 億 5 千萬次的振盪 (450MHz, 國際上規定家用微波爐的微波波長為 mm) 但微波的穿透力只有約.5 公分, 故表層分子因振動而加熱, 故應放幾分鐘讓熱逐漸擴散, 使溫度均勻 冰塊分子的共振頻率並非 450MHz, 故不適合利用微波爐加熱, 此外金屬不會吸收微波而且還會反射微波, 故不能使用於微波爐內, 應選用絕緣耐熱材料製成的容器, 如陶瓷 耐熱玻璃或塑料等 沒有知識也要有常識 3 地震波可以分成許多種 :P 波在地殼之平均傳遞波速大約每秒 6 公里左右,S 波在地殼之平均傳遞波速大約每秒 3.4 公里左右 地震波中, 縱波速度比橫波快.7~.8 倍 這兩種震波均可在岩體內部傳遞, 故又合稱為體波 ( 或實體波,Body wave) 地震震波是會因地表厚度不同而產生類似凹 凸透鏡之折射現象, 並於某些地方產生較大之振幅 6

第十二章波動 004 沒有知識也要有常識 4 光是一種電磁波, 一般的光線在前進時, 電磁振動方向四面八方都有 ( 非偏振光 [ 隨機發生 ] 非極化光) 如果電磁振動只發生在一個平面內, 亦即電場振動方向及磁場振動方向固定的光稱為偏振光 一般以其電場方向便稱為光的偏振方向 例如 : 電場只在鉛直面上變化, 稱為鉛直偏振 ; 電場只在水平面上變化, 稱為水平偏振 我們可以利用偏光鏡 ( 偏光片 / 偏光器 ) 來產生或檢驗偏振光 偏光器利用其線型的分子結構, 可吸收某一方向之線偏振光, 而輸出線偏振光 可用偏光器來選擇某一特定方向之偏振光, 已偏振化的光再經過一個偏光器時可全部通過或部分通過, 視第二個偏光器的方向而定 7

8 第十二章波動

第十二章波動 005 電磁頻譜 (EM spectrum) 9

0 第十二章波動

第十二章波動

第七章功與能 命題焦點. 週期波 00 週期波的基本名詞 波的基本名詞定義 : 振幅 : 弦上各點振動時, 與平衡點的最大距離 ( 不是最高點與最低點的距離, 而是最高點與最低點距離之半 ) 波峰 : 弦上向上位移最大的點 波谷 : 弦上向下位移最大的點 波長 : 相鄰兩波峰或兩波谷 ( 或相對應位置 ) 的距離, 以 λ( 讀做 lamda) 表示 週期 : 弦上一點作一次完整振動所需的時間 ( 所謂 完整 的振動, 是指質點回復到原出發時的狀態 ) 如果只講回到原處的時間, 叫做一個週期, 對嗎? 頻率 : 弦上一點在 秒內振動的次數, 以 f 表示 ( 週期是一次幾秒, 頻率是一秒幾次, 兩者互為倒數 ) 波速 : 波在介質中傳播的速率, 以 v 表示 備註 : 一般在波動或是簡諧運動所指的 位移 是指偏離平衡點的距離, 更 精確的說應該稱為 位置向量 ( 數學名詞的定義 ) 不是一般運動學 所指的兩點間位移

第七章功與能 你學的是 波, 還是 波動? 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0

第七章功與能 00 弦波的波速公式 ( 一 ) v=f λ: 符號約定 : v: 波速 單位 : 公尺 / 秒 f: 頻率 單位 :/ 秒 = 赫 λ: 波長 單位 : 公尺

第七章功與能 003 弦波的波速公式 ( 二 ) 基本假設 : 為了推導方便起見, 我們選擇座標系並不是靜止於地面的觀察者, 而是一個隨脈波前進的參考座標, 也就是此觀察者看到的脈波不會動, 而是細繩由右向左以波速 v 移動, 利用牛頓第二運動定律與圓周運動之分析, 來求波速! 再利用牛頓力學的相對性原理, 物理定律的形式對於慣性座標系的觀察者而言是相同的 推導過程 : 取脈波最高點的一小段 Δ l, 假設其曲率半徑為 r, 圓心角為 θ 則 Δ l = r θ 其質量為 Δm=μ Δ l =μrθ 在極短時間內, 可視此小段做圓周運動, 其向心力由弦之張力提供 v Fsinθ=Δm θ 極小時,sinθ θ 代入整理可得 v = r F μ 本章新的物理量 :μ 為線密度, 意即 單位長度的質量, 單位是 kg/m F 備註 : 波速公式, 兩個一起背 : v = = f λ μ 公式中只出現 F 與 μ, 表示只跟彈性繩之特性有關, 與波之波形 頻率 波長 振幅無關 證明方法( 二 ) : 利用因次分析 ( 單位分析 ), 速率的單位是 m/s 一拉緊之繩其 波速率與線密度有關與張力有關, 利用試誤可得 v F, 但無法決定比例常數 μ 吉他調音小常識 : 吉他的弦, 比較粗的弦, 發出的頻率較 吉他的弦, 比較細的弦, 發出的頻率較 吉他的弦, 旋緊一點, 弦發出的頻率較 吉他的弦, 放鬆一點, 弦發出的頻率較

第七章功與能 004 弦波的振動 脈波通過一彈性繩時, 弦上質點只在弦的垂直 方向做上下振動 (SHM), 質點本身並不隨波前進 推導過程 : 考慮弦上的一點 P,P 的振動方向是往下, 假設 其振動速率 ( 只考慮大小 ) 為 u 照振動速率的定義 u= Δy u= Δ t 鏈鎖律 ) 其中, Δy Δ t Δy Δx 可表示為 u= Δx Δt Δx Δ t 是波的傳播速率 v, 線斜率故,u=v tanθ ( 類似微分常用的 Δy Δ x 是該點的切.5 0.5-0.5 - -.5.5-0.5-0.5 - -.5.5-0.5-0.5 - -.5.5-0.5-0.5 - -.5 -.5 0.5-0.5 - -.5-3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6. 在波的合成過程中此公式只能用於個別的波, 不能用於合成波的波形. 合成波的振動速率必須利用波的疊加性由其原組成波合成 3. 上式算的是振動 速率, 即只算大小, 至於該質點在下一瞬間會往上振動或往下振動, 與波往左傳或波往右傳有關, 可畫圖判斷

第七章功與能 005 水波中水分子的運動 分析 : 水分子會隨波移動也會轉動, 作一圓周運動

第七章功與能 006 波動方程式 (wave function) 波動可以著重在波的 數學, 也可以不涉及波動方程式只著重在波的 觀 念 新教材的各版本沒有直接明示波動方程式, 只提到 相位 的概念, 但是 相位不從波動方程式著手, 並不容易理解 波動方程式需要一些數學基礎, 而且是兩個變數的動態概念, 但是只要基本觀念清楚, 其實波動方程式並不難理解, 各位可以量力而為 課程標準已經明定 不涉及波形隨時間與位置變化的函數關係, 因此, 指定科目考試並不會直接出現波動方程式的數學分析 正弦波的波動方程式 : y = R sin(kx ω t + φ) 向右傳播之正弦波 y = R sin(kx + ω t + φ) 向左傳播之正弦波 π π 波的物理量 : 波數 k =, 波長 λ =, λ k 週期 T π = ;φ 稱為 相常 ω 數 (phase constant) 廣義的行進波函數 :f(x-vt) [ 只要把函數中 的 x, 換成 x-vt, 即可 ] 相位與相位差 :θ= kx m ω t + φ 稱為 相位 (phase) 或稱 相角 / 相位角 ; 兩波相位的 差, 稱為 相位差 同相 (Δθ=0 ):ex: 兩波源同時產生波峰或 同時產生波谷 反相 (Δθ=80 ):ex: 一波源產生波峰時, 另一波源恰好產生波谷.5 0.5-0.5 - -.5.5-0.5-0.5 - -.5.5-0.5-0.5 - -.5.5-0.5-0.5 - -.5 -.5 5 7.5 0.5 5 7.5.5 5 7.5 0.5 5 7.5 5 0 5 0 5 5 0 5 0 5

第七章功與能 等效看法 :360 ( 角度 ) π( 弧度 ) λ( 距離 ) T( 時間 ) 等速度圓周運動投影 y 軸 簡諧運動 彈簧振盪 SHM 行進正弦波 相位差 :A 落後 B 90 ( 角度 ) π/( 弧度 ) λ/4( 距離 ) T/4( 時間 ) C 領先 A 80 ( 角度 ) π( 弧度 ) λ/( 距離 ) T/( 時間 ) Δφ Δt Δx 備註 : 多數參考書定義 相位 P= = =, 而定義 相位角 =P π π T λ 不過, 大學普物課本並未出現此種定義法, 而是相位 θ= kx m ω t + φ

第七章功與能

第七章功與能

第七章功與能 命題焦點.3 繩波的反射與透射 030 固定端與自由端的反射 固定端的反射 自由端的反射 方向相反, 波形上下顛倒 ( 反相 ) 方向相反, 波形上下相同 ( 同相 ) 反射波的形狀如何決定呢? 記住一個口訣 : 030 輕重 ( 線密度 ) 不同兩繩之反射 輕繩傳至重繩 重繩傳至輕繩 ( 反射波 ) ( 透射波 ) ( 反射波 ) ( 透射波 ) 輕可不可以拉重? 可以, 只是比較難拉重拉輕, 更好拉, 一拉, 振幅變更大 反射波 : 波形顛倒 波速不變 3 波長 反射波 : 波形不顛倒 波速不變 3 波不變 4 振幅變小長不變 4 振幅變小

第七章功與能 透射波 : 波形不顛倒 波速變小 3 波 透射波 : 波形不顛倒 波速變大 3 波長變短 4 振幅變小長變大 4 振幅變大備註 :. 固定端與自由端, 可視為輕繩與重繩的極限. 重繩到輕繩的透射波振幅變大, 不代表能量變大, 因質量較小, 故能量仍比原入射波小 備註 : 假設波由密度 μ 的繩傳至 μ 的繩, 入射波振幅 y o 反射波振幅 y 透射波振幅 y, 具有下列關係 : μ μ = (y <0 表反射波波形上下顛倒,y >0 表不顛倒 ) y yo μ + μ y μ = (y 恆 >0, 表透射波波形上下不顛倒 ; yo μ + μ y 恆大於 y o, 表透射波振幅大於原入射波振幅 ) μ <<μ ( 固定端 ) 完全反射 y =-y o,y =0 μ <μ 部份反射, 部份透射 y <0 且 y >0 y < y o,y < y o μ =μ 完全透射 y =0,y =y o μ >μ 部份反射, 部份透射 y >0 且 y >0 y < y o,y > y o μ >>μ ( 自由端 ) 完全反射 y =y o,y =y o 比較 : 質量為 m 的物體以 v 的速率正向彈性碰撞原先靜止質量為 m 的物體 v m m ' m ' = ; v = v [ 若 m >m 則 v 恆大於 v ] m + m ' v m + m

命題焦點.4 波的分隔設定 第七章功與能 040 波的重疊原理 (superposition principle). 意義 : 數個波在同一介質交會, 介質上各點在某一時刻, 合成波的位移等於各個波的位移之和 注意 位移 有方向, 向上運動取正, 向下運動取負. 推廣 : 重疊原理不僅適用於位移, 對 y=y +y, 一次微分 二次微分後, 也可適用於質點振動的速度 (u=u +u ) 與加速度 (a=a +a ) 3. 應用 :() 我們利用正弦波, 可以合成各式各樣的波, 例如圖示的三角波, 所以只能要產生正弦波, 就可以組合成其他種類的波 在通訊原理 訊號處理中這是一門很重要的學問, 本質就是波的疊加性 () 方波 = π 4 sin( nx) n n=.5 0.5 0-0.5 - -.5.5 0.5 0-0.5 - -.5 0 4 6 8 0 n+ 8 ( ) () 三角波 = π (n ) n= sin[(n ) x] 0 4 6 8 0

第七章功與能.5 0.5 0-0.5 - -.5.5 0.5 0-0.5 - -.5 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 () 雷射光 ( 超音波 ) 如何殺死癌細胞, 但又不殺死正常細胞呢? 040 波的獨立性. 意義 : 數個脈波交會, 通過以後, 個別波動的波速與波形不會經過波的疊加而改變. 原理 : 能量守恆 / 能量不滅 3. 應用 : 串音 (cross talk) 電磁波的傳遞 大腦如何處理波的獨立性與波的疊加性?

第七章功與能 0407 波的疊加的分類 種類相同方向的行進波相反方向的行進波 振幅 頻率相同 同相 ( 相角差 0 ) 完全相長性干涉 反相 ( 相角差 80 完全相消性干涉 振幅 頻率相同 駐波 振幅不同 頻率相同 同上振幅不同 頻率相同 複雜波形 3 振幅相同 頻率不同 複雜波形的行進波振幅相同 頻率不同 複雜波形 4 振幅不同 頻率不同 複雜波形的行進波振幅不同 頻率不同 複雜波形 進階思考 : 有興趣可以參考高中物理進階 00 篇, 看看複雜波形的疊加 0406 干涉的種類 波的干涉波重疊而相互影響, 形成合成波的現象 相長性干涉若合成波的振幅大於原來波的振幅, 又稱為建設性干涉 3 相消性干涉若合成波的振幅小於原來波的振幅, 又稱為破壞性干涉 4 完全相長性干涉若合成波的振幅等於原波動最大振幅之和 5 完全相消性干涉若合成波的振幅等於 0 3 (a) 兩波同相干涉有最大振幅 - - -3 3 - - -3.5 5 7.5 0.5 5 7.5 (b) 兩波反相干涉, 有最小振幅.5 5 7.5 0.5 5 7.5 (c) 兩波未必同相干涉 (45 度 )

第七章功與能 3 - - -3 3 - - -3.5 5 7.5 0.5 5 7.5 (d) 兩波相位差異更大, 振幅更小 (35 度 ).5 5 7.5 0.5 5 7.5 0405 波的疊加 ( 行進方向 頻率相同的兩個波 ) () 振幅相同的波的合成 : y=y m sin(kx-ωt)+ y m sin(kx-ωt+φ )=[y m cos φ ] sin(kx-ωt+ φ ) 相位差 =0, 合成波振幅 =y m, 稱為完全相長性干涉 相位差 =80, 合成波振幅 =0, 稱為完全相消性干涉 () 振幅不相同的波的合成 < 利用相量 (phasor) 分析最簡單, 但超出高中範圍 > y(t)=y sin(kx-ωt)+ y sin(kx-ωt+φ )= y' sin(kx-ωt+β) y sinφ 其中 y' = y + y + yy cosφ 而 tanβ= y + y cosφ 相位差 =0, 合成波振幅 = y +y 相位差 =80, 合成波振幅 = y -y 相位差 =90, 合成波振幅 = y + y

第七章功與能 04 波的反射 () 入射波遇到固定端, 可視為有 一方向相反且反相之波的合成 : () 入射波遇到自由端, 可視為有 一方向相反且同相之波的合成 : 相遇點為節點 相遇點為腹點

第七章功與能 043 課外補充 相量分析 (phasor) 先做一題數學上三角函數疊合的問題 : f= f=3sinθ+4sin(θ+90 )=3sinθ+4cosθ 3 + 4 ( 3 3 + 4 sinθ+ =5( 3 5 sinθ+ 4 5 cosθ) 3 令 cos α = 5 3 4 + 4 cosθ) sin α = 故 f=5 (sinθcosα+cosθsinα)=5sin(θ+α)= 5sin(θ+53 ) 4 5 但是如果把題目改成 f=3sinθ+4 sin(θ+30 ) 呢? 當然可以先把 sin(θ+30 ) 算 出, 再重新分類, 但是此幾何運算過程太繁雜, 有沒有更直覺的做法呢? 其實我們可以把此三角函數的加法幾何化! r 我們可以令 = (3cosθ,3sinθ ) r r o o = [4cos( θ + 90 ),4sin( θ + 90 )] 這兩個向量相加, 畫成左下圖 我們可以透過座標旋轉, 將向量轉回 θ 角, 如右下圖, 這兩個向量的和的長度 =5, 角度 =53 f=3sinθ+3sin(θ+60) = 3 sin(+60) r r o o 因此, + = [5cos( θ + 53 ),5sin( θ + 53 )] 我們其實只要 y 座標, 故 f=3sinθ+4cosθ=5sin(θ+53 ) 我們可以發展出一般性的解法 : () 把兩個要相加的三角函數換成 asinθ 的型式 () 變換成 (acosθ,asinθ) 在直角座標系上的兩個向量相加 (Hint: 用餘弦定律計算長度與角度 ) (Hint: 類似工程數學常用的 transform 的技巧 ) (3) 其合向量的 y 座標為所求

第七章功與能 或者是 () 把兩個要相加的三角函數換成 acosθ 的型式 () 變換成 (acosθ,asinθ) 在直角座標系上的兩個向量相加 (Hint: 用餘弦定律計算長度與角度 ) (Hint: 類似工程數學常用的 transform 的技巧 ) (3) 其合向量的 x 座標為所求 舉幾個例子 : 例一 :f=3sinθ+4 sin(θ+30 ) r r o o 我們可以令 = (3cosθ,3sinθ ) = [4 cos( θ + 30 ),4sin( θ + 30 )] 而 f=3sinθ+4 sin(θ+30 ) 是這兩個向量的 y 座標的和 我們把此向量的加法幾何化! 例二 :f=3cosθ-4sinθ 表成 cos 型式 f=3cosθ+4cos(90 +θ) (3cosθ,3sinθ) + [4cos(90 +θ),4sin(90 +θ)] =[5cos(θ+53 ),5sin(θ+53 )] 取 x 座標, 故 f=3cosθ-4sinθ=5cos(θ+53 ) 例三 :f=3cosθ-4sinθ 表成 sin 型式 f=3sin(θ+90 )+4sin(θ+80 ) [ (3cos(θ+90 ),3sin(θ+90 ))+ [4cos(θ+80 ),4sin(θ+80 )] =[5cos(θ+53 ),5sin(θ+53 )] 取 y 座標, 故 f=3cosθ-4sinθ=5sin(θ+43 ) key : 把波動函數, 看成一個等速率旋轉的向量的投影

第七章功與能 命題焦點.5 駐波 050 駐波 (standing wave) 駐波 (standing wave) Wave that has fixed points (nodes) and moving points (antinodes) ; wave that appear frozen in a medium, like a string.. 駐波 的意義: 反向前進的兩個相同週期波, 其合成波稱為駐波.5 0.5 0.5 5 7.5-0.5 0.5 5 7.5 - -.5 -.5 0.5 0.5 5 7.5-0.5 0.5 5 7.5 - -.5 -.5 0.5 0.5 5 7.5-0.5 0.5 5 7.5 - -.5 -.5 0.5 0.5 5 7.5-0.5 0.5 5 7.5 - -.5 -

第七章功與能.5 0.5 0.5 5 7.5-0.5 0.5 5 7.5 - -.5 -. 駐波的特性 : 波形不見前進, 波在原地做週期性的漲落, 稱為駐波 不動的點, 我們稱之為 節點 或是 波節 (node), 振動最厲害的點, 我們稱為 腹點 或是 波腹 (anti-node) 節點 (nodes) Fixed locations of zero displacement. 腹點 (antinodes) Fixed locations of maximum displacement. 能量不會向外傳遞, 質點上下振盪, 動能與位能互相轉換 ( 你知道質點會做何種運動嗎? 答案是 ) 要如何產生駐波呢? 如果照駐波的定義需要兩個波源, 不過有一更簡單的方法, 就是利用波的反射, 產生一個反向且相同的週期波, 不論是固定端或自由端的反射波, 與原入射波均會產生駐波 3. 駐波的產生 : () 單一波源, 與固定端的反射波形成駐波, 固定端為節點 ; () 單一波源, 與自由端的反射波形成駐波, 自由端為腹點 4. 補充 : 駐波的數學分析 : y 假設有兩個波長 振幅相同但傳播方向相反的兩個波 : = Rsin(kx ω t) 與 = Rsin(kx + ω t), 我們同樣利用疊加性原理 (super positio n principle), 及三角 α + β α β 函數的公式 和差化積 : sinα + sin β = sin cos 其合成波為 : y ω = y + y = R sin(kx ω t) + R sin(kx + t) = R sin kx cosω t y

第七章功與能 駐波上不動的點, 我們稱之為節點 (node), 由合成波 y = R sin kx cosωt, 不 論 t 為何,y 恆為 0, 必須滿足 kx=nπ, 因此節點位於 x=n 我們也可以發現節點間的距離為 λ λ,n=0, 反之振動幅度最大點, 我們稱之為腹點 (antinode), 從方程式來看, 如果要讓 振幅最大,kx=(n+ )π, 因此腹點位於 x=(n+ ) λ,n=0, 我們也 可以發現腹點間的距離為 λ, 但相鄰的兩個腹點, 振幅恰好是一正一負 進階思考 : 駐波與行進波具有相同的 k 與 ω, 即波長與週期與原行進波相同

第七章功與能 050 固定端與自由端 固定端 自由端 固定端必成節點 自由端必成腹點 0503 駐波的種類根據波傳遞的介質的特性不同, 也就是說該介質的端點可能是固定端 ( 節點 ), 也可能是自由端 ( 腹點 ), 可以分成幾種情形討論呢? 運用數學 排列組合 的技巧算算看吧? 答案是 種 一般參考書, 都是分開討論, 沒有加以整合 此處為了讓大家有一 個完整的概念, 特別把三種駐波形式一起討論 : 繩波 ( 彈性波 ) 聲波 固定端 固定端 樂器吉他 提琴定音鼓

第七章功與能 固定端 自由端 樂器 笛 自由端 自由端 樂器 蕭 0504 駐波 ( 一 ) 固定端 固定端 圖形分析 波長與弦 長之關係 頻率音名 基音 第二諧音 或 第一泛音 3 第三諧音 或 第二泛音 第 n 諧音 ( 頻率為基音的 n 倍 ) 或 n 第 n- 泛音 ( 第 n 個產生的音稱為第 n- 泛音 ) 諧音與泛音的記法 : 諧音是看 泛音是看 舉一反三 : 氫原子能階 n=, 稱為基態 ;n=, 稱為第一受激態 ; 類似於 音的命名諧音與基音同時疊加, 諧音的作用是改變波形 ( 即改變音色 ), 而非改變基音

第七章功與能 頻率 我們聽起來還是基音的頻率, 只是音色不同 0.75 0.5 0.5 0.75 0.5 0.5 0.75 0.5 0.5-0.5-0.5-0.75-4 6 8 0 + -0.5-0.5-0.75-4 6 8 0 + -0.5-0.5-0.75-4 6 8 0.5 0.5 = -0.5 - -.5-4 6 8 0

第七章功與能 0505 駐波 ( 二 ) 開管駐波 ( 自由端 自由端 ) 圖形分析 波長與管長 之關係 頻率音名 基音 3 n 第二諧音或第一泛音第三諧音或第二泛音第 n 諧音或第 n- 泛音 0506 駐波 ( 三 ) 閉管駐波 ( 固定端 自由端 )[ 無 數諧音 ] 圖 波長與管長 之關係 頻率音名 基音 3 n 第三諧音或第一泛音第五諧音或第二泛音第 (n-) 諧音或第 n- 泛音

用 Mathematica 學物理 第七章功與能

第七章功與能 命題焦點. 水波的反射與折射 060 水波的反射. 波與界面的交互作用 : 反射 透射 ( 折射 ) 吸收. 反射現象 : 波遇到障礙物, 有部份或全部光線自界面反射回原介質的現象 3. 反射定律 : 入射線與反射線各在法線兩側, 且三者在同一平面 入射角 = 反射角 (θi=θr) [i=incident;r=reflect] 線波 4. 直線波遇到直線型障礙物, 反射波亦是直 波前與入射線垂直 5. 圓形波遇到直線形障礙物, 反射波亦是圓形波

060 水波的折射. 折射現象 : 波由一介質射至另一介質, 由於速率不同, 在兩種介質界面發生 行進方向改變的現象. 折射定律 : 海更士 (Huygens) 把 光視為 波動, 進入另一介質時, 波的不同 部份速度不同, 故產生方向偏折 d d sinθ sinθ v = v Δt Δt 3. 水深與波速之關係 : 水深 3 4.5 6 7.5 9 5 8 4 7 30 波速 0.96 3.39 6.0 7.38 8. 8.3 8.06 8.03 8.04 8.03 8.0 8.08 ( 台北縣立板橋國民中學, 作者 : 宋素蓮 江淑琳 陳惠琴 詹佩娟, 國中組物理科第二名, 水波波速測量的改進與變因的探討 ) 深水區 : 波速較大 波長較大 淺水區 : 波速較小 波長較小 4. 海浪為何平行岸邊?

070 基本名詞 波前 (wavefront) 命題焦點.7 海更士原理 A surface connecting points of equal phase on all waves. 3. 海更士 (Huygens) 原理 : ( 或譯為 惠更斯 ): 波前上的任何點均可視為新的點波源, 各自發出球面波向外傳遞, 新的波前是這些球面的包絡面 海更士原理 (Huygens principle) All points on a wavefront serve as point sources of spherical secondary wavelets. After a time t, the new position of the wavefront will be that of a surface tangent to these secondary wavelets.

4. 海更士原理的應用 : 牛頓利用動量守恆與粒子的碰撞解釋光的反射與折射, 海更士則是利用海更士原理以波的觀點解釋光的反射與折射 波的干涉與繞射繞射不明顯繞射明顯

波的前進 ( 都卜勒效應中的震波 )

080 水波之干涉 命題焦點.8 波的干涉與繞射 干涉時, 波峰與波峰相交處, 我們稱為 點 兩波干涉時, 波峰與波谷相交處, 我們稱為 點 兩波干涉時, 波谷與波谷相交處, 我們稱為 點 節點的連線, 稱為節線 ; 腹點的連線, 稱為腹線 水面突起處, 類似 透鏡 ; 亮紋處為 點 ( 線 ) 水面凹陷處, 類似 透鏡 ; 暗紋處為 點 ( 線 ) 明暗交替處, 為 點 ( 線 )

暗 亮 亮 平行光源 亮紋間隔=波長 亮 亮 點光源 亮紋間隔>波長 亮

0803 腹線 ( 點 ) 的條件 實線代表波峰 虛線代表波谷 3 S S 計算 波程差 =PS -PS :(P 是水面上的某一點 ) :PS -PS = :PS -PS = :PS -PS = 結論 : 聰明的你, 觀察出何種結論呢? 產生腹線的條件 : 感覺 :P 點不論是 S 的第 x 個波峰與 S 的第 y 個波峰合成, 波峰與波峰距離差必為 進階思考 : 在上圖中, 有無可能 PS -PS =3λ? [Hint: 三角形的兩邊差小於第三邊 ] 故共有 條腹線 數學的存在目的 : 腹線 (Antinodal line), 是那一種圓錐曲線?

進階觀念 : 波峰 + 波峰必為腹點, 但腹點未必是波峰 + 波峰

0804 節線 ( 點 ) 的條件 實線代表波峰 虛線代表波谷 3 S S 計算 波程差 =PS -PS :(P 是水面上的某一點 ) :PS -PS = :PS -PS = :PS -PS = 結論 : 聰明的你, 觀察出何種結論呢? 產生節線的條件 : 感覺 :P 點不論是 S 的第 x 個波峰與 S 的第 y 個波谷合成 ( 或反之 ), 波峰與波谷 距離差必為 進階思考 : 在上圖中, 有無可能 PS -PS =3.5λ?[Hint: 三角形的兩邊差小於 第三邊 ] 故共有 條節線

進階觀念 : 波峰 + 波谷必為節點, 但節點未必是波峰 + 波谷

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0805 λ 節線數的推導 : 產生節線的條件 : 波程差 PS PS = (n ) λ dsin θ = (n ) 因為 sinθ, 故 λ sin θ = (n ) d d n λ d n + λ d n + λ d n = [ + ] λ d N = n = [ + ] λ PS PS >0, 尚有 PS 備註 d 同理可推得腹線數 N= [ ] + λ d PS <0, 但因左右對稱故, 節線數 N= n= [ + ] λ ( 節線數必為整數, 故取高斯函數,) 先加 /, 再取高斯函數, 再乘以, 順序不能顛倒 [4.5] [ 4.5]! 兩波源同相時, 節線數必為 數 ; 腹線數必為 數 兩波源反相時, 節線數與腹線數顛倒, 正中央變為節線 節線數未必多於腹線數 例如 :d=.7λ 時, 有 6 條節線,5 條腹線 ;d=3.3λ, 有 6 條節線,7 條腹線 0806 退化的節線 :. 何謂退化的節線? 直線是 (A) 圓 (B) 拋物線 (C) 雙曲線的一種特例

. 何時產生退化的節線? 當 S S =(n-) λ =0.5λ.5λ.5λ 3.5λ 4.5λ 時 d=0.5λ d=.5λ d=.5λ 同理,S S =nλ, 產生退化的腹線 d=λ d=λ d=3λ 進階思考 : 為何不寫 PS +PS =nλ? 進階思考 : 點波源與直線波所產生的駐波, 節線為何種形狀? 進階思考 3 : 兩波源之間的相位差

中央腹線 Δθ=80 Δθ=0 Δθ=36 Δθ=7 Δθ=08 Δθ=44 Δθ=80 物理光學挑戰題 : 為何兩支手電筒照牆壁, 看不到干涉條紋呢? 答案 : 因為相位差不穩定 ( 不固定 ) 要有清楚的干涉條紋, 相位差要固定 = 同調 / 相

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