假設檢定問題解決的步驟 Hypothesis Testing Steps 9 2

第九章單一母體之假設檢定 Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis Chapter 9 9 1

假設檢定問題解決的步驟 Hypothesis Testing Steps 9 2

解決檢定問題的步驟流程 9 3

解決檢定問題的步驟流程 根據問題決定 H 0 根據問題決定 H 1 根據問題決定 α 決定樣本數 n 決定合適的檢定統計 9 4

解決檢定問題的步驟流程 根據問題決定 H 0 根據問題決定 H 1 根據問題決定 α 決定樣本數 n 決定合適的檢定統計 確定臨界值 critical values 收集資料 計算出檢定統計 根據檢定統計做出決策 將決策以口語或文字表達出來 9 5

單母體假設檢定 9 6

單母體假設檢定 One Population 9 7

單母體假設檢定 One Population Mean 9 8

單母體假設檢定 One Population Mean Proportion Variance 9 9

單母體假設檢定 One Population Large Sample Mean Small Sample Proportion Variance Z Test (1 & 2 tail) t Test (1 & 2 tail) Z Test (1 & 2 tail) χ 2 Test (1 & 2 tail) 9 10

大樣本平均數的雙尾 Ζ 檢定 1 假設滿足 樣本數超過 (n 30) 若母體的標準差未知時可以使用樣本標準差代替 2 對立假設為不等式 ( )( 3 Z 檢定統計 (test statistic) Z 9 11 = X σ µ x x = X µ σ n

雙尾 Z 檢定範例 東立公司生產螺絲釘, 原有生產模組生產之螺絲釘平均長度是 21 公分, 標準差是 005 公分, 現在進口一部新的生產模組, 由此新機組生產線上收集 40 個螺絲釘, 量測其長度得 X=212 公分, 設新舊機組生產螺絲釘長度標準差相同, 請以顯著水準 α=005 檢定新模組生產的螺絲釘平均長度是否改變 9 12

雙尾 Z 檢定範例解答 H0: µ = 210 Ha: µ 210 α = 05 n = 40 Critical Value(s): Reject H 0 Reject Z = Test Statistic: X µ 2 12 2 10 = = + 2 53 σ 0 05 n 40 Decision: 在 α = 05 下拒絕 025-196 9 13 0 196 02 Conclusion: 有充分證據顯示螺絲釘平均平均長度改變

大樣本時平均數的單尾 Ζ 檢定 One Tailed Z Test of Mean (Large Sample) 9 14

大樣本平均數的單尾 Ζ 檢定 1 假設滿足 樣本數超過 (n 30) 若母體的標準差未知時可以使用樣本標準差代替 2 對立假設為不等式 (>( 或 <) 3 Z test statistic X µ x X µ Z = = σ σ x n 9 15

大樣本平均數的單尾 Ζ 檢定範例 東立公司生產螺絲釘, 原有生產模組生產之螺絲釘平均長度是 210 公分, 標準差是 005 公分, 現在進口一部新的生產模組, 由此新機組生產線上收集 40 個螺絲釘, 量測其長度得 X=212 公分, 設新舊機組生產螺絲釘長度標準差相同, 請以顯著水準 α=005 檢定新模組生產的螺絲釘平均長度是否增加 9 16

大樣本平均數的單尾 Ζ 檢定解答 H0: µ = 210 Ha: µ > 210 α = 05 n = 40 Critical Value(s): 9 17 Test Statistic: X µ 2 12 2 10 Z = = = + 2 53 σ 0 05 n 40 Decision: Reject 在 α = 05 情形下拒絕 H o 05 Conclusion: 有充分證據證明螺絲釘充分證據證明螺絲釘平 0 1645 Z 均長度增加

觀測到的顯著水準 : p Values Observed Significance Levels: p Values 9 18

p Value 1 在虛無假設為真的情況下得到檢定統計或較此檢定統計更為極端的機率 Probability of obtaining a test statistic more extreme ( ( or ) than the actual sample value given H 0 is true 2 也稱為觀察到的顯著水準 可使 H 0 得到拒絕時的最小 α 值 3 目前最常使用來判別是否拒絕虛無假設 若 p value α, 不拒絕 H 0 若 p value < α, 則拒絕 H 0 9 19

雙尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之範例 東立公司生產螺絲釘, 原有生產模組生產之螺絲釘平均長度是 210 公分, 標準差是 005 公分, 現在進口一部新的生產模組, 由此新機組生產線上收集 40 個螺絲釘, 量測其長度得 X=212 公分, 設新舊機組生產螺絲釘長度標準差相同, 請以顯著水準 α=005 檢定新模組生產的螺絲釘長度是否改變, 試求出 p Value 9 20

雙尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之解答 X µ 2 12 2 10 Z = = = + 2 53 σ 0 05 n 40 253 180 0 180 253 Z 9 21 1 觀察到的樣本 Z 檢定統計

雙尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之解答 p value = P(Z 253 or Z 253) 1/2 p value 1/2 p value 253 180 0 180 253 Z 9 22 2 從標準常態表查出 253 之機率 1 觀察到的樣本 Z 檢定統計

雙尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之解答 1/2 p value = 0057 1/2 α = 025 Reject 1/2 p value = 0057 Reject 1/2 α = 025 9 23 253 180 0 253 180 Z (p value = 0114) < (α = 05) 故拒絕虛無假設

單尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之範例 東立公司生產螺絲釘, 原有生產模組生產之螺絲釘平均長度是 210 公分, 標準差是 005 公分, 現在進口一部新的生產模組, 由此新機組生產線上收集 40 個螺絲釘, 量測其長度得 X=212 公分, 設新舊機組生產螺絲釘長度標準差相同, 請以顯著水準 α=005 檢定新模組生產的螺絲釘長度是否增加, 試求出 p Value 9 24

單尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之解答 1 Z = X µ = σ n 2 12 2 10 0 05 40 = + 2 53 根據對立假設以決定方向 p value 0 180 253 Z 2 Z 檢定統計 9 25

單尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之解答 p value 為 P(Z 253) = 0057 1 根據對立假設以決定方向 p value =0057 0 253 180 Z 9 26 3 從標準常態表查出 253 之機率 2 Z 檢定統計

單尾 Ζ 檢定 使用 p Value 之解答 p value α = 05 = 0359 拒絕區 0 253 180 Z (p value = 0057) < (α = 05) 故拒絕 H 0 9 27

小樣本母體平均數的雙尾 t 檢定 Two Tailed Tailed t Test of Mean (Small Sample) 9 28

單母體假設檢定 One Population Large Sample Mean Small Sample Proportion Variance Z Test (1 & 2 tail) t Test (1 & 2 tail) Z Test (1 & 2 tail) χ 2 Test (1 & 2 tail) 9 29

小樣本下平均數的 t 檢定 1 假設 ( 先前滿足條件 ) 樣本數小於 30 (n < 30) 母體為常態分配 母體標準差未知以樣本標準差估計代入 9 30

小樣本下平均數的 t 檢定 1 假設 ( 先前滿足條件 ) 樣本數小於 30 (n < 30) 母體為常態分配 母體標準差未知以樣本標準差估計代入 2 T 樣本檢定統計為 t 9 31 = X µ S n

小樣本下平均數的雙尾 t 檢定 使用臨界 t 值 Given: n = 3; α = 10 df = n 1 = 2 2 3 從 t 表 ( 部份 ) 上查出臨界值 Critical Values of t Table (Portion) 2920 0 2920 t α /2 = 05 9 32 1 α /2 = 05 4 v t 10 t 05 t 025 1 3078 6314 12706 2 1886 2920 4303 3 1638 2353 3182

小樣本下平均數的雙尾 t 檢 定使用臨界 t 值範例 東立公司生產螺絲釘, 原有生產模組生產之螺絲釘平均長度是 210 公分, 標準差是 005 公分, 現在進口一部新的生產模組, 由此新機組生產線上收集 25 個螺絲釘, 量測其長度得 X=211 公分, 而樣本標準差為 005 公分, 請以顯著水準 α=005 檢定新模組生產的螺絲釘長度是否改變 9 33

小樣本下平均數的雙尾 t 檢定 使用臨界 t 值解答 H0: µ = 210 Ha: µ 210 α = 05 df = 25 1 = 24 Critical Value(s): Reject H 0 Reject H 0 025 2064 9 34 025 0 2064 t t = Test Statistic: X µ 2 11 2 10 = S 0 05 n 25 = + 1 0 Decision: 顯著水準 α = 05 下, 不拒絕 Conclusion: 無充分證據證明新模組生產之螺絲釘長度改變

小樣本母體平均數之單尾 T 檢定 One Tailed t Test of Mean (Small Sample) 9 35

單尾 t 檢定範例 某品牌燈泡的使用壽命是否少於 1000 小時呢呢? 今隨機抽選了 20 個此牌燈泡得到了 : 樣本平均數為 X = 990 小時而樣本標準差為 15 小時 請以顯著水準 α= 005 檢定之, 假設母體為常態分配 9 36

單尾 t 檢定解答 H0: µ = 1000 Ha: µ < 1000 α = 05 df = 20 1 = 19 Critical Value(s): Reject 05 1729 0 t t = Test Statistic: X µ 990 1000 = S 15 n 20 = 2 98 Decision: 在 α = 05 下, 拒絕 H 0 Conclusion: 有充分證據證明此牌燈泡使用壽命少於 1000 小時 9 37

母體百分比的 Ζ 檢定 Z Test of Proportion 9 38

單母體的各種檢定 One Population Large Sample Mean Small Sample Proportion Variance Z Test (1 & 2 tail) t Test (1 & 2 tail) Z Test (1 & 2 tail) χ 2 Test (1 & 2 tail) 9 39

母體比例的 Ζ 檢定 9 40

母體比例的 Ζ 檢定 1 先前滿足假設 母體為類別二分類資料 Two categorical outcomes 成功次數依照二項分配 樣本數足夠大, 常態近似合理 n p ˆ ± 3 n p ˆ ( 1 p ˆ ) 落在 (0,n) 之間 9 41

母體比例的 Ζ 檢定 1 先前滿足假設 母體為類別二分類資料 Two categorical outcomes 成功次數依照二項分配 樣本數足夠大, 常態近似合理 n p ˆ ± 3 n p ˆ 1 p ˆ 落在 (0,n) 之間 2 母體比例的 Z test statistic 檢定統計 Z 9 42 n p p ± 3 n p ( 1 p ) 0 p ˆ p ( 1 n 0 p 0 ) 根據虛無假設下的母體比例

母體百分比的 Ζ 檢定範例 現有的麥片盒包裝打包系統產生的不良品率為 10% 經研究改良後得到了新系統, 為檢定新系統效果隨機抽取了 200 盒麥片盒包裝得到不良品為 11 盒 在顯著水準 05 下是否充分證明新系統產生較少的不良品 9 43

母體百分比的 Ζ 檢定範例 H0: Ha: α = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 44

母體百分比的 Ζ 檢定範例 H0: p = 10 Ha: p < 10 α = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 45

母體百分比的 Ζ 檢定範例 H0: p = 10 Ha: p < 10 α = 05 n = 200 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 46

母體百分比的 Ζ 檢定範例 H0: p = 10 Ha: p < 10 α = 05 n = 200 Critical Value(s): Reject 05 Test Statistic: Decision: Conclusion: 1645 9 47 0 Z

母體百分比的 Ζ 檢定範例 H0: p = 10 Ha: p < 10 α = 05 n = 200 Critical Value(s): Reject 05 Test Statistic: 11 ˆ 10 p p 0 Z = 200 = 2 12 p 0 ( 1 p 0 ) 10 ( 1 10 ) n 200 Decision: Conclusion: 1645 9 48 0 Z

母體百分比的 Ζ 檢定範例 H0: p = 10 Ha: p < 10 Test Statistic: 11 ˆ 10 p p 0 Z = 200 = 2 12 α = 05 p 0 ( 1 p 0 ) 10 ( 1 10 ) n = 200 n 200 Critical Value(s): Decision: Reject 在 α = 05 下拒絕 H 0 05 Conclusion: 1645 9 49 0 Z

母體百分比的 Ζ 檢定範例 H0: p = 10 Ha: p < 10 9 50 Test Statistic: 11 ˆ 10 p p 0 Z = 200 = 2 12 α = 05 p 0 ( 1 p 0 ) 10 ( 1 10 ) n = 200 n 200 Critical Value(s): Decision: Reject 在 α = 05 下拒絕 H 0 05 Conclusion: 有充分證據證明新系統產 1645 0 Z 生的不良率低於 10%

母體百分比的 Ζ 檢定範例 某公司原打字員每頁打字錯誤率為 4%,, 今隨機抽取新聘之打字員所打的 500 字文件, 共發現 25 字錯誤, 在顯著水準 5% 下檢定新舊打字員打字錯誤率是否相同? 9 51

母體百分比的 Ζ 檢定解答 H0: Ha: α = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 52

母體百分比的 Ζ 檢定解答 H0: p = 04 Ha: p 04 α = n = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 53

母體百分比的 Ζ 檢定解答 H0: p = 04 Ha: p 04 α = 05 n = 500 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 54

母體百分比的 Ζ 檢定解答 H0: p = 04 Ha: p 04 α = 05 n = 500 Critical Value(s): Reject H 0 Reject H 0 025 025 Test Statistic: Decision: Conclusion: 196 9 55 0 196 Z

母體百分比的 Ζ 檢定解答 H0: p = 04 Ha: p 04 α = 05 n = 500 Critical Value(s): Reject H 0 Reject H 0 025 025 Test Statistic: 25 ˆ 04 p p 0 Z = 500 = 1 14 p 0 ( 1 p 0 ) 04 ( 1 04 ) n 500 Decision: Conclusion: 196 9 56 0 196 Z

母體百分比的 Ζ 檢定解答 H0: p = 04 Ha: p 04 α = 05 n = 500 Critical Value(s): Reject H 0 Reject H 0 025 025 Test Statistic: 25 ˆ 04 p p 0 Z = 500 = 1 14 p 0 ( 1 p 0 ) 04 ( 1 04 ) n 500 Decision: 在 α = 05 下不拒絕 H 0 Conclusion: 196 9 57 0 196 Z

母體百分比的 Ζ 檢定解答 H0: p = 04 Ha: p 04 α = 05 n = 500 Critical Value(s): Reject H 0 Reject H 0 025 196 9 58 0 196 025 Z Test Statistic: 25 ˆ 04 p p 0 Z = 500 = 1 14 p 0 ( 1 p 0 ) 04 ( 1 04 ) n 500 Decision: 在 α = 05 下不拒絕 H 0 Conclusion: 並無充分證據證明新舊打字員打字錯誤率不同

樣本大小的決定 Determining Sample Size 9 59

樣本大小的決定 統計推論之精確度與樣本大小有密切關聯, 而且 基本上樣本愈大則精確度愈高 9 60

樣本大小的決定 在一個檢定問題中, 拒絕 H0( 或接受 H0), 其決策法則是固定的 因此, 在此決策法則下, 不管 H0 實際上為真或偽, 若已確定可以容忍的最大 α 與 β 值之水準, 則可藉以決定所需的樣本大小 9 61

樣本大小的決定 ( 一 ) a 母體平均數 μ 的雙尾檢定之樣本數 H0: μ= μ 0 H1: μ μ 0 如果可容忍的型型 I 與型與 II 誤差之機率分別為 α 與 β, 則所需樣本大小 n 可由 C =μ 0 +Z α/2 σ / n (1) C =μ 1 Z σ β / n (2) 兩式求之 ( 其中假定 μ 1 = μ 0 + d) 9 62

樣本大小的決定 再同一檢定問題中, 其決策法則 ( 即拒絕 H0 的臨界值 ) 皆相同, 因此兩式臨界值 C 與 C 應相同 令 (1) 與 (2) 式相等, 則可得 μ 0 + Z α/2 σ / = (μ( 0 + d) Z σ β / ( 假設 μ 1 = μ 0 + d) 故 n= σ 2 (Z α/2 /2+ Z β ) 2 /d 2 n n 9 63

樣本大小的決定 μ 之雙尾檢定在特定的 α 與 β 之下, 樣本大小 n 之 決定 9 64

樣本大小的決定 b 母體平均數 μ 的左尾檢定之樣本數 若 H0: μ= μ 0 H1: μ< μ 0 如果可容忍的型型 I 與型與 II 誤差之機率分別為 α 與 β, 則所需樣本大小 n 可由 C =μ 0 Z α σ / C =μ 1 + Z β σ / 兩式求之 ( 其中假定 μ 1 = μ 0 d) n n 9 65

樣本大小的決定 同雙尾檢定, 由 C = C, C 可得 μ 0 Z σ α / = (μ( 0 d) + Z σ β / ( 假設 μ 1 = μ 0 d) 故 n = σ 2 (Z α + Z β ) 2 /d 2 n n 9 66

樣本大小的決定 c 母體平均數 μ 的右尾檢定之樣本數 若 H0: μ= μ 0 H1: μ> μ 0 如果可容忍的型型 I 與型與 II 誤差之機率分別為 α 與 β, 則所需樣本大小 n 可由 C =μ 0 +Z α σ / C =μ 1 Z β σ / 兩式求之 ( 其中假定 μ 1 = μ 0 + d) n n 9 67

樣本大小的決定 同雙尾檢定, 由 C = C, C 可得 μ 0 + Z σ α / = (μ( 0 + d) Z σ n β / ( 假設 μ 1 = μ 0 + d) 故 n = σ 2 (Z α + Z β ) 2 /d 2 n 9 68

母體平均數 μ 的樣本數決定之範例 某工業用電池其估計的平均壽命至少為 400 小時, 今以 α=002 來檢定此問題 若從某一批所製造的電池其實際的平均壽命為 385 小時, 生產經理將認為以抽樣而得的錯誤結論, 認為該電池的平均壽命所言不虛的機率為 01,, 則此電池檢定的樣本大小為何? 假定母體標準差為 30 小時 9 69

母體平均數 μ 的樣本數決定之解答 H0: μ=400 Ha: μ<400 α = 002 β = 01 σ = 30 Z 002 = 2055 Z 01 = 128 d = 400 385 = 15 n = (30) 2 (2055 + 128) 2 /15 2 = 446 應取 45 個電池為樣本 9 70

樣本大小的決定 ( 二 ) a 母體比例 p 的雙尾檢定之樣本數 H0: p = p 0 H1: p p 0 如果可容忍的型型 I 與型與 II 誤差之機率分別為 α 與 β, 則所需樣本大小 n 可由 C =p 0 +Z α/2 C =p 1 Z β 兩式求之 p 0 ( 1 p 0 ) n p 1 ( 1 p 1 ) n 9 71

樣本大小的決定 由 C = C, C 可得 p 0 +Z α/2 p p ) 0 ( 1 0 = p 1 Z β n p 1 ( 1 p 1 ) n 故 n = [(Z α/2 p ( 1 ) + Z β )/(p 1 p 0 )] 2 0 p p ( 1 ) 0 1 p 1 9 72

樣本大小的決定 p 之雙尾檢定在特定的 α 與 β 之下, 樣本大小 n 之決定 9 73

樣本大小的決定 b 母體比例 p 的單尾檢定之樣本數 仿照母體平均數 μ 的單尾檢定之推理方式得 n = [(Z α p ( 1 ) + Z β )/(p 1 p 0 )] 2 0 p p ( 1 ) 0 1 p 1 9 74

母體比例 p 的樣本數決定之範例 在市場佔有率的調查中, 某公司欲了解其某項產品的市場佔有率是否為 05,, 於是檢定如下的問題 : H0: p= 05 H1: p 05 假定當市場佔有率真正為 06 時, 所期望的檢定力能高達 099; ; 又, 可容忍的最大型 I 誤差之機率訂為 005, 試求出符合此一假設檢定之要求所需的樣本為多少? 9 75

母體比例 p 的樣本數決定之解答 p 0 = 05 p 1 = 06 α = 005 β = 1 099 = 001 z 0025 = 196 z 001 = 233 故 n = [(196 05 * 05 + 233 0 6 * 0 4 )/(06 05)] 2 = 45006 應取 451 個樣本 9 76

母體變異數的檢定 χ 2 Test of Variance 9 77

單母體的各種檢定 One Population Large Sample Mean Small Sample Proportion Variance Z Test (1 & 2 tail) t Test (1 & 2 tail) Z Test (1 & 2 tail) χ 2 Test (1 & 2 tail) 9 78

樣本變異數 S 2 的抽樣分配 設 X1, X2,, Xn 為取自一常態母體的一組隨機樣本, 則統計量 S 2 = Σ (Xi X) 2 /(n 1) 稱為樣本變異數 ( 其中 X = Σ X i /n) 9 79

樣本變異數 S 2 的抽樣分配 設 X1, X2,, Xn 為取自一常態母體的一組隨機樣本且母體變異數為 σ 2, 則 (n 1)S 2 / σ 2 ~ χ 2 n 1 自由度 n 1 之卡方分配 9 80

樣本變異數 S 2 的抽樣分配 卡方分配的曲線具有下列性質 : 1 χ 2 曲線並非對稱的且為右偏的分配曲線 2 χ 2 值必為正數, 故 χ 2 曲線必在第一象線 3 χ 2 曲線隨著自由度的增加, 其變異數逐漸增大, 且曲線最高點逐漸下降並向右移動 9 81

樣本變異數 S 2 的抽樣分配 9 82 不同自由度的卡方曲線

樣本變異數 S 2 的抽樣分配 9 83 χ 2 分配之機率密度曲線

母體變異數的 χ 2 檢定 1 先前滿足假設母體為常態分配 2 母體變異數的 χ 2 test statistic 檢定統計 χ 2 =(n 1)s 2 / σ 2 0 根據虛無假設下的母體變異數 9 84

母體變異數的 χ 2 檢定範例 某廠商所製造的電池, 要求的產品規格是電池壽命之標準差至多為 09 年, 若從該產品中隨機抽出 10 個, 測定其樣本標準差為 12 年, 則在 α = 005 下檢定標準差是否至多為 09 年? 假設母體為常態分配 9 85

母體變異數的 χ 2 檢定解答 H0: Ha: α = df = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 86

母體變異數的 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 081 Ha: σ 2 > 081 α = df = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 87

母體變異數的 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 081 Ha: σ 2 > 081 α = 005 df = 10 1 = 9 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 88

母體變異數的 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 081 Ha: σ 2 > 081 α = 005 df = 10 1 = 9 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: reject Conclusion: 005 16919 9 89

母體變異數的 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 081 Ha: σ 2 > 081 α = 005 df = 10 1 = 9 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 9*(12) 2 /(09) 2 = 16 Decision: Conclusion: reject 005 9 90 16919

母體變異數的 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 081 Ha: σ 2 > 081 α = 005 df = 10 1 = 9 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 9*(12) 2 /(09) 2 = 16 Decision: 在 α = 05 下, 不拒絕 H 0 Conclusion: reject 005 9 91 16919

母體變異數的 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 081 Ha: σ 2 > 081 α = 005 df = 10 1 = 9 Critical Value(s): 9 92 16919 reject 005 Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 9*(12) 2 /(09) 2 = 16 Decision: 在 α = 05 下, 不拒絕 H 0 Conclusion: 沒有充分證據證明標準差超 過 009 年

單尾 χ 2 檢定動動腦想一想 大立沙拉油業務部要求每桶容量的標準差控制在 03 公升以下, 以避免因容量差異而引起不必要的困擾, 現品管人員抽取 51 桶沙拉油, 得其樣本標準差為 024 公升, 在顯著水準 005 下檢定是否合乎要求? 假設沙拉油容量是常態分配 9 93

單尾 χ 2 檢定解答 H0: Ha: α = df = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 94

單尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 009 Ha: σ 2 < 009 α = df = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 95

單尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 009 Ha: σ 2 < 009 α = 005 df = 51 1 = 50 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 96

單尾 χ 2 檢定解答 reject H0: σ 2 = 009 Ha: σ 2 < 009 α = 005 df = 51 1 = 50 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 005 347642 9 97

單尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 009 Ha: σ 2 < 009 α = 005 df = 51 1 = 50 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 50*(24) 2 /(03) 2 = 32 Decision: Conclusion: reject 005 347642 9 98

單尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 009 Ha: σ 2 < 009 α = 005 df = 51 1 = 50 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 50*(24) 2 /(03) 2 = 32 Decision: 在 α = 05 下, 拒絕 H 0 Conclusion: reject 005 347642 9 99

單尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 009 Ha: σ 2 < 009 α = 005 df = 51 1 = 50 Critical Value(s): reject Test Statistic: χ 2 = (n 1)s2/ σ20 = 50*(24)2/(03)2 = 32 Decision: 在 α = 05 下, 拒絕 H 0 Conclusion: 有充分證據證明容量標準差 005 347642 合乎要求 9 100

雙尾 χ 2 檢定動動腦想一想 盒裝玉米脆片重量標準差是否如標籤上所載為 2 公克? 今隨機抽取 5 盒, 重量如下 : 82 81 78 80 82 在顯著水準 005 下檢定之? 假設盒裝玉米脆片重量是常態分配 9 101

雙尾 χ 2 檢定解答 H0: Ha: α = df = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 102

雙尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 4 Ha: σ 2 4 α = df = Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 103

雙尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 4 Ha: σ2 4 α = 005 df = 5 1 =4 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 104

雙尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 4 Ha: σ 2 4 α = 005 df = 5 1 = 4 S 2 = 28 Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 9 105

雙尾 χ 2 檢定解答 reject H0: σ 2 = 4 Ha: σ 2 4 α = 005 df = 5 1 = 4 S 2 = 28 Critical Value(s): reject Test Statistic: Decision: Conclusion: 0025 04844 111433 0025 9 106

雙尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 4 Ha: σ 2 4 α = 005 df = 5 1 = 4 S 2 = 28 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 4*28/4 = 28 Decision: Conclusion: reject reject 0025 04844 111433 0025 9 107

雙尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 4 Ha: σ 2 4 α = 005 df = 5 1 = 4 S 2 = 28 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 4*28/4 = 28 Decision: 在 α = 05 下, 不拒絕 H 0 Conclusion: reject reject 0025 04844 111433 0025 9 108

雙尾 χ 2 檢定解答 H0: σ 2 = 4 Ha: σ 2 4 α = 005 df = 5 1 = 4 S 2 = 28 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 4*28/4 = 28 Decision: 在 α = 05 下, 不拒絕 H 0 Conclusion: reject 9 109 reject 0025 04844 111433 0025 沒有充分證據證明玉米脆片重量標準差與標籤所載不符

型 II 誤差機率的計算 Calculating Type II Error Probabilities 9 110

檢定力 Power of Test 1 正確拒絕虛無假設 H 0 為偽的機率 2 以 1 β 來表達 3 以此來決定檢定的適切性 4 受下列因素的影響 母體參數的真實值 訂定的顯著水準 α 標準差以及樣本數 n 9 111

檢定力的求解 9 112

檢定力的求解 Hypothesis: H0 : µ = 368 Ha : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 9 113

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 接受區 Do not reject µ = 368 0 X 1 根據 H 0 畫出 X 分配 9 114

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 1 = 360 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 接受區 Do not reject µ = 368 0 X 1 根據 H 0 畫出 X 分配 2 9 115

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 1 = 360 2 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 3 根據 H 1 畫出 X 分配 接受區 Do not reject µ = 368 0 X 1 9 116 µ = 360 1 X

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 1 = 360 2 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 3 根據 H 1 畫出 X 分配 接受區 Do not reject µ = 368 0 X 1 9 117 µ = 360 1 X

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 1 = 360 2 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 3 根據 H 1 畫出 X 分配 接受區 Do not reject µ = 368 0 X 1 9 118 µ = 360 1 X

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 1 = 360 2 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 3 根據 H 1 畫出 X 分配 檢定力 1 β 接受區 Do not reject µ = 368 0 X β 型 ΙΙ 誤差 1 9 119 µ = 360 1 X

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 1 = 360 2 9 120 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 3 根據 H 1 畫出 X 分配 CV = µ 1 = 360 363065 接受區 Do not reject µ = 368 0 µ 0 Z α = 368 1 645 X σ n 15 25 X 1 4 = 363 065

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 1 = 360 2 9 121 5 Z 表查出 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 µ = 368 0 X CV µ 1 Z = 4 σ β = 154 n 363 065 360 1 β =846 = = 1 022 15 µ 25 1 = 360 363065 3 根據 H 1 畫出 X 分配 接受區 Do not reject 1

檢定力曲線 Power Curves 9 122

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 2 = 362 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 接受區 Do not reject µ = 368 0 X 1 根據 H 0 畫出 X 分配 2 9 123

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 2 = 362 2 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 3 根據 H 1 畫出 X 分配 檢定力 1 β 接受區 Do not reject µ = 368 0 X β 型 ΙΙ 誤差 1 9 124 µ 2 = 362 X

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 2 = 362 2 9 125 5 Z 表查出 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 µ = 368 0 X CV µ 2 Z = 4 σ β = 3632 n 1 β 363 065 362 = = 0 355 =6368 15 25 µ 2 = 362 363065 3 根據 H 1 畫出 X 分配 接受區 Do not reject 1

檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 n=25, σ=15, α=05 真實情形之母數 : 假設 µ 3 = 365 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 接受區 Do not reject µ = 368 0 X 1 根據 H 0 畫出 X 分配 2 9 126

真實情形之母數 : 假設 µ 3 = 365 2 9 127 5 Z 表查出 檢定力的求解 Hypothesis: H 0 : µ = 368 H 1 : µ < 368 標準誤拒絕區 σ/ n n = Reject 15/ 25 α = 05 3 根據 H 1 畫出 X 分配 1 β =2678 363065 µ = 368 0 µ 3 = 365 接受區 α=05 Do not reject n=25, σ=15, β = 7422 X 1 4 CV µ 3 Z = σ n 363 065 365 = = 0 645 15 25

檢定力的求解 Hypothesis: H0 : µ = 368 Ha : µ < 368 9 128 n=25, σ=15, α=05 由上述討論, 當真實情形之母數分別為 : µ 1 = 360, µ 2 = 362, µ 3 = 365 時所求得之 檢定力 1 β 分別為 0846,06368,02578 可看出當真實 µ 值與假設之 µ 值相差越小時, 檢定力越弱 ; 反之, 則越強

檢定力曲線 Power Curves 檢定力 Power 單尾 H a : µ < µ 0 所有可能的對立假設值 Possible True Values for µ 1 根據虛無假設 µ 0 = 368 9 129

檢定力曲線 Power Curves 檢定力 Power 單尾 H a : µ < µ 0 檢定力 Power 單尾 H a : µ > µ 0 所有可能的對立假設值 9 130 所有可能的對立假設值 Possible True Values for µ 1 Possible True Values for µ 1 雙尾 H a : µ µ 0 檢定力 Power 所有可能的對立假設值 Possible True Values for µ 1 根據虛無假設 µ 0 = 368

檢定力曲線 Power Curves 同理, 在檢定 H 0 :p p = p 0 檢定力 Power 單尾 H a : p < p 0 檢定力 Power 單尾 H a : p > p 0 所有可能的對立假設值 Possible True Values for p 1 雙尾 9 131 檢定力 Power 雙尾 H a : p p 0 所有可能的對立假設值 Possible True Values for p 1 所有可能的對立假設值 Possible True Values for p 1 根據虛無假設 p = p 0

檢定力曲線 Power Curves 影響檢定力的因素 : (1)) 樣本大小 ; 若樣本數 n 越大, 則檢定力越大 (2)) 顯著水準 α; ; 若 α 越大, 則檢定力越大 (3)) 樣本統計量的選擇 ; 如檢定 μ 時, 若不採 X, 而採 Med,, 則 β 較大, 即檢定力較小 (4)) 決策法則的選擇 ; 採雙尾 單尾檢定決策法則不同, 則檢定力不同 9 132

單母體假設檢定綜合問題 9 133

單母體假設檢定綜合問題 一 當雷達螢幕上出現不明物, 警報單位有下列兩種假設及其決定 1 一切安好, 僅雷達螢幕受干擾而已, 不拉警報 2 敵機來襲, 拉警報 若型 Ⅱ 錯誤為一切安好但拉警報, 問虛無假設 對立假設各代表什麼意義? 9 134

單母體假設檢定綜合問題解答 犯型 Ⅱ 錯誤為當虛無假設當虛無假設為偽時卻接受為偽時卻接受虛無假設 就題意為一切安好但拉警報, 故 H0: 敵機來襲 H1 : 一切安好 9 135

單母體假設檢定綜合問題 二 在某已知情況中, 假設在 α=005 下拒絕 H 0, 試回答下列各問題並說明理由 : (a) 在 α=002 下, 是否拒絕 H 0? (b) 在 α=010 下, 是否拒絕 H 0? (C) p 值是否大於 005? 9 136

單母體假設檢定綜合問題解答 因為顯著水準 α 越大所對應之拒絕域越大, 以 Z 檢定之右尾檢定為例 : Reject 10 Reject 05 Reject 02 0 128 Z 9 137 0 1645 Z 0 2055 Z

單母體假設檢定綜合問題解答 故 (a) α = 005 對應之拒絕域大於 α = 002 對應之拒絕域即 : 落入 α = 005 對應之拒絕域者未必亦落入 α = 002 對應之拒絕域, 因此在 α = 002 下未必拒絕 Η 0 9 138

單母體假設檢定綜合問題解答 (b) α = 005 對應之拒絕域小於 α = 010 對應之拒絕域即 : 落入 α = 005 對應之拒絕域者必落入 α = 010 對應之拒絕域, 因此在 α = 010 下亦拒絕 Η 0 9 139

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) 若在 α = 005 下拒絕域 H 0 表示檢定統計量值落入拒絕域內故等於檢定檢定統計量值或比檢定檢定統計量值更極端之所有可能值之機率, 即 p 值必小於 α 9 140

單母體假設檢定綜合問題 三 某公司甲生產線生產奶茶, 乙生產線生產咖啡, 在廣告上都聲稱平均容量不少於 250cc cc, 消基會從甲 乙兩條生 產線各取 50 瓶飲料檢驗其容量, 在 α = 005 下, (a) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc cc, 標準差是 4cc,, 而乙生產線生產的咖啡平均容量是而 249cc cc, 標準差是 4cc, 試問那一生產線被發現廣告不實的機會較大? 為什麼? 9 141

單母體假設檢定綜合問題 (b) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc cc, 標準差是 4cc,, 而乙生產線生產的咖啡平均容量是而 248cc cc, 標準差是 3cc, 試問那一生產線被發現廣告不實的機會較大? 為什麼? (c) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc cc, 標準差是 4cc, 而乙生產線生產的咖啡平均容量是 249cc cc, 標準差是 3cc, 試問那一生產線被發現廣告不實的機會較大? 為什麼? 9 142

單母體假設檢定綜合問題解答 H0 : µ = 250 Ha : µ < 250 α=05 (a) 甲生產線生產的奶茶, 因兩者之標準差相同, 而甲生產 線生產的奶茶平均容量較小, 即比假設值小較多, 故被 發現廣告不實的機會較大 (b) 乙生產線生產的咖啡, 因兩者之平均容量相同, 而乙生 產線生產的咖啡標準差較小, 表乙生產線生產的咖啡容 量大都集中在 248cc 左右, 故被發現廣告不實的機會較大 9 143

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) 在 α = 005 下, 拒絕域 : z < z 005 (=1645), 甲生產線生產的奶茶容量檢定力為 09706, 乙生產線生產的咖啡容量檢定力為 07612 即甲生產線生產的奶茶容量檢定力較大 表當兩種飲料平均容量均少於 250cc 時, 甲生產線生產的奶茶被發現廣告不實的機會較大 9 144

單母體假設檢定綜合問題 四 某公司宣稱其生產之輪胎壽命為常態分配, 且平均壽命至少為 35 千哩, 現抽取該公司生產之輪胎 10 個, 得其平均壽命為 32 千哩, 標準差為 359 千哩, 試以 α = 005 檢定該公司所宣稱者是否屬實? 9 145

單母體假設檢定綜合問題解答 H0: µ = 35 Ha: µ < 35 α = 05 df = 10 1 = 9 Critical Value(s): Reject 05 1833 1729 9 146 0 t t Test Statistic: X µ 32 35 = = = 2 6426 S 3 59 n 10 Decision: 在 α = 05 下, 拒絕 H 0 Conclusion: 有充分證據證明該公司所宣稱輪胎平均壽命至少 35 千哩有誇大其辭之嫌

單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以 p 值檢定法解之 : t = X µ 32 35 = S 3 59 n 10 P 值 : p( t < 22426 ), df = 9 p( t < 2821 ) < p( t < 22426 ) < p( t < 2262 ) 即 p( t < t 001 ) < P 值 < p( t < t 0025 ) 故 P 值 < 0025 < α( = 005 ) 即在 α = 005 下拒絕 H 0 9 147 = 2 6426

單母體假設檢定綜合問題 五 3 年前的一次普查中, 某一社區有 20 %的家庭屬於低收入戶, 欲了解如今此社區低收入戶之比例是否改變, 隨機抽取 400 戶該社區居民, 發現其中有 70 戶為低收入戶, 在 α = 005 下試檢定之 9 148

單母體假設檢定綜合問題解答 H0: p = 02 Ha: p 02 α = 05 n = 400 Critical Value(s): Reject H 0 Reject H 0 025 196 9 149 0 196 025 Z Test Statistic: 70 ˆ 0 2 p p 0 Z = 400 = 1 25 p 0 ( 1 p 0 ) 0 2 ( 1 0 2 ) n 400 Decision: 在 α = 05 下不拒絕 H 0 Conclusion: 並無充分證據證明該社區低收入戶之比例與 3 年前不同

單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以 p 值檢定法解之 : 70 ˆ 0 2 p p 0 Z = 400 = 1 25 p 0 ( 1 p 0 ) 0 2 ( 1 0 2 ) n 400 p 值 = 2p( 2 Z > 125)= = 2 01056 = 02112 > α(= = 005) 即在 α= = 005 下不拒絕 H 0 9 150

單母體假設檢定綜合問題 六 欲了解某賽車選手對於控制車速之穩定性, 故觀察其跑完一圈所需時間之差異程度, 經測試該選手 15 次跑完一圈平均所需時間為 5823 秒, 且標準差為 85 秒, 試以 α=005 檢定該選手跑完一圈所需時間之標準差是否超過 7 秒? 9 151

單母體假設檢定綜合問題解答 H0: σ 2 = 49 Ha: σ 2 > 49 α = 005 df = 15 1 = 14 S 2 = 7225 Critical Value(s): reject 005 Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 14 7225/49 = 2064 Decision: 在 α = 05 下, 不拒絕 H 0 Conclusion: 沒有充分證據證明該選手跑完一 圈所需時間之標準差超過 7 秒 9 152 23685

單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以 p 值檢定法解之 : χ 2 = (n-1)s 2 / σ 2 0 = 14 7225/49 = 2064 p 值 = p( χ 2 > 2064 ), df = 14 p( χ 2 > 2064 )> p( χ 2 > 21064 ) 即 p 值 > p( χ 2 > χ 2 01 ) 故 p 值 > 01 >α( = 005) 即在 α = 005 下, 不拒絕 H 0 9 153

單母體假設檢定綜合問題 七 某公司宣稱其衛生紙之市場佔有率至少為四成, 今以 α = 005 檢定此問題, 假定該公司所生產之衛生紙市 場佔有率為三成五時所期望的檢定力高達 099,, 試求 出符合此一假檢定之要求所需之樣本為多少? 9 154

單母體假設檢定綜合問題解答 p 0 = 04 p 1 = 035 α = 005 β = 1 099 = 001 z 005 = 1645 z 001 = 233 n = [(Z α p 1 ) + Z β p 1 ) )/(p 1 p 0 )] 2 0 ( p 0 1 ( p 1 故 n = [(1645 04 * 06 + 233 035 * 065 )/(04 035)] 2 = 53639 應調查 537 位購買衛生紙之顧客 9 155

單母體假設檢定綜合問題 八 一雜誌社宣稱其讀者中至少有 25 %為大學在學生, 今 隨機抽取 200 讀者中有 42 位為大學生, 試以 α = 005 檢 定之 9 156

單母體假設檢定綜合問題解答 H0: p = 025 Ha: p < 025 α = 05 n = 200 Critical Value(s): 05 1645 9 157 0 Z Test Statistic: 42 ˆ 0 25 p p 0 Z = 200 = 1 31 p 0 ( 1 p 0 ) 25 ( 1 25 ) n 200 Decision: Reject 在 α = 05 下不拒絕 H 0 Conclusion: 並無充分證據證明該雜誌社讀者中大學在學中所佔比例少於 25 %

單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以 p 值檢定法解之 : 42 ˆ 0 25 p p 0 Z = 200 = 1 31 p 0 ( 1 p 0 ) 25 ( 1 25 ) n 200 p 值 :p(z: z < - 131)= = 00951 > α( = 005 ) 即在 α = 005 下, 不拒絕 H 0 9 158

單母體假設檢定綜合問題 九 金牌巧克力之重量標準差為 15 克, 現隨機抽取 36 包, 得其平均重量為 106 克, 試以 α = 005 下檢定此牌巧克力之平均重量是否大於 100 克? 9 159

單母體假設檢定綜合問題解答 H0: µ = 100 Ha: µ > 100 α = 05 n = 36 Critical Value(s): 9 160 Test Statistic: X µ 106 100 Z = = = + 2 4 σ 15 n 36 Decision: Reject 在 α = 05 情形下拒絕 H o 05 Conclusion: 有充分證據證明此牌巧克 0 1645 Z 力平均重量大於 100 克

單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以 p 值檢定法解之 : Z = X µ 106 100 = = + 2 4 σ 15 n 36 p 值 :p(z: z > 24)= = 00082 < α( = 005 ) 即在 α = 005 下, 拒絕 H 0 9 161

單母體假設檢定綜合問題 十 欲檢定甲公司新上市之 2000 cc小客車在高速公路是否 平均每公升可跑里程數在 12 公里以上, 今隨機選取該 種車 49 輛, 在高速公路上測試, 得到平均每公升可跑 135 公里, 標準差 40 公里 : (a)) 在 α = 005 下檢定之 (b) 若該種車平均每公升可跑里程數之真實值 125 13 135 或 14 公里, 分別求其對應之檢定力, 並繪檢定 力曲線圖 9 162

單母體假設檢定綜合問題解答 (a) H0: µ = 12 Ha: µ > 12 α = 05 n = 49 Critical Value(s): 9 163 05 0 1645 Z Test Statistic: X µ 13 5 12 Z = = = + 2 625 σ 4 0 n 49 Decision: Reject 在 α = 05 情形下拒絕 H o Conclusion: 有充分證據證明該種車平均每公升可跑里程數在 12 公里以上

單母體假設檢定綜合問題解答 (b) 右尾檢定之拒絕域 : X > μ 0 + z α σ/ 即 X > 12 + 1645 4/ 49 = 1294 1 β(125) = p( p X > 1294! μ = 125 ) = p( p z > (1294 125)/(4/ 125)/(4/ 49 )) = p( p z > 077)= = 02206 1 β(130) = p( p X > 1294! μ = 130 ) = p( p z > (1294 130)/(4/ 130)/(4/ 49 )) = p( p z > 0105 0105)= = 05418 同理, 1 β(135) = 08365 檢定力 1 β(140) = 09682 Power 9 164 n 12 125 13 135 14 μ

單母體假設檢定綜合問題 十一 欲檢定 H0:μ = 3 Ha: μ 3 如果可容忍的型 Ⅰ 錯誤 型 Ⅱ 錯誤機率分別為 α = 005 β = 02, 其中 β 係當 μ 之真實值為 294 下所求出的型 Ⅱ 錯誤機率, 已知母體標準差 σ = 018, 試求出樣本數已符合 α 與 β 之要求 9 165

單母體假設檢定綜合問題解答 H 0 :μ = 3 Ha: μ 3 α = 005 β = 02 z 0025 = 196 z 02 = 084 d = 3 294 = 006 n= σ 2 (Z α/2 + Z β ) 2 /d 2 = (018) 2 (196 + 084) 2 /(006) 2 = 7056 應取 71 個樣本 9 166

單母體假設檢定綜合問題 十二 甲工廠聲稱其生產之水管直徑標準差是 1 公分, 現 由該廠生產之水管抽取 20 條水管, 得其標準差為 14 公分, 在 α = 005 下, 檢定甲工廠之聲稱是否值得 採信? 假設水管直徑是常態分配 9 167

單母體假設檢定綜合問題解答 H0: σ 2 = 1 Ha: σ 2 1 α = 005 df = 20 1 = 19 S = 14 Critical Value(s): Test Statistic: χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 19*196/1 = 3724 Decision: 在 α = 05 下, 拒絕 H 0 Conclusion: reject reject 0025 89065 328523 0025 有充分證據證明甲工廠所宣稱的不值得採信 9 168

單母體假設檢定綜合問題解答 本題若以 p 值檢定法解之 : χ 2 = (n 1)s 2 / σ 2 0 = 19*196/1 = 3724 p 值 :2: p( χ 2 > 3724) p( χ 2 > 3858 )< < p( p χ 2 > 3724 ) < p( p χ 2 > 3619 ) 2 p( p χ 2 > χ 2 0005 )< < p 值 < 2 故 p 值 < 002 < α( ( = 005 ) 即在 α = 005 下, 拒絕 H 0 9 169 < 2 p( χ 2 > χ 2 001 001 )

單母體假設檢定綜合問題 十三 設環保署欲徵 3 %之空氣污染稅, 乃隨機抽取 400 名 機車族調查, 若有 220 人至 260 人贊成課徵空氣污染 稅, 則謂有 60 %之機車族贊成課徵此稅 ; (a) 假設全體機車族有 60 %贊成課徵此稅, 求犯型 Ⅰ 錯誤之機率 α 值 (b) 假設全體機車族實際僅有 48 %贊成課徵此稅, 求犯型 Ⅱ 錯誤之機率 β 值 9 170

單母體假設檢定綜合問題解答 H 0 :p p = 06 Ha: p 06 X 表所抽取之 400 名機車族中贊成課徵此稅的人數, 接受域 : 220 X 260 (a) α= = p( p 拒絕 H 0 H 0 為真 )=) = 1 - p( 接受 H 0 H 0 為真 ) = 1 - p( 220 X 260 p = 06 ) = 1 - p( z ) = 1 - p( -204 z 204)= = 00414 9 171 0 55 0 6 0 6 * 0 4 400 0 65 0 6 0 6 * 0 4 400

單母體假設檢定綜合問題解答 (b) β= = p( p 接受 H 0 H 0 為偽 ) = p( 220 X 260 p = 048 ) 0 55 0 48 = p( p 0 48 * 0 52 z 0 48 * 0 52 ) 0 48 * 0 52 400 0 65 0 48 = p( p 08 z 68)= = 02119 0 48 * 0 52 400 9 172

單母體假設檢定綜合問題 十四 某校為檢定學生患近視之比例是否為 6 成, 隨機在該校 學生中抽取 100 位, 設 X 表示其中患有近視之人數, 若 50 X 70, 則接受虛無假設 H 0 :p p = 06 (a) 寫出上述檢定的拒絕域 (b) 求出該檢定的顯著水準 α (c) 試分別求當 p = 056 058 062 及 064 時之檢定力 9 173

單母體假設檢定綜合問題解答 (a)h 0 :p p = 06 Ha: p 06 就題意, 若 50 X 70, 則接受 H 0 故拒絕域 :X: 49 或 X 71 (b) α= = p( p 拒絕 H 0 H 0 為真 )=) = 1 - p( 接受 H 0 H 0 為真 ) 連續性修正 9 174 = 1 - p( 50 X 70 p = 06 ) 0 495 0 6 0 6 * 0 4 100 0 705 0 6 0 6 * 0 4 100 = 1 - p( z ) = 1 - p( -214 z 214)= = 00324

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) (1) 當真實 p 值 = 056 β= = p( p 接受 H 0 H 0 為偽 ) 連續性修正 = p( 50 X 70 p = 056 ) 0 495 0 56 0 56 * 0 44 100 0 705 0 56 0 56 * 0 44 100 = p( p z ) = p( p -131 z 292)= = 09031 檢定力 1 - β = 00969 9 175

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) (2) 當真實 p 值 = 058 β= = p( p 接受 H 0 H 0 為偽 ) 連續性修正 = p( 50 X 70 p = 058 ) 0 495 0 58 0 58 * 0 42 100 0 705 0 58 0 58 * 0 42 100 = p( p z ) = p( p -172 z 253)= = 09516 檢定力 1 - β = 00484 9 176

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) (3) 當真實 p 值 = 062 β= = p( p 接受 H 0 H 0 為偽 ) 連續性修正 = p( 50 X 70 p = 062 ) 0 495 0 62 0 62 * 0 38 100 0 705 0 62 0 62 * 0 38 100 = p( p z ) = p( p -258 z 175)= = 09550 檢定力 1 - β = 00450 9 177

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) (4) 當真實 p 值 = 064 β= = p( p 接受 H 0 H 0 為偽 ) 連續性修正 = p( 50 X 70 p = 064 ) 0 495 0 64 0 64 * 0 36 100 0 705 0 64 0 64 * 0 36 100 = p( p z ) = p( p -302 z 135)= = 09102 檢定力 1 - β = 00898 9 178

單母體假設檢定綜合問題解答 當真實值 p = 056 058 062 及 064 時之檢定力分別為 00969 00484 00450 及 00898 表示當真實值越遠離假設值 06 時檢定力越強 就本題之檢定法則 即若 50 X 70 70, 則接受 H 0, 並非好的檢定法則, 因為雖然如此之法則使顯著水準 α(= = 00324) 值甚低, 但相對的檢定力也極弱 9 179

單母體假設檢定綜合問題 十五 某成衣廠商過去平均每小時生產 500 件成衣, 現該廠為 是增加生產效率, 聘請專家設計一套生產流程, 從新的 生產流程中取 36 個小時為樣本, 平均每小時可生產 560 件成衣, 標準差為 120 件成衣 : (a)) 在 α = 005 下檢定新生產流程的有效性 (b) 若在新生產流程下, 每小時真實平均生產 540 件成衣 9 180, 在 α = 005 下求型 Ⅱ 錯誤之機率 β 值 (c) 若欲將 β 值降為約 02,, 則 α 會增加為多少?

單母體假設檢定綜合問題解答 (a) H0: µ = 500 Ha: µ > 500 α = 05 n = 36 Critical Value(s): 9 181 Reject 05 0 1645 Z Test Statistic: Z = X µ 560 500 = σ 120 n 36 = 3 Decision: 在 α = 05 情形下拒絕 H o Conclusion: 有充分證據證明新的生產流程效率提高了

單母體假設檢定綜合問題解答 (b) 在 α = 005 下, 拒絕域 : X > 500 + 1645 = 5329 β= = p( p 接受 H 0 H 0 為偽 ) = p( X 5329 μ= = 540) 532 9 540 120 = p( p z 120 )= = p( p z -0355)= = 03613 36 36 9 182

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) β = 02 = p( 接受 H 0 H 0 為偽 ) = p( X x μ= = 540) x x 540 = p ( z 120 ) 540 120 36 x 5232 084 36 9 183

單母體假設檢定綜合問題解答 (c) α = p( p 拒絕 H 0 H 0 為真 ) = p(x X > 5232 μ= = 500 ) 9 184 523 2 500 = p ( z > 120 ) 36 = p ( z > 116 )= = 0123 α 增加為 0123 由 (b)(( )(c)) 得 α = 005 時, β = 03613 β = 02 時, α = 0123 即 β 降低時 α 升高

單母體假設檢定綜合問題 十六 若把審判當作一種檢定 ( 有罪或無罪 ) 的方法, 而虛無 假設為被告是清白的, 請問 (a) 犯型 Ⅰ 錯誤及犯型 Ⅱ 錯誤分別代表什麼意義? (b)) 若審判標準是 絕不冤枉好人 若, 請問此種審判可 能造成什麼後果? 9 185

單母體假設檢定綜合問題解答 H 0 : 被告是清白的 Ha : 被告是有罪的 (a) 型 Ⅰ 錯誤 : 被告是清白的卻被判有罪 型 Ⅱ 錯誤 : 被告是有罪的卻被判無罪 (b)) 若審判標準是 絕不冤枉好人 若, 即希望犯型 Ⅰ 錯誤之 機率降低, 故不輕易判罪, 則易導致 縱容壞人 的後 果 9 186

單母體假設檢定綜合問題 十七 給定顯著水準 α, 若檢定統計量可以在雙邊檢定下拒絕檢定下拒絕 虛無假設, 請問該檢定統計量是否也能以相同之顯著水 準 α 在單邊檢定下拒絕虛無假設? 反之, 給定顯著水準 α, 若檢定統計量可以在單邊檢定下拒絕虛無假設檢定下拒絕虛無假設, 請 問該檢定統計量是否也能以相同之顯著水準 α 在雙邊檢 定下拒絕虛無假設? 9 187

單母體假設檢定綜合問題解答 以 α = 005 為例 z 005 = 1645 z 0025 = 196 若在雙尾檢定時拒絕虛無假設 則 Z > z 0025 (= 196) Z > z 005 (= 1645) 即在相同顯著水準下, 若在雙尾雙尾檢定時拒絕虛無假設, 則在單尾單尾檢定時檢定時亦必拒絕虛無假設 反之, 在相同顯著水準下, 若在單尾單尾檢定時拒絕虛無假設, 則在雙尾雙尾檢定時檢定時未必拒絕虛無假設 9 188

單母體假設檢定綜合問題 十八 檢定 H 0 :μ = 250 Ha: μ > 250 在 α= = 005 下, 若欲使 μ = 251 的檢定力是 080,, 而已知 母體標準差是 23,, 求樣本數 n? 9 189

單母體假設檢定綜合問題解答 H 0 :μ = 250 Ha: μ > 250 α= = 005 σ= = 23 拒絕域 :X: X > μ 0 + Z σ α / n = 250 + 1645 23 / 1 β = p( p X > 250 + 1645 23 / n μ = 251) 9 190 250 251 2 3 = p(z p z > + 1645) = p(z p z > (-( /23) + 1645)= = 08-084 (- n /23) + 1645 n n n 3267 應取樣本數 33 n

結論 1 區別各種的假設 2 假設與檢定的過程 3 P 值 p value 的觀念與應用 4 單母體假設與檢定問題的解決 5 假設的檢定力與應用 9 191

關於本課程 請你靜下來想一想並回答下列問題 : 1 你此堂課學到的最重要的觀念為何? 2 是否還有相關問題與疑問? 3 如何改善今後的學習? 9 192