數之樂 : 小學生數學輔助教材 輔導策略 老師要在日常的課堂教學中觀察學生, 如發覺學生有困難, 就要為學生進行基線測驗, 並就其困難所在, 從教材中選取適當的輔導策略來輔導學生 1. 常見的困難學生在做減法運算過程中, 有十四種常犯的錯誤類型 在這些常犯的錯誤中, 有些是因為疏忽 有些是概念上不正確 現簡述其中一些的困難 : 抄寫錯誤 橫式 10880= 錯看運算符號橫式 1816= 直式 百位 十位 1 8 0 8 0 1 0 0 直式 十位 1 8 + 1 6 3 4 把十位和數字抄錯將減法當作加法計算 數字計算錯誤 兩數直接相減的計算錯誤 橫式 75= 直式 7 5 3 基本數字事實不熟悉 橫式 直式 4629= 十位 4 6 2 9 2 0 不夠減, 錯誤地用 0 代替 210
不了解減法的意義, 導致錯誤的運算 3. 12 6 = 14 4. 40 7 = 47 5. 24 19 = 15 不明白位值, 以大數減細數 不懂減法的計算方式 十位 5 9 4 1 5 十位多減了 4 借位錯誤 5213= 十位 5 2 1 3 3 7 忘了退位後要加回數 5018= 十位 5 0 1 8 4 2 忘了十位已退 1 506118= 百位 十位 5 0 6 1 1 8 3 9 8 不論何時都借位, 忘了十位已退 1 被減數帶有 0 所造成的錯誤 百位 十位 5 0 0 1 1 8 4 0 0 遇到 0 時不借 位, 而直接當作答案抄下 211
2. 減法運算 a. 橫式和直式書寫 橫式和直式各部分的名稱例如 : 5 被減數 2 減數 5 被減數 = 3 差 2 減數 3 差 橫式的書寫利用圖像和算式表學習橫式書寫例如 : 減 等於 學生說出 3 減 2 等於 1 並將 3 2 = 1 寫在算式表上 ( 請參考練習卡 1) 212
減簡報 4 防止錯誤書寫直式學生將橫式轉為直式計算時, 可能會出現抄寫錯誤例如 :23 寫為 32, 數位未對齊 等情況建議 : 書寫數字時, 請學生讀出數字用顏色卡寫上被減數 減數及減號, 然後從橫式移往直式位置 38 38 23 23 藍紅黃 使用方格抄寫及對位 當學生已熟習橫式的書寫, 就可以讓學生利用位值表將橫式轉為直式 十位 十位 使用箭咀指示計算方向例如 :79 26 = 53 把用顏色標示, 以作視覺提示對位 ( 請參考練習卡 2) 7 9 2 6 5 3 213
b. 減法 ( 不退位 ) 畫圈圈 先用合十卡熟練 10 以內的減法 ( 請參考練習卡 3) 解密碼 : 把與減法有關的字詞圈起, 然後試畫圈圈和列式 1) 盒子裏裝有 3 件西餅, 弟弟取去 1 件, 還有多少件? 畫圈圈 : 列式 :3 1 = 2 2) 樹上長了 4 個木瓜, 早上掉下 2 個, 樹上還剩木瓜多少個? 畫圈圈 : 列式 : 3) 牆上掛了 5 幅油畫, 工人移走 4 幅, 還有油畫多少幅? 畫圈圈 : 列式 : 2) 媽媽把 6 隻襪子掛在天台上晾曬, 一陣大風吹走了 3 隻, 還有襪子多少隻? 畫圈圈 : 列式 : 3) 小明有 8 張紙巾, 用了 2 張, 還剩下紙巾多少張? 畫圈圈 : 列式 : 214
4) 書櫃有 9 本畫冊, 媽媽拿走了 5 本, 還剩下畫冊多少本? 畫圈圈 : 列式 : 5) 哥哥有 9 個汽球, 妹妹有 5 個汽球, 哥哥比妹妹多幾個汽球? 畫圈圈 : 列式 :9 5 = 4 哥哥有 : 妹妹有 : 多 4 個汽球 6) 商店上午賣了 9 箱汽水, 下午再賣出 6 箱汽水, 上午比下午多賣出汽水幾箱? 畫圈圈 : 列式 : 上午 : 下午 : 7) 1A 班有 10 位同學乘搭校車,1B 班有 8 位同學乘搭校車,1B 班乘搭校車的同學比 1A 班的少幾位同學? 畫圈圈 : 列式 : 1A 班 : 1B 班 : 8) 小巴可載 16 人, 的士可載 5 人, 的士比小巴少載幾人? 畫圈圈 : 列式 : 小巴可載 : 的士可載 : 215
數之樂 : 小學生數學輔助教材 9) 盒子裏有棉花糖有 9 粒, 牛奶糖 6 粒, 兩款糖相差多少粒? 畫圈圈 : 列式 :9 6 = 3 棉花糖 : 牛奶糖 : 相差 10) 一隊男童軍有 10 人, 一隊女童軍有 8 人, 兩隊相差多少人? 畫圈圈 : 列式 : 男童軍 : 女童軍 : 11) 遊戲房可容納 8 位小朋友, 現有 3 位小朋友在房內玩耍, 還可讓多少位小朋友進入? 畫圈圈 : 遊戲房可容納 8 位小朋友 列式 :8 3 = 5 現有 3 位小朋友 還可進入 12) 過山車可載 7 位遊客, 已經上了 3 位遊客, 還可多載遊客幾位? 畫圈圈 : 列式 : 13) 管理員要到 9 樓巡查, 現已到達 6 樓, 他還要多走幾層才到達 9 樓? 畫圈圈 : 列式 : 14) 大堂可放 6 張椅子, 現已有 2 張, 還可多放椅子幾張? 畫圈圈 : 列式 : 216
直式算法運用直式表方便學生對齊相同數位計算提示口訣 : 相同數位要對齊, 從減起計算下列各題 1) 7 2 = 7 被減數 2 減數 差 2) 6 3 = 6 3) 9 5 = 數數策略 如果只是減去 1 2 或 3, 學生可用倒數的方法來計出答案例如 :7 2 倒數 6,5 答案為 5 7 2 = 5 橫式: 7 2 先畫 後刪去 2 點, 數得答案 5 直式: 7 2 5 ( 讓學生從 7 開始, 倒數 2 點, 數得答案 5) 217
使用數線協助計算 例如 : 姐姐有 10 粒糖, 妹妹取了其中的 5 粒, 問還剩糖多少粒? 還剩 :10 5 = 5 ( 粒 ) 可用的計算方法, 如 : 由 10 開始倒數 5 個數, 答案是 5; 5 10 逆運算如果減數大於 3, 可以做逆運算, 像加法填空一樣 8 + 5 = 13 8 +( )=13 13 8 = 5 ( ) + 5 = 13 13 5 = 8 指算透過指算和數數, 說出 10 以內兩數相減的結果例如 :10 4 合十卡利用合十卡練習十以內的減法例如 :10 3 = ( ) 老師展示合十卡如下: 10 個貝殼, 取去 3 個, 還餘 7 個老師展示橫式 10 7 = 3 ( 請參考練習卡 3 5 ) 218
數之樂 : 小學生數學輔助教材 實物模擬運算在直式上進行兩位數的減法 ( 不退位 ) 了解減法直式計算中位置對齊的重要性 提示 : 對, 十位對十位, 從減起 例如 : 24 13 = 拿出相對應的實物 ( 如鉛筆 ), 將鉛筆放到位值表中, 透過位值表的輔助, 認識十位數 數的意義 十位 1 捆有 10 枝 先排出 24 再取去 13, 剩餘的數 量 11 就是答案 將實物操作的過程與直式運算配對, 讓學生理解運算的道理 列式計算 24 13 = 11 十位 2 4 1 3 怎樣算先算 4 3=1 再算十位 20 10=10 1 1 備註 : 如學生在直式抄寫常對錯位, 老師可用顏色把標示, 以作視覺提示 219
鞏固活動 活動一 : 找算式老師讀出題目, 學生找出算式 5 減 3 是多少? 7 6 8 取去 4, 餘下多少? 8 4 9 減去 5 是多少? 5 3 7 與 6 相差多少? 9 5 小明有糖 10 粒, 吃去 3 粒, 還有多少粒? 10 3 活動二 : 減法摩天輪 先在大圓圈的中央及外圍寫上數字, 讓學生轉動摩天輪, 然後將圓圈中間的數字與箭咀所指的數字相減, 再說出答案 摩天輪遊戲 7 5 3 9 3 8 6 4 10 220
活動三 : 依情境寫出算式 老師口述生活情境 雪櫃裏有 8 個水果, 其中 3 個是蘋果, 其餘的是橙, 橙有多少個? 雪櫃裏共有 8 個蘋果和橙, 蘋果有 3 個, 橙有多少個? 和 的題意是一樣的, 只是敘述不同, 這可協助學生掌握語意 了解題意 : 讓學生自行說出題意, 並用自己的方法作答 老師把學生的解題方法記錄在黑板上 利用實物解題蘋果和橙共 8 個有蘋果 3 個? 個 圖解語意結構 : 老師畫出簡圖 蘋果 3 個 橙? 個 共有 8 個 8 3? 讓學生說出問題裏已知的數字, 及要找出的答案 221
依題意寫算式 工具 : 在兩張數字卡上各寫一個數目 (8,3) 三張卡片各寫上數學符號 ( 問號 加號和等號 ) 3 +? = 8 3 和? 是兩個部分, 8 是全部 從已知的 3 和 8 可以找出? 可以用減法 :8 3 = 5, 答案是 5 ( 請參考附件一 ) 活動四: 10 以內 減法練習尺 提供 減法練習尺 給學生練習減法 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 10 9 1 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 10 9 8 7 6 5 學生先透過聽覺和視覺的提示, 來掌握 10 以內的減法, 當學生熟習後, 可 嘗試將數字卡的 差 刪去, 讓學生一邊唸一邊填上答案, 來強化學習效果 ( 請參考附件二 ) 222
活動五:直式計算 提示 : 數位要對齊, 從減起 1) 28 2 = 2) 55 4 = 十位 十位 3) 35 34 = 4) 45 31 = 十位 十位 5) 39 14 = 6) 66 35 = 十位 十位 223
c. 減法 ( 退位 ) 常見的困難 例一 : 例二 : 1 6 2 2 1 9 1 8 1 3 2 1 3 不懂退位的運算, 使用大數減細數的錯誤算法 沒有退位 例三 : 5 0 1 8 4 0 學生對於 0 的意義了解不夠, 以為 0 只是代表沒有, 因此誤認為無法 計算 兩位數以上的減法, 必須讓學生明白 借位 的含義, 當上的減數大於被減數時, 就要向十位或百位去借 分辨退位和不退位的算法口算下面各題 : 第一組 : 28 4 = 58 4 = 68 4 = 第二組 : 23 6 = 63 6 = 43 6 = 老師問 : 哪一組題目你算得快些? 為什麼?( 第一組 夠減, 十位不變 ) 老師問 : 第二組計算時有什麼問題? ( 不夠減, 要向十位去借 ) 224
使用口訣 減簡報 5 減簡報 6 相同數位要對齊, 從減起 上 比 下 小, 向左借 4 2 1 8 減簡報 7 數上有 點, 見點少 1 2 4 減簡報 8 使用 退位點 作標記 減工作紙 5 減工作紙 9 十位上退 1, 十位的數就要少 1 借位時, 為了不忘記從十位退 1, 可在十位數上點一個退位點 4 2 1 8 2 4 二位數減一位數 提示口訣 : 相同數位要對齊, 從減起 上比下少, 退 1 作 10 要 加上退位點 數上有 點, 見點少 1 1) 258= 2) 339= 10 2 5 8 3 3 9 7 3) 538= 4) 745= 5 3 8 7 4 5 ( 請參考練習卡 2) 225
零的算法 在加法中一個數加上 0, 還得原數, 在減法中一個數減去 0, 結果也是原數例如:食物盒有 8 粒糖, 小明因為牙痛, 所以沒有吃糖, 問食物盒內仍有多少粒糖? 列式 :8 0 = 8 ( 粒 ) 如果被減數和減數相等, 它們的差就是 0 例如 :3 3 = 0 33 = 0 連續退位減法 利用故事情節讓學生認識連續退位例如 :304 29 = 1 步驟 : 上的 4 不夠減 9, 按規矩, 伸手向十位借 真湊巧, 剛好十位上是 0 十位上是 0, 於是便又按規矩向左邊的百位借 百位上的 3 說 : 我退一個給你, 你千萬要記得, 我的 1 到了你那裡就變成 10 個 10 做兩次的借位 ( 換算 ), 即將 100 換成 10 個十,1 個十換成 10 個一 提示 : 當 0 出現不管是或是十位時, 代表不用拿走甚麼, 又代表此欄中甚麼也沒有 226
掌握被減數中間 末尾有 0 的退位減法 例一 : 媽媽有 302 元, 買一個 159 元的書包後, 還剩多少元? 列式 : 302159= 百位十位 3 0 2 1 5 9 上的 2 減 9 不夠減怎麼辦? 不夠減, 十位上是 0 時, 要連續在被減數十位和百位上點上退位點 例二 : 2000628= 千位百位十位 2 0 0 0 6 2 8 應該怎樣退位? 因 2000 的, 十位 百位上的數是 0; 向千位借, 借 1 得 1000; (1000 分成了三部分 1000=900+90+10, 然後減去每一位上的數 ) 想一想 : 如果被減數改成 2010, 該怎麼計算? 2010 628 = 千位 百位 十位 2 0 1 0 6 2 8 227
鞏固練習 : 連續退位的減法提示 : 上 比 下 小, 要向左 借 加上退位點, 本位加 10 再減 數上有 點, 見點少 1 1) 2) 百位十位 百位十位 4 0 1 1 2 7 7 0 0 2 0 7 3) 4) 百位十位 百位十位 6 0 5 3 7 8 4 0 0 2 9 6 5) 6) 千位百位十位 千位百位十位 2 0 0 0 4 7 8 3 0 0 2 2 9 6 7) 8) 千位百位十位 千位百位十位 4 0 1 0 1 7 5 4 8 0 0 3 6 0 9 5 228
實物模擬運算用擺鉛筆的方法來理解從十位退 1 例如 :42 18 4 2 1 8 2 減 8, 不夠減 圖 1 十位 圖 2 退一作 10 十位 圖 3 十位 在數位表中放上 42 枝鉛筆 ( 圖 4 捆另加 2 枝, 每捆 10 枝 ); 打開一捆鉛筆 ( 圖 ); 從 12 枝鉛筆中去掉 8 枝, 於是便剩下 4 枝 ( 圖 ); 從 3 捆鉛筆中去掉 1 捆, 便剩下 2 捆鉛筆 ( 圖 ); 於是得出結果 :42 減 18 得 24 229
數之樂 : 小學生數學輔助教材 繪圖協助運算例一 :136 18 = 百位 十位 把要減去的數目劃去, 再將餘下的數寫在括號內 1 3 6 1 8 ( ) 例二 : 畫圖橫式直式 Ο Ο Ο Ο Ο 16 8 1 6 16 減去 8, 差是多少? Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο = 8 8 8 230
上 下加一 口訣提示退位 例一.. 86 38 =? 第一步 : 在加上 10 8 1 6 3 8 第二步 : 加 10 到下位的十位 8 1 6 4 3 8 第三步 : 減 8 1 6 4 3 8 4 8 校對 4 8 + 3 8 8 6 例二.. 438 173 =? 第一步 : 先減 8 3 = 5 4 3 8 1 7 3 5 第二步 : 十位不夠減時, 加 100 到十位的上欄 4 1 3 8 1 7 3 6 5 第三步 : 加回 100 到百位的下欄答案 為 265 4 1 3 8 2 1 7 3 2 6 5 校對 2 6 5 + 1 7 3 4 3 8 231
減工作紙 6 分拆法 破十例一 : 115 = 10+15 =(10 5)+1 =5 + 1 =6 使用分拆法, 可減輕運算時的記憶負荷 例二 : 157, 在直式運算時, 把右食指蓋著 5, 手指甲好像 0 字, 著學生把 0 寫在指甲上, 那就變成 107 得 3 如第一步, 最後加上 5, 答案就是 8 直式 1 5 7 1 0 1. 2. 7 1 5 7 1 5 7 再加上 5 是 8 10 7 是 3 又可以用數線作解說 ( 如下圖 ), 從 7 跳到 10, 再從 10 跳到 15, 跳了 8 格 3. 3 + 5 = 8 0 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 232
換成容易計算的數字 如果被減數是 100 1000 10000 的時候, 可以用下列方法計算.. 減工作紙 7 減工作紙 8 例如.. 1000 435 =? 999+1 435 =999 435 + 1 =565 湊十法 : 湊成整 10 100 及 1000, 以方便計算 如減數是 9, 可以先減 10, 再加回 1 例如 :67 9 =? 第一步驟 :67 10 = 57 第二步驟 :57 + 1 = 58 如減數是 90, 可以先減 100, 再加回 10 例如 :696 90 =? 第一步驟 :696 100 = 596 第二步驟 :596 + 10 = 606 如減數是 95, 可以先減 100, 再加回 5 例如 :564 95 =? 第一步驟 :564 100 = 464 第二步驟 :464 + 5 = 469 如減數是 990, 則先減 1000, 再加回 10 第一步驟 : 減 1000 第二步驟 : 加 10 例如 :7864 990 =? 第一步驟 : 第二步驟 : 233
按位值分拆 例如 : 663 248=? 方法一 : 663 663 463 423 248 = 200 40 8 463 423 415 方法二 :663 200 40 8 6 6 3 2 0 0 4 6 3 4 0 4 2 3 8 4 1 5 方法三 : 把數字分解成 600+50 +13 200+40 + 8 這方法和使用正規算法是相同的 63 50 13 600 50 13 200 40 8 400 + 10 + 5 讀出答案四百一十五 把過程寫出來, 可幫助學生理解運算過程 ( 請參考練習卡 6 7) 234
以加代減法 一些減法題以加法來計算, 比較簡便和快捷 例一 :652 297 =? 652 652 297 = + 3 300 655 300 355 例二 :852 187 =? 852 852 187 = + 13 200 865 200 665 例三 :16 9 9 + 7 = 16 所以 16 9 = 7 算一算 :17 8 = ( ), 想一想 :17 = 8 + ( ) 235
d. 減法運算策略 尋找規律, 提高計算技能 20 以內退位減法中得數是 9 的題目有什麼特點? 學生列出下面各題 : 112=9 123=9 134=9 145=9 156=9 167=9 178=9 189=9 112 = 9 123 = 9 134 = 9 145 = 9 學生發現相減的兩個數上的數相差 1 掌握減法的變化規律 一個數減去兩個數的和, 等於這個數依次減去兩個數 380 (70 + 20) = 380 70 20 減的變化規律 被減數 增加或減少時, 若 減數 不變, 它們的差也會相應地增加或減少 例如 :40 7 = 33 50 7 = 43 60 7 = 53 被減數每增加 10, 兩數的差也相應地增加 10 例如 : 8 6 =? 18 6 =? 28 6 =? 想一想 58 6 =? 236
如被減數和減數都增加或減少同一個數, 它們的差會保持不變 例如: 525 497 (525 + 3) (497 + 3) = 528 500 = 28 如被減數不變, 減數增加 ( 減少 ) 一個數, 它們的差會相對地減少 ( 增加 ) 同一數 例如 :40 7 = 33 40 (7 + 2) = 31 例一 : 47 5 = 42, 因此 47 15 = 32 47 25 = 22 利用例一, 你可以說出 22+25 是多少? 例二 : 34 4 = 30 34 14 = 20 24 14 = 14 14 = 算一算 :17 ( ) = 10, 10 + ( ) = 17 學生如能掌握數字規律, 能減輕對減法事實的記憶 這樣的規律不宜教得過多, 也不要求每一個學生都能掌握 ( 請參考練習卡 8 ) 237
e. 估算 減簡報 9 使用高位數計算例一 :495 284 估計答案至百位 :400 200 = 200; 調整 : 檢查十位上的數 :90 80 不需退位, 所以 495 284 的結果一定比 200 大 例二 :618 356 估計答案至百位 :600 300 = 300 檢查十位以上的數 :10 50 要退位, 600 300 ( 退位的 100) = 200, 所以 618 356 的結果一定比 200 大和比 300 小 或以直式對齊的方式排列好, 除高位數字外, 將其他的位數遮蓋, 先把高位數數字進行運算 例如 :369 34 191 = 3 6 9 3 4 3 1 = 2 大約是 200 1 9 1 教導學生進行校對 大約是 40 調整 6 3 9 = 要退位 9 4 1= 不需退位 總數大約是 140 例如 : 800 212 :212 + 8 = 220 十位 :220 + 80 = 300 百位 :300 + 500 = 800 答案為 : 588 238
數之樂 : 小學生數學輔助教材 校對 : 212 + 588 800 800 212 588 ( 請參考練習卡 9) 239