中華民國 第51屆中小學科學展覽會

中 華 民 國 第 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 080 Hx 遊 戲 王 學 校 名 稱 : 臺 中 市 神 岡 區 社 口 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 五 廖 子 樂 小 五 林 佳 豪 許 家 吉 田 文 宗 小 五 蘇 薇 方 小 五 張 霈 宜 小 五 張 皓 鈞 關 鍵 詞 : 圖 形 連 接 遊 戲 座 標 數 列

作 品 名 稱 :Hx 遊 戲 王 摘 要 Hx 遊 戲 是 由 諾 貝 爾 經 濟 學 獎 得 主 納 許 (John Nsh) 在 就 讀 研 究 所 時 所 發 明 的 一 種 圖 形 連 接 遊 戲, 本 研 究 探 究 hx 遊 戲 的 獲 勝 技 巧, 同 時 初 步 探 究 hx 遊 戲 的 數 學 原 理, 包 括 hx 棋 盤 的 垂 直 座 標 表 示 法, 同 時 根 據 此 法 來 分 析 自 創 圖 形 連 接 的 八 種 遊 戲, 如 飛 箭 渡 河 ( 未 改 良 前 版 本 及 改 良 後 版 本 ) 三 角 為 王 六 魔 王 鑽 石 達 令 家 家 樂 太 陽 笑 臉 及 薇 薇 彩 帶 遊 戲 將 遊 戲 棋 盤 使 用 垂 直 座 標 表 示 法 表 示 之 後, 能 清 楚 地 了 解 圖 形 連 接 遊 戲 棋 盤 是 由 兩 類 基 本 圖 形 ( 三 角 形 和 四 邊 形 ) 所 擴 展 而 成 的, 將 六 種 自 創 遊 戲 三 種 常 見 的 連 接 類 遊 戲 ( 傳 聲 筒 傳 紙 條 和 O 遊 戲 ) 使 用 垂 直 座 標 表 示 法 來 分 類 之 後, 驚 訝 地 發 現 自 創 遊 戲 棋 盤 中 的 家 家 樂 遊 戲 和 hx 遊 戲 的 結 構 相 同, 使 得 難 度 和 玩 法 相 近 0

作 品 名 稱 :Hx 遊 戲 王 壹 研 究 動 機 : 你 有 看 過 六 邊 形 嗎? 那 你 畫 的 六 邊 形 是 正 六 邊 形 的 還 是 不 規 則 的 六 邊 形? 你 有 沒 有 想 過 用 六 邊 形 可 以 來 玩 hx 遊 戲 嗎? 剛 開 始 我 跟 一 些 同 學 玩 HEX 遊 戲 的 時 候, 都 會 輸, 覺 得 很 無 趣, 可 是 後 來 我 找 到 一 些 獲 勝 的 訣 竅, 才 發 現 這 是 一 個 很 有 挑 戰 性 的 遊 戲, 同 時 還 可 以 自 創 HEX 遊 戲, 且 聽 我 們 娓 娓 道 來 貳 研 究 目 的 :. 了 解 hx 遊 戲 的 規 則 是 甚 麼?.Hx 遊 戲 的 數 學 原 理 是 甚 麼?.Hx 遊 戲 獲 勝 的 秘 訣 有 哪 些?. 如 何 用 hx 的 數 學 原 理 創 作 自 己 的 遊 戲? 參 研 究 設 備 器 材 : 筆 電 腦 及 白 紙 肆 研 究 過 程 或 方 法 : 在 老 師 介 紹 完 hx 遊 戲 之 後, 我 們 一 群 同 學 便 相 互 對 下, 結 果 有 的 人 很 容 易 獲 勝, 但 是 有 的 人 卻 輸 了, 所 以 我 們 就 想 研 究 hx 遊 戲 的 數 學 原 理 是 什 麼, 為 什 麼 有 的 人 很 容 易 獲 勝, 有 的 人 卻 屢 戰 屢 輸, 大 家 七 嘴 八 舌 的 討 論 著, 並 獲 得 一 些 結 論, 後 來 更 以 和 電 腦 對 下 來 驗 證 自 己 的 想 法 與 電 腦 對 下 的 結 果 讓 我 們 能 夠 知 道 一 開 始 選 擇 下 通 道 較 多 的 地 方, 進 行 阻 斷 對 方 以 及 進 攻 還 有 製 造 造 橋 等 的 技 巧, 是 否 一 定 會 有 機 會 可 以 獲 勝 ; 最 後 我 們 更 進 一 步 利 用 hx 遊 戲 規 則 及 討 論, 來 設 計 自 己 的 hx 遊 戲, 藉 由 這 樣 的 遊 戲 創 作 來 增 進 對 hx 遊 戲 的 理 解, 並 希 望 能 夠 找 到 完 全 擊 敗 對 手 的 hx 遊 戲 的 數 學 討 論, 來 增 進 關 於 連 接 類 遊 戲 獲 勝 的 機 會 下 面 是 有 關 hx 遊 戲 規 則 的 說 明 : ( 一 ) 認 識 hx 遊 戲 規 則 由 納 許 (John Nsh) 所 發 明 的 納 許 棋 是 一 個 相 當 有 趣 的 遊 戲, 遊 戲 由 一 人 猜 拳 決 定 下 棋 先 後 開 始, 每 人 一 次 下 一 子, 雙 方 各 佔 棋 盤 上 的 左 右 或 上 下 方, 盤 中 布 滿 或 是 更 大 的 由 每 個 正 六 邊 形 所 組 合 成 的 棋 盤, 雙 方 輪 流 一 次 下 一 子 棋, 誰 先 完 成 連 接 左 右 或 上 下 方, 就 贏 得 此 遊 戲, 例 如 下 圖, 由 下 紅 色 棋 子 這 方 贏 得 比 賽 ( 二 ) Hx 遊 戲 的 數 學 原 理 根 據 與 其 他 同 學 玩 的 結 果, 發 現 有 的 人 屢 戰 屢 勝, 為 了 探 討 下 Hx 棋 的 獲 勝 技 巧, 我 們 想 到 用 座 標 將 每 個 格 子 加 上 標 號, 以 方 便 討 論. hx 棋 盤 中 的 每 個 格 子, 如 何 用 數 學 表 示? 經 過 大 家 一 番 討 論, 我 們 決 定 用 座 標 表 示 棋 盤 中 每 個 格 子 的 位 置, 例 如 下 圖 棋 盤 中 的 甲 位 置, 用

座 標 (,) 來 表 示, 因 為 不 會 產 生 誤 會, 所 以 有 時 也 用 來 表 示 甲 位 置 的 座 標, 那 麼 x 棋 盤 中 每 個 格 子 的 座 標 表 示, 就 如 下 右 圖 所 示 : 甲 A D C B A C B B A A D C B D C D 那 麼 每 個 棋 盤 中 獲 勝 者 走 的 路 徑 就 可 以 用 這 樣 表 示 :A->B->C->D->D->D->C 來 表 示, 但 實 際 上 這 樣 的 表 示 並 不 能 表 達 實 際 上 雙 方 走 每 步 的 次 序, 所 以 在 記 錄 表 上 用 R 表 示 R,U 表 示 Blu( 以 避 免 跟 座 標,,, 的 標 號 混 淆 ), 若 是 圖 示 或 紀 錄 表 圖 中 是 紀 錄 顏 色 (R,U) 則 後 方 的 數 字 則 表 示 走 的 次 序, 那 麼 下 圖 中 獲 勝 的 走 法 紀 錄, 就 能 夠 清 楚 的 表 達 為 :->->->->->-> 了! B A A C B A D C B A D C B D C D U R R R U R U R7 U U R R U 我 們 分 析 每 個 獲 勝 的 路 徑, 發 現 只 要 是 能 夠 由 入 口 連 到 出 口 的 路 徑 就 能 夠 獲 勝, 因 此, 我 們 討 論 到 對 R 或 Blu 而 言, 必 須 說 明 什 麼 叫 做 出 ( 入 ) 口 我 們 想 到 用 下 圖 的 座 標 和 顏 色 表 示 出 ( 入 ) 口, 對 X 的 棋 盤 而 言, 下 R 和 下 Blu 的 人 而 言,,,,, 和,,,, 都 是 R 的 對 外 的 出 入 口, 所 以,, 和,,, 用 紅 色 表 示, 比 較 特 殊 的 是,,, 因 為 這 四 個 格 子 同 時 也 是 Blu 的 出 入 口, 所 以 用 綠 色 表 示 同 理,,,,, 和,,,, 都 是 Blu 的 出 入 口, 所 以,, 和,, 用 藍 色 表 示, 比 較 特 殊 的 是,,, 因 為 這 四 個 格 子 同 時 也 是 R 的 出 入 口, 所 以 用 綠 色 表 示 :

藍 色 : 表 示 藍 方 的 出 入 口 紅 色 : 表 示 紅 方 的 出 入 口 綠 色 : 同 時 是 藍 紅 方 的 出 入 口, 所 以 任 一 方 都 可 以 搶 它 若 以 座 標 來 表 示 的 話, 則 以 下 的 座 標 都 是 X 棋 盤 中 的 重 要 出 入 口 圖 示 如 右 : 例 如, 在 我 們 進 行 研 究 的 同 學 甲 在 記 錄 表 中 月 日 的 鑽 石 型 棋 盤 : 其 中 號 是 出 口, 座 標 分 別 A A 紅 方 第 一 手 下 C, 通 道 有 個, 但 是 藍 方 後 來 在 D 把 紅 方 擋 住 了, 所 以 紅 色 就 繞 路 走, 如 果 藍 色 下 A 的 話, 藍 色 就 有 機 會 可 以 獲 勝 另 外, 紅 色 第 一 手 下 C, 之 後 並 使 用 造 橋 的 方 式 ( 下 ) 連 線, 這 樣 就 有 比 較 多 機 會 可 以 讓 自 己 連 線 A B A C A D A E A E B A B A E C C A E D E E D A A E B E C E D E ( 三 ) Hx 遊 戲 獲 勝 的 秘 訣. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的 我 們 分 析 棋 盤 中 的 每 個 格 子, 發 現 每 個 格 子 跟 旁 邊 格 子 連 接 形 成 與 出 入 口 連 接 的 通 道 才 有 機 會 獲 勝, 所 以 就 分 析 每 個 格 子 座 標 的 通 道 數 目, 整 理 如 下 : X 棋 盤 的 每 格 通 道 數 目 X 棋 盤 的 每 格 通 道 數 目 從 整 理 的 表 格 以 及 下 面 圖 中 格 子 內 的 通 道 數 目 可 以 知 道 只 要 選 擇 通 道 是 較 多 的 地 方, 就 有 機 會 可 以 獲 勝

G X 棋 盤 的 每 格 通 道 數 目 7X7 棋 盤 的 每 格 通 道 數 目 7 棋 盤 種 類 X X X 7X7 座 標 C D D C C B B C C C A B C D E A B C B,,,, B,,,, B,B,B,B,B C,C,C,C,C D D B B B D E A B B,,,, D,D,D,D,D C C B B A A B C C B C D E A B C D E,,D, E,E,E,E,E F,F,F,F,F B A A A B C D E 通 道 數 目 7 G 下 圖 是 進 行 研 究 的 同 學 丁 在 記 錄 表 上 月 日 電 腦 對 下 的 成 果, 首 先 下 因 為 中 間 格 子 通 道 數 目 較 多, 較 容 易 獲 勝, 依 此 下 ->->->->( 連 接 出 入 口 )->->( 連 接 出 入 口 ), 我 ( 紅 方 ) 獲 勝 又 例 如 進 行 研 究 的 同 學 戊 的 比 賽 紀 錄 圖 中 顯 示 下 通 道 數 目 多 的 和 獲 勝 關 鍵 性, 如 下 圖 第 一 手 有 六 個 通 道, 由 此 可 知 下 通 道 數 較 多 的 勝 算 會 較 多, 因 為 只 要 下 的 通 道 愈 多, 對 外 連 接 的 通 道 數 目 較 多, 所 以 贏 的 機 會 也 會 變 的 比 較 多, 換 句 話 說 先 擋 住 別 人 贏 的 機 會 也 會 越 大, 如 紅 方 第 二 手 擋 住 藍 色 的 第 一 手, 只 要 下 B C B 及 C 贏 的

機 會 就 會 非 常 的 高 總 和 分 析, 不 管 是 X,X,X 或 是 7X7 的 棋 盤, 若 用 座 標 和 顏 色 表 示 每 個 格 子 內 通 道 數 目 的 話, 每 個 棋 盤 大 致 是 呈 現 數 字 對 稱 成 的 通 道 數 目 棋 盤 形 式, 如 下 圖 ( 研 究 同 學 丁 的 整 理 ): 每 個 棋 盤 裡 通 道 數 目 最 多 的 都 是 ( 用 紅 色 表 示 ), 其 次 是 兩 側 出 入 口 ( 單 色 ) 的 位 置 ( 通 道 數 目 為 ), 再 來 是 上 下 頂 端 的 位 置 ( 這 也 是 雙 方 的 出 入 口, 此 格 子 的 通 道 數 目 為 ), 最 後 通 道 數 目 最 少 的 是 左 右 兩 端 ( 這 也 是 雙 方 的 出 入 口, 此 格 子 的 通 道 數 目 為 ), 如 下 圖 所 顯 示. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好 ) 所 謂 連 接 自 己 走 的 路 線, 包 括 思 考 棋 子 的 位 置 能 夠 下 在 通 道 數 目 多 的, 且 要 能 夠 連 接 對 外 出 口 及 入 口 的 位 置, 若 能 同 時 考 慮 擋 住 對 方 走 的 路 線 就 能 夠 搶 先 讓 自 己 連 成 一 線 而 獲 勝, 右 圖 是 進 行 研 究 的 同 學 丙 嘗 試 用 座 標 和 hx 圖 來 說 明 如 何 連 接 自 己 走 的 路 線 並 擋 住 別 人 走 的 路 線 的 過 程 : U U R u u U R R R R 如 上 右 圖 示, 進 行 研 究 的 同 學 乙 一 開 始 下 C 時, 紅 方 下 D D C 來 擋 住 藍 方, 當 藍 方 下 B 時, 紅 方 下 C B 來 擋 住 藍 方, 紅 方 便 獲 勝 了 又 例 如 進 行 研 究 的 同 學 乙 X 的 棋 盤 比 賽 紀 錄 中, 可 以 發 現 紅 方 下 的 格 子 大 部 份 都 是 最 多 通 道 的, 格 子 通 道 是 的 B 位 置 也 要 佔 住, 因 為 此 位 置 是 紅 方 的 是 出 ( 入 ) 口, 下 此 位 置, 除 了 擋 住 藍 方 (), 也 讓 自 己 連 接 對 外 出 ( 入 ) 口, 像 A 和 D, 因 而 增 加 自 己 獲 勝 的 機 會 例 如 進 行 研 究 的 同 學 戊 的 比 賽 紀 錄 圖, 顯 示 擋 住 別 人 走 的 路 線 來 獲 勝, 圖 中 紅 色 下 C 然 後 藍 色 擋 D, 接 下 來 紅 色 擋 C 藍 色 做 造 橋, 紅 色 下 B 讓 藍 色 沒 有 成 功 造 橋, 逼 藍 下 A 最 後 紅 下 B 就 贏 了

. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會 在 玩 hx 遊 戲 時, 除 了 下 最 多 通 道 的 地 方, 也 可 在 比 賽 中 使 用 造 橋 來 快 速 連 接 自 己 走 的 路 線, 以 便 讓 自 己 達 到 出 入 口 的 兩 端 對 不 熟 悉 這 個 遊 戲 的 玩 家 而 言, 使 用 造 橋 可 以 讓 對 手 放 鬆 戒 心, 卻 能 讓 在 最 後 關 頭 讓 自 己 連 線, 請 看 以 下 說 明 : 紅 方 下 完 接 著 下 ( 這 兩 子 一 開 始 並 未 連 線 ), 最 後 再 適 時 適 情 形 臨 門 補 上 兩 格 之 間 的 連 線, 若 被 藍 方 佔 去, 則 紅 方 佔, 可 讓 紅 方 在 兩 子 間 連 線 ; 若 被 藍 方 佔 走, 則 紅 造 橋 的 圖 示 說 明 方 佔 可 讓 紅 方 連 線, 這 就 是 所 謂 的 造 橋 造 橋 的 路 線 有 長 有 短, 當 然 是 愈 短 的 造 橋 愈 好, 同 時 也 可 以 連 續 多 次 使 用 造 橋, 但 是 光 使 用 造 橋 還 是 不 能 獲 勝, 還 必 須 搭 配 使 用 其 他 技 術, 例 如 走 截 斷 對 方 連 線 的 路 徑 下 最 多 連 線 數 目 的 位 置 等, 才 能 獲 勝. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法 先 佔 住 對 方 的 出 口 而 獲 勝 的 方 法, 只 有 在 對 手 疏 忽 時, 才 能 獲 勝 此 玩 法 是 指 一 開 始 先 佔 住 對 方 可 能 連 線 道 路 的 格 子 R 之 後, 再 一 直 讓 自 己 連 接 下 去 就 可 以, 但 是 隨 著 大 家 注 R U R 意 力 提 升, 要 純 粹 靠 這 個 規 則 而 獲 勝 的 機 率 減 少 許 多 了 U R 在 這 個 例 子 中, 紅 方 在 藍 方 下 第 三 子 時 及 時 擋 住 對 方 U 出 口, 加 上 自 己 之 前 走 的 格 子 都 是 能 讓 自 己 連 線 的 最 短 路, 所 以 直 接 擋 住 藍 方, 紅 色 就 獲 勝 了. 走 最 短 路 徑 來 連 線 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法 圖 解 說 明 例 如 進 行 研 究 的 同 學 丙 月 0 日 的 比 賽 紀 錄 圖 中 顯 示, 紅 方 本 想 走 先 下 通 道 數 目 多 的, 因 為 先 下 通 道 數 目 多 的 愈 有 可 能 會 獲 勝, 而 通 道 數 目 多, 表 示 該 位 置 連 接 其 他 格 子 的 機 會 就 愈 多, 先 走 通 道 數 目 少 的, 顯 示 該 位 置 連 接 其 他 格 子 的 機 會 也 就 少 但 是 因 為 通 道 數 目 多 的 路 線 被 對 方 擋 住, 改 走 最 短 路 徑 來 連 線 就 可 以 以 使 用 最 少 的 步 數 來 連 接, 進 而 比 對 方 提 早 連 線 而 獲 勝 這 是 我 們 月 0 日 下 的 範 本 請 參 考 下 因 為 連 接 的 通 道 較 多 下 因 為 阻 斷 對 方 連 接 的 路 線 下 因 為 造 橋 準 備 連 接 ( 失 敗 ) 下 因 為 造 橋 圍 連 接 線 下 因 為 連 接 自 己 通 道 下 因 為 要 和 自 己 出 口 通 道 連 接, 才 能 獲 勝 另 外 一 例 是 進 行 研 究 的 同 學 戊 月 7 號 X 棋 盤 我 所 做 的 比 賽 紀 錄 圖, 顯 示 使 用 最 短 路 線 能 夠 獲 勝, 圖 示 如 下 : 其 中 紅 方 是 我 ( 佳 豪, 先 下 ), 藍 方 是 電 腦, 結 果 紅 色 贏, 藍 色 輸, 紅 色 用 五 顆 棋, 藍 色 用 四 顆 棋 還 有 也 可 以 一 開 始 就 一 直 佔 對 方 的 出 口 或 道 路, 有 些 網 站 有 HEX 的 遊 戲 裡 面 有 許 多 原 理 等 著 你 去 發 現

伍 研 究 結 果 : 根 據 最 近 下 棋 的 經 驗, 我 們 歸 納 幾 種 不 同 贏 的 方 式, 分 別 是 一 開 始 不 是 下 最 佳 通 道 位 置, 和 一 開 始 下 最 佳 通 道 位 置 來 討 論, 說 明 如 下 圖 : ( 一 ) X 棋 盤. 使 用 黏 法 一 開 始 不 是 下 最 佳 通 道 位 置 ( 用 灰 色 表 示 ) 一 開 始 下 最 佳 通 道 位 置 (C 或 )( 用 紅 色 表 示 ) 為 什 麼 C 或 是 最 佳 通 道 呢, 因 為 C B 對 外 的 通 道 數 都 是 比 其 他 較 多, 如 果 每 個 步 驟 遵 守 獲 勝 原 則 的 話, 有 比 較 大 的 機 會 獲 勝 實 際 對 下 例 子 :( 左 邊 欄 邊 是 紅 方 下 輸 的 棋 盤 記 錄, 右 邊 欄 是 紅 方 下 贏 的 棋 盤 紀 錄 ). Blu 贏 (R 無 法 救 ) 通 常 會 輸. R 沒 下 錯 子 的 話 會 贏 R 一 開 始 下 ( 由 乙 分 析 ) R 一 開 始 下 ( 由 甲 分 析 ) ( 註 : 更 多 的 棋 盤 紀 錄 與 分 析 請 見 實 驗 記 錄 ) 實 際 對 下 例 子 的 分 析 如 下 : X, 先 攻 者 : R/Blu 方 向 : 往 / X, 棋 盤 變 成 垂 直 座 標 討 論 紀 錄 者 : 甲 乙 丙 丁 戊 ( 用 代 號 表 同 學 名 稱 ) U R7 R U7 R U R 7

R7 U8 R U R U R U. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U). 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如 u~u8. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 u 發 現 : 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分. 使 用 造 橋 法 一 開 始 不 是 下 最 佳 通 道 位 置 一 開 始 下 最 佳 通 道 位 置 ( 或 ) ( 用 紅 色 表 示 ) 連 接 出 口 的 次 佳 通 道 位 置 (,) ( 用 黃 色 表 示 ) 為 什 麼 C 或 是 最 佳 通 道 呢, 因 為 C B 對 外 的 通 道 數 都 是 比 其 他 多, 如 果 每 個 步 驟 遵 守 獲 勝 原 則 的 話, 有 比 較 大 的 機 會 獲 勝 實 際 對 下 例 子 :( 左 邊 欄 邊 是 紅 方 下 輸 的 棋 盤 記 錄, 右 邊 欄 是 紅 方 下 贏 的 棋 盤 紀 錄 ). Blu 贏 (R 無 法 救 )R 通 常 會 輸. R 沒 下 錯 子 的 話 會 贏 R 一 開 始 下 ( 由 戊 分 析 ) R 一 開 始 下 ( 由 戊 分 析 ) 8

( 註 : 更 多 的 棋 盤 紀 錄 與 分 析 請 見 實 驗 記 錄 ) 實 際 對 下 例 子 的 分 析 如 下 : X, 先 攻 者 : R/Blu 方 向 : 往 / X, 棋 盤 變 成 垂 直 座 標 討 論 紀 錄 者 : 甲 乙 丙 丁 戊 ( 用 代 號 表 同 學 名 稱 ) R7 R7 R U U R R U. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U). 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 r r R R7. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如. 走 最 短 路 徑 來 連 線, 如 r r r r7. 使 用 造 橋 法, 如 r r r r7 發 現 :. 下 通 道 數 目 多 的 如 有 比 較 多 機 會 獲 勝. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分 U0 U R7 9 U R U R7 U8 R. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ). 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 u u u8. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 u u u0. 走 最 短 路 徑 來 連 線, 如. 使 用 造 橋 法, 如 u u u8 7. 使 用 雙 造 橋 法, 如 u u u8 發 現 :. 下 通 道 數 目 多 的 如 有 比 較 多 機 會 獲 勝 9. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分

( 二 ) X 棋 盤 一 開 始 不 是 下 最 佳 通 道 位 置 一 開 始 下 最 佳 通 道 位 置 () ( 用 紅 色 表 示 ) 連 接 出 口 的 次 佳 通 道 位 置 (,) ( 用 黃 色 表 示 ) 為 什 麼 C 是 最 佳 通 道 呢, 因 為 這 個 位 置 通 道 數 較 多, 例 如 對 方 下, 我 就 下, 可 以 直 接 連 接 對 外 出 口 ; 至 於 為 什 麼, 是 次 最 佳 通 道 位 置 呢, 因 為 C 連 接 D, 以 及 C 連 接 B 時, 可 用 造 橋 連 接, 所 以 不 容 易 被 對 方 棋 子 擋 住 而 容 易 獲 勝 實 際 對 下 例 子 :( 左 邊 欄 邊 是 紅 方 下 輸 的 棋 盤 記 錄, 右 邊 欄 是 紅 方 下 贏 的 棋 盤 紀 錄 ). Blu 贏 (R 無 法 救 )R 通 常 會 輸. R 沒 下 錯 子 的 話 會 贏 R 一 開 始 下 ( 由 甲 分 析 ) R 一 開 始 下 ( 由 乙 分 析 ) ( 註 : 更 多 的 棋 盤 紀 錄 與 分 析 請 見 實 驗 記 錄 ) 實 際 對 下 例 子 的 分 析 如 下 : X, 先 攻 者 : R/Blu 方 向 : 往 / X, 棋 盤 變 成 垂 直 座 標 討 論 紀 錄 者 : 甲 乙 丙 丁 戊 ( 用 代 號 表 同 學 名 稱 ) R9 R U R7 R R U U U8. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r u. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法. 使 用 造 橋 法, 如 u u8 u. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如 r~ r9 如. 走 最 短 路 徑 來 連 7. 使 用 雙 造 橋 法, 如 u u8 u. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 r7 r9 線, 如 發 現 :. 獲 勝 規 則 策 略 二 使 用 最 多 0. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分

R U R R R U U U U U U8 R7 R R9 U0. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 8 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如 u~u. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 r7 r9 u u8 u u. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 u0 u. 走 最 短 路 徑 來 連 線, 如. 使 用 造 橋 法, 如 r7 r9 u u8 u u 發 現 :. 藍 方 獲 勝 規 則 策 略 二 使 用 最 多. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分 ( 三 ) X 棋 盤. 使 用 截 斷 對 方 連 線 和 阻 斷 對 方 出 入 口 法 一 開 始 不 是 下 最 佳 通 道 位 置 一 開 始 下 最 佳 通 道 位 置 (,) ( 用 紅 色 表 示 )

為 什 麼, 是 最 佳 通 道 呢, 因 為 下 可 以 些 連 接 上 方 的 出 ( 入 ) 口, 而 下 則 可 以 些 連 接 下 方 的 出 ( 入 ) 口, 所 以 這 兩 個 都 是 最 佳 的 通 道 實 際 對 下 例 子 :( 左 邊 欄 邊 是 紅 方 下 輸 的 棋 盤 記 錄, 右 邊 欄 是 紅 方 下 贏 的 棋 盤 紀 錄 ) 7. Blu 贏 (R 無 法 救 )R 通 常 會 輸 8. R 沒 下 錯 子 的 話 會 贏 R 一 開 始 下 ( 由 乙 分 析 ) R 一 開 始 下 ( 由 丙 分 析 R 一 開 始 下 ( 由 乙 分 析 ) R 一 開 始 下 ( 由 丙 分 析 ) ( 註 : 更 多 的 棋 盤 紀 錄 與 分 析 請 見 實 驗 記 錄 ) 實 際 對 下 例 子 的 分 析 如 下 : X, 先 攻 者 : R/Blu 方 向 : 往 / X, 棋 盤 變 成 垂 直 座 標 討 論 紀 錄 者 : 甲 乙 丙 丁 戊 ( 用 代 號 表 同 學 名 稱 ). 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 9 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如 r~r7. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 r7 r u u8 發 現 :. 獲 勝 棋 盤 大 都 是 由 開 始 下 的. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分 U U0 R7 R9 R R7 R R R U U U U8 U U U R R

. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如 r~r u~u0. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 r r r7 r r r9 r u u0. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 r~r u~u8. 走 最 短 路 徑 來 連 線, 如 r~r 發 現 :. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分 R R7 R9 R U U U8 U0 R9 U R U0 R U U R R U R7 U8 R9 X, 先 攻 者 : R/Blu 方 向 : 往 / X, 棋 盤 變 成 垂 直 座 標 討 論 紀 錄 者 : 甲 乙 丙 丁 戊 ( 用 代 號 表 同 學 名 稱 ). 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r u. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如 u~u 發 現 :. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分. 獲 勝 一 方 最 常 使 用 的 策 略 是 獲 勝 策 略 二

R U R9 U0 R7 U8 R U R U R U. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 8 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r u. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好, 如 r~r7 u~u. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 u u r r. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 r9 發 現 :. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分. 獲 勝 一 方 最 常 使 用 的 策 略 是 獲 勝 策 略 二 U R U R R R U R R7 U U U8 U0 R9

( 四 ) 7X7 棋 盤 ( 使 用 雙 造 橋 截 斷 對 方 連 接 路 線 及 連 接 自 己 出 入 口 ) 一 開 始 不 是 下 最 佳 通 道 位 置 一 開 始 下 最 佳 通 道 位 置 () ( 用 紅 色 表 示 ) 連 接 出 口 的 次 佳 通 道 位 置 () ( 用 黃 色 表 示 ) G 7 7 G 為 什 麼 是 最 佳 通 道 呢, 因 為 連 接 通 道 數 多 且 又 接 近 上 方 對 外 出 口, 之 後 還 有 機 會 讓 我 方 有 雙 造 橋 的 機 會 ; 至 於 為 什 麼 是 次 佳 通 道 位 置 呢, 因 為 可 以 連 接 對 外 出 口, 所 以 先 佔 此 位 置 蠻 容 易 獲 勝 的 實 際 對 下 例 子 : ( 左 邊 欄 是 紅 方 下 輸 的 棋 盤 記 錄, 右 邊 欄 是 紅 方 下 贏 的 棋 盤 紀 錄 ). Blu 贏 (R 無 法 救 )R 通 常 會 輸 輸. R 沒 下 錯 子 的 話 會 贏 R 一 開 始 下 ( 由 甲 分 析 R 一 開 始 下 ( 由 乙 分 析 R 一 開 始 下 ( 由 甲 分 析 R 一 開 始 下 ( 由 乙 分 析 ( 註 : 更 多 的 棋 盤 紀 錄 與 分 析 請 見 實 驗 記 錄 ) 實 際 對 下 例 子 的 分 析 如 下 :

7X7, 先 攻 者 : R/Blu 方 向 : 往 / 7X7, 棋 盤 變 成 垂 直 座 標 討 論 紀 錄 者 : 甲 乙 丙 丁 戊 ( 用 代 號 表 同 學 名 稱 ). 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r u. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好 ), 如 r~r. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 r r r u u u u0 u u r r. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 u~u r7~r 發 現 :. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分. 最 少 七 步 可 獲 勝, 但 被 對 方 擋 住 的 話, 連 接 的 通 道 數 目 會 變 多, 意 指 就 只 能 繞 遠 路 到 終 點 ( 獲 勝 ) g U R7 R9 R U8 R7 U8 U0 R U U0 R9 U R R U R U R U R7 U U R R R9 R U0 U R U8 7. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r u. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好 ), 如 r7~r u8 u0~u. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 r r r7 u u0 u u8 u8. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 r0~r. 使 用 造 橋 法, 如 r r r7 r u u0 u u8 u8 發 現 :. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分. 最 少 七 步 可 獲 勝, 但 被 對 方 擋 住 的 話, 連 接 的 通 道 數 目 會 變 多, 意 指 就 只 能 繞 遠 路 到 終 點 ( 獲 勝 )

g U0 R7 R9 R R U7 R7 U8 U R9 U0 U R9 U U R U R U R U U8 R9 R U8 U R7 R U0 U R U8 7 7X7, 先 攻 者 : R/Blu 方 向 : 往 / 7X7, 棋 盤 變 成 垂 直 座 標 討 論 紀 錄 者 : 甲 乙 丙 丁 戊 ( 用 代 號 表 同 學 名 稱 ) g R R7 U8 R9 U U U0 U R R U U R R U0 R U8 U U U R R9 R7 R 7 7

7. 獲 勝 走 的 步 驟 :( 走 步 贏 ) 方 向 : 往 / ( 先 走 的 是 :R/U; 贏 的 是 :R/U) :. 先 佔 住 棋 盤 中 每 個 格 子 通 道 數 目 最 多 的, 如 r u. 連 接 自 己 走 的 路 線 ( 若 能 擋 住 對 方 更 好 ), 如 r~r r~r9 u~u u~u8. 適 時 使 用 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 如 u u. 佔 住 對 方 的 出 口 獲 勝 法, 如 r~r9 r u u7 發 現 :. 獲 勝 的 棋 盤 都 會 把 垂 直 座 標 棋 盤 分 成 兩 部 分. 最 少 七 步 可 獲 勝, 但 被 對 方 擋 住 的 話, 連 接 的 通 道 數 目 會 變 多, 意 指 就 只 能 繞 遠 路 到 終 點 ( 獲 勝 ) 陸 用 hx 的 數 學 原 理 創 作 的 遊 戲 使 用 垂 直 座 標 棋 盤 來 分 析 的 好 處 是 讓 我 們 了 解 棋 盤 中 每 個 位 置 的 連 接 通 道 是 什 麼, 後 來 我 們 將 每 個 人 自 行 創 作 的 棋 盤 重 新 畫 成 垂 直 座 標 棋 盤 來 分 析 棋 盤 中 每 個 位 置 連 接 的 狀 況, 獲 得 驚 人 的 成 果 竟 然 有 人 創 造 出 和 hx 原 版 遊 戲 相 同 連 接 情 形 的 自 創 版 連 接 遊 戲, 請 看 我 們 的 說 明 ( 一 ) 遊 戲 一 ( 太 陽 - 笑 臉 的 連 接 遊 戲 ) 太 陽 - 笑 臉 的 遊 戲 規 則 7 棋 盤 中 有 個 同 樣 標 誌 的 符 號 如 和 C B A 玩 家 任 選 一 個 符 號 表 示 自 己 並 下 在 棋 盤 上 先 將 同 符 號 的 連 接 在 一 起 即 獲 勝 :SUN 可 用 U 來 表 示 紅 色 黃 色 和 白 色 框 都 可 以 :SMILE 可 用 S 來 表 示 下 這 是 由 同 學 丙 所 創 作 的 連 接 圖 形 遊 戲, 這 個 遊 戲 使 用 垂 直 座 標 棋 盤 重 新 繪 製 圖 形 如 右, 由 垂 直 座 標 圖 形 可 知, 可 連 接 的 通 道 有, 和, 這 個 垂 直 連 接 的 圖 形 恰 好 和 同 學 甲 所 創 作 的 圖 形 連 接 遊 戲 飛 箭 渡 河 遊 戲 的 連 接 情 形 一 樣, 這 讓 我 們 興 奮 不 已 7, 因 為 不 同 形 狀 的 圖 形, 竟 然 有 共 通 的 連 接 通 道, 那 有 可 能 這 兩 個 遊 戲 的 難 度 差 不 多 囉! 這 樣 的 研 究, 讓 我 們 信 心 大 增, 我 們 繼 續 創 作 更 多 的 圖 形 連 接 遊 戲, 轉 成 垂 直 座 標 棋 盤 來 分 析, 並 試 玩 圖 形 以 了 解 垂 直 座 標 棋 盤 所 顯 示 的 圖 形 連 接 結 構 相 同, 是 否 獲 勝 策 略 會 相 同 ( 二 ) 遊 戲 二 ( 飛 箭 渡 河 的 圖 形 連 接 遊 戲 ) 8

( 三 ) 遊 戲 三 ( 六 魔 王 的 圖 形 連 接 遊 戲 ) 有 了 同 學 甲 和 丙 的 自 創 遊 戲 的 分 享, 激 發 了 參 與 研 究 的 我 們 都 不 禁 躍 躍 欲 試 想 一 嘗 自 創 遊 戲 的 渴 望, 同 學 丙 再 模 仿 hx 遊 戲 機 本 圖 形 ( 六 角 形 ), 再 創 一 個 圖 形 連 接 的 遊 戲, 並 將 之 命 名 為 六 魔 王 的 圖 形 連 接 遊 戲, 很 可 惜, 這 個 六 魔 王 遊 戲, 雖 然 使 用 到 與 hx 遊 戲 相 同 的 六 角 形, 但 轉 畫 成 垂 直 座 標 棋 盤 之 後, 發 現 與 hx 遊 戲 圖 形 連 接 結 構 並 不 同, 整 個 垂 直 座 標 棋 盤 外 觀 呈 現 三 角 形, 且 實 際 對 下 結 果 容 易 有 平 手 的 情 形 出 現, 與 這 次 討 論 的 hx 遊 戲 有 明 顯 的 不 同, 所 以 不 能 歸 類 為 與 hx 相 同 連 接 情 形 的 遊 戲 h g 7 8 ( 四 ) 遊 戲 四 ( 三 角 為 王 的 圖 形 連 接 遊 戲 ) 接 著, 同 學 丙 利 用 基 本 圖 形 三 角 形 的 連 接, 自 創 了 一 個 名 為 三 角 為 王 的 圖 形 連 接 遊 戲, 這 個 圖 形 中 使 用 的 基 本 圖 形 三 角 形 雖 然 與 六 魔 王 圖 形 連 接 遊 戲 中 的 基 本 圖 形 六 角 形 形 狀 不 同, 出 乎 意 料 的, 三 角 為 王 和 六 魔 王 這 兩 個 圖 形 轉 畫 成 垂 直 座 標 棋 盤 之 後, 圖 形 連 接 的 結 構 竟 然 相 同, 顯 示 這 兩 個 遊 戲 可 能 是 屬 於 同 難 度 的 遊 戲, 試 玩 的 結 果, 顯 示 這 兩 個 遊 戲 玩 法 一 致, 策 略 類 似, 甚 至 出 現 相 同 的 玩 成 平 手 情 形, 從 垂 直 座 標 棋 盤 的 連 接 圖 形 顯 示, 與 hx 遊 戲 不 盡 相 同, 且 相 意 處 大 於 相 同 處 h g 9 7 8

( 五 ) 遊 戲 五 ( 薇 薇 彩 帶 的 圖 形 連 接 遊 戲 ) h g 7 8 薇 薇 彩 帶 的 圖 形 連 接 遊 戲 是 由 同 學 乙 所 自 創 的 圖 形 連 接 類 遊 戲, 上 右 圖 為 薇 薇 彩 帶 遊 戲 轉 畫 成 垂 直 座 標 棋 盤 之 後 的 圖 形 連 接 通 道 情 形, 由 垂 直 座 標 棋 盤 的 分 析 顯 示, 薇 薇 彩 帶 圖 形 連 接 類 遊 戲 與 太 陽 - 笑 臉 遊 戲 和 飛 箭 渡 河 遊 戲 類 似, 不 同 的 圖 形 有 相 同 的 圖 形 連 接 結 構, 獲 勝 策 略 也 可 以 在 相 同 連 接 圖 形 中 使 用, 所 以 我 們 可 以 自 豪 的 說 叫 我 是 hx 遊 戲 王, 叫 我 第 一 名! ( 六 ) 遊 戲 六 ( 家 家 樂 的 圖 形 連 接 遊 戲 ) 在 自 創 遊 戲 的 過 程 中, 同 學 戊 自 創 了 家 家 樂 圖 形 連 接 遊 戲, 這 個 遊 戲 中 表 示 連 接 通 道 的 方 向 為 左 上 通 右 下 或 是 右 下 通 左 上, 但 是 不 能 連 接 左 下 通 右 上 或 是 右 上 通 左 下 的 通 道, 經 過 垂 直 座 標 棋 盤 分 析 之 後, 竟 然 此 棋 盤 與 hx 連 接 類 遊 戲 的 圖 形 連 結 構 相 同, 於 是 我 們 進 行 一 系 列 這 個 家 家 樂 遊 戲 的 探 討, h g 7 8 ( 七 ) 遊 戲 七 ( 鑽 石 達 令 的 圖 形 連 接 遊 戲 ) 8 7 g h 鑽 石 達 令 這 個 圖 形 連 接 遊 戲 是 經 過 後 面 基 本 圖 形 分 析 之 後, 我 們 與 老 師 腦 力 激 盪 所 產 生 的 遊 戲, 棋 盤 本 身 與 六 魔 王 很 像, 將 六 魔 王 的 棋 盤 翻 轉 之 後 就 是 鑽 石 達 令 的 棋 盤, 因 為 鑽 石 達 令 的 棋 盤 外 觀 很 像 一 顆 鑽 石, 所 以 我 們 將 之 命 名 之 0

柒 討 論 : 我 們 大 家 創 作 完 自 己 的 棋 盤 之 後, 接 著 根 據 分 析 hx 棋 盤 的 方 式, 將 自 創 的 連 接 遊 戲 棋 盤 重 新 繪 製 成 垂 直 座 標 的 棋 盤, 垂 直 座 標 棋 盤 的 圈 圈 表 示 在 遊 戲 棋 盤 中 的 位 置, 而 垂 直 座 標 棋 盤 中 的 直 線 就 表 示 位 置 之 間 是 否 有 通 道 連 接, 發 現 根 據 垂 直 座 標 棋 盤 的 分 析 顯 示 自 創 棋 盤 外 觀 也 許 和 hx 遊 戲 不 同, 如 遊 戲 六 家 家 樂 圖 形 連 接 遊 戲, 但 垂 直 座 標 棋 盤 卻 與 hx 棋 盤 一 樣, 顯 示 兩 者 難 度 跟 下 法 應 該 是 相 同 的, 實 際 試 玩 的 心 得 也 顯 示 如 此 後 來 我 們 更 分 析 垂 直 座 標 棋 盤 中 基 本 圖 形 基 本 圖 形 的 連 接 ( 擴 展 成 n n 棋 盤 ) 圓 圈 數 和 連 接 線 的 數 目, 分 析 圓 圈 數 和 連 接 線 的 數 目 讓 我 們 能 清 楚 了 解 連 接 圖 形 遊 戲 棋 盤 中 蘊 藏 的 數 字 奧 秘 神 秘 的 數 列, 因 為 破 解 了 連 接 圖 形 遊 戲 棋 盤 中 蘊 藏 的 數 字 奧 秘, 所 以 我 們 自 豪 地 稱 為 hx 遊 戲 王 ~ 叫 我 第 一 名 表 一 是 基 本 圖 形 為 三 角 形 的 垂 直 座 標 圖 形 分 析, 基 本 圖 形 為 三 角 形 擴 展 之 後 成 為 各 式 7 7 等 各 層 的 棋 盤, 其 中 飛 箭 渡 河 的 遊 戲, 一 開 始 遊 戲 規 則 設 定 為 不 能 對 角 連 接 ( 即 連 至 或 是 連 至 ), 這 個 未 改 良 前 的 遊 戲 規 則 是 玩 結 果 發 現 有 時 任 何 一 方 都 被 對 方 擋 住, 而 形 成 和 局 的 局 面, 經 過 老 師 建 議, 更 改 遊 戲 規 則 為 可 以 對 角 連 接 ( 此 為 飛 箭 渡 河 更 改 後 的 版 本 ),, 飛 箭 渡 河 圖 形 連 接 遊 戲 更 改 後 的 版 本, 可 形 成 四 邊 形 的 垂 直 座 標 圖 形, 根 據 垂 直 座 標 圖 形 新 結 果 顯 示, 此 遊 戲 玩 法 和 難 度 跟 太 陽 - 笑 臉 圖 形 連 接 及 薇 薇 彩 帶 圖 形 連 接 遊 戲 相 似, 都 屬 於 垂 直 座 標 圖 形 為 四 邊 形 的 圖 形 連 接 遊 戲 表 四 是 基 本 圖 形 為 四 邊 形 所 擴 展 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 之 分 析, 在 表 四 中, 有 兩 個 日 常 生 活 中 常 玩 的 遊 戲, 那 就 是 傳 聲 筒 ( 或 傳 紙 條 ) 遊 戲 和 的 遊 戲, 經 過 轉 畫 成 垂 直 座 標 棋 盤 之 後, 發 現 也 是 屬 於 圖 形 連 接 的 遊 戲 一 般 傳 聲 筒 ( 或 傳 紙 條 ) 遊 戲 的 遊 戲 是 全 班 分 組 競 賽, 由 前 往 後 傳 或 是 由 後 往 前 傳, 若 是 各 組 中 又 有 單 雙 號 ( 或 是 男 女 生 ), 則 又 可 以 變 成 一 組 中 橫 的 傳 ( 單 號 傳 給 雙 號 或 是 男 生 傳 給 女 生 ), 所 以 這 是 屬 於 基 本 圖 形 為 四 邊 形 的 圖 形 連 接 遊 戲, 而 一 般 玩 的 的 遊 戲 可 以 直 的 和 橫 的 連 成 一 條 直 線, 則 是 屬 於 基 本 圖 形 為 四 邊 形 第 三 類 的 圖 形 連 接 遊 戲 表 一 及 四 中 我 們 又 想 到 對 基 本 圖 形 每 邊 每 次 增 加 一 個 圓 圈 ( 指 遊 戲 棋 盤 中 位 置 ) 的 方 式 來 計 算 各 7 7 遊 戲 棋 盤 中 位 置 數 及 連 接 通 道 數 目, 表 一 及 四 中 各 類 別 的 圓 圈 數 目 及 連 接 通 道 數 目 形 成 一 個 有 趣 的 數 字 數 列 公 式 推 導, 老 師 讓 我 們 以 個 人 競 賽 及 討 論 觀 摩 的 方 式 推 導, 表 一 公 式 推 導 過 程 列 在 表 二 及 三, 表 四 公 式 推 導 過 程 列 在 表 五 至 七, 在 三 角 為 王 遊 戲 中 的 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -)+ {++++ +( 座 標 邊 數 -)} 的 公 式 是 首 先 較 難 理 解 的 關 卡, 我 們 利 用 一 個 個 數 字 一 層 層 的 計 算 之 後 便 得 出 {++++ +( 座 標 邊 數 -)}=(+( 座 標 邊 數 -)) ( 座 標 邊 數 -) 的 公 式, 後 來 又 碰 到 在 計 算 Hx 圖 形 遊 戲 中 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -) + {+++7+9 + [ ( 座 標 邊 數 -)-]} 公 式 的 關 卡, 以 前 所 習 以 為 常 的 一 個 一 個 累 加 或 是 奇 數 數 字 的 和 竟 然 可 以 變 成 數 列 並 寫 成 算 式, 真 令 我 們 感 到 驚 奇 尤 其 最 令 人 興 奮 的 是 自 創 遊 戲 中, 找 到 與 hx 連 接 遊 戲 棋 盤 同 樣 基 本 圖 形 構 成 的 垂 直 座 標 棋 盤, 根 據 垂 直 作 邊 棋 盤 分 析 顯 示 這 兩 種 棋 盤 雖 然 外 觀 看 起 來 不 同, 但 基 本 圖 形 都 是 四 邊 形 第 二 類 所 駔 成 的, 因 此 我 們 多 印 製 了 7 7 棋 盤, 以 方 便 兩 者 遊 戲 異 同 之 案 討 最 後, 我 們 根 據 各 層 垂 直 座 標 棋 盤 中 圈 圈 數 及 連 接 通 道 數 數 目 來 導 出 不 同 基 本 圖 形 的 各 層 垂 直 座 標 的 圓 圈 數 及 連 接 通 道 數 目 請 見 表 一 至 表 七 的 說 明

表 一 垂 直 座 標 圖 形 的 分 析 ( 圓 圈 表 示 原 遊 戲 圖 形 位 置 的 垂 直 座 標, 連 線 表 示 有 座 標 間 有 通 道 連 接 ) 自 創 遊 戲 飛 箭 渡 河 ( 未 改 良 前 版 本 ) 三 角 為 王 圖 形 連 接 鑽 石 達 令 圖 形 連 接 名 稱 六 魔 王 圖 形 連 接 類 別 三 角 形 第 一 類 三 角 形 第 二 類 三 角 形 第 二 類 基 本 圖 形 為 三 角 形 圓 圈 數 連 接 線 數 基 本 圖 形 連 接 ( 擴 展 成 X 棋 盤 ) X 棋 盤, 圓 圈 數 X 棋 盤 9 9 連 接 線 數 和 局 與 否 是 否 否 最 後 連 接 飛 箭 渡 河 ( 未 改 良 前 版 本 ) 三 角 為 王 有 時 無 法 連 接 有 時 無 法 連 接 情 形 有 時 無 法 連 接 六 魔 王 有 時 無 法 連 接 圓 圈 數 計 算 公 式 圓 圈 數 =( 垂 直 座 標 頭 個 數 + 垂 直 座 標 尾 個 數 ) 座 標 邊 數 圓 圈 數 =( 垂 直 座 標 頭 個 數 + 垂 直 座 標 尾 個 數 ) 座 標 邊 數 圓 圈 數 =( 垂 直 座 標 頭 個 數 + 垂 直 座 標 尾 個 數 ) 座 標 邊 數 連 接 線 數 計 算 公 式 同 學 甲 的 推 導 : 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -) 同 學 丁 的 推 導 : 座 標 邊 數 座 標 邊 數 - 座 標 邊 數 同 學 甲 乙 的 推 導 : 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -)+ {++++ +( 座 標 邊 數 -)} 或 是 連 接 通 道 數 目 =( 座 標 邊 數 +) 座 標 邊 數 +( 座 標 邊 數 -) 座 標 邊 數 同 學 甲 戊 的 推 導 : 或 是 連 接 通 道 數 目 = (+ +++ +( 座 標 邊 數 -)) 與 左 欄 公 式 相 同 : 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -)+ {+++++ +( 座 標 邊 數 -)} 同 學 丙 的 推 導 : 或 是 連 接 通 道 數 目 =( 座 標 邊 數 +) 座 標 邊 數 +( 座 標 邊 數 -) 座 標 邊 數

表 二 三 角 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 ( 三 角 形 ) 所 擴 展 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 中 之 圓 圈 數 及 連 接 通 道 數 目 分 析 棋 盤 基 本 圖 形 及 各 層 棋 盤 圓 圈 連 接 通 道 數 圓 圈 數 目 及 連 接 通 道 數 目 公 式 推 導 層 數 的 垂 直 座 標 圖 數 目 目 基 本 圖 形 圓 圈 數 目 =+ 連 接 通 道 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 = 圓 圈 數 目 =++ 連 接 通 道 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 = 0 圓 圈 數 目 =+++ 連 接 通 道 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 = 0 圓 圈 數 目 =++++ 連 接 通 道 數 目 = 0 或 是 連 接 通 道 數 目 = 0 圓 圈 數 目 =+++++ 連 接 通 道 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 = 7 7 8 圓 圈 數 目 =++ 連 接 通 道 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 =7 8 8 圓 圈 數 目 =++ 連 接 通 道 數 目 = 8 或 是 連 接 通 道 數 目 =8 7 9 9 未 畫 出, 請 在 心 中 想 像 並 準 備 推 導 公 式 7 圓 圈 數 目 =++ 連 接 通 道 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 =9 8 n n n 表 示 第 幾 層 棋 盤 ( 也 (n+) ( + + + 圓 圈 數 目 =n+ +++=(n+) n 是 座 標 邊 數 ) n + +(n-) 連 接 通 道 數 目 = (++++ +(n-)) ) 或 是 連 接 通 道 數 目 =n (n-)

表 三 三 角 形 第 二 類 中 基 本 圖 形 ( 三 角 形 ) 所 擴 展 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 中 之 圓 圈 數 及 連 接 通 道 數 目 分 析 棋 盤 層 數 基 本 圖 形 基 本 圖 形 及 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 圖 圓 圈 數 目 =+ 9=+ 連 接 通 道 數 目 ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) 0 8=+ ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) 0=0+0 ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) =0+ ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) 圓 圈 數 目 及 連 接 通 道 數 目 公 式 推 導 圓 圈 數 目 =+ 連 接 通 道 數 目 = + 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 圓 圈 數 目 =++ 連 接 通 道 數 目 = + 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 圓 圈 數 目 =+++ 連 接 通 道 數 目 = + 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 圓 圈 數 目 =++++ 連 接 通 道 數 目 = 0+0 或 是 連 接 通 道 數 目 = +0 圓 圈 數 目 =+++++ 連 接 通 道 數 目 = + 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 7 7 8 =+ 圓 圈 數 目 =++ ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 連 接 通 道 數 目 = + 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) 或 是 連 接 通 道 數 目 =7 + 8 8 8=+8 圓 圈 數 目 =++ ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 連 接 通 道 數 目 = 8+8 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) 或 是 連 接 通 道 數 目 =8 7+8 9 9 未 畫 出, 請 在 心 中 想 像 並 準 備 推 導 公 式 n n n 表 示 第 幾 層 棋 盤 ( 在 此 也 是 座 標 邊 數 ) 08=7+ ( 比 對 三 角 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 的 相 同 層 數 ) (n+) 連 接 通 道 數 目 =n n (n-)+ (++++ +(n-)) 圓 圈 數 目 =++ 連 接 通 道 數 目 = + 或 是 連 接 通 道 數 目 =9 8+ 圓 圈 數 目 =n+ +++ =(n+) n 連 接 通 道 數 目 == (++++ +(n-)) 或 是 連 接 通 道 數 目 =(n+) n +(n-) n

表 四 基 本 圖 形 ( 四 邊 形 ) 所 擴 展 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 中 之 圓 圈 數 及 連 接 通 道 數 目 分 析 自 創 遊 戲 名 稱 傳 聲 筒 或 傳 紙 條 遊 戲 ( 直 的 傳 或 橫 的 傳 ) 家 家 樂 圖 形 連 接 Hx 圖 形 連 接 遊 戲 太 陽 - 笑 臉 圖 形 連 接 飛 箭 渡 河 圖 形 連 接 ( 改 良 版 ) 薇 薇 彩 帶 圖 形 連 接 的 遊 戲 類 別 四 邊 形 第 一 類 四 邊 形 第 二 類 四 邊 形 第 二 類 四 邊 形 第 三 類 基 本 圖 形 為 四 邊 形 圓 圈 數 連 接 線 數 基 本 圖 形 連 接 ( 擴 展 成 X 棋 盤 X 棋 盤 9 9, 9 9, 圓 圈 數 X 棋 盤, 0 連 接 線 數 和 局 與 否 是 否? 是 最 後 連 接 是 是? 是 情 形 圓 圈 數 計 算 公 式 圓 圈 數 = 座 標 邊 數 座 標 邊 圓 圈 數 = 座 標 邊 數 座 標 邊 數 圓 圈 數 = 座 標 邊 數 座 標 邊 數 圓 圈 數 = 座 標 邊 數 座 標 邊 數 數 連 接 線 數 計 算 公 式 同 學 甲 的 推 導 : 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -) + ( + + + + +( 座 標 邊 數 -)) 同 學 丙 的 推 導 : 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -) 同 學 乙 推 導 : 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -) + {+++7+9 + [ ( 座 標 邊 數 -)-]} 同 學 乙 推 導 : 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -) + {+++7+9 + [ ( 座 標 邊 數 -)-]} 同 學 甲 推 導 : 連 接 線 數 = 座 標 邊 數 ( 座 標 邊 數 -) + {+++7+9 + [ ( 座 標 邊 數 -)-]}+( 座 標 邊 數 -) ( 座 標 邊 數 -)

表 五 四 邊 形 第 一 類 中 基 本 圖 形 ( 四 邊 形 ) 所 擴 展 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 中 之 圓 圈 數 及 連 接 通 道 數 目 分 析 棋 盤 層 數 基 本 圖 形 基 本 圖 形 及 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 圖 圓 圈 數 目 連 接 通 道 數 目 圓 圈 數 目 = 圓 圈 數 目 及 連 接 通 道 數 目 公 式 推 導 連 接 通 道 數 目 = + 9 圓 圈 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 連 接 通 道 數 目 = + 圓 圈 數 目 = 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 連 接 通 道 數 目 = + 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 0 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = +0 或 是 連 接 通 道 數 目 = +0 0 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = +0 或 是 連 接 通 道 數 目 = + 7 7 9 8 圓 圈 數 目 =7 7 連 接 通 道 數 目 =7 + 或 是 連 接 通 道 數 目 =7 + 8 8 圓 圈 數 目 =8 8 是 連 接 通 道 數 目 =8 7+ 或 是 連 接 通 道 數 目 =8 7+8 9 9 未 畫 出, 請 在 心 中 想 像 n n 並 準 備 推 導 公 式 n 表 示 第 幾 層 棋 盤 ( 也 是 座 標 邊 數 ) 8 圓 圈 數 目 =9 9 連 接 通 道 數 目 =9 8+7 或 是 連 接 通 道 數 目 =9 8+ n n n 圓 圈 數 目 =n n (n-) 連 接 通 道 數 目 =n (n-) +n (n-)= n (n-) 或 是 連 接 通 道 數 目 = n (n-) + (++++ +(n-))

表 六 四 邊 形 第 二 類 中 基 本 圖 形 ( 四 邊 形 ) 所 擴 展 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 中 之 圓 圈 數 及 連 接 通 道 數 目 分 析 棋 盤 基 本 圖 形 及 各 層 棋 盤 的 圓 圈 連 接 通 道 數 目 圓 圈 數 目 及 連 接 通 道 數 目 公 式 推 導 層 數 垂 直 座 標 圖 數 目 基 本 圖 形 =+ 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = +++ 9 =+ =+ 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = ++ =+9 =+7 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = ++9 =0+ =+ 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = +0+ 8=0+ 圓 圈 數 目 = =+9 連 接 通 道 數 目 = +0+ 7 7 8 8 9 9 未 畫 出, 請 在 心 中 想 像 並 準 備 推 導 公 式 9 0=8+ =8+ =+9 =0+ 08=+ =+7 圓 圈 數 目 =7 7 連 接 通 道 數 目 =7 ++ 圓 圈 數 目 =8 8 是 連 接 通 道 數 目 =8 7++9 圓 圈 數 目 =9 9 連 接 通 道 數 目 =9 8+7+ n n n 表 示 第 幾 層 棋 盤 ( 也 是 n n n (n-) + 圓 圈 數 目 =n n 座 標 邊 數 ) {+++7+9 + 連 接 通 道 數 目 = n [ (n-)-]} (n-)+{+++7+9 + [ (n-)-]} 或 是 連 接 通 道 數 目 = 第 (n-) 層 連 接 通 道 數 ++ (n-) 7

表 七 四 邊 形 第 三 類 中 基 本 圖 形 ( 四 邊 形 ) 所 擴 展 各 層 棋 盤 的 垂 直 座 標 中 之 圓 圈 數 及 連 接 通 道 數 目 分 析 棋 盤 基 本 圖 形 及 各 層 棋 圓 圈 連 接 通 道 數 目 圓 圈 數 目 及 連 接 通 道 數 目 公 式 推 導 層 數 盤 的 垂 直 座 標 圖 數 目 基 本 圖 形 =++ 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = +++ 9 0=++ =++ 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = +++ =+9+9 圓 圈 數 目 = =+7+9 連 接 通 道 數 目 = ++9+9 7=0++ 圓 圈 數 目 = =++ 連 接 通 道 數 目 = +0++ 0=0++ =+9+ 圓 圈 數 目 = 連 接 通 道 數 目 = +0++ 7 7 9 =8++ =8++ 圓 圈 數 目 =7 7 連 接 通 道 數 目 =7 +++ 8 8 0=+9+9 =0++9 圓 圈 數 目 =8 8 是 連 接 通 道 數 目 =8 7++9+9 9 9 未 畫 出, 請 在 心 中 想 像 並 準 備 推 導 公 式 8 7=++ =+7+ 圓 圈 數 目 =9 9 連 接 通 道 數 目 =9 8+7++ n n n 表 示 第 幾 層 棋 盤 n n n (n-) + { 圓 圈 數 目 =n n ( 也 是 座 標 邊 數 ) +++7+9 + [ 連 接 通 道 數 目 = n (n-)-]}+(n-) (n-)+{+++7+9 + [ (n-) (n-)-]}+(n-) (n-) 8

捌 結 論 : 我 們 看 到 介 紹 納 許 棋 的 資 料 上 說 : 這 個 遊 戲 是 先 玩 者 是 有 必 勝 策 略 的 遊 戲, 我 們 很 好 奇 是 否 有 必 勝 的 走 法, 於 是 分 析 平 日 對 下 結 果 的 紀 錄, 這 張 比 賽 紀 錄 圖 是 月 7 日 ( 進 行 研 究 的 同 學 丙 ) 跟 電 腦 比 賽 結 果, 最 後 是 我 輸 了, 差 了 一 子 (E), 而 電 腦 ( 後 下 者 ) 竟 然 還 是 有 辦 法 贏, 可 見 得 當 時 還 有 沒 找 到 必 勝 策 略, 後 來 更 進 一 步 深 入 研 究, 才 發 現 只 要 下 對 子, 每 步 都 遵 守 獲 勝 規 則 的 話, 是 真 的 先 下 會 獲 勝 喔! 經 過 跟 電 腦 及 跟 同 學 對 下 之 後, 讓 我 們 發 現 一 些 能 擊 敗 對 方 的 方 法, 但 是 實 際 上 與 電 腦 對 下 之 後, 才 發 現 還 有 一 些 沒 有 考 慮 到 的 部 分, 因 為 時 間 限 制 還 無 法 探 究 完 畢, 但 是 這 樣 的 經 驗 也 讓 我 知 道 怎 樣 才 能 製 作 屬 於 自 己 的 hx 遊 戲 方 法 一 : 要 先 讓 自 己 連 接 起 來 才 有 機 會 可 以 獲 勝 ( 使 用 黏 的 策 略, 指 我 方 一 子 貼 近 對 方 一 子 的 一 子 下 ) 方 法 二 : 要 截 斷 對 方 連 接 線 的 路 徑, 才 有 機 會 獲 勝 方 法 三 : 造 橋 能 增 加 獲 勝 機 會, 還 可 以 使 用 雙 造 橋 方 法 四 : 要 注 意 連 接 對 外 出 ( 入 ) 口 才 有 機 會 可 以 獲 勝 方 法 五 : 要 選 擇 通 道 數 比 較 多 的 位 置 的 地 方 來 下, 比 較 有 機 會 獲 勝 而 在 垂 直 座 標 圖 形 的 分 析 中, 我 們 發 現 要 判 斷 不 同 圖 形 連 接 遊 戲 是 否 相 同, 不 能 靠 遊 戲 外 觀 或 外 形 來 判 斷, 需 將 遊 戲 棋 盤 轉 畫 成 垂 直 座 標 棋 盤, 看 看 基 本 圖 形 是 屬 於 哪 一 類, 並 計 算 遊 戲 棋 盤 中 的 位 置 數 ( 圈 圈 數 目 ) 及 連 接 通 道 數 目 來 判 斷 其 中, 垂 直 座 標 圖 形 中 基 本 圖 形 為 三 角 形 的 分 為 兩 類, 分 別 是 第 一 類 飛 箭 渡 河 遊 戲 ( 未 改 良 版 ) 和 第 二 類 三 角 為 王 六 魔 王 和 鑽 石 達 令 遊 戲, 由 基 本 圖 形 為 三 角 形 組 成 的 垂 直 座 標 棋 盤 外 觀 是 三 角 形, 位 置 之 間 連 接 通 道 數 比 起 垂 直 座 標 圖 形 中 基 本 圖 形 是 四 邊 形 的 圖 形 連 接 數 目 少 了 許 多, 導 致 彼 此 ( 位 置 間 ) 易 被 阻 斷, 產 生 和 局 的 情 形 ; 相 較 之 下, 垂 直 座 標 圖 形 中 基 本 圖 形 是 四 邊 形 的 分 為 三 類, 分 別 是 第 一 類 日 常 生 活 中 常 玩 的 傳 聲 筒 或 傳 紙 條 遊 戲 ( 直 的 傳 或 橫 的 傳 ) 和 第 三 類 遊 戲 太 陽 - 笑 臉 飛 箭 渡 河 ( 改 良 版 ) 及 薇 薇 彩 帶 圖 形 連 接 遊 戲, 而 本 研 究 中 hx 遊 戲 及 自 創 遊 戲 ( 家 家 樂 圖 形 連 接 遊 戲 ) 屬 於 第 二 類, 兩 者 由 相 同 基 本 圖 形 ( 四 邊 形 及 左 上 至 右 下 連 接 通 道 ) 組 成, 不 同 外 觀 的 棋 盤 及 遊 戲 棋 盤 圖 形 內 竟 然 存 在 相 同 的 垂 直 座 標 中 之 基 本 圖 形 及 連 接 方 式, 真 是 令 人 興 奮, 尤 其 計 算 各 層 棋 盤 中 圈 圈 數 及 通 道 數 目 所 組 成 的 數 列, 令 人 讚 嘆 圖 形 中 蘊 藏 數 列 的 奧 秘 因 為 時 間 的 限 制, 未 能 對 8X8 9X9 0X0 及 X 的 棋 盤 作 探 討, 希 望 以 後 還 有 機 會 作 更 進 一 步 的 研 究 玖 參 考 資 料 及 其 他 : http://www.stupioxgms.om/hxvx/ http://www.gm88.om/lsh-gm/9.html http://www.mthln.iv.tw/un/nshgm.htm http://mth.ntnu.u.tw/~mo/moook/rith/9.p http://mth.ntnu.u.tw/~mo/moook/mt/mt7.p 9

評 語 080 本 研 究 先 探 究 hx 遊 戲 的 獲 勝 技 巧, 根 據 垂 直 座 標 表 示 法 分 析 自 創 圖 形 連 結 的 八 種 遊 戲, 值 得 鼓 勵 唯 數 學 的 深 度 較 顯 不 足, 可 再 努 力