100 年 數 學 乙 考 科 指 考 試 題 關 鍵 解 析 前 言 民 國 98 年 起, 數 學 乙 考 科 測 驗 範 圍 限 縮 了 大 部 分, 僅 觸 及 大 學 管 理 學 院 與 商 學 院 所 用 的 部 分, 排 列 組 合 與 機 率 統 計 搖 身 一 變 成 出 題 的 主 角, 但 題 目 平 易 重 觀 念 今 年 的 數 學 乙 試 題 如 往 年, 重 視 基 本 觀 念, 計 算 簡 單, 試 題 內 容 都 是 高 中 教 材 重 要 的 概 念 下 表 是 數 學 乙 試 題 因 應 九 五 課 綱, 九 十 八 年 宣 佈 的 指 定 科 目 數 學 乙 測 驗 內 容 各 冊 分 配 情 形 : 冊 別 單 元 名 稱 題 型 單 選 題 多 選 題 選 填 題 非 選 擇 題 第 一 多 項 式 A 8 冊 第 二 指 數 與 對 數 5 8 冊 第 排 列 組 合 6 四 機 率 與 統 計 ( I ) 冊 1 3, 4, 6 B 38 選 機 率 與 統 計 (II) 1 6 修 矩 陣 C 二 0 (I) 不 等 式 D 一 0 註 : 選 填 題 C 用 坐 標 觀 念 解 之 更 便 利 配 分 數 學 乙 考 科 1
試 題 詳 解 與 分 析 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ) 一 單 選 題 (1 分 ) 說 明.. 第 1 題 至 第 題, 每 題 5 個 選 項, 其 中 只 有 1 個 是 正 確 的 選 項, 畫 記 在 答 案 卡 解 答 欄 各 題 答 對 得 6 分, 未 作 答 答 錯 或 畫 記 多 於 1 個 選 項 者, 該 題 以 零 分 計 算 1. 符 號 P (C) 代 表 事 件 C 發 生 的 機 率, 符 號 P ( C D ) 代 表 在 事 件 D 發 生 的 條 件 下, 事 件 C 發 生 的 機 率 今 設 A, B 為 樣 本 空 間 中 的 兩 個 事 件, 已 知 P ( A )=P ( B )=0.6 請 選 出 正 確 的 選 項 (1) P ( A B )=1 () P ( A B )=0. (3) P ( A B )=1 (4) P ( A B )=P ( B A ) (5) A, B 是 獨 立 事 件 答 案 (4) 概 念 中 心 機 率 的 性 質 條 件 機 率 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 3- 機 率 的 性 質 選 修 數 學 (I)1-1 條 件 機 率 獨 立 事 件 與 貝 氏 定 理 試 題 解 析 A, B 為 樣 本 空 間 S 的 個 事 件 A B 不 一 定 是 S P ( A B ), P ( A B ) 不 能 求 (4) P ( A B )= P ( A B ) P (B) = P ( A B ) P (A). 如 圖, 平 面 上 五 個 大 小 相 同 的 圓 圈 用 四 根 長 度 相 同 的 線 段 連 接 =P ( B A ), 故 選 (4) 成 十 字 形, 其 中 任 意 兩 相 鄰 線 段 均 互 相 垂 直 今 欲 將 其 中 兩 個 圓 圈 著 上 藍 色, 其 他 圓 圈 著 上 紅 色, 並 規 定 在 著 好 色 之 後 將 圖 形 繞 十 字 形 的 中 心 旋 轉 產 生 的 各 種 著 色 法 均 視 為 同 一 種, 試 問 共 有 幾 種 著 色 法? (1) 3 () 6 (3) 10 (4) 0 (5) 3 答 案 (1) 概 念 中 心 環 狀 排 列 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 -3 排 列 試 題 解 析 兩 個 圓 圈 著 藍 色 三 個 圓 圈 著 紅 色 : 若 中 央 著 紅 色 : 若 中 央 著 藍 色 : 共 有 3 種 著 色 法, 故 選 (1) 100 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析
二 多 選 題 (3 分 ) 說 明.. 第 3 題 至 第 6 題, 每 題 有 4 個 選 項, 其 中 至 少 有 1 個 是 正 確 的 選 項, 選 出 正 確 選 項, 畫 記 在 答 案 卡 解 答 欄 各 題 之 選 項 獨 立 判 定 所 有 選 項 均 答 對 者, 得 8 分 ; 答 錯 1 個 選 項 者, 得 4 分 ; 所 有 選 項 均 未 作 答 或 答 錯 多 於 1 個 選 項 者, 該 題 以 零 分 計 算 3. 某 種 疾 病 有 甲 乙 丙 三 種 檢 測 方 法 若 受 檢 者 檢 測 反 應 為 陽 性, 以 符 號 + 表 示, 反 之 則 記 為 - 一 個 受 檢 者 接 受 三 種 檢 測 方 法 呈 現 之 結 果 共 有 A 1,, A 8 八 種 不 同 的 可 能 情 況, 例 如 事 件 A 1 表 示 該 受 檢 者 以 三 種 方 法 檢 測 反 應 皆 為 陽 性, 其 餘 類 推 ( 如 下 表 ): A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 方 法 甲 + + + - + - - - 方 法 乙 + + - + - + - - 方 法 丙 + - + + - - + - 以 P ( A 1 ),, P ( A 8 ) 分 別 代 表 事 件 A 1,, A 8 發 生 之 機 率 請 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的? (1) P ( A 1 A )=P ( A 1 )+P ( A ) () 以 方 法 乙 檢 測 結 果 為 陽 性 的 機 率 是 P ( A 1 )+P ( A )+P ( A 4 )+P ( A 6 ) (3) 以 方 法 甲 與 方 法 乙 檢 測, 結 果 一 致 的 機 率 是 P ( A 1 )+P ( A ) (4) 以 方 法 甲 乙 丙 檢 測, 結 果 一 致 的 機 率 是 P ( A 1 ) 答 案 (1)() 概 念 中 心 機 率 的 性 質 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 3- 機 率 的 性 質 試 題 解 析 八 種 可 能 的 情 況 是 互 斥 (1) P ( A 1 A )=P ( A 1 )+P ( A )-P ( A 1 A ) =P ( A 1 )+P ( A ) () 方 法 乙 P ( 受 檢 者 結 果 為 陽 性 )=P ( A 1 A A 4 A 6 ) (3) 方 法 甲 方 法 乙 =P ( A 1 )+P ( A )+P ( A 4 )+P ( A 6 ) P ( 受 檢 者 結 果 一 致 )=P ( A 1 A A 7 A 8 ) =P ( A 1 )+P ( A )+P ( A 7 )+P ( A 8 ) (4) 方 法 甲 方 法 乙 方 法 丙 P ( 受 檢 者 結 果 一 致 )=P ( A 1 A 8 ) 故 選 (1)() =P ( A 1 )+P ( A 8 ) 數 學 乙 考 科 3
4. 某 訓 練 班 招 收 100 名 學 員, 以 報 到 先 後 順 序 賦 予 1 到 100 號 的 學 號 開 訓 一 個 月 之 後, 班 主 任 計 畫 從 100 位 學 員 中 抽 出 50 位 來 參 加 時 事 測 驗 他 擬 定 了 四 個 抽 籤 方 案 : 方 案 一 : 在 1 到 50 號 中, 隨 機 抽 出 5 位 學 員 ; 同 時 在 51 到 100 號 中, 也 隨 機 抽 出 5 位 學 員, 共 50 位 學 員 參 加 測 驗 方 案 二 : 在 1 到 60 號 中, 隨 機 抽 出 3 位 學 員 ; 同 時 在 61 到 100 號 中, 也 隨 機 抽 出 18 位 學 員, 共 50 位 學 員 參 加 測 驗 方 案 三 : 將 100 位 學 員 平 均 分 成 50 組 ; 在 每 組 人 中, 隨 機 抽 出 1 人, 共 50 位 學 員 參 加 測 驗 方 案 四 : 擲 一 粒 公 正 的 骰 子 : 如 果 出 現 的 點 數 是 偶 數, 則 由 學 號 是 偶 數 的 學 員 參 加 測 驗 ; 反 之, 則 由 學 號 是 奇 數 的 學 員 參 加 測 驗 請 選 出 正 確 的 選 項 (1) 方 案 一 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 () 方 案 二 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 (3) 方 案 三 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 (4) 方 案 四 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 答 案 (1)(3)(4) 概 念 中 心 機 率 的 定 義 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 3- 機 率 的 性 質 C 1 1.C 49 4 試 題 解 析 (1) 1~50: 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 為 C 50 = 5 5 50 = 1 C 1 1.C 49 4 51~100: 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 為 C 50 = 5 5 50 = 1 C 1 1.C 59 31 () 1~60: 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 為 C 60 = 3 3 60 = 8 15 C 1 1.C 39 17 61~100: 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 為 C 40 = 18 18 40 = 9 0 (3) 每 組 人, 隨 機 抽 出 1 人, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 均 為 C 1 1 C 1 = 1 (4) 學 號 是 偶 數 的 學 員 被 抽 中 的 機 率 為 C 3 1 C 6 1 = 1, 學 號 是 奇 數 的 學 員 被 抽 中 的 機 率 為 故 選 (1)(3)(4) C 3 1 C 6 1 = 1 5. 設 (π, r ) 為 函 數 y=log x 圖 形 上 之 一 點, 其 中 π 為 圓 周 率,r 為 一 實 數 請 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的? (1) ( r,π) 為 函 數 y= x 圖 形 上 之 一 點 1 () ( -r,π) 為 函 數 y=( ) x 圖 形 上 之 一 點 1 (3) ( π, r ) 為 函 數 y=log 1 / x 圖 形 上 之 一 點 (4) ( r, π) 為 函 數 y=4 x 圖 形 上 之 一 點 4 100 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析
答 案 (1)()(3) 概 念 中 心 指 數 與 對 數 的 互 換 性 質 的 應 用 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 二 冊 1-1 指 數 1-3 對 數 試 題 解 析 點 (π, r ) 是 y=log x 圖 形 上 的 一 點 log π=r r =π π=( 1 )-r log 1 π=-r log 1 1 π =r (4) 4 r = r =( r ) =π 點 ( r, π) 不 在 y=4 x 圖 形 上 故 選 (1)()(3) 6. 某 校 數 學 複 習 考 有 400 位 同 學 參 加, 評 分 後 校 方 將 此 400 位 同 學 依 總 分 由 高 到 低 排 序 : 前 100 人 為 A 組, 次 100 人 為 B 組, 再 次 100 人 為 C 組, 最 後 100 人 為 D 組 校 方 進 一 步 逐 題 分 析 同 學 答 題 情 形, 將 各 組 在 填 充 第 一 題 ( 考 排 列 組 合 ) 和 填 充 第 二 題 ( 考 空 間 概 念 ) 的 答 對 率 列 表 如 下 : A 組 B 組 C 組 D 組 第 一 題 答 對 率 100% 80% 70% 0% 第 二 題 答 對 率 100% 80% 30% 0% 請 選 出 正 確 的 選 項 (1) 第 一 題 答 錯 的 同 學, 不 可 能 屬 於 B 組 () 從 第 二 題 答 錯 的 同 學 中 隨 機 抽 出 一 人, 此 人 屬 於 B 組 的 機 率 大 於 0.5 (3) 全 體 同 學 第 一 題 的 答 對 率 比 全 體 同 學 第 二 題 的 答 對 率 高 15% (4) 從 C 組 同 學 中 隨 機 抽 出 一 人, 此 人 第 一 二 題 都 答 對 的 機 率 不 可 能 大 於 0.3 答 案 (3)(4) 概 念 中 心 機 率 的 性 質 條 件 機 率 命 題 出 處 南 一 版 選 修 數 學 (I)1-1 條 件 機 率 獨 立 事 件 與 貝 氏 定 理 數 學 第 四 冊 3- 機 率 的 性 質 試 題 解 析 (1) 第 一 題 答 錯 者, 不 可 能 屬 於 A 組, 其 他 組 都 有 可 能 () 第 二 題 答 錯 B:0 人,C:70 人,D:100 人, 共 190 人 任 抽 1 人, 屬 於 B 組 的 機 率 為 (3) 全 體 同 學 第 一 題 的 答 對 率 = 100+80+70+0 400 第 二 題 的 答 對 率 = 100+80+30+0 400 (4) C 組 0 190 = 19 <0.5 = 7 40 =67.5% = 1 40 =5.5% 對 於 事 件 A, B, 得 P ( A B ) P ( A ), P ( A B ) P ( B ) P ( 第 一 二 題 都 答 對 ) 不 大 於 P ( 第 一 題 答 對 ) P ( 第 二 題 答 對 ) P ( 第 一 二 題 都 答 對 ) 0.3 故 選 (3)(4) 數 學 乙 考 科 5
三 選 填 題 ( 分 ) 說 明.. 第 A 至 第 D 題 為 選 填 題, 請 在 答 案 卡 的 解 答 欄 之 列 號 ( 7-15 ) 中 標 示 答 案 每 一 題 完 全 答 對 得 8 分, 答 錯 不 倒 扣, 未 完 全 答 對 不 給 分 A. 設 f (x)=x 5 -x 3 +x -x-4,g (x)=x 4 +x 3 +x +3x+,h (x) 為 f (x) 與 g (x) 的 最 高 公 因 式 且 最 高 次 項 係 數 為 1, 則 h (1) 與 h () 的 乘 積 為 7 8 答 案 48 概 念 中 心 求 最 高 公 因 式 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 一 冊 3-3 最 高 公 因 式 與 最 低 公 倍 式 試 題 解 析 利 用 輾 轉 相 除 法 1-1 1+0-1+--4 1+1+1+3+ -1-1 1+1+1+3+ -1--1-4-4-1-1-1-3-1+0+1+ 1+0+1+ 1+0+1+ -1+0-1- 0 h (x)=x 3 +x+ h (1).h ()=4.1=48 B. 為 講 解 信 賴 區 間 與 信 心 水 準, 數 學 老 師 請 全 班 40 位 同 學 使 用 老 師 提 供 的 亂 數 表 模 擬 投 擲 均 勻 銅 板 16 次 模 擬 的 過 程 如 下 : 隨 機 指 定 給 每 位 同 學 亂 數 表 的 某 一 列, 該 列 從 左 到 右 有 16 個 數 字 ; 如 果 數 字 為 0, 1,, 3, 4 時, 對 應 投 擲 銅 板 得 到 正 面 ; 而 數 字 為 5, 6, 7, 8,9 時, 對 應 投 擲 得 到 反 面 某 同 學 拿 到 的 一 列 數 字 依 序 為 : 061 9683 451 9138 該 同 學 計 算 銅 板 出 現 正 面 的 機 率 在 95% 信 心 水 準 下 的 信 賴 區 間 : p - p ( 1-p ) n, p + p ( 1-p ) n 則 該 同 學 所 得 到 的 結 果 中, p ( 1-p ) n = 9 10 3 ( 化 為 最 簡 根 式 ) 答 案 3 7 3 概 念 中 心 信 賴 區 間 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 3-6 信 賴 區 間 與 信 心 水 準 解 讀 試 題 解 析 該 同 學 計 算 銅 板 出 現 正 面 9 次 反 面 7 次, 出 現 正 面 :p = 9 16 p ( 1-p ) n = 9 16. 7 16 16 = 3 7 3 6 100 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析
C. 坐 標 平 面 上 有 一 面 積 為 40 的 凸 四 邊 形, 其 四 個 頂 點 的 坐 標 按 逆 時 針 方 向 依 序 為 ( 0, 0 ) ( 4, ) ( x, x ) 及 (, 6 ), 則 x= 11 1 答 案 10 概 念 中 心 面 積 與 二 階 行 列 式 命 題 出 處 南 一 版 選 修 數 學 (I)-4 行 列 式 數 學 第 三 冊 -6 一 次 方 程 組 試 題 解 析 作 簡 圖 如 右, 凸 四 邊 形 的 面 積 40=( OPC )+( 梯 形 PQBC )+( 梯 形 QRAB )-( ORA ) = 1 x+6..6+ ( x- )+ +x ( 4-x )- 1.4. =4x x=10 另 法 OA=( 4, ),OC=(, 6 ), AB =( x-4, x- ), AC =(-, 4 ) 凸 四 邊 形 的 面 積 40=( OAC )+( ABC ) = 1 4 6 + 1 x-4 x- - 4 =10+ x-5 x-5=±15 x=10 或 x=-5 ( 不 合 ) 註 : 可 用 三 階 行 列 式 求 之 D. 一 線 性 規 劃 問 題 的 可 行 解 區 域 為 坐 標 平 面 上 由 點 A ( 0, 30 ) B ( 18, 7 ) C ( 0, 0 ) D (, 3 ) 所 圍 成 的 平 行 四 邊 形 及 其 內 部 已 知 目 標 函 數 ax+by ( 其 中 a, b 為 常 數 ) 在 D 點 有 最 小 值 48, 則 此 目 標 函 數 在 同 個 可 行 解 區 域 的 最 大 值 為 13 14 15 答 案 43 概 念 中 心 線 性 規 劃 命 題 出 處 南 一 版 選 修 數 學 (I)3-3 線 性 規 劃 試 題 解 析 頂 點 A ( 0, 30 ) B ( 18, 7 ) C ( 0, 0 ) D (, 3 ) ax+by 30b 18a+7b 0a a+3b 由 題 意 :a+3b=48 30b a+3b 又 18a+7b a+3b 0a a+3b a 7b,a+3b 0,6a b ( 18a+7b )-30b=18a-3b=3 ( 6a-b ) 0, ( 18a+7b )-0a=7b-a 0 最 大 值 為 18a+7b=9 ( a+3b )=9 48=43 數 學 乙 考 科 7
第 貳 部 分 : 非 選 擇 題 ( 占 4 分 ) 說 明.. 本 大 題 共 有 二 題 計 算 證 明 題, 答 案 務 必 寫 在 答 案 卷 上, 並 於 題 號 欄 標 明 題 號 ( 一 二 ) 與 子 題 號 ( (1) () ), 同 時 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由, 否 則 將 予 扣 分 務 必 使 用 筆 尖 較 粗 之 黑 色 墨 水 的 筆 書 寫, 且 不 得 使 用 鉛 筆 每 題 配 分 標 於 題 末 1. 設 a, b 為 實 數 已 知 坐 標 平 面 上 滿 足 聯 立 不 等 式 x+y 0 x+y 6 x-y 0 y ax-b 的 區 域 是 一 個 菱 形 (1) 試 求 此 菱 形 之 邊 長 ( 4 分 ) () 試 求 a, b ( 8 分 ) 答 案 (1) 5 ;() a=,b=3 10 概 念 中 心 二 元 一 次 不 等 式 命 題 出 處 南 一 版 選 修 數 學 (I)3- 條 件 不 等 式 試 題 解 析 菱 形 的 對 邊 平 行 四 邊 等 長 (1) x-y=0 與 y=ax-b 平 行 a= () 作 圖 如 右, 又 y ax-b, 即 x-y-b 0 由 右 圖 知 x-y-b 0 含 有 ( 0, 0 ) b>0 x+y=0 x-y-b=0 交 點 B ( OA = OB b 3, - b 3 ) +4 = ( b 3 ) +( - b 3 ) b =90 b=3 10 得 (1) 菱 形 之 邊 長 = OA = 0 = 5 () a=,b=3 10 8 100 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析
. 設 A= a b c d 為 二 階 實 係 數 方 陣 (1) 當 A 為 轉 移 矩 陣 時, 試 敘 述 實 數 a b c d 須 滿 足 的 條 件 ( 6 分 ) () 試 證 : 當 A 為 轉 移 矩 陣 時,A 也 是 轉 移 矩 陣 ( 式 中 A 代 表 A 與 A 的 乘 積 ) ( 6 分 ) 答 案 見 解 析 概 念 中 心 轉 移 矩 陣 命 題 出 處 南 一 版 選 修 數 學 (I)- 矩 陣 的 乘 法 及 其 意 義 試 題 解 析 (1) a b c d 為 轉 移 矩 陣 1 0 a, b, c, d 1 a+c=1,b+d=1 () A 為 轉 移 矩 陣 時,a, b, c, d 滿 足 (1) 之 條 件 A = a b c d a b c d = a +bc ab+bd ca+dc cb+d ( a +bc )+( ca+dc )=a ( a+c )+( b+d ) c=a+c=1 ( ab+bd )+( cb+d )=( a+c ) b+( b+d ) d=b+d=1 又 a +bc 0, ca+dc 0 0 a +bc 1, 0 ca+dc 1 ab+bd 0, cb+d 0 0 ab+bd 1, 0 cb+d 1 A 也 是 轉 移 矩 陣 結 論 指 考 科 目 數 學 考 科 的 測 驗 目 標 : 除 了 概 念 性 知 識 程 序 性 知 識 及 解 決 問 題 的 能 力 外, 也 著 重 解 決 問 題 中 閱 讀 表 達 連 結 以 及 推 理 分 析 論 證 的 能 力 今 年, 數 學 乙 考 了 一 題 有 關 轉 移 矩 陣 的 證 明, 很 多 人 大 感 意 外 因 為 很 多 同 學, 以 致 於 任 教 的 老 師 常 忽 視 數 學 乙 也 要 加 強 分 析 與 論 證 簡 易 的 證 明 不 可 偏 廢, 老 師 要 提 醒 同 學 平 日 著 重 觀 念 的 建 立, 試 題 分 析 的 加 強, 耐 性 地 閱 讀, 了 解 題 目 的 內 涵, 這 樣 才 能 幫 助 解 題 順 利 數 學 乙 考 科 9