目 次

第 章 數 列 與 級 數 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 4-3 數 學 歸 納 法 35 附 表 希 臘 字 母 表 40

第 二 章 數 列 與 級 數 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 一 數 列 : 一 連 串 依 序 排 列 的 數, 叫 做 數 列 數 列 中 第 一 個 數 稱 為 第 一 項 或 首 項, 第 二 個 數 稱 為 第 二 項, 依 此 類 推 : () :(Ⅰ) 有 限 數 列 : 項 數 是 有 限 多 項, 其 中 最 後 一 項 亦 稱 為 末 項 例 如 :,,,,3,,4, (Ⅱ) 無 限 數 列 : 項 數 是 無 限 多 項 例 如 :,.4,.4,.44,.44,.44, () :(Ⅰ) 等 差 數 列 : 相 鄰 兩 項 中, 後 項 減 前 項 是 一 個 固 定 的 數 例 如 :,3,5,7,9,, (Ⅱ) 等 比 數 列 : 相 鄰 兩 項 中, 後 項 除 以 前 項 是 一 個 固 定 的 數 例 如 :-,4,-8,6,-3,64, (Ⅲ) 調 和 數 列 : 若 每 一 項 的 倒 數 形 成 等 差 數 列, 我 們 稱 此 數 列 為 調 和 數 列 例 如 :, 5, 8,, 4, : 我 們 可 以 把 數 列 寫 成 下 列 形 式 : ()a,a,a 3,,a ( 有 限 數 列 ) ()a,a,a 3,,a, ( 無 限 數 列 ) 上 面 的 數 列 可 以 簡 寫 成 <a k >( 或 {a k }), 其 中 a k 表 數 列 的 第 k 項, 亦 稱 為 該 數 列 的 一 般 項 上 面 的 數 列 () 因 為 是 有 限 數 列, 所 以 可 以 詳 記 為 <a k > 或 {a k } ; 數 列 () 因 為 是 無 限 數 列, 所 以 可 以 詳 記 為 <a k > = k 或 {a k } ( 其 中 表 無 限 大 ) 另 外, 我 們 也 可 以 用 <b k > <c k > 或 <u k > 等 不 同 的 符 號 來 區 分 不 同 的 數 列 例 題 :. 寫 出 以 下 列 各 式 為 一 般 項 的 數 列 之 前 五 項 : ()a k =3k+ ()b k =( 3 )k (3)c k =k (4)d k = 解 : As:() 4,7,0,3,6 () 3, 4 9, 8 7, 6 8, 3 43 (3),4,9,6,5 (4),,,, 高 中 數 學 ( 一 )

例 題 :. 寫 出 下 列 數 列 的 前 五 項 : ()<-k+0> ()<(-) k k > (3)< k + > 解 : As:() 8,6,4,,0 ()-,,-,,- (3), 3, 3 4, 4 5, 5 6 : 數 列 各 項 之 間 或 隱 含 某 一 種 規 律 性, 或 難 以 找 出 它 們 的 規 律 性, 上 面 的 例 題 所 介 紹 的 數 列, 其 一 般 項 ( 第 k 項 ) 是 用 k 的 式 子 表 示, 各 項 的 出 現 是 依 循 某 種 規 律 的 還 有 一 種 數 列, 給 定 首 兩 項 的 值 及 相 鄰 三 項 的 關 係 式 就 可 求 出 所 要 的 項 ( 如 例 題 3.()), 它 也 是 有 規 律 的 ; 但 也 有 一 種 數 列, 各 項 的 出 現 不 易 找 出 規 律 性, 一 般 項 很 難 用 式 子 來 表 示 ( 如 例 題 3.()) 例 題 :3.() 設 數 列 <F k > 滿 足 :F =F =, 且 F k+ =F k+ +F k (k N), 試 求 此 數 列 的 前 十 項 ( 此 數 列 稱 為 費 布 那 西 數 列 ) () 全 體 的 質 數 由 小 到 大 依 序 排 列, 可 形 成 一 個 數 列, 試 求 此 數 列 的 前 十 項 解 : As:(),,,3,5,8,3,,34,55 (),3,5,7,,3,7,9,3,9 二 等 差 數 列 與 等 差 級 數 : 給 一 個 數 列 <a k >, 如 果 相 鄰 兩 項 的 後 項 減 去 前 項 是 一 個 固 定 的 數 d, 即 a -a =a 3 -a =a 4 -a 3 = =a -a -= =d, 此 時 稱 數 列 <a k > 為 等 差 數 列 或 算 術 數 列 ( 記 為 A.P.,arithmetic progressio),d 稱 為 公 差, 若 a 為 首 項, 則 <a k > 可 以 寫 成 a,a +d,a +d,a +3d, 由 此 可 推 得 第 k 項 a k =a +(k-) d a k =a m +(k-m) d - 等 差 級 數 與 等 比 級 數

例 題 :4.() 設 <a k > 是 等 差 數 列 :4,9,4,9,, 求 一 般 項 a k () 設 <a k > 是 等 差 數 列, 且 a 0 =55,a 0 =5, 求 a 6 與 一 般 項 a k (3) 設 a k =7k-, 求 數 列 <a k > 的 公 差 d 及 首 項 a 解 : As:() a k =-+5k () a 6 =7;a k =85-3k (3) d=7;a =5 若 數 列 <a k > 的 一 般 項 a k =αk+β( 其 中 α β 為 常 數 ), 則 <a k > 為 等 差 數 列, 且 公 差 d=α( 即 k 的 係 數 ) 例 題 :5.() 一 等 差 數 列 首 項 為, 公 差 為, 則 99 是 數 列 的 第 幾 項? () 已 知 等 差 數 列 :3, 3,0 3,, 則 -8 3 是 數 列 的 第 幾 項? 解 : As:() 50 () 3 3 高 中 數 學 ( 一 )

例 題 :6. 依 照 下 頁 圖 的 方 式, 用 火 柴 拼 成 正 方 形 () 當 正 方 形 的 個 數 是 0 時, 要 用 多 少 根 火 柴? () 要 拼 成 個 正 方 形, 需 要 多 少 根 火 柴? (3) 用 70 根 火 柴 能 拼 成 多 少 個 正 方 形? 解 : As:() 3 () 3+ (3) 3 : 若 x y z 形 成 等 差, 則 y 稱 為 x z 的 等 差 中 項 ( 或 算 術 中 項 ) x + z, 且 y=x+z( 或 y= ) 例 題 :7. 給 定 一 個 數 列 的 首 項 3 與 末 項 6, () 在 3 與 6 之 間 插 入 一 個 數 a, 使 得 3 a 6 形 成 等 差, 求 公 差 d 及 a () 在 3 與 6 之 間 插 入 九 個 數 a a 3 a 0, 使 得 3 a a 3 a 0 6 形 成 等 差, 求 公 差 d 及 a 8 解 : As:() 3 ; 9 3 () 0 ; 0 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 4

例 題 :8. 有 一 個 三 位 數, 其 各 位 數 字 依 序 成 等 差, 且 和 為, 若 將 其 個 位 數 字 與 百 位 數 字 交 換, 所 得 之 新 數 較 原 數 大 396, 試 求 原 三 位 數 解 : As:579 : 給 一 個 數 列 <a k >, 用 加 號 將 各 項 連 起 來, 我 們 稱 為 級 數 (series) 有 限 數 列 相 加 稱 為 有 限 級 數, 無 限 數 列 相 加 稱 為 無 限 級 數 ( 或 無 窮 級 數 ) 如 果 <a k > 是 等 差 數 列, 用 加 號 將 各 項 連 起 來, 就 叫 做 等 差 級 數 或 算 術 級 數 例 題 :9. 若 S 表 等 差 數 列 <a k > 前 項 的 和, 試 證 :S = [a +(-)d] = (a +a ) ( 其 中 d 為 公 差 ) pf: 例 題 :0.() 試 求 三 位 數 中, 4 的 倍 數 之 總 和 () 試 求 等 差 級 數 4 +37 +3 + +(-8 ) 之 和 (3) 設 有 一 複 數 等 差 數 列, 首 項 為 +i, 第 二 項 為 3+i, 求 此 數 列 前 五 項 之 和 5 高 中 數 學 ( 一 )

解 : As:() 3300 () 56 (3) 5 例 題 :. 有 一 等 差 數 列, 首 項 為 34, 公 差 為 -5, 則 由 此 數 列 所 形 成 的 級 數 前 幾 項 的 和 最 大? 此 時 最 大 值 為 何? 解 : As: 前 65 項 ;0660 例 題 :. 設 有 一 數 列 <a k > 之 前 項 和 為 3 +4( 即 S =3 +4), 求 a 0 及 一 般 項 a k 解 : As:a 0 =57;a k = 7, 若 k = 6k 3, 若 k 若 數 列 <a k > 之 前 項 和 為 S, 則 a =S 且 a k =S k -S k, 當 k - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 6

例 題 :3. 有 兩 個 等 差 數 列, 其 前 項 之 和 的 比 為 (7+):(+3), 解 : As:65: 則 兩 數 列 的 第 5 項 之 比 為 何? 假 設 兩 個 等 差 數 列 <a k > <a' k > 的 前 項 之 和 分 別 為 S S ', 則 a m :a' m =S m :S ' m 例 題 :4. 設 <a k > 為 一 等 差 數 列, 則 下 列 數 列 何 者 亦 為 等 差 數 列? (A)a,a 5,a 9,a 3,a 7 (B)3a +,3a +,3a 3 +,3a 4 +,3a 5 + (C)a +a +a 3,a 4 +a 5 +a 6,a 7 +a 8 +a 9,a 0 +a +a, a 3 +a 4 +a 5 (D)a,a,a 3,a 4,a 5 解 : As:(A)(B)(C) 7 高 中 數 學 ( 一 )

例 題 :5. 有 一 等 差 數 列, 其 前 0 項 之 和 為 50, 前 30 項 之 和 為 450, 則 前 40 項 之 和 為 何? 解 : As:800 二 等 比 數 列 與 等 比 級 數 : 給 一 個 數 列 <a k >, 如 果 相 鄰 兩 項 的 後 項 除 以 前 項 是 一 個 固 定 的 數 a a3 a4 a r(r 0), 即 = = = = = = r, 此 時 稱 數 列 <a k > a a a3 a 為 等 比 數 列 或 幾 何 數 列 ( 記 為 G.P.,geometric progressio),r 稱 為 a k =a m r k m 公 比, 若 a 為 首 項, 則 <a k > 可 以 寫 成 a,a r,a r,a r 3, 由 此 可 推 得 第 k 項 a k =a r k 例 題 :6. 設 <a k > 為 一 實 數 等 比 數 列,r 為 公 比 : () 若 a =5,r=, 求 a 8 與 一 般 項 a k () 若 a =-8,a 5 =3, 求 r 與 一 般 項 a k (3) 若 a = 3,a 7=9, 求 r 與 a 6 解 : As:() 640;a k =5 k ()- 3 ;a k=43 (- 3 )k (3) ± 3;±3 3 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 8

例 題 :7. 試 求 下 列 數 列 的 一 般 項 a k : ()9,99,999,9999, ()7,77,777,7777, (3)0.9,0.99,0.999,0.9999, (4)0.4,0.44,0.444,0.4444, 解 : As:() 0 k - () 7 9 (0k -) (3) -0. k (4) 4 9 (-0.k ) 例 題 :8. 妃 妃 在 銀 行 存 入 0 萬 元, 準 備 存 款 0 年, 有 兩 種 計 息 方 式 : (Ⅰ) 單 利 計 息, 年 利 率 0 %, 每 年 計 息 一 次 (Ⅱ) 複 利 計 息, 年 利 率 8%, 每 年 計 息 一 次 試 問 0 年 後 哪 一 種 方 式 獲 利 較 多?( 已 知.08 0.5893) 解 : As: 方 式 (II) 獲 利 較 多 設 本 金 為 P, 期 利 率 為 r, 期 數 為, 則 () 單 利 本 利 和 =P(+ r) () 複 利 本 利 和 =P(+r) 9 高 中 數 學 ( 一 )

: 若 x y z 形 成 等 比, 則 y 稱 為 x z 的 等 比 中 項 ( 或 幾 何 中 項 ), 且 y =xz( 或 y=± xz) 例 題 :9.() 三 數 成 等 比 數 列, 其 和 為 7, 其 積 為 8, 試 求 此 三 數 () 三 數 成 等 比 數 列, 和 是 39, 若 將 此 三 數 依 次 減 去 後, 三 數 成 等 差 數 列, 求 原 來 三 數 解 : As:(),,4 () 4,0,5 或 5,0,4 : 如 果 <a k > 是 等 比 數 列, 用 加 號 將 各 項 連 起 來, 就 叫 做 等 比 級 數 或 幾 何 級 數 等 比 數 列 <a k > 前 項 和 S =a +a r+a r + +a r, 則 a ( r ) () 當 r 時,S = ( 或 a ( r ) ) r r () 當 r= 時,S = a 例 題 :0. 若 S 表 等 比 數 列 <a k > 前 項 的 和, 試 證 : a, r= S = a( r ) a( r ) ( 或 ), r r r pf: - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 0

例 題 :.() 若 = 0 3 5, 試 求 的 所 有 正 因 數 之 和 () 試 求 下 列 各 等 比 級 數 之 和 :(Ⅰ) - 4 + 8 - - 04 (Ⅱ) 3+6+6 3+ +486 (3) 求 i 6 +i 7 +i 8 + +i 003 之 和 ( 對 照 -4 例 題 7.(5)) (4) 設 有 一 複 數 等 比 數 列, 首 項 為 -i, 第 二 項 為 3+i, 求 此 數 列 前 六 項 之 和 解 : As:() 74508 ()(I) 34 04 (II) 76+4 3(3)--i (4)-5+0i 高 中 數 學 ( 一 )

例 題 :. 某 乙 參 加 銀 行 儲 蓄 存 款, 年 利 率 6%, 複 利 計 算, 每 年 計 息 一 次 若 每 年 年 初 皆 存 入 0,000 元, 則 第 三 年 年 底 結 算 本 利 和 共 多 少 元?( 四 捨 五 入 取 到 個 位 ) 解 : As:33,746 元 例 題 :3. 設 <a k > 為 一 等 比 數 列, 則 下 列 數 列 何 者 亦 為 等 比 數 列? (A)a,a 5,a 9,a 3,a 7 (B)3a +,3a +,3a 3 +,3a 4 +,3a 5 + (C)a +a +a 3,a 4 +a 5 +a 6,a 7 +a 8 +a 9,a 0 +a +a, a 3 +a 4 +a 5 (D)a,a,a 3,a 4,a 5 解 : As:(A)(C)(D) - 等 差 級 數 與 等 比 級 數

例 題 :4.<a k > 為 G.P., 若 前 項 和 S =30, 前 項 和 S =4, 求 S 4 之 值 解 : As: 64 5 例 題 :5. 下 圖 中 有 六 個 正 方 形 S S S 6,S k+ 內 接 S k 於 且 S k+ 的 四 個 頂 點 正 好 是 S k 四 條 邊 的 中 點 ( 其 中 k= 3 4 5) 已 知 S 的 邊 長 為, 分 別 求 這 六 個 正 方 形 周 長 總 和 及 面 積 總 和 解 : As: 周 長 =7(+ ); 面 積 = 63 8 S S S 4 S 3 S 5 S 6 3 高 中 數 學 ( 一 )

三 算 - 幾 不 等 式 - : a+ b a+ b 若 a b 0, 則 ab 且 等 號 成 立 的 充 要 條 件 是 a=b 其 中 ( 等 差 中 項 ) 稱 為 a 與 b 的 算 術 平 均 數, ab( 正 等 比 中 項 ) 稱 為 a 與 b 的 幾 何 平 均 數 例 題 :6. 試 證 上 述 的 算 - 幾 不 等 式 pf: a+ a + + a 算 - 幾 不 等 式 完 整 版 : 若 a a a 0, 則 等 號 成 立 的 充 要 條 件 是 a =a = =a aa a, 且 例 題 :7.() 設 a b 0 且 a+b=6, 求 ab 的 最 大 值, 並 求 此 時 a b 之 值 () 設 x y>0 且 xy=, 求 x+3y 的 最 小 值, 並 求 此 時 x y 之 值 (3) 設 a b c>0 且 a+b+c=6, 求 abc 的 最 大 值, 並 求 此 時 a b c 之 值 解 : As:() 64;a=8,b=8 () ;x=6,y= (3) 4;a=,b=,c= 求 極 值 常 用 的 方 法 :() 配 方 法 () 算 - 幾 不 等 式 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 4

例 題 :8.() 用 一 堆 木 板 製 成 80 公 尺 長 的 柵 欄, 去 圍 成 一 個 矩 形 的 院 子, 院 子 的 一 側 是 房 屋 的 牆, 不 必 用 柵 欄 去 圍 ( 如 下 圖 ), 請 問 院 子 面 積 的 最 大 值 為 何? () 在 坐 標 平 面 上,O 為 原 點, 若 過 點 P(9,4) 的 直 線 L 分 別 與 x y 軸 的 正 向 交 於 A B 兩 點, 試 求 OAB 面 積 的 最 小 值, 與 此 時 直 線 L 的 方 程 式 (3) 一 長 方 體 的 體 積 為 4, 試 求 其 表 面 積 的 最 小 值 x y 解 : As:() 800 平 方 公 尺 () 7; + = (3) 4 3 9 8 8 牆 壁 院 子 四 符 號 Σ, 即 5 高 中 數 學 ( 一 ) 將 數 列 <a k > 的 前 項 相 加 :a +a +a 3 + +a, 這 個 有 限 級 數 可 簡 寫 為 a k =a +a +a 3 + +a 其 中 符 號 Σ( 讀 作 sigma) 為 希 臘 字 母, 相 當 於 英 文 字 母 S, 表 示 和 (sum) 的 意 思 換 句 話 說, 的 各 項 a a a 3 a 依 序 相 加 的 意 思 例 如 : 4 ak =a +a +a 3 +a 4 (k 由 到 4 之 各 項 相 加 ) 8 bk =b 3 +b 4 +b 5 +b 6 +b 7 +b 8 (k 由 3 到 8 之 各 項 相 加 ) k = 3 同 樣 地, 無 窮 級 數 亦 可 用 符 號 Σ 表 示, 例 如 : 如 何 將 一 個 級 數 用 Σ 表 示 呢? 請 看 下 面 的 例 題 a a k k 就 是 k= 3 所 對 應 =a +a +a 3 + +a + 那 要 a k

例 題 :9. 試 將 下 列 級 數 用 符 號 Σ 表 示 : ()7+0+3+ +304 (3)6++ 3 + + 79 ()3+9+5++ +(-03) 00 30 8 k 解 : As:() (3k + 4) () ( 4k + 7) (3) 6( ) 3 將 級 數 用 Σ 表 示 的 步 驟 :() 把 級 數 的 一 般 項 a k 表 示 成 k 的 式 子 () 求 出 項 數 k 之 變 動 範 圍 例 題 :30. 試 計 算 下 列 有 限 級 數 的 和 : 0 00 8 9 () k () ( ) (3) k k + (4) ( ) 3 解 : As:() 55 () 00 0 (3) 6 (4)-8 = Σ 的 運 算 性 質 : () ( a ± b ) = a ± b () k k k k k= k= k= (3) c= c ( 其 中 c 為 常 數 ) c ak = c ak ( 其 中 c 為 常 數 ) k= k= - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 6

解 : As:(B)(C)(D) 6 6 6 例 題 :3. 下 列 選 項 何 者 正 確?(A) a b = ( a ) ( b ) (B) k k k k k= k= k= 6 6 6 6 6 c ak = c ak (c 為 常 數 ) (C) ( ak + bk) = ak + bk k= k= k= k= k= 6 6 (D) c = 6c(c 為 常 數 ) (E) 6 a b k k = k= 6 a b k k 例 題 :3. 試 證 : () k = + +3 + + = 6 (+) (+) pf: () k 3 = 3 + 3 +3 3 + + 3 =[ (+)] 7 高 中 數 學 ( 一 )

常 用 的 Σ 公 式 : () k =++3+ += (+) () k = + +3 + + = 6 (+) (+) (3) k 3 = 3 + 3 +3 3 + + 3 =[ (+)] ( 即 3 + 3 +3 3 + + 3 =(++3+ +) ) 例 題 :33. 試 分 別 求 下 列 級 數 的 和 : ()4+7+0+ +00 ()+(+)+(++3)+ +(++ +0) (3) 4+3 5+4 6+ +0 03 (4)+++3+3+3+4+4+4+4+ 至 第 00 項 (5) + 3 + 3 4 + + 49 50 (6) + + + + + + + 3 + + + 00 解 : As:() 76 () 0 (3) 358850 (4) 945 (5) 49 00 50 (6) 0 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 8

9 高 中 數 學 ( 一 )

例 題 :34. 試 分 別 求 下 列 級 數 的 和 :( 以 表 示 ) () + 3+3 4+ + (+) () 4+4 5+7 6+ +(3-) (+3) (3) + (-)+3 (-)+ +(-) 3+(-) + (4) + + 3 4 + + ( + ) 解 : As:() 3 (+)(+) () ( +5-) (3) 6 (+)(+) (4) ( 3 ) + + :,,,,,3,, 請 你 觀 察 規 則, 在 處 填 入 適 當 的 數 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數 0

A 基 礎 題.<a k > 為 等 差 數 列, 已 知 a 4 =-3, 公 差 d=5, 若 a k =4, 試 求 k 之 值. 試 用 等 差 級 數 前 項 和 的 公 式, 計 算 前 個 正 奇 數 的 和 ( 即 +3+5+7+ +(-)) ( 以 表 示 ) 3. 已 知 等 差 數 列 000,997,994,, 試 求 : () 第 00 項 為 何? () 此 數 列 前 幾 項 的 和 為 最 大? 4. 設 數 列 的 首 項 之 和 為 S =5 +, 則 () a k = () 數 列 <a k > 是 何 種 數 列? 5. 假 設 某 鎮 每 年 的 人 口 數 逐 年 成 長, 且 成 一 等 比 數 列, 已 知 此 鎮 十 年 前 有 5 萬 人, 現 在 有 30 萬 人, 那 麼 二 十 年 後, 此 鎮 人 口 有 幾 萬 人?( 求 到 小 數 點 後 第 一 位 ) 6. 某 人 參 加 銀 行 儲 蓄 存 款, 年 利 率 9%, 複 利 計 算, 若 此 人 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 問 第 0 年 年 底 結 算 得 本 利 和 多 少 元?( 元 以 下 四 捨 五 入,.09.580464) 7. 設 某 數 列 前 項 的 和 為 3 - () 求 一 般 項 ( 第 k 項 );() 請 問 此 數 列 是 否 為 等 比 數 列? 8. 數 列 a b 30 中, 前 三 數 a b 成 等 比 數 列, 後 三 數 a b 30 成 等 差 數 列, 求 a b 之 值 9. 設 x y R 且 xy=6, 試 求 4x +y 的 最 小 值, 並 求 此 時 數 對 (x,y) 0. 試 利 用 公 式 3 + 3 +3 3 + + 3 =[ (+)], 計 算 3 + 3 +3 3 + +0 3 之 值 B 進 階 題. 介 於 0 與 之 間 的 自 然 數 中,3 的 倍 數 的 總 和 為. 有 一 個 共 0 項 的 等 差 數 列 a,a,a 3,,a 0, 其 和 為 0, 且 a 7 = 7, 試 問 下 列 何 者 正 確?(A) a +a 0 > 0 (B) a +a 00 <0 (C) a 3+a 99=0 (D) a 5 =5 (E) a <0 3. 在 5 與 3 之 間 插 入 個 數, 使 成 等 差 數 列, 已 知 個 數 的 和 是 90, 求 之 值 4. 設 <a k > <b k > 均 為 等 差 數 列, 試 問 下 列 數 列 何 者 亦 為 等 差 數 列? a (A)<a k +5> (B)<3a k -5> (C)<a k +b k > (D)<a k b k > (E)< k b > k 5. 等 差 級 數 前 0 項 的 和 是 00, 前 30 項 的 和 是 350, 求 前 0 項 的 和? 6. 一 正 三 角 形 T 的 邊 長 為 4 公 分, 以 T 的 各 邊 中 點 為 頂 點 連 成 正 三 角 形 T, 再 以 T 的 各 邊 中 點 為 頂 點 連 成 正 三 角 形 T 3, 如 此 繼 續 為 之, 分 別 求 T T T 3 T 4 T 5 的 周 長 總 和 及 面 積 總 和 7. 等 比 數 列 首 項 是 3, 末 項 是 384, 和 是 765, 求 公 比 與 項 數 8. 設 <a k > <b k > 均 為 等 比 數 列, 試 問 下 列 數 列 何 者 亦 為 等 比 數 列? (A)<3a k > (B)<a a k > (C)<a k +b k > (D)<a k b k > (E)< k b > k 9. 一 實 數 等 比 級 數, 前 0 項 之 和 為, 前 30 項 之 和 為 3, 求 前 60 項 之 和 0. 某 三 正 數 成 等 差 數 列, 其 和 為 36, 若 各 項 依 序 加 上 4 43 後 成 等 比 數 列, 求 此 三 數. 設 三 數 成 等 差 數 列 其 和 為 4, 又 此 三 數 的 平 方 和 為 4, 求 此 三 數. 將 00 公 分 長 的 線 圍 成 一 矩 形, 試 求 其 最 大 面 積, 並 求 此 時 的 長 寬 3. 設 a>0, 試 求 a+ a 的 最 小 值, 並 求 此 時 的 a 值 4. 若 一 數 列 <a k > 滿 足 a +a +3a 3 + +a = (+), 則 a 00 = 高 中 數 學 ( 一 )

5. 數 列,,, 3, 3, 3 3, 4, 4, 3 4, 4 4, 5, 5,, 試 求 : () 第 5 項 () 前 5 項 之 總 和 6. 試 利 用 公 式 (+), k = 3 6 (+) (+), k =[ (+)], 求 下 列 各 式 的 和 :() 4+4 6+6 8+ +40 4 () kk ( + 3) 7. 下 圖 表 示 矩 形 垛 的 疊 法 : 0 () 橘 子 收 成 時, 農 人 將 它 們 堆 成 一 正 方 形 垛, 每 一 層 都 是 正 方 形, 最 底 層 有 65 個 橘 子, 最 上 層 有 一 個 橘 子, 則 此 正 方 形 垛 總 共 有 個 橘 子 () 某 水 果 販 將 橘 子 堆 成 長 方 形 垛, 若 最 底 層 長 邊 有 0 個 橘 子, 短 邊 有 5 個 橘 子, 則 此 長 方 形 垛 最 多 有 個 橘 子 (3) 將 橘 子 疊 成 一 長 方 形 垛, 由 上 面 數 來 第 一 層 有 個 橘 子, 第 二 層 有 6 個 橘 子, 第 三 層 有 個 橘 子, 依 此 堆 法, 堆 0 層, 則 第 0 層 有 個 橘 子, 此 長 方 形 垛 總 共 有 個 橘 子 C 思 考 題 8. 有 二 等 差 數 列, 其 前 項 和 的 比 為 (7+):(4+7), 求 此 二 數 列 的 第 項 之 比 9. 有 二 等 差 數 列, 其 第 項 的 比 為 (+3):(3+), 則 此 二 數 列 的 前 9 項 和 之 比 為 何? 30. 設 三 數 成 等 比 數 列 其 和 為 8, 又 此 三 數 的 平 方 和 為 336, 求 此 三 數 3. 已 知 直 線 L 通 過 點 (, 3), 試 求 L 與 兩 坐 標 軸 在 第 一 象 限 圍 成 的 三 角 形 面 積 之 最 小 值 ; 並 求 此 時 直 線 之 方 程 式 3. 一 長 方 體 的 表 面 積 為 54, 試 求 其 體 積 的 最 大 值, 並 求 此 時 的 長 寬 高 33. 若 x y 0 且 x+y=6, 試 求 xy 的 最 大 值, 並 求 此 時 x y 之 值 34. 已 知 調 和 數 列 <a > 的 首 項 為 5, 第 5 項 為 0, 試 求 a 7 = ( 註 : 若 < a > 為 等 差 數 列, 則 <a > 稱 為 調 和 數 列 ) 35. 大 於 之 奇 數, 依 下 列 方 式 分 組 (3,5), (7,9,), (3,5,7,9), (,3,5,7,9),, 則 () 第 組 中 第 一 個 數 為 () 第 組 中 所 有 數 之 和 為 0 36. 試 求 下 列 各 式 之 值 :() 35 400 = ( + ) () (3) [ ] ( 其 中 [ ] 為 高 斯 函 數 ) = + + = 37. 求 下 列 級 數 前 項 的 和 :() 9+99+999+ ;() 0.4+0.44+0.444+ ( 提 示 : 參 考 例 題 7) 38. 試 分 別 求 下 列 級 數 的 和 ( 以 表 示 ): () 4+ 5+3 6+ + (+3) () +3 (-)+5 (-)+ +(-3) +(-) (3) ( k) 答 案 :. 3. 3.() 703 () 334 4.() 0k-3 () 等 差 5. 43. 萬 人 6. 65603 元 - 等 差 級 數 與 等 比 級 數

a = 5 7.() a k = 3 k a = 6 () 是 8. 或 5 b = 8 9. 4;( 3, 3) 或 (- 3,- 3) b = 0. 4075. 53776.(C)(E) 3. =0 4.(A)(B)(C) 5. 650 6. 93 4 ; 34 64 3 7. 公 比, 項 數 8 8.(A)(B)(D)(E) 9. 364 0. 3,,. 3,8,3 或 3,8,3. 65; 長 = 寬 =5 3. ; 4. 599 5.() 5 7 6 () 68 6 6.() 30 () 44730 7.() 555 () 30 8. 4:3 9. 3:7 30. 4,8,6 或 6,8,4 3. ; x y + = 3. 7; 長 = 寬 = 高 =3 33. 8;x=,y= 34. 7 4 6 80 35.() ++ ()(+) 3 (3) 40;3080 36.() 75 0 64 () 5 (3) 550 37.() 9 (0 -)- () 4 9-4 8 [-( 0 ) ] 38.() 3 (+)(+5) () 3 (+)(-) (3) + 3 高 中 數 學 ( 一 )

一 數 列 的 極 限 - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 : 給 定 一 個 無 窮 數 列 <a >, 如 果 當 越 來 越 大 時,a 會 趨 近 於 某 一 個 定 數 α, 也 就 是 說 : 只 要 足 夠 大 時,a 與 某 個 定 數 α 的 差 距 a -α 就 可 以 任 意 地 小, 此 時 我 們 稱 數 列 <a > 的 極 限 是 α, 並 且 簡 記 為 lim a =α 或 當 時,a α 代 表 趨 近 或 趨 向, 符 號 代 表 無 限 大 ( 無 限 大 ) 不 是 一 個 數, 只 是 一 個 概 念 的 符 號 例 如 :() 設 a =, 當 越 來 越 大 時,a 會 越 來 越 接 近 0( 也 就 是 趨 近 於 0), 記 為 lim =0 () 設 a =-, 當 越 來 越 大 時,a 會 趨 近 於, 記 為 lim( ) = 例 題 :. 試 判 斷 下 列 各 數 列 之 極 限?()< ( ) > ()< > 解 : As:() 0 () : () : 若 無 窮 數 列 <a > 的 極 限 存 在, 則 數 列 <a > 稱 為 收 斂 數 列 () : 不 收 斂 的 數 列 稱 做 發 散 數 列, 若 數 列 <a > 為 發 散 數 列, 表 示 數 列 <a > 的 極 限 不 存 在, 所 以 記 號 lim a 沒 有 意 義 例 如 :() 設 a =(-), 數 列 <a >:-,,-,,-,, 在 - 與 之 間 跳 動, 所 以 數 列 <a > 不 會 趨 近 於 某 一 個 固 定 的 數, 因 此 數 列 <a > 發 散 () 設 a =, 數 列 <a >:,4,8,6,3,64, 趨 向 ( 正 ) 無 限 大, 所 以 數 列 <a > 不 會 趨 近 於 某 一 個 固 定 的 數, 因 此 數 列 <a > 發 散 (3) 設 a =-3, 數 列 <a >:-3,-9,-7,-8, 趨 向 負 無 限 大, 所 以 數 列 <a > 不 會 趨 近 於 某 一 個 固 定 的 數, 因 此 數 列 <a > 發 散 例 題 :. 試 判 斷 下 面 的 數 列 何 者 為 收 斂 數 列? 何 者 為 發 散 數 列? 如 果 為 收 斂 數 列, 請 求 出 它 的 極 限 ()a = ()b = + (3)c = (4)d =+(-) k + (5)e k = k - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 4

解 : As:() 收 斂 數 列 ;0 () 收 斂 數 列 ; (3) 收 斂 數 列 ; (4) 發 散 數 列 (5) 發 散 數 列 r : 無 窮 數 列 <r > 是 否 為 收 斂 數 列, 完 全 視 r 的 大 小 而 定 : () 若 r <, 則 lim r =0 ( 注 意 : 若 註 明 為 等 比 數 列, 則 r 0) () 若 r=, 則 lim r = (3) 若 r=- 或 r >, 則 數 列 <r > 極 限 不 存 在 例 題 :3. 試 判 斷 下 面 的 數 列 是 否 收 斂? 若 收 斂, 試 求 出 它 的 極 限 ()a =0.8 ()b =(- ) (3)c =(-) (4)d =( 3 ) (5)e =(-) (6)f =-0. 解 : As:() 是 ;0 () 是 ;0 (3) 否 (4) 否 (5) 否 (6) 是 ; 5 高 中 數 學 ( 一 ) 數 列 <r > 是 收 斂 數 列 的 充 要 條 件 為 -<r 例 題 :4. 設 x R, 若 <(3x+) > 為 收 斂 數 列, 求 x 的 範 圍

解 : As:- 3 <x 0 : 設 c 為 實 數 常 數, 若 lim () lim c=c () lim( ca ) = cα = c lim a a =α, lim b =β, 則 (3) lim( a ± b ) = α ± β = lim a ± lim b (4) lim( a b ) = αβ = (lim a )(lim b ) a (5) lim b α lim a = = ( 其 中 每 一 項 b 皆 不 等 於 0 且 β 0) β lim b 例 題 :5. 已 知 lim =0, lim =0, 試 判 斷 下 面 的 數 列 是 否 收 斂 如 果 收 斂, 試 求 出 它 們 的 極 限 ()a =3- ()b =+ (3)c =(3- )(+ ) + (4)d = 7 + 4 (5)e = 3 4 + 解 : As:() 是 ;3 () 是 ; (3) 是 ;6 (4) 是 ; 3 (5) 是 ;- 7 4 - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 6

例 題 :6. 試 求 下 列 各 極 限 :( k N) + 3 4 () lim () lim + + 3 3 (4) lim + k k (5) lim( ) 98 + k k+ k 4 + (3) lim 3 3 k + 5 (6) lim k 4 k + 解 : As:() () 3 (3) 0 (4) 不 存 在 (5)- (6) 4 設 P()=a s s +a s s + +a +a 0 與 Q()=b t t +b t t + +b +b 0 皆 為 的 多 項 式, 其 中 N 且 a s b t 0 P ( ) () 若 s<t( 分 子 次 數 < 分 母 次 數 ), 則 lim = 0 Q ( ) P ( ) as () 若 s=t( 分 子 次 數 = 分 母 次 數 ), 則 lim = = 最 高 次 係 數 相 除 Q ( ) bt P ( ) (3) 若 s>t( 分 子 次 數 > 分 母 次 數 ), 則 lim 不 存 在 Q ( ) 例 題 :7. 試 求 下 列 各 數 列 的 極 限 :( N) ()a = 3 5 + + + 53 ()b = 6 43 + 7 3 + 4 a (4)d = ( 請 利 用 : + m 5 + 6 a =a m ) + 3 (3)c = 3 + 7 高 中 數 學 ( 一 )

解 : As:() 0 () 5 4 (3) 3 (4) 0 將 次 方 中 的 常 數 提 出, 然 後 分 子 分 母 同 除 底 數 最 大 之 數 二 無 窮 等 比 級 數 以 < ( ) > 為 例, 我 們 如 何 求 級 數 + + + + + 之 值 呢? 我 們 觀 察 : 4 8 S = = 3 S = + = = ( ) 4 4 7 3 S 3 = + + = = ( ) 4 8 8 5 4 S 4 = + + + = = ( ) 4 8 6 6 [ ( ) ] S = + + + + = = ( ) 4 8 這 些 值 形 成 一 個 新 數 列 : S,S,S 3,,S, 因 此 我 們 就 將 + + + + + 定 為 數 列 <S 4 8 > 的 極 限, 我 們 可 以 發 現, 當 越 大 時,S = ( ) 就 越 趨 近, 所 以 + + + + + = lim S = lim[ ( ) ] = 4 8 例 題 :8. 設 無 窮 等 比 級 數 + 3 +( 3 ) + +( 3 ) + 的 和 為 S, 若 其 前 項 的 和 為 S, 試 求 : ()S ()S (3) 滿 足 S -S < 3000 的 最 小 正 整 數 - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 8

解 : As:() 3 [-( 3 ) ] () 3 (3) 8 : 對 一 般 的 無 窮 級 數 ak =a +a + +a +, 其 求 和 的 步 驟 如 下 : () 先 求 前 項 的 和 S = ak =a +a + +a () 再 觀 察 數 列 <S > 是 否 會 收 斂 (Ⅰ) 若 <S > 收 斂 於 S, 則 a = lim( ak) = lim S =S k k= k= 此 時 稱 ak 為 收 斂 級 數,S 稱 為 此 無 窮 級 數 的 和 (Ⅱ) 若 <S > 是 發 散 數 列, 此 時 稱 ak 為 發 散 級 數, 它 的 和 不 存 在 例 題 :9. 設 a 0, 試 討 論 無 窮 等 比 級 數 解 : As: 略 k ar =a+ar+ar + +ar + 之 值 9 高 中 數 學 ( 一 ) 設 a 0, 無 窮 級 數 (Ⅰ) 當 r < 時, 則 ar k ar =a+ar+ar + +ar +, 則 k ( 注 意 : 若 註 明 為 等 比 級 數, 則 r 0) k (Ⅱ) 當 r 時, 則 ar 為 發 散 級 數 k a 為 收 斂 級 數, 且 ar = r

3 k 例 題 :0.() 試 求 無 窮 等 比 級 數 ( ) 之 值 5 () 試 求 下 列 無 窮 等 比 級 數 的 和 : (Ⅰ) - + 4-8 + +(- ) + (Ⅱ) - 3 + 9 4-7 8 + +(- 3 ) + (3) 若 一 皮 球 自 離 地 0 公 尺 高 處 落 下, 首 次 反 彈 高 度 為 5 公 尺, 且 以 後 每 次 反 彈 高 度 為 前 次 反 彈 高 度 的 4, 求 此 球 到 靜 止 前 所 經 過 的 路 徑 長 度 與 所 花 的 時 間? (h= gt,g=0 m/s ) 解 : As:() 3 ()(I) 3 (II) 不 存 在 (3) 00 3 公 尺 ;6 秒 例 題 :. 設 無 窮 等 比 級 數 ( 3 x) k 為 收 斂 級 數, 試 求 x 的 範 圍 ( 與 例 題 4 做 比 較 ) 解 : As:0<x< 3, 但 x 3 - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 30

例 題 :. 如 下 頁 圖, 一 邊 長 為 的 正 方 形 ABCD, 其 內 切 圓 面 積 為 S, 又 圓 S 之 內 接 正 方 形 A B C D 之 內 切 圓 面 積 為 S, 仿 此 繼 續 得 各 正 方 形 內 切 圓 之 面 積 為 S 3 S 4 S 5 S, 求 S = 解 : As:π A A A D D D B B B C C C : 你 覺 得 0.9=0.99999 和 誰 比 較 大 呢? 其 實 這 和 無 窮 等 比 級 數 有 關 喔! 個 0 0. 9 =0.9+0.09+0.009+ + 0.000 09 + 9 9 9 9 9 = + + + + + = 0 = 3 0 0 0 0 0 所 以 0.9= ( 亦 可 參 考 例 題 3.(6)) 每 一 個 循 環 小 數 都 可 表 成 收 斂 的 無 窮 等 比 級 數 之 和, 所 以 循 環 小 數 都 可 以 化 成 分 數 ( 有 理 數 ) 例 題 :3. 將 下 列 循 環 小 數 化 成 最 簡 分 數 :() 0.57 () 0.357 解 : As:() 9 33 ( 57 5 99 ) () 650 ( 36 9900 ) 3 高 中 數 學 ( 一 )

循 環 小 數 化 成 分 數 的 法 則 : () 分 母 : 小 數 點 後 幾 位 循 環 就 寫 幾 個 9, 幾 位 不 循 環 就 寫 幾 個 0 () 分 子 : 整 個 小 數 部 分 所 成 數 字 減 掉 不 循 環 部 分 所 成 數 字 3 345 034 0 例 如 :()0. 3 = () 0.345 = (3) 0.0034 = 999 99900 99000 例 題 :4. 試 求 無 窮 級 數 0.+0.00+0.0000+0.000000+ 之 值 解 : As: 8 33 ( 4 99 ) 無 窮 級 數 的 運 算 規 則 : 設 α β R, 若 a k = α 且 b k = β, 則 ( a ± b ) = α ± β = a ± b k k k k k= k= k= 例 題 :5. 試 求 下 列 無 窮 級 數 之 和 : ()0.9+0.099+0.00999+0.0009999+ ()0.5+0.055+0.00555+0.0005555+ 解 : As:() 00 99 () 500 89 : 有 甲 乙 兩 人, 分 別 從 A B 兩 地 相 向 同 時 出 發, 甲 的 速 率 是 每 小 時 3 公 里, 乙 的 速 率 是 每 小 時 7 公 里,A B 兩 地 相 距 0 公 里 出 發 的 同 時, 一 隻 停 在 甲 鼻 子 上 的 蜜 蜂 也 同 時 往 乙 的 方 向 飛, 遇 到 乙 之 後 再 往 回 飛, 遇 到 甲 又 再 度 轉 向, 如 此 往 返 於 甲 乙 之 間, 直 到 甲 乙 相 遇, 若 已 知 蜜 蜂 的 速 率 是 每 小 時 5 公 里, 請 問 整 個 過 程 蜜 蜂 共 飛 多 遠 的 距 離? - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 3

A 基 礎 題. 設 <a > 為 一 無 窮 數 列, 判 斷 下 列 何 者 為 收 斂 數 列? (A) a =+ (B) a =0.33 (C) a =3.33 (D) a =3-3 (E) a =( 0 00 ). 求 下 列 各 極 限 值 : + 3 3 () lim 6 ;() lim - 3 3 - - ;(3) lim 5 + ;(4) +- lim 3 + 3. 判 斷 下 列 各 無 窮 等 比 級 數 的 斂 散 性, 若 為 收 斂, 試 求 其 和 : 9 () ( ) ;(B) ;(C) ( 3) ;(4) ( ) = 0 = = = 5 x 4. 若 ( ) 為 收 斂 級 數, 求 x 之 範 圍 = x y 5. 右 圖 中, OA =, AA = 3, AA 3 =( ( 3 ) A 3 ), AA 3 A 3 4 =( ( A 6 3 )3 3 )3,, 如 此 繼 續 進 行, 若 A 之 坐 標 為 (x, y ) A 3 4 A 5, 當 時, 求 A 之 坐 標 x B 進 階 題 3 3 6. 設 無 窮 等 比 級 數 3+ + + + 的 和 為 S, 其 前 項 的 和 為 S 8 8, 試 求 : () S () S (3) 使 S -S < 000 成 立 的 最 小 正 整 數 7. 有 一 無 窮 等 比 級 數 之 和 為 6, 其 各 項 平 方 和 為 8, 試 求 其 首 項 及 公 比 a b a b a b 8. 設 a 與 b 均 為 實 數, 若 + + + + + + 3 4 + =3, 則 a+b= 4 + ( 3) 3 9. 試 求 下 列 各 式 的 值 :() ;() + = 6 = 5 0. 試 求 無 窮 級 數 0.7+0.077+0.00777+0.0007777+ 之 和. 如 右 圖, BAC=60, 圓 S 與 圓 S 相 外 切, 圓 S 3 與 圓 S B 相 外 切, 依 此 類 推, 且 AB AC 為 所 有 圓 的 外 公 切 線, S 的 半 徑 () S 的 半 徑 () 若 圖 中 無 限 多 個 圓 S S S 的 面 積 和.... S 3 S S A C 為 450π, 試 求 S S S 的 圓 周 總 和. 設 0. a 0.0b 0.00 c 成 等 比,a b c 是 自 然 數 且 <a<b<c<9, 求 a b c 之 值 C 思 考 題 3. 試 求 無 窮 級 數 - - 4 + 8-6 - 3 + 64-8 - 56 + 之 和 4. 設 T T T 3 為 一 群 多 邊 形, 其 作 法 如 下 :T 為 邊 長 等 於 的 正 三 角 形, 以 T 每 一 邊 中 間 三 分 之 一 的 線 段 為 一 邊 向 外 作 正 三 角 形, 然 後 將 該 三 分 之 一 線 段 抹 去, 所 得 的 多 邊 形 為 T +,= 3 ( 如 下 頁 圖 所 示 ) 令 a 表 T 之 周 長, 請 計 算 T 3 之 面 積 及 之 和 a = O A 33 高 中 數 學 ( 一 )

T T T 3 3 5. 試 求 之 值 = 4 6. 若 數 列 <a > 之 定 義 為 a =6,a =a +a +a 3 + +a ( N, ), 試 求 ak 7. 計 算 的 和 k= k+ + k 答 案 :.(A)(B)(D).() 0 () 3 (3) 0 (4) 3.() 收 斂 級 數 ; 3 () 收 斂 級 數 ; (3) 發 散 級 數 (4) 收 斂 級 數 ;- 5 6 7. 4; 3 3. 7 4.-<x< 3 8. 9 9.() 5 3 () 5 0 4.() 3 7 () 4 3 0. 700 89 5. 6. 5.( 9 3, 6 4 3 ) 6.() 7 [-( 8 ) ] () 4 7 (3) 4.() 3 () 60π. a= b=4 c=8 7. + - - 無 窮 等 比 級 數 與 循 環 小 數 34

一 歸 納 法 -3 數 學 歸 納 法 : 對 一 些 個 別 的 事 物 詳 加 觀 察 記 錄, 探 討 這 些 個 別 事 物 的 共 同 特 性, 然 後 將 所 得 結 果 推 廣 到 其 他 未 經 觀 察 的 同 類 事 物 中, 從 中 概 括 出 同 類 事 物 一 項 普 遍 性 的 結 論 例 如 :() 自 然 現 象 向 上 扔 一 塊 石 子, 石 子 會 掉 下 來 ; 扔 一 個 球, 球 也 會 掉 下 來 ; 跳 高 選 手 用 力 往 上 一 躍, 不 管 跳 多 高 仍 會 掉 下 來 ; 牛 頓 在 果 樹 下 沈 思, 看 到 蘋 果 掉 落 地 面, 由 種 種 物 體 落 地 的 經 驗 可 以 歸 納 出 : 任 何 物 體 往 上 拋 擲, 都 會 落 下 地 面 () 哥 德 巴 赫 猜 想 觀 察 下 面 的 式 子 : 4=+;6=3+3; 8=3+5;0=3+7=5+5; =5+7;4=3+=7+7; 由 此 可 歸 納 出 ; 任 何 大 於 的 偶 數, 都 是 兩 個 質 數 的 和 這 就 是 德 國 數 學 家 哥 德 巴 赫 (C. Goldbach,690 764) 提 出 的 猜 想, 雖 然 利 用 電 腦 我 們 已 經 驗 證 至 0 4 為 止 哥 德 巴 赫 猜 想 仍 然 是 成 立 的, 但 至 今 仍 無 人 能 證 明 或 推 翻 這 個 猜 想 (3) 費 瑪 猜 想 法 國 數 學 家 費 瑪 (P. de Fermat,60 665) 曾 考 慮 下 面 的 數 列 <F > =< ( ) +>, 當 = 3 4 時, 前 四 項 分 別 為 ( F = ) += +=5, ( F = ) += 4 +=7, ( F 3 = 3 ) += 8 +=57, ( F 4 = 4 ) += 6 +=65537, 都 是 質 數, 因 而 歸 納 出 下 面 的 猜 想 :<F > 的 各 項 都 是 質 數 大 約 過 了 一 百 餘 年 後, 瑞 士 數 學 家 尤 拉 (L. Euler,707 783) 才 發 現 ( 第 五 項 F 5 = 5 ) += 3 +=49496797=64 670047 不 是 質 數 雖 然 費 瑪 猜 想 被 尤 拉 舉 出 的 一 個 反 例 推 翻 了, 但 人 們 為 了 紀 念 費 瑪, 仍 稱 數 列 < ( ) +> 為 費 瑪 數 列, 而 型 如 ( ) + 的 質 數 叫 做 費 瑪 質 數 歸 納 法 依 被 歸 納 的 對 象 是 部 分 對 象 或 全 部 對 象 而 分 別 稱 為 不 完 全 歸 納 法 與 完 全 歸 納 法 二 歸 納 臆 測 歸 納 法 是 人 類 探 索 宇 宙 常 用 的 一 種 方 法, 透 過 觀 察 ( 記 錄 比 對 ) 歸 納 出 結 論, 並 在 這 個 結 論 上 進 一 步 提 出 概 括 性 的 敘 述, 形 成 臆 測 ( 或 稱 猜 想 ), 這 種 歸 納 臆 測 的 方 法 往 往 提 供 發 現 真 理 的 契 機, 故 觀 察 歸 納 臆 測 驗 證 始 終 是 人 類 發 現 問 題 解 決 問 題 的 一 個 重 要 過 程 例 題 :. 設 是 任 意 自 然 數, 試 就 = 3, 列 表 觀 察 5 與 3 +4 哪 一 個 較 大, 再 歸 納 臆 測 35 高 中 數 學 ( 一 )

解 : As: 略 三 數 學 歸 納 法 有 一 天, 小 明 走 在 街 上, 看 到 唱 片 行 外 一 堆 人 排 隊 等 簽 名, 一 問 之 下 才 知 道 是 周 董 簽 唱 會, 難 怪 people moutai people sea, 看 不 到 盡 頭 耶! 可 是 他 發 現 一 件 奇 怪 的 事, 排 第 一 個 是 個 女 的 耶, 而 且 如 果 前 面 那 個 是 女 的, 緊 接 著 的 下 一 個 也 是 女 的 喔! 你 覺 得 小 明 會 看 到 何 種 現 象 呢? : 設 P() 表 與 自 然 數 有 關 的 敘 述 如 果 pf: () 當 = 0 時,P( 0 ) 成 立 ( 0 是 某 一 個 固 定 的 自 然 數 ) ( 此 步 驟 稱 為 起 始 步 驟 ) () 假 設 當 =k(k 0 ) 時,P(k) 成 立, 且 可 由 此 推 導 出 當 =k+ 時,P(k+) 也 成 立 ( 此 步 驟 稱 為 遞 推 步 驟, 其 中 假 設 當 =k(k 0 ) 時,P(k) 成 立 稱 為 歸 納 假 設 ) 則 對 一 切 自 然 數 0, 敘 述 P() 都 成 立 例 題 :. 設 為 任 意 自 然 數, 試 歸 納 出 3 + 3 +3 3 + + 3 的 公 式 ( 以 表 示 ), 並 以 數 學 歸 納 法 加 以 證 明 -3 數 學 歸 納 法 36

數 學 歸 納 法 的 兩 個 內 涵 : () 從 =,,3, 簡 單 的 事 例 中 歸 納 出 規 律 () 用 數 學 歸 納 法 的 理 論 來 證 明 規 律 的 一 般 性 數 學 歸 納 法 好 比 依 序 排 列 的 骨 牌, 第 一 步 驟 使 得 第 0 塊 骨 牌 倒 下, 第 二 步 驟 說 明 當 第 k 塊 倒 下 時, 必 定 使 得 第 k+ 塊 也 倒 下 ; 所 以 從 第 0 塊 以 後 的 骨 牌 都 會 倒 下 例 題 :3. 試 證 : 對 一 切 自 然 數, + +3 + + ( + )(+ ) = 6 pf: 例 題 :4. 試 證 : 對 一 切 自 然 數,0 - 與 0 + 皆 為 的 倍 數 pf: ( 對 照 - 的 P. 中 的 倍 數 檢 驗 法 ) 37 高 中 數 學 ( 一 )

例 題 :5. 是 否 可 找 到 一 個 質 數 p, 使 得 對 一 切 自 然 數,3 + + + 為 p 的 倍 數? pf: 用 數 學 歸 納 法 證 明 之 例 題 :6. 試 證 例 題 歸 納 出 的 結 果 pf: : 有 個 人 的 身 分 證 字 號 很 有 趣, 由 到 9 的 九 個 數 字 都 出 現, 而 且 從 左 邊 算 起, 前 兩 位 數 可 被 整 除, 前 三 位 數 可 被 3 整 除, 前 四 位 數 可 被 4 整 除,, 前 九 位 數 ( 即 整 個 號 碼 ) 可 被 9 整 除, 請 問 他 的 身 分 證 字 號 為 何? -3 數 學 歸 納 法 38

A 基 礎 題. 當 N, 試 證 :++3+ +(-)++(-)+ +3++=. 當 N,(+)(+) 必 為 6 的 倍 數, 試 證 之 3.() 對 所 有 的 正 整 數, 試 證 : (I) x -=(x-)(x +x +x 3 + +x+) (II) x +=(x+)(x -x 3 +x 4 - -x+) () 試 利 用 () 重 新 證 明 例 題 4 B 進 階 題 4.() 試 證 明, 若 為 自 然 數, 則 0 + -9-0 恆 能 被 8 整 除 () 試 證 明, 若 為 自 然 數, 則 9 + -8-9 恆 能 被 64 整 除 6. 試 證 : 不 論 是 任 何 正 整 數, 8+ - 4 的 個 位 數 字 都 是 6 3 6. 設 N, 試 證 : + + N 3 6 C 思 考 題 7. 已 知 數 列 <F k > 滿 足 F =,F =,F k =F k +F k (k N,k 3) 試 證 :() 對 所 有 的 正 整 數,F = + [( 5 ) ( 5 ) ] ( 對 照 - 例 題 3.()) 5 F 5 () lim = ( 這 個 值 恰 好 等 於 黃 金 比, 請 參 考 3-5 第 6 題 ) F + 8.() 設 N, 試 證 : () 設 N 且 4, 試 證 : 9.() 設 x -, 試 證 : 對 所 有 的 正 整 數,(+x) +x ( 此 式 稱 為 伯 努 利 不 等 式 (Beroulli iequality)) a+ b a + b () 設 N,a b>0, 試 證 : ( ) 0.() 對 所 有 的 正 整 數, 試 證 : + + + + 3 3 () 設 N, 試 證 < 4 + 答 案 :. 略. 略 3.()(I) 略 (II) 略 () 略 4.() 略 () 略 5. 略 6. 略 7.() 略 () 略 8.() 略 () 略 9.() 略 () 略 0.() 略 () 略 39 高 中 數 學 ( 一 )

附 表 希 臘 字 母 表 大 寫 小 寫 英 文 拼 音 中 文 讀 音 Α α alpha 阿 耳 法 Β β beta 貝 塔 Γ γ gamma 伽 馬 δ delta 德 耳 塔 Ε ε epsilo 厄 普 西 隆 Ζ ζ zeta 截 塔 Η η eta 愛 塔 Θ θ, ϑ theta 西 塔 Ι ι iota 育 塔 Κ κ kappa 卡 帕 Λ λ lambda 蘭 姆 達 Μ µ mu 繆 Ν ν u 紐 Ξ ξ xi 克 西 Ο ο omicro 奧 美 克 隆 Π π pi 派 愛 Ρ ρ rho 洛 Σ σ sigma 西 格 馬 Τ τ tau 套 Υ υ upsilo 宇 普 西 隆 Φ φ, ϕ phi 斐 Χ χ chi 喜 Ψ ψ,ψ psi 潑 西 Ω ω omega 奧 米 伽 附 表 40