第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函 數 存 在, 則 必 不 唯 一 () 習 慣 上, 以 f ( ) 代 表 f( ) 之 所 有 反 導 函 數 而 f ( ) 又 稱 為 f( ) 之 不 定 積 分 (inefinite integral) () 若 函 數 f( ) 之 反 導 函 數 存 在, 則 稱 f( ) 為 可 積 分 函 數 (4) 於 不 定 積 分 f ( ) 中, f( ) 稱 為 被 積 分 函 數, 為 積 分 變 數 之 微 分 又 表 對 積 分 ( 此 與 表 對 微 分, 相 互 呼 應 ) (5) 求 反 導 函 數 的 過 程, 即 所 謂 的 積 分, 可 視 為 函 數 的 一 種 運 算 而 微 積 分 便 是 在 探 討 微 分 與 積 分 等 兩 個 運 算 (6) 微 分 與 積 分 好 似 兩 個 相 反 的 運 算, 這 可 由 以 下 兩 個 式 子 看 出 彼 此 的 關 係 : f ( ) F( ) C F( ) f ( ) (i) (ii) f ( ) f ( ) f ( ) C (i) 先 積 分 再 微 分 還 原 ;(ii) 先 微 分 再 積 分 幾 乎 還 原 ( 只 差 常 數 C) 定 理 6.. 不 定 積 分 之 基 本 性 質 設 f( ) 與 g ( ) 均 為 可 積 分 函 數, () f ( ) f ( ) () f ( ) g( ) f ( ) g( ) R, 則 定 理 6.. 中 之 (), 可 由 個 函 數 推 廣 至 n 個 函 數 68
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀 者 可 視 需 求, 記 憶 適 當 的 公 式 以 下 僅 條 列 最 常 被 使 用 之 不 定 積 分 的 基 本 公 式 () 導 函 數 的 公 式 n n n n, ( ) 不 定 積 分 公 式 n n C, ( n ) n () sin cos cos sin C () cos sin sin (4) tan sec (5) cot csc cos C sec tan C csc cot C (6) sec sec tan sec tan sec C (7) csc csc cot csc cot csc C (8) sin, (9) tan, R (0) sec, sin C, C R tan, sec C, () ln, R ln C, R () e e e C R e, () a a, 0 a ln a a a C, 0 a ln a 公 式 () 宜 改 為 : ln C, 0 69
例. 求 以 下 諸 不 定 積 分 : 解 :() 5 () ( 4 5) () (sin 5cos ) () 5 ( 4 5) 5 4 5 6 4 6 4 5 C 6 6 4 4 5 C () (sin 5cos ) () sin 5 cos ( cos ) 5sin C cos 5sin C (5 7 ) 5 7 4 5 7 (5 7 ) 5 7 C 5 7 C (5 7 ) 習 題 6.. 求 以 下 諸 積 分 4 () (0 ) () () 4 (5 4 ) (4) 0 (e cos ) 4 (5 4 ) (5) (6) (5 4 ) 70
第 6. 節 變 數 變 換 積 分 法 面 對 求 解 一 個 積 分 問 題, 通 常 我 們 會 想 利 用 積 分 的 基 本 公 式 及 積 分 的 基 本 性 質 來 解 決 問 題 但 除 非 問 題 夠 簡 單, 或 你 記 憶 非 常 多 積 分 的 基 本 公 式, 否 則 多 難 以 得 解 此 時, 最 常 用 的 方 法 便 是 變 數 變 換 積 分 法 茲 將 相 關 定 理 說 明 如 下 : 定 理 6.. 變 數 變 換 設 f( ) 為 可 積 分 函 數, 且 f ( ) G( ) C 又 u ( ) 為 可 微 分 函 數, 其 導 函 數 為 u ( ), 則 亦 即 f ( u) u G( u) C 說 明 : f ( u( )) u( ) G( u( )) C () f ( ) G( ) C 即 所 謂 的 積 分 的 基 本 公 式, 而 u ( ) 便 是 新 變 數 () 欲 利 用 變 數 變 換 積 分 法, 被 積 分 式 通 常 可 分 成 兩 個 部 分 : (i) 合 成 函 數 部 分 : 即 f( ) 與 u ( ) 之 合 成 函 數 f ( u( )) 重 要 的 是 : f( ) 之 反 導 函 數 須 為 已 知 (ii) 新 變 數 u ( ) 之 導 函 數 的 常 數 倍 : 即 u ( ) 之 常 數 倍 例. 求 e 解 : 被 積 分 式 e 可 拆 開 成 部 分 : (i) e 為 e 與 之 合 成 函 數, 又 e e C ( 積 分 的 基 本 公 式 ) (ii) 為 新 變 數 之 導 函 數 ( D ) 的 常 數 倍 ( 倍 ) u 令 u u, u e e ( ) e u sin 例. 求 cos e u e c e C u 解 : 令 u sin cos u cos, sin sin u cos e e (cos ) e u 7
u sin e c e C 上 述 過 程 亦 可 簡 化 為 ( 不 把 u ( ) 寫 出 來 ): cos (cos ) sin sin sin sin sin e e e e C e 例. 求 解 :, e e e e C 00 例 4. 求 ( ) 解 : ( ) ( ) 0 0 ( ) C ( ) C 0 0 00 00 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 例 5. 求 cos( ) 解 : ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) sin( ) C 5 ln 例 6. 求 解 : ln ln 5 ln 5 5 ln ( ) ln ln ln 6 C 6 cosln 例 7. 求 7
解 : ln ln cos ln cos ln cos ln ln sin ln C sin 例 8. 求 sin 解 : sin sin sin sin sin (sin ) C 前 面 幾 個 例 子, 在 引 用 變 數 變 換 積 分 法 上 是 相 當 明 確 的, 也 就 是 被 積 分 式 明 確 的 可 拆 開 成 兩 個 部 分, 其 一 為 個 函 數 之 合 成 函 數, 其 二 為 新 變 數 之 導 函 數 的 常 數 倍 不 過 有 時 候 在 運 用 變 數 變 換 積 分 法 時, 可 逕 行 將 積 分 式 中 之 某 項 設 定 為 新 變 數, 而 希 望 透 過 變 數 變 換 後, 將 原 被 積 分 式 轉 換 成 吾 人 所 熟 悉 的 積 分 式 子 例 9. 求 解 : 令 u ( u ) ( u )( u) u 4 u ( u )( u) u 4 ( u u ) u 5 4( u u ) C 5 5 4 4 5 C 例 0. 求 解 : 令 u ( u ) ( u ) u ( u ) (( u ) ) u u ( u ) u u u u u u ln u C ( ) 6( ) ln C 7
例. 求 解 : 令 u u uu 另 解 : uu u ln u C u u u ln C,( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln( ) C 定 義 6.. 奇 函 數 與 偶 函 數 設 f( ) 為 一 函 數, () 若 f ( ) f ( ), Df, 則 稱 f( ) 為 偶 函 數 (even function) () 若 f ( ) f ( ), Df, 則 稱 f( ) 為 奇 函 數 (o function) 定 理 6.. 設 f( ) 為 一 函 數, R, () 若 f( ) 為 偶 函 數, 則 f ( ) f ( ) () 若 f( ) 為 奇 函 數, f ( ) 0 證 :() 0 f ( ) f ( ) f ( ) 0 針 對 f ( ) 而 言, 令 y y 0 0 0 0 f ( ) f ( y)( y) y f ( y) y,( f ( ) 0 為 偶 函 數 ) () 同 理 可 證 f ( y) y f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) 0 74
7 00 例. 求 00 4 解 : 令 f( ) 7 4 7 ( ) f ( ) f ( ), R 00 00 4 ( ) ( ) 7 4 0 習 題 6.. 求 以 下 諸 積 分 : 0 () ( ) () () (4) 0 4 (5) cos( 5) (6) 0 ( ) (7) (8) 4 8 (9) ( a),( a 0) (0) cos () e sin () () (4) e cos sin 4 5 5 e sin ln e ( )( ) ( ln ) 9 7 ( 7 5 ) 7 5 7 (5) sin cos (6) sin (7) (8) (9) e (0) tan 75
第 6.4 節 分 部 積 分 法 定 理 6.4. 分 部 積 分 法 (partial integral) 設 u ( ) 與 v ( ) 均 為 可 微 分 函 數, 則 亦 即 uv uv vu u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) 證 : 因 為 u ( ) 與 v ( ) 均 為 可 微 分 函 數 u ( ) v ( ) u ( ) v ( ) u ( ) v ( ) u ( ) v ( ) u ( ) v ( ) u ( ) v ( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) 顯 然, 欲 引 用 分 部 積 分 法 來 求 反 導 函 數, 其 被 積 分 式 一 定 可 拆 開 成 兩 個 部 分, 即 u ( ) 與 v ( ) 如 何 設 定 u ( ) 與 v ( ), 可 依 以 下 規 則 : 被 積 分 式 u ( ) v ( ) () 導 函 數 會 產 生 驟 變 者 () 反 導 函 數 可 能 未 知 者 e,,, sin,,, cos,,, () 導 函 數 會 產 生 循 環 者 () 反 導 函 數 為 已 知 者 e sin cos m ln,,,, m R ln m 0 反 三 角 函 數 反 三 角 函 數 ( ) e sin, e cos e sin, cos sin, cos e 例. 求 e 解 : 令 u( ), v( ) e u( ), v( ) e e e e e e C 例. 求 sin 解 : 令 u( ), v( ) sin u( ), v( ) cos 76
sin ( cos ) ( cos ) cos cos (*) 再 令 u( ), v ( ) cos u ( ), v( ) sin (*) cos sin sin cos sin ( cos ) C cos sin cos C 例. 求 ln 解 : 令 u( ) ln, v( ) u( ), v( ) ln ln ln C 例 4. 求 sin 解 : 令 u( ) sin, v( ) u( ), v( ) sin sin sin ( ) sin sin C 例 5. 求 e cos 解 : 令 u( ) e, v( ) cos u( ) e, v( ) sin e cos e sin e sin 再 令 ( ) u e, v ( ) sin u ( ) e, v ( ) cos e cos e sin e ( cos ) e ( cos ) e sin e cos e cos e cos e sin e cos C e cos e sin e cos C 77
例 6. 求 cosln 解 : 令 u( ) cosln, v( ) u( ) ( sin ln ), v( ) sin ln cos ln cos ln ( ) cos ln sin ln 再 令 u( ) sin ln, v( ) u( ) cosln, v( ) cosln cosln sin ln cosln cos ln cos ln sin ln C cosln cosln sin ln C 習 題 6.4. 求 以 下 諸 積 分 () cos () sin () ln (4) 5 e (5) sin ln (6) e cos (7) ln( 4) (8) (9) tan (0) () e () ln sec e () e sin (4) log 78
第 6.5 節 三 角 函 數 積 分 法 * 定 理 6.5. 三 角 函 數 積 分 的 基 本 公 式 () sin cos C () cos sin C () tan ln sec C (4) cot ln sin C (5) sec ln sec tan C (6) csc ln csc cot C 證 :() (5) (6) sin tan ( cos ) cos cos ln cos C ln sec C sec tan sec sec tan sec sec sec tan sec tan sec sec tan (sec tan ) sec tan sec tan ln sec tan C csc cot csc csc cot csc csc csc cot csc cot csc csc cot (csc cot ) csc cot csc cot ln csc cot C ln csc cot C m n 型. sin cos, 其 中 m 與 n 至 少 有 一 者 為 正 奇 數 作 法 :() 設 m 為 正 奇 數 : 保 留 個 sin, 利 用 sin cos 進 行 變 數 變 換, 同 時 利 用 sin cos, 將 sin m 悉 數 化 為 cos 的 函 數 再 做 () 設 n 為 正 奇 數 : 保 留 個 cos, 利 用 cos sin 進 行 變 數 變 換, 同 時 利 用 cos 5 4 例. 求 sin cos sin, 將 cos n 79 悉 數 化 為 sin 的 函 數 再 做
解 : sin 5 cos 4 sin 4 cos 4 sin ( cos ) cos 4 ( cos ) 4 6 8 (cos cos cos ) cos C 5 7 9 5 7 9 ( cos cos cos ) m n 型. sin cos, 其 中 m 與 n 均 為 正 偶 數 作 法 : 例 用 半 角 公 式 降 次 再 做 cos cos () sin,() cos 4 例. 求 sin cos 解 : 4 cos cos sin cos ( cos cos cos ) 8 sin cos cos 8 6 8 8 cos 4 sin cos cos 8 6 8 8 sin sin 4 sin sin 8 6 6 64 6 sin sin 4 (sin sin ) C 8 6 6 64 6 sin 4 sin C 6 64 m n m n 型. tan sec ( 或 cot csc ), 其 中 n 為 正 偶 數 作 法 : 保 留 sec, 利 用 sec 將 sec n 5 6 例. 求 tan sec 解 : tan 悉 數 化 為 tan 的 函 數 再 做 進 行 變 數 變 換, 再 利 用 sec tan, 5 6 5 4 5 tan sec tan sec sec tan ( tan ) tan 80
5 7 9 (tan tan tan ) tan C 6 4 0 6 8 0 tan tan tan m n m n 型 4. tan sec ( 或 cot csc ), 其 中 m 為 正 奇 數 作 法 : 保 留 個 tan 與 sec 搭 配 配, 利 用 sec tan sec 進 行 變 數 變 換, 再 利 用 tan sec, 將 tan m 5 6 例 4. 求 tan sec 解 : 悉 數 化 為 sec 的 函 數 再 做 5 6 4 5 5 tan sec tan sec (sec tan ) (sec ) sec sec 9 7 5 (sec sec sec ) sec C 0 4 7 0 8 7 sec sec sec 型 5. tan m ( 或 cot m ), 其 中 m 為 大 於 等 於 之 正 整 數 作 法 : 將 tan m 中 之 tan 以 sec 代 入 再 做 6 例 5. 求 tan 解 : 6 4 4 tan tan tan tan (sec ) 4 4 tan sec tan 4 tan tan tan tan C 5 5 tan tan 型 6. sec n ( 或 csc n ), 其 中 n 為 大 於 等 於 之 正 整 數 作 法 : 狀 況. n 為 偶 數 : 保 留 sec n 中 之 sec 以 為 tan 之 導 函 數, 另 外 sec n tan 代 入 再 做 狀 況. n 為 偶 數 : 利 用 分 部 積 分 法 來 做 悉 數 以 8
6 例 6. 求 sec 解 : 6 4 sec sec sec ( tan ) tan 4 ( tan tan ) tan tan tan tan 5 5 C 例 7. 求 sec 解 : sec sec sec (*) 令 u( ) sec, v( ) sec u( ) sec tan, v( ) tan sec sec tan sec tan sec tan sec (sec ) sec tan sec sec C sec tan sec ln sec tan C sec sec tan ln sec tan C sec (sec tan ln sec tan ) 型 7. sin a cos b, sin asin b 及 cos a cos b, 其 中 ab 0 作 法 : 利 用 三 角 積 化 和 差 公 式 即 可 () sin cos sin( ) sin( ) () sin sin cos( ) cos( ) () cos cos cos( ) cos( ) 例 8. 求 sin cos5 解 : sin cos 5 sin( 5 ) sin(5 ) 8
sin 8 sin cos8 cos 8 cos8 cos C 6 4 型 8., 其 中 ab 0 asin bcos 作 法 : 利 用 asin bcos a b sin( ), 其 中 sin b a, cos a b a b 例 9. 求 sin 4cos 解 : sin 4cos 5 sin cos 5 sin( ) 4 5 5 csc( ) ln csc cot C 5 5 習 題 6.5. 求 以 下 諸 積 分 6 () sin cos () 5 8 () tan sec (4) cos sin 5 sec (5) cos sin 7 (6) cos6 cos 8 (7) tan (8) sin cos 4 (9) (0) sin sin sin 5cos 8
第 6.6 節 三 角 代 換 法. 三 角 代 換 法 當 被 積 分 式 中 含 有 a, a 或 a, a 0, 時, 可 考 量 引 用 三 角 代 換 法 以 消 除 根 號 而 代 換 方 式 如 下 : 被 積 分 式 三 角 代 換 三 角 恆 等 式 a a asin, sin cos atan, tan sec a asec,0 sec tan 例. 求 4 解 : 令 sin cos 4 4 (sin ) cos 4 cos cos 4 sin C C sin 4 例. 求 9 解 : 令 tan sec sec 9 9 ( tan ) ln sec tan C ln C sec 當 被 積 分 式 中 含 有 a b, a b 或 b a, a 0, b 0, 時, 亦 可 考 量 引 用 三 角 代 換 法 以 消 除 根 號 84
例. 求 4 5 5 5 解 : 令 sec sec tan 5 sec tan sec 4 5 5 4( sec ) 5 ln sec tan C 4 5 ln C 5 5. 當 被 積 分 式 型 如 果, 可 令 u tan,, 以 消 除 asin bcos c sin 及 cos 因 為 u u tan sin, cos u u u u sin, cos u u 又 u tan u sec u u 例 4. 求 sin cos 解 : 令 u tan u u sin, cos u u u u u u sin cos u u u u u u u u u ln u C u ln tan C 85
習 題 6.6. 求 以 下 諸 積 分 () () () (4) (5) (6) 6 9 sin cos 86
第 6.7 節 有 理 函 數 積 分 法. 有 理 函 數 即 分 式 而 分 式 包 括 真 分 式 假 分 式 與 帶 分 式 又 假 分 式 可 化 為 帶 分 式, 即 假 分 式 = ( 一 個 多 項 式 ) + ( 一 個 真 分 式 ) 因 多 項 式 的 積 分 已 在 前 面 章 節 提 及, 故 分 式 的 積 分 可 鎖 定 為 真 分 式 的 積 分. 真 分 式 積 分, 首 先 約 去 分 子 與 分 母 之 公 因 式, 即 化 為 最 簡 分 式. 分 母 為 次 式 之 積 分 法, 即 型 如, a 0, a b ln a b C a b a 4. 分 母 為 次 質 式, 分 子 為 常 數 之 積 分 法 - 配 方 法 例. 求 解 : ( ) ( ) ( ) tan ( ) C ( ) 例. 求 9 5 解 : 9 5 (9 4) ( ) ( ) tan ( ) C ( ) 5. 分 母 為 次 質 式, 分 子 為 次 式 之 積 分 法 作 法 : 將 分 子 拆 開 成 兩 個 部 分 : () 為 分 母 之 導 函 數 的 常 數, 以 為 變 數 變 換 之 需 () 剩 下 的 常 數 部 分 ( 利 用 配 方 法 ) (00 ) 例. 求 5 0 解 : D(5 0 ) 50 0 87
00 (500) 7 5 0 5 0 5 0 (00 ) (50 0) 7 5 0 5 0 5 0 (5 0 ) 7 (5 ) 5 0 5 (5 ) 7 C 5 ln(5 0 ) tan (5 ) 6. 因 為 一 個 多 項 式 為 質 式, 則 其 次 數 最 高 為 前 面 我 們 已 討 論 分 母 為 質 式 之 真 分 式 的 積 分 法 至 於 其 他 型 式 之 分 式 的 積 分, 則 可 採 用 部 分 分 式 積 分 法 而 所 謂 部 分 分 式 乃 將 分 式 拆 開 為 若 干 分 母 為 質 式 之 真 分 式 的 和 ( ) 例 4. 求 ( )( ) A B A( ) B( ) 解 : 令 ( )( ) ( )( ) A( ) B( ) 以 代 入 B B 以 代 入 A A ( ) ln ln C ( )( ) 4 ( 6 ) 例 5. 求 5 ( ) 4 4 解 : 令 6 a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a 4 0 +0 +0-6 + + + + + -5 + + -5-4 a 0 +++ + + - a ++ + +6 a + a4 +4 a 4 4 ( 6 ) ( ) 4( ) 6( ) ( ) 4 ( ) ( ) 5 5 88
4 6 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 4 ln C 4 ( ) ( ) ( ) 習 題 6.7. 求 以 下 諸 積 分 () () 9 6 4 5 () (4) 06 0 (5) 4 (6) ( ) 0 5 (7) (8) 56 ( )( )( ) ( )( ) 89