範例 1.1 試解出下列微分方程 dx = y. 不嚴謹做法 : 把微分方程改寫為 y = dx. 兩邊同時積分 y = 之後可以推得 : ln y = X + C, 兩邊同時取 exp 之後可以得到 y = Ce x.

微分方程法蘭克老師 1 微分方程 1.1 可分離微分方程假設 M(x), N(y) 都是定義在某個區間上的連續函數我們希望解以下類型的常微分方程以不嚴謹的方法我們可以把 (1.1) 改寫成 M(x) N(y) = 0. (1.1) dx N(y) = M(x)dx. (1.2) 因此我們稱微分方程 (1.1) 是可分離的對 (1.2) 求不定積分之後, 得到 N(y) = M(x)dx 進而我們利用這個關係來解出我們想要的微分方程事實上, 解微分方程是以下的過程令 G(y) 是 N(y) 的 ( 對變數 y) 反導函數 dg = N(y). 利用微分連鎖律可以驗證合成函數 H(x) = G(f(x)) 是 M(x) 的反導函數 : d dg H(x) = dx dx = N(y) dx dx = M(x). 也就是說 M(x)dx = H(x) = G(f(x)) + C. 處理可分離的微分方程可以分成以下幾個步驟 : (1) 將微分方程改寫成 (1.2) 的型式 (2) 將等式兩邊同時積分 (3) 利用所得到的積分式求出 y = f(x) 的關係以下為了方便起見把所有的常數都寫成 C 不討論其差異性 1

範例 1.1 試解出下列微分方程 dx = y. 不嚴謹做法 : 把微分方程改寫為 y = dx. 兩邊同時積分 y = 之後可以推得 : ln y = X + C, 兩邊同時取 exp 之後可以得到 y = Ce x. 嚴謹做法 : 方程改寫為 1 y dx = 1. d 我們知道 ln y = 1 y. 因此合成函數 H(x) = ln y(x) 的微分為 dh dx = 1 y(x) dx dx = 1. 因此 H(x) 是 1 的反導函數, 可知 H(x) = 1dx = x + C. 所以歸納出 ln y(x) = x + C, 得到 y = Ce x. 範例 1.2 試求出微分方程的解 dx = y 1 + x 2. 不嚴謹做法 : 我們把微分方程改寫為 y = y = dx 1 + x 2. 兩邊同時積分 dx 1 + x 2 之後, 我們可以推得 ln y = tan 1 x + C. 因此 y = Ce tan 1 x. 1 嚴謹做法 : 將方程改寫為 y dx = 1 1 + x 2. 由於 ln y 是 1/y 的一個反導函數我們令 H(x) = ln y(x), 則 H (x) = 1 y(x) dx = 1 1 + x 2. 2

因此 H(x) 是 1/(1 + x 2 ) 的一個反導函數所以 dx H(x) = 1 + x 2 = tan 1 x + C. 另一方面 H(x) = ln y + C, 所以可以歸納出 ln y = tan 1 x + C, 因此 y = Ce tan 1 x. 範例 1.3 試解出 dx = 3x2 2x + 1 y 3. + 2y 不嚴謹做法 : 把方程改寫為 (y 3 + 2y) = (3x 2 2x + 1)dx. 兩邊同時積分 (y 3 + 2y) = (3x 2 2x + 1)dx, y 4 可推得 4 + y2 = x 3 x 2 + x + C. 嚴謹做法 : 將方程改為 (y 3 + 2y) dx = 3x2 2x + 1. 則取 H(x) = y(x)4 4 + y(x) 2, 則 H (x) = (y 3 + 2y) dx = 3x2 2x + 1. 於是 H(x) 是 3x 2 2x + 1 的一個反導函數由於 (3x 2 2x + 1)dx = x 3 x 2 + x + C, 所以可得 H(x) = x 3 x 2 y 4 + C 於是我們解出 4 + y2 = x 3 x 2 + x + C. (y 3 + 2y) = y4 4 + y2 我們透過這幾個例子大家可以發現所謂的不嚴謹做法只是嚴謹做法的過程簡化而已在此, 我們並非真的把與 dx 當作數來運算而是把微分方程分離之後, 先求出 y 變數的反導函數, 再利用合成函數與連鎖律的概念去驗證我們得到的合成函數 H(x) 是右式 M(x) 的反導函數, 進而求出微分方程的解接下來的幾個範例, 我們就採用不嚴謹做法來計算範例 1.4 試求出方程的解 = (y 1)(y 2). dx 我們把原方程改寫為 (y 1)(y 2) = dx, 兩邊取符號後得到 (y 1)(y 2) = dx = x + C. 3

利用部分分式法, 我們將左式積分中的有理函數拆成 : 1 (y 1)(y 2) = A y 1 + B y 2. 於是 A(y 2) + B(y 1) = 1. 所以可以解出 A = 1 且 B = 1. 可得 (y 1)(y 2) = y 1 + y 2 = ln ( y 2 y 1 ) + C. y 2 所以我們得到了 y 1 = Cex. 交叉相乘後, 我們可以解得 y, 我們就讓讀者自行驗算附註 : 對 1/y 積分後, 我們會得到 ln y + C, 為了保持讓 ln 裡面的量是正的, 我們就加個絕對值得到 ln y +C 但在這幾個問題中, 我們為了能夠減少符號的使用而暫時忽略絕對值得記號, 而因為我們使用了指數函數 exp 來表達解, 最後解似乎也與 y 的正負無關從 ln y 到 y 就成為了一個中繼過程然而, 正負號其實是的討論是包含在常數 C 中如果我們給定微分方程的初始條件 ( 如 y(0) = a) 我們可以決定常數 C 的值, 因此知道了 y 的正負號 1.2 一階微分方程本章節主要希望研究型如 y + P (x)y = Q(x) (1.3) 的解其中 P (x), Q(x) 是定義在某個區間上的連續函數當 Q = Q(x) 為零函數時, 我們稱此方程為齊次方程, 而 Q = Q(x) 非恆等於零時, 我們稱此方程為非齊次方程首先, 我們先來研究 Q = 0 則方程可以改寫成 = P (x)dx. y 兩邊同時積分之後再取 exp 可推得 y = Ce P (x)dx. 接著我們希望來解非齊次的問題首先我們來提供一個比較直接的作法假設 z = z(x) 與 y = y(x) 分別滿足 { z + P (x)z = 0, y (1.4) + P (x)y = Q(x). 將第二式乘上 z 減去第一式乘上 y 之後我們得到 y z z y = Q(x)z. 於是我們觀察一下微分的商法則可以知道 ( y z ) = y z yz 對上式積分之後我們可以推得兩邊同乘 z 我們可得 z 2 = Q(x). z y Q(x) z = C + z(x) dx. Q(x) y = Cz(x) + z(x) z(x) dx. x 為了區別積分內的變數與積分外的變數, 接下來我們會不定積分 f(x)dx 的表示法改為 f(t)dt 所以上述式子改寫為 : x Q(t) y = Cz(x) + z(x) z(t) dt. 4

另外一個解決這問題的方法是利用微分的乘法法則我們把 (1.3) 乘上一個函數 h 使得 h(x)y + P (x)h(x)y = Q(x)h(x). 如果我們找到的 h 滿足 h = P (x)h 那麼 h(x)y + P (x)h(x)y = h(x)y + h (x)y = (h(x)y). 進而推得 (h(x)y) = Q(x)h(x). 兩邊同時積分之後可得 h(x)y = C + x Q(t)h(t)dt. 因而得到 y = C h(x) + 1 x Q(t)h(t)dt. h(x) 當然利用解齊次方程的方法我們知道 h(x) = e x P (t)dt. 我們把函數 h(x) = e x P (t)dt 稱為 (1.3) 的積分因子我們可以把這類問題分成幾個步驟解決 (1) 求出積分因子 (2) 微分方程兩邊同乘積分因子 (3) 利用微分的法則與微積分基本定理求出方程的解範例 1.5 試解 y + 1 x y = 3x. 本問題的積分因子為 h(x) = e x 1 t dt = e ln x = x 兩邊同乘 x 之後推得 xy + y = 3x 2. 利用微分的法則可知 xy + y = (xy) 於是 (xy ) = 3x 2 可推知 xy = C + x 3. 兩邊同除 x 之後可得 y = Cx 1 + x 2. 範例 1.6 試解 y y = e 3x. 本題的積分因子為 h(x) = e 1dx = e x 兩邊同乘 e x 後我們得到 (e x y) = e 2x. 兩邊同時積分之後可得 e x y = C + e 2x /2 兩邊同乘 e x 我們得到方程的解為 y = Ce x + e 3x /2 5

範例 1.7 試解 y + 2xy = 10x. 取積分因子 h(x) = e 2xdx = e x2. 方程同乘 h(x) 後得到 (e x2 y) = 10xe x2. 兩邊同時積分 e x2 y = 10xe x2 dx. 令 u = x 2 可得 du = 2xdx, 於是 10xe x2 dx = 5 e u du = 5e u + C = 5e x2 + C. 所以解為 y = Ce x2 + 5. 範例 1.8 試解 y + 1 y = 6x + 2. x 本題積分因子為 h(x) = e dx/x = e ln x = x. 方程兩邊同乘 h(x) = x 可得 (xy) = 6x 2 + 2x. 積分後得到 xy = (6x 2 + 2x)dx = 2x 3 + x 2 + C. 於是 y = 2x 2 + x + Cx 1. 1.3 二階常係數微分方程本章節主要來討論下列二階微分方程的解 : ay + by + cy = f(x) (1.5) 其中 a, b, c R 類似於一階微分方程, 當 f(x) 恆為零時,(1.5) 稱為齊次方程而 f(x) 不恆為零時,(1.5) 稱為非齊次方程老師講解 1 會稱呼這方程是是線性的理由如下假設 y 是二次可微分函數, 我們定義 L[y] = ay + by + cy. 那麼 L 就會滿足下列關係 : 對任意的二次可微分函數 y = f(x) 與 y = g(x), 恆有 L[af + bg] = al[f] + bl[g], 其中 a, b 是實數首先, 我們先來研究齊次方程, 接著來看個例子 6

範例 1.9 試求出 y 3y + 2y = 0. 如果我們把微分記為 D 那麼上述微分方程可以改寫為 (D 2 3D + 2)y = 0. 假設我們把 D 當成是一個變數來看並且假設我們可以作因式分解的動作, 那麼再把這微分方程改寫為 (D 1)(D 2)y = 0. 令 z = (D 2)y 則 (D 1)z = 0, 也就是說 z z = 0 利用分離變數的方法我們解出 z = C 1 e x. 帶入 z = (D 2)y 之後得到了 y 2y = C 1 e x. 利用積分因子法, 將此方程乘上 e 2x 之後得到 (e 2x y) = C 1 e x 兩邊積分後我們推得 e 2x y = C 2 + C 1 e x 同乘 e 2x 之後得到 y = C 1 e x + C 2 e 2x. 1 當然, 這麼作存在著一個問題我們能否使用因式分解的概念來解決這問題呢? 我們必須要去驗證上述的這些關係由於我們令 z = y 2y, 那麼 z z = (y 2y ) (y 2y) = y 3y + 2y. 所以 z z = 0 的確等價於原方程利用這個例子, 我們可以來討論更一般的情形我們把 (1.5) 改寫為 (ad 2 + bd + c)y = f(x). 為了能夠討論 ad 2 + bd + c 的分解情況, 我們引入了微分方程的特徵多項式的概念 : 我們稱 χ(λ) = aλ 2 + bλ + c 是 (1.5) 的特徵方程由於 a 是個非零常數, 方程兩邊同除 a 之後可以得到與原方程等價的方程 2 所以我們不仿假設 a = 1 令 = b 2 4c, 稱為特徵方程的判別式利用中學所學到的方法我們知道, 特徵多項式的根有三種情況 1. > 0 時, 特徵方程有兩相異實根 λ 1, λ 2. 2. = 0 時, 特徵方程有重根 λ 0. 3. < 0 時, 特徵方程有共軛複數根 λ ± = α ± iβ, 其中 α, β R. 當 f(x) 恆為零時, 我們可以把解給完全寫下來如果 > 0, 我們把方程改寫成 (D λ 1 )(D λ 2 )y = 0. 利用上述想法, 我們令 z = (D λ 2 )y 則 (D λ 1 )z = 0. 於是我們推得 z = C 1 e λ 1x. 進而得到 (D λ 2 )y = C 1 e λ1x 利用積分因子的方法, 同乘 e λ2x 得到了 (e λ2 y) = C 1 e (λ1 λ2)x. 積分之後, 推得了 e λ 2x y = C 2 + C 1 e (λ 1 λ 2 )x. 兩邊在同乘 e λ 2x 解出了 y = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x. 當 = 0 時, 方程式可以寫成 (D λ 0 ) 2 y = 0. 1 在這裡我們盡可能讓 C 1, C 2 表示成一些常數, 雖然不同式子中的 C 1, C 2 未必相等 2 意思是說方程的解並不會因此而改變 7

令 z = (D λ 0 )y. 則 (D λ 0 )z = 0. 利用分離變數的方法我們得到 z = C 1 e λ0x. 所以 (D λ 0 )y = C 1 e λ 0x. 同乘積分因子 e λ 0x 之後我們可得 (e λ 0x y) = C 1 兩邊積分之後可知 e λ 0x y = C 2 + C 1 x. 同乘 e λ0x 之後得到 y = (C 1 x + C 2 )e λ 0x. 當 < 0 時, 答案比較複雜一點假設我們可以讓微分方程以複數的型態表示, 那麼微分方程的解在 < 0 時, 解 y = C 1 e λ+x + C 2 e λ x. 但是一個實係數的微分方程為何會得到複數解呢? 這樣的解是否合理呢? 假設我們讓這樣的解存在利用尤拉的恆等式我們可以推得 e a+ib = e a (cos b + i sin b), a, b R. y = C 1 e αx (cos βx + i sin βx) + C 2 e αx (cos βx + i sin βx). 整理一下 e αx cos βx 與 e αx sin βx 的係數之後, 我們可以把方程式的解改寫為 y = c 1 e αx cos βx + c 2 e αx sin βx. 當然, 我們必須驗證這個函數的確給了方程在 < 0 時的解令 y 1 = e αx cos βx 且 y 2 = e αx sin βx. 利用微分的性質我們可以推得 { y 1 = αy 1 + βy 2 由此可以驗證 y 1, y 2 滿足 y 2 = βy 1 + αy 2. y + 2αy + (α 2 + β 2 )y = 0. 利用根與係數的關係 b = 2α 且 c = α 2 + β 2 於是我們驗證了 y 1, y 2 的確是方程在 < 0 時的解, 進而推得型如 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 都是方程在 < 0 時的解老師講解 2 所以我們得出下列歸納 : (1) 當 > 0 時, 方程的解型如 y = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x. (2) 當 = 0 時, 方程的解型如 y = (C 1 x + C 2 )e λ0x. (3) 當 < 0 時, 方程的解型如 y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx). 我們來看幾個範例範例 1.10 試求出 y 5y + 6y = 0. 解 : 此微分方程的特徵多項式為 χ(λ) = λ 2 5λ + 6. 於是 λ = 3, 2 是方程的兩相異實根則此方程的解為 y = C 1 e 3x + C 2 e 2x. 8

範例 1.11 試求出 y 2y + y = 0. 令 χ(λ) = λ 2 2λ + 1 表示方程的特徵多項式則此特徵多項式有重根 λ = 1 於是利用上述的歸納我們知道方程的解為 y = (C 1 x + C 2 )e x. 範例 1.12 試求出 y + y + y = 0. 特徵方程為 χ(λ) = λ 2 + λ + 1, 其根為 λ ± = ( 1 ± i 3)/2 利用上述規納的方法可推得方程的解為 y = C 1 e 1 2 x cos 3 2 x + C 2e 1 2 x sin 3 2 x. 接著我們來討論一下非齊次方程的解在 > 0 時, 我們令 z = (D λ 2 )y 時, 推得 z λ 1 z = f(x). 利用積分因子的方法可以求出 3 那麼在帶入 (D λ 2 )y = z 可以解出 z = C 1 e λ1x + e λ1x x f(t)e λ1t dt. y = C 2 e λ 2x + e λ 2x x z(t)e λ 2t dt. 為了方便起見, 我們定義 u i (x) = x f(t)e λ it dt, i = 1, 2. 將 z 帶入 y 之後我們得到 y = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x + e λ 2x x e (λ 1 λ 2 )t u 1 (t)dt. 利用 u i (x) = f(x)e λix 與分部積分的方式我們可以推得 x e (λ1 λ2)t u 1 (t)dt = e(λ 1 λ 2 )x 1 u 1 (x) u 2 (x). λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 將此式帶入 y 之後我們發現我們可以把上式最後一項改寫為 y = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x + eλ1x u 1 (x) e λ2x u 2 (x) λ 2 λ 1. e λ1x u 1 (x) e λ2x u 2 (x) λ 2 λ 1 = 3 由於我們會有很多變數, 為了不要搞混, 我使用 t 來當作積分的參數 x e λ1(x t) e λ2(x t) f(t)dt. λ 1 λ 2 9

所以推得 x y = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x e λ1(x t) e λ 2(x t) + f(t)dt. λ 1 λ 2 當 λ 1 = α + iβ, 與 λ 2 = α iβ 時, 我們可以推得 e λ1(x t) e λ2(x t) λ 1 λ 2 = e α(x t) eiβ(x t) e iβ(x t). 2iβ 再利用尤拉公式我們得知 cos θ = eiθ + e iθ, sin θ = eiθ e iθ 2 2i e λ1(x t) e λ2(x t) α(x t) sin β(x t) = e λ 1 λ 2 β 所以我們推得當 < 0 時, 其次方程的解為 x y = C 1 e αx cos βx + C 2 e αx α(x t) sin β(x t) sin βx + e f(t)dt. β 當 = 0 時, 令 z = (D λ 0 )y 則 z λ 0 z = f(x). 利用積分因子法, 我們推得 z = C 1 e λ0x + e λ 0x x f(t)e λ 0 t dt. 再利用積分因子法解 y λ 0 y = z 可推得 (e λ0 y) = C 1 + x f(t)e λ0t dt. 兩邊同時積分之後可得 y = (C 1 x + C 2 )e λ0x + e λ0x x t f(u)e λ0u dudt. 如果我們令 u 0 (x) = x f(t)e λ 0t dt. 利用 u 0(x) = f(x)e λ0x 分部積分的方法我們可以推得 x x x u 0 (t)dt = xu 0 (x) tf(t) λ0t dt = (x t)f(t)e λ0t dt. 所以我們總結得到 : 當 = 0 時, y = (C 1 x + C 2 )e λ0x + x (x t)e λ0(x t) f(t)dt. 範例 1.13 試解出 y 3y + 2y = 1. 令 z = y 2y, 我們可以推得 z z = 1 利用積分因子法, 我們可以推得 (e x z) = e x 兩邊積分之後可得 e x z = C 1 e x 於是 z = C 1 e x 1 那麼 y 2y = C 1 e x 1. 再次利用積分因子法可得 (e 2x y) = C 1 e x e 2x 積分之後在乘 e 2x 解出 y = C 1 e x + C 2 e 2x + 1/2 10

範例 1.14 試解出 y 2y + y = 1. 令 z = y y. 則 z z = 1. 利用積分因子法, 解出 z = C 1 e x 1 所以 y y = C 1 e x 1 在利用積分因子法 (e x y) = C 1 e x 同時積分在乘上 e x 可得 y = (C 1 x + C 2 )e x + 1. 在這兩個範例中, 我取 f(x) = 1 是為了要讓大家理解整個解題的想法而避免複雜計算所定的然而當 f(x) 為其它函數時, 解題只有積分技巧上的差別範例 1.15 試解出 y + 4y = cos 3x. 特徵方程為 λ 2 + 4 = 0. 因此我們得到兩共軛複數根 λ ± = i ± 2 於是利用上述公式我們知道 x sin 2(x t) y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x + cos 3tdt. 2 利用積化合差公式計算之後發現 sin 2(x t) cos t = 1 {sin(2x + t) + sin(2x 5t)}. 2 y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x + 1 x {sin(2x + t) + sin(2x 5t)}dt 4 = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x + 1 4 { cos 3x + 1 cos 3x} + C 5 = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x 1 cos 3x + C. 5 於是方程的解為 y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x 1 5 cos 3x + C. 老師講解 3 所以我們可以歸納出 (a) 當 > 0 時, (b) 當 = 0 時, x y = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x e λ1(x t) e λ2(x t) + f(t)dt. λ 1 λ 2 x y = (C 1 x + C 2 )e λ0x + (x t)e λ0(x t) f(t)dt. (c) 當 < 0 時, x y = e αx α(x t) sin β(x t) (C 1 cos βx + C 2 sin βx) + e f(t)dt. β 11

公式本身有些複雜, 但不建議記憶, 但非不得已只好查公式使用然而最重要的地方並不在於公式本身在於解問題的精神我們透過分解微分方程與積分因子的方法解微分方程 12

範 例 1.1 試 解 出 下 列 微 分 方 程 dx = y. 不 嚴 謹 做 法 : 把 微 分 方 程 改 寫 為 y = dx. 兩 邊 同 時 積 分 y = 之 後 可 以 推 得 : ln y = X + C, 兩 邊 同 時 取 exp 之 後 可 以 得 到 y = Ce x.

範例 1.1 試解出下列微分方程 dx = y. 不嚴謹做法 : 把微分方程改寫為 y = dx. 兩邊同時積分 y = 之後可以推得 : ln y = X + C, 兩邊同時取 exp 之後可以得到 y = Ce x.