基礎統計

統計學 ( 二 ) 第九章一個群體參數的假說檢定 (Hypothesis Tests of a Single Population) 授課教師 : 唐麗英教授 國立交通大學工業工程與管理學系聯絡電話 :(03)5731896 e-mail:litong@cc.nctu.edu.tw 2015 本講義未經同意請勿自行翻印

本課程內容參考書目 教科書 P. Newbold, W. L. Carlson and B. Thorne(2013). Statistics for Business and the Economics, 8 tt Edition, Pearson.(chapters 9-12 and 14,15) W. Mendenhall and T. Sincich., Prentice Hall,(2007).Statistics for Engineering and the Sciences, 5th Edition. (Chapters 8-11and 15) 參考書目 Berenson, M. L., Levine, D. M., and Krehbiel, T. C. (2009). Basic business statistics: Concepts and applications, 11 tt EditionPrentice Hall. Larson, H. J. (1982). Introduction to probability theory and statistical inference, 3 rr Edition, New York: Wiley. Miller, I., Freund, J. E., and Johnson, R. A. (2000). Miller and Freund's Probability and statistics for engineers, 6 tt Edition, Prentice Hall. Montgomery, D. C., and Runger, G. C. (2011). Applied statistics and probability for engineers, 5 tt Edition, Wiley. Watson, C. J. (1997). Statistics for management and economics, 5th Edition. Prentice Hall. 唐麗英 王春和 (2014), 從範例學 MINITAB 統計分析與應用, 博碩文化公司 唐麗英 王春和 (2008), SPSS 統計分析, 儒林圖書公司 王春和 唐麗英 (2007), Excel 統計分析, 第二版, 儒林圖書公司 唐麗英 王春和 (2005), STATISTICA 與基礎統計分析, 儒林圖書公司 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 2

假說檢定的概念 (Concepts of Hypothesis Testing) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 3

統計檢定之目的 : 假說檢定主要是利用樣本資訊來測試一個或多個群體的參數值 例 1: 某生產 LED 燈泡之工廠有日 夜兩班工人 燈泡公司的經理對以下問題想找到答案 : a) 由日班工人所生產的燈泡, 其平均壽命是否為 25,000 小時? b) 由夜班工人所生產的燈泡, 其平均壽命是否小於 25,000 小時? c) 由日班工人所生產的燈泡, 其不良率是否大於 6%? d) 日 夜班工人所生產的燈泡, 其平均壽命是否有顯著差異? 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 4

統計檢定之目的 : 例 1:( 續 ) 燈泡工廠生產部的經理可以利用以下之樣本資訊進行假說檢定來回答以上問題 : 日班 x 1= 25,230 小時 S 1 = 3,860 小時 有 5 個不良品 n 1 = 100 個燈泡 夜班 x 2 = 23,310 小時 S 2 = 3,913 小時 有 8 個不良品 n 2 = 100 個燈泡 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 5

假說檢定之五大步驟 (Steps for Testing a Hypothesis ) 1) 設立虛無假說 (null hypothesis, H 0 ) 和對立假說 (alternative hypothesis, Ha) 2) 指定顯著水準 (level of significance α) 3) 決定適當之檢定統計量 (test statistic) 4) 決定棄卻域 (rejection region) 5) 下結論 - 推翻虛無假說 (reject H 0 ) 或不推翻虛無假說 (fail to reject H 0 ) 並將此結論按題意引申 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 6

假說檢定五大步驟之說明 1) 設立假說 假設 何謂假說 假設 (Hypothesis)? 假說是關於一個或多個群體參數值的一段敘述 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 7

設立假說 假說又分以下兩種 : 對立假說 (Alternative Hypothesis, H 1 (or H a )) 研究者想要蒐集證據支持之假說 虛無假說 (Null Hypothesis, H 0 ) 研究者所欲蒐集證據推翻的假說 虛無假說為對立假說的相反 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 8

設立假說 例 2: 針對例 1 中 a), b), c), d) 各問題設立 H 0 及 H 1 : a) 由日班工人所生產的燈泡, 其平均壽命是否為 25,000 小時? b) 由夜班工人所生產的燈泡, 其平均壽命是否小於 25,000 小時? c) 由日班工人所生產的燈泡, 其不良率是否大於 6%? d) 日 夜班工人所生產的燈泡, 其平均壽命是否有顯著差異? 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 9

設立假說 例 2:( 續 ) 解答 : a) H 0 : μ 日 = 22, 000 H 1 : μ 日 22, 000 b) H 0 : μ 夜 22, 000 H 1 : μ 夜 < 22, 000 c) H 0 : P 日 0.06 H 1 : P 日 > 0.06 d) H 0 : μ 日 = μ 夜 H 1 : μ 日 μ 夜 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 10

設立假說 注意 : 1) 永遠先設立 H 1, 再以其相反之敍述設立 H 0 2) = 只能放在 H 0 中 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 11

設立假說 例 3: 一個生產輪軸的製程工程師定期檢查其產品, 以確定其軸的直徑符合規格 如果產品平均直徑為 0.5 英吋, 則製程視為合格, 否則製程視為失控 (out of control), 試以一個假說檢定來測試製程是否失控, 請問應如何設立本例的 H 0 及 H 1? 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 12

如何設立假說 依據 H 1 中之符號, 檢定又可分為以下兩類 : 何謂單尾檢定 ( 或單邊檢定 ) One-sided Test 如果對立假設中有 < 或 > 出現, 則此種統計檢定稱為單邊檢定 Note: 如果 < 出現在 H 1, 則稱為左尾檢定 如果 > 出現在 H 1, 則稱為右尾檢定 何謂雙尾檢定 ( 或雙邊檢定 ) Two-sided Test 如果對立假設中有 出現, 則此種統計檢定稱為雙邊檢定 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 13

如何設立假說 例 4: 根據例 2 的 a)- d), 回答為單尾檢定 ( 指出左尾或右尾檢定 ) 或者為雙尾檢定 解答 : a) H 0 : μ 日 = 22222 H 1 : μ 日 22222 b) H 0 : μ 夜 22222 H 1 : μ 夜 < 22222 c) H 0 : P 日 0.08 H 1 : P 日 > 0.08 d) H 0 : μ 日 = μ 夜 H 1 : μ 日 μ 夜 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 14

如何設立假說 例 5: 回答例 3 為單尾檢定或雙尾檢定 解答 : 單尾 ( 右尾 ) 檢定 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 15

作統計檢定時, 有兩種不可避免的誤差 型ㄧ誤差 (Type I Error) 當 H 0 是對的, 檢定結果卻判其為錯的而推翻 H 0 α =P( 犯型一誤差 ) 型二誤差 (Type II Error) 當 H 0 是錯的, 檢定結果卻判其為對的而不推翻 H 0 β =P( 犯型二誤差 ) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 16

作統計檢定時, 有兩種可能的誤差 檢定力 (Power of a test) 當 H 0 是錯的, 檢定結果亦判其為錯的而推翻 H 0 (The probability of rejecting H 0 when it is actually false.) Power= 1-β 決策表 : 決策 True State of Nature 真實情況 H 0 是對的 H 0 是錯的 推翻 H 0 不推翻 H 0 型一誤差 正確 正確 型二誤差 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 17

作統計檢定時, 有兩種不可避免的誤差 注意 : α 與 β 是衡量一個統計檢定好壞的指標, 一個決策者必需平衡此兩種型式的誤差 當我們的檢定結果是推翻 H 0 時, 我們只可能犯型一誤差 ; 當我們的檢定結果是不推翻 H 0 時, 我們只可能犯型二誤差 我們不可能同時犯型一誤差, 又犯型二誤差 α 與 β 有反向之關係 ( 當 α 增加時,β 減少 ; 當 α 減少時, β 增加 ) 欲使 α 與 β 同時變小的唯一方法是 : 增加 n! 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 18

顯著水準 何謂顯著水準? (Level of Significanc) 因為 α 是我們事先可設定的, 其可用來衡量統計檢定之可信度, 故稱 α 為顯著水準 顯著水準 (Level of Significanc) 假說檢定中, 犯型一誤差的機率 (α) 稱為顯著水準 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 19

顯著水準 例 6: 根據例 3, 請說明型一及型二誤差在此題中的意思為何? 解答 : 型一誤差 : 型二誤差 : 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 20

作統計檢定時, 有兩種不可避免的誤差 例 7: 法庭上用來審判被告是否有罪之邏輯, 可用來說明統計檢定之道理 a) 設立 H 0 及 H 1 來審判被告是否有罪 b) 解釋本例中型一及型二誤差之含意 c) 若你是被告, 你希望型一誤差 α 愈小愈好或愈大愈好? 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 21

作統計檢定時, 有兩種不可避免的誤差 解答 : a) H 0 : H 1 : b) 型一誤差 : 型二誤差 : c) 此例中, 型 誤差遠比型 誤差為嚴重, 故 α 應設 的愈小愈好 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 22

檢定統計量 (Test Statistic) 檢定統計量 (Test Statistic) 檢定統計量是由樣本計算得到一個統計量, 是虛無和對立假設的決策根據 常見的檢定統計量形式 : 標準化之檢定統計量 = 點估計式 參數點估計式的標準差 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 23

關於一個群體參數的檢定統計量 1. 當 σ 已知, 檢定 μ: Z = x μ 0, 其中 μ 0 為 H 0 之下的 μ 值 σ n 2. 當 σ 未知, 檢定 μ: t = x μ 0,( 自由度 =n-1), 其中 μ 0 為 H 0 之下的 μ 值 s n 3. 檢定 P : Z = p p 0 p 0 q 0 n, 其中 p 0 為 H 0 之下的 P 值,q 0 =1-p 0 4. 檢定 σ 2 : χ 2 = (n 1)s2 σ 0 2, 其中 σ 0 2 為 H 0 之下 σ 2 值 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 24

關於一個群體參數的檢定統計量 例 8: 例 2 中, 請找出 a)-d) 的檢定統計量 解答 : a) t b) t c) Z d) t 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 25

棄卻域 Rejection Region( R.R.) 棄卻域 Rejection Region( R.R.) 棄卻域是推翻虛無假設的檢定統計量計算值之值域 臨界值 Critical Value 在一個檢定的棄卻域中, 其棄卻域的邊界值稱為臨界值 棄卻域的範圍是依據檢定為單尾或雙尾及所預先規定的顯著水準 α 值而定 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 26

棄卻域 Rejection Region( R.R.) 決定棄卻域之法則 : 在 H 1 中有符號 < ( 或 > ) 則為單邊檢定, 其棄卻域為標準化檢定統計量的抽樣分配的最低 ( 或最高 ) 尾部 臨界值的左邊 ( 或右邊 ) 區域為 α 在 H 1 中有符號 則為雙邊檢定, 其棄卻域為尾端兩部分 標準化檢定統計量的抽樣分配的每尾端區域為 α/2 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 27

Rejection Region( R.R.) 棄卻域 例 9: 假設 α=0.05,n=25 且 σ 已知 試找出下列棄卻域 : a) H 0 :μ 72 b) H 0 :μ 72 c) H 0 : μ= 72 H 1 :μ<72 H 1 :μ>72 H 1 : μ 72 解答 : 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 28

t α α

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